পরিসর (পরিসংখ্যান)

বর্ণনামূলক পরিসংখ্যানে, ডেটার একটি সেটের পরিসর (range) হলো ক্ষুদ্রতম ব্যবধি বা ইন্টারভ্যালের আকার বা প্রস্থ, যার মধ্যে সমস্ত ডেটা অন্তর্ভুক্ত থাকে। এটি বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানের (যাকে sample maximum and minimum-ও বলা হয়) মধ্যে পার্থক্য হিসেবে গণনা করা হয়। এটি ডেটার মতোই একই এককে প্রকাশ করা হয়।

পরিসর পরিসংখ্যানগত বিচ্ছুরণ-এর একটি নির্দেশক প্রদান করে। পরিসরের দৃঢ় পরিমাপের মধ্যে রয়েছে interdecile range এবং interquartile range।

অবিচ্ছিন্ন IID দৈব চলকের পরিসর

n সংখ্যক স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক X₁, X₂, ..., X_n-এর জন্য, যাদের cumulative distribution function G(x) এবং probability density function g(x), ধরি T তাদের পরিসর নির্দেশ করে, অর্থাৎ T= max(X₁, X₂, ..., X_n)-min(X₁, X₂, ..., X_n)।

বিন্যাস

পরিসর, T-এর কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন হলো

$F(t)=n\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)[G(x+t)-G(x){]}^{n-1}\text{d}x.$

গাম্বেল উল্লেখ করেছেন যে, "এই সূত্রের সৌন্দর্য সম্পূর্ণরূপে নষ্ট হয়ে যায় এই সত্যের কারণে যে, সাধারণত আমরা G(x + t)-কে G(x) দ্বারা প্রকাশ করতে পারি না এবং সংখ্যাসূচক ইন্টিগ্রেশন দীর্ঘ ও ক্লান্তিকর।"

যদি প্রতিটি X_i-এর বিন্যাস ডানদিকে (বা বামদিকে) সীমাবদ্ধ থাকে, তবে পরিসরের অসীমতটীয় বিন্যাস বৃহত্তম (ক্ষুদ্রতম) মানের অসীমতটীয় বিন্যাসের সমান হয়। আরও সাধারণ বিন্যাসের জন্য অসীমতটীয় বিন্যাসকে একটি Bessel function হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে।

মোমেন্টস

গড় পরিসর নিম্নরূপ:

$n\underset{0}{\overset{1}{\int }}x(G)[G^{n-1}-(1-G{)}^{n-1}]\text{d}G$

যেখানে x(G) হলো বিপরীত ফাংশন। যদি প্রতিটি X_i-এর একটি standard normal distribution থাকে, তবে গড় পরিসর হলো

$$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1-(1-\mathrm{\Phi }(x){)}^n-\mathrm{\Phi }(x{)}^n)\text{d}x.$$

বিন্যাসের প্রতিপাদন

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে, নিচে ফলাফলটির একটি অনানুষ্ঠানিক প্রতিপাদন দেওয়া হলো। এটি সম্ভাব্যতা গণনার ক্ষেত্রে কিছুটা শিথিল।

ধরি $m,M$ যথাক্রমে দৈব চলক $X_1\dots X_n$-এর সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ মান নির্দেশ করে।

পরিসর $T$-এর চেয়ে ছোট হওয়ার ঘটনাটিকে নিচের ছোট ছোট ঘটনায় বিভক্ত করা যেতে পারে:

• সর্বনিম্ন মানের সূচক
• এবং সর্বনিম্ন মানের মান $x$।

একটি নির্দিষ্ট সূচক $i$ এবং সর্বনিম্ন মান $x$-এর জন্য, যৌথ ঘটনার সম্ভাবনা:

1. $X_i$ হলো সর্বনিম্ন,
2. এবং $X_i=x$,
3. এবং পরিসর $T$-এর চেয়ে ছোট,

হলো:$$g(x){[G(x+T)-G(x)]}^{n-1}$$সূচকগুলোর ওপর যোগফল এবং $x$-এর ওপর ইন্টিগ্রেশন করলে ঘটনার মোট সম্ভাবনা পাওয়া যায়: "পরিসর $T$-এর চেয়ে ছোট", যা পরিসরের কিউমুলেটিভ ডেন্সিটি ফাংশন:$$F(t)=n\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x){[G(t+x)-G(x)]}^{n-1}\text{d}x$$যা প্রমাণটি সম্পন্ন করে।

অন্যান্য মডেলে পরিসর

অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকসহ IID ক্ষেত্রের বাইরে, অন্যান্য ক্ষেত্রে স্পষ্ট সূত্র রয়েছে। এই ক্ষেত্রগুলো প্রান্তিক আগ্রহের।

• অ-IID অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক।
• $\mathbb{\mathbb{N}}$-এ সমর্থিত বিচ্ছিন্ন চলক। বিচ্ছিন্ন চলকের জন্য একটি প্রধান অসুবিধা হলো পরিসরটি বিচ্ছিন্ন। এটি সূত্রের প্রতিপাদনের জন্য combinatorics বা বিন্যাস ও সমাবেশের প্রয়োজন করে।

সম্পর্কিত রাশি

পরিসর হলো order statistic-এর একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ। বিশেষ করে, পরিসর হলো অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকসের একটি রৈখিক ফাংশন, যা একে L-estimation-এর আওতায় নিয়ে আসে।

আরও দেখুন

• Interdecile range
• Interquartile range
• Studentized range

তথ্যসূত্র

descriptive

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Range (statistics)” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Range_(statistics) এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।