কন্টিনজেন্সি টেবিল

পরিসংখ্যানে, একটি কন্টিনজেন্সি টেবিল (যা ক্রস ট্যাবুলেশন বা ক্রসট্যাব নামেও পরিচিত) হলো ম্যাট্রিক্স ফরম্যাটের এক ধরনের সারণি, যা চলকগুলোর মাল্টিভ্যারিয়েট কম্পাঙ্ক বিন্যাস প্রদর্শন করে। এগুলো জরিপ গবেষণা, ব্যবসায়িক বুদ্ধিমত্তা, প্রকৌশল এবং বৈজ্ঞানিক গবেষণায় ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। এগুলো দুটি চলকের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কের একটি প্রাথমিক চিত্র প্রদান করে এবং তাদের মধ্যে মিথস্ক্রিয়া খুঁজে পেতে সাহায্য করতে পারে। কন্টিনজেন্সি টেবিল শব্দটি প্রথম ব্যবহার করেছিলেন কার্ল পিয়ারসন, ১৯০৪ সালে প্রকাশিত ড্র্যাপার্স কোম্পানি রিসার্চ মেমোরি বায়োমেট্রিক সিরিজ ১-এর অংশ "অন দ্য থিওরি অফ কন্টিনজেন্সি অ্যান্ড ইটস রিলেশন টু অ্যাসোসিয়েশন অ্যান্ড নরমাল কোরিলেশন" নিবন্ধে।

মাল্টিভ্যারিয়েট পরিসংখ্যান-এর একটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা হলো উচ্চ-মাত্রিক কন্টিনজেন্সি টেবিলে থাকা চলকগুলোর অন্তর্নিহিত (সরাসরি-)নির্ভরশীলতার কাঠামো খুঁজে বের করা। যদি কিছু শর্তাধীন স্বাধীনতা প্রকাশ পায়, তবে ডেটা সংরক্ষণও আরও স্মার্ট উপায়ে করা সম্ভব (দেখুন লরিটজেন (২০০২))। এটি করার জন্য কেউ তথ্য তত্ত্ব-এর ধারণা ব্যবহার করতে পারে, যা শুধুমাত্র সম্ভাব্যতা বিন্যাস থেকে তথ্য অর্জন করে, যা আপেক্ষিক কম্পাঙ্কের মাধ্যমে কন্টিনজেন্সি টেবিল থেকে সহজেই প্রকাশ করা যায়।

একটি পিভট টেবিল হলো স্প্রেডশিট সফটওয়্যার ব্যবহার করে কন্টিনজেন্সি টেবিল তৈরি করার একটি উপায়।

উদাহরণ

ধরা যাক দুটি চলক আছে, লিঙ্গ (পুরুষ বা নারী) এবং হস্তপ্রবণতা (ডান-হাতি বা বাম-হাতি)। আরও ধরা যাক যে, হস্তপ্রবণতায় লিঙ্গগত পার্থক্যের একটি গবেষণার অংশ হিসেবে একটি বিশাল জনসংখ্যা থেকে ১০০ জন ব্যক্তিকে দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নমুনা হিসেবে নেওয়া হয়েছে। কতজন পুরুষ ডান-হাতি ও বাম-হাতি এবং কতজন নারী ডান-হাতি ও বাম-হাতি, তা প্রদর্শন করার জন্য একটি কন্টিনজেন্সি টেবিল তৈরি করা যেতে পারে। এমন একটি কন্টিনজেন্সি টেবিল নিচে দেখানো হলো।

হস্তপ্রবণতা	ডান-হাতি	বাম-হাতি	মোট
পুরুষ	৪৩	৯	৫২
নারী	৪৪	৪	৪৮
মোট	৮৭	১৩	১০০

পুরুষ, নারী এবং ডান- ও বাম-হাতি ব্যক্তিদের সংখ্যাকে প্রান্তিক মোট (marginal totals) বলা হয়। গ্র্যান্ড টোটাল (কন্টিনজেন্সি টেবিলে উপস্থাপিত ব্যক্তিদের মোট সংখ্যা) হলো নিচের ডান কোণের সংখ্যাটি।

