Statistical hypothesis test

টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক	টেস্টের ধরন
t-স্ট্যাটিস্টিক	t-টেস্ট রিগ্রেশন টেস্ট
F-স্ট্যাটিস্টিক	ANOVA MANOVA ANCOVA
z-স্ট্যাটিস্টিক	z-টেস্ট
x²-স্ট্যাটিস্টিক	কাই-স্কয়ার টেস্ট
কিছু সাধারণ টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক এবং তাদের সংশ্লিষ্ট পরিসংখ্যানগত টেস্ট বা মডেল।

একটি স্ট্যাটিস্টিক্যাল হাইপোথিসিস টেস্ট (পরিসংখ্যানগত প্রকল্প পরীক্ষা) হলো পরিসংখ্যানগত অনুমানের একটি পদ্ধতি, যা ব্যবহৃত হয় কোনো নির্দিষ্ট প্রকল্প (hypothesis) প্রত্যাখ্যান করার জন্য উপাত্তে পর্যাপ্ত প্রমাণ আছে কি না তা সিদ্ধান্ত নিতে। একটি পরিসংখ্যানগত প্রকল্প পরীক্ষায় সাধারণত একটি টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক গণনা করা হয়। এরপর একটি সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়, হয় টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকটিকে একটি ক্রিটিক্যাল ভ্যালু-এর সাথে তুলনা করে, অথবা সমতুল্যভাবে টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক থেকে গণনা করা একটি p-ভ্যালু মূল্যায়ন করে। বর্তমানে প্রায় ১০০টি বিশেষায়িত পরিসংখ্যানগত টেস্ট প্রচলিত আছে।^[1]^[2]

সংজ্ঞাসমূহ

আরও দেখুন: Notation in probability and statistics

একটি হাইপোথিসিস টেস্টের লক্ষ্য হলো নমুনা উপাত্ত পরীক্ষা করে কোনো পরিসংখ্যানগত পপুলেশন-এর নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য সত্য কি না তা নির্ধারণ করা। সাধারণত, পপুলেশনটিকে একটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল দ্বারা মডেল করা হয় যার ডিস্ট্রিবিউশনের প্যারামিটারগুলো অজানা। উদাহরণস্বরূপ, একটি মেডিকেল ট্রায়াল এটি প্রতিষ্ঠা করতে চাইতে পারে যে উচ্চ রক্তচাপের চিকিৎসায় কোনো নির্দিষ্ট ওষুধ কার্যকর কি না, যেখানে "ওষুধ গ্রহণকারী রোগীর রক্তচাপের পরিবর্তন" হলো র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল। একটি উদাহরণ হাইপোথিসিস হতে পারে "রক্তচাপের গড় পরিবর্তন শূন্য" অথবা "রক্তচাপের গড় পরিবর্তন ঋণাত্মক"। সাধারণভাবে, একটি পপুলেশন বর্ণনা করে এমন প্যারামিটার সম্পর্কে যেকোনো বিবৃতিই একটি হাইপোথিসিস হতে পারে (তবে নমুনার সম্পর্কে কোনো বিবৃতি নয়)।^[3]

এই টেস্ট দুটি হাইপোথিসিসের তুলনা করে: একটি ডিফল্ট নাল হাইপোথিসিস (H₀ দ্বারা চিহ্নিত) এবং এর বিপরীত, অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস (H₁)।^[4]^[5] এটি সাধারণত রিসার্চ হাইপোথিসিস-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয় কারণ এটি literature review, পূর্ববর্তী গবেষণা ইত্যাদি থেকে তৈরি করা হয়। তবে, রিসার্চ হাইপোথিসিস কখনো কখনো নাল হাইপোথিসিসের সাথেও সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে পারে। নাল হাইপোথিসিস এবং অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস হলো দুটি পরস্পরবিরোধী বিবৃতি।

"পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য পরীক্ষায় যে বিবৃতিটি পরীক্ষা করা হয় তাকে 'নাল হাইপোথিসিস' বলা হয়। তাৎপর্য পরীক্ষাটি নাল হাইপোথিসিসের বিরুদ্ধে প্রমাণের শক্তি যাচাই করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। সাধারণত, নাল হাইপোথিসিস হলো 'কোনো প্রভাব নেই' বা 'কোনো পার্থক্য নেই'-এর একটি বিবৃতি।"^[6]

যদি নমুনা উপাত্ত নাল হাইপোথিসিসের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়, তবে আপনি নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করেন না; যদি নমুনা উপাত্ত নাল হাইপোথিসিসের সাথে অসামঞ্জস্যপূর্ণ হয়, তবে আপনি নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করেন এবং এই সিদ্ধান্তে উপনীত হন যে অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিসটি সত্য।^[7]

সাধারণত টেস্টটি এমন একটি নাল হাইপোথিসিস নির্বাচন করে যে, গবেষণাধীন হস্তক্ষেপটির কোনো প্রভাব নেই, অথবা পপুলেশন প্যারামিটারটি কোনো "স্পষ্ট" মান গ্রহণ করে। প্রদত্ত নমুনা উপাত্ত থেকে একটি টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক গণনা করা হয় এবং পরীক্ষক নাল হাইপোথিসিস সত্য ধরে নিয়ে এই মানের চেয়ে অন্তত চরম কোনো মান পাওয়ার শর্তাধীন সম্ভাবনা গণনা করেন। যদি এই সম্ভাবনা (যাকে p-ভ্যালু বলা হয়) টেস্টের সিগনিফিক্যান্স লেভেল (যা $α$ দ্বারা চিহ্নিত)-এর চেয়ে কম বা সমান হয়, তবে নাল হাইপোথিসিসটি প্রত্যাখ্যান করা হয়। টেস্টটি এই সিদ্ধান্তে পৌঁছায় না যে নাল হাইপোথিসিসটি মিথ্যা, অথবা নাল হাইপোথিসিসটি সত্য হওয়ার সম্ভাবনা $α$ -এর চেয়ে কম।^[8]

যেহেতু নমুনা থেকে পরীক্ষা করা হাইপোথিসিসটি সত্য না মিথ্যা তা নিশ্চিতভাবে প্রতিষ্ঠা করা সাধারণত অসম্ভব, তাই একটি হাইপোথিসিস টেস্টের সিদ্ধান্ত সঠিক হওয়ার নিশ্চয়তা নেই। এখানে দুই ধরনের ত্রুটি হতে পারে:

একটি টাইপ I ত্রুটি, যেখানে নাল হাইপোথিসিস সত্য হওয়া সত্ত্বেও তা প্রত্যাখ্যান করা হয়, যার সম্ভাবনা $α = P (reject H_{0} | H_{0})$ । এটি টেস্টের সিগনিফিক্যান্স লেভেলের সমান।
একটি টাইপ II ত্রুটি, যেখানে অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস সত্য হওয়া সত্ত্বেও নাল হাইপোথিসিস গ্রহণ করা হয়, যার সম্ভাবনা $β = P (accept H_{0} | H_{1})$ । $1 - β$ পরিমাণটিকে টেস্টের পাওয়ার বলা হয়।

কিছু অতিরিক্ত সংজ্ঞা:

সিম্পল হাইপোথিসিস: যেকোনো হাইপোথিসিস যা পপুলেশন ডিস্ট্রিবিউশনকে সম্পূর্ণভাবে নির্দিষ্ট করে।
কম্পোজিট হাইপোথিসিস: যেকোনো হাইপোথিসিস যা পপুলেশন ডিস্ট্রিবিউশনকে সম্পূর্ণভাবে নির্দিষ্ট করে না।
পজিটিভ উপাত্ত: উপাত্ত যা অনুসন্ধানকারীকে নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করতে সক্ষম করে।

একটি পরিসংখ্যানগত টেস্টের ক্রিটিক্যাল ভ্যালু হলো টেস্টের একসেপ্টেন্স রিজিয়নের সীমানা।^[9] একসেপ্টেন্স রিজিয়ন হলো টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকের সেই মানগুলোর সেট যার জন্য নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করা হয় না। একসেপ্টেন্স রিজিয়নের আকৃতির ওপর নির্ভর করে, এক বা একাধিক ক্রিটিক্যাল ভ্যালু থাকতে পারে।
- রিজিয়ন অফ রিজেকশন / ক্রিটিক্যাল রিজিয়ন: টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকের সেই মানগুলোর সেট যার জন্য নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করা হয়।
সাইজ: সিম্পল হাইপোথিসিসের জন্য, এটি নাল হাইপোথিসিসকে ভুলভাবে প্রত্যাখ্যান করার টেস্টের সম্ভাবনা। এটি false positive রেট। কম্পোজিট হাইপোথিসিসের জন্য এটি নাল হাইপোথিসিসের আওতাভুক্ত সমস্ত ক্ষেত্রে নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করার সম্ভাবনার সুপ্রিমাম। ফলস পজিটিভ রেটের পরিপূরককে biostatistics-এ স্পেসিফিসিটি বলা হয়। ("এটি একটি স্পেসিফিক টেস্ট। যেহেতু ফলাফল পজিটিভ, আমরা আত্মবিশ্বাসের সাথে বলতে পারি যে রোগীর এই অবস্থাটি আছে।") বিস্তারিত সংজ্ঞার জন্য sensitivity and specificity এবং type I and type II errors দেখুন।
পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য পরীক্ষা: পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টের একটি পূর্বসূরি (অরিজিনস সেকশন দেখুন)। একটি পরীক্ষামূলক ফলাফলকে পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ বলা হতো যদি কোনো নমুনা (নাল) হাইপোথিসিসের সাথে যথেষ্ট অসামঞ্জস্যপূর্ণ হতো। একে বিভিন্নভাবে সাধারণ জ্ঞান, অর্থপূর্ণ পরীক্ষামূলক ফলাফল শনাক্ত করার জন্য একটি ব্যবহারিক হিউরিস্টিক, পরিসংখ্যানগত প্রমাণের একটি থ্রেশহোল্ড স্থাপনকারী কনভেনশন অথবা উপাত্ত থেকে সিদ্ধান্তে পৌঁছানোর একটি পদ্ধতি হিসেবে বিবেচনা করা হতো। পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্ট অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিসকে স্পষ্ট করার মাধ্যমে এই ধারণায় গাণিতিক কঠোরতা এবং দার্শনিক সামঞ্জস্য যোগ করেছে। এই শব্দটি আধুনিক সংস্করণের জন্য আলগাভাবে ব্যবহৃত হয় যা এখন পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিংয়ের অংশ।
কনজারভেটিভ টেস্ট: একটি টেস্ট কনজারভেটিভ হয় যদি, একটি নির্দিষ্ট নামমাত্র সিগনিফিক্যান্স লেভেলের জন্য তৈরি করার সময়, নাল হাইপোথিসিসকে ভুলভাবে প্রত্যাখ্যান করার প্রকৃত সম্ভাবনা কখনোই নামমাত্র লেভেলের চেয়ে বেশি না হয়।
এক্স্যাক্ট টেস্ট

স্কেলার প্যারামিটারের ক্ষেত্রে, অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিসের চারটি প্রধান ধরন রয়েছে:

পয়েন্ট। পয়েন্ট অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস তখন ঘটে যখন হাইপোথিসিস টেস্ট এমনভাবে সাজানো হয় যে অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিসের অধীনে পপুলেশন ডিস্ট্রিবিউশনটি একটি সম্পূর্ণ সংজ্ঞায়িত ডিস্ট্রিবিউশন, যার কোনো অজানা প্যারামিটার নেই; এই ধরনের হাইপোথিসিস সাধারণত ব্যবহারিক আগ্রহের নয় তবে statistical inference-এর তাত্ত্বিক বিবেচনার জন্য মৌলিক এবং নেইম্যান-পিয়ারসন লেমার ভিত্তি।
ওয়ান-টেইলড ডিরেকশনাল। একটি ওয়ান-টেইলড ডিরেকশনাল অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস স্যাম্পলিং ডিস্ট্রিবিউশনের কেবল একটি টেইলের রিজেকশন রিজিয়ন নিয়ে উদ্বিগ্ন।
টু-টেইলড ডিরেকশনাল। একটি টু-টেইলড ডিরেকশনাল অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস স্যাম্পলিং ডিস্ট্রিবিউশনের উভয় রিজেকশন রিজিয়ন নিয়ে উদ্বিগ্ন।
নন-ডিরেকশনাল। একটি নন-ডিরেকশনাল অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস কোনো রিজেকশন রিজিয়ন নিয়ে উদ্বিগ্ন নয়; বরং, এটি কেবল উদ্বিগ্ন যে নাল হাইপোথিসিসটি সত্য নয়।

একটি পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্ট একটি টেস্ট স্ট্যাটিস্টিককে (উদাহরণস্বরূপ z বা t) একটি থ্রেশহোল্ডের সাথে তুলনা করে। টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকটি (নিচের টেবিলে প্রাপ্ত সূত্র) অপ্টিমালিটির ওপর ভিত্তি করে তৈরি। টাইপ I ত্রুটির হারের একটি নির্দিষ্ট লেভেলের জন্য, এই স্ট্যাটিস্টিকগুলোর ব্যবহার টাইপ II ত্রুটির হারকে সর্বনিম্ন করে (পাওয়ার সর্বোচ্চ করার সমতুল্য)। নিচের শব্দগুলো অপ্টিমালিটির পরিপ্রেক্ষিতে টেস্টগুলোকে বর্ণনা করে:

মোস্ট পাওয়ারফুল টেস্ট: একটি নির্দিষ্ট সাইজ বা সিগনিফিক্যান্স লেভেল-এর জন্য, অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিসে থাকা পরীক্ষাধীন প্যারামিটার(গুলোর) একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য সবচেয়ে বেশি পাওয়ার (প্রত্যাখ্যানের সম্ভাবনা) সম্পন্ন টেস্ট।
ইউনিফর্মলি মোস্ট পাওয়ারফুল টেস্ট (UMP)

হাইপোথিসিসের বেশ কয়েকটি ধরন রয়েছে:

সিম্পল হাইপোথিসিস: যেকোনো হাইপোথিসিস যা পপুলেশন ডিস্ট্রিবিউশনকে সম্পূর্ণভাবে নির্দিষ্ট করে। এই ধরনের হাইপোথিসিসের জন্য যেকোনো স্ট্যাটিস্টিকের স্যাম্পলিং ডিস্ট্রিবিউশন কেবল নমুনার আকারের একটি ফাংশন।
কম্পোজিট হাইপোথিসিস: যেকোনো হাইপোথিসিস যা পপুলেশন ডিস্ট্রিবিউশনকে সম্পূর্ণভাবে নির্দিষ্ট করে না।^[10] উদাহরণ: একটি হাইপোথিসিস যা একটি নির্দিষ্ট গড় এবং অনির্দিষ্ট ভ্যারিয়েন্সসহ একটি নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন নির্দিষ্ট করে।

সিম্পল/কম্পোজিট পার্থক্যটি নেইম্যান এবং পিয়ারসন করেছিলেন।^[11]

এক্স্যাক্ট হাইপোথিসিস: যেকোনো হাইপোথিসিস যা একটি সঠিক প্যারামিটার মান নির্দিষ্ট করে^[12] তাকে এক্স্যাক্ট হাইপোথিসিস বলা হয়, যা পয়েন্ট হাইপোথিসিস নামেও পরিচিত। উদাহরণ: $H : μ = 100$ ।
ইনএক্স্যাক্ট হাইপোথিসিস: যেগুলো একটি প্যারামিটার রেঞ্জ বা ইন্টারভাল নির্দিষ্ট করে। উদাহরণ: $H_{1} : μ \leq 100$ ; $H_{2} : 95 \leq μ \leq 105$ ।

ফিশার পরীক্ষার জন্য একটি এক্স্যাক্ট নাল হাইপোথিসিস প্রয়োজন মনে করতেন (নিচের উদ্ধৃতিগুলো দেখুন)।

ইতিহাস

আরও দেখুন: History of probability নাল এবং অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিসের ইতিহাসের সাথে পরিসংখ্যানগত টেস্টের ইতিহাসের গভীর সম্পর্ক রয়েছে।^[13]^[14] যদিও বিংশ শতাব্দীর শুরুর দিকে হাইপোথিসিস টেস্টিং জনপ্রিয় হয়েছিল, ১৭০০-এর দশকে এর প্রাথমিক রূপ ব্যবহৃত হতো। প্রথম ব্যবহারটি John Arbuthnot (১৭১০)-কে কৃতিত্ব দেওয়া হয়,^[15] এরপর Pierre-Simon Laplace (১৭৭০-এর দশক), জন্মের সময় মানব লিঙ্গ অনুপাত বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে; দেখুন Human sex ratio।

১৭৭৮: Pierre Laplace একাধিক ইউরোপীয় শহরে ছেলে ও মেয়ের জন্মহার তুলনা করেন। তিনি বলেন: "এটি উপসংহারে আসা স্বাভাবিক যে এই সম্ভাবনাগুলো খুব কাছাকাছি একই অনুপাতে রয়েছে"। সুতরাং, এই ক্ষেত্রে নাল হাইপোথিসিস হলো যে "প্রচলিত জ্ঞান" অনুযায়ী ছেলে ও মেয়ের জন্মহার সমান হওয়া উচিত।^[16]

১৯০০: Karl Pearson কাই স্কয়ার টেস্ট তৈরি করেন এটি নির্ধারণ করতে যে "একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি কার্ভের রূপ একটি প্রদত্ত পপুলেশন থেকে নেওয়া নমুনাগুলোকে কার্যকরভাবে বর্ণনা করবে কি না।" সুতরাং নাল হাইপোথিসিস হলো যে একটি পপুলেশন তত্ত্ব দ্বারা পূর্বাভাসিত কোনো ডিস্ট্রিবিউশন দ্বারা বর্ণিত হয়। তিনি উদাহরণ হিসেবে ওয়েলডন ডাইস থ্রো উপাত্তে পাঁচ এবং ছয়ের সংখ্যা ব্যবহার করেন।^[17]

১৯০৪: Karl Pearson "কন্টিনজেন্সি"-এর ধারণা তৈরি করেন এটি নির্ধারণ করতে যে ফলাফলগুলো কোনো নির্দিষ্ট ক্যাটাগরিক্যাল ফ্যাক্টর থেকে স্বাধীন কি না। এখানে নাল হাইপোথিসিস ডিফল্টভাবে হলো যে দুটি জিনিসের মধ্যে কোনো সম্পর্ক নেই (যেমন বসন্ত রোগের কারণে দাগ সৃষ্টি এবং মৃত্যুর হার)।^[18] এই ক্ষেত্রে নাল হাইপোথিসিস আর তত্ত্ব বা প্রচলিত জ্ঞান দ্বারা পূর্বাভাসিত নয়, বরং এটি হলো ইনডিফারেন্সের নীতি যা ফিশার এবং অন্যদের "বিপরীত সম্ভাবনা" (inverse probabilities)-এর ব্যবহার প্রত্যাখ্যান করতে পরিচালিত করেছিল।^[19]

টেস্টিংয়ে অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিসের ধারণাটি Jerzy Neyman এবং Egon Pearson তৈরি করেছিলেন এবং এটি নেইম্যান-পিয়ারসন লেমাতে ব্যবহৃত হয়। এটি আধুনিক পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিংয়ের একটি প্রধান উপাদান গঠন করে। তবে এটি রোনাল্ড ফিশারের পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিংয়ের ফর্মুলেশনের অংশ ছিল না এবং তিনি এর ব্যবহারের বিরোধিতা করেছিলেন।^[20] ফিশারের টেস্টিং পদ্ধতিতে, কেন্দ্রীয় ধারণা হলো নাল হাইপোথিসিস সত্য ধরে নিলে পর্যবেক্ষণ করা ডেটাসেটটি দৈবক্রমে (chance) এসেছে কি না তা মূল্যায়ন করা, তাত্ত্বিকভাবে অন্য কোন মডেল সত্য হতে পারে সে সম্পর্কে পূর্ব ধারণা ছাড়াই। আধুনিক পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিং এই ধরনের টেস্টকে জায়গা দেয় কারণ অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস কেবল নাল হাইপোথিসিসের নেতিবাচক রূপ হতে পারে।

আধুনিক উৎপত্তি এবং প্রাথমিক বিতর্ক

আধুনিক তাৎপর্য পরীক্ষা মূলত Karl Pearson (p-ভ্যালু, পিয়ারসনের কাই-স্কয়ার টেস্ট), William Sealy Gosset (স্টুডেন্টস টি-ডিস্ট্রিবিউশন), এবং Ronald Fisher ("নাল হাইপোথিসিস", অ্যানালাইসিস অফ ভ্যারিয়েন্স, "তাৎপর্য পরীক্ষা")-এর অবদান, যেখানে হাইপোথিসিস টেস্টিং তৈরি করেছিলেন Jerzy Neyman এবং Egon Pearson (কার্লের ছেলে)। রোনাল্ড ফিশার পরিসংখ্যানের জগতে তার জীবন শুরু করেছিলেন একজন বেইজিয়ান হিসেবে (জাবেল ১৯৯২), কিন্তু ফিশার শীঘ্রই এর সাথে জড়িত সাবজেক্টিভিটির (অর্থাৎ প্রায়র প্রোবাবিলিটি নির্ধারণের সময় ইনডিফারেন্সের নীতির ব্যবহার) প্রতি মোহভঙ্গ হন এবং ইনডাকটিভ ইনফারেন্সের জন্য আরও "অবজেক্টিভ" পদ্ধতি প্রদানের চেষ্টা করেন।^[21]

ফিশার কঠোর পরীক্ষামূলক ডিজাইন এবং গাউসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশন ধরে নিয়ে অল্প নমুনা থেকে ফলাফল বের করার পদ্ধতির ওপর জোর দিয়েছিলেন। নেইম্যান (যিনি ছোট পিয়ারসনের সাথে কাজ করেছিলেন) গাণিতিক কঠোরতা এবং অনেক নমুনা ও বিস্তৃত ডিস্ট্রিবিউশন থেকে আরও ফলাফল পাওয়ার পদ্ধতির ওপর জোর দিয়েছিলেন। আধুনিক হাইপোথিসিস টেস্টিং হলো বিংশ শতাব্দীর শুরুতে তৈরি ফিশার বনাম নেইম্যান/পিয়ারসন ফর্মুলেশন, পদ্ধতি এবং পরিভাষার একটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ সংকর।

ফিশার "তাৎপর্য পরীক্ষা" জনপ্রিয় করেছিলেন। তার একটি নাল-হাইপোথিসিস (একটি পপুলেশন ফ্রিকোয়েন্সি ডিস্ট্রিবিউশনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ) এবং একটি নমুনা প্রয়োজন ছিল। তার (এখন পরিচিত) গণনাগুলো নির্ধারণ করত নাল-হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করা হবে কি না। তাৎপর্য পরীক্ষায় অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস ব্যবহৃত হতো না, তাই টাইপ II ত্রুটির (ফলস নেগেটিভ) কোনো ধারণা ছিল না।

p-ভ্যালু একটি অনানুষ্ঠানিক, কিন্তু অবজেক্টিভ সূচক হিসেবে তৈরি করা হয়েছিল যা একজন গবেষককে (অন্যান্য জ্ঞানের ভিত্তিতে) নির্ধারণ করতে সাহায্য করবে যে ভবিষ্যতের পরীক্ষাগুলো পরিবর্তন করা উচিত কি না বা নাল হাইপোথিসিসের ওপর নিজের বিশ্বাস শক্তিশালী করা উচিত কি না।^[22] হাইপোথিসিস টেস্টিং (এবং টাইপ I/II ত্রুটি) নেইম্যান এবং পিয়ারসন ফিশারের p-ভ্যালুর একটি আরও অবজেক্টিভ বিকল্প হিসেবে তৈরি করেছিলেন, যা গবেষকের আচরণ নির্ধারণের জন্যও ছিল, কিন্তু গবেষকের কোনো ইন্ডাকটিভ ইনফারেন্সের প্রয়োজন ছাড়াই।^[11]^[23]

