পরিসংখ্যানগত অনুমান

From LTRC

পরিসংখ্যানগত অনুমান (Statistical inference) হলো একটি অন্তর্নিহিত সম্ভাবনা বিন্যাস (probability distribution)-এর বৈশিষ্ট্যগুলো অনুমান করার জন্য উপাত্ত বিশ্লেষণ (data analysis) ব্যবহারের প্রক্রিয়া।[1] অনুমানমূলক পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণ (Inferential statistical analysis) একটি পপুলেশন-এর বৈশিষ্ট্যগুলো অনুমান করে, উদাহরণস্বরূপ হাইপোথিসিস বা অনুকল্প পরীক্ষা এবং প্রাক্কলন (estimates) নির্ণয়ের মাধ্যমে। এটি ধরে নেওয়া হয় যে পর্যবেক্ষণকৃত উপাত্ত সেটটি একটি বৃহত্তর পপুলেশন থেকে নমুনা হিসেবে নেওয়া হয়েছে।

অনুমানমূলক পরিসংখ্যান (Inferential statistics)-কে বর্ণনামূলক পরিসংখ্যান (descriptive statistics)-এর বিপরীতে রাখা যেতে পারে। বর্ণনামূলক পরিসংখ্যান শুধুমাত্র পর্যবেক্ষণকৃত উপাত্তের বৈশিষ্ট্যের সাথে সম্পর্কিত এবং এটি এই ধারণার ওপর নির্ভর করে না যে উপাত্তগুলো একটি বৃহত্তর পপুলেশন থেকে এসেছে। মেশিন লার্নিং-এ, 'ইনফারেন্স' বা অনুমান শব্দটি কখনও কখনও ভিন্ন অর্থে ব্যবহৃত হয়, যার অর্থ "ইতিমধ্যে প্রশিক্ষিত মডেল মূল্যায়ন করে পূর্বাভাস তৈরি করা";[2] এই প্রেক্ষাপটে মডেলের বৈশিষ্ট্য অনুমান করাকে 'ট্রেনিং' বা 'লার্নিং' (ইনফারেন্সের পরিবর্তে) বলা হয় এবং পূর্বাভাসের জন্য মডেল ব্যবহার করাকে 'ইনফারেন্স' (পূর্বাভাসের পরিবর্তে) বলা হয়; আরও দেখুন পূর্বাভাসমূলক অনুমান (predictive inference)।

ভূমিকা

পরিসংখ্যানগত অনুমান পপুলেশন থেকে সংগৃহীত উপাত্ত ব্যবহার করে পপুলেশন সম্পর্কে প্রস্তাবনা তৈরি করে, যা কোনো এক ধরনের নমুনায়ন প্রক্রিয়ার মাধ্যমে করা হয়। পপুলেশন সম্পর্কে একটি হাইপোথিসিস বা অনুকল্প দেওয়া থাকলে, যার জন্য আমরা অনুমান করতে চাই, পরিসংখ্যানগত অনুমান প্রক্রিয়ায় (প্রথমত) উপাত্ত তৈরি করে এমন একটি পরিসংখ্যানগত মডেল নির্বাচন করা এবং (দ্বিতীয়ত) মডেল থেকে প্রস্তাবনাগুলো নিরূপণ করা অন্তর্ভুক্ত।[3]

কোনিশি এবং কিতাগাওয়া বলেছেন, "পরিসংখ্যানগত অনুমানের অধিকাংশ সমস্যাকে পরিসংখ্যানগত মডেলিং সম্পর্কিত সমস্যা হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে"।[4] একইভাবে, স্যার ডেভিড কক্স বলেছেন, "বিষয়বস্তুগত সমস্যা থেকে পরিসংখ্যানগত মডেলে রূপান্তর কীভাবে করা হয়, তা প্রায়শই বিশ্লেষণের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অংশ"।[5]

একটি পরিসংখ্যানগত অনুমানের উপসংহার হলো একটি পরিসংখ্যানগত প্রস্তাবনা।[6] পরিসংখ্যানগত প্রস্তাবনার কিছু সাধারণ রূপ নিচে দেওয়া হলো:

  • একটি বিন্দু প্রাক্কলন (point estimate), অর্থাৎ একটি নির্দিষ্ট মান যা আগ্রহের কোনো প্যারামিটারকে সর্বোত্তমভাবে আসন্ন করে;
  • একটি ব্যবধি প্রাক্কলন (interval estimate), যেমন একটি কনফিডেন্স ইন্টারভাল (বা সেট এস্টিমেট)। একটি কনফিডেন্স ইন্টারভাল হলো নমুনা থেকে প্রাপ্ত উপাত্ত ব্যবহার করে তৈরি একটি ব্যবধি, যাতে যদি প্রক্রিয়াটি অনেকগুলো স্বাধীন নমুনার ওপর পুনরাবৃত্তি করা হয় (গাণিতিকভাবে, সীমা গ্রহণ করে), তবে প্রাপ্ত ব্যবধিগুলোর একটি নির্দিষ্ট অনুপাত (যেমন, ৯৫% কনফিডেন্স ইন্টারভালের জন্য ৯৫%) প্যারামিটারের প্রকৃত মান, অর্থাৎ পপুলেশন প্যারামিটার ধারণ করবে;
  • একটি ক্রেডিবল ইন্টারভাল (credible interval), অর্থাৎ এমন একটি মানের সেট যাতে, উদাহরণস্বরূপ, ৯৫% পোস্টেরিয়র বিশ্বাস অন্তর্ভুক্ত থাকে;
  • একটি হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান;পিয়ার্সের মতে, গ্রহণের অর্থ হলো এই প্রশ্নটির অনুসন্ধান আপাতত বন্ধ রাখা। বিজ্ঞানে, সমস্ত বৈজ্ঞানিক তত্ত্বই সংশোধনযোগ্য।
  • উপাত্ত বিন্দুগুলোকে বিভিন্ন গ্রুপে ক্লাস্টারিং বা শ্রেণিবিন্যাস করা।

মডেল এবং অনুমান

মূল নিবন্ধ: Statistical model, Statistical assumptions যেকোনো পরিসংখ্যানগত অনুমানের জন্য কিছু অনুমানের প্রয়োজন হয়। একটি পরিসংখ্যানগত মডেল হলো পর্যবেক্ষণকৃত উপাত্ত এবং অনুরূপ উপাত্ত তৈরির বিষয়ে এক সেট অনুমান। পরিসংখ্যানগত মডেলের বর্ণনায় সাধারণত আগ্রহের পপুলেশন পরিমাণের ভূমিকার ওপর জোর দেওয়া হয়, যার সম্পর্কে আমরা অনুমান করতে চাই।[7] বর্ণনামূলক পরিসংখ্যান সাধারণত আরও আনুষ্ঠানিক অনুমান করার আগে একটি প্রাথমিক পদক্ষেপ হিসেবে ব্যবহৃত হয়।[8]

মডেল/অনুমানের মাত্রা

পরিসংখ্যানবিদরা মডেলিং অনুমানের তিনটি স্তরকে আলাদা করেন:

