Effect size

গণিত নোটেশনে একই পরিমাণের জন্য বিভিন্ন প্রতীক ব্যবহার করা হয়েছে ফেব্রুয়ারি ২০১৪

পরিসংখ্যানে, ইফেক্ট সাইজ (Effect size) বা প্রভাবের মাত্রা হলো একটি ঘটনার বিশালতা এবং প্রায়শই তার দিক নির্দেশকারী একটি পরিমাণগত পরিমাপ। এটি উপাত্তের একটি নমুনা থেকে গণনা করা পরিসংখ্যানের মান, একটি কাল্পনিক জনসংখ্যার জন্য একটি প্যারামিটারের মান, অথবা পরিসংখ্যান বা প্যারামিটারগুলো কীভাবে ইফেক্ট সাইজের মানে পৌঁছায় তার সমীকরণকে বোঝাতে পারে। ইফেক্ট সাইজের উদাহরণের মধ্যে রয়েছে দুটি চলকের মধ্যে সহসম্পর্ক, রিগ্রেশন বিশ্লেষণে রিগ্রেশন সহগ, গড় পার্থক্য, প্রমিত গড় পার্থক্য এবং একটি নির্দিষ্ট ঘটনার ঝুঁকি (যেমন হার্ট অ্যাটাক)। ইফেক্ট সাইজগুলো পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিং-এর একটি পরিপূরক সরঞ্জাম এবং নতুন পরীক্ষার জন্য প্রয়োজনীয় নমুনার আকার নির্ধারণে পরিসংখ্যানগত শক্তি বিশ্লেষণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। ইফেক্ট সাইজ গণনা মেটা-বিশ্লেষণের জন্য মৌলিক, যার লক্ষ্য একাধিক গবেষণার উপাত্তের ভিত্তিতে সম্মিলিত ইফেক্ট সাইজ প্রদান করা। ইফেক্ট সাইজ সম্পর্কিত উপাত্ত-বিশ্লেষণ পদ্ধতিগুলোকে এস্টিমেশন পরিসংখ্যান বলা হয়।

ইফেক্ট সাইজ একটি পরিসংখ্যানগত দাবির শক্তি মূল্যায়নের একটি অপরিহার্য উপাদান এবং এটি ম্যাজিক মানদণ্ডের প্রথম আইটেম (বিশালতা)। ইফেক্ট সাইজের স্ট্যান্ডার্ড এরর অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি নির্দেশ করে যে পর্যবেক্ষণকৃত পরিমাপে কতটা অনিশ্চয়তা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। একটি স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন যদি খুব বেশি হয়, তবে পরিমাপটি প্রায় অর্থহীন হয়ে পড়ে। মেটা-বিশ্লেষণে, যার লক্ষ্য একাধিক ইফেক্ট সাইজকে একটি একক অনুমানে সংক্ষিপ্ত করা, গবেষণার ইফেক্ট সাইজগুলোর অনিশ্চয়তা প্রতিটি গবেষণার অবদানকে গুরুত্ব দিতে ব্যবহৃত হয়, তাই ছোট গবেষণার চেয়ে বড় গবেষণাগুলোকে বেশি গুরুত্বপূর্ণ বলে গণ্য করা হয়। ইফেক্ট সাইজের অনিশ্চয়তা প্রতিটি ধরনের ইফেক্ট সাইজের জন্য ভিন্নভাবে গণনা করা হয়, তবে সাধারণত এর জন্য প্রতিটি গ্রুপে গবেষণার নমুনার আকার (N) বা পর্যবেক্ষণের সংখ্যা (n) জানা প্রয়োজন।

অনেক ক্ষেত্রে গবেষণার অভিজ্ঞতামূলক ফলাফল উপস্থাপনের সময় ইফেক্ট সাইজ বা এর অনুমান (ইফেক্ট এস্টিমেট [EE], ইফেক্টের অনুমান) রিপোর্ট করা একটি ভালো অনুশীলন হিসেবে বিবেচিত হয়। ইফেক্ট সাইজের রিপোর্টিং গবেষণার ফলাফলের গুরুত্ব ব্যাখ্যা করতে সাহায্য করে, যা এর পরিসংখ্যানগত তাৎপর্যের বিপরীতে কাজ করে। ইফেক্ট সাইজগুলো বিশেষ করে সামাজিক বিজ্ঞান এবং চিকিৎসা গবেষণায় তাৎপর্যপূর্ণ, যেখানে পরবর্তীটি গড় চিকিৎসার প্রভাবের বিশালতার গুরুত্বের ওপর জোর দেয়।

ইফেক্ট সাইজগুলো আপেক্ষিক বা পরম শর্তে পরিমাপ করা যেতে পারে। আপেক্ষিক ইফেক্ট সাইজে, দুটি গ্রুপকে সরাসরি একে অপরের সাথে তুলনা করা হয়, যেমন অডস রেশিও এবং আপেক্ষিক ঝুঁকিতে। পরম ইফেক্ট সাইজের ক্ষেত্রে একটি বৃহত্তর পরম মান সর্বদা একটি শক্তিশালী প্রভাব নির্দেশ করে। অনেক ধরনের পরিমাপ পরম বা আপেক্ষিক উভয়ভাবেই প্রকাশ করা যেতে পারে এবং এগুলো একসাথে ব্যবহার করা যেতে পারে কারণ তারা ভিন্ন ভিন্ন তথ্য প্রদান করে। মনোবিজ্ঞান গবেষণা সম্প্রদায়ের একটি বিশিষ্ট টাস্ক ফোর্স নিম্নলিখিত সুপারিশ করেছে:

প্রাথমিক ফলাফলের জন্য সর্বদা ইফেক্ট সাইজ উপস্থাপন করুন... যদি পরিমাপের এককগুলো ব্যবহারিক স্তরে অর্থবহ হয় (যেমন, প্রতিদিন ধূমপান করা সিগারেটের সংখ্যা), তবে আমরা সাধারণত প্রমিত পরিমাপের (r বা d) চেয়ে অ-প্রমিত পরিমাপ (রিগ্রেশন সহগ বা গড় পার্থক্য) পছন্দ করি।

সংক্ষিপ্ত বিবরণ

জনসংখ্যা এবং নমুনার ইফেক্ট সাইজ

পরিসংখ্যানগত অনুমানের মতো, প্রকৃত ইফেক্ট সাইজকে পর্যবেক্ষণকৃত ইফেক্ট সাইজ থেকে আলাদা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি জনসংখ্যার রোগের ঝুঁকি (জনসংখ্যার ইফেক্ট সাইজ) পরিমাপ করতে, কেউ সেই জনসংখ্যার একটি নমুনার মধ্যে ঝুঁকি পরিমাপ করতে পারে (নমুনার ইফেক্ট সাইজ)। প্রকৃত এবং পর্যবেক্ষণকৃত ইফেক্ট সাইজ বর্ণনা করার নিয়মগুলো মানক পরিসংখ্যানগত অনুশীলন অনুসরণ করে—একটি সাধারণ পদ্ধতি হলো জনসংখ্যার প্যারামিটার বোঝাতে ρ [rho]-এর মতো গ্রিক অক্ষর এবং সংশ্লিষ্ট পরিসংখ্যান বোঝাতে r-এর মতো ল্যাটিন অক্ষর ব্যবহার করা। বিকল্পভাবে, প্যারামিটার $\rho$-এর অনুমান হিসেবে $\hat{\rho }$ ব্যবহার করে জনসংখ্যার প্যারামিটারের ওপর একটি "টুপি" (hat) বসানো যেতে পারে।

যেকোনো পরিসংখ্যানগত সেটিংয়ের মতো, ইফেক্ট সাইজগুলো নমুনা ত্রুটির সাথে অনুমান করা হয় এবং এগুলো পক্ষপাতদুষ্ট হতে পারে যদি না ব্যবহৃত ইফেক্ট সাইজ এস্টিমেটরটি উপাত্ত যেভাবে নমুনা করা হয়েছে এবং পরিমাপ করা হয়েছে তার জন্য উপযুক্ত হয়। এর একটি উদাহরণ হলো প্রকাশনা পক্ষপাত, যা ঘটে যখন বিজ্ঞানীরা কেবল তখনই ফলাফল রিপোর্ট করেন যখন অনুমানকৃত ইফেক্ট সাইজগুলো বড় বা পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ হয়। ফলস্বরূপ, যদি অনেক গবেষক কম পরিসংখ্যানগত শক্তি নিয়ে গবেষণা পরিচালনা করেন, তবে রিপোর্ট করা ইফেক্ট সাইজগুলো প্রকৃত (জনসংখ্যা) প্রভাবের চেয়ে বড় হওয়ার প্রবণতা দেখাবে। ইফেক্ট সাইজ বিকৃত হতে পারে এমন আরেকটি উদাহরণ হলো মাল্টি-ট্রায়াল পরীক্ষায়, যেখানে ইফেক্ট সাইজ গণনা ট্রায়ালগুলো জুড়ে গড় বা একত্রিত প্রতিক্রিয়ার ওপর ভিত্তি করে করা হয়।