সারণিটি ব্যবহারকারীদের এক নজরে দেখতে দেয় যে, পুরুষদের মধ্যে ডান-হাতি হওয়ার অনুপাত নারীদের মধ্যে ডান-হাতি হওয়ার অনুপাতের প্রায় সমান, যদিও অনুপাতগুলো অভিন্ন নয়। সম্পর্কের শক্তি অডস রেশিও দ্বারা পরিমাপ করা যায় এবং জনসংখ্যার অডস রেশিওকে নমুনা অডস রেশিও দ্বারা অনুমান করা যায়। দুটি অনুপাতের মধ্যে পার্থক্যের তাৎপর্য বিভিন্ন পরিসংখ্যানগত পরীক্ষার মাধ্যমে মূল্যায়ন করা যেতে পারে, যার মধ্যে রয়েছে পিয়ারসনের কাই-স্কয়ার পরীক্ষা, জি-টেস্ট, ফিশারের সঠিক পরীক্ষা, বশলুর পরীক্ষা এবং বার্নার্ডের পরীক্ষা, যদি সারণির এন্ট্রিগুলো সেই জনসংখ্যা থেকে দৈবচয়ন করা ব্যক্তিদের প্রতিনিধিত্ব করে যাদের সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নেওয়া হবে। যদি বিভিন্ন কলামে ব্যক্তিদের অনুপাত সারিগুলোর মধ্যে উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তিত হয় (বা বিপরীতভাবে), তবে বলা হয় যে দুটি চলকের মধ্যে একটি 'কন্টিনজেন্সি' বা নির্ভরশীলতা রয়েছে। অন্য কথায়, দুটি চলক 'স্বাধীন' নয়। যদি কোনো কন্টিনজেন্সি না থাকে, তবে বলা হয় যে দুটি চলক 'স্বাধীন'।

উপরের উদাহরণটি হলো কন্টিনজেন্সি টেবিলের সবচেয়ে সহজ ধরন, এমন একটি সারণি যেখানে প্রতিটি চলকের মাত্র দুটি স্তর রয়েছে; একে ২×২ কন্টিনজেন্সি টেবিল বলা হয়। নীতিগতভাবে, যেকোনো সংখ্যক সারি এবং কলাম ব্যবহার করা যেতে পারে। দুইয়ের বেশি চলকও থাকতে পারে, তবে উচ্চ-ক্রমের কন্টিনজেন্সি টেবিলগুলো দৃশ্যত উপস্থাপন করা কঠিন। অর্ডিনাল চলক-এর মধ্যে, অথবা অর্ডিনাল এবং ক্যাটাগরিক্যাল চলকের মধ্যে সম্পর্কও কন্টিনজেন্সি টেবিলে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যদিও এই ধরনের অনুশীলন বিরল। দুটি অর্ডিনাল চলকের মধ্যে সম্পর্কের জন্য কন্টিনজেন্সি টেবিলের ব্যবহার সম্পর্কে আরও জানতে, দেখুন গুডম্যান এবং ক্রুস্কালের গামা।

কন্টিনজেন্সি টেবিলের সাধারণ বিষয়বস্তু

• একাধিক কলাম (ঐতিহাসিকভাবে, এগুলো একটি মুদ্রিত পৃষ্ঠার সমস্ত সাদা স্থান ব্যবহার করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছিল)। যেখানে প্রতিটি সারি জনসংখ্যার একটি নির্দিষ্ট উপ-গোষ্ঠীকে নির্দেশ করে (এই ক্ষেত্রে পুরুষ বা নারী), কলামগুলোকে কখনও কখনও 'ব্যানার পয়েন্ট' বা 'কাট' বলা হয় (এবং সারিগুলোকে কখনও কখনও 'স্টাব' বলা হয়)।
• তাৎপর্য পরীক্ষা। সাধারণত, হয় 'কলাম তুলনা', যা কলামগুলোর মধ্যে পার্থক্যের জন্য পরীক্ষা করে এবং এই ফলাফলগুলো অক্ষর ব্যবহার করে প্রদর্শন করে, অথবা 'সেল তুলনা', যা সারণির কোনো সেলকে চিহ্নিত করতে রঙ বা তীর ব্যবহার করে যা কোনোভাবে আলাদা।
• 'নেট' বা 'নেটস্' যা হলো উপ-মোট।
• নিম্নলিখিতগুলোর এক বা একাধিক: শতাংশ, সারি শতাংশ, কলাম শতাংশ, সূচক বা গড়।
• অ-ওজনযুক্ত নমুনার আকার (গণনা)।

সম্পর্কের পরিমাপ

দুটি চলকের মধ্যে সম্পর্কের মাত্রা বেশ কয়েকটি সহগ দ্বারা মূল্যায়ন করা যেতে পারে। নিচের উপধারাগুলো তাদের কয়েকটি বর্ণনা করে। তাদের ব্যবহারের আরও সম্পূর্ণ আলোচনার জন্য, প্রতিটি উপধারার শিরোনামের অধীনে লিঙ্ক করা প্রধান নিবন্ধগুলো দেখুন।