  • সম্পূর্ণ প্যারামেট্রিক: উপাত্ত-উৎপাদন প্রক্রিয়া বর্ণনা করে এমন সম্ভাবনা বিন্যাসগুলোকে এমন একটি সম্ভাবনা বিন্যাসের পরিবার দ্বারা সম্পূর্ণ বর্ণিত বলে ধরে নেওয়া হয়, যাতে কেবল সীমিত সংখ্যক অজানা প্যারামিটার থাকে।[7] উদাহরণস্বরূপ, কেউ ধরে নিতে পারে যে পপুলেশন মানের বিন্যাস প্রকৃতপক্ষে নরমাল, যার গড় এবং ভেদাঙ্ক অজানা, এবং ডেটাসেটগুলো 'সহজ' দৈব নমুনায়ন দ্বারা তৈরি। জেনারালাইজড লিনিয়ার মডেলের পরিবার প্যারামেট্রিক মডেলের একটি বহুল ব্যবহৃত এবং নমনীয় শ্রেণি।
  • নন-প্যারামেট্রিক: উপাত্ত উৎপাদনকারী প্রক্রিয়া সম্পর্কে যে অনুমান করা হয় তা প্যারামেট্রিক পরিসংখ্যানের তুলনায় অনেক কম এবং তা ন্যূনতম হতে পারে।[9] উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিন্যাসের একটি মধ্যমা থাকে, যা নমুনার মধ্যমা বা হজেস-লেহম্যান-সেন প্রাক্কলক ব্যবহার করে অনুমান করা যেতে পারে, যার ভালো বৈশিষ্ট্য রয়েছে যখন উপাত্ত সহজ দৈব নমুনায়ন থেকে আসে।
  • সেমি-প্যারামেট্রিক: এই শব্দটি সাধারণত সম্পূর্ণ এবং নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতির 'মাঝামাঝি' অনুমানকে বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ, কেউ ধরে নিতে পারে যে একটি পপুলেশন বিন্যাসের একটি সসীম গড় আছে। অধিকন্তু, কেউ ধরে নিতে পারে যে পপুলেশনে গড় প্রতিক্রিয়ার স্তরটি কিছু কোভ্যারিয়েটের ওপর প্রকৃতপক্ষে রৈখিকভাবে নির্ভর করে (একটি প্যারামেট্রিক অনুমান), কিন্তু সেই গড়ের চারপাশের ভেদাঙ্ক বর্ণনা করার জন্য কোনো প্যারামেট্রিক অনুমান করে না (অর্থাৎ কোনো হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি-এর উপস্থিতি বা সম্ভাব্য রূপ সম্পর্কে)। আরও সাধারণভাবে, সেমি-প্যারামেট্রিক মডেলগুলোকে প্রায়শই 'কাঠামোগত' এবং 'দৈব পরিবর্তন' উপাদানে বিভক্ত করা যায়। একটি উপাদান প্যারামেট্রিকভাবে এবং অন্যটি নন-প্যারামেট্রিকভাবে বিবেচনা করা হয়। সুপরিচিত কক্স মডেল হলো সেমি-প্যারামেট্রিক অনুমানের একটি সেট।[10]

বৈধ মডেল/অনুমানের গুরুত্ব

আরও দেখুন: Statistical model validation

উপরের চিত্রটি নরমালিটির অনুমান মূল্যায়নকারী একটি হিস্টোগ্রাম দেখায়, যা বেল কার্ভের নিচে সমান বিস্তারের মাধ্যমে চিত্রিত করা যেতে পারে।

যেকোনো স্তরের অনুমানই করা হোক না কেন, সঠিকভাবে ক্যালিব্রেট করা অনুমানের জন্য সাধারণত এই অনুমানগুলো সঠিক হওয়া প্রয়োজন; অর্থাৎ উপাত্ত-উৎপাদন প্রক্রিয়াগুলো সত্যিই সঠিকভাবে নির্দিষ্ট করা হয়েছে।

'সহজ' দৈব নমুনায়ন-এর ভুল অনুমান পরিসংখ্যানগত অনুমানকে অকার্যকর করতে পারে।[11] আরও জটিল সেমি- এবং সম্পূর্ণ প্যারামেট্রিক অনুমানগুলোও উদ্বেগের কারণ। উদাহরণস্বরূপ, ভুলভাবে কক্স মডেল অনুমান করা কিছু ক্ষেত্রে ত্রুটিপূর্ণ উপসংহারের দিকে নিয়ে যেতে পারে।[12] পপুলেশনে নরমালিটির ভুল অনুমানও কিছু ধরনের রিগ্রেশন-ভিত্তিক অনুমানকে অকার্যকর করে দেয়।[13] যেকোনো প্যারামেট্রিক মডেলের ব্যবহার মানব পপুলেশন নমুনায়নকারী অধিকাংশ বিশেষজ্ঞের কাছে সন্দেহের চোখে দেখা হয়: "অধিকাংশ নমুনায়ন পরিসংখ্যানবিদ, যখন তারা কনফিডেন্স ইন্টারভাল নিয়ে কাজ করেন, তখন তারা খুব বড় নমুনার ওপর ভিত্তি করে [প্রাক্কলক]-এর বিবৃতিতেই নিজেদের সীমাবদ্ধ রাখেন, যেখানে সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম নিশ্চিত করে যে এই [প্রাক্কলক]-গুলোর বিন্যাস প্রায় নরমাল হবে।"[14] বিশেষ করে, একটি নরমাল বিন্যাস "সম্পূর্ণ অবাস্তব এবং বিপর্যয়করভাবে অবিবেচনাপ্রসূত অনুমান হবে যদি আমরা কোনো অর্থনৈতিক পপুলেশন নিয়ে কাজ করি।"[14] এখানে, সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম বলে যে "খুব বড় নমুনার জন্য" নমুনার গড়ের বিন্যাস প্রায় নরমাল বিন্যাসিত হয়, যদি বিন্যাসটি হেভি-টেইলড (heavy-tailed) না হয়।

আসন্ন বিন্যাস

মূল নিবন্ধ: Statistical distance, Asymptotic theory (statistics), Approximation theory নমুনা পরিসংখ্যানের সঠিক বিন্যাস নির্দিষ্ট করার অসুবিধার কারণে, এগুলোকে আসন্ন করার জন্য অনেক পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে।

সসীম নমুনার ক্ষেত্রে, আসন্ন ফলাফলগুলো পরিমাপ করে যে একটি লিমিটিং বিন্যাস কতটা কাছাকাছি নমুনার নমুনা বিন্যাস-এর কাছে পৌঁছায়: উদাহরণস্বরূপ, ১০,০০০ স্বাধীন নমুনার ক্ষেত্রে নরমাল বিন্যাস বেরি-এসিন উপপাদ্য-এর মাধ্যমে অনেক পপুলেশন বিন্যাসের জন্য নমুনার গড়-এর বিন্যাসকে (দুই দশমিক নির্ভুলতায়) আসন্ন করে।[15] তবুও অনেক ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে, সিমুলেশন অধ্যয়ন এবং পরিসংখ্যানবিদদের অভিজ্ঞতা অনুযায়ী, যখন ১০ (বা তার বেশি) স্বাধীন নমুনা থাকে, তখন নরমাল আসন্নীকরণ নমুনার গড়ের বিন্যাসের একটি ভালো আসন্নীকরণ প্রদান করে।[15] ১৯৫০-এর দশকে কোলমোগোরভের কাজের পর, উন্নত পরিসংখ্যান আসন্নীকরণের ত্রুটি পরিমাপ করতে আসন্ন তত্ত্ব এবং ফাংশনাল অ্যানালাইসিস ব্যবহার করে। এই পদ্ধতিতে, সম্ভাবনা বিন্যাস-এর মেট্রিক জ্যামিতি অধ্যয়ন করা হয়; এই পদ্ধতিটি আসন্নীকরণের ত্রুটিকে পরিমাপ করে, উদাহরণস্বরূপ, কুলব্যাক-লেইবলার ডাইভারজেন্স, ব্রেগম্যান ডাইভারজেন্স এবং হেলিংগার দূরত্ব-এর মাধ্যমে।[16][17][18]