ছোট গবেষণাগুলো কখনও কখনও বড় গবেষণার চেয়ে ভিন্ন, প্রায়শই বড় ইফেক্ট সাইজ দেখায়। এই ঘটনাটি ছোট-গবেষণা প্রভাব (small-study effect) নামে পরিচিত, যা প্রকাশনা পক্ষপাত নির্দেশ করতে পারে।

পরীক্ষা পরিসংখ্যানের সাথে সম্পর্ক

নমুনা-ভিত্তিক ইফেক্ট সাইজগুলো হাইপোথিসিস টেস্টিংয়ে ব্যবহৃত পরীক্ষা পরিসংখ্যান থেকে আলাদা, কারণ তারা একটি আপাত সম্পর্কের শক্তি (বিশালতা) অনুমান করে, বরং পর্যবেক্ষণকৃত সম্পর্কের বিশালতা সুযোগের কারণে হতে পারে কিনা তা প্রতিফলিত করে একটি তাৎপর্য স্তর নির্ধারণ করে না। ইফেক্ট সাইজ সরাসরি তাৎপর্য স্তর নির্ধারণ করে না, বা বিপরীতটিও সত্য নয়। পর্যাপ্ত বড় নমুনার আকার দেওয়া হলে, একটি অ-শূন্য পরিসংখ্যানগত তুলনা সর্বদা একটি পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ ফলাফল দেখাবে যদি না জনসংখ্যার ইফেক্ট সাইজ ঠিক শূন্য হয় (এবং সেখানেও এটি টাইপ I ত্রুটির হারে পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য দেখাবে)। উদাহরণস্বরূপ, নমুনার আকার ১০০০ হলে একটি নমুনার পিয়ারসন কোরিলেশন সহগ ০.০১ পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ। এই বিশ্লেষণ থেকে কেবল তাৎপর্যপূর্ণ p-মান রিপোর্ট করা বিভ্রান্তিকর হতে পারে যদি ০.০১-এর কোরিলেশন কোনো নির্দিষ্ট অ্যাপ্লিকেশনে আগ্রহের জন্য খুব ছোট হয়।

প্রমিত এবং অ-প্রমিত ইফেক্ট সাইজ

ইফেক্ট সাইজ শব্দটি একটি প্রমিত প্রভাব পরিমাপ (যেমন r, কোহেনের d, বা অডস রেশিও) অথবা একটি অ-প্রমিত পরিমাপকে (যেমন গ্রুপ গড়ের মধ্যে পার্থক্য বা অ-প্রমিত রিগ্রেশন সহগ) বোঝাতে পারে। প্রমিত ইফেক্ট সাইজ পরিমাপগুলো সাধারণত তখন ব্যবহৃত হয় যখন:

• অধ্যয়নরত চলকগুলোর মেট্রিকগুলোর অন্তর্নিহিত অর্থ নেই (যেমন, একটি নির্বিচারে স্কেলে ব্যক্তিত্ব পরীক্ষার স্কোর),
• একাধিক গবেষণার ফলাফল একত্রিত করা হচ্ছে,
• কিছু বা সমস্ত গবেষণা ভিন্ন স্কেল ব্যবহার করে, অথবা
• জনসংখ্যার পরিবর্তনশীলতার তুলনায় একটি প্রভাবের আকার প্রকাশ করতে চাওয়া হয়।

মেটা-বিশ্লেষণে, প্রমিত ইফেক্ট সাইজগুলো একটি সাধারণ পরিমাপ হিসেবে ব্যবহৃত হয় যা বিভিন্ন গবেষণার জন্য গণনা করা যেতে পারে এবং তারপর একটি সামগ্রিক সারাংশে একত্রিত করা যেতে পারে।

অ-প্রমিত প্রভাবগুলো সহজ প্রভাব হিসেবেও পরিচিত।

ব্যাখ্যা

একটি ইফেক্ট সাইজ ছোট, মাঝারি বা বড় কিনা তার ব্যাখ্যা তার বস্তুগত প্রেক্ষাপট এবং তার অপারেশনাল সংজ্ঞার ওপর নির্ভর করে। জ্যাকব কোহেন ব্যাখ্যার নির্দেশিকা প্রস্তাব করেছিলেন যা অনেক ক্ষেত্রে প্রায় সর্বব্যাপী। যাইহোক, কোহেন সতর্কও করেছিলেন:

"'ছোট,' 'মাঝারি,' এবং 'বড়' শব্দগুলো আপেক্ষিক, কেবল একে অপরের কাছেই নয়, বরং আচরণগত বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে বা আরও বিশেষভাবে যেকোনো নির্দিষ্ট তদন্তে ব্যবহৃত নির্দিষ্ট বিষয়বস্তু এবং গবেষণা পদ্ধতির কাছেও... এই আপেক্ষিকতার মুখে, আচরণগত বিজ্ঞানের মতো বৈচিত্র্যময় অনুসন্ধানের ক্ষেত্রে পাওয়ার বিশ্লেষণে ব্যবহারের জন্য এই শব্দগুলোর প্রচলিত অপারেশনাল সংজ্ঞা দেওয়ার ক্ষেত্রে একটি নির্দিষ্ট ঝুঁকি রয়েছে। তবুও এই ঝুঁকিটি এই বিশ্বাসে গ্রহণ করা হয়েছে যে, একটি সাধারণ প্রচলিত রেফারেন্স ফ্রেম সরবরাহ করার মাধ্যমে হারানোর চেয়ে বেশি লাভ হবে, যা কেবল তখনই ব্যবহারের জন্য সুপারিশ করা হয় যখন ES সূচক অনুমান করার জন্য কোনো ভালো ভিত্তি উপলব্ধ না থাকে।" (পৃ. ২৫)

সাওয়িলভস্কি সুপারিশ করেছিলেন যে ইফেক্ট সাইজের থাম্বের নিয়মগুলো সংশোধন করা উচিত এবং বর্ণনাগুলোকে খুব ছোট, খুব বড় এবং বিশাল অন্তর্ভুক্ত করার জন্য প্রসারিত করেছিলেন। ফান্ডার এবং ওজার পরামর্শ দিয়েছিলেন যে ইফেক্ট সাইজগুলো বেঞ্চমার্ক এবং ফলাফলের পরিণতির ওপর ভিত্তি করে ব্যাখ্যা করা উচিত, যার ফলে নির্দেশিকা সুপারিশগুলোর সমন্বয় ঘটে।

লেন্থ একটি মাঝারি ইফেক্ট সাইজের জন্য উল্লেখ করেছেন, "আপনি আপনার যন্ত্রের নির্ভুলতা বা নির্ভরযোগ্যতা, অথবা আপনার বিষয়ের সংকীর্ণতা বা বৈচিত্র্য নির্বিশেষে একই n বেছে নেবেন। স্পষ্টতই, এখানে গুরুত্বপূর্ণ বিবেচনাগুলোকে উপেক্ষা করা হচ্ছে। গবেষকদের উচিত তাদের ফলাফলের বস্তুগত তাৎপর্য ব্যাখ্যা করা, সেগুলোকে একটি অর্থবহ প্রেক্ষাপটে স্থাপন করে অথবা জ্ঞানের ক্ষেত্রে তাদের অবদান পরিমাপ করে, এবং কোহেনের ইফেক্ট সাইজের বর্ণনাগুলো একটি শুরুর বিন্দু হিসেবে সহায়ক হতে পারে।" একইভাবে, মার্কিন শিক্ষা বিভাগ দ্বারা স্পনসর করা একটি প্রতিবেদনে যুক্তি দেওয়া হয়েছে যে কোহেনের ব্যাখ্যার নির্দেশিকাগুলোর ব্যাপক নির্বিচার ব্যবহার অনুপযুক্ত এবং বিভ্রান্তিকর হতে পারে। তারা পরিবর্তে পরামর্শ দিয়েছিলেন যে মানদণ্ডগুলো তুলনামূলক গবেষণার ইফেক্ট সাইজের বিতরণের ওপর ভিত্তি করে হওয়া উচিত। সুতরাং একটি ছোট প্রভাব (পরম সংখ্যায়) বড় হিসেবে বিবেচিত হতে পারে যদি প্রভাবটি ক্ষেত্রের অনুরূপ গবেষণার চেয়ে বড় হয়। সম্পর্কিত পয়েন্টগুলোর জন্য অ্যাবেলসন প্যারাডক্স এবং সাওয়িলভস্কির প্যারাডক্স দেখুন।

নিচের সারণীতে d, r, f এবং ওমেগা-এর বিভিন্ন বিশালতার বর্ণনাকারী রয়েছে, যা প্রাথমিকভাবে জ্যাকব কোহেন দ্বারা প্রস্তাবিত এবং পরবর্তীতে সাওয়িলভস্কি এবং ফান্ডার ও ওজার দ্বারা প্রসারিত হয়েছে।