অডস রেশিও

মূল নিবন্ধ: অডস রেশিও

একটি ২×২ কন্টিনজেন্সি টেবিলের জন্য সম্পর্কের সবচেয়ে সহজ পরিমাপ হলো অডস রেশিও। দুটি ঘটনা, A এবং B দেওয়া থাকলে, অডস রেশিওকে B-এর উপস্থিতিতে A-এর অডস এবং B-এর অনুপস্থিতিতে A-এর অডসের অনুপাত হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, অথবা সমতুল্যভাবে (প্রতিসাম্যের কারণে), A-এর উপস্থিতিতে B-এর অডস এবং A-এর অনুপস্থিতিতে B-এর অডসের অনুপাত হিসেবে। দুটি ঘটনা স্বাধীন যদি এবং কেবল যদি অডস রেশিও ১ হয়; যদি অডস রেশিও ১-এর বেশি হয়, তবে ঘটনাগুলো ইতিবাচকভাবে সম্পর্কিত; যদি অডস রেশিও ১-এর কম হয়, তবে ঘটনাগুলো নেতিবাচকভাবে সম্পর্কিত।

সম্ভাব্যতার পরিপ্রেক্ষিতে অডস রেশিওর একটি সহজ প্রকাশ রয়েছে; যৌথ সম্ভাব্যতা বিন্যাস দেওয়া থাকলে:

$\begin{array}{ccc}& B=1& B=0\\ A=1& p_{11}& p_{10}\\ A=0& p_{01}& p_{00}\end{array}$

অডস রেশিও হলো:

$OR=\frac{p_{11}{p}_{00}}{p_{10}{p}_{01}}.$

ফাই সহগ

মূল নিবন্ধ: ফাই সহগ একটি সহজ পরিমাপ, যা শুধুমাত্র ২×২ কন্টিনজেন্সি টেবিলের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, তা হলো ফাই সহগ (φ), যা সংজ্ঞায়িত করা হয়

$\varphi =\pm \sqrt{\frac{{\chi }^2}{N}},$

যেখানে χ² পিয়ারসনের কাই-স্কয়ার পরীক্ষা-এর মতো গণনা করা হয় এবং N হলো পর্যবেক্ষণের গ্র্যান্ড টোটাল। φ ০ (চলকগুলোর মধ্যে কোনো সম্পর্ক নেই) থেকে ১ বা −১ (সম্পূর্ণ সম্পর্ক বা সম্পূর্ণ বিপরীত সম্পর্ক) পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়, যদি এটি ২×২ টেবিলে উপস্থাপিত কম্পাঙ্ক ডেটার উপর ভিত্তি করে হয়। তখন এর চিহ্ন সারণির প্রধান কর্ণ উপাদানগুলোর গুণফল থেকে অফ-কর্ণ উপাদানগুলোর গুণফল বিয়োগফলের চিহ্নের সমান হয়। φ সর্বনিম্ন মান −১.০ বা সর্বোচ্চ মান +১.০ গ্রহণ করে যদি এবং কেবল যদি প্রতিটি প্রান্তিক অনুপাত ০.৫-এর সমান হয় (এবং দুটি কর্ণ সেল খালি থাকে)।

ক্র্যামারের 'V' এবং কন্টিনজেন্সি সহগ 'C'

মূল নিবন্ধ: ক্র্যামারের V দুটি বিকল্প হলো 'কন্টিনজেন্সি সহগ' 'C' এবং ক্র্যামারের V।

'C' এবং 'V' সহগের সূত্রগুলো হলো:

$C=\sqrt{\frac{{\chi }^2}{N+{\chi }^2}}$ এবং

$V=\sqrt{\frac{{\chi }^2}{N(k-1)}},$

k হলো সারি বা কলামের সংখ্যা, যেটি কম।

'C'-এর অসুবিধা হলো এটি ১.০-এর সর্বোচ্চ মানে পৌঁছায় না, বিশেষ করে ২×২ টেবিলে এটি সর্বোচ্চ ০.৭০৭ পর্যন্ত পৌঁছাতে পারে। এটি আরও বেশি বিভাগযুক্ত কন্টিনজেন্সি টেবিলে ১.০-এর কাছাকাছি মান অর্জন করতে পারে; উদাহরণস্বরূপ, এটি ৪×৪ টেবিলে সর্বোচ্চ ০.৮৭০ পর্যন্ত পৌঁছাতে পারে। তাই, বিভিন্ন সারণিতে সম্পর্কের তুলনা করার জন্য এটি ব্যবহার করা উচিত নয় যদি তাদের বিভাগের সংখ্যা ভিন্ন হয়।