অসীমভাবে বড় নমুনার ক্ষেত্রে, সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম-এর মতো সীমা ফলাফলগুলো নমুনা পরিসংখ্যানের লিমিটিং বিন্যাস বর্ণনা করে যদি তা বিদ্যমান থাকে। সীমা ফলাফলগুলো সসীম নমুনা সম্পর্কে বিবৃতি নয় এবং প্রকৃতপক্ষে সসীম নমুনার ক্ষেত্রে অপ্রাসঙ্গিক।[19][20][21] যাইহোক, লিমিটিং বিন্যাসের অ্যাসিম্পটোটিক তত্ত্ব প্রায়শই সসীম নমুনার সাথে কাজের জন্য আহ্বান করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, লিমিটিং ফলাফলগুলো প্রায়শই জেনারালাইজড মেথড অফ মোমেন্টস এবং জেনারালাইজড এস্টিমেটিং ইকুয়েশন-এর ব্যবহারকে সমর্থন করার জন্য আহ্বান করা হয়, যা ইকোনোমেট্রিক্স এবং বায়োস্ট্যাটিস্টিকস-এ জনপ্রিয়। লিমিটিং বিন্যাস এবং প্রকৃত বিন্যাসের মধ্যে পার্থক্যের মাত্রা (আনুষ্ঠানিকভাবে, আসন্নীকরণের 'ত্রুটি') সিমুলেশন ব্যবহার করে মূল্যায়ন করা যেতে পারে।[22] সসীম নমুনার ক্ষেত্রে লিমিটিং ফলাফলের হিউরিস্টিক প্রয়োগ অনেক অ্যাপ্লিকেশনে সাধারণ অনুশীলন, বিশেষ করে লগ-কনকেভ লাইকলিহুড (যেমন এক-প্যারামিটার এক্সপোনেনশিয়াল ফ্যামিলি) সহ নিম্ন-মাত্রিক পরিসংখ্যানগত মডেল-এর ক্ষেত্রে।

দৈবচয়ন-ভিত্তিক মডেল

মূল নিবন্ধ: Randomization আরও দেখুন: Random sample, Random assignment একটি দৈবচয়ন নকশা (randomization design) দ্বারা উৎপাদিত একটি নির্দিষ্ট ডেটাসেটের জন্য, একটি পরিসংখ্যানের দৈবচয়ন বিন্যাস (নাল-হাইপোথিসিসের অধীনে) দৈবচয়ন নকশা দ্বারা তৈরি হতে পারে এমন সমস্ত পরিকল্পনার জন্য টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক মূল্যায়ন করে সংজ্ঞায়িত করা হয়। ফ্রিকোয়েন্টিস্ট অনুমানে, দৈবচয়ন অনুমানগুলোকে একটি বিষয়ী মডেলের পরিবর্তে দৈবচয়ন বিন্যাসের ওপর ভিত্তি করে তৈরি করার অনুমতি দেয় এবং এটি বিশেষ করে জরিপ নমুনায়ন এবং পরীক্ষার নকশায় গুরুত্বপূর্ণ।[23][24] দৈবচয়নকৃত অধ্যয়ন থেকে পরিসংখ্যানগত অনুমান অন্যান্য অনেক পরিস্থিতির চেয়ে সহজ।[25][26][27] বায়েসিয়ান অনুমান-এ, দৈবচয়নও গুরুত্বপূর্ণ: জরিপ নমুনায়ন-এ, প্রতিস্থাপন ছাড়া নমুনায়ন-এর ব্যবহার পপুলেশনের সাথে নমুনার এক্সচেঞ্জিবিলিটি নিশ্চিত করে; দৈবচয়নকৃত পরীক্ষায়, দৈবচয়ন কোভ্যারিয়েট তথ্যের জন্য একটি মিসিং অ্যাট র‍্যান্ডম অনুমান নিশ্চিত করে।[28]

উদ্দেশ্যমূলক দৈবচয়ন সঠিকভাবে আরোহী পদ্ধতিগুলোর অনুমতি দেয়।[29][30](Freedman, Pisani, Purves, 1978)[31][32] অনেক পরিসংখ্যানবিদ সুসংজ্ঞায়িত দৈবচয়ন পদ্ধতি দ্বারা উৎপাদিত উপাত্তের দৈবচয়ন-ভিত্তিক বিশ্লেষণ পছন্দ করেন।[33] (যাইহোক, এটি সত্য যে উন্নত তাত্ত্বিক জ্ঞান এবং পরীক্ষামূলক নিয়ন্ত্রণ সহ বিজ্ঞানের ক্ষেত্রগুলোতে, দৈবচয়নকৃত পরীক্ষাগুলো অনুমানের গুণমান উন্নত না করেই পরীক্ষার খরচ বাড়িয়ে দিতে পারে।[34][35]) একইভাবে, দৈবচয়নকৃত পরীক্ষা থেকে প্রাপ্ত ফলাফলগুলো শীর্ষস্থানীয় পরিসংখ্যান কর্তৃপক্ষ দ্বারা সুপারিশ করা হয়, কারণ এগুলো একই ঘটনার পর্যবেক্ষণমূলক অধ্যয়নের চেয়ে বেশি নির্ভরযোগ্য অনুমানের অনুমতি দেয়।[36] যাইহোক, একটি ভালো পর্যবেক্ষণমূলক অধ্যয়ন একটি খারাপ দৈবচয়নকৃত পরীক্ষার চেয়ে ভালো হতে পারে।

একটি দৈবচয়নকৃত পরীক্ষার পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণ পরীক্ষামূলক প্রোটোকলে বর্ণিত দৈবচয়ন স্কিমের ওপর ভিত্তি করে হতে পারে এবং এর জন্য কোনো বিষয়ী মডেলের প্রয়োজন হয় না।[37][38]

যাইহোক, যেকোনো সময়ে, কিছু হাইপোথিসিস উদ্দেশ্যমূলক পরিসংখ্যানগত মডেল ব্যবহার করে পরীক্ষা করা যায় না, যা দৈবচয়নকৃত পরীক্ষা বা দৈব নমুনাগুলোকে সঠিকভাবে বর্ণনা করে। কিছু ক্ষেত্রে, এই ধরনের দৈবচয়নকৃত অধ্যয়নগুলো অলাভজনক বা অনৈতিক।

দৈবচয়নকৃত পরীক্ষার মডেল-ভিত্তিক বিশ্লেষণ

দৈবচয়নকৃত পরীক্ষা থেকে উপাত্ত বিশ্লেষণ করার সময় একটি পরিসংখ্যানগত মডেল, যেমন লিনিয়ার বা লজিস্টিক মডেলের উল্লেখ করা একটি সাধারণ অনুশীলন।[39] যাইহোক, দৈবচয়ন স্কিমটি একটি পরিসংখ্যানগত মডেলের পছন্দকে নির্দেশ করে। দৈবচয়ন স্কিম না জেনে একটি উপযুক্ত মডেল নির্বাচন করা সম্ভব নয়।[24] পরীক্ষামূলক প্রোটোকল উপেক্ষা করে দৈবচয়নকৃত পরীক্ষা থেকে উপাত্ত বিশ্লেষণ করার সময় গুরুতর বিভ্রান্তিকর ফলাফল পাওয়া যেতে পারে; সাধারণ ভুলগুলোর মধ্যে রয়েছে পরীক্ষায় ব্যবহৃত ব্লকিং ভুলে যাওয়া এবং একই পরীক্ষামূলক ইউনিটে বারবার পরিমাপকে বিভিন্ন পরীক্ষামূলক ইউনিটে প্রয়োগ করা চিকিৎসার স্বাধীন প্রতিলিপির সাথে গুলিয়ে ফেলা।[40]