ইফেক্ট সাইজ	d	r	f	ওমেগা
খুব ছোট	0.01	0.005	0.005
ছোট	0.20	0.10	0.10	0.10
মাঝারি	0.41, 0.50	0.20, 0.24	0.20, 0.31	0.30
বড়	0.63, 0.80	0.30, 0.37	0.32, 0.40	0.50
খুব বড়	0.87, 1.20	0.40, 0.51	0.44, 0.60
বিশাল	2.0	0.71	1.0

প্রকারভেদ

ইফেক্ট সাইজের প্রায় ৫০ থেকে ১০০টি ভিন্ন পরিমাপ জানা যায়। বিভিন্ন ধরনের অনেক ইফেক্ট সাইজ অন্য ধরনের ইফেক্ট সাইজে রূপান্তর করা যায়, কারণ অনেকগুলোই দুটি বিতরণের পৃথকীকরণ অনুমান করে, তাই গাণিতিকভাবে সম্পর্কিত। উদাহরণস্বরূপ, একটি কোরিলেশন সহগ কোহেনের d-তে রূপান্তর করা যায় এবং বিপরীতটিও সত্য।

কোরিলেশন পরিবার: "ব্যাখ্যা করা ভ্যারিয়েন্স"-এর ওপর ভিত্তি করে ইফেক্ট সাইজ

এই ইফেক্ট সাইজগুলো একটি পরীক্ষার মধ্যে ভ্যারিয়েন্সের পরিমাণ অনুমান করে যা পরীক্ষার মডেল দ্বারা "ব্যাখ্যা করা" বা "হিসাব করা" হয় (ব্যাখ্যা করা পরিবর্তনশীলতা).

পিয়ারসন r বা কোরিলেশন সহগ

পিয়ারসনের কোরিলেশন, যা প্রায়শই r দ্বারা চিহ্নিত এবং কার্ল পিয়ারসন দ্বারা প্রবর্তিত, জোড়াযুক্ত পরিমাণগত উপাত্ত উপলব্ধ থাকলে ইফেক্ট সাইজ হিসেবে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়; উদাহরণস্বরূপ, যদি কেউ জন্ম ওজন এবং দীর্ঘায়ুর মধ্যে সম্পর্ক অধ্যয়ন করে। উপাত্ত বাইনারি হলেও কোরিলেশন সহগ ব্যবহার করা যেতে পারে। পিয়ারসনের r বিশালতায় −1 থেকে 1 পর্যন্ত পরিবর্তিত হতে পারে, যেখানে −1 একটি নিখুঁত নেতিবাচক রৈখিক সম্পর্ক, 1 একটি নিখুঁত ইতিবাচক রৈখিক সম্পর্ক এবং 0 দুটি চলকের মধ্যে কোনো রৈখিক সম্পর্ক নেই তা নির্দেশ করে।

ডিটারমিনেশন সহগ (r² বা R²)

একটি সম্পর্কিত ইফেক্ট সাইজ হলো r², ডিটারমিনেশন সহগ (যা R² বা "r-স্কয়ারড" হিসেবেও পরিচিত), যা পিয়ারসন কোরিলেশন r-এর বর্গ হিসেবে গণনা করা হয়। জোড়াযুক্ত উপাত্তের ক্ষেত্রে, এটি দুটি চলক দ্বারা ভাগ করা ভ্যারিয়েন্সের অনুপাতের একটি পরিমাপ এবং 0 থেকে 1 পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, 0.21-এর r সহ ডিটারমিনেশন সহগ হলো 0.0441, যার অর্থ যেকোনো চলকের ভ্যারিয়েন্সের 4.4% অন্য চলকের সাথে ভাগ করা হয়। r² সর্বদা ইতিবাচক, তাই এটি দুটি চলকের মধ্যে কোরিলেশনের দিক নির্দেশ করে না।

ইটা-স্কয়ারড (η²)

ইটা-স্কয়ারড অন্যান্য প্রেডিক্টরগুলোকে নিয়ন্ত্রণ করার সময় একটি প্রেডিক্টর দ্বারা নির্ভরশীল চলকে ব্যাখ্যা করা ভ্যারিয়েন্সের অনুপাত বর্ণনা করে, যা এটিকে r²-এর অনুরূপ করে তোলে। ইটা-স্কয়ারড জনসংখ্যার মডেলে ব্যাখ্যা করা ভ্যারিয়েন্সের একটি পক্ষপাতদুষ্ট এস্টিমেটর (এটি কেবল নমুনার ইফেক্ট সাইজ অনুমান করে)। এই অনুমানটি r²-এর সাথে দুর্বলতা ভাগ করে যে প্রতিটি অতিরিক্ত চলক স্বয়ংক্রিয়ভাবে η²-এর মান বৃদ্ধি করবে। উপরন্তু, এটি জনসংখ্যার নয়, নমুনার ব্যাখ্যা করা ভ্যারিয়েন্স পরিমাপ করে, যার অর্থ এটি সর্বদা ইফেক্ট সাইজকে অতিরিক্ত অনুমান করবে, যদিও নমুনা বড় হওয়ার সাথে সাথে পক্ষপাত ছোট হয়। $${\eta }^2=\frac{S{S}_{\text{Treatment}}}{S{S}_{\text{Total}}}.$$

ওমেগা-স্কয়ারড (ω²)

আরও দেখুন: Coefficient of determination#Adjusted R2|অ্যাডজাস্টেড R² জনসংখ্যায় ব্যাখ্যা করা ভ্যারিয়েন্সের একটি কম পক্ষপাতদুষ্ট এস্টিমেটর হলো ω² $${\omega }^2=\frac{{\text{SS}}_{\text{treatment}}-d{f}_{\text{treatment}}\cdot {\text{MS}}_{\text{error}}}{{\text{SS}}_{\text{total}}+{\text{MS}}_{\text{error}}}.$$

সূত্রের এই রূপটি সমস্ত সেলে সমান নমুনার আকার সহ বিটুইন-সাবজেক্ট বিশ্লেষণের মধ্যে সীমাবদ্ধ। যেহেতু এটি কম পক্ষপাতদুষ্ট (যদিও অ-পক্ষপাতদুষ্ট নয়), ω² η²-এর চেয়ে পছন্দনীয়; তবে, জটিল বিশ্লেষণের জন্য এটি গণনা করা আরও অসুবিধাজনক হতে পারে। বিটুইন-সাবজেক্ট এবং উইদিন-সাবজেক্ট বিশ্লেষণ, রিপিটেড মেজার, মিশ্র ডিজাইন এবং র‍্যান্ডমাইজড ব্লক ডিজাইন পরীক্ষার জন্য এস্টিমেটরের একটি সাধারণ রূপ প্রকাশিত হয়েছে। উপরন্তু, তিনটি পর্যন্ত স্বাধীন চলক সহ ডিজাইনে পৃথক ফ্যাক্টর এবং সম্মিলিত ফ্যাক্টরের জন্য আংশিক ω² গণনা করার পদ্ধতি প্রকাশিত হয়েছে।

কোহেনের f²

কোহেনের f² হলো ANOVA বা মাল্টিপল রিগ্রেশনের জন্য একটি F-টেস্ট-এর প্রেক্ষাপটে ব্যবহারের জন্য বেশ কয়েকটি ইফেক্ট সাইজ পরিমাপের একটি। এর পক্ষপাতের পরিমাণ (ANOVA-এর জন্য ইফেক্ট সাইজের অতিরিক্ত অনুমান) ব্যাখ্যা করা ভ্যারিয়েন্সের (যেমন, R², η², ω²) অন্তর্নিহিত পরিমাপের পক্ষপাতের ওপর নির্ভর করে।

মাল্টিপল রিগ্রেশনের জন্য f² ইফেক্ট সাইজ পরিমাপটি এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়: $$f^2=\frac{R^2}{1-R^2}.$$

একইভাবে, f² এভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে: $$f^2=\frac{{\eta }^2}{1-{\eta }^2}$$ অথবা $$f^2=\frac{{\omega }^2}{1-{\omega }^2}$$ সেই ইফেক্ট সাইজ পরিমাপ দ্বারা বর্ণিত মডেলগুলোর জন্য।

সিকোয়েন্সিয়াল মাল্টিপল রিগ্রেশন এবং PLS মডেলিং-এর জন্য সাধারণ $f^2$ ইফেক্ট সাইজ পরিমাপটি এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়: $$f^2=\frac{R_{AB}^2-R_A^2}{1-R_{AB}^2}$$ যেখানে R²_A হলো এক বা একাধিক স্বাধীন চলক A দ্বারা হিসাব করা ভ্যারিয়েন্স এবং R²_AB হলো A এবং আগ্রহের অন্য এক বা একাধিক স্বাধীন চলক B-এর সম্মিলিত ভ্যারিয়েন্স। প্রথা অনুযায়ী, $0.1^2$, $0.25^2$, এবং $0.4^2$-এর f² ইফেক্ট সাইজগুলোকে যথাক্রমে ছোট, মাঝারি এবং বড় বলা হয়।