নেইম্যান ও পিয়ারসন ফিশারের চেয়ে ভিন্ন একটি সমস্যা বিবেচনা করেছিলেন (যাকে তারা "হাইপোথিসিস টেস্টিং" বলতেন)। তারা প্রাথমিকভাবে দুটি সিম্পল হাইপোথিসিস বিবেচনা করেছিলেন (উভয়ই ফ্রিকোয়েন্সি ডিস্ট্রিবিউশনসহ)। তারা দুটি সম্ভাবনা গণনা করেছিলেন এবং সাধারণত উচ্চতর সম্ভাবনার সাথে যুক্ত হাইপোথিসিসটি (যে হাইপোথিসিসটি নমুনা তৈরি করার সম্ভাবনা বেশি) নির্বাচন করেছিলেন। তাদের পদ্ধতি সর্বদা একটি হাইপোথিসিস নির্বাচন করত। এটি উভয় ধরনের ত্রুটির সম্ভাবনা গণনার অনুমতিও দিত। ১৯২৮ সাল থেকে শুরু করে এক দশক ধরে প্রকাশিত ধারাবাহিক পেপারে নেইম্যান ও পিয়ারসন পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টকে ফিশারের টেস্টের একটি প্রস্তাবিত উন্নতি হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন। পেপারগুলো পরিসংখ্যানগত টেস্টের জন্য অনেক পরিভাষা প্রদান করেছিল যার মধ্যে রয়েছে অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস এবং H₀ হিসেবে একটি হাইপোথিসিস যা পর্যবেক্ষণমূলক উপাত্ত ব্যবহার করে পরীক্ষা করা হবে (H₁, H₂... বিকল্প হিসেবে)।^[11]

ফিশার এবং নেইম্যান/পিয়ারসন তিক্তভাবে সংঘর্ষে লিপ্ত হয়েছিলেন। নেইম্যান/পিয়ারসন তাদের ফর্মুলেশনকে তাৎপর্য পরীক্ষার একটি উন্নত সাধারণীকরণ হিসেবে বিবেচনা করেছিলেন (সংজ্ঞায়িত পেপারটি^[11] ছিল অ্যাবস্ট্রাক্ট; গণিতবিদরা কয়েক দশক ধরে তত্ত্বটিকে সাধারণীকরণ এবং পরিমার্জন করেছেন^[24])। ফিশার মনে করতেন এটি বৈজ্ঞানিক গবেষণার জন্য প্রযোজ্য নয় কারণ প্রায়শই, পরীক্ষার সময়, অপ্রত্যাশিত ত্রুটির উৎসের কারণে নাল হাইপোথিসিস সম্পর্কে প্রাথমিক অনুমানগুলো প্রশ্নবিদ্ধ হয়ে পড়ে। তিনি বিশ্বাস করতেন যে উপাত্ত সংগ্রহের আগে তৈরি মডেলের ওপর ভিত্তি করে কঠোর প্রত্যাখ্যান/গ্রহণ সিদ্ধান্ত নেওয়া বিজ্ঞানীদের মুখোমুখি হওয়া এই সাধারণ পরিস্থিতির সাথে বেমানান এবং বৈজ্ঞানিক গবেষণায় এই পদ্ধতি প্রয়োগ করার চেষ্টা ব্যাপক বিভ্রান্তির দিকে নিয়ে যাবে।^[25]

ফিশার এবং নেইম্যান-পিয়ারসনের মধ্যে বিরোধটি দার্শনিক ভিত্তিতে পরিচালিত হয়েছিল, যা একজন দার্শনিক পরিসংখ্যানগত অনুমানে মডেলের সঠিক ভূমিকা নিয়ে বিরোধ হিসেবে চিহ্নিত করেছিলেন।^[26]

ফিশার The Design of Experiments বইটির প্রথম সংস্করণ প্রকাশ করেছিলেন, যা নাল হাইপোথিসিস প্রবর্তন করেছিল^[27] (সংজ্ঞা দ্বারা নয় বরং উদাহরণ দ্বারা) এবং পরীক্ষামূলক ফলাফলের ব্যাখ্যার প্রেক্ষাপটে তাৎপর্য পরীক্ষার যৌক্তিকতা সতর্কতার সাথে ব্যাখ্যা করেছিল।

নেইম্যান ১৯৩৮ সালে University of California, Berkeley-তে একটি পদ গ্রহণ করেন, পিয়ারসনের সাথে তার অংশীদারিত্ব ভেঙে দেন এবং বিরোধীদের (যারা আগে একই ভবনে থাকতেন) আলাদা করেন। ফিশার এবং নেইম্যানের মধ্যে বিরোধ (২৭ বছর পর অমীমাংসিত) ফিশারের মৃত্যুর সাথে শেষ হয় ১৯৬২ সালে। নেইম্যান একটি সুপরিচিত শোকবার্তা লিখেছিলেন।^[28] নেইম্যানের পরবর্তী কিছু প্রকাশনায় p-ভ্যালু এবং সিগনিফিক্যান্স লেভেলের উল্লেখ ছিল।^[29]

আজকের বিষয়টি নেইম্যান ও পিয়ারসনের অনেক পরিভাষা এবং ব্যাখ্যামূলক শক্তির সাথে ফিশারের দেওয়া বৈজ্ঞানিক দর্শন এবং গণনাকে একত্রিত করে। পরিসংখ্যানগত টেস্টিং সঠিকভাবে একটি বিষয় নাকি দুটি তা মতবিরোধের উৎস হিসেবে রয়ে গেছে।^[30] দুটি নমুনা: একটি পাঠ্য বিষয়টিকে হাইপোথিসিস টেস্টিং হিসেবে উল্লেখ করে (সূচকে তাৎপর্য পরীক্ষার কোনো উল্লেখ নেই) যেখানে অন্যটি তাৎপর্য পরীক্ষা (সিদ্ধান্ত হিসেবে অনুমানের ওপর একটি সেকশনসহ)। ফিশার গবেষকদের তাদের প্রমাণের ওজন পরিমাপ করার জন্য একটি নমনীয় হাতিয়ার হিসেবে তাৎপর্য পরীক্ষা তৈরি করেছিলেন। পরিবর্তে টেস্টিং প্রাতিষ্ঠানিক হয়ে উঠেছে। পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য অনেক বৈজ্ঞানিক জার্নালে পরীক্ষামূলক ফলাফল প্রকাশের জন্য একটি কঠোরভাবে সংজ্ঞায়িত এবং প্রয়োগকৃত মানদণ্ড হয়ে উঠেছে। কিছু ক্ষেত্রে তাৎপর্য পরীক্ষা পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণের প্রভাবশালী এবং প্রায় একচেটিয়া রূপ হয়ে উঠেছে। ফলস্বরূপ টেস্টগুলোর সীমাবদ্ধতাগুলো ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে। বইগুলো তাৎপর্য পরীক্ষার সংগৃহীত সমালোচনায় পূর্ণ হয়েছে।.

নাল হাইপোথিসিস সিগনিফিক্যান্স টেস্টিং (NHST)

হাইপোথিসিস টেস্টিংয়ের আধুনিক সংস্করণকে সাধারণত নাল হাইপোথিসিস সিগনিফিক্যান্স টেস্টিং (NHST) বলা হয়^[31] এবং এটি ফিশার পদ্ধতির সাথে নেইম্যান-পিয়ারসন পদ্ধতির একটি সংকর। ২০০০ সালে, Raymond S. Nickerson একটি নিবন্ধ লিখেছিলেন যে NHST ছিল (সেই সময়ে) "মনস্তাত্ত্বিক পরীক্ষায় সংগৃহীত উপাত্ত বিশ্লেষণের সম্ভবত সবচেয়ে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত পদ্ধতি এবং প্রায় ৭০ বছর ধরে তা ছিল" এবং এটি একই সময়ে "খুব বিতর্কিত" ছিল।^[31]

এই সংমিশ্রণটি ১৯৪০-এর দশক থেকে পরিসংখ্যান পাঠ্যপুস্তকের লেখকদের বিভ্রান্তির ফলে হয়েছিল^[32] (তবে সিগন্যাল ডিটেকশন, উদাহরণস্বরূপ, এখনও নেইম্যান/পিয়ারসন ফর্মুলেশন ব্যবহার করে)। উপরে উল্লিখিতগুলোর পাশাপাশি অনেক ধারণাগত পার্থক্য এবং অনেক সতর্কতা উপেক্ষা করা হয়েছিল। নেইম্যান এবং পিয়ারসন শক্তিশালী পরিভাষা, আরও কঠোর গণিত এবং আরও সামঞ্জস্যপূর্ণ দর্শন প্রদান করেছিলেন, কিন্তু আজ প্রাথমিক পরিসংখ্যানে যে বিষয়টি শেখানো হয় তার সাথে তাদের চেয়ে ফিশারের পদ্ধতির মিল বেশি।^[13]

১৯৪০ সালের দিকে,^[32] পরিসংখ্যান পাঠ্যপুস্তকের লেখকরা নেইম্যান-পিয়ারসন "সিগনিফিক্যান্স লেভেল"-এর বিরুদ্ধে পরীক্ষা করার জন্য টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক (বা উপাত্ত)-এর পরিবর্তে p-ভ্যালু ব্যবহার করে দুটি পদ্ধতিকে একত্রিত করতে শুরু করেন।

ফিশারিয়ান এবং ফ্রিকোয়েন্টিস্ট (নেইম্যান-পিয়ারসন) পদ্ধতির মধ্যে তুলনা
#	ফিশারের নাল হাইপোথিসিস টেস্টিং	নেইম্যান-পিয়ারসন সিদ্ধান্ত তত্ত্ব
১	একটি পরিসংখ্যানগত নাল হাইপোথিসিস নির্ধারণ করুন। নাল হাইপোথিসিসটি যে সবসময় 'নিল' হাইপোথিসিস (অর্থাৎ শূন্য পার্থক্য) হতে হবে এমন কোনো কথা নেই।	দুটি পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস, H1 এবং H2 নির্ধারণ করুন এবং পরীক্ষার আগে বিষয়গত খরচ-সুবিধার বিবেচনার ভিত্তিতে α, β এবং নমুনার আকার (sample size) সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নিন। এগুলো প্রতিটি হাইপোথিসিসের জন্য একটি বর্জন অঞ্চল (rejection region) সংজ্ঞায়িত করে।
২	তাৎপর্যের সঠিক মাত্রা উল্লেখ করুন (যেমন p = 0.051 বা p = 0.049)। হাইপোথিসিস "গ্রহণ" বা "বর্জন" করার কথা উল্লেখ করবেন না। যদি ফলাফল "তাৎপর্যপূর্ণ নয়" হয়, তবে কোনো সিদ্ধান্তে পৌঁছাবেন না এবং কোনো সিদ্ধান্ত নেবেন না, বরং আরও তথ্য না পাওয়া পর্যন্ত বিচার স্থগিত রাখুন।	যদি ডেটা H1-এর বর্জন অঞ্চলে পড়ে, তবে H2 গ্রহণ করুন; অন্যথায় H1 গ্রহণ করুন। একটি হাইপোথিসিস গ্রহণ করার অর্থ এই নয় যে আপনি এটি বিশ্বাস করেন, বরং এর অর্থ হলো আপনি এমনভাবে কাজ করছেন যেন এটি সত্য।
৩	এই পদ্ধতিটি কেবল তখনই ব্যবহার করুন যখন হাতে থাকা সমস্যাটি সম্পর্কে খুব কম জানা থাকে এবং পরীক্ষামূলক পরিস্থিতি বোঝার প্রচেষ্টার প্রেক্ষাপটে কেবল অস্থায়ী সিদ্ধান্তে পৌঁছানোর জন্য এটি ব্যবহার করুন।	এই পদ্ধতির উপযোগিতা অন্যান্য পরিস্থিতির পাশাপাশি এমন ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ যেখানে আপনার হাইপোথিসিসের একটি বিভাজন (disjunction) রয়েছে (যেমন μ1 = 8 অথবা μ2 = 10 সত্য) এবং যেখানে আপনি আলফা ও বিটা নির্বাচনের জন্য অর্থপূর্ণ খরচ-সুবিধার ভারসাম্য তৈরি করতে পারেন।

নাল হাইপোথিসিসের প্রযুক্তিগত বিবরণ

নাল হাইপোথিসিস হলো একটি ডিফল্ট হাইপোথিসিস, যা ধরে নেয় যে পরিমাপযোগ্য কোনো রাশির মান শূন্য (নাল)। সাধারণত, পরিমাপযোগ্য রাশিটি হলো দুটি পরিস্থিতির মধ্যে পার্থক্য। উদাহরণস্বরূপ, কোনো প্রভাব ঘটেছে কিনা বা নমুনাগুলো ভিন্ন ভিন্ন ব্যাচ থেকে এসেছে কিনা, তার ইতিবাচক প্রমাণ আছে কিনা তা নির্ধারণ করার চেষ্টা করা।^[33]^[34]

সাধারণত ধরে নেওয়া হয় যে নাল হাইপোথিসিসটি সম্ভাব্য সত্য। হাইপোথিসিসটি কীভাবে বর্জন বা বাদ দেওয়া উচিত তা দেখানোর জন্য একাধিক বিশ্লেষণ করা যেতে পারে, যেমন একটি উচ্চ কনফিডেন্স লেভেল বা আত্মবিশ্বাসের মাত্রা থাকা, যা পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ পার্থক্য প্রদর্শন করে। এটি দেখানোর মাধ্যমে প্রমাণিত হয় যে শূন্য মানটি পরিমাপের নির্দিষ্ট কনফিডেন্স ইন্টারভ্যালের বাইরে অবস্থিত, যা সাধারণত বাস্তব সংখ্যার (real numbers) মধ্যে থাকে।^[34] নাল হাইপোথিসিসকে (যেকোনো কনফিডেন্স লেভেলে) বাদ দিতে ব্যর্থ হওয়া মানেই যৌক্তিকভাবে নাল হাইপোথিসিসকে (যা প্রমাণ করা অসম্ভব) নিশ্চিত বা সমর্থন করা নয়। (যখন এটি প্রমাণিত হয় *না* যে কোনো কিছু 'x'-এর চেয়ে বড়, তখন এর অর্থ এই নয় যে এটি অবশ্যই 'x'-এর চেয়ে ছোট বা সমান; এটি নিম্নমানের পরিমাপ বা কম নির্ভুলতার কারণেও হতে পারে। নাল হাইপোথিসিসকে দ্বিমুখী হিসেবে নিশ্চিত করার অর্থ হলো এটি ০-এর চেয়ে বড় বা সমান এবং একই সাথে ০-এর চেয়ে ছোট বা সমান—এটি প্রমাণ করা, যার জন্য অসীম নির্ভুলতা এবং ঠিক শূন্য প্রভাব প্রয়োজন, যার কোনোটিই সাধারণত বাস্তবসম্মত নয়। এছাড়া, পরিমাপ কখনোই ঠিক শূন্য পার্থক্যের অ-শূন্য সম্ভাবনা নির্দেশ করে না।) সুতরাং, নাল হাইপোথিসিস বাদ দিতে ব্যর্থ হওয়া মানে নির্দিষ্ট কনফিডেন্স লেভেলে একটি "জানি না" অবস্থা; এটি তাৎক্ষণিকভাবে নাল হাইপোথিসিসকে নির্দেশ করে না, কারণ ডেটা ইতিমধ্যে অ-শূন্যের জন্য একটি (কম শক্তিশালী) ইঙ্গিত দেখাতে পারে। ব্যবহৃত কনফিডেন্স লেভেলটি বাদ দিতে ব্যর্থ হওয়ার ক্ষেত্রে নাল হাইপোথিসিসের সম্ভাবনার সাথে কোনোভাবেই সম্পর্কিত নয়; প্রকৃতপক্ষে, এই ক্ষেত্রে একটি উচ্চ কনফিডেন্স লেভেল সম্ভাব্য পরিসরকে *প্রসারিত* করে।

একজন লেখকের ওপর নির্ভর করে একটি অ-নাল (non-null) হাইপোথিসিসের নিম্নলিখিত অর্থ হতে পারে: ক) শূন্য ব্যতীত অন্য কোনো মান ব্যবহার করা, খ) শূন্য ব্যতীত অন্য কোনো মার্জিন ব্যবহার করা এবং গ) "বিকল্প" (alternative) হাইপোথিসিস।^[35]^[36]

নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষা করা (বাদ দেওয়া বা বাদ দিতে ব্যর্থ হওয়া) এমন প্রমাণ প্রদান করে যে দুটি ঘটনার মধ্যে সম্পর্ক আছে (বা নেই) তা বিশ্বাস করার মতো পরিসংখ্যানগতভাবে পর্যাপ্ত ভিত্তি রয়েছে (যেমন, একটি সম্ভাব্য চিকিৎসার কোনো অ-শূন্য প্রভাব আছে কিনা)। আধুনিক বিজ্ঞানের অনুশীলনে পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিং-এর একটি কেন্দ্রীয় কাজ হলো নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষা করা। একটি নির্দিষ্ট কনফিডেন্স লেভেলে নাল হাইপোথিসিস বাদ দেওয়া বা না দেওয়ার জন্য সুনির্দিষ্ট মানদণ্ড রয়েছে। কনফিডেন্স লেভেলটি নির্দেশ করা উচিত যে আরও অনেক এবং উন্নত ডেটা একই দিকে নাল হাইপোথিসিসকে বাদ দিতে সক্ষম হবে কিনা।^[34]

পরিসংখ্যানগত অনুমানের দুটি পদ্ধতিতে নাল হাইপোথিসিসের ধারণাটি ভিন্নভাবে ব্যবহৃত হয়। রোনাল্ড ফিশার-এর তাৎপর্য পরীক্ষা পদ্ধতিতে, যদি পর্যবেক্ষণ করা ডেটা নাল হাইপোথিসিস সত্য হলে ঘটার সম্ভাবনা পরিসংখ্যানগতভাবে অত্যন্ত কম হয়, তবে নাল হাইপোথিসিস বর্জন করা হয়। এই ক্ষেত্রে, নাল হাইপোথিসিস বর্জন করা হয় এবং এর পরিবর্তে একটি বিকল্প হাইপোথিসিস গ্রহণ করা হয়। যদি ডেটা নাল হাইপোথিসিসের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয় এবং পরিসংখ্যানগতভাবে সত্য হওয়ার সম্ভাবনা থাকে, তবে নাল হাইপোথিসিস বর্জন করা হয় না। কোনো ক্ষেত্রেই নাল হাইপোথিসিস বা এর বিকল্প প্রমাণিত হয় না; আরও ভালো বা বেশি ডেটা থাকলে নাল হাইপোথিসিস তখনও বর্জন করা যেতে পারে। এটি নির্দোষিতার অনুমান (presumption of innocence)-এর আইনি নীতির অনুরূপ, যেখানে একজন সন্দেহভাজন বা বিবাদীকে নির্দোষ বলে ধরে নেওয়া হয় (নাল বর্জন করা হয় না) যতক্ষণ না যুক্তিসঙ্গত সন্দেহের ঊর্ধ্বে (পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ মাত্রায়) দোষী প্রমাণিত হয় (নাল বর্জন করা হয়)।^[34]

জের্জি নেইম্যান এবং এগন পিয়ারসন-এর হাইপোথিসিস টেস্টিং পদ্ধতিতে, একটি নাল হাইপোথিসিসকে একটি বিকল্প হাইপোথিসিস-এর বিপরীতে রাখা হয় এবং ডেটার ভিত্তিতে নির্দিষ্ট ত্রুটির হারের সাথে দুটি হাইপোথিসিসের পার্থক্য করা হয়। এটি গবেষণায় উত্তর প্রণয়নের ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।

পরিসংখ্যানগত অনুমান নাল হাইপোথিসিস ছাড়াও করা যেতে পারে, প্রতিটি সম্ভাব্য হাইপোথিসিসের সাথে একটি পরিসংখ্যানগত মডেল নির্দিষ্ট করে এবং সবচেয়ে উপযুক্ত মডেল বেছে নেওয়ার জন্য মডেল সিলেকশন কৌশল ব্যবহার করে।^[37] (সবচেয়ে সাধারণ সিলেকশন কৌশলগুলো আকেইক ইনফরমেশন ক্রাইটেরিয়ন বা বেস ফ্যাক্টর-এর ওপর ভিত্তি করে তৈরি)।

দর্শন

পল মিহল যুক্তি দিয়েছেন যে নাল হাইপোথিসিস নির্বাচনের জ্ঞানতাত্ত্বিক গুরুত্ব অনেকাংশেই স্বীকৃত হয়নি। যখন তত্ত্ব দ্বারা নাল হাইপোথিসিস পূর্বাভাসিত হয়, তখন একটি আরও সুনির্দিষ্ট পরীক্ষা অন্তর্নিহিত তত্ত্বের একটি কঠোর পরীক্ষা হবে। যখন নাল হাইপোথিসিস "কোনো পার্থক্য নেই" বা "কোনো প্রভাব নেই" হিসেবে ডিফল্ট থাকে, তখন একটি আরও সুনির্দিষ্ট পরীক্ষা সেই তত্ত্বের জন্য কম কঠোর পরীক্ষা হয় যা পরীক্ষাটি করার জন্য অনুপ্রাণিত করেছিল।^[38]

ফিশার এবং নেইম্যান সম্ভাবনার বিষয়গততার বিরোধিতা করেছিলেন। তাদের দৃষ্টিভঙ্গি বস্তুনিষ্ঠ সংজ্ঞায় অবদান রেখেছিল। তাদের ঐতিহাসিক মতবিরোধের মূল ছিল দার্শনিক।

হাইপোথিসিস টেস্টিংয়ের অনেক দার্শনিক সমালোচনা পরিসংখ্যানবিদরা অন্যান্য প্রেক্ষাপটে আলোচনা করেছেন, বিশেষ করে সহসম্পর্ক কার্যকারণ বোঝায় না (correlation does not imply causation) এবং পরীক্ষার নকশা (design of experiments) নিয়ে। হাইপোথিসিস টেস্টিং দার্শনিকদের কাছে ক্রমাগত আগ্রহের বিষয়।^[26]^[39]

শিক্ষা

মূল নিবন্ধ: পরিসংখ্যান শিক্ষা

স্কুলগুলোতে ক্রমবর্ধমানভাবে পরিসংখ্যান শেখানো হচ্ছে এবং হাইপোথিসিস টেস্টিং হলো শেখানো উপাদানগুলোর মধ্যে একটি।^[40]^[41] জনপ্রিয় সংবাদমাধ্যমে (রাজনৈতিক জনমত জরিপ থেকে শুরু করে চিকিৎসা সংক্রান্ত গবেষণা পর্যন্ত) রিপোর্ট করা অনেক সিদ্ধান্ত পরিসংখ্যানের ওপর ভিত্তি করে তৈরি। কিছু লেখক উল্লেখ করেছেন যে এই ধরনের পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণ বিশাল ডেটা সংক্রান্ত সমস্যাগুলো সম্পর্কে স্পষ্টভাবে চিন্তা করার সুযোগ দেয়, পাশাপাশি উক্ত ডেটা থেকে প্রবণতা এবং অনুমানের কার্যকর রিপোর্টিং করতে সাহায্য করে। তবে তারা সতর্ক করেছেন যে ব্যাপক জনসাধারণের জন্য লেখকদের এই ক্ষেত্রটি সম্পর্কে দৃঢ় ধারণা থাকা উচিত যাতে তারা শব্দ এবং ধারণাগুলো সঠিকভাবে ব্যবহার করতে পারেন।^[42]^[43] একটি প্রাথমিক কলেজ পরিসংখ্যান ক্লাসে হাইপোথিসিস টেস্টিংয়ের ওপর অনেক জোর দেওয়া হয় – সম্ভবত কোর্সের অর্ধেক। সাহিত্য এবং ধর্মতত্ত্বের মতো ক্ষেত্রগুলোতেও এখন পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণের ওপর ভিত্তি করে প্রাপ্ত ফলাফল অন্তর্ভুক্ত করা হয় (দেখুন বাইবেল অ্যানালাইজার)। একটি প্রাথমিক পরিসংখ্যান ক্লাস হাইপোথিসিস টেস্টিংকে একটি কুকবুক প্রক্রিয়ার মতো শেখায়। স্নাতকোত্তর পর্যায়েও হাইপোথিসিস টেস্টিং শেখানো হয়। পরিসংখ্যানবিদরা ভালো পরিসংখ্যানগত পরীক্ষার পদ্ধতি (যেমন z, স্টুডেন্ট'স t, F এবং কাই-স্কয়ার) তৈরি করতে শেখেন। পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিং পরিসংখ্যানের মধ্যে একটি পরিপক্ক ক্ষেত্র হিসেবে বিবেচিত হয়,^[44] তবে সীমিত পরিমাণে উন্নয়ন অব্যাহত রয়েছে।

