ক্রেডিবল ইন্টারভাল

একটি বিন্যাসের ৯০%-ক্ষুদ্রতম ক্রেডিবল ইন্টারভাল হলো সেই ক্ষুদ্রতম ব্যবধি যা বিন্যাসটির ৯০% ভর ধারণ করে।

বেয়েসিয়ান পরিসংখ্যানে, একটি ক্রেডিবল ইন্টারভাল (credible interval) হলো একটি ব্যবধি যা একটি সম্ভাবনা বিন্যাস-কে বৈশিষ্ট্যমণ্ডিত করতে ব্যবহৃত হয়। এটি এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে, একটি অনিরীক্ষিত প্যারামিটার-এর মান এর মধ্যে থাকার একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা $\gamma$ থাকে। উদাহরণস্বরূপ, এমন একটি পরীক্ষায় যা প্যারামিটার $\mu$-এর সম্ভাব্য মানগুলোর বিন্যাস নির্ধারণ করে, যদি $\mu$-এর মান ৩৫ থেকে ৪৫-এর মধ্যে থাকার সম্ভাবনা $\gamma =0.95$ হয়, তবে $35\le \mu \le 45$ হলো একটি ৯৫% ক্রেডিবল ইন্টারভাল।

ক্রেডিবল ইন্টারভাল সাধারণত পোস্টেরিয়র সম্ভাবনা বিন্যাস বা সফলতার পূর্বাভাসমূলক সম্ভাবনা বিন্যাসকে বৈশিষ্ট্যমণ্ডিত করতে ব্যবহৃত হয়। বিচ্ছিন্ন বা মাল্টিভ্যারিয়েট সেটের ক্ষেত্রে এদের সাধারণীকরণকে ক্রেডিবল সেট বা ক্রেডিবল অঞ্চল বলা হয়।

ক্রেডিবল ইন্টারভাল হলো ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পরিসংখ্যান-এর কনফিডেন্স ইন্টারভাল-এর একটি বেয়েসিয়ান প্রতিরূপ। এই দুটি ধারণা ভিন্ন ভিন্ন দর্শন থেকে উদ্ভূত হয়েছে: বেয়েসিয়ান ইন্টারভালগুলো তাদের সীমানাকে স্থির এবং আনুমানিক প্যারামিটারকে একটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসেবে বিবেচনা করে, যেখানে ফ্রিকোয়েন্টিস্ট কনফিডেন্স ইন্টারভালগুলো তাদের সীমানাকে র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং প্যারামিটারকে একটি স্থির মান হিসেবে বিবেচনা করে। এছাড়াও, বেয়েসিয়ান ক্রেডিবল ইন্টারভাল ব্যবহারের জন্য পরিস্থিতি-নির্দিষ্ট প্রায়র বিন্যাস-এর জ্ঞান প্রয়োজন, যেখানে ফ্রিকোয়েন্টিস্ট কনফিডেন্স ইন্টারভালের ক্ষেত্রে তা প্রয়োজন হয় না।

সংজ্ঞা

ক্রেডিবল সেটগুলো অনন্য নয়, কারণ যেকোনো নির্দিষ্ট সম্ভাবনা বিন্যাসের অসংখ্য $\gamma$-ক্রেডিবল সেট থাকে, অর্থাৎ $\gamma$ সম্ভাবনার সেট। উদাহরণস্বরূপ, ইউনিভ্যারিয়েট ক্ষেত্রে, একটি উপযুক্ত ব্যবধি বা সেটের জন্য একাধিক সংজ্ঞা রয়েছে:

• ক্ষুদ্রতম ক্রেডিবল ইন্টারভাল (SCI), যাকে কখনও কখনও সর্বোচ্চ ঘনত্ব ব্যবধি (highest density interval) বলা হয়। এই ব্যবধিটি অবশ্যই মধ্যমা ধারণ করে যখন $\gamma \ge 0.5$ হয়। যখন বিন্যাসটি ইউনিমোডাল হয়, তখন এই ব্যবধিটি মোড-কেও ধারণ করে।
• ক্ষুদ্রতম ক্রেডিবল সেট (SCS), যাকে কখনও কখনও সর্বোচ্চ ঘনত্ব অঞ্চল বলা হয়। মাল্টিমোডাল বিন্যাসের ক্ষেত্রে এটি সবসময় একটি ব্যবধি নাও হতে পারে কারণ এটি বিচ্ছিন্ন হতে পারে। এই সেটটি সর্বদা মোড ধারণ করে।
• একটি কোয়ান্টাইল-ভিত্তিক ক্রেডিবল ইন্টারভাল, যা একটি পূর্বনির্ধারিত $\delta \in [0,1-\gamma ]$-এর জন্য ইন্টার-কোয়ান্টাইল ব্যবধি $[q_{\delta },q_{\delta +\gamma }]$ নিয়ে গণনা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, $\gamma$ সম্ভাবনার মধ্যমা ক্রেডিবল ইন্টারভাল (MCI) হলো সেই ব্যবধি যেখানে ব্যবধির নিচে থাকার সম্ভাবনা এবং উপরে থাকার সম্ভাবনা সমান, অর্থাৎ $[q_{(1-\gamma )/2},q_{(1+\gamma )/2}]$ ব্যবধিটি। একে কখনও কখনও ইকুয়াল-টেইলড ইন্টারভাল বলা হয় এবং এটি সর্বদা মধ্যমা ধারণ করে। অন্যান্য কোয়ান্টাইল-ভিত্তিক ক্রেডিবল ইন্টারভাল সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেমন সর্বনিম্ন ক্রেডিবল ইন্টারভাল (LCI) যা হলো $[q_0,q_{\gamma }]$, অথবা সর্বোচ্চ ক্রেডিবল ইন্টারভাল (HCI) যা হলো $[q_{1-\gamma },q_1]$। এই ব্যবধিগুলো সীমাবদ্ধ ভেরিয়েবলের জন্য বেশি উপযুক্ত হতে পারে।