মডেল-মুক্ত দৈবচয়ন অনুমান

মডেল-মুক্ত কৌশলগুলো মডেল-ভিত্তিক পদ্ধতির পরিপূরক প্রদান করে, যা বাস্তবতাকে সরলীকরণের রিডাকশনিস্ট কৌশল ব্যবহার করে। প্রথমোক্তগুলো একটি প্রক্রিয়ার প্রাসঙ্গিক সম্পর্কের সাথে গতিশীলভাবে খাপ খাইয়ে এবং পর্যবেক্ষণের অন্তর্নিহিত বৈশিষ্ট্যগুলো শিখে অ্যালগরিদমগুলোকে একত্রিত, বিবর্তিত এবং প্রশিক্ষণ দেয়।[41][42]

উদাহরণস্বরূপ, মডেল-মুক্ত সাধারণ লিনিয়ার রিগ্রেশন হয় নিচের দুটির ওপর ভিত্তি করে:

  • একটি দৈব নকশা (random design), যেখানে পর্যবেক্ষণের জোড়া (X1,Y1),(X2,Y2),⋯,(Xn,Yn) স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যাসিত (iid),
  • অথবা একটি নির্ধারক নকশা (deterministic design), যেখানে চলক X1,X2,⋯,Xn নির্ধারক, কিন্তু সংশ্লিষ্ট প্রতিক্রিয়া চলক Y1,Y2,⋯,Yn দৈব এবং একটি সাধারণ শর্তাধীন বিন্যাস সহ স্বাধীন, অর্থাৎ P(Yj≤y|Xj=x)=Dx(y), যা সূচক j-এর ওপর স্বাধীন।

যেকোনো ক্ষেত্রেই, সাধারণ শর্তাধীন বিন্যাস Dx(.)-এর বৈশিষ্ট্যগুলোর জন্য মডেল-মুক্ত দৈবচয়ন অনুমান কিছু নিয়মিত শর্তের ওপর নির্ভর করে, যেমন ফাংশনাল স্মুথনেস। উদাহরণস্বরূপ, পপুলেশন বৈশিষ্ট্য 'শর্তাধীন গড়', μ(x)=E(Y|X=x)-এর জন্য মডেল-মুক্ত দৈবচয়ন অনুমান স্থানীয় গড় বা স্থানীয় পলিনোমিয়াল ফিটিংয়ের মাধ্যমে ধারাবাহিকভাবে প্রাক্কলন করা যেতে পারে, এই অনুমানের অধীনে যে μ(x) মসৃণ। এছাড়াও, অ্যাসিম্পটোটিক নরমালিটি বা রিস্যাম্পলিংয়ের ওপর নির্ভর করে, আমরা পপুলেশন বৈশিষ্ট্যের জন্য কনফিডেন্স ইন্টারভাল তৈরি করতে পারি, এই ক্ষেত্রে, 'শর্তাধীন গড়', μ(x)।[43]

অনুমানের প্যারাডাইম

পরিসংখ্যানগত অনুমানের বিভিন্ন স্কুল প্রতিষ্ঠিত হয়েছে। এই স্কুলগুলো—বা "প্যারাডাইম"—পারস্পরিকভাবে একচেটিয়া নয় এবং যে পদ্ধতিগুলো একটি প্যারাডাইমের অধীনে ভালো কাজ করে, সেগুলো প্রায়শই অন্যান্য প্যারাডাইমের অধীনে আকর্ষণীয় ব্যাখ্যা পায়।

বন্দ্যোপাধ্যায় এবং ফরস্টার চারটি প্যারাডাইম বর্ণনা করেছেন: ধ্রুপদী (বা ফ্রিকোয়েন্টিস্ট) প্যারাডাইম, বায়েসিয়ান প্যারাডাইম, লাইকলিহুডিস্ট প্যারাডাইম এবং আকেইকিয়ান-ইনফরমেশন ক্রাইটেরিয়ন-ভিত্তিক প্যারাডাইম।[44]

ফ্রিকোয়েন্টিস্ট অনুমান

মূল নিবন্ধ: Frequentist inference

এই প্যারাডাইমটি হাতে থাকা ডেটাসেটের মতো ডেটাসেট তৈরি করার জন্য একটি পপুলেশন বিন্যাসের (কাল্পনিক) পুনরাবৃত্তিমূলক নমুনায়ন বিবেচনা করে প্রস্তাবনাগুলোর গ্রহণযোগ্যতা ক্যালিব্রেট করে। পুনরাবৃত্তিমূলক নমুনায়ন-এর অধীনে ডেটাসেটের বৈশিষ্ট্যগুলো বিবেচনা করে, একটি পরিসংখ্যানগত প্রস্তাবনার ফ্রিকোয়েন্টিস্ট বৈশিষ্ট্যগুলো পরিমাপ করা যেতে পারে—যদিও বাস্তবে এই পরিমাপ চ্যালেঞ্জিং হতে পারে।

ফ্রিকোয়েন্টিস্ট অনুমানের উদাহরণ

ফ্রিকোয়েন্টিস্ট অনুমান, বস্তুনিষ্ঠতা এবং সিদ্ধান্ত তত্ত্ব

ফ্রিকোয়েন্টিস্ট অনুমান (বা ধ্রুপদী অনুমান)-এর একটি ব্যাখ্যা হলো যে এটি শুধুমাত্র ফ্রিকোয়েন্সি সম্ভাবনা-এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য; অর্থাৎ, একটি পপুলেশন থেকে পুনরাবৃত্তিমূলক নমুনায়ন-এর ক্ষেত্রে। যাইহোক, নেইম্যানের পদ্ধতি[45] এই পদ্ধতিগুলোকে প্রাক-পরীক্ষামূলক সম্ভাবনার পরিপ্রেক্ষিতে বিকাশ করে। অর্থাৎ, একটি পরীক্ষা শুরু করার আগে, কেউ একটি উপসংহারে পৌঁছানোর জন্য একটি নিয়ম ঠিক করে যাতে সঠিক হওয়ার সম্ভাবনা একটি উপযুক্ত উপায়ে নিয়ন্ত্রিত হয়: এই ধরনের সম্ভাবনার ফ্রিকোয়েন্টিস্ট বা পুনরাবৃত্তিমূলক নমুনায়ন ব্যাখ্যার প্রয়োজন নেই। বিপরীতে, বায়েসিয়ান অনুমান শর্তাধীন সম্ভাবনার (অর্থাৎ পর্যবেক্ষণকৃত উপাত্তের ওপর শর্তাধীন সম্ভাবনা) পরিপ্রেক্ষিতে কাজ করে, ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পদ্ধতিতে ব্যবহৃত প্রান্তিক (কিন্তু অজানা প্যারামিটারের ওপর শর্তাধীন) সম্ভাবনার তুলনায়।