একটি একাডেমিক গবেষণায় বলা হয়েছে যে প্রাথমিক পরিসংখ্যান শেখানোর কুকবুক পদ্ধতি ইতিহাস, দর্শন বা বিতর্কের জন্য কোনো সময় রাখে না। হাইপোথিসিস টেস্টিং একটি গৃহীত সমন্বিত পদ্ধতি হিসেবে শেখানো হয়েছে। জরিপগুলো দেখিয়েছে যে ক্লাসের স্নাতকরা দার্শনিক ভুল ধারণায় (পরিসংখ্যানগত অনুমানের সমস্ত দিক সম্পর্কে) পূর্ণ ছিল যা প্রশিক্ষকদের মধ্যেও বজায় ছিল।^[45] যদিও এক দশকেরও বেশি আগে এই সমস্যাটি সমাধান করা হয়েছিল,^[46] এবং শিক্ষাগত সংস্কারের আহ্বান অব্যাহত রয়েছে,^[47] শিক্ষার্থীরা এখনও হাইপোথিসিস টেস্টিং সম্পর্কে মৌলিক ভুল ধারণা নিয়ে পরিসংখ্যান ক্লাস থেকে স্নাতক হয়।^[48] হাইপোথিসিস টেস্টিং শেখানোর উন্নতির জন্য ধারণাগুলোর মধ্যে রয়েছে শিক্ষার্থীদের প্রকাশিত গবেষণাপত্রে পরিসংখ্যানগত ত্রুটি খুঁজতে উৎসাহিত করা, পরিসংখ্যানের ইতিহাস শেখানো এবং একটি সাধারণত শুষ্ক বিষয়ে বিতর্কের ওপর জোর দেওয়া।^[49]

রেমন্ড এস. নিকেসন মন্তব্য করেছেন: NHST (নাল হাইপোথিসিস সিগনিফিক্যান্স টেস্টিং) নিয়ে বিতর্কের শিকড় রয়েছে অনুমানমূলক পরিসংখ্যানের তত্ত্বগুলোর বিকাশে প্রধান অবদানকারীদের মধ্যে অমীমাংসিত মতবিরোধে, যার ওপর আধুনিক পদ্ধতিগুলো ভিত্তি করে তৈরি। গিগেরেনজার প্রমুখ (১৯৮৯) আর. এ. ফিশার এবং একদিকে জের্জি নেইম্যান ও এগন পিয়ারসনের মধ্যে বিতর্ক, সেইসাথে এই উভয় দৃষ্টিভঙ্গি এবং থমাস বেসের অনুসারীদের মধ্যে মতবিরোধগুলো বিস্তারিতভাবে পর্যালোচনা করেছেন। তারা একটি উল্লেখযোগ্য সত্য উল্লেখ করেছেন যে, NHST-এর সম্ভাব্য ব্যবহারকারীদের শেখানোর জন্য ব্যবহৃত বেশিরভাগ পাঠ্যপুস্তকে ঐতিহাসিক এবং চলমান বিতর্কের খুব কম ইঙ্গিতই পাওয়া যায়। সঠিক ঐতিহাসিক দৃষ্টিভঙ্গির অভাব এবং পরিসংখ্যানগত অনুমানের বিভিন্ন পদ্ধতির জটিল ও কখনও কখনও বিতর্কিত দার্শনিক ভিত্তি সম্পর্কে বোঝার অভাব পরিসংখ্যানগত পরীক্ষাগুলোর অপব্যবহার এবং ভুল ব্যাখ্যার সহজতাকে ব্যাখ্যা করতে অনেক দূর এগিয়ে যেতে পারে।^[31]

নীতি

হাইপোথিসিস টেস্টিংয়ের জন্য একটি পরিসংখ্যানগত মডেল তৈরি করা প্রয়োজন যে ডেটা কেমন দেখাবে যদি ফলাফলগুলোর জন্য কেবল সুযোগ বা দৈব প্রক্রিয়া দায়ী থাকে। যে হাইপোথিসিসটি ধরে নেয় যে কেবল সুযোগই ফলাফলগুলোর জন্য দায়ী, তাকে বলা হয় নাল হাইপোথিসিস। দৈব প্রক্রিয়ার ফলাফলের মডেলটিকে বলা হয় নাল হাইপোথিসিসের অধীনে ডিস্ট্রিবিউশন। প্রাপ্ত ফলাফলগুলো নাল হাইপোথিসিসের অধীনে ডিস্ট্রিবিউশনের সাথে তুলনা করা হয় এবং এর মাধ্যমে প্রাপ্ত ফলাফলগুলো পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করা হয়।^[50]

হাইপোথিসিস টেস্টিং কাজ করে ডেটা সংগ্রহ করে এবং পরিমাপ করে যে ডেটার নির্দিষ্ট সেটটি কতটা সম্ভাব্য (ধরে নেওয়া যে নাল হাইপোথিসিস সত্য), যখন গবেষণাটি দৈবভাবে নির্বাচিত একটি প্রতিনিধিত্বমূলক নমুনার ওপর করা হয়। নাল হাইপোথিসিস ধরে নেয় যে যে জনসংখ্যা থেকে নমুনা নির্বাচন করা হয়েছে, তার চলকগুলোর মধ্যে কোনো সম্পর্ক নেই।^[51]

যদি দৈবভাবে নির্বাচিত একটি প্রতিনিধিত্বমূলক নমুনার ডেটা-সেট নাল হাইপোথিসিসের সাপেক্ষে অত্যন্ত অসম্ভাব্য হয় (যা ডেটার এমন একটি শ্রেণির অংশ হিসেবে সংজ্ঞায়িত যা খুব কমই দেখা যায়), তবে পরীক্ষক নাল হাইপোথিসিস বর্জন করেন, এই উপসংহারে পৌঁছান যে এটি (সম্ভবত) মিথ্যা। এই ডেটা-সেটগুলোর শ্রেণি সাধারণত একটি টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক-এর মাধ্যমে নির্দিষ্ট করা হয়, যা নাল হাইপোথিসিস থেকে আপাত বিচ্যুতি পরিমাপ করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। পদ্ধতিটি কাজ করে এটি মূল্যায়ন করার মাধ্যমে যে, টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক দ্বারা পরিমাপ করা পর্যবেক্ষণকৃত বিচ্যুতিটি সংজ্ঞায়িত মানের চেয়ে বড় বা সমান কিনা, যাতে নাল হাইপোথিসিসের অধীনে অন্ততপক্ষে চরম মানের ঘটার সম্ভাবনা কম থাকে (সাধারণত অনুরূপ ডেটা-সেটগুলোর ৫% বা ১%-এর কম ক্ষেত্রে যেখানে নাল হাইপোথিসিস সত্য)।

যদি ডেটা নাল হাইপোথিসিসের সাথে সাংঘর্ষিক না হয়, তবে কেবল একটি দুর্বল উপসংহার টানা যেতে পারে: অর্থাৎ, পর্যবেক্ষণকৃত ডেটা-সেট নাল হাইপোথিসিসের বিরুদ্ধে অপর্যাপ্ত প্রমাণ প্রদান করে। এই ক্ষেত্রে, যেহেতু নাল হাইপোথিসিস সত্য বা মিথ্যা হতে পারে, কিছু প্রেক্ষাপটে এর অর্থ এই দাঁড়ায় যে ডেটা কোনো উপসংহারে পৌঁছানোর জন্য অপর্যাপ্ত প্রমাণ দেয়, আবার অন্য প্রেক্ষাপটে এর অর্থ এই দাঁড়ায় যে বর্তমানে কার্যকর একটি ব্যবস্থা থেকে অন্য ব্যবস্থায় পরিবর্তন সমর্থন করার জন্য পর্যাপ্ত প্রমাণ নেই। তবুও, যদি এই পর্যায়ে প্রভাবটি সম্ভাব্য এবং/অথবা যথেষ্ট বড় বলে মনে হয়, তবে আরও বড় নমুনা চালানোর মতো আরও তদন্ত করার একটি প্রণোদনা থাকতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট ওষুধ হার্ট অ্যাটাকের ঝুঁকি কমাতে পারে। সম্ভাব্য নাল হাইপোথিসিসগুলো হলো "এই ওষুধটি হার্ট অ্যাটাকের ঝুঁকি কমায় না" বা "এই ওষুধটির হার্ট অ্যাটাকের ঝুঁকির ওপর কোনো প্রভাব নেই"। হাইপোথিসিসের পরীক্ষাটি একটি নিয়ন্ত্রিত পরীক্ষা হিসেবে অধ্যয়ন দলের অর্ধেক মানুষকে ওষুধটি দেওয়ার মাধ্যমে গঠিত। যদি ডেটা ওষুধ গ্রহণকারী ব্যক্তিদের মধ্যে পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ পরিবর্তন দেখায়, তবে নাল হাইপোথিসিস বর্জন করা হয়।

নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষার লক্ষ্য

এক, দুই বা ততোধিক নমুনার জন্য, গড়, ভ্যারিয়েন্স এবং অনুপাতের জন্য, জোড় বা বিজোড় ডেটার জন্য, বিভিন্ন ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য, বড় এবং ছোট নমুনার জন্য অনেক ধরনের তাৎপর্য পরীক্ষা রয়েছে; সবগুলোরই নাল হাইপোথিসিস থাকে। তাৎপর্য পরীক্ষার জন্য নাল হাইপোথিসিসের অন্তত চারটি লক্ষ্যও রয়েছে:^[52]

প্রযুক্তিগত নাল হাইপোথিসিসগুলো পরিসংখ্যানগত অনুমান যাচাই করতে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, ডেটা এবং একটি পরিসংখ্যানগত মডেলের মধ্যে রেসিডিউয়ালগুলোকে দৈব নয়েজ থেকে আলাদা করা যায় না। যদি সত্য হয়, তবে মডেলটিকে জটিল করার কোনো যৌক্তিকতা নেই।
বৈজ্ঞানিক নাল অনুমানগুলো সরাসরি একটি তত্ত্বকে এগিয়ে নিতে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, মহাবিশ্বের কৌণিক ভরবেগ শূন্য। যদি সত্য না হয়, তবে আদি মহাবিশ্বের তত্ত্বটি সংশোধন করার প্রয়োজন হতে পারে।
সমজাতীয়তা-র নাল হাইপোথিসিসগুলো যাচাই করতে ব্যবহৃত হয় যে একাধিক পরীক্ষা সামঞ্জস্যপূর্ণ ফলাফল তৈরি করছে কিনা। উদাহরণস্বরূপ, বয়স্কদের ওপর ওষুধের প্রভাব সাধারণ প্রাপ্তবয়স্ক জনসংখ্যার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। যদি সত্য হয়, তবে এটি সাধারণ কার্যকারিতার উপসংহারকে শক্তিশালী করে এবং ব্যবহারের জন্য সুপারিশগুলোকে সহজ করে।
নাল হাইপোথিসিস যা দুটি বা ততোধিক বিকল্প চিকিৎসার প্রভাবের সমতা দাবি করে, উদাহরণস্বরূপ, একটি ওষুধ এবং একটি প্লাসিবো, পরিসংখ্যানগত নয়েজের ওপর ভিত্তি করে বৈজ্ঞানিক দাবিগুলো কমাতে ব্যবহৃত হয়। এটি সবচেয়ে জনপ্রিয় নাল হাইপোথিসিস; এটি এতই জনপ্রিয় যে তাৎপর্য পরীক্ষা সম্পর্কে অনেক বিবৃতি এই ধরনের নাল হাইপোথিসিস ধরে নেয়।

নাল হাইপোথিসিস বর্জন করা তাৎপর্য পরীক্ষকের আসল লক্ষ্য *অবশ্যই নয়*। একটি পর্যাপ্ত পরিসংখ্যানগত মডেল নাল হাইপোথিসিস বর্জন করতে ব্যর্থতার সাথে যুক্ত হতে পারে; মডেলটি ততক্ষণ পর্যন্ত সমন্বয় করা হয় যতক্ষণ না নাল হাইপোথিসিস বর্জন করা হয়। তাৎপর্য পরীক্ষার অসংখ্য ব্যবহার ফিশারের কাছে সুপরিচিত ছিল, যিনি নাল হাইপোথিসিস সংজ্ঞায়িত করার এক দশক আগে লেখা তার বইয়ে অনেকগুলো আলোচনা করেছিলেন।^[53]

একটি পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য পরীক্ষা একটি কনফিডেন্স ইন্টারভ্যাল-এর সাথে অনেক গণিত ভাগ করে নেয়। তারা পারস্পরিকভাবে আলোকিত। একটি ফলাফল প্রায়শই তাৎপর্যপূর্ণ হয় যখন সম্পর্কের চিহ্নের ওপর আস্থা থাকে (ইন্টারভ্যালে ০ অন্তর্ভুক্ত থাকে না)। যখনই সম্পর্কের চিহ্ন গুরুত্বপূর্ণ হয়, পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য একটি যোগ্য লক্ষ্য। এটি তাৎপর্য পরীক্ষার দুর্বলতাগুলোও প্রকাশ করে: সম্পর্কের শক্তির একটি ভালো অনুমান ছাড়াই একটি ফলাফল তাৎপর্যপূর্ণ হতে পারে; তাৎপর্য একটি বিনম্র লক্ষ্য হতে পারে। পর্যাপ্ত ডেটা থাকলে একটি দুর্বল সম্পর্কও তাৎপর্য অর্জন করতে পারে। তাৎপর্য এবং কনফিডেন্স ইন্টারভ্যাল উভয়ই রিপোর্ট করার পরামর্শ দেওয়া হয়।

তাৎপর্য পরীক্ষার বৈচিত্র্যময় ব্যবহার সব অ্যাপ্লিকেশনের জন্য করা যেতে পারে এমন সাধারণীকরণের সংখ্যা হ্রাস করে।

নাল হাইপোথিসিস নির্বাচন

নাল হাইপোথিসিস নির্বাচন বিরল এবং অসামঞ্জস্যপূর্ণ পরামর্শের সাথে যুক্ত। ফিশার নির্বাচনের ওপর কয়েকটি সীমাবদ্ধতার কথা উল্লেখ করেছিলেন এবং বলেছিলেন যে অনেক নাল হাইপোথিসিস বিবেচনা করা উচিত এবং প্রতিটির জন্য অনেক পরীক্ষা সম্ভব। অ্যাপ্লিকেশনের বৈচিত্র্য এবং লক্ষ্যের ভিন্নতা পরামর্শ দেয় যে নির্বাচনটি জটিল হতে পারে। অনেক অ্যাপ্লিকেশনে পরীক্ষার গঠন ঐতিহ্যগত। উপলব্ধ পরীক্ষার পরিসরের সাথে পরিচিতি একটি নির্দিষ্ট নাল হাইপোথিসিস এবং পরীক্ষার পরামর্শ দিতে পারে। নাল হাইপোথিসিস গঠন স্বয়ংক্রিয় নয় (যদিও তাৎপর্য পরীক্ষার গণনাগুলো সাধারণত হয়)। ডেভিড কক্স বলেছিলেন, "বিষয়বস্তু-সমস্যা থেকে পরিসংখ্যানগত মডেলে অনুবাদ কীভাবে করা হয় তা প্রায়শই বিশ্লেষণের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অংশ"।^[54]

একটি পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য পরীক্ষা একটি হাইপোথিসিস পরীক্ষা করার উদ্দেশ্যে। যদি হাইপোথিসিসটি ডেটার একটি সেটকে সংক্ষিপ্ত করে, তবে সেই ডেটার সেটে হাইপোথিসিসটি পরীক্ষা করার কোনো মূল্য নেই। উদাহরণ: যদি গত বছরের আবহাওয়া রিপোর্টের একটি অধ্যয়ন ইঙ্গিত দেয় যে একটি অঞ্চলে বৃষ্টি মূলত সপ্তাহান্তে হয়, তবে অন্য *যেকোনো* বছরের আবহাওয়া রিপোর্টে সেই নাল হাইপোথিসিসটি পরীক্ষা করা কেবল বৈধ। ডেটা দ্বারা প্রস্তাবিত হাইপোথিসিস পরীক্ষা করা হলো চক্রাকার যুক্তি (circular reasoning) যা কিছুই প্রমাণ করে না; এটি নাল হাইপোথিসিস নির্বাচনের ওপর একটি বিশেষ সীমাবদ্ধতা।

একটি রুটিন পদ্ধতি নিম্নরূপ: বৈজ্ঞানিক হাইপোথিসিস থেকে শুরু করুন। এটিকে একটি পরিসংখ্যানগত বিকল্প হাইপোথিসিসে অনুবাদ করুন এবং এগিয়ে যান: "যেহেতু H_a সেই প্রভাবটি প্রকাশ করে যার জন্য আমরা প্রমাণ খুঁজতে চাই, আমরা প্রায়শই H_a দিয়ে শুরু করি এবং তারপর H₀ নির্ধারণ করি এই বিবৃতি হিসেবে যে কাঙ্ক্ষিত প্রভাবটি উপস্থিত নেই।"^[6] মডেলিং অ্যাপ্লিকেশনের জন্য এই পরামর্শটি *বিপরীত* হয় যেখানে আমরা নাল হাইপোথিসিসের বিরুদ্ধে প্রমাণ না পাওয়ার আশা করি।

একটি জটিল কেস উদাহরণ নিম্নরূপ:^[55] ক্লিনিকাল গবেষণায় গোল্ড স্ট্যান্ডার্ড হলো র‍্যান্ডমাইজড প্লাসিবো-কন্ট্রোলড ডাবল-ব্লাইন্ড ক্লিনিকাল ট্রায়াল। কিন্তু একটি গুরুতর অসুস্থতার জন্য একটি (চিকিৎসাগতভাবে অকার্যকর) প্লাসিবোর বিপরীতে একটি নতুন ওষুধ পরীক্ষা করা অনৈতিক হতে পারে। একটি পুরোনো চিকিৎসাগতভাবে কার্যকর ওষুধের বিপরীতে একটি নতুন ওষুধ পরীক্ষা করা পরীক্ষার লক্ষ্য এবং পরীক্ষকদের অনুপ্রেরণা সম্পর্কে মৌলিক দার্শনিক সমস্যা উত্থাপন করে। স্ট্যান্ডার্ড "কোনো পার্থক্য নেই" নাল হাইপোথিসিস অপর্যাপ্ত ডেটা সংগ্রহের জন্য ফার্মাসিউটিক্যাল কোম্পানিকে পুরস্কৃত করতে পারে। এই ক্ষেত্রে "পার্থক্য" একটি ভালো নাল হাইপোথিসিস, কিন্তু পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য একটি সূক্ষ্ম উপসংহারে পৌঁছানোর জন্য পর্যাপ্ত মানদণ্ড নয় যার জন্য ওষুধের কার্যকারিতার একটি ভালো সংখ্যাসূচক অনুমান প্রয়োজন। নাল হাইপোথিসিসে একটি "ছোট" বা "সহজ" প্রস্তাবিত পরিবর্তন ((নতুন বনাম পুরোনো) এর পরিবর্তে (নতুন বনাম প্লাসিবো)) জটিল অ-পরিসংখ্যানগত কারণে একটি পরীক্ষার উপযোগিতার ওপর নাটকীয় প্রভাব ফেলতে পারে।

দিকনির্দেশনা (Directionality)

মূল নিবন্ধ: এক- এবং দুই-টেইলড পরীক্ষা নাল হাইপোথিসিস (H₀) নির্বাচন এবং দিকনির্দেশনা বিবেচনা (দেখুন "এক-টেইলড পরীক্ষা") অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

নাল-হাইপোথিসিস পরীক্ষার টেইলডনেস

একটি মুদ্রা নিরপেক্ষ কিনা (অর্থাৎ গড়ে এটি ৫০% সময় হেডস পড়ে) এবং একটি পরীক্ষা যেখানে আপনি মুদ্রাটি ৫ বার টস করেন, সেই প্রশ্নটি বিবেচনা করুন। পরীক্ষার একটি সম্ভাব্য ফলাফল যা আমরা এখানে বিবেচনা করি তা হলো ৫টি হেডস। আমরা এখানে ফলাফলগুলোকে একটি ধরে নেওয়া ডিস্ট্রিবিউশনের সাপেক্ষে অসম্ভাব্য বলে বিবেচনা করি যদি তাদের সম্ভাবনা ০.০৫-এর তাৎপর্য থ্রেশহোল্ডের চেয়ে কম বা সমান হয়।

একটি এক-টেইলড পরীক্ষার ইঙ্গিতকারী একটি সম্ভাব্য নাল হাইপোথিসিস হলো "এই মুদ্রাটি হেডসের দিকে পক্ষপাতদুষ্ট নয়"। সতর্ক থাকুন যে, এই প্রেক্ষাপটে, "এক-টেইলড" শব্দটি একটি একক মুদ্রা টসের ফলাফলকে (অর্থাৎ, মুদ্রাটি "হেডস"-এর পরিবর্তে "টেইলস" পড়ে কিনা) বোঝায় *না*; "এক-টেইলড" শব্দটি নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষা করার একটি নির্দিষ্ট উপায়কে বোঝায় যেখানে বর্জন অঞ্চল (যাকে "বর্জন অঞ্চল"ও বলা হয়) ডিস্ট্রিবিউশনের কেবল একপাশে শেষ হয়।

প্রকৃতপক্ষে, একটি নিরপেক্ষ মুদ্রার সাথে এই পরীক্ষার ফলাফলের সম্ভাবনা ১/২^৫ = ০.০৩১, যা আরও কম হতো যদি মুদ্রাটি টেইলসের পক্ষে পক্ষপাতদুষ্ট হতো। অতএব, পর্যবেক্ষণগুলো নাল হাইপোথিসিস ধরে রাখার জন্য যথেষ্ট সম্ভাব্য নয় এবং পরীক্ষাটি তা খণ্ডন করে। যেহেতু মুদ্রাটি আপাতদৃষ্টিতে নিরপেক্ষ বা টেইলসের দিকে পক্ষপাতদুষ্ট নয়, পরীক্ষার উপসংহার হলো মুদ্রাটি হেডসের দিকে পক্ষপাতদুষ্ট।

বিকল্পভাবে, একটি দুই-টেইলড পরীক্ষার ইঙ্গিতকারী একটি নাল হাইপোথিসিস হলো "এই মুদ্রাটি নিরপেক্ষ"। এই একটি নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষায় খুব বেশি টেইলস বা খুব বেশি হেডসের দিকে নজর রেখে পরীক্ষা করা যেতে পারে। যে ফলাফলগুলো এই নাল হাইপোথিসিসকে খণ্ডন করার প্রবণতা দেখায় সেগুলো হলো প্রচুর হেডস বা প্রচুর টেইলস সহ ফলাফল, এবং ৫টি হেডস সহ আমাদের পরীক্ষাটি এই শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত বলে মনে হয়।

যাইহোক, একই ধরনের ৫টি টসের সম্ভাবনা, সেগুলো হেডস বা টেইলস যাই হোক না কেন, এককভাবে বিবেচিত ৫-হেড ঘটনার সম্ভাবনার দ্বিগুণ। অতএব, এই দুই-টেইলড নাল হাইপোথিসিসের অধীনে, পর্যবেক্ষণটি ০.০৬৩-এর একটি সম্ভাবনা মান পায়। অতএব আবারও, এক-টেইলড পরীক্ষার জন্য ব্যবহৃত একই তাৎপর্য থ্রেশহোল্ড (০.০৫) সহ, একই ফলাফল পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ নয়। অতএব, দুই-টেইলড নাল হাইপোথিসিসটি এই ক্ষেত্রে সংরক্ষিত থাকে, যা একক-টেইলড নাল হাইপোথিসিসের সাথে পৌঁছানো উপসংহারকে সমর্থন করে না যে মুদ্রাটি হেডসের দিকে পক্ষপাতদুষ্ট।

এই উদাহরণটি চিত্রিত করে যে একটি পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা থেকে পৌঁছানো উপসংহার নাল এবং বিকল্প হাইপোথিসিসগুলোর সুনির্দিষ্ট গঠনের ওপর নির্ভর করতে পারে।

আলোচনা

ফিশার বলেছিলেন, "নাল হাইপোথিসিস অবশ্যই সঠিক হতে হবে, অর্থাৎ অস্পষ্টতা এবং দ্ব্যর্থহীনতা থেকে মুক্ত, কারণ এটি 'ডিস্ট্রিবিউশনের সমস্যা'-র ভিত্তি সরবরাহ করতে হবে, যার সমাধান হলো তাৎপর্য পরীক্ষা", যা H₀-এর জন্য একটি আরও সীমাবদ্ধ ডোমেইনকে বোঝায়।^[56] এই দৃষ্টিভঙ্গি অনুসারে, নাল হাইপোথিসিস অবশ্যই সংখ্যাসূচকভাবে সঠিক হতে হবে—এটি অবশ্যই উল্লেখ করতে হবে যে একটি নির্দিষ্ট রাশি বা পার্থক্য একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার সমান। ধ্রুপদী বিজ্ঞানে, এটি সবচেয়ে সাধারণত একটি নির্দিষ্ট চিকিৎসার "কোনো প্রভাব নেই" এমন বিবৃতি; পর্যবেক্ষণে, এটি সাধারণত একটি নির্দিষ্ট পরিমাপকৃত চলকের মান এবং একটি পূর্বাভাসের মানের মধ্যে "কোনো পার্থক্য নেই"।