কেউ এমন একটি ব্যবধিও সংজ্ঞায়িত করতে পারেন যার কেন্দ্রীয় বিন্দু হলো গড়, যদি ধরে নেওয়া হয় যে গড়টির অস্তিত্ব আছে।

$\gamma$-ক্ষুদ্রতম ক্রেডিবল সেট ($\gamma$-SCS) সহজেই মাল্টিভ্যারিয়েট ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা যায় এবং এগুলো সম্ভাবনা ঘনত্বের কনট্যুর লাইন দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকে। এগুলো সর্বদা মোড ধারণ করে, কিন্তু অগত্যা গড়, স্থানাঙ্ক-ভিত্তিক মধ্যমা, বা জ্যামিতিক মধ্যমা ধারণ করে না।

ক্রেডিবল ইন্টারভালগুলো মার্কভ চেইন মন্টে কার্লো-এর মতো সিমুলেশন কৌশল ব্যবহার করেও অনুমান করা যেতে পারে।

কনফিডেন্স ইন্টারভালের সাথে বৈপরীত্য

একটি ফ্রিকোয়েন্টিস্ট ৯৫% কনফিডেন্স ইন্টারভাল-এর অর্থ হলো, বিপুল সংখ্যক পুনরাবৃত্তিমূলক নমুনার ক্ষেত্রে, এইভাবে গণনা করা ৯৫% কনফিডেন্স ইন্টারভাল প্রকৃত প্যারামিটার মানটিকে অন্তর্ভুক্ত করবে। ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পরিভাষায়, প্যারামিটারটি স্থির (সম্ভাব্য মানের কোনো বিন্যাস আছে বলে ধরা যায় না) এবং কনফিডেন্স ইন্টারভালটি র‍্যান্ডম (কারণ এটি র‍্যান্ডম নমুনার উপর নির্ভর করে)।

বেয়েসিয়ান ক্রেডিবল ইন্টারভালগুলো দুটি প্রধান দিক থেকে ফ্রিকোয়েন্টিস্ট কনফিডেন্স ইন্টারভাল থেকে আলাদা:

• ক্রেডিবল ইন্টারভাল হলো এমন ব্যবধি যার মানগুলোর একটি (পোস্টেরিয়র) সম্ভাবনা ঘনত্ব থাকে, যা প্যারামিটারটির ওই মানগুলো ধারণ করার যৌক্তিকতা নির্দেশ করে। অন্যদিকে, কনফিডেন্স ইন্টারভাল জনসংখ্যা প্যারামিটারকে স্থির হিসেবে বিবেচনা করে এবং তাই এটি সম্ভাবনার বিষয় নয়। কনফিডেন্স ইন্টারভালের ক্ষেত্রে, কনফিডেন্স বা আস্থা বলতে পুনরাবৃত্তিমূলক ট্রায়ালের অধীনে কনফিডেন্স ইন্টারভালের র‍্যান্ডমনেসকে বোঝায়, যেখানে ক্রেডিবল ইন্টারভাল হাতে থাকা তথ্যের ভিত্তিতে লক্ষ্য প্যারামিটারের অনিশ্চয়তা বিশ্লেষণ করে।

• ক্রেডিবল ইন্টারভাল এবং কনফিডেন্স ইন্টারভাল নিউজেন্স প্যারামিটার-এর সাথে সম্পূর্ণ ভিন্নভাবে আচরণ করে।

একটি একক প্যারামিটার এবং এমন তথ্যের ক্ষেত্রে যা একটি একক সাফিসিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক-এ সংক্ষিপ্ত করা যায়, এটি দেখানো যেতে পারে যে ক্রেডিবল ইন্টারভাল এবং কনফিডেন্স ইন্টারভাল মিলে যায় যদি অজানা প্যারামিটারটি একটি লোকেশন প্যারামিটার হয় (অর্থাৎ ফরোয়ার্ড সম্ভাবনা ফাংশনটির রূপ $\mathrm{P}\mathrm{r}(x|\mu )=f(x-\mu )$), এবং প্রায়রটি একটি ইউনিফর্ম ফ্ল্যাট বিন্যাস হয়; এবং যদি অজানা প্যারামিটারটি একটি স্কেল প্যারামিটার হয় (অর্থাৎ ফরোয়ার্ড সম্ভাবনা ফাংশনটির রূপ $\mathrm{P}\mathrm{r}(x|s)=f(x/s)$), এবং একটি জেফ্রিস প্রায়র $\mathrm{P}\mathrm{r}(s|I)\propto 1/s$ থাকে — পরেরটি ঘটে কারণ এই ধরনের স্কেল প্যারামিটারের লগারিদম নিলে তা ইউনিফর্ম বিন্যাসসহ একটি লোকেশন প্যারামিটারে পরিণত হয়। তবে এগুলো স্বতন্ত্রভাবে বিশেষ (যদিও গুরুত্বপূর্ণ) ক্ষেত্র; সাধারণভাবে এমন কোনো সমতা তৈরি করা যায় না।

আরও পড়ুন

• Bolstad, William M.; Curran, James M.. (2016). "Introduction to Bayesian Statistics". 237–253. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-09156-2.

inference

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Credible interval” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Credible_interval এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।