কোহেনের $\hat{f}$ ফ্যাক্টোরিয়াল অ্যানালাইসিস অফ ভ্যারিয়েন্স (ANOVA)-এর জন্য পিছনের দিকে কাজ করেও পাওয়া যেতে পারে, ব্যবহার করে: $${\hat{f}}_{\text{effect}}=\sqrt{(F_{\text{effect}}d{f}_{\text{effect}}/N)}.$$

ANOVA-এর একটি ভারসাম্যপূর্ণ ডিজাইনে (গ্রুপগুলো জুড়ে সমান নমুনার আকার), $f^2$-এর সংশ্লিষ্ট জনসংখ্যার প্যারামিটার হলো $$\frac{SS({\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_K)}{K\times {\sigma }^2,}$$ যেখানে μ_j মোট K গ্রুপের মধ্যে j^তম গ্রুপের জনসংখ্যার গড় এবং σ প্রতিটি গ্রুপের মধ্যে সমতুল্য জনসংখ্যার স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন নির্দেশ করে। SS হলো ANOVA-তে সাম অফ স্কয়ারস।

কোহেনের q

কোরিলেশন পার্থক্যের সাথে ব্যবহৃত আরেকটি পরিমাপ হলো কোহেনের q। এটি দুটি ফিশার রূপান্তরিত পিয়ারসন রিগ্রেশন সহগের মধ্যে পার্থক্য। প্রতীকে এটি হলো $$q=\frac{1}{2}\log \frac{1+r_1}{1-r_1}-\frac{1}{2}\log \frac{1+r_2}{1-r_2}$$

যেখানে r₁ এবং r₂ হলো তুলনা করা রিগ্রেশন। q-এর প্রত্যাশিত মান শূন্য এবং এর ভ্যারিয়েন্স হলো $$\mathrm{var}(q)=\frac{1}{N_1-3}+\frac{1}{N_2-3}$$ যেখানে N₁ এবং N₂ হলো যথাক্রমে প্রথম এবং দ্বিতীয় রিগ্রেশনের উপাত্ত বিন্দুর সংখ্যা।

পার্থক্য পরিবার: গড়ের মধ্যে পার্থক্যের ওপর ভিত্তি করে ইফেক্ট সাইজ

দুটি গ্রুপের তুলনার সাথে সম্পর্কিত কাঁচা ইফেক্ট সাইজ সহজাতভাবে দুটি গড়ের মধ্যে পার্থক্য হিসেবে গণনা করা হয়। তবে, ব্যাখ্যা সহজ করার জন্য ইফেক্ট সাইজ প্রমিত করা সাধারণ; পরিসংখ্যানগত প্রমিতকরণের বিভিন্ন নিয়ম নিচে উপস্থাপন করা হলো।

প্রমিত গড় পার্থক্য

কোহেনের d-এর বিভিন্ন মান চিত্রিত করে গাউসিয়ান ঘনত্বের প্লট।

গড়ের ওপর ভিত্তি করে একটি (জনসংখ্যা) ইফেক্ট সাইজ θ সাধারণত দুটি জনসংখ্যার মধ্যে প্রমিত গড় পার্থক্য (SMD) বিবেচনা করে78 $$\theta =\frac{{\mu }_1-{\mu }_2}{\sigma },$$ যেখানে μ₁ একটি জনসংখ্যার গড়, μ₂ অন্য জনসংখ্যার গড় এবং σ হলো এক বা উভয় জনসংখ্যার ওপর ভিত্তি করে একটি স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন।

ব্যবহারিক সেটিংয়ে জনসংখ্যার মানগুলো সাধারণত জানা থাকে না এবং নমুনার পরিসংখ্যান থেকে অনুমান করতে হয়। গড়ের ওপর ভিত্তি করে ইফেক্ট সাইজের বিভিন্ন সংস্করণ কোন পরিসংখ্যান ব্যবহৃত হয় তার ক্ষেত্রে ভিন্ন হয়।

ইফেক্ট সাইজের এই রূপটি একটি t-টেস্ট পরিসংখ্যানের গণনার অনুরূপ, যার গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য হলো t-টেস্ট পরিসংখ্যানে $\sqrt{n}$-এর একটি ফ্যাক্টর অন্তর্ভুক্ত থাকে। এর অর্থ হলো একটি নির্দিষ্ট ইফেক্ট সাইজের জন্য, নমুনার আকার বাড়ার সাথে সাথে তাৎপর্য স্তর বৃদ্ধি পায়। t-টেস্ট পরিসংখ্যানের বিপরীতে, ইফেক্ট সাইজ একটি জনসংখ্যার প্যারামিটার অনুমান করার লক্ষ্য রাখে এবং নমুনার আকার দ্বারা প্রভাবিত হয় না।

0.2 থেকে 0.5 SMD মানগুলোকে ছোট, 0.5 থেকে 0.8 মানগুলোকে মাঝারি এবং 0.8-এর চেয়ে বেশি মানগুলোকে বড় হিসেবে গণ্য করা হয়।

কোহেনের d Cohen's d

কোহেনের d দুটি গড়ের মধ্যে পার্থক্যকে উপাত্তের স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন দ্বারা ভাগ করে সংজ্ঞায়িত করা হয়, অর্থাৎ $$d=\frac{{\overline{x}}_1-{\overline{x}}_2}{s}.$$

জ্যাকব কোহেন s, পুলেড স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন, এভাবে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন (দুটি স্বাধীন নমুনার জন্য):67 $$s=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}$$ যেখানে গ্রুপগুলোর একটির জন্য ভ্যারিয়েন্স এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় $$s_1^2=\frac{1}{n_1-1}\sum _{i=1}^{n_1}(x_{1,i}-{\overline{x}}_1{)}^2,$$ এবং অন্য গ্রুপের জন্য একইভাবে।

অন্যান্য লেখকরা "কোহেনের d" (Cohen's d)-এর উল্লেখ করার সময় আদর্শ বিচ্যুতি বা স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের গণনায় কিছুটা ভিন্ন পদ্ধতি বেছে নেন, যেখানে হর থেকে "-2" বাদ দেওয়া হয়।14 $$s=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2}}$$ "কোহেনের d"-এর এই সংজ্ঞাটিকে হেজেস এবং ওলকিন সর্বাধিক সম্ভাব্য (maximum likelihood) প্রাক্কলক হিসেবে অভিহিত করেছেন, এবং এটি একটি স্কেলিং ফ্যাক্টরের মাধ্যমে হেজেসের g-এর সাথে সম্পর্কিত (নিচে দেখুন)।

দুটি জোড়বদ্ধ নমুনার (paired samples) ক্ষেত্রে, একটি পদ্ধতি হলো পার্থক্যসূচক স্কোরের বিন্যাস পর্যবেক্ষণ করা। সেক্ষেত্রে, s হলো এই পার্থক্যসূচক স্কোরের বিন্যাসের আদর্শ বিচ্যুতি (উল্লেখ্য যে, পার্থক্যসূচক স্কোরের আদর্শ বিচ্যুতি জোড়বদ্ধ নমুনার মধ্যকার পারস্পরিক সম্পর্কের ওপর নির্ভরশীল)। এটি দুটি জোড়বদ্ধ গ্রুপের গড়ের পার্থক্যের পরীক্ষার জন্য t-পরিসংখ্যান এবং কোহেনের d' (পার্থক্যসূচক স্কোর দিয়ে গণনাকৃত)-এর মধ্যে নিম্নলিখিত সম্পর্ক তৈরি করে: $$t=\frac{{\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2}{{\text{SE}}_{diff}}=\frac{{\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2}{\frac{{\text{SD}}_{diff}}{\sqrt{N}}}=\frac{\sqrt{N}({\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2)}{S{D}_{diff}}$$ এবং $$d^{\prime }=\frac{{\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2}{{\text{SD}}_{diff}}=\frac{t}{\sqrt{N}}$$যাইহোক, জোড়বদ্ধ নমুনার জন্য কোহেন উল্লেখ করেছেন যে, d-এর জন্য পরীক্ষার ক্ষমতা (power of the test) পাওয়ার ক্ষেত্রে d' সঠিক প্রাক্কলন প্রদান করে না এবং d-এর জন্য প্রদত্ত সারণীতে মানগুলো দেখার আগে, নিচের সূত্রের মতো r-এর জন্য এটি সংশোধন করা উচিত:(Cohen, 1988, p. 49) $$\frac{d^{\prime }}{\sqrt{1-r}}.$$যেখানে r হলো জোড়বদ্ধ পরিমাপের মধ্যকার পারস্পরিক সম্পর্ক। একই নমুনার আকারের ক্ষেত্রে, r যত বেশি হবে, জোড়বদ্ধ পার্থক্যের পরীক্ষার ক্ষমতা তত বেশি হবে।

