সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম

সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম
field	সম্ভাবনা তত্ত্ব
type	উপপাদ্য
statement	সসীম ধনাত্মক ভেদাঙ্ক বিশিষ্ট i.i.d. দৈব চলকের একটি অনুক্রমের স্কেল করা সমষ্টি বিন্যাসের দিক থেকে নরমাল বিন্যাসে অভিসারী হয়।
generalizations	লিন্ডবার্গের সিএলটি

সম্ভাবনা তত্ত্বে, সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম (সিএলটি) বা কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য অনুযায়ী, উপযুক্ত শর্তাধীনে, নমুনার গড়ের একটি নরমালাইজড সংস্করণের বিন্যাস একটি স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিন্যাসে অভিসারী হয়। মূল চলকগুলো নিজেরা নরমাল বিন্যস্ত না হলেও এটি কার্যকর থাকে। সিএলটি-এর বেশ কয়েকটি সংস্করণ রয়েছে, যার প্রতিটি ভিন্ন ভিন্ন শর্তের প্রেক্ষাপটে প্রযোজ্য।

এই উপপাদ্যটি সম্ভাবনা তত্ত্বের একটি মূল ধারণা, কারণ এটি নির্দেশ করে যে নরমাল বিন্যাসের জন্য কার্যকর সম্ভাবনা ও পরিসংখ্যানগত পদ্ধতিগুলো অন্যান্য ধরনের বিন্যাসযুক্ত অনেক সমস্যার ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা যেতে পারে।

সম্ভাবনা তত্ত্বের আনুষ্ঠানিক বিকাশের সময় এই উপপাদ্যটি অনেক পরিবর্তনের মধ্য দিয়ে গেছে। উপপাদ্যটির পূর্ববর্তী সংস্করণগুলো ১৮১১ সালের দিকে পাওয়া যায়, তবে এর আধুনিক রূপটি কেবল ১৯২০-এর দশকে সঠিকভাবে বিবৃত হয়েছিল।(Fischer, 2011, p. July 2023)

পরিসংখ্যানে, সিএলটি-কে এভাবে বিবৃত করা যেতে পারে: ধরা যাক $X_1,X_2,\dots ,X_n$ হলো $n$ আকারের একটি পরিসংখ্যানগত নমুনা, যা এমন একটি পপুলেশন থেকে নেওয়া হয়েছে যার প্রত্যাশিত মান (গড়) $\mu$ এবং সসীম ধনাত্মক ভেদাঙ্ক ${\sigma }^2$। ধরা যাক ${\overline{X}}_n$ হলো নমুনার গড় (যা নিজেই একটি দৈব চলক)। তাহলে $n\to \mathrm{\infty }$ সীমার মধ্যে $({\overline{X}}_n-\mu )\sqrt{n}$-এর বিন্যাস হলো একটি নরমাল বিন্যাস, যার গড় $0$ এবং ভেদাঙ্ক ${\sigma }^2$।

অন্য কথায়, যদি পর্যবেক্ষণের একটি বৃহৎ নমুনা সংগ্রহ করা হয়, যেখানে প্রতিটি পর্যবেক্ষণ এমনভাবে দৈবভাবে তৈরি হয় যা অন্য পর্যবেক্ষণের মানের ওপর নির্ভর করে না এবং পর্যবেক্ষণ করা মানগুলোর গড় (গাণিতিক গড়) গণনা করা হয়। যদি এই প্রক্রিয়াটি অনেকবার সম্পাদন করা হয় এবং পর্যবেক্ষণ করা গড়গুলোর একটি সংগ্রহ পাওয়া যায়, তবে সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম বলে যে নমুনার আকার যথেষ্ট বড় হলে, এই গড়গুলোর সম্ভাবনা বিন্যাস খুব কাছাকাছি একটি নরমাল বিন্যাসকে নির্দেশ করবে।

সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেমের বেশ কয়েকটি রূপভেদ রয়েছে। এর সাধারণ রূপে, দৈব চলকগুলোকে অবশ্যই স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত (i.i.d.) হতে হবে। এই প্রয়োজনীয়তাটি শিথিল করা যেতে পারে; অভিন্ন নয় এমন বিন্যাসের ক্ষেত্রে বা স্বাধীন নয় এমন পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রেও যদি তারা নির্দিষ্ট শর্ত মেনে চলে, তবে গড়ের নরমাল বিন্যাসে অভিসরণ ঘটে।

এই উপপাদ্যের প্রাচীনতম সংস্করণটি হলো দ্য মোইভর-লাপ্লাস উপপাদ্য, যা বলে যে নরমাল বিন্যাসকে দ্বিপদী বিন্যাসের আসন্ন মান হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে।