তাৎপর্য পরীক্ষা এবং কনফিডেন্স ইন্টারভালের ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পদ্ধতিগুলো ইউটিলিটি ফাংশন বিবেচনা না করেই তৈরি করা যেতে পারে। যাইহোক, ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পরিসংখ্যানের কিছু উপাদান, যেমন পরিসংখ্যানগত সিদ্ধান্ত তত্ত্ব, ইউটিলিটি ফাংশন অন্তর্ভুক্ত করে। বিশেষ করে, সর্বোত্তম অনুমানের ফ্রিকোয়েন্টিস্ট বিকাশ (যেমন মিনিমাম-ভেদাঙ্ক আনবায়াসড এস্টিমেটর, বা ইউনিফর্মলি মোস্ট পাওয়ারফুল টেস্ট) লস ফাংশন ব্যবহার করে, যা (নেতিবাচক) ইউটিলিটি ফাংশনের ভূমিকা পালন করে। পরিসংখ্যানগত তাত্ত্বিকদের জন্য একটি পরিসংখ্যানগত পদ্ধতির সর্বোত্তম বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করার জন্য লস ফাংশন স্পষ্টভাবে উল্লেখ করার প্রয়োজন নেই।[46] যাইহোক, লস ফাংশনগুলো প্রায়শই সর্বোত্তম বৈশিষ্ট্যগুলো বলার জন্য দরকারী: উদাহরণস্বরূপ, মধ্যমা-আনবায়াসড প্রাক্কলকগুলো পরম মান লস ফাংশনের অধীনে সর্বোত্তম, কারণ তারা প্রত্যাশিত লস কমায় এবং লিস্ট স্কোয়ার প্রাক্কলকগুলো বর্গাকার ত্রুটি লস ফাংশনের অধীনে সর্বোত্তম, কারণ তারা প্রত্যাশিত লস কমায়।

যদিও ফ্রিকোয়েন্টিস্ট অনুমান ব্যবহারকারী পরিসংখ্যানবিদদের নিজেদের আগ্রহের প্যারামিটার এবং ব্যবহৃত প্রাক্কলক/টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক বেছে নিতে হয়, স্পষ্ট ইউটিলিটি এবং পূর্বের বিন্যাসের অনুপস্থিতি ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পদ্ধতিগুলোকে 'বস্তুনিষ্ঠ' হিসেবে ব্যাপকভাবে বিবেচিত হতে সাহায্য করেছে।[47]

বায়েসিয়ান অনুমান

আরও দেখুন: Bayesian inference

বায়েসিয়ান ক্যালকুলাস সম্ভাবনার 'ভাষা' ব্যবহার করে বিশ্বাসের মাত্রা বর্ণনা করে; বিশ্বাসগুলো ইতিবাচক, একে অপরের সাথে যুক্ত এবং সম্ভাবনার স্বতঃসিদ্ধগুলো মেনে চলে। বায়েসিয়ান অনুমান পরিসংখ্যানগত প্রস্তাবনা তৈরির ভিত্তি হিসেবে উপলব্ধ পোস্টেরিয়র বিশ্বাসগুলো ব্যবহার করে।[48] বায়েসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহারের জন্য বেশ কয়েকটি ভিন্ন ন্যায্যতা রয়েছে।

বায়েসিয়ান অনুমানের উদাহরণ

বায়েসিয়ান অনুমান, বিষয়ীতা এবং সিদ্ধান্ত তত্ত্ব

অনেক অনানুষ্ঠানিক বায়েসিয়ান অনুমান পোস্টেরিয়রের "স্বজ্ঞাতভাবে যুক্তিসঙ্গত" সারাংশের ওপর ভিত্তি করে। উদাহরণস্বরূপ, পোস্টেরিয়র গড়, মধ্যমা এবং মোড, সর্বোচ্চ পোস্টেরিয়র ঘনত্ব ব্যবধি এবং বায়েসিয়ান ফ্যাক্টরগুলো এভাবে অনুপ্রাণিত হতে পারে। যদিও এই ধরনের অনুমানের জন্য ব্যবহারকারীর ইউটিলিটি ফাংশন উল্লেখ করার প্রয়োজন নেই, এই সারাংশগুলো সবই (কিছুটা হলেও) বর্ণিত পূর্বের বিশ্বাসের ওপর নির্ভর করে এবং সাধারণত বিষয়ী উপসংহার হিসেবে বিবেচিত হয়। (পূর্বের নির্মাণের পদ্ধতিগুলো যা বাহ্যিক ইনপুটের প্রয়োজন হয় না, তা প্রস্তাব করা হয়েছে কিন্তু এখনও পুরোপুরি বিকশিত হয়নি।)

আনুষ্ঠানিকভাবে, বায়েসিয়ান অনুমান একটি স্পষ্টভাবে বর্ণিত ইউটিলিটি বা লস ফাংশনের রেফারেন্সের সাথে ক্যালিব্রেট করা হয়; 'বায়েসিয়ান নিয়ম' হলো সেটি যা প্রত্যাশিত ইউটিলিটিকে সর্বোচ্চ করে, পোস্টেরিয়র অনিশ্চয়তার ওপর গড় করা হয়। তাই আনুষ্ঠানিক বায়েসিয়ান অনুমান স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটি সিদ্ধান্ত তাত্ত্বিক অর্থে সর্বোত্তম সিদ্ধান্ত প্রদান করে। অনুমান, উপাত্ত এবং ইউটিলিটি দেওয়া থাকলে, বায়েসিয়ান অনুমান মূলত যেকোনো সমস্যার জন্য করা যেতে পারে, যদিও প্রতিটি পরিসংখ্যানগত অনুমানের বায়েসিয়ান ব্যাখ্যা থাকার প্রয়োজন নেই। যে বিশ্লেষণগুলো আনুষ্ঠানিকভাবে বায়েসিয়ান নয়, সেগুলো (যৌক্তিকভাবে) অসামঞ্জস্যপূর্ণ হতে পারে; সঠিক পূর্বের (অর্থাৎ যেগুলো একের সাথে ইন্টিগ্রেবল) ব্যবহারকারী বায়েসিয়ান পদ্ধতির একটি বৈশিষ্ট্য হলো যে সেগুলো সামঞ্জস্যপূর্ণ হওয়ার নিশ্চয়তা দেয়। বায়েসিয়ান অনুমান-এর কিছু প্রবক্তা দাবি করেন যে অনুমান অবশ্যই এই সিদ্ধান্ত-তাত্ত্বিক কাঠামোতে ঘটতে হবে এবং বায়েসিয়ান অনুমান পোস্টেরিয়র বিশ্বাসগুলোর মূল্যায়ন এবং সারাংশ দিয়ে শেষ হওয়া উচিত নয়।

লাইকলিহুড-ভিত্তিক অনুমান

মূল নিবন্ধ: Likelihoodismলাইকলিহুড-ভিত্তিক অনুমান হলো একটি প্যারাডাইম যা পর্যবেক্ষণকৃত উপাত্তের ওপর ভিত্তি করে একটি পরিসংখ্যানগত মডেলের প্যারামিটারগুলো অনুমান করতে ব্যবহৃত হয়। লাইকলিহুডবাদ পরিসংখ্যানের কাছে পৌঁছায় লাইকলিহুড ফাংশন ব্যবহার করে, যা L(x|θ) হিসেবে চিহ্নিত, যা প্রদত্ত উপাত্ত x পর্যবেক্ষণ করার সম্ভাবনা পরিমাপ করে, প্যারামিটার মান θ-এর একটি নির্দিষ্ট সেট ধরে নিয়ে। লাইকলিহুড-ভিত্তিক অনুমানে, লক্ষ্য হলো প্যারামিটার মানগুলোর সেই সেটটি খুঁজে বের করা যা লাইকলিহুড ফাংশনকে সর্বোচ্চ করে, অথবা সমতুল্যভাবে, প্রদত্ত উপাত্ত পর্যবেক্ষণ করার সম্ভাবনাকে সর্বোচ্চ করে।

লাইকলিহুড-ভিত্তিক অনুমানের প্রক্রিয়ায় সাধারণত নিচের ধাপগুলো অন্তর্ভুক্ত থাকে:

