টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক

টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক (Test statistic) হলো পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিং-এর জন্য নমুনা থেকে প্রাপ্ত একটি পরিমাণ। একটি হাইপোথিসিস টেস্ট সাধারণত একটি টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকের মাধ্যমে নির্দিষ্ট করা হয়, যা ডেটাসেটের একটি সংখ্যাসূচক সারাংশ হিসেবে বিবেচিত হয় এবং ডেটাকে একটি একক মানে হ্রাস করে যা হাইপোথিসিস টেস্ট সম্পাদনের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। সাধারণত, একটি টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক এমনভাবে নির্বাচন বা সংজ্ঞায়িত করা হয় যাতে পর্যবেক্ষিত ডেটার মধ্যে এমন আচরণ পরিমাপ করা যায় যা নাল হাইপোথিসিস থেকে বিকল্প হাইপোথিসিস-কে পৃথক করে (যেখানে এমন বিকল্প নির্ধারিত থাকে), অথবা যদি স্পষ্টভাবে কোনো বিকল্প হাইপোথিসিস উল্লেখ না থাকে তবে তা নাল হাইপোথিসিসকে বৈশিষ্ট্যমণ্ডিত করে।

একটি টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো নাল হাইপোথিসিসের অধীনে এর স্যাম্পলিং ডিস্ট্রিবিউশন (নমুনা বিন্যাস) অবশ্যই নির্ণয়যোগ্য হতে হবে, হয় সঠিকভাবে অথবা আনুমানিকভাবে, যা p-মান গণনা করতে সাহায্য করে। একটি টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক বর্ণনামূলক পরিসংখ্যান (descriptive statistics)-এর কিছু গুণাবলী ধারণ করে এবং অনেক পরিসংখ্যানই টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক এবং বর্ণনামূলক পরিসংখ্যান উভয় হিসেবেই ব্যবহৃত হতে পারে। তবে, একটি টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক বিশেষভাবে পরিসংখ্যানগত পরীক্ষার জন্য উদ্দিষ্ট, যেখানে একটি বর্ণনামূলক পরিসংখ্যানের প্রধান গুণ হলো এর সহজ ব্যাখ্যাযোগ্যতা। কিছু তথ্যবহুল বর্ণনামূলক পরিসংখ্যান, যেমন নমুনা পরিসর, ভালো টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক হিসেবে কাজ করে না কারণ এদের স্যাম্পলিং ডিস্ট্রিবিউশন নির্ধারণ করা কঠিন।

দুটি বহুল ব্যবহৃত টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক হলো t-statistic এবং F-স্ট্যাটিস্টিক।

উদাহরণ

ধরা যাক, একটি মুদ্রা নিরপেক্ষ কি না (অর্থাৎ হেড বা টেল আসার সম্ভাবনা সমান কি না) তা পরীক্ষা করার কাজ দেওয়া হয়েছে। যদি মুদ্রাটি ১০০ বার টস করা হয় এবং ফলাফল রেকর্ড করা হয়, তবে কাঁচা ডেটা ১০০টি হেড এবং টেলের ক্রম হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। যদি টেল পাওয়ার প্রান্তিক সম্ভাবনার প্রতি আগ্রহ থাকে, তবে ১০০টি টসের মধ্যে কতবার টেল এসেছে সেই সংখ্যা T রেকর্ড করলেই চলে। কিন্তু T-কে দুটি উপায়ের যেকোনো একটিতে টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে:

• নাল হাইপোথিসিসের অধীনে T-এর সঠিক স্যাম্পলিং ডিস্ট্রিবিউশন হলো ০.৫ এবং ১০০ প্যারামিটার বিশিষ্ট দ্বিপদী বিন্যাস।
• T-এর মানকে নাল হাইপোথিসিসের অধীনে এর প্রত্যাশিত মান ৫০-এর সাথে তুলনা করা যেতে পারে এবং যেহেতু নমুনার আকার বড়, তাই T বা সংশোধিত টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক T−50-এর জন্য স্যাম্পলিং ডিস্ট্রিবিউশনের আসন্ন মান হিসেবে একটি নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহার করা যেতে পারে।

এই স্যাম্পলিং ডিস্ট্রিবিউশনগুলোর একটি ব্যবহার করে, মুদ্রাটি নিরপেক্ষ—এই নাল হাইপোথিসিসের জন্য একটি এক-পুচ্ছ বা দ্বি-পুচ্ছ p-মান গণনা করা সম্ভব। এই ক্ষেত্রে টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক ১০০টি সংখ্যার সেটকে একটি একক সংখ্যাসূচক সারাংশে হ্রাস করে যা পরীক্ষার জন্য ব্যবহার করা যায়।

সাধারণ টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক

এক-নমুনা পরীক্ষা (One-sample tests) তখন উপযুক্ত যখন একটি নমুনাকে হাইপোথিসিস থেকে প্রাপ্ত জনসংখ্যার সাথে তুলনা করা হয়। জনসংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলো তত্ত্ব থেকে জানা যায় অথবা জনসংখ্যা থেকে গণনা করা হয়।