অধিকাংশ পরিসংখ্যানবিদের মতে, নাল হাইপোথিসিসের অংশ হিসেবে বা নাল হাইপোথিসিস/অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস জোড়ার অংশ হিসেবে দিকনির্দেশনা (direction) উল্লেখ করা বৈধ।^[57] তবে, ফলাফলগুলো কোনো পরীক্ষার সমস্ত ফলাফলের পূর্ণাঙ্গ বিবরণ নয়, বরং একটি নির্দিষ্ট উদ্দেশ্যে তৈরি করা একটি একক ফলাফল মাত্র। উদাহরণস্বরূপ, এমন একটি H₀ বিবেচনা করুন যা দাবি করে যে একটি নতুন চিকিৎসার জন্য জনসংখ্যার গড় (population mean) একটি সুপ্রতিষ্ঠিত চিকিৎসার (দীর্ঘ অভিজ্ঞতা থেকে জানা, যার জনসংখ্যা গড় = 10) তুলনায় উন্নত, যেখানে এক-মুখী (one-tailed) অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস হলো নতুন চিকিৎসার গড় > 10। যদি x-বার (x-bar) থেকে প্রাপ্ত নমুনার প্রমাণ −200 এবং সংশ্লিষ্ট টি-টেস্ট পরিসংখ্যান (t-test statistic) −50 হয়, তবে পরীক্ষার সিদ্ধান্ত হবে যে নতুন চিকিৎসাটি বিদ্যমান চিকিৎসার চেয়ে ভালো—এমন কোনো প্রমাণ নেই: এটি রিপোর্ট করবে না যে এটি উল্লেখযোগ্যভাবে খারাপ, কিন্তু এই নির্দিষ্ট পরীক্ষাটি তা খুঁজছে না। নাল হাইপোথিসিসের পরীক্ষার ফলাফল রিপোর্টিংয়ের ক্ষেত্রে যেকোনো সম্ভাব্য অস্পষ্টতা দূর করার জন্য, পরীক্ষাটি দুই-পার্শ্বীয় (two-sided) ছিল কিনা তা নির্দেশ করা এবং যদি এক-পার্শ্বীয় হয়, তবে যে প্রভাবটি পরীক্ষা করা হচ্ছে তার দিকনির্দেশনা অন্তর্ভুক্ত করা সর্বোত্তম।

এখানে আলোচিত দিকনির্দেশনার সরল ক্ষেত্রগুলো এবং আরও জটিল ক্ষেত্রগুলো সামলানোর জন্য প্রয়োজনীয় পরিসংখ্যানগত তত্ত্বে অপক্ষপাতমূলক পরীক্ষা (unbiased test)-এর ধারণা ব্যবহার করা হয়।

হাইপোথিসিসের দিকনির্দেশনা সবসময় স্পষ্ট নয়। ফিশারের লেডি টেস্টিং টি (Lady tasting tea) উদাহরণের সুস্পষ্ট নাল হাইপোথিসিস ছিল যে মহিলার এমন কোনো ক্ষমতা নেই, যা একটি প্রতিসম সম্ভাব্যতা বিন্যাসের (symmetric probability distribution) দিকে পরিচালিত করেছিল। পরীক্ষার এক-মুখী প্রকৃতিটি এক-মুখী অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস (ফিশার কর্তৃক ব্যবহৃত নয় এমন একটি শব্দ) থেকে উদ্ভূত হয়েছিল। নাল হাইপোথিসিসটি পরোক্ষভাবে এক-মুখী হয়ে পড়েছিল। মহিলার এক-মুখী দাবির যৌক্তিক নেতিবাচকতাও ছিল এক-মুখী। (দাবি: ক্ষমতা > 0; উল্লিখিত নাল: ক্ষমতা = 0; পরোক্ষ নাল: ক্ষমতা ≤ 0)।

এক-মুখী পরীক্ষার ব্যবহার নিয়ে বিশুদ্ধ বিতর্কগুলো বিভিন্ন ধরনের পরীক্ষার কারণে জটিল হয়ে পড়ে। কিছু পরীক্ষা (উদাহরণস্বরূপ χ² গুডনেস অফ ফিট টেস্ট) সহজাতভাবেই এক-মুখী। কিছু সম্ভাব্যতা বিন্যাস অপ্রতিসম। ৩ বা ততোধিক গ্রুপের প্রচলিত পরীক্ষাগুলো দুই-পার্শ্বীয়।

এক-মুখী হাইপোথিসিস ব্যবহারের বিষয়ে পরামর্শগুলো অসামঞ্জস্যপূর্ণ এবং ক্ষেত্রভেদে গৃহীত অনুশীলন ভিন্ন হয়।^[58] এক-মুখী হাইপোথিসিসের বিরুদ্ধে সবচেয়ে বড় আপত্তি হলো এদের সম্ভাব্য ব্যক্তিনিষ্ঠতা। একটি অ-তাৎপর্যপূর্ণ ফলাফলকে কখনো কখনো এক-মুখী হাইপোথিসিস ব্যবহারের মাধ্যমে তাৎপর্যপূর্ণ ফলাফলে রূপান্তর করা যায় (যেমন ফেয়ার কয়েন টেস্টের ক্ষেত্রে, বিশ্লেষকের ইচ্ছামতো)। যুক্তির বিপরীত দিকটি হলো: এক-মুখী পরীক্ষাগুলো প্রকৃত প্রভাব উপেক্ষা করার সম্ভাবনা কম রাখে। এক-মুখী পরীক্ষাগুলো এমন ডেটার প্রকাশকে বাধা দিতে পারে যা পূর্বাভাসের চেয়ে ভিন্ন চিহ্নের হয়। পরিসংখ্যানগত পরীক্ষার উদ্ভাবকদের লক্ষ্য ছিল বস্তুনিষ্ঠতা।

ডিফল্ট হিসেবে এক-মুখী হাইপোথিসিস ব্যবহার করা একটি সাধারণ অনুশীলন। তবে, "যদি আপনার মনে আগে থেকে কোনো নির্দিষ্ট দিক দৃঢ়ভাবে না থাকে, তবে দুই-পার্শ্বীয় অল্টারনেটিভ ব্যবহার করুন। তাছাড়া, পরিসংখ্যানের কিছু ব্যবহারকারী যুক্তি দেন যে আমাদের *সবসময়* দুই-পার্শ্বীয় অল্টারনেটিভ নিয়ে কাজ করা উচিত।"^[6]^[59]

এই পরামর্শের একটি বিকল্প হলো তিন-ফলাফল বিশিষ্ট পরীক্ষা (three-outcome tests) ব্যবহার করা। এটি প্রতিটি দিকে একবার করে পরীক্ষা করে এবং ফলাফলগুলোকে একত্রিত করে তিনটি সম্ভাব্য ফলাফল তৈরি করার মাধ্যমে হাইপোথিসিসের দিকনির্দেশনা সংক্রান্ত সমস্যাগুলো দূর করে।^[60] এই পদ্ধতির বিভিন্ন রূপের একটি ইতিহাস রয়েছে, যা ১৯৫০ সালের পর থেকে প্রায় ১০ বার প্রস্তাবিত হয়েছে।^[61]

এক-মুখী পরীক্ষা নিয়ে মতবিরোধগুলো বিজ্ঞানের দর্শন থেকে উদ্ভূত। যদিও ফিশার মহিলার সব কাপের চা ভুলভাবে অনুমান করার অসম্ভাব্য ঘটনাটিকে উপেক্ষা করতে ইচ্ছুক ছিলেন (যা পরিস্থিতির জন্য উপযুক্ত হতে পারে), চিকিৎসা বিজ্ঞান বিশ্বাস করে যে একটি প্রস্তাবিত চিকিৎসা যা রোগীদের মেরে ফেলে তা প্রতিটি অর্থেই তাৎপর্যপূর্ণ এবং তা রিপোর্ট করা উচিত এবং সম্ভবত ব্যাখ্যা করা উচিত। দুর্বল পরিসংখ্যানগত রিপোর্টিং অনুশীলন এক-মুখী পরীক্ষা নিয়ে মতবিরোধে অবদান রেখেছে। দুই-পার্শ্বীয় পরীক্ষা থেকে প্রাপ্ত পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য সম্পর্কের চিহ্নের প্রতি সংবেদনশীল নয়; কেবল তাৎপর্য রিপোর্ট করা অপর্যাপ্ত। "চিকিৎসাটির একটি প্রভাব আছে" হলো একটি দুই-পার্শ্বীয় পরীক্ষার অ-তথ্যবহুল ফলাফল। "চিকিৎসাটির একটি উপকারী প্রভাব আছে" হলো একটি এক-মুখী পরীক্ষার আরও তথ্যবহুল ফলাফল। "চিকিৎসাটির একটি প্রভাব আছে, যা হাসপাতালে থাকার গড় সময় ১.৫ দিন কমিয়ে দেয়" হলো সবচেয়ে তথ্যবহুল রিপোর্ট, যা দুই-পার্শ্বীয় তাৎপর্য পরীক্ষার ফলাফলের সাথে চিকিৎসা এবং প্রভাবের মধ্যে সম্পর্কের একটি সংখ্যাসূচক অনুমানকে একত্রিত করে। স্পষ্টভাবে একটি সংখ্যাসূচক ফলাফল রিপোর্ট করা এক-মুখী পরীক্ষার একটি দার্শনিক সুবিধাকে দূর করে। একটি অন্তর্নিহিত সমস্যা হলো সংখ্যাসূচক ভবিষ্যদ্বাণীমূলক তত্ত্ব ছাড়া একটি পরীক্ষামূলক বিজ্ঞানের উপযুক্ত রূপ: সংখ্যাসূচক ফলাফলের একটি মডেল প্রভাবের চিহ্নের (ইতিবাচক, নেতিবাচক বা অজানা) মডেলের চেয়ে বেশি তথ্যবহুল, যা সাধারণ তাৎপর্যের (অ-শূন্য বা অজানা) মডেলের চেয়ে বেশি তথ্যবহুল; সংখ্যাসূচক তত্ত্বের অনুপস্থিতিতে চিহ্নগুলোই যথেষ্ট হতে পারে।

অনুশীলনে ফ্রিকোয়েন্টিস্ট হাইপোথিসিস পরীক্ষা সম্পাদন

অনুশীলনে একটি ফ্রিকোয়েন্টিস্ট হাইপোথিসিস পরীক্ষা সম্পাদনের সাধারণ ধাপগুলো হলো:

একটি হাইপোথিসিস সংজ্ঞায়িত করুন (দাবি যা ডেটা ব্যবহার করে পরীক্ষাযোগ্য)।
সংশ্লিষ্ট টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক T সহ একটি প্রাসঙ্গিক পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা নির্বাচন করুন।
অনুমান থেকে নাল হাইপোথিসিসের অধীনে টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকের বিন্যাস নির্ণয় করুন। আদর্শ ক্ষেত্রে এটি একটি সুপরিচিত ফলাফল হবে। উদাহরণস্বরূপ, টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকটি জানা ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সহ একটি স্টুডেন্টস টি-ডিস্ট্রিবিউশন বা জানা গড় ও ভেদাঙ্ক সহ একটি নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন অনুসরণ করতে পারে।
একটি তাৎপর্য স্তর (α) নির্বাচন করুন, যা সর্বোচ্চ গ্রহণযোগ্য ফলস পজিটিভ রেট। সাধারণ মানগুলো হলো ৫% এবং ১%।
পর্যবেক্ষণ থেকে টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক T-এর পর্যবেক্ষণকৃত মান t_obs গণনা করুন।
নাল হাইপোথিসিসকে অল্টারনেটিভের পক্ষে প্রত্যাখ্যান করার বা প্রত্যাখ্যান না করার সিদ্ধান্ত নিন। নেইম্যান-পিয়ারসন সিদ্ধান্ত নিয়ম হলো নাল হাইপোথিসিস H₀-কে প্রত্যাখ্যান করা যদি পর্যবেক্ষণকৃত মান t_obs ক্রিটিক্যাল অঞ্চলে থাকে, এবং অন্যথায় নাল হাইপোথিসিসকে প্রত্যাখ্যান না করা।^[62]

ব্যবহারিক উদাহরণ

তেজস্ক্রিয় স্যুটকেস উদাহরণে (নিচে) প্রয়োগ করা দুটি প্রক্রিয়ার পার্থক্য:

"গাইগার-কাউন্টার রিডিং ১০। সীমা ৯। স্যুটকেসটি পরীক্ষা করুন।"
"গাইগার-কাউন্টার রিডিং বেশি; ৯৭% নিরাপদ স্যুটকেসের রিডিং কম। সীমা ৯৫%। স্যুটকেসটি পরীক্ষা করুন।"

পূর্বের রিপোর্টটি পর্যাপ্ত, পরেরটি ডেটার আরও বিস্তারিত ব্যাখ্যা এবং স্যুটকেসটি কেন পরীক্ষা করা হচ্ছে তার কারণ প্রদান করে।

নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান না করার অর্থ এই নয় যে নাল হাইপোথিসিসটি নিজে থেকেই "গৃহীত" হয়েছে (যদিও নেইম্যান এবং পিয়ারসন তাদের মূল লেখায় সেই শব্দটি ব্যবহার করেছিলেন; ব্যাখ্যা বিভাগটি দেখুন)।

এখানে বর্ণিত প্রক্রিয়াগুলো গণনার জন্য পুরোপুরি পর্যাপ্ত। এগুলো পরীক্ষার নকশা (design of experiments)-এর বিবেচ্য বিষয়গুলোকে গুরুত্ব সহকারে উপেক্ষা করে।^[63]^[64]

পরীক্ষাটি পরিচালনার আগে উপযুক্ত নমুনার আকার (sample size) অনুমান করা বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ।

"তাৎপর্য পরীক্ষা" (test of significance) শব্দগুচ্ছটি পরিসংখ্যানবিদ রোনাল্ড ফিশার তৈরি করেছিলেন।^[65]

ব্যাখ্যা

যখন নাল হাইপোথিসিস সত্য হয় এবং পরিসংখ্যানগত অনুমানগুলো পূরণ হয়, তখন পি-ভ্যালু (p-value) তাৎপর্য স্তর $α$ -এর সমান বা কম হওয়ার সম্ভাবনা সর্বোচ্চ $α$ হয়। এটি নিশ্চিত করে যে হাইপোথিসিস পরীক্ষাটি তার নির্দিষ্ট ফলস পজিটিভ রেট বজায় রাখে (যদি পরিসংখ্যানগত অনুমানগুলো পূরণ হয়)।^[3]

p-ভ্যালু হলো সেই সম্ভাবনা যে নাল হাইপোথিসিসের অধীনে প্রাপ্ত টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকের চেয়ে অন্তত ততটাই চরম একটি টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক ঘটবে। ০.০৫ তাৎপর্য স্তরে, একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা গড়ে ২০টি পরীক্ষার মধ্যে ১টিতে (ভুলভাবে) নাল হাইপোথিসিস (যে এটি নিরপেক্ষ) প্রত্যাখ্যান করবে বলে আশা করা যায়। p-ভ্যালু নাল হাইপোথিসিস বা এর বিপরীতটি সঠিক হওয়ার সম্ভাবনা প্রদান করে না (এটি বিভ্রান্তির একটি সাধারণ উৎস)।^[66]

যদি p-ভ্যালু নির্বাচিত তাৎপর্য সীমার সমান বা কম হয় (সমতুল্যভাবে, যদি পর্যবেক্ষণকৃত টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক ক্রিটিক্যাল অঞ্চলে থাকে), তবে আমরা বলি যে নাল হাইপোথিসিসটি তাৎপর্যের নির্বাচিত স্তরে প্রত্যাখ্যাত হয়েছে। যদি p-ভ্যালু নির্বাচিত তাৎপর্য সীমা *অতিক্রম* করে (সমতুল্যভাবে, যদি পর্যবেক্ষণকৃত টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক ক্রিটিক্যাল অঞ্চলের বাইরে থাকে), তবে নাল হাইপোথিসিসটি তাৎপর্যের নির্বাচিত স্তরে প্রত্যাখ্যাত হয় না।

"লেডি টেস্টিং টি" উদাহরণে (নিচে), ফিশার ফলাফলটি যে দৈবক্রমে ঘটার সম্ভাবনা কম, তা নিশ্চিত করার জন্য মহিলাকে সব কাপের চা সঠিকভাবে শ্রেণীবদ্ধ করার দাবি করেছিলেন। তার পরীক্ষা প্রকাশ করে যে যদি মহিলা কার্যকরভাবে দৈবক্রমে অনুমান করতেন (নাল হাইপোথিসিস), তবে পর্যবেক্ষণকৃত ফলাফলগুলো (নিখুঁতভাবে সাজানো চা) ঘটার ১.৪% সম্ভাবনা ছিল।

ব্যবহার এবং গুরুত্ব

পরিসংখ্যান ডেটার অধিকাংশ সংগ্রহ বিশ্লেষণে সহায়ক। হাইপোথিসিস পরীক্ষার ক্ষেত্রেও এটি সমানভাবে সত্য, যা কোনো বৈজ্ঞানিক তত্ত্ব না থাকলেও সিদ্ধান্তকে সমর্থন করতে পারে। লেডি টেস্টিং টি উদাহরণে, এটি "স্পষ্ট" ছিল যে (চায়ে দুধ মেশানো) এবং (দুধে চা মেশানো)-এর মধ্যে কোনো পার্থক্য নেই। ডেটা "স্পষ্ট" বিষয়টিকে খণ্ডন করেছিল।

হাইপোথিসিস পরীক্ষার বাস্তব প্রয়োগগুলোর মধ্যে রয়েছে:^[67]

নারীদের তুলনায় পুরুষরা দুঃস্বপ্নে বেশি ভোগে কিনা তা পরীক্ষা করা
নথির লেখকত্ব প্রতিষ্ঠা করা
আচরণের ওপর পূর্ণিমার প্রভাব মূল্যায়ন করা
প্রতিধ্বনি দ্বারা একটি বাদুড় কত দূর থেকে একটি পোকা শনাক্ত করতে পারে তা নির্ধারণ করা
হাসপাতালের কার্পেটিংয়ের কারণে সংক্রমণ বেশি হয় কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়া
ধূমপান বন্ধ করার সেরা উপায় নির্বাচন করা
বাম্পার স্টিকার গাড়ির মালিকের আচরণ প্রতিফলিত করে কিনা তা পরীক্ষা করা
হস্তলিপি বিশ্লেষকদের দাবি পরীক্ষা করা

পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস পরীক্ষা পরিসংখ্যানের সামগ্রিক ক্ষেত্রে এবং পরিসংখ্যানগত অনুমান (statistical inference)-এ গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। উদাহরণস্বরূপ, লেহম্যান (১৯৯২) নেইম্যান এবং পিয়ারসনের (১৯৩৩) মৌলিক গবেষণাপত্রের একটি পর্যালোচনায় বলেন: "তবুও, তাদের সীমাবদ্ধতা সত্ত্বেও, ১৯৩৩ সালের গবেষণাপত্রে প্রণীত নতুন দৃষ্টান্ত এবং এর কাঠামোর মধ্যে সম্পাদিত অনেক উন্নয়ন পরিসংখ্যানের তত্ত্ব এবং অনুশীলন উভয় ক্ষেত্রেই কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে চলেছে এবং অদূর ভবিষ্যতেও তা করবে বলে আশা করা যায়"।

তাৎপর্য পরীক্ষা কিছু পরীক্ষামূলক সামাজিক বিজ্ঞানে পছন্দের পরিসংখ্যানগত হাতিয়ার ছিল (১৯৯০-এর দশকের শুরুর দিকে জার্নাল অফ অ্যাপ্লায়েড সাইকোলজি-তে ৯০%-এর বেশি নিবন্ধে)।^[68] অন্যান্য ক্ষেত্র প্যারামিটারগুলোর অনুমানকে (যেমন ইফেক্ট সাইজ) প্রাধান্য দিয়েছে। তাৎপর্য পরীক্ষা বৈজ্ঞানিক পদ্ধতি-এর মূলে থাকা পূর্বাভাসের মান এবং পরীক্ষামূলক ফলাফলের প্রচলিত তুলনার বিকল্প হিসেবে ব্যবহৃত হয়। যখন তত্ত্ব কেবল একটি সম্পর্কের চিহ্ন অনুমান করতে সক্ষম হয়, তখন একটি দিকনির্দেশক (এক-মুখী) হাইপোথিসিস পরীক্ষা এমনভাবে কনফিগার করা যেতে পারে যে কেবল একটি পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ ফলাফলই তত্ত্বকে সমর্থন করে। তত্ত্ব মূল্যায়নের এই রূপটি হাইপোথিসিস পরীক্ষার সবচেয়ে বেশি সমালোচিত প্রয়োগ।

সতর্কতা

"যদি সরকার ওষুধের মতো পরিসংখ্যানগত পদ্ধতির ওপর সতর্কবার্তা লেবেল লাগানোর দাবি করত, তবে অধিকাংশ অনুমান পদ্ধতির দীর্ঘ লেবেল থাকত।"^[6]=426 এই সতর্কতা হাইপোথিসিস পরীক্ষা এবং এর বিকল্পগুলোর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

সফল হাইপোথিসিস পরীক্ষা একটি সম্ভাবনা এবং একটি টাইপ-১ ত্রুটির হারের সাথে যুক্ত। সিদ্ধান্তটি *ভুল* হতে পারে।

পরীক্ষার সিদ্ধান্তটি কেবল সেই নমুনার মতোই শক্তিশালী যার ওপর এটি ভিত্তি করে। পরীক্ষার নকশা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। বেশ কিছু অপ্রত্যাশিত প্রভাব পরিলক্ষিত হয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে:

ক্লেভার হ্যান্স ইফেক্ট। একটি ঘোড়াকে সাধারণ পাটিগণিত করতে সক্ষম বলে মনে হয়েছিল।
হথর্ন ইফেক্ট। শিল্প শ্রমিকরা ভালো আলোতে বেশি উৎপাদনশীল ছিল, এবং খারাপ আলোতে সবচেয়ে বেশি উৎপাদনশীল ছিল।
প্লাসিবো ইফেক্ট। কোনো চিকিৎসাগতভাবে সক্রিয় উপাদান ছাড়া বড়িগুলো আশ্চর্যজনকভাবে কার্যকর ছিল।

বিভ্রান্তিকর ডেটার একটি পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণ বিভ্রান্তিকর সিদ্ধান্ত তৈরি করে। ডেটার গুণমানের সমস্যাটি আরও সূক্ষ্ম হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, পূর্বাভাস (forecasting)-এর ক্ষেত্রে, পূর্বাভাসের নির্ভুলতার পরিমাপ নিয়ে কোনো ঐকমত্য নেই। ঐকমত্য পরিমাপের অনুপস্থিতিতে, পরিমাপের ওপর ভিত্তি করে কোনো সিদ্ধান্তই বিতর্কহীন হবে না।

প্রকাশনা পক্ষপাত (Publication bias): পরিসংখ্যানগতভাবে অ-তাৎপর্যপূর্ণ ফলাফলগুলো প্রকাশিত হওয়ার সম্ভাবনা কম হতে পারে, যা সাহিত্যকে পক্ষপাতদুষ্ট করতে পারে।

একাধিক পরীক্ষা (Multiple testing): যখন সমন্বয় ছাড়াই একসাথে একাধিক সত্য নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষা করা হয়, তখন টাইপ-১ ত্রুটির সামগ্রিক সম্ভাবনা নামমাত্র আলফা স্তরের চেয়ে বেশি হয়।^[69]

হাইপোথিসিস পরীক্ষার ফলাফলের ওপর ভিত্তি করে গুরুত্বপূর্ণ সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীদের কেবল সিদ্ধান্তের ওপর নির্ভর না করে বিস্তারিত তথ্যের দিকে তাকানো বুদ্ধিমানের কাজ। ভৌত বিজ্ঞানে অধিকাংশ ফলাফল তখনই পুরোপুরি গৃহীত হয় যখন তা স্বাধীনভাবে নিশ্চিত করা হয়।

ননপ্যারামেট্রিক বুটস্ট্র্যাপ হাইপোথিসিস পরীক্ষা

মূল নিবন্ধ: Bootstrapping (statistics)