  1. পরিসংখ্যানগত মডেল প্রণয়ন: হাতে থাকা সমস্যার ওপর ভিত্তি করে একটি পরিসংখ্যানগত মডেল সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে বিন্যাসগত অনুমান (distributional assumptions) এবং পর্যবেক্ষণ করা ডেটা ও অজানা প্যারামিটারগুলোর মধ্যে সম্পর্ক নির্দিষ্ট করা থাকে। মডেলটি সহজ হতে পারে, যেমন জানা ভেদাঙ্ক (variance) বিশিষ্ট একটি নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন, অথবা জটিল হতে পারে, যেমন একাধিক স্তরের র‍্যান্ডম ইফেক্ট বিশিষ্ট একটি হায়ারার্কিকাল মডেল।
  2. লাইকলিহুড ফাংশন গঠন: পরিসংখ্যানগত মডেলটি পাওয়ার পর, অজানা প্যারামিটারগুলোর ফাংশন হিসেবে পর্যবেক্ষণ করা ডেটার জয়েন্ট প্রোবাবিলিটি ডেনসিটি বা মাস ফাংশন মূল্যায়ন করে লাইকলিহুড ফাংশন গঠন করা হয়। এই ফাংশনটি প্যারামিটারগুলোর বিভিন্ন মানের জন্য ডেটা পর্যবেক্ষণের সম্ভাবনাকে উপস্থাপন করে।
  3. লাইকলিহুড ফাংশন সর্বোচ্চকরণ: পরবর্তী ধাপ হলো প্যারামিটারের সেই মানগুলো খুঁজে বের করা যা লাইকলিহুড ফাংশনকে সর্বোচ্চ করে। এটি সংখ্যাসূচক অপ্টিমাইজেশন অ্যালগরিদমের মতো অপ্টিমাইজেশন কৌশল ব্যবহার করে অর্জন করা যায়। আনুমানিক প্যারামিটার মানগুলো, যা প্রায়শই y¯ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, সেগুলো হলো ম্যাক্সিমাম লাইকলিহুড এস্টিমেট (MLEs)।
  4. অনিশ্চয়তা মূল্যায়ন: একবার MLEs পাওয়া গেলে, প্যারামিটার অনুমানের সাথে সম্পর্কিত অনিশ্চয়তা পরিমাপ করা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এটি স্ট্যান্ডার্ড এরর, কনফিডেন্স ইন্টারভ্যাল গণনা করে অথবা অসিম্পটোটিক থিওরি বা বুটস্ট্র্যাপিং-এর মতো সিমুলেশন কৌশলের ওপর ভিত্তি করে হাইপোথিসিস টেস্ট পরিচালনা করে করা যেতে পারে।
  5. মডেল যাচাইকরণ: প্যারামিটার অনুমান এবং তাদের অনিশ্চয়তা মূল্যায়নের পর, পরিসংখ্যানগত মডেলের উপযোগিতা যাচাই করা গুরুত্বপূর্ণ। এর মধ্যে রয়েছে মডেলে করা অনুমানগুলো পরীক্ষা করা এবং গুডনেস-অফ-ফিট টেস্ট, রেসিডুয়াল অ্যানালাইসিস বা গ্রাফিক্যাল ডায়াগনস্টিকস ব্যবহার করে ডেটার সাথে মডেলের ফিট মূল্যায়ন করা।
  6. অনুমান এবং ব্যাখ্যা: পরিশেষে, আনুমানিক প্যারামিটার এবং মডেল মূল্যায়নের ওপর ভিত্তি করে পরিসংখ্যানগত অনুমান (statistical inference) করা যেতে পারে। এর মধ্যে রয়েছে পপুলেশন প্যারামিটার সম্পর্কে সিদ্ধান্তে পৌঁছানো, পূর্বাভাস প্রদান করা অথবা আনুমানিক মডেলের ওপর ভিত্তি করে হাইপোথিসিস পরীক্ষা করা।

AIC-ভিত্তিক অনুমান

মূল নিবন্ধ: Akaike information criterion November 2017 Akaike information criterion (AIC) হলো একটি নির্দিষ্ট ডেটাসেটের জন্য পরিসংখ্যানগত মডেলগুলোর আপেক্ষিক গুণমানের একটি এস্টিমেটর। ডেটার জন্য মডেলের একটি সংগ্রহের ক্ষেত্রে, AIC প্রতিটি মডেলের গুণমান অন্যান্য মডেলের সাপেক্ষে অনুমান করে। সুতরাং, AIC মডেল নির্বাচনের একটি মাধ্যম প্রদান করে।

AIC ইনফরমেশন থিওরি বা তথ্য তত্ত্বের ওপর প্রতিষ্ঠিত: এটি ডেটা তৈরি করা প্রক্রিয়াটিকে উপস্থাপন করার জন্য যখন একটি নির্দিষ্ট মডেল ব্যবহার করা হয়, তখন হারানো আপেক্ষিক তথ্যের একটি অনুমান প্রদান করে। (এটি করার মাধ্যমে, এটি মডেলের গুডনেস অফ ফিট এবং মডেলের সরলতার মধ্যে ভারসাম্য রক্ষা করে।)

অনুমানের অন্যান্য দৃষ্টান্ত

ন্যূনতম বিবরণ দৈর্ঘ্য (Minimum description length)

মূল নিবন্ধ: Minimum description length

ন্যূনতম বিবরণ দৈর্ঘ্য (MDL) নীতিটি ইনফরমেশন থিওরি[49] এবং কলমোগোরভ জটিলতা তত্ত্বের ধারণা থেকে বিকশিত হয়েছে।[50] (MDL) নীতি এমন পরিসংখ্যানগত মডেল নির্বাচন করে যা ডেটাকে সর্বোচ্চ মাত্রায় সংকুচিত করে; ফ্রিকোয়েন্টিস্ট বা বেইজিয়ান পদ্ধতির মতো ডেটার জন্য কাল্পনিক বা অ-মিথ্যাযোগ্য "ডেটা-উৎপাদনকারী প্রক্রিয়া" বা সম্ভাব্যতা মডেল অনুমান না করেই এখানে অনুমান প্রক্রিয়া সম্পন্ন হয়।

যাইহোক, যদি বাস্তবে একটি "ডেটা উৎপাদনকারী প্রক্রিয়া" বিদ্যমান থাকে, তবে শ্যানন-এর সোর্স কোডিং থিওরেম অনুযায়ী এটি গড়ে এবং অসিম্পটোটিকভাবে ডেটার MDL বিবরণ প্রদান করে।[51] বিবরণ দৈর্ঘ্য (বা বর্ণনামূলক জটিলতা) হ্রাস করার ক্ষেত্রে, MDL এস্টিমেশন ম্যাক্সিমাম লাইকলিহুড এস্টিমেশন এবং ম্যাক্সিমাম আ পোস্টেরিওরি এস্টিমেশন-এর (ম্যাক্সিমাম-এনট্রপি বেইজিয়ান প্রায়র ব্যবহার করে) অনুরূপ। তবে, MDL অন্তর্নিহিত সম্ভাব্যতা মডেলটি জানা আছে বলে ধরে নেওয়া এড়িয়ে চলে; MDL নীতিটি এমন অনুমান ছাড়াই প্রয়োগ করা যেতে পারে যে, উদাহরণস্বরূপ, ডেটা স্বাধীন স্যাম্পলিং থেকে উদ্ভূত হয়েছে।[51][52]