যেহেতু d' মানটি r-এর ওপর নির্ভর করে, তাই ইফেক্ট সাইজের পরিমাপ হিসেবে এর ব্যাখ্যা করা কঠিন; অতএব, জোড়বদ্ধ বিশ্লেষণের প্রেক্ষাপটে, যেহেতু d' বা d (একটি পুলড স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন বা কোনো গ্রুপ বা সময়-বিন্দুর ডেভিয়েশন দিয়ে প্রাক্কলিত) গণনা করা সম্ভব, তাই কোনটি রিপোর্ট করা হচ্ছে তা স্পষ্টভাবে নির্দেশ করা প্রয়োজন। ইফেক্ট সাইজের পরিমাপ হিসেবে, d (একটি পুলড স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন বা কোনো গ্রুপ বা সময়-বিন্দুর ডেভিয়েশন দিয়ে প্রাক্কলিত) অধিক উপযুক্ত, উদাহরণস্বরূপ মেটা-বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে।

কোহেনের d পরিসংখ্যানগত পরীক্ষার জন্য নমুনার আকার প্রাক্কলন (estimating sample sizes)-এ ঘন ঘন ব্যবহৃত হয়। কোহেনের d-এর মান কম হলে বৃহত্তর নমুনার আকারের প্রয়োজনীয়তা নির্দেশ করে এবং বিপরীতক্রমে, কাঙ্ক্ষিত সার্থকতা স্তর (significance level) এবং পরিসংখ্যানগত ক্ষমতা (statistical power)-এর অতিরিক্ত প্যারামিটারগুলোর সাথে এটি নির্ধারণ করা যেতে পারে।

গ্লাসের Δ (Glass' Δ)

১৯৭৬ সালে, জিন ভি. গ্লাস ইফেক্ট সাইজের এমন একটি প্রাক্কলক প্রস্তাব করেন যা শুধুমাত্র দ্বিতীয় গ্রুপের আদর্শ বিচ্যুতি ব্যবহার করে78 $$\mathrm{\Delta }=\frac{{\overline{x}}_1-{\overline{x}}_2}{s_2}$$

দ্বিতীয় গ্রুপটিকে কন্ট্রোল গ্রুপ হিসেবে গণ্য করা যেতে পারে এবং গ্লাস যুক্তি দিয়েছিলেন যে, যদি বেশ কয়েকটি চিকিৎসা পদ্ধতিকে কন্ট্রোল গ্রুপের সাথে তুলনা করা হয়, তবে শুধুমাত্র কন্ট্রোল গ্রুপ থেকে গণনাকৃত আদর্শ বিচ্যুতি ব্যবহার করাই ভালো, যাতে সমান গড় এবং ভিন্ন ভিন্ন ভেদাঙ্কের ক্ষেত্রে ইফেক্ট সাইজগুলো আলাদা না হয়।

জনসংখ্যার ভেদাঙ্ক সমান—এই সঠিক অনুমানের অধীনে, σ-এর একটি পুলড প্রাক্কলন অধিক নির্ভুল।

হেজেসের g (Hedges' g)

১৯৮১ সালে ল্যারি হেজেস কর্তৃক প্রস্তাবিত হেজেসের g, অন্যান্য পরিমাপের মতোই একটি প্রমিত পার্থক্যের ওপর ভিত্তি করে তৈরি79 $$g=\frac{{\overline{x}}_1-{\overline{x}}_2}{s^{*}}$$ যেখানে পুলড স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন $s^{*}$ নিম্নোক্তভাবে গণনা করা হয়: $$s^{*}=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}.$$

যাইহোক, জনসংখ্যার ইফেক্ট সাইজ θ-এর একটি প্রাক্কলক (estimator) হিসেবে এটি পক্ষপাতদুষ্ট (biased)। তবুও, এই পক্ষপাত একটি ফ্যাক্টর দ্বারা গুণ করার মাধ্যমে মোটামুটিভাবে সংশোধন করা যেতে পারে: $$g^{*}=J(n_1+n_2-2)g\approx (1-\frac{3}{4(n_1+n_2)-9})g$$ হেজেস এবং ওলকিন এই কম-পক্ষপাতদুষ্ট প্রাক্কলক $g^{*}$-কে d হিসেবে উল্লেখ করেছেন, তবে এটি কোহেনের d-এর সমান নয়। সংশোধন ফ্যাক্টর J()-এর সঠিক রূপটি গামা ফাংশন (gamma function) অন্তর্ভুক্ত করে104 $$J(a)=\frac{\mathrm{\Gamma }(a/2)}{\sqrt{a/2}\mathrm{\Gamma }((a-1)/2)}.$$

হেজেসের g-এর মাল্টিলেভেল ভেরিয়েন্টও রয়েছে, যেমন ক্লাস্টার র‍্যান্ডমাইজড কন্ট্রোল ট্রায়াল (CRTs)-এ ব্যবহারের জন্য। CRT-তে বিভিন্ন শর্তের জন্য স্কুল বা শ্রেণিকক্ষের মতো ক্লাস্টারগুলোকে র‍্যান্ডমাইজ করা হয় এবং এগুলো শিক্ষা গবেষণায় ঘন ঘন ব্যবহৃত হয়।

Ψ, রুট-মিন-স্কয়ার স্ট্যান্ডার্ডাইজড ইফেক্ট (root-mean-square standardized effect)

একাধিক তুলনার (যেমন, ANOVA) জন্য একটি অনুরূপ ইফেক্ট সাইজ প্রাক্কলক হলো Ψ রুট-মিন-স্কয়ার স্ট্যান্ডার্ডাইজড ইফেক্ট: $$\mathrm{\Psi }=\sqrt{\frac{1}{k-1}\cdot \sum _{j=1}^k{\left(\frac{{\mu }_j-\mu }{\sigma }\right)}^2}$$ যেখানে k হলো তুলনার গ্রুপগুলোর সংখ্যা।

এটি মূলত রুট মিন স্কয়ার দ্বারা সমন্বিত পুরো মডেলের অমনিবাস পার্থক্য উপস্থাপন করে, যা d বা g-এর অনুরূপ।

এছাড়া, মাল্টি-ফ্যাক্টোরিয়াল ডিজাইনের জন্য একটি সাধারণীকরণ প্রদান করা হয়েছে।

গড়ের ওপর ভিত্তি করে ইফেক্ট সাইজের বিন্যাস

যদি ডেটা গাউসিয়ান (Gaussian) বিন্যাস অনুসরণ করে, তবে একটি স্কেল করা হেজেসের g, $\sqrt{n_1{n}_2/(n_1+n_2)}g$, একটি ননসেন্ট্রাল t-বিন্যাস (noncentral t-distribution) অনুসরণ করে, যার ননসেন্ট্রালিটি প্যারামিটার (noncentrality parameter) $\sqrt{n_1{n}_2/(n_1+n_2)}\theta$ এবং (n₁ + n₂ − 2) ডিগ্রি অফ ফ্রিডম থাকে। একইভাবে, স্কেল করা গ্লাসের Δ, n₂ − 1 ডিগ্রি অফ ফ্রিডম নিয়ে বিন্যস্ত হয়।

এই বিন্যাস থেকে ইফেক্ট সাইজগুলোর প্রত্যাশা (expectation) এবং ভেদাঙ্ক গণনা করা সম্ভব।

কিছু ক্ষেত্রে ভেদাঙ্কের জন্য বড় নমুনার আসন্ন মান (large sample approximations) ব্যবহৃত হয়। হেজেসের নিরপেক্ষ প্রাক্কলকের ভেদাঙ্কের জন্য একটি পরামর্শ হলো 86 $${\hat{\sigma }}^2(g^{*})=\frac{n_1+n_2}{n_1{n}_2}+\frac{(g^{*}{)}^2}{2(n_1+n_2)}.$$

স্ট্রিক্টলি স্ট্যান্ডার্ডাইজড মিন ডিফারেন্স (SSMD)

মূল নিবন্ধ: Strictly standardized mean difference

একটি পরিসংখ্যানগত প্যারামিটার হিসেবে, SSMD ($\beta$ হিসেবে চিহ্নিত) দুটি গ্রুপ থেকে প্রাপ্ত দুটি র‍্যান্ডম মানের পার্থক্যের গড় (mean) এবং আদর্শ বিচ্যুতি (standard deviation)-এর অনুপাত হিসেবে সংজ্ঞায়িত। ধরুন, র‍্যান্ডম মানসহ একটি গ্রুপের গড় ${\mu }_1$ এবং ভেদাঙ্ক (variance) ${\sigma }_1^2$ এবং অন্য গ্রুপের গড় ${\mu }_2$ এবং ভেদাঙ্ক ${\sigma }_2^2$। দুটি গ্রুপের মধ্যকার কোভ্যারিয়েন্স (covariance) হলো ${\sigma }_{12}$। তাহলে, এই দুটি গ্রুপের তুলনার জন্য SSMD সংজ্ঞায়িত হয় এভাবে:

$\beta =\frac{{\mu }_1-{\mu }_2}{\sqrt{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2-2{\sigma }_{12}}}.$

যদি দুটি গ্রুপ স্বাধীন হয়,

$\beta =\frac{{\mu }_1-{\mu }_2}{\sqrt{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}}.$