দুই-নমুনা পরীক্ষা (Two-sample tests) দুটি নমুনা তুলনা করার জন্য উপযুক্ত, সাধারণত একটি বৈজ্ঞানিকভাবে নিয়ন্ত্রিত পরীক্ষার পরীক্ষামূলক এবং নিয়ন্ত্রণ নমুনা।

জোড় পরীক্ষা (Paired tests) দুটি নমুনা তুলনা করার জন্য উপযুক্ত যেখানে গুরুত্বপূর্ণ ভেরিয়েবলগুলো নিয়ন্ত্রণ করা অসম্ভব। দুটি সেট তুলনা করার পরিবর্তে, নমুনার সদস্যদের মধ্যে জোড় তৈরি করা হয় যাতে সদস্যদের মধ্যে পার্থক্যই নমুনা হয়ে ওঠে। সাধারণত পার্থক্যের গড়কে শূন্যের সাথে তুলনা করা হয়। জোড় পার্থক্য পরীক্ষা (paired difference test) উপযুক্ত হওয়ার সাধারণ উদাহরণ হলো যখন এক সেট পরীক্ষাধীন বিষয়ের ওপর কিছু প্রয়োগ করা হয় এবং পরীক্ষাটি কোনো প্রভাব আছে কি না তা যাচাই করার জন্য করা হয়।

Z-testগুলো নরমালিটি এবং জানা স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন সংক্রান্ত কঠোর শর্তের অধীনে গড় তুলনা করার জন্য উপযুক্ত।

একটি t-test শিথিল শর্তের অধীনে (কম অনুমান করা হয়) গড় তুলনা করার জন্য উপযুক্ত।

অনুপাতের পরীক্ষাগুলো গড়ের পরীক্ষার অনুরূপ (৫০% অনুপাত)।

Chi-squared testগুলো বিভিন্ন অ্যাপ্লিকেশনের জন্য একই গণনা এবং একই সম্ভাব্যতা বিন্যাস ব্যবহার করে:

• ভেদাঙ্কের জন্য কাই-স্কয়ার টেস্ট ব্যবহার করা হয় একটি নরমাল জনসংখ্যার নির্দিষ্ট ভেদাঙ্ক আছে কি না তা নির্ধারণ করতে। নাল হাইপোথিসিস হলো যে এর নির্দিষ্ট ভেদাঙ্ক আছে।
• স্বাধীনতার কাই-স্কয়ার টেস্ট ব্যবহার করা হয় দুটি ভেরিয়েবল সম্পর্কিত নাকি স্বাধীন তা সিদ্ধান্ত নিতে। ভেরিয়েবলগুলো সংখ্যাসূচক হওয়ার পরিবর্তে ক্যাটাগরিক্যাল ভেরিয়েবল হয়। এটি বামহাতি হওয়ার সাথে উচ্চতার সম্পর্ক আছে কি না তা সিদ্ধান্ত নিতে ব্যবহার করা যেতে পারে। নাল হাইপোথিসিস হলো ভেরিয়েবলগুলো স্বাধীন। গণনায় ব্যবহৃত সংখ্যাগুলো হলো ঘটনার পর্যবেক্ষিত এবং প্রত্যাশিত ফ্রিকোয়েন্সি (কন্টিনজেন্সি টেবিল থেকে)।
• গডনেস অফ ফিট কাই-স্কয়ার টেস্ট ব্যবহার করা হয় ডেটার সাথে কার্ভ ফিটের পর্যাপ্ততা নির্ধারণ করতে। নাল হাইপোথিসিস হলো কার্ভ ফিটটি পর্যাপ্ত। মিন স্কয়ার এরর কমানোর জন্য কার্ভের আকৃতি নির্ধারণ করা সাধারণ, তাই গডনেস-অফ-ফিট গণনায় বর্গের ত্রুটির সমষ্টি ব্যবহার করা উপযুক্ত।

F-testগুলো (ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণ, ANOVA) সাধারণত ব্যবহার করা হয় যখন ক্যাটাগরি অনুযায়ী ডেটার গ্রুপিং অর্থবহ কি না তা সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়। যদি একটি ক্লাসে বামহাতিদের টেস্ট স্কোরের ভেদাঙ্ক পুরো ক্লাসের ভেদাঙ্কের চেয়ে অনেক কম হয়, তবে বামহাতিদের একটি গ্রুপ হিসেবে অধ্যয়ন করা দরকারী হতে পারে। নাল হাইপোথিসিস হলো দুটি ভেদাঙ্ক একই – তাই প্রস্তাবিত গ্রুপিং অর্থবহ নয়।

নিচের টেবিলে ব্যবহৃত প্রতীকগুলো টেবিলের নিচে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। অন্যান্য অনেক পরীক্ষা অন্যান্য নিবন্ধে পাওয়া যেতে পারে। টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকগুলো যে উপযুক্ত তার প্রমাণ বিদ্যমান।