বুটস্ট্র্যাপ-ভিত্তিক রিস্যাম্পলিং পদ্ধতিগুলো নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি বুটস্ট্র্যাপ নাল হাইপোথিসিস সঠিক ধরে নিয়ে মূল, সম্মিলিত নমুনার ডেটাকে দৈবক্রমে রিস্যাম্পল (প্রতিস্থাপনসহ) করে অসংখ্য সিমুলেটেড নমুনা তৈরি করে। বুটস্ট্র্যাপ অত্যন্ত বহুমুখী কারণ এটি বিন্যাস-মুক্ত (distribution-free) এবং এটি কঠোর প্যারামেট্রিক অনুমানের ওপর নির্ভর করে না, বরং অসিপটোটিক গ্যারান্টিসহ অভিজ্ঞতামূলক আনুমানিক পদ্ধতির ওপর নির্ভর করে। প্রচলিত প্যারামেট্রিক হাইপোথিসিস পরীক্ষাগুলো কম্পিউটেশনালভাবে বেশি দক্ষ কিন্তু শক্তিশালী কাঠামোগত অনুমান করে। এমন পরিস্থিতিতে যেখানে নাল হাইপোথিসিসের অধীনে টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকের সম্ভাবনা গণনা করা কঠিন বা অসম্ভব (সম্ভবত অসুবিধার কারণে বা অন্তর্নিহিত বিন্যাস সম্পর্কে জ্ঞানের অভাবের কারণে), বুটস্ট্র্যাপ পরিসংখ্যানগত অনুমানের জন্য একটি কার্যকর পদ্ধতি প্রদান করে।^[70]^[71]^[72]^[73]

উদাহরণ

মানব লিঙ্গ অনুপাত

মূল নিবন্ধ: Human sex ratio পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস পরীক্ষার প্রাচীনতম ব্যবহার সাধারণত পুরুষ এবং নারী জন্মের সম্ভাবনা সমান কিনা (নাল হাইপোথিসিস) সেই প্রশ্নের সাথে কৃতিত্ব দেওয়া হয়, যা ১৭০০-এর দশকে জন আরবাথনট (১৭১০),^[74] এবং পরবর্তীতে পিয়ের-সিমোঁ লাপ্লাস (১৭৭০-এর দশক) দ্বারা সম্বোধন করা হয়েছিল।^[75]

আরবাথনট ১৬২৯ থেকে ১৭১০ পর্যন্ত ৮২ বছরের প্রতিটির জন্য লন্ডনের জন্ম রেকর্ড পরীক্ষা করেছিলেন এবং সাইন টেস্ট, একটি সাধারণ নন-প্যারামেট্রিক পরীক্ষা প্রয়োগ করেছিলেন।^[76]^[77]^[78] প্রতি বছর, লন্ডনে জন্ম নেওয়া পুরুষের সংখ্যা নারীর সংখ্যাকে ছাড়িয়ে গিয়েছিল। পুরুষ বা নারী জন্মের সম্ভাবনা সমান বিবেচনা করলে, পর্যবেক্ষণকৃত ফলাফলের সম্ভাবনা ০.৫^৮২, বা প্রায় ৪,৮৩৬,০০০,০০০,০০০,০০০,০০০,০০০,০০০-এর মধ্যে ১; আধুনিক পরিভাষায়, এটি হলো p-ভ্যালু। আরবাথনট উপসংহারে পৌঁছেছিলেন যে এটি দৈবক্রমে ঘটার জন্য খুব ছোট এবং এর পরিবর্তে এটি ঐশ্বরিক বিধানের কারণে হতে হবে: "যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে যে, শিল্পই, সুযোগ নয়, যা শাসন করে।" আধুনিক পরিভাষায়, তিনি p = 1/2⁸² তাৎপর্য স্তরে সমান সম্ভাব্য পুরুষ ও নারী জন্মের নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করেছিলেন।

লাপ্লাস প্রায় পাঁচ লক্ষ জন্মের পরিসংখ্যান বিবেচনা করেছিলেন। পরিসংখ্যানগুলো মেয়েদের তুলনায় ছেলেদের আধিক্য দেখিয়েছিল।^[16] তিনি একটি p-ভ্যালু গণনার মাধ্যমে উপসংহারে পৌঁছেছিলেন যে এই আধিক্য একটি বাস্তব, কিন্তু ব্যাখ্যাতীত প্রভাব।^[79]

লেডি টেস্টিং টি

মূল নিবন্ধ: Lady tasting tea

হাইপোথিসিস পরীক্ষার একটি বিখ্যাত উদাহরণে, যা লেডি টেস্টিং টি নামে পরিচিত,^[80] ড. মিউরিয়াল ব্রিস্টল, ফিশারের একজন সহকর্মী, দাবি করেছিলেন যে তিনি বলতে পারেন একটি কাপে চা আগে দেওয়া হয়েছে নাকি দুধ। ফিশার তাকে দৈবক্রমে আটটি কাপ, প্রতিটির চারটি করে, দেওয়ার প্রস্তাব করেছিলেন। কেউ তখন জিজ্ঞাসা করতে পারত যে তার সঠিক সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত ছিল, কিন্তু কেবল দৈবক্রমে। নাল হাইপোথিসিস ছিল যে মহিলার এমন কোনো ক্ষমতা নেই। টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক ছিল চারটি কাপ নির্বাচনের ক্ষেত্রে সাফল্যের সংখ্যার একটি সাধারণ গণনা। ক্রিটিক্যাল অঞ্চলটি ছিল প্রচলিত সম্ভাব্যতা মানদণ্ড (< ৫%) ভিত্তিক ৪টি সম্ভাব্য সাফল্যের মধ্যে ৪টি সাফল্যের একক ক্ষেত্র। ৪টি সাফল্যের একটি প্যাটার্ন ৭০টি সম্ভাব্য সংমিশ্রণের মধ্যে ১টির সাথে মিলে যায় (p≈ ১.৪%)। ফিশার দাবি করেছিলেন যে কোনো অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিসের (কখনোই) প্রয়োজন ছিল না। মহিলা প্রতিটি কাপ সঠিকভাবে শনাক্ত করেছিলেন,^[81] যা একটি পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ ফলাফল হিসেবে বিবেচিত হবে।

ক্লেয়ারভয়েন্ট কার্ড গেম

একজন ব্যক্তিকে (বিষয়) ক্লেয়ারভয়েন্স (দূরদৃষ্টি)-এর জন্য পরীক্ষা করা হয়। তাকে ২৫ বার দৈবক্রমে নির্বাচিত তাসের পেছনের দিক দেখানো হয় এবং জিজ্ঞাসা করা হয় যে এটি চারটি স্যুট-এর কোনটির অন্তর্গত। হিট বা সঠিক উত্তরের সংখ্যাকে X বলা হয়।

যেহেতু আমরা তাদের ক্লেয়ারভয়েন্সের প্রমাণ খোঁজার চেষ্টা করছি, আপাতত নাল হাইপোথিসিস হলো যে ব্যক্তিটি ক্লেয়ারভয়েন্ট নন।^[82] অল্টারনেটিভ হলো: ব্যক্তিটি (কম-বেশি) ক্লেয়ারভয়েন্ট।

যদি নাল হাইপোথিসিস বৈধ হয়, তবে পরীক্ষাধীন ব্যক্তি কেবল অনুমান করতে পারেন। প্রতিটি কার্ডের জন্য, যেকোনো একটি স্যুট আসার সম্ভাবনা (আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি) হলো ১/৪। যদি অল্টারনেটিভ বৈধ হয়, তবে পরীক্ষাধীন ব্যক্তি ১/৪-এর চেয়ে বেশি সম্ভাবনায় স্যুটটি সঠিকভাবে অনুমান করবেন। আমরা সঠিকভাবে অনুমান করার সম্ভাবনাকে p বলব। হাইপোথিসিসগুলো হলো:

নাল হাইপোথিসিস $: H_{0} : p = \frac{1}{4}$ (কেবল অনুমান করা)

এবং

অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস $: H_{1} : p > \frac{1}{4}$ (সত্যিই ক্লেয়ারভয়েন্ট)।

যখন পরীক্ষাধীন ব্যক্তি ২৫টি কার্ডই সঠিকভাবে অনুমান করেন, তখন আমরা তাদের ক্লেয়ারভয়েন্ট বলে বিবেচনা করব এবং নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করব। সুতরাং ২৪ বা ২৩টি হিটের ক্ষেত্রেও তাই। অন্যদিকে, মাত্র ৫ বা ৬টি হিটের ক্ষেত্রে, তাদের ক্লেয়ারভয়েন্ট বিবেচনা করার কোনো কারণ নেই। কিন্তু ১২টি হিট বা ১৭টি হিটের ক্ষেত্রে কী হবে? হিটের ক্রিটিক্যাল সংখ্যা c কত, যেখানে আমরা বিষয়টিকে ক্লেয়ারভয়েন্ট বলে বিবেচনা করব? আমরা কীভাবে ক্রিটিক্যাল মান c নির্ধারণ করব? c=২৫ (অর্থাৎ আমরা কেবল তখনই ক্লেয়ারভয়েন্স গ্রহণ করি যখন সব কার্ড সঠিকভাবে অনুমান করা হয়) নির্বাচনের ক্ষেত্রে আমরা c=১০-এর চেয়ে বেশি সমালোচক। প্রথম ক্ষেত্রে প্রায় কোনো পরীক্ষাধীন ব্যক্তিই ক্লেয়ারভয়েন্ট হিসেবে স্বীকৃত হবেন না, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হবে। বাস্তবে, কেউ সিদ্ধান্ত নেয় সে কতটা সমালোচক হবে। অর্থাৎ, কেউ সিদ্ধান্ত নেয় সে কত ঘন ঘন প্রথম ধরনের ত্রুটি—একটি ফলস পজিটিভ, বা টাইপ-১ ত্রুটি—গ্রহণ করবে। c = ২৫-এর ক্ষেত্রে এই ধরনের ত্রুটির সম্ভাবনা হলো:

P (reject H_{0} ∣ H_{0} is valid) = P (X = 25 ∣ p = \frac{1}{4}) = {(\frac{1}{4})}^{25} \approx 1 0^{- 15}

,

এবং তাই, খুব ছোট। ফলস পজিটিভের সম্ভাবনা হলো দৈবক্রমে ২৫ বারই সঠিকভাবে অনুমান করার সম্ভাবনা।

কম সমালোচক হয়ে, c = ১০-এর ক্ষেত্রে পাওয়া যায়:

P (reject H_{0} ∣ H_{0} is valid) = P (X \geq 10 ∣ p = \frac{1}{4}) = \sum_{k = 10}^{25} P (X = k ∣ p = \frac{1}{4}) = \sum_{k = 10}^{25} (\binom{25}{k}) {(1 - \frac{1}{4})}^{25 - k} {(\frac{1}{4})}^{k} \approx 0.0713

.

সুতরাং, c = ১০ ফলস পজিটিভের অনেক বেশি সম্ভাবনা দেয়।

পরীক্ষাটি আসলে সম্পাদন করার আগে, টাইপ-১ ত্রুটির (α) সর্বোচ্চ গ্রহণযোগ্য সম্ভাবনা নির্ধারণ করা হয়। সাধারণত, ১% থেকে ৫% সীমার মানগুলো নির্বাচন করা হয়। (যদি সর্বোচ্চ গ্রহণযোগ্য ত্রুটির হার শূন্য হয়, তবে অসীম সংখ্যক সঠিক অনুমানের প্রয়োজন হয়।) এই টাইপ-১ ত্রুটির হারের ওপর নির্ভর করে, ক্রিটিক্যাল মান c গণনা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা ১% ত্রুটির হার নির্বাচন করি, তবে c এভাবে গণনা করা হয়:

P (reject H_{0} ∣ H_{0} is valid) = P (X \geq c ∣ p = \frac{1}{4}) \leq 0.01

.

এই বৈশিষ্ট্যের সব সংখ্যা c থেকে, আমরা টাইপ-২ ত্রুটি, একটি ফলস নেগেটিভ-এর সম্ভাবনা কমানোর জন্য ক্ষুদ্রতমটি নির্বাচন করি। উপরের উদাহরণের জন্য, আমরা নির্বাচন করি: $c = 13$ ।

অন্যান্য উদাহরণ

একটি উদাহরণ হলো যেখানে বহু বছর ধরে একটি জলপ্রবাহের পানির গুণমান পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে, এবং নাল হাইপোথিসিসের একটি পরীক্ষা করা হয়েছে যে "ডেটার প্রথম এবং দ্বিতীয় অর্ধাংশের মধ্যে গুণমানের কোনো পরিবর্তন নেই", অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিসের বিপরীতে যে "রেকর্ডের দ্বিতীয় অর্ধাংশে গুণমান খারাপ"।

যদি পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস পরীক্ষা-কে একটি আদালতের বিচারের রায় হিসেবে ভাবা হয়, তবে নাল হাইপোথিসিস বিবাদীর অবস্থানের সাথে মিলে যায় (বিবাদী নির্দোষ) যেখানে অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস কৌঁসুলির প্রতিদ্বন্দ্বী অবস্থানে থাকে (বিবাদী দোষী)। বিবাদী দোষী প্রমাণিত না হওয়া পর্যন্ত নির্দোষ, তাই একইভাবে একটি হাইপোথিসিস পরীক্ষায়, নাল হাইপোথিসিস প্রাথমিকভাবে সত্য বলে অনুমান করা হয়। কৌঁসুলির বক্তব্য প্রমাণ করার জন্য, প্রমাণ বিবাদীকে দোষী সাব্যস্ত করার জন্য যথেষ্ট বিশ্বাসযোগ্য হতে হবে; এটি একটি হাইপোথিসিস পরীক্ষায় পর্যাপ্ত পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য-এর অনুরূপ।

আদালতে, শুধুমাত্র আইনি সাক্ষ্যকেই বিচারের ভিত্তি হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে। হাইপোথিসিস টেস্টিং বা অনুকল্প পরীক্ষার ক্ষেত্রে, নাল হাইপোথিসিসের পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য পরিমাপের জন্য একটি যুক্তিসঙ্গত test statistic (পরীক্ষা পরিসংখ্যান) নির্ধারণ করা উচিত। যদি একটি নির্দিষ্ট তাৎপর্য স্তরে নাল হাইপোথিসিসটি বাতিল করা হয়, তবে সাক্ষ্য প্রমাণ অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস বা বিকল্প অনুকল্পকে সমর্থন করবে। তবে, type I error (প্রথম প্রকারের ত্রুটি)-এর সম্ভাব্য উপস্থিতির কারণে এর অর্থ এই নয় যে বিকল্প অনুকল্পটি অবশ্যই সত্য। পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য পরিমাপ করার জন্য, পরীক্ষা পরিসংখ্যানের চলকগুলোকে একটি নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতা বিন্যাস যেমন normal distribution (স্বাভাবিক বিন্যাস) বা t-distribution অনুসরণ করে বলে ধরে নেওয়া হয়। এটি নাল হাইপোথিসিস সঠিক—এই অনুমানের ভিত্তিতে অন্ততপক্ষে প্রকৃত পর্যবেক্ষিত ফলাফলের মতো চরম ফলাফল পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করে, যা p-value (পি-মান) হিসেবে সংজ্ঞায়িত।^[83]^[84] যদি পি-মান নির্বাচিত significance level (α)-এর চেয়ে ছোট হয়, তবে দাবি করা যেতে পারে যে পর্যবেক্ষিত উপাত্ত নাল হাইপোথিসিসের সাথে যথেষ্ট অসামঞ্জস্যপূর্ণ এবং তাই নাল হাইপোথিসিসটি বাতিল করা যেতে পারে। পরীক্ষার পর, একটি বৈধ দাবি হতে পারে: "(α) তাৎপর্য স্তরে, নাল হাইপোথিসিসটি বাতিল করা হলো, যার পরিবর্তে বিকল্প অনুকল্পটি সমর্থিত হচ্ছে।" বিচারের রূপকের ক্ষেত্রে, ঘোষণাটি হতে পারে: "ভুল দোষী সাব্যস্ত হওয়ার সম্ভাবনা α-এর সহনশীলতা সাপেক্ষে, বিবাদী দোষী।"

বৈচিত্র্য এবং উপ-শ্রেণী

পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিং হলো frequentist inference (ফ্রিকোয়েন্টিস্ট ইনফারেন্স) এবং Bayesian inference (বেইসিয়ান ইনফারেন্স) উভয়েরই একটি মূল কৌশল, যদিও এই দুই ধরনের ইনফারেন্সের মধ্যে উল্লেখযোগ্য পার্থক্য রয়েছে। পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস পরীক্ষা এমন একটি পদ্ধতি নির্ধারণ করে যা একটি ডিফল্ট অবস্থান (null hypothesis) ভুল—এমন ভুল সিদ্ধান্ত নেওয়ার সম্ভাবনাকে নিয়ন্ত্রণ (স্থির) করে। পদ্ধতিটি এই ধারণার ওপর ভিত্তি করে তৈরি যে, নাল হাইপোথিসিস সত্য হলে এক সেট পর্যবেক্ষণ ঘটার সম্ভাবনা কতটুকু। ভুল সিদ্ধান্ত নেওয়ার এই সম্ভাবনাটি নাল হাইপোথিসিস সত্য হওয়ার সম্ভাবনা নয়, কিংবা কোনো নির্দিষ্ট বিকল্প অনুকল্প সত্য কি না তাও নয়। এটি decision theory (সিদ্ধান্ত তত্ত্ব)-এর অন্যান্য সম্ভাব্য কৌশলের সাথে বৈপরীত্য তৈরি করে, যেখানে নাল এবং alternative hypothesis-কে আরও সমান ভিত্তিতে বিবেচনা করা হয়।

হাইপোথিসিস টেস্টিংয়ের একটি সরল বেইসিয়ান দৃষ্টিভঙ্গি হলো posterior probability (পোস্টেরিয়র প্রোবাবিলিটি)-এর ওপর ভিত্তি করে সিদ্ধান্ত নেওয়া,^[85]^[86] কিন্তু পয়েন্ট এবং কন্টিনিউয়াস হাইপোথিসিসের তুলনা করার সময় এটি ব্যর্থ হয়। সিদ্ধান্ত গ্রহণের অন্যান্য পদ্ধতি, যেমন Bayesian decision theory, একটি একক নাল হাইপোথিসিসের ওপর মনোযোগ না দিয়ে সমস্ত সম্ভাবনার ক্ষেত্রে ভুল সিদ্ধান্তের পরিণতিগুলোর মধ্যে ভারসাম্য বজায় রাখার চেষ্টা করে। উপাত্তের ওপর ভিত্তি করে সিদ্ধান্ত নেওয়ার আরও অনেক পদ্ধতি decision theory এবং optimal decision-এর মাধ্যমে উপলব্ধ, যার মধ্যে কয়েকটির কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে। তবে, বিজ্ঞানের অনেক ক্ষেত্রে হাইপোথিসিস টেস্টিং উপাত্ত বিশ্লেষণের একটি প্রভাবশালী পদ্ধতি। হাইপোথিসিস টেস্টিং তত্ত্বের সম্প্রসারণের মধ্যে রয়েছে পরীক্ষার পাওয়ার বা ক্ষমতার অধ্যয়ন, অর্থাৎ নাল হাইপোথিসিস মিথ্যা হলে তা সঠিকভাবে বাতিল করার সম্ভাবনা। উপাত্ত সংগ্রহের আগে sample size determination (নমুনার আকার নির্ধারণ)-এর উদ্দেশ্যে এই ধরনের বিবেচনা ব্যবহার করা যেতে পারে।

নেইম্যান-পিয়ারসন হাইপোথিসিস টেস্টিং

নেইম্যান-পিয়ারসন হাইপোথিসিস টেস্টিংয়ের (বা নাল হাইপোথিসিস স্ট্যাটিস্টিক্যাল সিগনিফিক্যান্স টেস্টিং) একটি উদাহরণ তেজস্ক্রিয় সুটকেসের উদাহরণের পরিবর্তনের মাধ্যমে দেওয়া যেতে পারে। যদি "সুটকেসটি" আসলে তেজস্ক্রিয় পদার্থ পরিবহনের জন্য একটি শিল্ডযুক্ত পাত্র হয়, তবে তিনটি অনুকল্পের মধ্যে একটি নির্বাচন করতে পরীক্ষাটি ব্যবহার করা যেতে পারে: কোনো তেজস্ক্রিয় উৎস নেই, একটি আছে, দুটি (সবগুলো) আছে। নিরাপত্তার জন্য পরীক্ষার প্রয়োজন হতে পারে, যেখানে প্রতিটি ক্ষেত্রে পদক্ষেপ নিতে হবে। হাইপোথিসিস টেস্টিংয়ের Neyman–Pearson lemma (নেইম্যান-পিয়ারসন লেমা) বলে যে, অনুকল্প নির্বাচনের জন্য একটি ভালো মানদণ্ড হলো তাদের সম্ভাবনার অনুপাত (likelihood ratio)। সমাধানের একটি সহজ পদ্ধতি হলো গেইগার কাউন্টের জন্য সর্বোচ্চ সম্ভাবনার অনুকল্পটি নির্বাচন করা। সাধারণ ফলাফলটি অন্তর্দৃষ্টির সাথে মিলে যায়: কম কাউন্ট মানে কোনো উৎস নেই, অনেক কাউন্ট মানে দুটি উৎস এবং মাঝারি কাউন্ট মানে একটি উৎস। আরও লক্ষ্য করুন যে, সাধারণত নেতিবাচক কিছু প্রমাণ করার ক্ষেত্রে সমস্যা থাকে। নাল হাইপোথিসিসগুলো অন্তত মিথ্যা প্রমাণযোগ্য (falsifiable) হওয়া উচিত।

নেইম্যান-পিয়ারসন তত্ত্ব পূর্ববর্তী সম্ভাবনা (prior probabilities) এবং সিদ্ধান্তের ফলে সৃষ্ট পদক্ষেপের খরচ উভয়কেই সামঞ্জস্য করতে পারে।^[87] প্রথমটি প্রতিটি পরীক্ষাকে আগের পরীক্ষার ফলাফল বিবেচনা করার সুযোগ দেয় (ফিশারের তাৎপর্য পরীক্ষার বিপরীতে)। দ্বিতীয়টি সম্ভাবনার পাশাপাশি অর্থনৈতিক বিষয়গুলোকেও (উদাহরণস্বরূপ) বিবেচনা করার সুযোগ দেয়। অনুকল্পগুলোর মধ্যে নির্বাচনের জন্য একটি লাইকলিহুড রেশিও একটি ভালো মানদণ্ড হিসেবে রয়ে গেছে।

হাইপোথিসিস টেস্টিংয়ের দুটি রূপ ভিন্ন ভিন্ন সমস্যা গঠনের ওপর ভিত্তি করে তৈরি। মূল পরীক্ষাটি সত্য/মিথ্যা প্রশ্নের অনুরূপ; নেইম্যান-পিয়ারসন পরীক্ষাটি বহু-নির্বাচনী প্রশ্নের মতো। টুকেই-এর দৃষ্টিতে,^[88] প্রথমটি শুধুমাত্র শক্তিশালী সাক্ষ্যের ভিত্তিতে একটি সিদ্ধান্তে পৌঁছায়, যেখানে দ্বিতীয়টি উপলব্ধ সাক্ষ্যের ভিত্তিতে একটি সিদ্ধান্ত গ্রহণ করে। যদিও দুটি পরীক্ষা গাণিতিক এবং দার্শনিক উভয়ভাবেই বেশ আলাদা বলে মনে হয়, পরবর্তী উন্নয়নগুলো বিপরীত দাবির দিকে নিয়ে গেছে। অনেক ছোট তেজস্ক্রিয় উৎসের কথা বিবেচনা করুন। অনুকল্পগুলো তখন তেজস্ক্রিয় বালির ০, ১, ২, ৩... দানায় পরিণত হয়। কোনো তেজস্ক্রিয়তা নেই বা কিছু আছে (ফিশার) এবং ০ দানা তেজস্ক্রিয় বালি বনাম বাকি সব বিকল্পের (নেইম্যান-পিয়ারসন) মধ্যে খুব কম পার্থক্য থাকে। ১৯৩৩ সালের প্রধান নেইম্যান-পিয়ারসন গবেষণাপত্রটি^[11] কম্পোজিট হাইপোথিসিসগুলোকেও (যার বিন্যাসে একটি অজানা প্যারামিটার অন্তর্ভুক্ত থাকে) বিবেচনা করেছিল। একটি উদাহরণ (স্টুডেন্ট) t-টেস্টের সর্বোত্তমতা প্রমাণ করেছিল, "বিবেচনাধীন অনুকল্পের জন্য এর চেয়ে ভালো কোনো পরীক্ষা হতে পারে না" (পৃষ্ঠা ৩২১)। নেইম্যান-পিয়ারসন তত্ত্ব শুরু থেকেই ফিশারিয়ান পদ্ধতির সর্বোত্তমতা প্রমাণ করছিল।