যদি দুটি স্বাধীন গ্রুপের সমান ভেদাঙ্ক ${\sigma }^2$ থাকে,

$\beta =\frac{{\mu }_1-{\mu }_2}{\sqrt{2}\sigma }.$

অন্যান্য মেট্রিক্স

মাহালানোবিস দূরত্ব (Mahalanobis distance, D) হলো কোহেনের d-এর একটি মাল্টিভ্যারিয়েট সাধারণীকরণ, যা ভেরিয়েবলগুলোর মধ্যকার সম্পর্ককে বিবেচনায় নেয়।

সুবিনের E ($E_{HBG}$) হলো জোড়বদ্ধ পুনরাবৃত্ত-মূল্যায়ন ডেটার জন্য একটি সীমাবদ্ধ ইফেক্ট সাইজ। এটি একটি রেফারেন্স স্প্রেড ব্যবহার করে গড় বৃদ্ধিকে প্রমিত করে, ব্যক্তিগত বৃদ্ধি স্কোরে ভিন্নতা অন্তর্ভুক্ত করে এবং একটি সীমাবদ্ধ আর্কট্যানজেন্ট রূপান্তর প্রয়োগ করে। এটি পুনরাবৃত্ত মূল্যায়ন উপলক্ষগুলোতে গ্রুপ-মধ্যস্থ জোড়বদ্ধ তুলনার জন্য উদ্দিষ্ট।

$$E_{HBG}=\frac{2}{\pi }\arctan \left(\frac{J({\overline{X}}_2-{\overline{X}}_1)}{k{S}_{ref}\sqrt{1+\lambda {\left(\frac{s_D}{S_{ref}}\right)}^2}}\right)$$

যেখানে

$$S_{ref}=\sqrt{\frac{s_1^2+s_2^2}{2}}.$$

পদ্ধতিটির প্রকাশিত ক্যালিব্রেশনে, প্রস্তাবিত প্যারামিটার মানগুলো ছিল $\lambda =2.8759$ এবং $k=0.5069$।

এখানে ${\overline{X}}_1$ এবং ${\overline{X}}_2$ দুটি মূল্যায়ন উপলক্ষ্যের গড় নির্দেশ করে, $s_1$ এবং $s_2$ সংশ্লিষ্ট আদর্শ বিচ্যুতি নির্দেশ করে, $s_D$ হলো ব্যক্তিগত বৃদ্ধি স্কোরের আদর্শ বিচ্যুতি এবং $J$ হলো একটি ছোট-নমুনার সংশোধন ফ্যাক্টর। পদ্ধতিটির জন্য রিপোর্ট করা ব্যবহারিক আসন্ন মানে, $J\approx 1-\frac{3}{4n-5}$।

প্রকাশিত ক্যালিব্রেশনে, $E_{HBG}$-এর পরম মানগুলো নিচের অভিজ্ঞতামূলক ব্যান্ডগুলো ব্যবহার করে ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

$E_{HBG}$-এর পরম মানের জন্য প্রকাশিত ব্যাখ্যা নির্দেশিকা

পরম মান	ব্যাখ্যা
0.00–0.49	সীমিত প্রভাব
0.50–0.64	সাধারণ প্রভাব
0.65–0.79	উল্লেখযোগ্য প্রভাব
0.80–0.89	শক্তিশালী প্রভাব
0.90–1.00	অত্যন্ত শক্তিশালী প্রভাব

ক্যাটাগরিক্যাল ফ্যামিলি: ক্যাটাগরিক্যাল ভেরিয়েবলগুলোর মধ্যে সম্পর্কের জন্য ইফেক্ট সাইজ

$\phi =\sqrt{\frac{{\chi }^2}{N}}$	${\phi }_c=\sqrt{\frac{{\chi }^2}{N(k-1)}}$
ফাই (φ)	ক্র্যামারের V (φc)

কাই-স্কয়ার পরীক্ষা (chi-squared test)-এর জন্য সম্পর্কের সাধারণভাবে ব্যবহৃত পরিমাপগুলো হলো ফাই কোফিসিয়েন্ট (Phi coefficient) এবং ক্র্যামার-এর V (কখনও কখনও ক্র্যামারের ফাই হিসেবে উল্লেখ করা হয় এবং φ_c হিসেবে চিহ্নিত করা হয়)। ফাই, পয়েন্ট-বাইসিরিয়াল কোরিলেশন কোফিসিয়েন্ট এবং কোহেনের d-এর সাথে সম্পর্কিত এবং দুটি ভেরিয়েবলের (2 × 2) মধ্যে সম্পর্কের মাত্রা প্রাক্কলন করে। ক্র্যামারের V দুইয়ের অধিক স্তরবিশিষ্ট ভেরিয়েবলের সাথে ব্যবহার করা যেতে পারে।

ফাই গণনা করা যায় কাই-স্কয়ার পরিসংখ্যানকে নমুনার আকার দিয়ে ভাগ করে তার বর্গমূল নির্ণয়ের মাধ্যমে।

একইভাবে, ক্র্যামারের V গণনা করা হয় কাই-স্কয়ার পরিসংখ্যানকে নমুনার আকার এবং সর্বনিম্ন মাত্রার দৈর্ঘ্য (k হলো সারি r বা কলাম c-এর সংখ্যার মধ্যে ছোটটি) দিয়ে ভাগ করে তার বর্গমূল নির্ণয়ের মাধ্যমে।

φ_c হলো দুটি ডিসক্রিট ভেরিয়েবলের আন্তঃসম্পর্ক এবং এটি r বা c-এর যেকোনো মানের জন্য গণনা করা যেতে পারে। যাইহোক, যেহেতু কাই-স্কয়ার মানগুলো সেলের সংখ্যার সাথে বৃদ্ধি পেতে থাকে, তাই r এবং c-এর মধ্যে পার্থক্য যত বেশি হবে, অর্থপূর্ণ সম্পর্কের শক্তিশালী প্রমাণ ছাড়াই V-এর মান ১-এর দিকে যাওয়ার প্রবণতা তত বেশি হবে।

কোহেনের ওমেগা (ω)

কাই-স্কয়ার পরীক্ষার জন্য ব্যবহৃত ইফেক্ট সাইজের আরেকটি পরিমাপ হলো কোহেনের ওমেগা ($\omega$)। এটি নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত: $$\omega =\sqrt{\sum _{i=1}^m\frac{(p_{1i}-p_{0i}{)}^2}{p_{0i}}}$$ যেখানে p_0i হলো H₀-এর অধীনে i-তম সেলের অনুপাত, p_1i হলো H₁-এর অধীনে i-তম সেলের অনুপাত এবং m হলো সেলের সংখ্যা।

অডস রেশিও (Odds ratio)

অডস রেশিও (OR) হলো আরেকটি দরকারী ইফেক্ট সাইজ। এটি তখন উপযুক্ত যখন গবেষণার প্রশ্নটি দুটি বাইনারি ভেরিয়েবল-এর মধ্যে সম্পর্কের মাত্রার ওপর আলোকপাত করে। উদাহরণস্বরূপ, বানান দক্ষতার একটি গবেষণা বিবেচনা করুন। একটি কন্ট্রোল গ্রুপে, প্রতি একজন ব্যর্থ শিক্ষার্থীর বিপরীতে দুজন শিক্ষার্থী ক্লাসে পাস করে, তাই পাস করার অডস হলো দুইয়ের বিপরীতে এক (বা 2/1 = 2)। ট্রিটমেন্ট গ্রুপে, প্রতি একজন ব্যর্থ শিক্ষার্থীর বিপরীতে ছয়জন শিক্ষার্থী পাস করে, তাই পাস করার অডস হলো ছয়ের বিপরীতে এক (বা 6/1 = 6)। ইফেক্ট সাইজটি এভাবে গণনা করা যেতে পারে যে, ট্রিটমেন্ট গ্রুপে পাস করার অডস কন্ট্রোল গ্রুপের চেয়ে তিন গুণ বেশি (কারণ 6-কে 2 দিয়ে ভাগ করলে 3 হয়)। অতএব, অডস রেশিও হলো 3। অডস রেশিও পরিসংখ্যান কোহেনের d-এর চেয়ে ভিন্ন স্কেলে থাকে, তাই এই '3' কোহেনের d-এর 3-এর সাথে তুলনীয় নয়।

রিলেটিভ রিস্ক (Relative risk)

