পরিসংখ্যানগত মডেল

একটি পরিসংখ্যানগত মডেল (statistical model) হলো একটি গাণিতিক মডেল যা নমুনা উপাত্ত (এবং বৃহত্তর জনসংখ্যা থেকে প্রাপ্ত অনুরূপ উপাত্ত) তৈরির ক্ষেত্রে একগুচ্ছ পরিসংখ্যানগত অনুমান ধারণ করে। একটি পরিসংখ্যানগত মডেল, প্রায়শই যথেষ্ট আদর্শায়িত আকারে, উপাত্ত তৈরির প্রক্রিয়াকে উপস্থাপন করে। যখন বিশেষভাবে সম্ভাবনার কথা উল্লেখ করা হয়, তখন সংশ্লিষ্ট শব্দটি হলো সম্ভাব্যতা মডেল (probabilistic model)। সমস্ত পরিসংখ্যানগত অনুমান পরীক্ষা এবং সমস্ত পরিসংখ্যানগত পরিমাপক পরিসংখ্যানগত মডেলের মাধ্যমে উদ্ভূত হয়। আরও সাধারণভাবে, পরিসংখ্যানগত মডেলগুলো পরিসংখ্যানগত অনুমানের ভিত্তির অংশ। একটি পরিসংখ্যানগত মডেল সাধারণত এক বা একাধিক দৈব চলক এবং অন্যান্য অ-দৈব চলকের মধ্যে একটি গাণিতিক সম্পর্ক হিসেবে নির্দিষ্ট করা হয়। যেমন, একটি পরিসংখ্যানগত মডেল হলো "একটি তত্ত্বের আনুষ্ঠানিক উপস্থাপনা" (হারমান আডের কর্তৃক কেনেথ বোলেন-এর উদ্ধৃতি)।

ভূমিকা

অনানুষ্ঠানিকভাবে, একটি পরিসংখ্যানগত মডেলকে একটি পরিসংখ্যানগত অনুমান (বা পরিসংখ্যানগত অনুমানের সেট) হিসেবে ভাবা যেতে পারে যার একটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে: সেই অনুমানটি আমাদের যেকোনো ঘটনার সম্ভাবনা গণনা করার অনুমতি দেয়। উদাহরণস্বরূপ, এক জোড়া সাধারণ ছয়-পার্শ্বযুক্ত ছক্কা বিবেচনা করুন। আমরা ছক্কাগুলো সম্পর্কে দুটি ভিন্ন পরিসংখ্যানগত অনুমান অধ্যয়ন করব।

প্রথম পরিসংখ্যানগত অনুমানটি হলো: প্রতিটি ছক্কার ক্ষেত্রে, প্রতিটি পৃষ্ঠ (১, ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬) আসার সম্ভাবনা হলো 1/6। সেই অনুমান থেকে, আমরা উভয় ছক্কায় ৫ আসার সম্ভাবনা গণনা করতে পারি:  1/6 × 1/6 = 1/36.  আরও সাধারণভাবে, আমরা যেকোনো ঘটনার সম্ভাবনা গণনা করতে পারি: যেমন (১ এবং ২) অথবা (৩ এবং ৩) অথবা (৫ এবং ৬)। বিকল্প পরিসংখ্যানগত অনুমানটি হলো: প্রতিটি ছক্কার ক্ষেত্রে, ৫ আসার সম্ভাবনা হলো 1/8 (কারণ ছক্কাগুলো ভারী বা লোডেড)। সেই অনুমান থেকে, আমরা উভয় ছক্কায় ৫ আসার সম্ভাবনা গণনা করতে পারি:  1/8 × 1/8 = 1/64.  তবে, আমরা অন্য কোনো অ-তুচ্ছ ঘটনার সম্ভাবনা গণনা করতে পারি না, কারণ অন্য পৃষ্ঠগুলোর সম্ভাবনা অজানা।