ফিশারের তাৎপর্য পরীক্ষা প্রয়োগের ক্ষেত্রে একটি জনপ্রিয় নমনীয় পরিসংখ্যানগত সরঞ্জাম হিসেবে প্রমাণিত হয়েছে, যার গাণিতিক বৃদ্ধির সম্ভাবনা কম। নেইম্যান-পিয়ারসন হাইপোথিসিস টেস্টিং গাণিতিক পরিসংখ্যানের একটি স্তম্ভ হিসেবে দাবি করা হয়,^[89] যা এই ক্ষেত্রের জন্য একটি নতুন দৃষ্টান্ত তৈরি করেছে। এটি statistical process control, detection theory, decision theory এবং game theory-তে নতুন প্রয়োগকেও উদ্দীপিত করেছে। উভয় সূত্রই সফল হয়েছে, তবে সাফল্যগুলো ভিন্ন প্রকৃতির।

সূত্রগুলো নিয়ে বিতর্ক অমীমাংসিত। বিজ্ঞান মূলত ফিশারের (সামান্য সংশোধিত) সূত্র ব্যবহার করে, যা প্রাথমিক পরিসংখ্যানের পাঠ্যবইয়ে শেখানো হয়। পরিসংখ্যানবিদরা স্নাতক স্তরে নেইম্যান-পিয়ারসন তত্ত্ব অধ্যয়ন করেন। গণিতবিদরা সূত্রগুলোকে একত্রিত করতে পেরে গর্বিত। দার্শনিকরা সেগুলোকে আলাদাভাবে বিবেচনা করেন। বিজ্ঞজনেরা সূত্রগুলোকে বিভিন্নভাবে প্রতিযোগিতামূলক (ফিশার বনাম নেইম্যান), অসামঞ্জস্যপূর্ণ^[21] বা পরিপূরক^[24] হিসেবে গণ্য করেন। বেইসিয়ান ইনফারেন্স সম্মানজনক অবস্থান অর্জনের পর থেকে বিতর্কটি আরও জটিল হয়ে উঠেছে।

পরিভাষাগুলো অসামঞ্জস্যপূর্ণ। হাইপোথিসিস টেস্টিং বলতে দুটি সূত্রের যেকোনো মিশ্রণ বোঝাতে পারে, যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়েছে। তাৎপর্য পরীক্ষা বনাম হাইপোথিসিস টেস্টিং নিয়ে যেকোনো আলোচনা বিভ্রান্তির জন্য দ্বিগুণ ঝুঁকিপূর্ণ।

ফিশার মনে করতেন যে হাইপোথিসিস টেস্টিং শিল্প গুণমান নিয়ন্ত্রণ (industrial quality control) করার জন্য একটি দরকারী কৌশল, তবে তিনি দৃঢ়ভাবে দ্বিমত পোষণ করতেন যে হাইপোথিসিস টেস্টিং বিজ্ঞানীদের জন্য দরকারী হতে পারে।^[22] হাইপোথিসিস টেস্টিং তাৎপর্য পরীক্ষায় ব্যবহৃত পরীক্ষা পরিসংখ্যান খোঁজার একটি মাধ্যম প্রদান করে।^[24] তাৎপর্য স্তর সমন্বয় করার পরিণতি ব্যাখ্যা করার জন্য পাওয়ার বা ক্ষমতার ধারণাটি দরকারী এবং এটি sample size determination-এ ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। দুটি পদ্ধতি দার্শনিক দিক থেকে স্বতন্ত্র।^[26] এগুলো সাধারণত (তবে সবসময় নয়) একই গাণিতিক উত্তর প্রদান করে। পছন্দের উত্তরটি প্রসঙ্গের ওপর নির্ভরশীল।^[24] যদিও ফিশার এবং নেইম্যান-পিয়ারসন তত্ত্বের বিদ্যমান একীভূতকরণ ব্যাপকভাবে সমালোচিত হয়েছে, বেইসিয়ান লক্ষ্য অর্জনের জন্য এই একীভূতকরণকে সংশোধন করার বিষয়টি বিবেচনা করা হয়েছে।^[90]

সমালোচনা

আরও দেখুন: p-value#Misuse

পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিংয়ের বেশিরভাগ সমালোচনাকে নিম্নলিখিত বিষয়গুলোর মাধ্যমে সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে:

একটি p-মান-এর ব্যাখ্যা stopping rule (থামানোর নিয়ম) এবং একাধিক তুলনার সংজ্ঞার ওপর নির্ভরশীল। প্রথমটি প্রায়শই গবেষণার সময় পরিবর্তিত হয় এবং দ্বিতীয়টি অনিবার্যভাবে অস্পষ্ট। (অর্থাৎ "পি-মানগুলো পর্যবেক্ষিত (উপাত্ত) এবং অন্যান্য সম্ভাব্য (উপাত্ত) যা পর্যবেক্ষিত হতে পারত কিন্তু হয়নি, উভয়ের ওপরই নির্ভর করে")।^[91]
ফিশার এবং নেইম্যান-পিয়ারসনের পদ্ধতিগুলো একত্রিত করার ফলে সৃষ্ট বিভ্রান্তি, যা ধারণাগতভাবে স্বতন্ত্র।^[88]
পুনরাবৃত্তিমূলক পরীক্ষার মাধ্যমে অনুমান এবং নিশ্চিতকরণকে বাদ দিয়ে পরিসংখ্যানগত তাৎপর্যের ওপর অত্যধিক গুরুত্বারোপ।^[92]
প্রকাশনার মানদণ্ড হিসেবে কঠোরভাবে পরিসংখ্যানগত তাৎপর্যের প্রয়োজনীয়তা, যার ফলে publication bias (প্রকাশনা পক্ষপাত) তৈরি হয়।^[93] বেশিরভাগ সমালোচনা পরোক্ষ। ভুল হওয়ার পরিবর্তে, পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিং ভুলভাবে বোঝা, অতিরিক্ত ব্যবহার এবং অপব্যবহার করা হয়।
যখন দলগুলোর মধ্যে কোনো পার্থক্য আছে কি না তা শনাক্ত করতে এটি ব্যবহৃত হয়, তখন একটি প্যারাডক্স বা কূটাভাস দেখা দেয়। পরীক্ষার নকশায় উন্নতি করা হলে (যেমন পরিমাপের নির্ভুলতা এবং নমুনার আকার বৃদ্ধি), পরীক্ষাটি আরও শিথিল হয়ে পড়ে। যদি কেউ এই অযৌক্তিক অনুমান গ্রহণ না করে যে উপাত্তের সমস্ত নয়েজ বা গোলমাল পুরোপুরি বাতিল হয়ে যায়, তবে যেকোনো দিকে পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য পাওয়ার সম্ভাবনা ১০০%-এর কাছাকাছি পৌঁছায়।^[94] তবে, দুটি দলের মধ্যে গড় পার্থক্য শূন্য হতে পারে না—এই অযৌক্তিক অনুমানটি বোঝায় যে উপাত্তগুলো স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত (i.i.d.) হতে পারে না, কারণ i.i.d. র‍্যান্ডম ভেরিয়েটের যেকোনো দুটি উপদলের মধ্যে প্রত্যাশিত পার্থক্য শূন্য; তাই, i.i.d. অনুমানটিও অযৌক্তিক।
দার্শনিক উদ্বেগের স্তর। পরিসংখ্যানগত তাৎপর্যের সম্ভাবনা পরীক্ষক/বিশ্লেষকদের সিদ্ধান্তের একটি ফাংশন।^[95] যদি সিদ্ধান্তগুলো প্রথার ওপর ভিত্তি করে হয়, তবে সেগুলোকে স্বেচ্ছাচারী বা বিবেকহীন বলা হয়,^[96] আর যেগুলো তা নয়, সেগুলোকে বিষয়ী (subjective) বলা যেতে পারে। টাইপ II ত্রুটি কমানোর জন্য, বড় নমুনার সুপারিশ করা হয়। মনোবিজ্ঞানে কার্যত সমস্ত নাল হাইপোথিসিস যথেষ্ট বড় নমুনার জন্য মিথ্যা বলে দাবি করা হয়, তাই "...শুধুমাত্র নাল হাইপোথিসিস বাতিল করার লক্ষ্যে পরীক্ষা করা সাধারণত অর্থহীন।"^[97] মনোবিজ্ঞানে "পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ ফলাফল প্রায়শই বিভ্রান্তিকর"।^[98] পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য মানেই ব্যবহারিক তাৎপর্য নয়, এবং correlation does not imply causation (সহসম্পর্ক মানেই কার্যকারণ নয়)। নাল হাইপোথিসিসের ওপর সন্দেহ প্রকাশ করা তাই সরাসরি গবেষণার অনুকল্পকে সমর্থন করার থেকে অনেক দূরে।
"[ই]হা আমাদের যা জানা প্রয়োজন তা বলে না"।^[99] ডজন ডজন অভিযোগের তালিকা উপলব্ধ।^[100]^[31]^[101]

সমালোচক এবং সমর্থকরা নাল হাইপোথিসিস সিগনিফিক্যান্স টেস্টিং (NHST)-এর বৈশিষ্ট্যগুলোর বিষয়ে মূলত একমত: যদিও এটি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য প্রদান করতে পারে, এটি পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণের একমাত্র সরঞ্জাম হিসেবে অপর্যাপ্ত। নাল হাইপোথিসিস সফলভাবে বাতিল করা গবেষণার অনুকল্পের জন্য কোনো সমর্থন নাও দিতে পারে। চলমান বিতর্কটি বিদ্যমান অনুশীলনের পরিপ্রেক্ষিতে নিকট ভবিষ্যতের জন্য সেরা পরিসংখ্যানগত অনুশীলনের নির্বাচন নিয়ে। তবে, পর্যাপ্ত গবেষণার নকশা এই সমস্যাটিকে কমাতে পারে। সমালোচকরা NHST পুরোপুরি নিষিদ্ধ করতে পছন্দ করবেন, যা সেই অনুশীলনগুলো থেকে সম্পূর্ণ প্রস্থান করতে বাধ্য করবে,^[102] অন্যদিকে সমর্থকরা কম চরম পরিবর্তনের পরামর্শ দেন।^[103]

তাৎপর্য পরীক্ষা নিয়ে বিতর্ক, এবং বিশেষ করে প্রকাশনা পক্ষপাতের ওপর এর প্রভাব, বেশ কয়েকটি ফলাফল তৈরি করেছে। American Psychological Association পর্যালোচনার পর তাদের পরিসংখ্যানগত রিপোর্টিংয়ের প্রয়োজনীয়তা কঠোর করেছে,^[104] medical journal প্রকাশকরা প্রকাশনা পক্ষপাত মোকাবিলার জন্য কিছু ফলাফল প্রকাশ করার বাধ্যবাধকতা স্বীকার করেছেন যা পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ নয়,^[105] এবং এমন ফলাফলগুলো একচেটিয়াভাবে প্রকাশ করার জন্য একটি জার্নাল (Journal of Articles in Support of the Null Hypothesis) তৈরি করা হয়েছে।^[106] পাঠ্যবইগুলোতে কিছু সতর্কতা যোগ করা হয়েছে,^[107] এবং তাৎপর্যপূর্ণ ফলাফল তৈরি করার জন্য প্রয়োজনীয় নমুনার আকার অনুমান করার সরঞ্জামগুলোর কভারেজ বাড়ানো হয়েছে। খুব কম বড় সংস্থা তাৎপর্য পরীক্ষার ব্যবহার ত্যাগ করেছে, যদিও কেউ কেউ তা করার বিষয়ে আলোচনা করেছে।^[104] উদাহরণস্বরূপ, ২০২৩ সালে, Journal of Physiology-এর সম্পাদকরা "যারা দ্য জার্নালে প্রকাশ করছেন তাদের জন্য এস্টিমেশন বা অনুমান পদ্ধতি ব্যবহারের দৃঢ় সুপারিশ করেন" (যার অর্থ effect size-এর মাত্রা (পাঠকদের বিচার করতে দেওয়া যে কোনো ফলাফলের ব্যবহারিক, শারীরবৃত্তীয় বা ক্লিনিকাল প্রাসঙ্গিকতা আছে কি না) এবং সেই অনুমানের নির্ভুলতা বোঝাতে confidence intervals (আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান)), তারা বলেন "পরিশেষে, দ্য জার্নাল অফ ফিজিওলজিতে যারা প্রকাশ করছেন তাদের পরিসংখ্যানগত তাৎপর্যের চেয়ে উপাত্তের শারীরবৃত্তীয় গুরুত্বের বিষয়ে সবচেয়ে বেশি উদ্বিগ্ন হওয়া উচিত।"^[108]

পি-মানগুলো র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল।^[109] অতএব, একটি পরিসংখ্যানগত পরীক্ষার সিদ্ধান্ত একটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল; এর স্থায়িত্ব বোঝার জন্য, নিম্নলিখিত পদ্ধতিগুলো প্রস্তাব করা হয়েছে:

পি-মানগুলোর sampling distribution (নমুনা বিন্যাস)-এর বুটস্ট্র্যাপিং^[110]

বিকল্পসমূহ

মূল নিবন্ধ: Estimation statistics আরও দেখুন: Confidence interval#Statistical hypothesis testing

সমালোচকদের একটি ঐক্যবদ্ধ অবস্থান হলো যে পরিসংখ্যানের একটি গ্রহণ-বাতিল সিদ্ধান্ত বা সিদ্ধান্তে পৌঁছানো উচিত নয়, বরং একটি interval estimate (ব্যবধান অনুমান)-সহ একটি আনুমানিক মানের দিকে যাওয়া উচিত; এই উপাত্ত-বিশ্লেষণ দর্শনকে ব্যাপকভাবে estimation statistics (অনুমান পরিসংখ্যান) বলা হয়। অনুমান পরিসংখ্যান ফ্রিকোয়েন্টিস্ট^[111] বা বেইসিয়ান পদ্ধতির মাধ্যমে সম্পন্ন করা যেতে পারে।^[112]^[113]

তাৎপর্য পরীক্ষার সমালোচকরা পি-মানের ওপর কম এবং গুরুত্বের জন্য ইফেক্ট সাইজের আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান, আত্মবিশ্বাসের জন্য প্রেডিকশন ইন্টারভ্যাল, প্রতিলিপিযোগ্যতার জন্য প্রতিলিপি এবং সম্প্রসারণ, এবং সাধারণীকরণের জন্য মেটা-বিশ্লেষণের ওপর ভিত্তি করে ইনফারেন্স বা অনুমানের পক্ষে কথা বলেছেন।^[114] কিন্তু এই প্রস্তাবিত বিকল্পগুলোর কোনোটিই সহজাতভাবে কোনো সিদ্ধান্ত তৈরি করে না। লেহম্যান বলেছিলেন যে হাইপোথিসিস টেস্টিং তত্ত্বকে সিদ্ধান্ত, সম্ভাবনা বা আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের পরিপ্রেক্ষিতে উপস্থাপন করা যেতে পারে: "...পদ্ধতিগুলোর মধ্যে পার্থক্য মূলত রিপোর্টিং এবং ব্যাখ্যার।"^[44]

Bayesian inference তাৎপর্য পরীক্ষার একটি প্রস্তাবিত বিকল্প। (নিকেরসন এটি প্রস্তাবকারী ১০টি উৎসের কথা উল্লেখ করেছেন, যার মধ্যে রোজবুম (১৯৬০) অন্তর্ভুক্ত)।^[31] উদাহরণস্বরূপ, বেইসিয়ান parameter estimation (প্যারামিটার অনুমান) উপাত্ত সম্পর্কে সমৃদ্ধ তথ্য প্রদান করতে পারে যা থেকে গবেষকরা অনুমান করতে পারেন, যখন অনিশ্চিত প্রাইর ব্যবহার করা হয় যা পর্যাপ্ত উপাত্ত উপলব্ধ থাকলে ফলাফলের ওপর কেবল ন্যূনতম প্রভাব ফেলে। মনোবিজ্ঞানী John K. Kruschke t-test-এর বিকল্প হিসেবে বেইসিয়ান অনুমানের পরামর্শ দিয়েছেন^[112] এবং হাইপোথিসিস টেস্টিংয়ের জন্য বেইসিয়ান মডেল তুলনার সাথে নাল মান মূল্যায়নের জন্য বেইসিয়ান অনুমানের বৈপরীত্যও দেখিয়েছেন।^[113] দুটি প্রতিযোগিতামূলক মডেল/অনুকল্প Bayes factors ব্যবহার করে তুলনা করা যেতে পারে।^[115] বেইসিয়ান পদ্ধতিগুলোর সমালোচনা করা যেতে পারে কারণ এগুলোর জন্য এমন তথ্যের প্রয়োজন হয় যা তাৎপর্য পরীক্ষা সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয় এমন ক্ষেত্রে খুব কমই পাওয়া যায়। সামাজিক বিজ্ঞানে বিকল্প অনুকল্পের অধীনে নাল হাইপোথিসিসের প্রাইর সম্ভাবনা বা probability distribution (সম্ভাব্যতা বিন্যাস) খুব কমই পাওয়া যায়।^[31]

বেয়েসীয় (Bayesian) দৃষ্টিভঙ্গির প্রবক্তারা কখনও কখনও দাবি করেন যে, একজন গবেষকের মূল লক্ষ্য হলো সংগৃহীত তথ্যের ভিত্তিতে কোনো হাইপোথিসিস বা অনুকল্প সত্য হওয়ার সম্ভাবনা বস্তুনিষ্ঠভাবে নিরূপণ করা।^[116]^[117] ফিশার-এর তাৎপর্য পরীক্ষা (significance testing) কিংবা নেইম্যান-পিয়ারসন হাইপোথিসিস পরীক্ষা—কোনোটিই এই তথ্য প্রদান করতে পারে না এবং তারা তা দাবিও করে না। একটি হাইপোথিসিস সত্য হওয়ার সম্ভাবনা কেবল বেয়েসের উপপাদ্য ব্যবহারের মাধ্যমেই পাওয়া যেতে পারে, যা ফিশার এবং নেইম্যান-পিয়ারসন উভয় পক্ষের কাছেই অসন্তোষজনক ছিল, কারণ এতে প্রাইর প্রোবাবিলিটি বা পূর্ববর্তী সম্ভাবনার আকারে ব্যক্তিনিষ্ঠতা স্পষ্টভাবে ব্যবহৃত হয়।^[11]^[118] ফিশারের কৌশল হলো p-ভ্যালু (শুধুমাত্র তথ্যের ওপর ভিত্তি করে একটি বস্তুনিষ্ঠ সূচক) ব্যবহার করে একে পাশ কাটানো এবং এরপর আরোহী অনুমান (inductive inference) প্রয়োগ করা, অন্যদিকে নেইম্যান-পিয়ারসন তাদের আরোহী আচরণ (inductive behaviour)-এর পদ্ধতি উদ্ভাবন করেন।

আরও দেখুন

পরিসংখ্যান
অলমোস্ট শিওর হাইপোথিসিস টেস্টিং
আকেইক ইনফরমেশন ক্রাইটেরিয়ন
বেয়েস ফ্যাক্টর
বেয়েসিয়ান ইনফরমেশন ক্রাইটেরিয়ন
বেহরেনস-ফিশার সমস্যা
বুটস্ট্র্যাপিং (পরিসংখ্যান)
প্রমাণের বোঝা
মুদ্রা নিরপেক্ষ কি না তা যাচাই করা
গড় তুলনা পরীক্ষা সিদ্ধান্ত বৃক্ষ
সম্পূর্ণ স্থানিক দৈবচয়ন
কাউন্টারনাল
দ্বিমুখী চিন্তাভাবনা
ই-ভ্যালু
এস্টিমেশন স্ট্যাটিস্টিকস
মিথ্যাযোগ্যতা
ফিশারের পদ্ধতি (স্বাধীন তাৎপর্য পরীক্ষার সমন্বয়ের জন্য)
গ্রেঞ্জার কজালিটি
লাইকলিহুড-রেশিও টেস্ট
লুক-এলসহোয়ার ইফেক্ট
মডিফায়েবল এরিয়াল ইউনিট প্রবলেম
মডিফায়েবল টেম্পোরাল ইউনিট প্রবলেম
মাল্টিভ্যারিয়েট হাইপোথিসিস টেস্টিং
অমনিবাস টেস্ট
নির্দোষিতার অনুমান
পি-ভ্যালু