'C'-কে সমন্বয় করা যেতে পারে যাতে এটি যেকোনো সংখ্যক সারি এবং কলামের টেবিলে সম্পূর্ণ সম্পর্ক থাকলে ১.০-এর সর্বোচ্চ মানে পৌঁছায়, 'C'-কে $\sqrt{\frac{k-1}{k}}$ দ্বারা ভাগ করে, যেখানে k হলো সারি বা কলামের সংখ্যা, যখন সারণিটি বর্গাকার হয় , অথবা $\sqrt{[}4]$ দ্বারা, যেখানে r হলো সারির সংখ্যা এবং c হলো কলামের সংখ্যা।

টেট্রাকোরিক কোরিলেশন সহগ

মূল নিবন্ধ: পলিকোরিক কোরিলেশন আরেকটি পছন্দ হলো টেট্রাকোরিক কোরিলেশন সহগ, তবে এটি শুধুমাত্র ২×২ টেবিলের জন্য প্রযোজ্য। পলিকোরিক কোরিলেশন হলো দুইয়ের বেশি স্তরযুক্ত চলক জড়িত টেবিলগুলোর জন্য টেট্রাকোরিক কোরিলেশনের একটি সম্প্রসারণ।

টেট্রাকোরিক কোরিলেশন ধরে নেয় যে প্রতিটি দ্বিবিভাজক পরিমাপের অন্তর্নিহিত চলকটি স্বাভাবিকভাবে বিন্যস্ত। সহগটি "[পিয়ারসন প্রোডাক্ট-মোমেন্ট] কোরিলেশনের একটি সুবিধাজনক পরিমাপ প্রদান করে যখন স্নাতক পরিমাপগুলোকে দুটি বিভাগে হ্রাস করা হয়েছে।"

টেট্রাকোরিক কোরিলেশন সহগকে পিয়ারসন কোরিলেশন সহগ-এর সাথে বিভ্রান্ত করা উচিত নয়, যা প্রতিটি চলকের দুটি স্তরকে উপস্থাপন করার জন্য ০.০ এবং ১.০ মান নির্ধারণ করে গণনা করা হয় (যা গাণিতিকভাবে φ সহগের সমতুল্য)।

ল্যাম্বডা সহগ

মূল নিবন্ধ: গুডম্যান এবং ক্রুস্কালের ল্যাম্বডা ল্যাম্বডা সহগ হলো ক্রস ট্যাবুলেশনের সম্পর্কের শক্তির একটি পরিমাপ যখন চলকগুলো নামমাত্র স্তরে পরিমাপ করা হয়। মানগুলো ০.০ (কোনো সম্পর্ক নেই) থেকে ১.০ (সর্বোচ্চ সম্ভাব্য সম্পর্ক) পর্যন্ত হয়।

অপ্রতিসম ল্যাম্বডা নির্ভরশীল চলকটি অনুমান করার ক্ষেত্রে শতাংশের উন্নতি পরিমাপ করে। প্রতিসম ল্যাম্বডা উভয় দিকে অনুমান করা হলে শতাংশের উন্নতি পরিমাপ করে।

অনিশ্চয়তা সহগ

মূল নিবন্ধ: অনিশ্চয়তা সহগ অনিশ্চয়তা সহগ, বা থেইলের U, নামমাত্র স্তরে চলকগুলোর জন্য আরেকটি পরিমাপ। এর মানগুলো −১.০ (১০০% নেতিবাচক সম্পর্ক, বা নিখুঁত বিপরীত) থেকে +১.০ (১০০% ইতিবাচক সম্পর্ক, বা নিখুঁত চুক্তি) পর্যন্ত হয়। ০.০ মানটি সম্পর্কের অনুপস্থিতি নির্দেশ করে।

এছাড়াও, অনিশ্চয়তা সহগ হলো সম্পর্কের একটি শর্তাধীন এবং অপ্রতিসম পরিমাপ, যা এভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

$U(X|Y)\ne U(Y|X)$।

এই অপ্রতিসম বৈশিষ্ট্যটি এমন অন্তর্দৃষ্টির দিকে নিয়ে যেতে পারে যা সম্পর্কের প্রতিসম পরিমাপগুলোতে স্পষ্ট নয়।