প্রথম পরিসংখ্যানগত অনুমানটি একটি পরিসংখ্যানগত মডেল গঠন করে: কারণ শুধুমাত্র সেই অনুমানের মাধ্যমেই আমরা যেকোনো ঘটনার সম্ভাবনা গণনা করতে পারি। বিকল্প পরিসংখ্যানগত অনুমানটি একটি পরিসংখ্যানগত মডেল গঠন করে না: কারণ শুধুমাত্র সেই অনুমানের মাধ্যমে আমরা প্রতিটি ঘটনার সম্ভাবনা গণনা করতে পারি না। উপরের উদাহরণে, প্রথম অনুমানের সাথে, একটি ঘটনার সম্ভাবনা গণনা করা সহজ। যদিও অন্য কিছু উদাহরণের ক্ষেত্রে, গণনাটি কঠিন বা এমনকি অবাস্তব হতে পারে (যেমন এর জন্য লক্ষ লক্ষ বছরের গণনার প্রয়োজন হতে পারে)। একটি অনুমানের পরিসংখ্যানগত মডেল গঠনের জন্য, এই ধরনের অসুবিধা গ্রহণযোগ্য: গণনাটি ব্যবহারিক হওয়ার প্রয়োজন নেই, কেবল তাত্ত্বিকভাবে সম্ভব হলেই চলে।

আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা

গাণিতিক পরিভাষায়, একটি পরিসংখ্যানগত মডেল হলো একটি জোড়া ($S,{𝒫}$), যেখানে $S$ হলো সম্ভাব্য পর্যবেক্ষণের সেট, অর্থাৎ নমুনা স্থান (sample space), এবং ${𝒫}$ হলো $S$-এর ওপর সম্ভাব্যতা বিন্যাসের একটি সেট। ${𝒫}$ সেটটি সম্ভাব্য বিবেচিত সমস্ত মডেলকে উপস্থাপন করে। এই সেটটি সাধারণত প্যারামিটারাইজড বা পরামিতিকৃত হয়: ${𝒫}=\{F_{\theta }:\theta \in \mathrm{\Theta }\}$। $\mathrm{\Theta }$ সেটটি মডেলের পরামিতিগুলো নির্ধারণ করে। যদি একটি প্যারামিটারাইজেশন এমন হয় যে স্বতন্ত্র পরামিতি মানগুলো স্বতন্ত্র বিন্যাস তৈরি করে, অর্থাৎ $F_{{\theta }_1}=F_{{\theta }_2}\Rightarrow {\theta }_1={\theta }_2$ (অন্য কথায়, ম্যাপিংটি ইনজেক্টিভ), তবে এটিকে শনাক্তযোগ্য (identifiable) বলা হয়।

কিছু ক্ষেত্রে, মডেলটি আরও জটিল হতে পারে।

• বায়েসিয়ান পরিসংখ্যানে, পরামিতি স্থান $\mathrm{\Theta }$-এর ওপর একটি সম্ভাব্যতা বিন্যাস যোগ করে মডেলটিকে প্রসারিত করা হয়।
• একটি পরিসংখ্যানগত মডেল কখনও কখনও সম্ভাব্যতা বিন্যাসের দুটি সেটকে আলাদা করতে পারে। প্রথম সেট ${𝒬}=\{F_{\theta }:\theta \in \mathrm{\Theta }\}$ হলো অনুমানের জন্য বিবেচিত মডেলগুলোর সেট। দ্বিতীয় সেট ${𝒫}=\{F_{\lambda }:\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$ হলো সেই মডেলগুলোর সেট যা উপাত্ত তৈরি করতে পারত, যা ${𝒬}$-এর চেয়ে অনেক বড়। এই ধরনের পরিসংখ্যানগত মডেলগুলো একটি প্রদত্ত পদ্ধতি দৃঢ় (robust) কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য গুরুত্বপূর্ণ, অর্থাৎ উপাত্ত সম্পর্কে এর অনুমানগুলো ভুল হলে এটি যেন বিপর্যয়কর ত্রুটি তৈরি না করে।