MDL নীতিটি ইনফরমেশন থিওরির যোগাযোগ-কোডিং থিওরি, লিনিয়ার রিগ্রেশন,[52] এবং ডেটা মাইনিং-এ প্রয়োগ করা হয়েছে।[50]

MDL-ভিত্তিক অনুমানমূলক পদ্ধতির মূল্যায়ন প্রায়শই কম্পিউটেশনাল জটিলতা তত্ত্বের কৌশল বা মানদণ্ড ব্যবহার করে।[53]

ফিডুশিয়াল অনুমান (Fiducial inference)

মূল নিবন্ধ: Fiducial inference ফিডুশিয়াল অনুমান ছিল ফিডুশিয়াল সম্ভাব্যতা-এর ওপর ভিত্তি করে পরিসংখ্যানগত অনুমানের একটি পদ্ধতি, যা "ফিডুশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন" নামেও পরিচিত। পরবর্তী কাজগুলোতে, এই পদ্ধতিটিকে অসংজ্ঞায়িত, প্রয়োগের ক্ষেত্রে অত্যন্ত সীমাবদ্ধ এবং এমনকি ভ্রান্ত বলে অভিহিত করা হয়েছে।[54][55] তবে এই যুক্তিটি সেই যুক্তির মতোই,[56] যা দেখায় যে একটি তথাকথিত কনফিডেন্স ডিস্ট্রিবিউশন একটি বৈধ সম্ভাব্যতা বিন্যাস নয় এবং যেহেতু এটি কনফিডেন্স ইন্টারভ্যাল-এর প্রয়োগকে বাতিল করেনি, তাই এটি ফিডুশিয়াল যুক্তির থেকে প্রাপ্ত সিদ্ধান্তগুলোকেও অগত্যা বাতিল করে না। ফিশারের প্রাথমিক ফিডুশিয়াল আর্গুমেন্ট-এর কাজকে উচ্চ এবং নিম্ন সম্ভাব্যতা ব্যবহার করে একটি অনুমান তত্ত্বের বিশেষ ক্ষেত্র হিসেবে পুনরায় ব্যাখ্যা করার একটি প্রচেষ্টা করা হয়েছিল।(Hampel, 2003)

কাঠামোগত অনুমান (Structural inference)

১৯৩৮ থেকে ১৯৩৯ সাল পর্যন্ত ফিশার এবং পিটম্যানের ধারণার বিকাশ ঘটিয়ে,[57] George A. Barnard "স্ট্রাকচারাল ইনফারেন্স" বা "পিভোটাল ইনফারেন্স" তৈরি করেন,[58] যা গ্রুপ ফ্যামিলির ওপর ইনভ্যারিয়েন্ট প্রোবাবিলিটি বা অপরিবর্তনীয় সম্ভাব্যতা ব্যবহার করে। বার্নার্ড মডেলের একটি সীমাবদ্ধ শ্রেণীর ওপর ফিডুশিয়াল অনুমানের পেছনের যুক্তিগুলোকে নতুনভাবে সাজিয়েছিলেন, যার ওপর "ফিডুশিয়াল" পদ্ধতিগুলো সুসংজ্ঞায়িত এবং কার্যকর হবে। Donald A. S. Fraser গ্রুপ থিওরি-এর ওপর ভিত্তি করে স্ট্রাকচারাল ইনফারেন্সের একটি সাধারণ তত্ত্ব তৈরি করেন এবং এটি লিনিয়ার মডেলগুলোতে প্রয়োগ করেন।[59][60] ফ্রেজারের প্রণীত তত্ত্বটির সাথে ডিসিশন থিওরি এবং বেইজিয়ান পরিসংখ্যানের ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক রয়েছে এবং যদি সেগুলো বিদ্যমান থাকে তবে এটি সর্বোত্তম ফ্রিকোয়েন্টিস্ট ডিসিশন রুল প্রদান করতে পারে।[61]

ইউনিভার্সাল ইনফারেন্স (UI)

ইউনিভার্সাল ইনফারেন্স দেখুন

অনুমান সংক্রান্ত বিষয়সমূহ

নিচের বিষয়গুলো সাধারণত পরিসংখ্যানগত অনুমান (statistical inference)-এর অন্তর্ভুক্ত।

  1. পরিসংখ্যানগত অনুমানসমূহ
  2. পরিসংখ্যানগত সিদ্ধান্ত তত্ত্ব
  3. এস্টিমেশন তত্ত্ব
  4. পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিং
  5. পরিসংখ্যানে মতামতের সংশোধন
  6. পরীক্ষার নকশা, ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণ, এবং রিগ্রেশন বিশ্লেষণ
  7. জরিপ স্যাম্পলিং
  8. পরিসংখ্যানগত ডেটার সারসংক্ষেপ

প্রেডিক্টিভ ইনফারেন্স (পূর্বাভাসমূলক অনুমান) Prediction

প্রেডিক্টিভ ইনফারেন্স হলো পরিসংখ্যানগত অনুমানের একটি পদ্ধতি যা অতীতের পর্যবেক্ষণের ওপর ভিত্তি করে ভবিষ্যতের পর্যবেক্ষণের পূর্বাভাস-এর ওপর জোর দেয়।

প্রাথমিকভাবে, প্রেডিক্টিভ ইনফারেন্স পর্যবেক্ষণযোগ্য প্যারামিটারগুলোর ওপর ভিত্তি করে ছিল এবং এটি সম্ভাব্যতা অধ্যয়নের প্রধান উদ্দেশ্য ছিল, কিন্তু Bruno de Finetti দ্বারা প্রবর্তিত একটি নতুন প্যারামেট্রিক পদ্ধতির কারণে বিংশ শতাব্দীতে এটি জনপ্রিয়তা হারায়। এই পদ্ধতিটি ঘটনাগুলোকে ত্রুটিসহ পর্যবেক্ষণ করা একটি ভৌত ব্যবস্থা (যেমন, মহাকাশীয় বলবিদ্যা) হিসেবে মডেল করে। ডি ফিনেটির এক্সচেঞ্জিবিলিটি বা বিনিময়যোগ্যতার ধারণা—যে ভবিষ্যতের পর্যবেক্ষণগুলো অতীতের পর্যবেক্ষণের মতোই আচরণ করা উচিত—১৯৩৭ সালের তার গবেষণাপত্রের ১৯৭৪ সালের ইংরেজি অনুবাদের মাধ্যমে ইংরেজিভাষী বিশ্বের নজরে আসে,[62] এবং তখন থেকে Seymour Geisser-এর মতো পরিসংখ্যানবিদরা এটি প্রচার করেছেন।[63]