তথ্যসূত্র

↑ (2013). 100 Statistical Tests in R: What to Choose, how to Easily Calculate, with Over 300 Illustrations and Examples. Heather Hills Press. ISBN 978-1-4840-5299-0.
↑ (18 July 2006). 100 Statistical Tests. SAGE. ISBN 978-1-4462-2250-8.
↑ ^3.0 ^3.1 (2005). "Testing Statistical Hypotheses". Springer. ISBN 978-0-387-98864-1.
↑ (23 September 2014). Statistics for Business and Economics. 314. Wiley. ISBN 978-1-119-94335-8.
↑ Helmenstine, Anne Marie. What Is the Null Hypothesis? Definition and Examples. ThoughtCo.
↑ ^6.0 ^6.1 ^6.2 ^6.3 (2003). Introduction to the Practice of Statistics. 438. W.H. Freeman and Co. ISBN 978-0716796572.
↑ Weiss, Neil A.. (1999). Introductory Statistics. 494. Addison Wesley. ISBN 978-0201598773.
↑ (2016). The ASA's statement on p-values: context, process, and purpose. The American Statistician. 70 (2) 129-133. doi:10.1080/00031305.2016.1154108.
↑ (1971). Statistics: A Foundation for Analysis. 191. Addison-Wesley. ISBN 0-201-03021-7.
↑ Rossi, R. J.. (2018). "Mathematical Statistics". 281. Wiley..
↑ ^11.0 ^11.1 ^11.2 ^11.3 ^11.4 ^11.5 (January 1, 1933). "On the Problem of the most Efficient Tests of Statistical Hypotheses". Philosophical Transactions of the Royal Society A. 231 (694–706) 289–337. doi:10.1098/rsta.1933.0009.
↑ (1975). Statistics : probability, inference, and decision. 403. Holt, Rinehart and Winston. ISBN 978-0-03-014011-2.
↑ ^13.0 ^13.1 Gigerenzer, Gerd. (1989). "The Empire of Chance: How Probability Changed Science and Everyday Life". 70–122. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39838-1.
↑ Lehmann, E. L.. (2011). "Fisher, Neyman, and the creation of classical statistics". Springer. ISBN 978-1441994998.
↑ Bellhouse, P.. (2001). "in Statisticians of the Centuries by C.C. Heyde and E. Seneta". 39–42. Springer. ISBN 978-0-387-95329-8.
↑ ^16.0 ^16.1 Laplace, P.. (1778). Mémoire sur les probabilités. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. 227–332. Reprinted in Laplace, P.. (1878–1912). Oeuvres complètes de Laplace. 9 383–488. Gauthier-Villars. English translation: Laplace, P.. (August 21, 2010). Mémoire sur les probabilités.
↑ Pearson, K. (1900). On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 5 (50) 157–175. doi:10.1080/14786440009463897.
↑ Pearson, K. (1904). On the Theory of Contingency and Its Relation to Association and Normal Correlation. Drapers' Company Research Memoirs Biometric Series. 1 1–35.
↑ Zabell, S. (1989). "R. A. Fisher on the History of Inverse Probability". Statistical Science. 4 (3) 247–256. doi:10.1214/ss/1177012488.
↑ Cohen, J.. (1990). Things I have learned (so far). American Psychologist. 45 (12) 1304–1312. doi:10.1037/0003-066X.45.12.1304.
↑ ^21.0 ^21.1 Raymond Hubbard, M. J. Bayarri, P Values are not Error Probabilities সংরক্ষিত সংস্করণ. একটি ওয়ার্কিং পেপার যা ফিশারের এভিডেন্সিয়াল p-ভ্যালু এবং নেইম্যান-পিয়ারসন টাইপ I ত্রুটির হার $α$ -এর মধ্যে পার্থক্য ব্যাখ্যা করে।
↑ ^22.0 ^22.1 Fisher, R. (1955). Statistical Methods and Scientific Induction. Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 17 (1) 69–78. doi:10.1111/j.2517-6161.1955.tb00180.x.
↑ Goodman, S N. (June 15, 1999). "Toward evidence-based medical statistics. 1: The P Value Fallacy". Ann Intern Med. 130 (12) 995–1004. doi:10.7326/0003-4819-130-12-199906150-00008.
↑ ^24.0 ^24.1 ^24.2 ^24.3 Lehmann, E. L.. (December 1993). "The Fisher, Neyman–Pearson Theories of Testing Hypotheses: One Theory or Two?". Journal of the American Statistical Association. 88 (424) 1242–1249. doi:10.1080/01621459.1993.10476404.
↑ Fisher, R N. (1958). The Nature of Probability. Centennial Review. 2 261–274.
↑ ^26.0 ^26.1 ^26.2 Lenhard, Johannes. (2006). "Models and Statistical Inference: The Controversy between Fisher and Neyman–Pearson". Br. J. Philos. Sci.. 57 69–91. doi:10.1093/bjps/axi152.
↑ Aldrich, John. Earliest Known Uses of Some of the Words of Probability & Statistics. সর্বশেষ আপডেট ১২ মার্চ ২০০৩। জেফ মিলার থেকে।
↑ (1967). "RA Fisher (1890—1962): An Appreciation.". Science. 156 (3781) 1456–1460. doi:10.1126/science.156.3781.1456.
↑ (1971). "Hypothetical explanations of the negative apparent effects of cloud seeding in the Whitetop Experiment.". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 68 (11) 2643–2646. doi:10.1073/pnas.68.11.2643.
↑ Lehmann, E. L.. (December 1993). "The Fisher, Neyman-Pearson Theories of Testing Hypotheses: One Theory or Two?". Journal of the American Statistical Association. 88 (424) 1242–1249. doi:10.1080/01621459.1993.10476404.
↑ ^31.0 ^31.1 ^31.2 ^31.3 ^31.4 ^31.5 Nickerson, Raymond S.. (2000). Null Hypothesis Significance Tests: A Review of an Old and Continuing Controversy. Psychological Methods. 5 (2) 241–301. doi:10.1037/1082-989X.5.2.241.
↑ ^32.0 ^32.1 (Winter 2006). "Inductive Inference or Inductive Behavior: Fisher and Neyman: Pearson Approaches to Statistical Testing in Psychological Research (1940–1960)". The American Journal of Psychology. 119 (4) 625–653. doi:10.2307/20445367.
↑ Everitt, Brian. (1998). The Cambridge Dictionary of Statistics. Cambridge University Press. ISBN 978-0521593465.
↑ ^34.0 ^34.1 ^34.2 ^34.3 Hayes, Adam. Null Hypothesis Definition. Investopedia.
↑ Zhao, Guolong. (18 April 2015). A Test of Non Null Hypothesis for Linear Trends in Proportions. Communications in Statistics – Theory and Methods. 44 (8) 1621–1639. doi:10.1080/03610926.2013.776687.
↑ OECD Glossary of Statistical Terms – Non-null hypothesis Definition. stats.oecd.org.
↑ (2002). Model Selection and Multimodel Inference: A Practical Information-Theoretic Approach. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95364-9..
↑ Meehl, P. (1990). Appraising and Amending Theories: The Strategy of Lakatosian Defense and Two Principles That Warrant It. Psychological Inquiry. 1 (2) 108–141. doi:10.1207/s15327965pli0102_1.
↑ (2006). "Severe Testing as a Basic Concept in a Neyman–Pearson Philosophy of Induction". The British Journal for the Philosophy of Science. 57 (2) 323–357. doi:10.1093/bjps/axl003.
↑ Mathematics > High School: Statistics & Probability > Introduction সংরক্ষিত সংস্করণ Common Core State Standards Initiative (relates to USA students)
↑ College Board Tests > AP: Subjects > Statistics The College Board (relates to USA students)
↑ Huff, Darrell. (1993). How to lie with statistics. 8. Norton. ISBN 978-0-393-31072-6.'সামাজিক ও অর্থনৈতিক প্রবণতা, ব্যবসায়িক পরিস্থিতি, "জনমত" জরিপ, আদমশুমারির বিশাল ডেটা রিপোর্ট করার জন্য পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি এবং পরিসংখ্যানগত শব্দগুলো প্রয়োজনীয়। কিন্তু যদি লেখকরা সততার সাথে শব্দগুলো ব্যবহার না করেন এবং পাঠকরা যদি এর অর্থ না বোঝেন, তবে ফলাফল কেবল শব্দার্থিক অর্থহীনতা হতে পারে।'
↑ (1967). "Statistical Methods". 3. Iowa State University Press. "...পরিসংখ্যানের মৌলিক ধারণাগুলো আমাদের সমস্যা সম্পর্কে স্পষ্টভাবে চিন্তা করতে সহায়তা করে, সঠিক অনুমান করার জন্য যে শর্তগুলো পূরণ করতে হবে সে সম্পর্কে কিছু নির্দেশনা প্রদান করে এবং আমাদের এমন অনেক অনুমান শনাক্ত করতে সক্ষম করে যেগুলোর কোনো ভালো যৌক্তিক ভিত্তি নেই।"
↑ ^44.0 ^44.1 E. L. Lehmann. (1997). "Testing Statistical Hypotheses: The Story of a Book". Statistical Science. 12 (1) 48–52. doi:10.1214/ss/1029963261.
↑ (2007). Students' Misconceptions of Statistical Inference: A Review of the Empirical Evidence from Research on Statistics Education. Educational Research Review. 2 (2) 98–113. doi:10.1016/j.edurev.2007.04.001.
↑ Moore, David S.. (1997). New Pedagogy and New Content: The Case of Statistics. International Statistical Review. 65 (2) 123–165. doi:10.2307/1403333.
↑ (2006). "Why We Don't Really Know What Statistical Significance Means: Implications for Educators". Journal of Marketing Education. 28 (2) 114–120. doi:10.1177/0273475306288399.
↑ (2009). "How Confident Are Students in Their Misconceptions about Hypothesis Tests?". Journal of Statistics Education. 17 (2). doi:10.1080/10691898.2009.11889514.
↑ Gigerenzer, G.. (2004). The SAGE Handbook of Quantitative Methodology for the Social Sciences. 391–408. ISBN 978-0-7619-2359-6. doi:10.4135/9781412986311.
↑ Stockburger D.W. (2007), "Hypothesis and hypothesis testing", Encyclopedia of Measurement and Statistics (editor—Salkind N.J.), SAGE Publications.
↑ (13 October 2015). Understanding Null Hypothesis Testing – Research Methods in Psychology. opentextbc.ca.
↑ (1982). "Statistical Significance Tests". Br. J. Clin. Pharmacol.. 14 (3) 325–331. doi:10.1111/j.1365-2125.1982.tb01987.x.
↑ Statistical Methods for Research Workers (11th Ed): Chapter IV: Tests of Goodness of Fit, Independence and Homogeneity; With Table of χ². Regarding a significance test supporting goodness of fit: If the calculated probability is high then "there is certainly no reason to suspect that the [null] hypothesis is tested. If it is [low] it is strongly indicated that the [null] hypothesis fails to account for the whole of the facts."
↑ Cox, D. R.. (2006). "Principles of Statistical Inference". 197. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-68567-2.
↑ Jones, B. (6 July 1996). "Trials to assess equivalence: the importance of rigorous methods". BMJ. 313 (7048) 36–39. doi:10.1136/bmj.313.7048.36. It is suggested that the default position (the null hypothesis) should be that the treatments are not equivalent. Conclusions should be made on the basis of confidence intervals rather than significance.
↑ Fisher, R. A.. (1966). "The Design of Experiments". Hafner.
↑ উদাহরণস্বরূপ দেখুন Null hypothesis
↑ (2009). "Misprescription and misuse of one-tailed tests". Austral Ecology. 34 (4) 447–468. doi:10.1111/j.1442-9993.2009.01946.x. জীববিজ্ঞানে এক-মুখী পরীক্ষার গুণাগুণ এবং ঐতিহাসিক ব্যবহার নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করে।
↑ (23 July 1994). "One and two sided tests of significance". BMJ. 309 (6949) 248. doi:10.1136/bmj.309.6949.248. চিকিৎসা পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রে: "সাধারণত একটি এক-মুখী পরীক্ষা উপযুক্ত যখন এক দিকে একটি বড় পার্থক্য কোনো পার্থক্য না থাকার মতোই একই পরিণতির দিকে নিয়ে যায়। একটি নির্দিষ্ট দিকে পার্থক্যের প্রত্যাশা পর্যাপ্ত যৌক্তিকতা নয়।" "অন্যথা করার খুব ভালো কারণ না থাকলে দুই-পার্শ্বীয় পরীক্ষা ব্যবহার করা উচিত। যদি এক-মুখী পরীক্ষা ব্যবহার করতেই হয়, তবে পরীক্ষার দিকটি আগে থেকেই নির্দিষ্ট করতে হবে। এক-মুখী পরীক্ষা কখনোই কেবল একটি প্রচলিত অ-তাৎপর্যপূর্ণ পার্থক্যকে তাৎপর্যপূর্ণ করার উপায় হিসেবে ব্যবহার করা উচিত নয়।"
↑ (2000). "A Sensible Formulation of the Significance Test". Psychological Methods. 5 (4) 411–414. doi:10.1037/1082-989X.5.4.411. পরীক্ষার ফলাফলগুলো চিহ্নিত: তাৎপর্যপূর্ণ ইতিবাচক প্রভাব, তাৎপর্যপূর্ণ নেতিবাচক প্রভাব অথবা অজানা চিহ্নের অতাৎপর্যপূর্ণ প্রভাব। এটি দুই-পার্শ্বীয় পরীক্ষার চেয়ে আরও সূক্ষ্ম সিদ্ধান্ত। এতে এক-মুখী পরীক্ষার অসুবিধা ছাড়াই সুবিধাগুলো পাওয়া যায়।
↑ (2009). "Final collapse of the Neyman-Pearson decision theoretic framework and rise of the neoFisherian". Ann. Zool. Fennici. 46 (5) 311–349. doi:10.5735/086.046.0501.
↑ (2005). Testing Statistical Hypotheses. Springer Texts in Statistics. ISBN 978-0-387-98864-1. doi:10.1007/0-387-27605-x.
↑ (2008). "Design and Analysis of Experiments". I and II. Wiley. ISBN 978-0-470-38551-7.
↑ Montgomery, Douglas. (2009). "Design and analysis of experiments". Wiley. ISBN 978-0-470-12866-4.
↑ R. A. Fisher (1925).Statistical Methods for Research Workers, Edinburgh: Oliver and Boyd, 1925, p.43.
↑ Nuzzo, Regina. (2014). "Scientific method: Statistical errors". Nature. 506 (7487) 150–152. doi:10.1038/506150a.
↑ (1976). "Statistics in the Real World: a book of examples". Macmillan. ISBN 978-0-02-367720-5.
↑ (1997). "The Spread of Statistical Significance Testing in Psychology: The Case of the Journal of Applied Psychology". Theory and Psychology. 7 (4) 545–554. doi:10.1177/0959354397074006.
↑ (April–June 2016). "Common pitfalls in statistical analysis: The perils of multiple testing". Perspect Clin Res. 7 (2) 106–107. doi:10.4103/2229-3485.179436.
↑ Hall, P. and Wilson, S.R., 1991. Two guidelines for bootstrap hypothesis testing. Biometrics, pp.757-762.
↑ Tibshirani, R.J. and Efron, B., 1993. An introduction to the bootstrap. Monographs on statistics and applied probability, 57(1).
↑ Martin, M.A., 2007. Bootstrap hypothesis testing for some common statistical problems: A critical evaluation of size and power properties. Computational Statistics & Data Analysis, 51(12), pp.6321-6342.
↑ Horowitz, J.L., 2019. Bootstrap methods in econometrics. Annual Review of Economics, 11, pp.193-224.
↑ John Arbuthnot. (1710). An argument for Divine Providence, taken from the constant regularity observed in the births of both sexes. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 27 (325–336) 186–190. doi:10.1098/rstl.1710.0011.
↑ (2007). The Descent of Human Sex Ratio at Birth. 1–25. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-6036-6.
↑ Conover, W.J.. (1999). "Practical Nonparametric Statistics". 157–176. Wiley. ISBN 978-0-471-16068-7.
↑ Sprent, P.. (1989). "Applied Nonparametric Statistical Methods". Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-44980-2.
↑ Stigler, Stephen M.. (1986). "The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty Before 1900". 225–226. Harvard University Press. ISBN 978-0-67440341-3.
↑ Stigler, Stephen M.. (1986). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. 134. Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 978-0-674-40340-6.
↑ Fisher, Sir Ronald A.. (2000). The World of Mathematics, volume 3. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-41151-4. মূলত ফিশারের বই Design of Experiments থেকে।
↑ Box, Joan Fisher. (1978). "R.A. Fisher, The Life of a Scientist". 134. Wiley. ISBN 978-0-471-09300-8.
↑ (2007). "Probability theory: the logic of science". Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-59271-0.
↑ (2015-11-24). "Which scientists can winningly explain a flame, time, sleep, color, or sound to 11-year-olds?". Physics Today. (11). doi:10.1063/pt.5.8150.
↑ (2016-04-02). "The ASA Statement on p -Values: Context, Process, and Purpose". The American Statistician. 70 (2) 129–133. doi:10.1080/00031305.2016.1154108.
↑ Schervish, M (1996) Theory of Statistics, p. 218. Springer 0-387-94546-6
↑ (2011). Reference Manual on Scientific Evidence. 259. West National Academies Press. ISBN 978-0-309-21421-6.
↑ Ash, Robert. (1970). "Basic probability theory". Wiley. ISBN 978-0-471-03450-6.Section 8.2
↑ ^88.0 ^88.1 Tukey, John W.. (1960). "Conclusions vs decisions". Technometrics. 26 (4) 423–433. doi:10.1080/00401706.1960.10489909. "Until we go through the accounts of testing hypotheses, separating [Neyman–Pearson] decision elements from [Fisher] conclusion elements, the intimate mixture of disparate elements will be a continual source of confusion." ... "There is a place for both "doing one's best" and "saying only what is certain," but it is important to know, in each instance, both which one is being done, and which one ought to be done."
↑ Stigler, Stephen M.. (August 1996). "The History of Statistics in 1933". Statistical Science. 11 (3) 244–252. doi:10.1214/ss/1032280216.
↑ Berger, James O.. (2003). "Could Fisher, Jeffreys and Neyman Have Agreed on Testing?". Statistical Science. 18 (1) 1–32. doi:10.1214/ss/1056397485.
↑ Cornfield, Jerome. (1976). Recent Methodological Contributions to Clinical Trials. American Journal of Epidemiology. 104 (4) 408–421. doi:10.1093/oxfordjournals.aje.a112313.
↑ Yates, Frank. (1951). "The Influence of Statistical Methods for Research Workers on the Development of the Science of Statistics". Journal of the American Statistical Association. 46 (253) 19–34. doi:10.1080/01621459.1951.10500764. "The emphasis given to formal tests of significance throughout [R.A. Fisher's] Statistical Methods ... has caused scientific research workers to pay undue attention to the results of the tests of significance they perform on their data, particularly data derived from experiments, and too little to the estimates of the magnitude of the effects they are investigating." ... "The emphasis on tests of significance and the consideration of the results of each experiment in isolation, have had the unfortunate consequence that scientific workers have often regarded the execution of a test of significance on an experiment as the ultimate objective."
↑ (1988). "Publication bias: a problem in interpreting medical data". Journal of the Royal Statistical Society, Series A. 151 (3) 419–463. doi:10.2307/2982993.
↑ Meehl, Paul E.. (1967). Theory-Testing in Psychology and Physics: A Methodological Paradox. Philosophy of Science. 34 (2) 103–115. doi:10.1086/288135. Thirty years later, Meehl acknowledged statistical significance theory to be mathematically sound while continuing to question the default choice of null hypothesis, blaming instead the "social scientists' poor understanding of the logical relation between theory and fact" in "The Problem Is Epistemology, Not Statistics: Replace Significance Tests by Confidence Intervals and Quantify Accuracy of Risky Numerical Predictions" (Chapter 14 in Harlow (1997)).
↑ Bakan, David. (1966). "The test of significance in psychological research". Psychological Bulletin. 66 (6) 423–437. doi:10.1037/h0020412.
↑ Gigerenzer, G. (November 2004). "Mindless statistics". The Journal of Socio-Economics. 33 (5) 587–606. doi:10.1016/j.socec.2004.09.033.
↑ Nunnally, Jum. (1960). "The place of statistics in psychology". Educational and Psychological Measurement. 20 (4) 641–650. doi:10.1177/001316446002000401.
↑ Lykken, David T.. (1991). "What's wrong with psychology, anyway?". Thinking Clearly About Psychology. 1 3–39.
↑ Jacob Cohen. (December 1994). "The Earth Is Round (p < .05)". American Psychologist. 49 (12) 997–1003. doi:10.1037/0003-066X.49.12.997. This paper lead to the review of statistical practices by the APA. Cohen was a member of the Task Force that did the review.
↑ Kline, Rex. (2004). "Beyond Significance Testing: Reforming Data Analysis Methods in Behavioral Research". American Psychological Association. ISBN 978-1-59147-118-9.
↑ Branch, Mark. (2014). "Malignant side effects of null hypothesis significance testing". Theory & Psychology. 24 (2) 256–277. doi:10.1177/0959354314525282.
↑ (January 1997). "Needed: A Ban on the Significance Test". Psychological Science. 8 (1) 3–7. doi:10.1111/j.1467-9280.1997.tb00534.x.
↑ (2021). "The practical alternative to the p value is the correctly used p value". Perspectives on Psychological Science. 16 (3) 639–648. doi:10.1177/1745691620958012.
↑ ^104.0 ^104.1 Wilkinson, Leland. (1999). "Statistical Methods in Psychology Journals; Guidelines and Explanations". American Psychologist. 54 (8) 594–604. doi:10.1037/0003-066X.54.8.594. "Hypothesis tests. It is hard to imagine a situation in which a dichotomous accept-reject decision is better than reporting an actual p value or, better still, a confidence interval." (p 599). The committee used the cautionary term "forbearance" in describing its decision against a ban of hypothesis testing in psychology reporting. (p 603)
↑ ICMJE: Obligation to Publish Negative Studies.
↑ Journal of Articles in Support of the Null Hypothesis website: JASNH homepage. Volume 1 number 1 was published in 2002, and all articles are on psychology-related subjects.
↑ Howell, David. (2002). Statistical Methods for Psychology. 94. Duxbury. ISBN 978-0-534-37770-0.
↑ (October 10, 2023). "Moving beyond P values in The Journal of Physiology: A primer on the value of effect sizes and confidence intervals". J Physiol. 601 (23) 5131–5133. doi:10.1113/JP285575.
↑ P-Values are Random Variables Duncan J. Murdoch, Yu-Ling Tsai and James Adcock, The American Statistician, 2008, https://www.jstor.org/stable/27644033
↑ (2011). "P-Value Precision and Reproducibility". The American Statistician. 65 (4) 213–221. doi:10.1198/tas.2011.10129.
↑ (June 19, 2019). Moving beyond P values: data analysis with estimation graphics. Nature Methods. 16 (7) 565–566. doi:10.1038/s41592-019-0470-3.
↑ ^112.0 ^112.1 Kruschke, J K. (July 9, 2012). Bayesian Estimation Supersedes the T Test. Journal of Experimental Psychology: General. 142 (2) 573–603. doi:10.1037/a0029146.
↑ ^113.0 ^113.1 Kruschke, J K. (May 8, 2018). Rejecting or Accepting Parameter Values in Bayesian Estimation. Advances in Methods and Practices in Psychological Science. 1 (2) 270–280. doi:10.1177/2515245918771304.
↑ Armstrong, J. Scott. (2007). Significance tests harm progress in forecasting. International Journal of Forecasting. 23 (2) 321–327. doi:10.1016/j.ijforecast.2007.03.004.
↑ Kass, R. E.. (1993). Bayes factors and model uncertainty. Department of Statistics, University of Washington.
↑ Rozeboom, William W. (1960). The fallacy of the null-hypothesis significance test. Psychological Bulletin. 57 (5) 416–428. doi:10.1037/h0042040. "...বৈজ্ঞানিক অনুমানের ক্ষেত্রে পরিসংখ্যানের সঠিক প্রয়োগ বিপরীত [যা বেয়েসীয় নামেও পরিচিত] সম্ভাবনার ব্যাপক বিবেচনার সাথে অবিচ্ছেদ্যভাবে যুক্ত..." দুঃখের সাথে স্বীকার করা হয়েছিল যে, প্রায়োরি প্রোবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন বা পূর্ববর্তী সম্ভাবনার বিন্যাসগুলো "কেবলমাত্র একটি ব্যক্তিনিষ্ঠ অনুভূতি হিসেবেই পাওয়া যায়, যা ব্যক্তিভেদে ভিন্ন হয়", অন্তত "অদূর ভবিষ্যতে"।
↑ Berger, James. (2006). "The Case for Objective Bayesian Analysis". Bayesian Analysis. 1 (3) 385–402. doi:10.1214/06-ba115. "বস্তুনিষ্ঠ" বেয়েসীয় বিশ্লেষণের প্রতিদ্বন্দ্বী সংজ্ঞাগুলোর তালিকা করার সময় বলা হয়েছে, "পরিসংখ্যানের (প্রকৃতপক্ষে বিজ্ঞানের) একটি প্রধান লক্ষ্য হলো তথ্য থেকে শেখার জন্য একটি সম্পূর্ণ সামঞ্জস্যপূর্ণ বস্তুনিষ্ঠ বেয়েসীয় পদ্ধতি খুঁজে বের করা।" লেখক এই অভিমত ব্যক্ত করেছেন যে, এই লক্ষ্যটি "অর্জনযোগ্য নয়"।
↑ Aldrich, J. (2008). "R. A. Fisher on Bayes and Bayes' theorem". Bayesian Analysis. 3 (1) 161–170. doi:10.1214/08-BA306.

বহিঃসংযোগ

Statistical hypotheses, verification of
ধ্রুপদী হাইপোথিসিস পরীক্ষার বেয়েসীয় সমালোচনা
ধ্রুপদী হাইপোথিসিস পরীক্ষার সমালোচনা, যা পরিসংখ্যানবিদদের দীর্ঘদিনের উদ্বেগ তুলে ধরে
পরিসংখ্যানগত পরীক্ষার সারসংক্ষেপ: সঠিক পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা কীভাবে নির্বাচন করবেন
[1] Statistical Analysis based Hypothesis Testing Method in Biological Knowledge Discovery; Md. Naseef-Ur-Rahman Chowdhury, Suvankar Paul, Kazi Zakia Sultana
HyperStat Online: Null hypothesis

অনলাইন ক্যালকুলেটর

কিছু পি-ভ্যালু এবং হাইপোথিসিস টেস্ট ক্যালকুলেটর।

inference

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Statistical hypothesis test” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_hypothesis_test এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।

[1] (2013). 100 Statistical Tests in R: What to Choose, how to Easily Calculate, with Over 300 Illustrations and Examples. Heather Hills Press. ISBN 978-1-4840-5299-0.

[2] (18 July 2006). 100 Statistical Tests. SAGE. ISBN 978-1-4462-2250-8.

[LR-3] 3.0 ^3.1 (2005). "Testing Statistical Hypotheses". Springer. ISBN 978-0-387-98864-1.

[4] (23 September 2014). Statistics for Business and Economics. 314. Wiley. ISBN 978-1-119-94335-8.

[5] Helmenstine, Anne Marie. What Is the Null Hypothesis? Definition and Examples. ThoughtCo.

[moore-6] 6.0 ^6.1 ^6.2 ^6.3 (2003). Introduction to the Practice of Statistics. 438. W.H. Freeman and Co. ISBN 978-0716796572.

[7] Weiss, Neil A.. (1999). Introductory Statistics. 494. Addison Wesley. ISBN 978-0201598773.

[8] (2016). The ASA's statement on p-values: context, process, and purpose. The American Statistician. 70 (2) 129-133. doi:10.1080/00031305.2016.1154108.

[9] (1971). Statistics: A Foundation for Analysis. 191. Addison-Wesley. ISBN 0-201-03021-7.

[Rossi2018-10] Rossi, R. J.. (2018). "Mathematical Statistics". 281. Wiley..

[Neyman_289–337-11] 11.0 ^11.1 ^11.2 ^11.3 ^11.4 ^11.5 (January 1, 1933). "On the Problem of the most Efficient Tests of Statistical Hypotheses". Philosophical Transactions of the Royal Society A. 231 (694–706) 289–337. doi:10.1098/rsta.1933.0009.

[12] (1975). Statistics : probability, inference, and decision. 403. Holt, Rinehart and Winston. ISBN 978-0-03-014011-2.