একটি উদাহরণ

ধরা যাক আমাদের শিশুদের একটি জনসংখ্যা আছে, যেখানে শিশুদের বয়স জনসংখ্যায় সুষমভাবে বিন্যস্ত। একটি শিশুর উচ্চতা বয়সের সাথে দৈবভাবে সম্পর্কিত হবে: যেমন, যখন আমরা জানি যে একটি শিশুর বয়স ৭ বছর, তখন এটি শিশুটির ১.৫ মিটার লম্বা হওয়ার সম্ভাবনাকে প্রভাবিত করে। আমরা সেই সম্পর্কটিকে একটি রৈখিক নির্ভরণ মডেলে এভাবে আনুষ্ঠানিক রূপ দিতে পারি: height_i = b₀ + b₁age_i + ε_i, যেখানে b₀ হলো ইন্টারসেপ্ট, b₁ হলো একটি পরামিতি যা উচ্চতার পূর্বাভাস পেতে বয়সের সাথে গুণ করা হয়, ε_i হলো ত্রুটি পদ, এবং i শিশুটিকে চিহ্নিত করে। এটি বোঝায় যে উচ্চতার পূর্বাভাস বয়স দ্বারা দেওয়া হয়, কিছু ত্রুটিসহ।

একটি গ্রহণযোগ্য মডেলকে অবশ্যই সমস্ত উপাত্ত বিন্দুর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে হবে। সুতরাং, একটি সরলরেখা (height_i = b₀ + b₁age_i) উপাত্তের মডেলের জন্য গ্রহণযোগ্য হতে পারে না—যদি না এটি সমস্ত উপাত্ত বিন্দুর সাথে হুবহু মিলে যায়, অর্থাৎ সমস্ত উপাত্ত বিন্দু নিখুঁতভাবে রেখার ওপর থাকে। ত্রুটি পদ, ε_i, অবশ্যই সমীকরণে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে, যাতে মডেলটি সমস্ত উপাত্ত বিন্দুর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। পরিসংখ্যানগত অনুমান করার জন্য, আমাদের প্রথমে ε_i-এর জন্য কিছু সম্ভাব্যতা বিন্যাস ধরে নিতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা ধরে নিতে পারি যে ε_i বিন্যাসগুলো i.i.d. গাউসিয়ান, যার গড় শূন্য। এই ক্ষেত্রে, মডেলটির ৩টি পরামিতি থাকবে: b₀, b₁, এবং গাউসিয়ান বিন্যাসের ভেদাঙ্ক। আমরা আনুষ্ঠানিকভাবে মডেলটিকে (Failed to parse (syntax error): {\displaystyle S, \mathcal{P} ) আকারে নিম্নরূপ নির্দিষ্ট করতে পারি। আমাদের মডেলের নমুনা স্থান, $S$, সমস্ত সম্ভাব্য জোড়া (বয়স, উচ্চতা)-এর সেট নিয়ে গঠিত। $\theta$ = (b₀, b₁, σ²)-এর প্রতিটি সম্ভাব্য মান $S$-এর ওপর একটি বিন্যাস নির্ধারণ করে; সেই বিন্যাসটিকে $F_{\theta }$ দ্বারা চিহ্নিত করুন। যদি $\mathrm{\Theta }$ হলো $\theta$-এর সমস্ত সম্ভাব্য মানের সেট, তবে ${𝒫}=\{F_{\theta }:\theta \in \mathrm{\Theta }\}$। (প্যারামিটারাইজেশনটি শনাক্তযোগ্য, এবং এটি পরীক্ষা করা সহজ।)

এই উদাহরণে, মডেলটি (১) $S$ নির্দিষ্ট করে এবং (২) Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \mathcal{P} -এর সাথে প্রাসঙ্গিক কিছু অনুমান করে নির্ধারিত হয়। দুটি অনুমান রয়েছে: উচ্চতাকে বয়সের একটি রৈখিক ফাংশন দ্বারা আসন্ন করা যেতে পারে; আসন্নীকরণের ত্রুটিগুলো i.i.d. গাউসিয়ান হিসেবে বিন্যস্ত। অনুমানগুলো Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \mathcal{P} নির্দিষ্ট করার জন্য যথেষ্ট—যেমনটি তাদের করার প্রয়োজন।