আরও দেখুন

নোট

তথ্যসূত্র

উদ্ধৃতিসমূহ

  1. ↑ Upton, G., Cook, I. (2008) Oxford Dictionary of Statistics, OUP. 978-0-19-954145-4.
  2. ↑ TensorFlow Lite inference.
  3. ↑ Johnson, Richard. (12 March 2016). Statistical Inference. Encyclopedia of Mathematics.
  4. ↑ Konishi & Kitagawa (2008), p. 75.
  5. ↑ Cox (2006), p. 197.
  6. ↑ Statistical inference - Encyclopedia of Mathematics. www.encyclopediaofmath.org.
  7. ↑ 7.0 7.1 Cox (2006) page 2
  8. ↑ Evans, Michael. (2004). Probability and Statistics: The Science of Uncertainty. 267. Freeman and Company. ISBN 9780716747420.
  9. ↑ van der Vaart, A.W. (1998) Asymptotic Statistics Cambridge University Press. 0-521-78450-6 (page 341)
  10. ↑ Sestelo, Marta. A short course on Survival Analysis applied to the Financial Industry.
  11. ↑ Kruskal 1988
  12. ↑ ফ্রিডম্যান, ডি.এ. (2008) "Survival analysis: An Epidemiological hazard?". The American Statistician (2008) 62: 110-119. (Reprinted as Chapter 11 (pages 169–192) of Freedman (2010)).
  13. ↑ Berk, R. (2003) Regression Analysis: A Constructive Critique (Advanced Quantitative Techniques in the Social Sciences) (v. 11) Sage Publications. 0-7619-2904-5
  14. ↑ 14.0 14.1 Brewer, Ken. (2002). "Combined Survey Sampling Inference: Weighing of Basu's Elephants". 6. Hodder Arnold. ISBN 978-0340692295.
  15. ↑ 15.0 15.1 Jörgen Hoffman-Jörgensen's Probability With a View Towards Statistics, Volume I. Page 399 November 2012
  16. ↑ Le Cam (1986) June 2011
  17. ↑ Erik Torgerson (1991) Comparison of Statistical Experiments, volume 36 of Encyclopedia of Mathematics. Cambridge University Press. November 2012
  18. ↑ (2008). "Statistical Decision Theory: Estimation, Testing, and Selection". Springer. ISBN 978-0-387-73193-3.
  19. ↑ Kolmogorov (1963, p.369): "The frequency concept, based on the notion of limiting frequency as the number of trials increases to infinity, does not contribute anything to substantiate the applicability of the results of probability theory to real practical problems where we have always to deal with a finite number of trials".
  20. ↑ "Indeed, limit theorems 'as n tends to infinity' are logically devoid of content about what happens at any particular n. All they can do is suggest certain approaches whose performance must then be checked on the case at hand." — Le Cam (1986) (page xiv)
  21. ↑ Pfanzagl (1994): "The crucial drawback of asymptotic theory: What we expect from asymptotic theory are results which hold approximately . . . . What asymptotic theory has to offer are limit theorems."(page ix) "What counts for applications are approximations, not limits." (page 188)
  22. ↑ Pfanzagl (1994) : "By taking a limit theorem as being approximately true for large sample sizes, we commit an error the size of which is unknown. [. . .] Realistic information about the remaining errors may be obtained by simulations." (page ix)
  23. ↑ নেইম্যান, জে.(1934) "On the two different aspects of the representative method: The method of stratified sampling and the method of purposive selection", Journal of the Royal Statistical Society, 97 (4), 557–625 2342192
  24. ↑ 24.0 24.1 Hinkelmann and Kempthorne(2008) June 2011
  25. ↑ ASA Guidelines for the first course in statistics for non-statisticians. (available at the ASA website)
  26. ↑ ডেভিড এ. ফ্রিডম্যান et alia's Statistics.
  27. ↑ Moore et al. (2015).
  28. ↑ গেলম্যান এ. et al. (2013). Bayesian Data Analysis (চ্যাপম্যান অ্যান্ড হল).
  29. ↑ Peirce (1877-1878)
  30. ↑ Peirce (1883)
  31. ↑ ডেভিড এ. ফ্রিডম্যান Statistical Models.
  32. ↑ রাও, সি.আর. (1997) Statistics and Truth: Putting Chance to Work, World Scientific. 981-02-3111-3
  33. ↑ Peirce; Freedman; Moore et al. (2015).
  34. ↑ Box, G.E.P. and Friends (2006) Improving Almost Anything: Ideas and Essays, Revised Edition, Wiley. 978-0-471-72755-2
  35. ↑ Cox (2006), p. 196.
  36. ↑ ASA Guidelines for the first course in statistics for non-statisticians. (available at the ASA website)
    • David A. Freedman et alias Statistics.
    • Moore et al. (2015).
  37. ↑ Neyman, Jerzy. 1923 [1990]. "On the Application of Probability Theory to AgriculturalExperiments. Essay on Principles. Section 9." Statistical Science 5 (4): 465–472. Trans. ডোরোটা এম. ডাব্রোস্কা and Terence P. Speed.
  38. ↑ Hinkelmann & Kempthorne (2008) June 2011
  39. ↑ (2018). "Randomization-based statistical inference: A resampling and simulation infrastructure". Teaching Statistics. 40 (2) 64–73. doi:10.1111/test.12156.
  40. ↑ Hinkelmann and Kempthorne (2008) Chapter 6.
  41. ↑ (2018). "Randomization-based statistical inference: A resampling and simulation infrastructure". Teaching Statistics. 40 (2) 64–73. doi:10.1111/test.12156.
  42. ↑ (2019). "Model-Based and Model-Free Techniques for Amyotrophic Lateral Sclerosis Diagnostic Prediction and Patient Clustering". Neuroinformatics. 17 (3) 407–421. doi:10.1007/s12021-018-9406-9.
  43. ↑ (2019). Model-free inference in statistics: how and why. IMS Bulletin. 48.
  44. ↑ Bandyopadhyay & Forster (2011). See the book's Introduction (p.3) and "Section III: Four Paradigms of Statistics".
  45. ↑ Neyman, J.. (1937). "Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability". Philosophical Transactions of the Royal Society of London A. 236 (767) 333–380. doi:10.1098/rsta.1937.0005.
  46. ↑ Preface to Pfanzagl.
  47. ↑ Little, Roderick J.. (2006). "Calibrated Bayes: A Bayes/Frequentist Roadmap". The American Statistician. 60 (3) 213–223. doi:10.1198/000313006X117837.
  48. ↑ Lee, Se Yoon. (2021). "Gibbs sampler and coordinate ascent variational inference: A set-theoretical review". Communications in Statistics - Theory and Methods. 51 (6) 1549–1568. doi:10.1080/03610926.2021.1921214.
  49. ↑ Soofi (2000)
  50. ↑ 50.0 50.1 Hansen & Yu (2001)
  51. ↑ 51.0 51.1 Hansen and Yu (2001), page 747.
  52. ↑ 52.0 52.1 Rissanen (1989), page 84
  53. ↑ Joseph F. Traub, G. W. Wasilkowski, and H. Wozniakowski. (1988) June 2011
  54. ↑ Neyman (1956)
  55. ↑ Zabell (1992)
  56. ↑ Cox (2006) page 66
  57. ↑ Davison, page 12. November 2012
  58. ↑ Barnard, G.A. (1995) "Pivotal Models and the Fiducial Argument", International Statistical Review, 63 (3), 309–323. 1403482
  59. ↑ Fraser, D. A. S.. (1968). "The structure of inference". Wiley. ISBN 0-471-27548-4.
  60. ↑ Fraser, D. A. S.. (1979). "Inference and linear models". McGraw-Hill. ISBN 0-07-021910-9.
  61. ↑ (2013-02-01). Fiducial theory and optimal inference. The Annals of Statistics. 41 (1). doi:10.1214/13-AOS1083.
  62. ↑ De Finetti, Bruno. (1937). "La Prévision: ses lois logiques, ses sources subjectives". Annales de l'Institut Henri Poincaré. 7 (1) 1–68. Translated in (1992). "Breakthroughs in Statistics". 134–174. ISBN 978-0-387-94037-3. doi:10.1007/978-1-4612-0919-5_10.
  63. ↑ Geisser, Seymour (1993) Predictive Inference: An Introduction, CRC Press. 0-412-03471-9

উৎসসমূহ

বহিঃসংযোগ

inference

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Statistical inference” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_inference এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।

Retrieved from "https://ltrc.sciwiki.in/index.php?title=পরিসংখ্যানগত_অনুমান&oldid=3719"