রিলেটিভ রিস্ক (RR), যাকে রিস্ক রেশিওও বলা হয়, তা হলো কোনো স্বাধীন ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে কোনো ঘটনার রিস্ক (সম্ভাবনা)। ইফেক্ট সাইজের এই পরিমাপটি অডস রেশিও থেকে ভিন্ন, কারণ এটি 'অডস'-এর পরিবর্তে 'সম্ভাবনা' তুলনা করে, কিন্তু ছোট সম্ভাবনার ক্ষেত্রে এটি অডস রেশিও-এর কাছাকাছি পৌঁছায়। উপরের উদাহরণটি ব্যবহার করলে, কন্ট্রোল গ্রুপ এবং ট্রিটমেন্ট গ্রুপে পাস করার 'সম্ভাবনা' যথাক্রমে 2/3 (বা 0.67) এবং 6/7 (বা 0.86)। ইফেক্ট সাইজটি উপরের মতোই গণনা করা যেতে পারে, তবে সম্ভাবনা ব্যবহার করে। অতএব, রিলেটিভ রিস্ক হলো 1.28। যেহেতু পাস করার বেশ বড় সম্ভাবনা ব্যবহার করা হয়েছিল, তাই রিলেটিভ রিস্ক এবং অডস রেশিও-এর মধ্যে বড় পার্থক্য রয়েছে। যদি ঘটনার জন্য 'ব্যর্থতা' (একটি ছোট সম্ভাবনা) ব্যবহার করা হতো (পাস করার পরিবর্তে), তবে ইফেক্ট সাইজের এই দুটি পরিমাপের মধ্যে পার্থক্য এত বড় হতো না।

যদিও উভয় পরিমাপই দরকারী, তাদের ভিন্ন ভিন্ন পরিসংখ্যানগত ব্যবহার রয়েছে। চিকিৎসা গবেষণায়, অডস রেশিও সাধারণত কেস-কন্ট্রোল স্টাডি-এর জন্য ব্যবহৃত হয়, কারণ অডস, সম্ভাবনা নয়, সাধারণত প্রাক্কলন করা হয়। রিলেটিভ রিস্ক সাধারণত র‍্যান্ডমাইজড কন্ট্রোল ট্রায়াল এবং কোহর্ট স্টাডি-তে ব্যবহৃত হয়, কিন্তু রিলেটিভ রিস্ক হস্তক্ষেপের কার্যকারিতার অতিমূল্যায়নে অবদান রাখে।

রিস্ক ডিফারেন্স (Risk difference)

রিস্ক ডিফারেন্স (RD), যাকে কখনও কখনও অ্যাবসোলিউট রিস্ক রিডাকশন বলা হয়, তা হলো দুটি গ্রুপের মধ্যে কোনো ঘটনার রিস্কের (সম্ভাবনা) পার্থক্য। এটি পরীক্ষামূলক গবেষণায় একটি দরকারী পরিমাপ, কারণ RD আপনাকে জানায় যে একটি পরীক্ষামূলক হস্তক্ষেপ কোনো ঘটনা বা ফলাফলের সম্ভাবনাকে কতটা পরিবর্তন করে। উপরের উদাহরণটি ব্যবহার করলে, কন্ট্রোল গ্রুপ এবং ট্রিটমেন্ট গ্রুপে পাস করার সম্ভাবনা যথাক্রমে 2/3 (বা 0.67) এবং 6/7 (বা 0.86), এবং তাই RD ইফেক্ট সাইজ হলো 0.86 − 0.67 = 0.19 (বা 19%)। হস্তক্ষেপের কার্যকারিতা মূল্যায়নের জন্য RD একটি উন্নত পরিমাপ।

কোহেনের h (Cohen's h)

মূল নিবন্ধ: Cohen's h

দুটি স্বাধীন অনুপাত তুলনা করার সময় পাওয়ার বিশ্লেষণে ব্যবহৃত একটি পরিমাপ হলো কোহেনের h। এটি নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত: $$h=2(\arcsin \sqrt{p_1}-\arcsin \sqrt{p_2})$$ যেখানে p₁ এবং p₂ হলো তুলনাকৃত দুটি নমুনার অনুপাত এবং arcsin হলো আর্কসাইন রূপান্তর।

প্রোবাবিলিটি অফ সুপিরিয়রিটি (Probability of superiority)

মূল নিবন্ধ: Probability of superiority পরিসংখ্যানের বাইরের মানুষের কাছে ইফেক্ট সাইজের অর্থ আরও সহজে বর্ণনা করার জন্য, কমন ল্যাঙ্গুয়েজ ইফেক্ট সাইজ (common language effect size) ডিজাইন করা হয়েছিল যাতে এটি সাধারণ ইংরেজিতে যোগাযোগ করা যায়। এটি দুটি গ্রুপের মধ্যে পার্থক্য বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয় এবং ১৯৯২ সালে কেনেথ ম্যাকগ্রা এবং এস. পি. ওং এটি প্রস্তাব করেন এবং নামকরণ করেন। তারা (তরুণ পুরুষ ও নারীদের উচ্চতা সম্পর্কে) নিচের উদাহরণটি ব্যবহার করেছিলেন: "তরুণ প্রাপ্তবয়স্ক পুরুষ এবং নারীদের যেকোনো র‍্যান্ডম জোড়ায়, পুরুষের নারীর চেয়ে লম্বা হওয়ার সম্ভাবনা .92, বা আরও সহজ কথায়, তরুণ প্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে ১০০টি ব্লাইন্ড ডেটের মধ্যে ৯২টিতে পুরুষটি নারীর চেয়ে লম্বা হবে", যখন তারা কমন ল্যাঙ্গুয়েজ ইফেক্ট সাইজের জনসংখ্যার মান বর্ণনা করছিলেন।

অর্ডিনাল ডেটার জন্য ইফেক্ট সাইজ

ক্লিফ'স ডেল্টা (Cliff's delta) বা $d$, যা মূলত নরম্যান ক্লিফ অর্ডিনাল ডেটার সাথে ব্যবহারের জন্য তৈরি করেছিলেন,May 2024 এটি একটি পরিমাপ যে, একটি বিন্যাসের মানগুলো কত ঘন ঘন দ্বিতীয় বিন্যাসের মানগুলোর চেয়ে বড় হয়। গুরুত্বপূর্ণভাবে, এটি দুটি বিন্যাসের আকার বা বিস্তৃতি সম্পর্কে কোনো অনুমানের প্রয়োজন হয় না।

নমুনার প্রাক্কলন $d$ নিম্নোক্তভাবে দেওয়া হয়: $$d=\frac{\sum _{i,j}[x_i>x_j]-[x_i<x_j]}{mn}$$ যেখানে দুটি বিন্যাসের আকার $n$ এবং $m$ এবং আইটেমগুলো যথাক্রমে $x_i$ এবং $x_j$, এবং $[\cdot ]$ হলো আইভারসন ব্র্যাকেট (Iverson bracket), যা ১ হয় যখন ভেতরের বিষয়বস্তু সত্য হয় এবং ০ হয় যখন মিথ্যা হয়।

$d$ রৈখিকভাবে ম্যান-হুইটনি ইউ পরিসংখ্যান-এর সাথে সম্পর্কিত; যাইহোক, এটি তার চিহ্নের মাধ্যমে পার্থক্যের দিকটি ধারণ করে। ম্যান-হুইটনি $U$ দেওয়া থাকলে, $d$ হলো: $$d=\frac{2U}{mn}-1$$

কোহেনের g (Cohen's g)

একটি অনুপাত ৫০% থেকে কতটা আলাদা তা পরিমাপ করার জন্য সবচেয়ে সহজ ইফেক্ট সাইজগুলোর মধ্যে একটি হলো কোহেনের g।147 এটি পরিমাপ করে যে একটি অনুপাত ৫০% থেকে কতটা আলাদা। উদাহরণস্বরূপ, যদি গাড়ি চুরির জন্য গ্রেফতারের ৮৫.২% পুরুষ হয়, তবে কোহেনের g দিয়ে পরিমাপ করলে গ্রেফতারের ওপর লিঙ্গের ইফেক্ট সাইজ হলো $g=0.852-0.5=0.352$। সাধারণভাবে:

$g=P-0.50\text{ বা }0.50-P(\text{দিকনির্দেশক}),$

$g=|P-0.50|(\text{অ-দিকনির্দেশক}).$

কোহেনের g-এর একক কিছু অন্যান্য ইফেক্ট সাইজের চেয়ে বেশি স্বজ্ঞাত (অনুপাত)। এটি কখনও কখনও বাইনোমিয়াল পরীক্ষা-এর সাথে একত্রে ব্যবহৃত হয়।

ননসেন্ট্রালিটি প্যারামিটারের মাধ্যমে কনফিডেন্স ইন্টারভাল

প্রমিত ইফেক্ট সাইজগুলোর কনফিডেন্স ইন্টারভাল, বিশেষ করে কোহেনের $d$ এবং $f^2$, ননসেন্ট্রালিটি প্যারামিটার (ncp)-এর কনফিডেন্স ইন্টারভাল গণনার ওপর নির্ভর করে। ncp-এর কনফিডেন্স ইন্টারভাল তৈরি করার একটি সাধারণ পদ্ধতি হলো পর্যবেক্ষণকৃত পরিসংখ্যানকে টেইল কোয়ান্টাইল (quantile) α/2 এবং (1 − α/2)-এর সাথে খাপ খাওয়ানোর জন্য সমালোচনামূলক ncp মানগুলো খুঁজে বের করা। SAS এবং R-প্যাকেজ MBESS, ncp-এর সমালোচনামূলক মানগুলো খুঁজে বের করার জন্য ফাংশন প্রদান করে।