সাধারণ মন্তব্য

একটি পরিসংখ্যানগত মডেল হলো গাণিতিক মডেলের একটি বিশেষ শ্রেণি। যা একটি পরিসংখ্যানগত মডেলকে অন্যান্য গাণিতিক মডেল থেকে আলাদা করে তা হলো একটি পরিসংখ্যানগত মডেল অ-নির্ধারণবাদী। সুতরাং, গাণিতিক সমীকরণের মাধ্যমে নির্দিষ্ট করা একটি পরিসংখ্যানগত মডেলে, কিছু চলকের নির্দিষ্ট মান থাকে না, বরং তাদের সম্ভাব্যতা বিন্যাস থাকে; অর্থাৎ কিছু চলক দৈব। শিশুদের উচ্চতার উপরের উদাহরণে, ε একটি দৈব চলক; সেই দৈব চলক ছাড়া, মডেলটি নির্ধারণবাদী হতো। পরিসংখ্যানগত মডেলগুলো প্রায়শই ব্যবহৃত হয় এমনকি যখন মডেল করা উপাত্ত তৈরির প্রক্রিয়াটি নির্ধারণবাদী হয় তখনও। উদাহরণস্বরূপ, মুদ্রা নিক্ষেপ নীতিগতভাবে একটি নির্ধারণবাদী প্রক্রিয়া; তবুও এটি সাধারণত দৈব হিসেবে মডেল করা হয় (একটি বার্নোলি প্রক্রিয়া-এর মাধ্যমে)। একটি প্রদত্ত উপাত্ত তৈরির প্রক্রিয়াকে উপস্থাপন করার জন্য একটি উপযুক্ত পরিসংখ্যানগত মডেল নির্বাচন করা কখনও কখনও অত্যন্ত কঠিন এবং এর জন্য প্রক্রিয়া এবং প্রাসঙ্গিক পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণ উভয়ের জ্ঞান প্রয়োজন হতে পারে। প্রাসঙ্গিকভাবে, পরিসংখ্যানবিদ স্যার ডেভিড কক্স বলেছেন, "বিষয়বস্তুর সমস্যা থেকে পরিসংখ্যানগত মডেলে অনুবাদ কীভাবে করা হয় তা প্রায়শই বিশ্লেষণের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অংশ"।

কোনিশি ও কিতাগাওয়ার মতে, একটি পরিসংখ্যানগত মডেলের তিনটি উদ্দেশ্য রয়েছে:

1. পূর্বাভাস
2. তথ্য নিষ্কাশন
3. দৈব কাঠামোর বর্ণনা

ফ্রেন্ডলি ও মেয়ার কর্তৃক নির্দেশিত তিনটি উদ্দেশ্যের সাথে এই তিনটি উদ্দেশ্য মূলত একই: পূর্বাভাস, অনুমান, বর্ণনা।

মডেলের মাত্রা

ধরা যাক আমাদের একটি পরিসংখ্যানগত মডেল (Failed to parse (syntax error): {\displaystyle S, \mathcal{P} ) আছে যেখানে ${𝒫}=\{F_{\theta }:\theta \in \mathrm{\Theta }\}$। নোটেশনে, আমরা লিখি যে $\mathrm{\Theta }\subseteq {\mathbb{ℝ}}^k$ যেখানে k একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \mathbb{R} বাস্তব সংখ্যা নির্দেশ করে; নীতিগতভাবে অন্যান্য সেট ব্যবহার করা যেতে পারে)। এখানে, k-কে মডেলের মাত্রা (dimension) বলা হয়। মডেলটিকে প্যারামেট্রিক বলা হয় যদি $\mathrm{\Theta }$-এর সসীম মাত্রা থাকে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা ধরে নিই যে উপাত্ত একটি একচলকীয় গাউসিয়ান বিন্যাস থেকে উদ্ভূত হয়, তবে আমরা ধরে নিচ্ছি যে

${𝒫}=\{F_{\mu ,\sigma }(x)\equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}):\mu \in \mathbb{ℝ},\sigma >0\}$।

এই উদাহরণে, মাত্রা, k, ২-এর সমান। অন্য একটি উদাহরণ হিসেবে, ধরা যাক উপাত্তগুলো (x, y) বিন্দু নিয়ে গঠিত যা আমরা ধরে নিই যে i.i.d. গাউসিয়ান রেসিডুয়ালসহ (শূন্য গড়সহ) একটি সরলরেখা অনুযায়ী বিন্যস্ত: এটি শিশুদের উচ্চতার উদাহরণের মতো একই পরিসংখ্যানগত মডেলে নিয়ে যায়। পরিসংখ্যানগত মডেলটির মাত্রা হলো ৩: রেখার ইন্টারসেপ্ট, রেখার ঢাল, এবং রেসিডুয়ালের বিন্যাসের ভেদাঙ্ক। (লক্ষ্য করুন যে সমস্ত সম্ভাব্য রেখার সেটের মাত্রা ২, যদিও জ্যামিতিকভাবে, একটি রেখার মাত্রা ১।)