[Gigerenzer-13] 13.0 ^13.1 Gigerenzer, Gerd. (1989). "The Empire of Chance: How Probability Changed Science and Everyday Life". 70–122. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39838-1.

[14] Lehmann, E. L.. (2011). "Fisher, Neyman, and the creation of classical statistics". Springer. ISBN 978-1441994998.

[Bellhouse2001-15] Bellhouse, P.. (2001). "in Statisticians of the Centuries by C.C. Heyde and E. Seneta". 39–42. Springer. ISBN 978-0-387-95329-8.

[Laplace_1778-16] 16.0 ^16.1 Laplace, P.. (1778). Mémoire sur les probabilités. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. 227–332. Reprinted in Laplace, P.. (1878–1912). Oeuvres complètes de Laplace. 9 383–488. Gauthier-Villars. English translation: Laplace, P.. (August 21, 2010). Mémoire sur les probabilités.

[Pearson_1900-17] Pearson, K. (1900). On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 5 (50) 157–175. doi:10.1080/14786440009463897.

[Pearson_1904-18] Pearson, K. (1904). On the Theory of Contingency and Its Relation to Association and Normal Correlation. Drapers' Company Research Memoirs Biometric Series. 1 1–35.

[19] Zabell, S. (1989). "R. A. Fisher on the History of Inverse Probability". Statistical Science. 4 (3) 247–256. doi:10.1214/ss/1177012488.

[Cohen-20] Cohen, J.. (1990). Things I have learned (so far). American Psychologist. 45 (12) 1304–1312. doi:10.1037/0003-066X.45.12.1304.

[ftp.isds.duke-21] 21.0 ^21.1 Raymond Hubbard, M. J. Bayarri, P Values are not Error Probabilities সংরক্ষিত সংস্করণ. একটি ওয়ার্কিং পেপার যা ফিশারের এভিডেন্সিয়াল p-ভ্যালু এবং নেইম্যান-পিয়ারসন টাইপ I ত্রুটির হার $α$ -এর মধ্যে পার্থক্য ব্যাখ্যা করে।

[Fisher_1955_69–78-22] 22.0 ^22.1 Fisher, R. (1955). Statistical Methods and Scientific Induction. Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 17 (1) 69–78. doi:10.1111/j.2517-6161.1955.tb00180.x.

[23] Goodman, S N. (June 15, 1999). "Toward evidence-based medical statistics. 1: The P Value Fallacy". Ann Intern Med. 130 (12) 995–1004. doi:10.7326/0003-4819-130-12-199906150-00008.

[Lehmann93-24] 24.0 ^24.1 ^24.2 ^24.3 Lehmann, E. L.. (December 1993). "The Fisher, Neyman–Pearson Theories of Testing Hypotheses: One Theory or Two?". Journal of the American Statistical Association. 88 (424) 1242–1249. doi:10.1080/01621459.1993.10476404.

[25] Fisher, R N. (1958). The Nature of Probability. Centennial Review. 2 261–274.

[Lenhard-26] 26.0 ^26.1 ^26.2 Lenhard, Johannes. (2006). "Models and Statistical Inference: The Controversy between Fisher and Neyman–Pearson". Br. J. Philos. Sci.. 57 69–91. doi:10.1093/bjps/axi152.

[27] Aldrich, John. Earliest Known Uses of Some of the Words of Probability & Statistics. সর্বশেষ আপডেট ১২ মার্চ ২০০৩। জেফ মিলার থেকে।

[28] (1967). "RA Fisher (1890—1962): An Appreciation.". Science. 156 (3781) 1456–1460. doi:10.1126/science.156.3781.1456.

[29] (1971). "Hypothetical explanations of the negative apparent effects of cloud seeding in the Whitetop Experiment.". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 68 (11) 2643–2646. doi:10.1073/pnas.68.11.2643.

[30] Lehmann, E. L.. (December 1993). "The Fisher, Neyman-Pearson Theories of Testing Hypotheses: One Theory or Two?". Journal of the American Statistical Association. 88 (424) 1242–1249. doi:10.1080/01621459.1993.10476404.

[nickerson-31] 31.0 ^31.1 ^31.2 ^31.3 ^31.4 ^31.5 Nickerson, Raymond S.. (2000). Null Hypothesis Significance Tests: A Review of an Old and Continuing Controversy. Psychological Methods. 5 (2) 241–301. doi:10.1037/1082-989X.5.2.241.

[Halpin_625–653-32] 32.0 ^32.1 (Winter 2006). "Inductive Inference or Inductive Behavior: Fisher and Neyman: Pearson Approaches to Statistical Testing in Psychological Research (1940–1960)". The American Journal of Psychology. 119 (4) 625–653. doi:10.2307/20445367.

[33] Everitt, Brian. (1998). The Cambridge Dictionary of Statistics. Cambridge University Press. ISBN 978-0521593465.

[:0-34] 34.0 ^34.1 ^34.2 ^34.3 Hayes, Adam. Null Hypothesis Definition. Investopedia.

[35] Zhao, Guolong. (18 April 2015). A Test of Non Null Hypothesis for Linear Trends in Proportions. Communications in Statistics – Theory and Methods. 44 (8) 1621–1639. doi:10.1080/03610926.2013.776687.

[36] OECD Glossary of Statistical Terms – Non-null hypothesis Definition. stats.oecd.org.

[37] (2002). Model Selection and Multimodel Inference: A Practical Information-Theoretic Approach. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95364-9..

[38] Meehl, P. (1990). Appraising and Amending Theories: The Strategy of Lakatosian Defense and Two Principles That Warrant It. Psychological Inquiry. 1 (2) 108–141. doi:10.1207/s15327965pli0102_1.

[doi10.1093/bjps/axl003-39] (2006). "Severe Testing as a Basic Concept in a Neyman–Pearson Philosophy of Induction". The British Journal for the Philosophy of Science. 57 (2) 323–357. doi:10.1093/bjps/axl003.

[40] Mathematics > High School: Statistics & Probability > Introduction সংরক্ষিত সংস্করণ Common Core State Standards Initiative (relates to USA students)

[41] College Board Tests > AP: Subjects > Statistics The College Board (relates to USA students)

[Huff8-42] Huff, Darrell. (1993). How to lie with statistics. 8. Norton. ISBN 978-0-393-31072-6.'সামাজিক ও অর্থনৈতিক প্রবণতা, ব্যবসায়িক পরিস্থিতি, "জনমত" জরিপ, আদমশুমারির বিশাল ডেটা রিপোর্ট করার জন্য পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি এবং পরিসংখ্যানগত শব্দগুলো প্রয়োজনীয়। কিন্তু যদি লেখকরা সততার সাথে শব্দগুলো ব্যবহার না করেন এবং পাঠকরা যদি এর অর্থ না বোঝেন, তবে ফলাফল কেবল শব্দার্থিক অর্থহীনতা হতে পারে।'

[S&C-43] (1967). "Statistical Methods". 3. Iowa State University Press. "...পরিসংখ্যানের মৌলিক ধারণাগুলো আমাদের সমস্যা সম্পর্কে স্পষ্টভাবে চিন্তা করতে সহায়তা করে, সঠিক অনুমান করার জন্য যে শর্তগুলো পূরণ করতে হবে সে সম্পর্কে কিছু নির্দেশনা প্রদান করে এবং আমাদের এমন অনেক অনুমান শনাক্ত করতে সক্ষম করে যেগুলোর কোনো ভালো যৌক্তিক ভিত্তি নেই।"

[Lehmann97-44] 44.0 ^44.1 E. L. Lehmann. (1997). "Testing Statistical Hypotheses: The Story of a Book". Statistical Science. 12 (1) 48–52. doi:10.1214/ss/1029963261.

[45] (2007). Students' Misconceptions of Statistical Inference: A Review of the Empirical Evidence from Research on Statistics Education. Educational Research Review. 2 (2) 98–113. doi:10.1016/j.edurev.2007.04.001.

[46] Moore, David S.. (1997). New Pedagogy and New Content: The Case of Statistics. International Statistical Review. 65 (2) 123–165. doi:10.2307/1403333.

[47] (2006). "Why We Don't Really Know What Statistical Significance Means: Implications for Educators". Journal of Marketing Education. 28 (2) 114–120. doi:10.1177/0273475306288399.

[48] (2009). "How Confident Are Students in Their Misconceptions about Hypothesis Tests?". Journal of Statistics Education. 17 (2). doi:10.1080/10691898.2009.11889514.

[Gigerenzer_2004_391–408-49] Gigerenzer, G.. (2004). The SAGE Handbook of Quantitative Methodology for the Social Sciences. 391–408. ISBN 978-0-7619-2359-6. doi:10.4135/9781412986311.

[50] Stockburger D.W. (2007), "Hypothesis and hypothesis testing", Encyclopedia of Measurement and Statistics (editor—Salkind N.J.), SAGE Publications.

[51] (13 October 2015). Understanding Null Hypothesis Testing – Research Methods in Psychology. opentextbc.ca.

[52] (1982). "Statistical Significance Tests". Br. J. Clin. Pharmacol.. 14 (3) 325–331. doi:10.1111/j.1365-2125.1982.tb01987.x.

[53] Statistical Methods for Research Workers (11th Ed): Chapter IV: Tests of Goodness of Fit, Independence and Homogeneity; With Table of χ². Regarding a significance test supporting goodness of fit: If the calculated probability is high then "there is certainly no reason to suspect that the [null] hypothesis is tested. If it is [low] it is strongly indicated that the [null] hypothesis fails to account for the whole of the facts."

[54] Cox, D. R.. (2006). "Principles of Statistical Inference". 197. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-68567-2.

[jones96-55] Jones, B. (6 July 1996). "Trials to assess equivalence: the importance of rigorous methods". BMJ. 313 (7048) 36–39. doi:10.1136/bmj.313.7048.36. It is suggested that the default position (the null hypothesis) should be that the treatments are not equivalent. Conclusions should be made on the basis of confidence intervals rather than significance.

[56] Fisher, R. A.. (1966). "The Design of Experiments". Hafner.

[57] উদাহরণস্বরূপ দেখুন Null hypothesis

[58] (2009). "Misprescription and misuse of one-tailed tests". Austral Ecology. 34 (4) 447–468. doi:10.1111/j.1442-9993.2009.01946.x. জীববিজ্ঞানে এক-মুখী পরীক্ষার গুণাগুণ এবং ঐতিহাসিক ব্যবহার নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করে।

[59] (23 July 1994). "One and two sided tests of significance". BMJ. 309 (6949) 248. doi:10.1136/bmj.309.6949.248. চিকিৎসা পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রে: "সাধারণত একটি এক-মুখী পরীক্ষা উপযুক্ত যখন এক দিকে একটি বড় পার্থক্য কোনো পার্থক্য না থাকার মতোই একই পরিণতির দিকে নিয়ে যায়। একটি নির্দিষ্ট দিকে পার্থক্যের প্রত্যাশা পর্যাপ্ত যৌক্তিকতা নয়।" "অন্যথা করার খুব ভালো কারণ না থাকলে দুই-পার্শ্বীয় পরীক্ষা ব্যবহার করা উচিত। যদি এক-মুখী পরীক্ষা ব্যবহার করতেই হয়, তবে পরীক্ষার দিকটি আগে থেকেই নির্দিষ্ট করতে হবে। এক-মুখী পরীক্ষা কখনোই কেবল একটি প্রচলিত অ-তাৎপর্যপূর্ণ পার্থক্যকে তাৎপর্যপূর্ণ করার উপায় হিসেবে ব্যবহার করা উচিত নয়।"

[60] (2000). "A Sensible Formulation of the Significance Test". Psychological Methods. 5 (4) 411–414. doi:10.1037/1082-989X.5.4.411. পরীক্ষার ফলাফলগুলো চিহ্নিত: তাৎপর্যপূর্ণ ইতিবাচক প্রভাব, তাৎপর্যপূর্ণ নেতিবাচক প্রভাব অথবা অজানা চিহ্নের অতাৎপর্যপূর্ণ প্রভাব। এটি দুই-পার্শ্বীয় পরীক্ষার চেয়ে আরও সূক্ষ্ম সিদ্ধান্ত। এতে এক-মুখী পরীক্ষার অসুবিধা ছাড়াই সুবিধাগুলো পাওয়া যায়।

[61] (2009). "Final collapse of the Neyman-Pearson decision theoretic framework and rise of the neoFisherian". Ann. Zool. Fennici. 46 (5) 311–349. doi:10.5735/086.046.0501.

[62] (2005). Testing Statistical Hypotheses. Springer Texts in Statistics. ISBN 978-0-387-98864-1. doi:10.1007/0-387-27605-x.

[63] (2008). "Design and Analysis of Experiments". I and II. Wiley. ISBN 978-0-470-38551-7.

[64] Montgomery, Douglas. (2009). "Design and analysis of experiments". Wiley. ISBN 978-0-470-12866-4.

[Fisher1925-65] R. A. Fisher (1925).Statistical Methods for Research Workers, Edinburgh: Oliver and Boyd, 1925, p.43.

[66] Nuzzo, Regina. (2014). "Scientific method: Statistical errors". Nature. 506 (7487) 150–152. doi:10.1038/506150a.

[larsen-67] (1976). "Statistics in the Real World: a book of examples". Macmillan. ISBN 978-0-02-367720-5.

[hubbard-68] (1997). "The Spread of Statistical Significance Testing in Psychology: The Case of the Journal of Applied Psychology". Theory and Psychology. 7 (4) 545–554. doi:10.1177/0959354397074006.

[69] (April–June 2016). "Common pitfalls in statistical analysis: The perils of multiple testing". Perspect Clin Res. 7 (2) 106–107. doi:10.4103/2229-3485.179436.

[70] Hall, P. and Wilson, S.R., 1991. Two guidelines for bootstrap hypothesis testing. Biometrics, pp.757-762.

[71] Tibshirani, R.J. and Efron, B., 1993. An introduction to the bootstrap. Monographs on statistics and applied probability, 57(1).

[72] Martin, M.A., 2007. Bootstrap hypothesis testing for some common statistical problems: A critical evaluation of size and power properties. Computational Statistics & Data Analysis, 51(12), pp.6321-6342.

[73] Horowitz, J.L., 2019. Bootstrap methods in econometrics. Annual Review of Economics, 11, pp.193-224.

[74] John Arbuthnot. (1710). An argument for Divine Providence, taken from the constant regularity observed in the births of both sexes. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 27 (325–336) 186–190. doi:10.1098/rstl.1710.0011.

[75] (2007). The Descent of Human Sex Ratio at Birth. 1–25. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-6036-6.

[Conover1999-76] Conover, W.J.. (1999). "Practical Nonparametric Statistics". 157–176. Wiley. ISBN 978-0-471-16068-7.

[Sprent1989-77] Sprent, P.. (1989). "Applied Nonparametric Statistical Methods". Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-44980-2.

[78] Stigler, Stephen M.. (1986). "The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty Before 1900". 225–226. Harvard University Press. ISBN 978-0-67440341-3.

[79] Stigler, Stephen M.. (1986). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. 134. Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 978-0-674-40340-6.

[fisher-80] Fisher, Sir Ronald A.. (2000). The World of Mathematics, volume 3. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-41151-4. মূলত ফিশারের বই Design of Experiments থেকে।

[81] Box, Joan Fisher. (1978). "R.A. Fisher, The Life of a Scientist". 134. Wiley. ISBN 978-0-471-09300-8.

[82] (2007). "Probability theory: the logic of science". Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-59271-0.

[83] (2015-11-24). "Which scientists can winningly explain a flame, time, sleep, color, or sound to 11-year-olds?". Physics Today. (11). doi:10.1063/pt.5.8150.

[84] (2016-04-02). "The ASA Statement on p -Values: Context, Process, and Purpose". The American Statistician. 70 (2) 129–133. doi:10.1080/00031305.2016.1154108.

[85] Schervish, M (1996) Theory of Statistics, p. 218. Springer 0-387-94546-6

[86] (2011). Reference Manual on Scientific Evidence. 259. West National Academies Press. ISBN 978-0-309-21421-6.

[Ash-87] Ash, Robert. (1970). "Basic probability theory". Wiley. ISBN 978-0-471-03450-6.Section 8.2

[Tukey60-88] 88.0 ^88.1 Tukey, John W.. (1960). "Conclusions vs decisions". Technometrics. 26 (4) 423–433. doi:10.1080/00401706.1960.10489909. "Until we go through the accounts of testing hypotheses, separating [Neyman–Pearson] decision elements from [Fisher] conclusion elements, the intimate mixture of disparate elements will be a continual source of confusion." ... "There is a place for both "doing one's best" and "saying only what is certain," but it is important to know, in each instance, both which one is being done, and which one ought to be done."

[89] Stigler, Stephen M.. (August 1996). "The History of Statistics in 1933". Statistical Science. 11 (3) 244–252. doi:10.1214/ss/1032280216.

[90] Berger, James O.. (2003). "Could Fisher, Jeffreys and Neyman Have Agreed on Testing?". Statistical Science. 18 (1) 1–32. doi:10.1214/ss/1056397485.

[91] Cornfield, Jerome. (1976). Recent Methodological Contributions to Clinical Trials. American Journal of Epidemiology. 104 (4) 408–421. doi:10.1093/oxfordjournals.aje.a112313.

[92] Yates, Frank. (1951). "The Influence of Statistical Methods for Research Workers on the Development of the Science of Statistics". Journal of the American Statistical Association. 46 (253) 19–34. doi:10.1080/01621459.1951.10500764. "The emphasis given to formal tests of significance throughout [R.A. Fisher's] Statistical Methods ... has caused scientific research workers to pay undue attention to the results of the tests of significance they perform on their data, particularly data derived from experiments, and too little to the estimates of the magnitude of the effects they are investigating." ... "The emphasis on tests of significance and the consideration of the results of each experiment in isolation, have had the unfortunate consequence that scientific workers have often regarded the execution of a test of significance on an experiment as the ultimate objective."

[93] (1988). "Publication bias: a problem in interpreting medical data". Journal of the Royal Statistical Society, Series A. 151 (3) 419–463. doi:10.2307/2982993.

[94] Meehl, Paul E.. (1967). Theory-Testing in Psychology and Physics: A Methodological Paradox. Philosophy of Science. 34 (2) 103–115. doi:10.1086/288135. Thirty years later, Meehl acknowledged statistical significance theory to be mathematically sound while continuing to question the default choice of null hypothesis, blaming instead the "social scientists' poor understanding of the logical relation between theory and fact" in "The Problem Is Epistemology, Not Statistics: Replace Significance Tests by Confidence Intervals and Quantify Accuracy of Risky Numerical Predictions" (Chapter 14 in Harlow (1997)).

[bakan66-95] Bakan, David. (1966). "The test of significance in psychological research". Psychological Bulletin. 66 (6) 423–437. doi:10.1037/h0020412.

[Gigerenzer_587–606-96] Gigerenzer, G. (November 2004). "Mindless statistics". The Journal of Socio-Economics. 33 (5) 587–606. doi:10.1016/j.socec.2004.09.033.

[97] Nunnally, Jum. (1960). "The place of statistics in psychology". Educational and Psychological Measurement. 20 (4) 641–650. doi:10.1177/001316446002000401.

[98] Lykken, David T.. (1991). "What's wrong with psychology, anyway?". Thinking Clearly About Psychology. 1 3–39.

[cohen94-99] Jacob Cohen. (December 1994). "The Earth Is Round (p < .05)". American Psychologist. 49 (12) 997–1003. doi:10.1037/0003-066X.49.12.997. This paper lead to the review of statistical practices by the APA. Cohen was a member of the Task Force that did the review.

[kline-100] Kline, Rex. (2004). "Beyond Significance Testing: Reforming Data Analysis Methods in Behavioral Research". American Psychological Association. ISBN 978-1-59147-118-9.

[branch-101] Branch, Mark. (2014). "Malignant side effects of null hypothesis significance testing". Theory & Psychology. 24 (2) 256–277. doi:10.1177/0959354314525282.

[102] (January 1997). "Needed: A Ban on the Significance Test". Psychological Science. 8 (1) 3–7. doi:10.1111/j.1467-9280.1997.tb00534.x.

[103] (2021). "The practical alternative to the p value is the correctly used p value". Perspectives on Psychological Science. 16 (3) 639–648. doi:10.1177/1745691620958012.

[wilkinson-104] 104.0 ^104.1 Wilkinson, Leland. (1999). "Statistical Methods in Psychology Journals; Guidelines and Explanations". American Psychologist. 54 (8) 594–604. doi:10.1037/0003-066X.54.8.594. "Hypothesis tests. It is hard to imagine a situation in which a dichotomous accept-reject decision is better than reporting an actual p value or, better still, a confidence interval." (p 599). The committee used the cautionary term "forbearance" in describing its decision against a ban of hypothesis testing in psychology reporting. (p 603)

[105] ICMJE: Obligation to Publish Negative Studies.

[JASNH-106] Journal of Articles in Support of the Null Hypothesis website: JASNH homepage. Volume 1 number 1 was published in 2002, and all articles are on psychology-related subjects.

[107] Howell, David. (2002). Statistical Methods for Psychology. 94. Duxbury. ISBN 978-0-534-37770-0.

[WilliamsToth2023-108] (October 10, 2023). "Moving beyond P values in The Journal of Physiology: A primer on the value of effect sizes and confidence intervals". J Physiol. 601 (23) 5131–5133. doi:10.1113/JP285575.

[109] P-Values are Random Variables Duncan J. Murdoch, Yu-Ling Tsai and James Adcock, The American Statistician, 2008, https://www.jstor.org/stable/27644033

[110] (2011). "P-Value Precision and Reproducibility". The American Statistician. 65 (4) 213–221. doi:10.1198/tas.2011.10129.

[111] (June 19, 2019). Moving beyond P values: data analysis with estimation graphics. Nature Methods. 16 (7) 565–566. doi:10.1038/s41592-019-0470-3.

[Kruschke_2012-112] 112.0 ^112.1 Kruschke, J K. (July 9, 2012). Bayesian Estimation Supersedes the T Test. Journal of Experimental Psychology: General. 142 (2) 573–603. doi:10.1037/a0029146.

[Kruschke_2018-113] 113.0 ^113.1 Kruschke, J K. (May 8, 2018). Rejecting or Accepting Parameter Values in Bayesian Estimation. Advances in Methods and Practices in Psychological Science. 1 (2) 270–280. doi:10.1177/2515245918771304.

[Armstrong1-114] Armstrong, J. Scott. (2007). Significance tests harm progress in forecasting. International Journal of Forecasting. 23 (2) 321–327. doi:10.1016/j.ijforecast.2007.03.004.

[115] Kass, R. E.. (1993). Bayes factors and model uncertainty. Department of Statistics, University of Washington.

[116] Rozeboom, William W. (1960). The fallacy of the null-hypothesis significance test. Psychological Bulletin. 57 (5) 416–428. doi:10.1037/h0042040. "...বৈজ্ঞানিক অনুমানের ক্ষেত্রে পরিসংখ্যানের সঠিক প্রয়োগ বিপরীত [যা বেয়েসীয় নামেও পরিচিত] সম্ভাবনার ব্যাপক বিবেচনার সাথে অবিচ্ছেদ্যভাবে যুক্ত..." দুঃখের সাথে স্বীকার করা হয়েছিল যে, প্রায়োরি প্রোবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন বা পূর্ববর্তী সম্ভাবনার বিন্যাসগুলো "কেবলমাত্র একটি ব্যক্তিনিষ্ঠ অনুভূতি হিসেবেই পাওয়া যায়, যা ব্যক্তিভেদে ভিন্ন হয়", অন্তত "অদূর ভবিষ্যতে"।

[117] Berger, James. (2006). "The Case for Objective Bayesian Analysis". Bayesian Analysis. 1 (3) 385–402. doi:10.1214/06-ba115. "বস্তুনিষ্ঠ" বেয়েসীয় বিশ্লেষণের প্রতিদ্বন্দ্বী সংজ্ঞাগুলোর তালিকা করার সময় বলা হয়েছে, "পরিসংখ্যানের (প্রকৃতপক্ষে বিজ্ঞানের) একটি প্রধান লক্ষ্য হলো তথ্য থেকে শেখার জন্য একটি সম্পূর্ণ সামঞ্জস্যপূর্ণ বস্তুনিষ্ঠ বেয়েসীয় পদ্ধতি খুঁজে বের করা।" লেখক এই অভিমত ব্যক্ত করেছেন যে, এই লক্ষ্যটি "অর্জনযোগ্য নয়"।

[118] Aldrich, J. (2008). "R. A. Fisher on Bayes and Bayes' theorem". Bayesian Analysis. 3 (1) 161–170. doi:10.1214/08-BA306.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]

[98]

[99]

[100]

Anonymous

Search