একক গ্রুপ বা দুটি সম্পর্কিত গ্রুপের গড় পার্থক্যের জন্য t-পরীক্ষা

একটি একক গ্রুপের জন্য, M নমুনার গড়, μ জনসংখ্যার গড়, SD নমুনার আদর্শ বিচ্যুতি, σ জনসংখ্যার আদর্শ বিচ্যুতি এবং n হলো গ্রুপের নমুনার আকার নির্দেশ করে। t মানটি গড় এবং একটি বেসলাইন μ_baseline-এর পার্থক্যের ওপর হাইপোথিসিস পরীক্ষা করতে ব্যবহৃত হয়। সাধারণত, μ_baseline শূন্য হয়। দুটি সম্পর্কিত গ্রুপের ক্ষেত্রে, একক গ্রুপটি নমুনার জোড়ার পার্থক্য দ্বারা গঠিত হয়, যেখানে SD এবং σ মূল দুটি গ্রুপের পরিবর্তে পার্থক্যের নমুনার এবং জনসংখ্যার আদর্শ বিচ্যুতি নির্দেশ করে। $$t:=\frac{M-{\mu }_{\text{baseline}}}{\text{SE}}=\frac{M-{\mu }_{\text{baseline}}}{\text{SD}/\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}\left(\frac{M-\mu }{\sigma }\right)+\sqrt{n}\left(\frac{\mu -{\mu }_{\text{baseline}}}{\sigma }\right)}{\frac{\text{SD}}{\sigma }}$$ $$ncp=\sqrt{n}\left(\frac{\mu -{\mu }_{\text{baseline}}}{\sigma }\right)$$ এবং কোহেনের $$d:=\frac{M-{\mu }_{\text{baseline}}}{\text{SD}}$$

হলো পয়েন্ট প্রাক্কলন $$\frac{\mu -{\mu }_{\text{baseline}}}{\sigma }.$$

সুতরাং,

$\tilde{d}=\frac{ncp}{\sqrt{n}}.$

দুটি স্বাধীন গ্রুপের মধ্যে গড় পার্থক্যের জন্য t-পরীক্ষা

n₁ বা n₂ হলো সংশ্লিষ্ট নমুনার আকার। $$t:=\frac{M_1-M_2}{{\text{SD}}_{\text{within}}/\sqrt{\frac{n_1{n}_2}{n_1+n_2}}},$$

যেখানে $${\text{SD}}_{\text{within}}:=\sqrt{\frac{{\text{SS}}_{\text{within}}}{{\text{df}}_{\text{within}}}}=\sqrt{\frac{(n_1-1){\text{SD}}_1^2+(n_2-1){\text{SD}}_2^2}{n_1+n_2-2}}.$$ $$ncp=\sqrt{\frac{n_1{n}_2}{n_1+n_2}}\frac{{\mu }_1-{\mu }_2}{\sigma }$$

এবং কোহেনের $$d:=\frac{M_1-M_2}{S{D}_{\text{within}}}$$ হলো $\frac{{\mu }_1-{\mu }_2}{\sigma }$-এর পয়েন্ট প্রাক্কলন।

সুতরাং, $$\tilde{d}=\frac{ncp}{\sqrt{\frac{n_1{n}_2}{n_1+n_2}}}.$$

একাধিক স্বাধীন গ্রুপ জুড়ে গড় পার্থক্যের জন্য ওয়ান-ওয়ে ANOVA পরীক্ষা

ওয়ান-ওয়ে ANOVA পরীক্ষা ননসেন্ট্রাল এফ বিন্যাস (noncentral F distribution) প্রয়োগ করে। যদিও একটি প্রদত্ত জনসংখ্যার আদর্শ বিচ্যুতি $\sigma$-এর সাথে, একই পরীক্ষার প্রশ্ন ননসেন্ট্রাল কাই-স্কয়ার বিন্যাস প্রয়োগ করে। $$F:=\frac{\frac{{\text{SS}}_{\text{between}}}{{\sigma }^2}/{\text{df}}_{\text{between}}}{\frac{{\text{SS}}_{\text{within}}}{{\sigma }^2}/{\text{df}}_{\text{within}}}$$

i-তম গ্রুপের মধ্যে প্রতিটি j-তম নমুনার জন্য X_i,j, চিহ্নিত করুন $$M_i(X_{i,j}):=\frac{\sum _{w=1}^{n_i}{X}_{i,w}}{n_i};{\mu }_i(X_{i,j}):={\mu }_i.$$

যেখানে, $$\begin{array}{rl}{\text{SS}}_{\text{between}}/{\sigma }^2& =\frac{\text{SS}(M_i(X_{i,j});i=1,2,\dots ,K,j=1,2,\dots ,n_i)}{{\sigma }^2}\\ & =\text{SS}(\frac{M_i(X_{i,j}-{\mu }_i)}{\sigma }+\frac{{\mu }_i}{\sigma };i=1,2,\dots ,K,j=1,2,\dots ,n_i)\\ & \sim {\chi }^2(\text{df}=K-1,ncp=SS(\frac{{\mu }_i(X_{i,j})}{\sigma };i=1,2,\dots ,K,j=1,2,\dots ,n_i))\end{array}$$

সুতরাং, F এবং ${\chi }^2$ উভয়েরই ncp(s) সমান $$\text{SS}({\mu }_i(X_{i,j})/\sigma ;i=1,2,\dots ,K,j=1,2,\dots ,n_i).$$

K সংখ্যক সমান আকারের স্বাধীন গ্রুপের ক্ষেত্রে $n:=n_1=n_2=\cdots =n_K$ হলে, মোট নমুনার আকার N := n·K। $$\text{Cohens }{\tilde{f}}^2:=\frac{\text{SS}({\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_K)}{K\cdot {\sigma }^2}=\frac{\text{SS}({\mu }_i(X_{i,j})/\sigma ;i=1,2,\dots ,K,j=1,2,\dots ,n_i)}{n\cdot K}=\frac{ncp}{n\cdot K}=\frac{ncp}{N}.$$

স্বাধীন গ্রুপের এক জোড়ার জন্য t-পরীক্ষা হলো ওয়ান-ওয়ে ANOVA-এর একটি বিশেষ ক্ষেত্র। লক্ষ্য করুন যে, F-এর ননসেন্ট্রালিটি প্যারামিটার $nc{p}_F$ সংশ্লিষ্ট t-এর ননসেন্ট্রালিটি প্যারামিটার $nc{p}_t$-এর সাথে তুলনীয় নয়। আসলে, $nc{p}_F=nc{p}_t^2$ এবং $\tilde{f}=\left|\frac{\tilde{d}}{2}\right|$।

আরও দেখুন

• এস্টিমেশন পরিসংখ্যান
• পরিসংখ্যানগত সার্থকতা
• জেড-ফ্যাক্টর (Z-factor), ইফেক্ট সাইজের একটি বিকল্প পরিমাপ

আরও পড়ুন

• Aaron, B., Kromrey, J. D., & Ferron, J. M. (1998, November). Equating r-based and d-based effect-size indices: Problems with a commonly recommended formula. Paper presented at the annual meeting of the Florida Educational Research Association, Orlando, FL. (ERIC Document Reproduction Service No. ED433353)
• (2008). "Confidence intervals for standardized linear contrasts of means". Psychological Methods. 13 (2) 99–109. doi:10.1037/1082-989x.13.2.99.
• (2009). "Estimating standardized linear contrasts of means with desired precision". Psychological Methods. 14 (1) 1–5. doi:10.1037/a0014270.
• (2013). "Are common language effect sizes easier to understand than traditional effect sizes?". Journal of Applied Psychology. 99 (2) 332–340. doi:10.1037/a0034745.
• (2001). "A primer on the understanding, use, and calculation of confidence intervals that are based on central and noncentral distributions". Educational and Psychological Measurement. 61 (4) 530–572. doi:10.1177/0013164401614002.
• (2007). "Confidence intervals for standardized effect sizes: Theory, application, and implementation". Journal of Statistical Software. 20 (8) 1–24. doi:10.18637/jss.v020.i08.
• Lipsey, M. W., & Wilson, D. B. (2001). Practical meta-analysis. Sage: Thousand Oaks, CA.

বহিঃসংযোগ

আরও ব্যাখ্যা

• ইফেক্ট সাইজ (ES)
• EffectSizeFAQ.com
• EstimationStats.com ইফেক্ট-সাইজ প্লট তৈরির জন্য ওয়েব অ্যাপ।
• ইফেক্ট সাইজ পরিমাপ
• ViSta ব্যবহার করে ইফেক্ট সাইজ পরিমাপের গণনা ও ব্যাখ্যা সংরক্ষিত সংস্করণ
• পরিসংখ্যানগত কম্পিউটিংয়ের জন্য R প্রজেক্টের effsize প্যাকেজ

collection

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Effect size” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Effect_size এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।