যদিও আনুষ্ঠানিকভাবে $\theta \in \mathrm{\Theta }$ একটি একক পরামিতি যার মাত্রা k, এটিকে কখনও কখনও kটি পৃথক পরামিতি নিয়ে গঠিত বলে গণ্য করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একচলকীয় গাউসিয়ান বিন্যাসের সাথে, $\theta$ আনুষ্ঠানিকভাবে মাত্রা ২-এর একটি একক পরামিতি, কিন্তু এটিকে প্রায়শই ২টি পৃথক পরামিতি—গড় এবং আদর্শ বিচ্যুতি—নিয়ে গঠিত বলে গণ্য করা হয়। একটি পরিসংখ্যানগত মডেল অ-প্যারামেট্রিক (nonparametric) যদি পরামিতি সেট $\mathrm{\Theta }$ অসীম মাত্রিক হয়। একটি পরিসংখ্যানগত মডেল সেমিপ্যারামেট্রিক (semiparametric) যদি এতে সসীম-মাত্রিক এবং অসীম-মাত্রিক উভয় পরামিতি থাকে। আনুষ্ঠানিকভাবে, যদি k হয় $\mathrm{\Theta }$-এর মাত্রা এবং n হয় নমুনার সংখ্যা, তবে সেমিপ্যারামেট্রিক এবং অ-প্যারামেট্রিক উভয় মডেলেরই $n\to \mathrm{\infty }$ হলে $k\to \mathrm{\infty }$ হয়। যদি $n\to \mathrm{\infty }$ হলে $k/n\to 0$ হয়, তবে মডেলটি সেমিপ্যারামেট্রিক; অন্যথায়, মডেলটি অ-প্যারামেট্রিক।

প্যারামেট্রিক মডেলগুলো এখন পর্যন্ত সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত পরিসংখ্যানগত মডেল। সেমিপ্যারামেট্রিক এবং অ-প্যারামেট্রিক মডেলের বিষয়ে, স্যার ডেভিড কক্স বলেছেন, "এগুলো সাধারণত কাঠামোর কম অনুমান এবং বিন্যাসগত রূপ ধারণ করে কিন্তু সাধারণত স্বাধীনতার বিষয়ে শক্তিশালী অনুমান ধারণ করে"।

নেস্টেড মডেল

section

দুটি পরিসংখ্যানগত মডেল নেস্টেড (nested) হয় যদি প্রথম মডেলের পরামিতিগুলোর ওপর সীমাবদ্ধতা আরোপ করে প্রথম মডেলটিকে দ্বিতীয় মডেলে রূপান্তর করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, সমস্ত গাউসিয়ান বিন্যাসের সেটের মধ্যে, শূন্য-গড় গাউসিয়ান বিন্যাসের সেটটি নেস্টেড থাকে: আমরা শূন্য-গড় বিন্যাস পেতে সমস্ত গাউসিয়ান বিন্যাসের সেটে গড়কে সীমাবদ্ধ করি। দ্বিতীয় উদাহরণ হিসেবে, দ্বিঘাত মডেল

y = b₀ + b₁x + b₂x² + ε,   ε ~ 𝒩(0, σ²)

এর মধ্যে, রৈখিক মডেলটি নেস্টেড থাকে

y = b₀ + b₁x + ε,   ε ~ 𝒩(0, σ²)

—আমরা b₂ পরামিতিটিকে ০-এর সমান হতে সীমাবদ্ধ করি।

উভয় উদাহরণেই, প্রথম মডেলটির মাত্রা দ্বিতীয় মডেলের চেয়ে বেশি (প্রথম উদাহরণের জন্য, শূন্য-গড় মডেলের মাত্রা ১)। এমনটি প্রায়শই হয়, তবে সবসময় নয়। এমন একটি উদাহরণ যেখানে তাদের মাত্রা একই, ধনাত্মক-গড় গাউসিয়ান বিন্যাসের সেটটি সমস্ত গাউসিয়ান বিন্যাসের সেটের মধ্যে নেস্টেড থাকে; তাদের উভয়েরই মাত্রা ২।