নাম	সূত্র	অনুমান বা নোট
এক-নমুনা $z$ -test	$z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{(\sigma /\sqrt{n})}$	(নরমাল জনসংখ্যা অথবা n বড়) এবং σ জানা। (z হলো গড়ের স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন-এর সাপেক্ষে গড় থেকে দূরত্ব)। নন-নরমাল বিন্যাসের জন্য যেকোনো k-এর জন্য জনসংখ্যার একটি ন্যূনতম অনুপাত গণনা করা সম্ভব যা k স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের মধ্যে পড়ে (দেখুন: Chebyshev's inequality).
দুই-নমুনা z-test	$z=\frac{({\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2)-d_0}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}$	নরমাল জনসংখ্যা এবং স্বাধীন পর্যবেক্ষণ এবং σ1 এবং σ2 জানা যেখানে $d_0$ হলো নাল হাইপোথিসিসের অধীনে ${\mu }_1-{\mu }_2$-এর মান
এক-নমুনা t-test	$t=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{(s/\sqrt{n})},$ $df=n-1$	(নরমাল জনসংখ্যা অথবা n বড়) এবং $\sigma$ অজানা
জোড় t-test	$t=\frac{\bar{d}-d_0}{(s_d/\sqrt{n})},$ $df=n-1$	(পার্থক্যের নরমাল জনসংখ্যা অথবা n বড়) এবং $\sigma$ অজানা
দুই-নমুনা পুলড t-test, সমান ভেদাঙ্ক	$t=\frac{({\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2)-d_0}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}},$ $s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2},$ $df=n_1+n_2-2$	(নরমাল জনসংখ্যা অথবা n1 + n2 > 40) এবং স্বাধীন পর্যবেক্ষণ এবং σ1 = σ2 অজানা
দুই-নমুনা আনপুলড t-test, অসম ভেদাঙ্ক (Welch's t-test)	$t=\frac{({\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2)-d_0}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}},$ $df=\frac{{(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2})}^2}{\frac{{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)}^2}{n_1-1}+\frac{{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)}^2}{n_2-1}}$	(নরমাল জনসংখ্যা অথবা n1 + n2 > 40) এবং স্বাধীন পর্যবেক্ষণ এবং σ1 ≠ σ2 উভয়ই অজানা
এক-অনুপাত z-test	$z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}\sqrt{n}$	n · p0 > 10 এবং n (1 − p0) > 10 এবং এটি একটি SRS (Simple Random Sample), দেখুন নোট।
দুই-অনুপাত z-test, $H_0:p_1=p_2$-এর জন্য পুলড	$z=\frac{({\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2)}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}$ $\hat{p}=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$	n1 p1 > 5 এবং n1(1 − p1) > 5 এবং n2 p2 > 5 এবং n2(1 − p2) > 5 এবং স্বাধীন পর্যবেক্ষণ, দেখুন নোট।
দুই-অনুপাত z-test, $|d_0|>0$-এর জন্য আনপুলড	$z=\frac{({\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2)-d_0}{\sqrt{\frac{{\hat{p}}_1(1-{\hat{p}}_1)}{n_1}+\frac{{\hat{p}}_2(1-{\hat{p}}_2)}{n_2}}}$	n1 p1 > 5 এবং n1(1 − p1) > 5 এবং n2 p2 > 5 এবং n2(1 − p2) > 5 এবং স্বাধীন পর্যবেক্ষণ, দেখুন নোট।
ভেদাঙ্কের জন্য কাই-স্কয়ার টেস্ট	${\chi }^2=(n-1)\frac{s^2}{{\sigma }_0^2}$	df = n-1 • নরমাল জনসংখ্যা
গডনেস অফ ফিট-এর জন্য কাই-স্কয়ার টেস্ট	${\chi }^2=\sum _k\frac{(\text{observed}-\text{expected}{)}^2}{\text{expected}}$	df = k − 1 − # প্যারামিটার অনুমান করা হয়েছে, এবং এর মধ্যে একটি অবশ্যই সত্য হতে হবে। • সমস্ত প্রত্যাশিত গণনা কমপক্ষে ৫।350 • সমস্ত প্রত্যাশিত গণনা > ১ এবং প্রত্যাশিত গণনার ২০%-এর বেশি ৫-এর কম নয়
ভেদাঙ্কের সমতার জন্য দুই-নমুনা F টেস্ট	$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}$	নরমাল জনসংখ্যা এমনভাবে সাজান যেন $s_1^2\ge s_2^2$ এবং $F>F(\alpha /2,n_1-1,n_2-1)$-এর জন্য H0 প্রত্যাখ্যান করুন
রিগ্রেশন t-test of $H_0:R^2=0.$	$t=\sqrt{\frac{R^2(n-k-1^{*})}{1-R^2}}$	Reject H0 for $t>t(\alpha /2,n-k-1^{*})$288 *ইন্টারসেপ্টের জন্য ১ বিয়োগ করুন; k টার্মগুলোতে স্বাধীন ভেরিয়েবল থাকে।

আরও দেখুন

• Null distribution
• Likelihood-ratio test
• Neyman–Pearson lemma
• $R^2$ = coefficient of determination
• Sufficiency (statistics)

তথ্যসূত্র

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Test statistic” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Test_statistic এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।