অন্যান্য

মূল নিবন্ধ: গুডম্যান এবং ক্রুস্কালের গামা, কেন্ডাল র‍্যাঙ্ক কোরিলেশন সহগ গামা, টাউ-বি এবং টাউ-সি ব্যবহার করা হয় যখন উভয় চলকের বিভাগ বা স্তরগুলোর একটি স্বাভাবিক ক্রম থাকে।

• গামা পরীক্ষা: টেবিলের আকার বা টাই-এর জন্য কোনো সমন্বয় নেই।
• কেন্ডালের টাউ: টাই-এর জন্য সমন্বয়।
  • টাউ-বি: বর্গাকার টেবিলের জন্য ব্যবহৃত হয়।
  • টাউ-সি: আয়তক্ষেত্রাকার টেবিলের জন্য ব্যবহৃত হয়।

আরও দেখুন

• কনফিউশন ম্যাট্রিক্স
• পিভট টেবিল, স্প্রেডশিট সফটওয়্যারে, গণনার সাথে নমুনা ডেটা ক্রস-ট্যাবুলেট করে (কন্টিনজেন্সি টেবিল) এবং/অথবা যোগফল।
• TPL Tables হলো ক্রসট্যাব তৈরি এবং মুদ্রণের জন্য একটি টুল।
• ইটারেটিভ প্রোপোরশনাল ফিটিং পদ্ধতি মূলত পরিবর্তিত যৌথ বিন্যাস বা প্রান্তিক যোগফলের সাথে মেলানোর জন্য কন্টিনজেন্সি টেবিলগুলোকে ম্যানিপুলেট করে।
• বিশেষ মাল্টিভ্যারিয়েট ডিসক্রিট প্রোবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশনে মাল্টিভ্যারিয়েট পরিসংখ্যান। এই প্রেক্ষাপটে ব্যবহৃত কিছু পদ্ধতি কন্টিনজেন্সি টেবিলের ক্ষেত্রে ব্যবহার করা যেতে পারে।
• OLAP কিউব, কন্টিনজেন্সি টেবিলের একটি আধুনিক বহুমাত্রিক কম্পিউটিং রূপ
• প্যানেল ডেটা, সময়ের সাথে বহুমাত্রিক ডেটা

আরও পড়ুন

• Andersen, Erling B. 1980. Discrete Statistical Models with Social Science Applications. North Holland, 1980.
• (1975). Discrete Multivariate Analysis: Theory and Practice. MIT Press. ISBN 978-0-262-02113-5.
• Christensen, Ronald. (1997). "Log-linear models and logistic regression". xvi+483. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98247-7.
• Lauritzen, Steffen L.. (1979). Lectures on Contingency Tables (Aalborg University).
• (1978). The Information in Contingency Tables. Marcel Dekker. ISBN 0-824-76698-9.

বহিঃসংযোগ

• কন্টিনজেন্সি টেবিলের অনলাইন বিশ্লেষণ: উদাহরণসহ ক্যালকুলেটর
• ইন্টারেক্টিভ ক্রস ট্যাবুলেশন, কাই-স্কয়ার ইন্ডিপেন্ডেন্ট টেস্ট এবং টিউটোরিয়াল
• ২×২ কন্টিনজেন্সি টেবিলের ফিশার এবং কাই-স্কয়ার ক্যালকুলেটর
• আরও কোরিলেশন সহগ
• নামমাত্র সম্পর্ক: ফাই, কন্টিনজেন্সি সহগ, চুপ্রোর টি, ক্র্যামারের V, ল্যাম্বডা, অনিশ্চয়তা সহগ, ২৪ মার্চ, ২০০৮, জি. ডেভিড গারসন, নর্থ ক্যারোলিনা স্টেট ইউনিভার্সিটি
• CustomInsight.com ক্রস ট্যাবুলেশন
• দ্য পাওয়ারমাট প্রজেক্ট: IV. ক্যাটাগরিক্যাল ডেটা প্রদর্শন
• StATS: স্টিভস অ্যাটেম্পট টু টিচ স্ট্যাটিস্টিকস অডস রেশিও বনাম রিলেটিভ রিস্ক (৯ জানুয়ারি, ২০০১)
• এপি ইনফো কমিউনিটি হেলথ অ্যাসেসমেন্ট টিউটোরিয়াল লেসন ৫ বিশ্লেষণ: পরিসংখ্যান তৈরি

descriptive

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Contingency table” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Contingency_table এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।