মডেল তুলনা

আরও দেখুন: পরিসংখ্যানগত মডেল নির্বাচন পরিসংখ্যানগত মডেলগুলোর তুলনা পরিসংখ্যানগত অনুমানের বেশিরভাগের জন্য মৌলিক। 2008 উল্লেখ করেছেন: "পরিসংখ্যানগত অনুমানের বেশিরভাগ সমস্যাকে পরিসংখ্যানগত মডেলিং সম্পর্কিত সমস্যা হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে। এগুলো সাধারণত বেশ কয়েকটি পরিসংখ্যানগত মডেলের তুলনা হিসেবে প্রণয়ন করা হয়।" মডেলগুলো তুলনা করার সাধারণ মানদণ্ডগুলোর মধ্যে রয়েছে: R², বায়েসিয়ান ফ্যাক্টর, আকেইক তথ্য মানদণ্ড, এবং সম্ভাব্যতা-অনুপাত পরীক্ষা তার সাধারণীকরণ, আপেক্ষিক সম্ভাব্যতা-এর সাথে।

দুটি পরিসংখ্যানগত মডেল তুলনা করার আরেকটি উপায় হলো লুসিয়েন লে ক্যাম কর্তৃক প্রবর্তিত ঘাটতি (deficiency)-এর ধারণার মাধ্যমে।

আরও দেখুন

• সমস্ত মডেলই ভুল
• ব্লকমডেল
• ধারণাগত মডেল
• পরীক্ষার নকশা
• নির্ধারণবাদী মডেল
• কার্যকর তত্ত্ব
• পূর্বাভাসমূলক মডেল
• প্রতিক্রিয়া মডেলিং পদ্ধতি
• স্যাকসিয়ার
• বৈজ্ঞানিক মডেল
• পরিসংখ্যানগত অনুমান
• পরিসংখ্যানগত মডেল স্পেসিফিকেশন
• পরিসংখ্যানগত মডেল বৈধতা
• পরিসংখ্যানগত তত্ত্ব
• দৈব প্রক্রিয়া

নোট

September 2010

তথ্যসূত্র

• Adèr, H. J.. (2008). "Advising on Research Methods: A consultant's companion". 271–304. জোহানেস ভ্যান কেসেল পাবলিশিং..
• (2002). "Model Selection and Multimodel Inference". স্প্রিংগার-ভার্লাগ..
• কক্স, ডি. আর.. (2006). "Principles of Statistical Inference". কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস. ISBN 978-0-521-86673-6. doi:10.1017/CBO9780511813559..
• (2016). "Discrete Data Analysis with R". চ্যাপম্যান অ্যান্ড হল..
• (2008). "Information Criteria and Statistical Modeling". স্প্রিংগার..
• ম্যাককুলাঘ, পি.. (2002). What is a statistical model?. অ্যানালস অফ স্ট্যাটিস্টিকস. 30 (5) 1225–1310. doi:10.1214/aos/1035844977..

আরও পড়ুন

• ডেভিসন, এ. সি. (২০০৮), Statistical Models, কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস
• (২০০৭). Algebraic statistical models. Statistica Sinica. ১৭ ১২৭৩–১২৯৭.
• ফ্রিডম্যান, ডি. এ. (২০০৯), Statistical Models, কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস
• হেল্যান্ড, আই. এস. (২০১০), Steps Towards a Unified Basis for Scientific Models and Methods, ওয়ার্ল্ড সায়েন্টিফিক
• ক্রোসে, ডি. পি.; চ্যান, জে. সি. সি. (২০১৪), Statistical Modeling and Computation, স্প্রিংগার
• (২০১০). "To explain or to predict?". স্ট্যাটিস্টিক্যাল সায়েন্স. ২৫ (৩) ২৮৯–৩১০. doi:১০.১২১৪/১০-এসটিএস৩৩০.

inference

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Statistical model” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_model এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।