ইউনিফর্মলি মোস্ট পাওয়ারফুল টেস্ট

পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিং-এ, একটি ইউনিফর্মলি মোস্ট পাওয়ারফুল (UMP) টেস্ট হলো এমন একটি হাইপোথিসিস টেস্ট, যার একটি নির্দিষ্ট আকার α-এর সমস্ত সম্ভাব্য টেস্টের মধ্যে সর্বোচ্চ ক্ষমতা $1-\beta$ থাকে। উদাহরণস্বরূপ, নেইম্যান-পিয়ারসন লেমা অনুযায়ী, সরল (পয়েন্ট) হাইপোথিসিস পরীক্ষার জন্য লাইকলিহুড-রেশিও টেস্ট হলো UMP।

সেটিং

ধরা যাক $X$ একটি র‍্যান্ডম ভেক্টর (পরিমাপের সাথে সম্পর্কিত), যা প্যারামিটারাইজড ফ্যামিলি-এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন বা সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন $f_{\theta }(x)$ থেকে নেওয়া হয়েছে, যা অজানা ডিটারমিনিস্টিক প্যারামিটার $\theta \in \mathrm{\Theta }$-এর উপর নির্ভর করে। প্যারামিটার স্পেস $\mathrm{\Theta }$-কে দুটি বিচ্ছিন্ন সেট ${\mathrm{\Theta }}_0$ এবং ${\mathrm{\Theta }}_1$-এ বিভক্ত করা হয়েছে। ধরা যাক $H_0$ হলো সেই হাইপোথিসিস যেখানে $\theta \in {\mathrm{\Theta }}_0$, এবং $H_1$ হলো সেই হাইপোথিসিস যেখানে $\theta \in {\mathrm{\Theta }}_1$। হাইপোথিসিসের বাইনারি টেস্টটি একটি টেস্ট ফাংশন $\phi (x)$ ব্যবহার করে করা হয়, যার একটি রিজেক্ট রিজিয়ন $R$ (পরিমাপ স্পেসের একটি উপসেট) থাকে।

$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }x\in R\\ 0& \text{if }x\in R^c\end{array}$

এর অর্থ হলো, যদি পরিমাপ $X\in R$ হয় তবে $H_1$ কার্যকর এবং যদি পরিমাপ $X\in R^c$ হয় তবে $H_0$ কার্যকর। লক্ষ্য করুন যে $R\cup R^c$ হলো পরিমাপ স্পেসের একটি বিচ্ছিন্ন আচ্ছাদন।

আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা

একটি টেস্ট ফাংশন $\phi (x)$ হলো $\alpha$ আকারের UMP, যদি অন্য যেকোনো টেস্ট ফাংশন ${\phi }^{\prime }(x)$-এর জন্য যা নিচের শর্ত পূরণ করে:

$\underset{\theta \in {\mathrm{\Theta }}_0}{\sup }\mathrm{E}[{\phi }^{\prime }(X)|\theta ]={\alpha }^{\prime }\le \alpha =\underset{\theta \in {\mathrm{\Theta }}_0}{\sup }\mathrm{E}[\phi (X)|\theta ]$

আমরা পাই

$\mathrm{\forall }\theta \in {\mathrm{\Theta }}_1,\mathrm{E}[{\phi }^{\prime }(X)|\theta ]=1-{\beta }^{\prime }(\theta )\le 1-\beta (\theta )=\mathrm{E}[\phi (X)|\theta ].$

কার্লিন-রুবিন উপপাদ্য

কার্লিন-রুবিন উপপাদ্যটি (যা স্যামুয়েল কার্লিন এবং হারমান রুবিন-এর নামে নামকরণ করা হয়েছে) কম্পোজিট হাইপোথিসিসের জন্য নেইম্যান-পিয়ারসন লেমার একটি সম্প্রসারণ হিসেবে গণ্য করা যেতে পারে। একটি স্কেলার পরিমাপ বিবেচনা করুন যার একটি সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন একটি স্কেলার প্যারামিটার θ দ্বারা প্যারামিটারাইজড, এবং লাইকলিহুড রেশিও $l(x)=f_{{\theta }_1}(x)/f_{{\theta }_0}(x)$ সংজ্ঞায়িত করুন। যদি $l(x)$, $x$-এর সাপেক্ষে মোনোটোন নন-ডিক্রিজিং হয়, যেকোনো জোড়া ${\theta }_1\ge {\theta }_0$-এর জন্য (যার অর্থ হলো $x$ যত বড় হবে, $H_1$ তত বেশি সম্ভাব্য হবে), তবে থ্রেশহোল্ড টেস্ট:

$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }x>x_0\\ 0& \text{if }x<x_0\end{array}$

যেখানে $x_0$ এমনভাবে নির্বাচন করা হয় যাতে ${\mathrm{E}}_{{\theta }_0}\phi (X)=\alpha$ হয়

এটি $H_0:\theta \le {\theta }_0\text{ vs. }{H}_1:\theta >{\theta }_0$ পরীক্ষার জন্য α আকারের UMP টেস্ট।

লক্ষ্য করুন যে একই টেস্ট $H_0:\theta ={\theta }_0\text{ vs. }{H}_1:\theta >{\theta }_0$ পরীক্ষার জন্যও UMP।

গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্র: এক্সপোনেনশিয়াল ফ্যামিলি

যদিও কার্লিন-রুবিন উপপাদ্যটি স্কেলার প্যারামিটার এবং স্কেলার পরিমাপের সীমাবদ্ধতার কারণে দুর্বল মনে হতে পারে, তবে দেখা যায় যে এমন অনেক সমস্যা রয়েছে যার জন্য এই উপপাদ্যটি কার্যকর। বিশেষ করে, এক-মাত্রিক এক্সপোনেনশিয়াল ফ্যামিলি-এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন বা সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন যেখানে

$f_{\theta }(x)=g(\theta )h(x)\exp (\eta (\theta )T(x))$

সেখানে সাফিসিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক $T(x)$-এর ক্ষেত্রে একটি মোনোটোন নন-ডিক্রিজিং লাইকলিহুড রেশিও থাকে, যদি $\eta (\theta )$ নন-ডিক্রিজিং হয়।

উদাহরণ

ধরা যাক $X=(X_0,\dots ,X_{M-1})$ হলো i.i.d. নরমালি ডিস্ট্রিবিউটেড $N$-মাত্রিক র‍্যান্ডম ভেক্টর, যার গড় $\theta m$ এবং কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স $R$। তাহলে আমরা পাই

$\begin{array}{rl}{f}_{\theta }(X)=& (2\pi {)}^{-MN/2}|R{|}^{-M/2}\exp \{-\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{M-1}(X_n-\theta m{)}^T{R}^{-1}(X_n-\theta m)\}\\ =& (2\pi {)}^{-MN/2}|R{|}^{-M/2}\exp \{-\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{M-1}\left({\theta }^2{m}^T{R}^{-1}m\right)\}\\ & \exp \{-\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{M-1}{X}_n^T{R}^{-1}{X}_n\}\exp \left\{\theta m^T{R}^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}{X}_n\right\}\end{array}$

যা পূর্ববর্তী বিভাগে দেখানো এক্সপোনেনশিয়াল ফ্যামিলির আকারের মতোই, যেখানে সাফিসিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক হলো

$T(X)=m^T{R}^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}{X}_n.$

সুতরাং, আমরা সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যে টেস্টটি

$\phi (T)=\{\begin{array}{ll}1& T>t_0\\ 0& T<t_0\end{array}{\mathrm{E}}_{{\theta }_0}\phi (T)=\alpha$

এটি $H_0:\theta ⩽{\theta }_0$ বনাম $H_1:\theta >{\theta }_0$ পরীক্ষার জন্য $\alpha$ আকারের UMP টেস্ট।

আরও আলোচনা

সাধারণভাবে, ভেক্টর প্যারামিটার বা দুই-পার্শ্বীয় টেস্টের (যেখানে একটি হাইপোথিসিস বিকল্পের উভয় পাশে থাকে) জন্য UMP টেস্ট বিদ্যমান থাকে না। এর কারণ হলো এই পরিস্থিতিগুলোতে, প্যারামিটারের একটি সম্ভাব্য মানের জন্য (যেমন ${\theta }_1$ যেখানে ${\theta }_1>{\theta }_0$) একটি নির্দিষ্ট আকারের সবচেয়ে শক্তিশালী টেস্ট, প্যারামিটারের অন্য মানের জন্য (যেমন ${\theta }_2$ যেখানে ${\theta }_2<{\theta }_0$) সবচেয়ে শক্তিশালী টেস্ট থেকে আলাদা হয়। ফলস্বরূপ, এই পরিস্থিতিগুলোতে কোনো টেস্টই ইউনিফর্মলি মোস্ট পাওয়ারফুল হয় না।

November 2010

আরও পড়ুন

• (1967). "Mathematical Statistics: A decision theoretic approach". Academic Press.
• (1974). "Introduction to the theory of statistics". McGraw-Hill.
• L. L. Scharf, Statistical Signal Processing, Addison-Wesley, 1991, section 4.7.

inference

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Uniformly most powerful test” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Uniformly_most_powerful_test এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।