স্বাধীন অনুক্রম

পপুলেশন বিন্যাস যে আকারেই থাকুক না কেন, নমুনার বিন্যাসটি গাউসিয়ান বিন্যাসের দিকে ধাবিত হয় এবং এর বিচ্ছুরণ সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম দ্বারা প্রদত্ত হয়।

ধ্রুপদী সিএলটি

ধরা যাক $(X_n{)}_{n\ge 1}$ হলো স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত দৈব চলকের একটি অনুক্রম, যার বিন্যাসের প্রত্যাশিত মান $\mu$ এবং সসীম ভেদাঙ্ক ${\sigma }^2$। ধরা যাক আমরা নমুনার গড় নিয়ে আগ্রহী

$${\overline{X}}_n\equiv \frac{X_1+\cdots +X_n}{n}.$$

বৃহৎ সংখ্যার সূত্র অনুযায়ী, $n\to \mathrm{\infty }$ হলে নমুনার গড় প্রত্যাশিত মান $\mu$-এর দিকে প্রায় নিশ্চিতভাবে অভিসারী হয় (এবং তাই সম্ভাবনায়ও অভিসারী হয়)।

ধ্রুপদী সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম এই অভিসরণের সময় নির্ণায়ক সংখ্যা $\mu$-এর চারপাশে স্টোকাস্টিক ওঠানামার আকার এবং বিন্যাসগত রূপ বর্ণনা করে। আরও স্পষ্টভাবে, এটি বলে যে $n$ যত বড় হয়, নরমালাইজড গড় $\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )$-এর বিন্যাস, অর্থাৎ নমুনার গড় ${\overline{X}}_n$ এবং এর সীমা $\mu$-এর পার্থক্য, যা $\sqrt{n}$ গুণক দ্বারা স্কেল করা, তা গড় $0$ এবং ভেদাঙ্ক ${\sigma }^2$ বিশিষ্ট নরমাল বিন্যাসের কাছাকাছি পৌঁছায়। যথেষ্ট বড় $n$-এর জন্য, ${\overline{X}}_n$-এর বিন্যাস গড় $\mu$ এবং ভেদাঙ্ক ${\sigma }^2/n$ বিশিষ্ট নরমাল বিন্যাসের খুব কাছাকাছি চলে আসে।

এই উপপাদ্যের উপযোগিতা হলো যে, পৃথক $X_i$-এর বিন্যাসের আকার যাই হোক না কেন, $\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )$-এর বিন্যাস নরমাল বিন্যাসের দিকে ধাবিত হয়। আনুষ্ঠানিকভাবে, উপপাদ্যটি নিম্নরূপ:

লিন্ডবার্গ–লেভি সিএলটি \mathcal{N}\left(0,\sigma^2\right) .</math>}}

$\sigma >0$ এর ক্ষেত্রে, বিন্যাসে অভিসরণ মানে হলো $\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )$-এর কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনগুলো ${𝒩}(0,{\sigma }^2)$ বিন্যাসের সিডিএফ-এর দিকে পয়েন্টওয়াইজ অভিসারী হয়: প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা $z$-এর জন্য,

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{\mathbb{P}}[\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )\le z]=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{\mathbb{P}}[\frac{\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )}{\sigma }\le \frac{z}{\sigma }]=\mathrm{\Phi }\left(\frac{z}{\sigma }\right),$$

যেখানে $\mathrm{\Phi }(z)$ হলো $z$-এ নির্ণীত স্ট্যান্ডার্ড নরমাল সিডিএফ। এই অভিসরণ $z$-এর ক্ষেত্রে সুষম (uniform), অর্থাৎ

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{z\in \mathbb{ℝ}}{\sup }|\mathbb{\mathbb{P}}[\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )\le z]-\mathrm{\Phi }\left(\frac{z}{\sigma }\right)|=0,$$

যেখানে $\sup$ বলতে সেটের সুপ্রিমাম (অর্থাৎ ক্ষুদ্রতম ঊর্ধ্বসীমা) বোঝায়।(Bauer, 2001, p. 199, Theorem 30.13)

লিয়াপুনভ সিএলটি

সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেমের এই রূপভেদে দৈব চলক $X_i$-গুলোকে স্বাধীন হতে হয়, কিন্তু অভিন্নভাবে বিন্যস্ত হওয়ার প্রয়োজন নেই। উপপাদ্যটির জন্য আরও প্রয়োজন যে দৈব চলক $\left|X_i\right|$-এর কিছু ক্রমের মোমেন্ট $(2+\delta )$ থাকতে হবে এবং এই মোমেন্টগুলোর বৃদ্ধির হার নিচে দেওয়া লিয়াপুনভ শর্ত দ্বারা সীমাবদ্ধ হতে হবে।

লিয়াপুনভ সিএলটি(Billingsley, 1995, p. 362) \, \sum_{i=1}^{n} \operatorname E\left[\left|X_{i} - \mu_{i}\right|^{2+\delta}\right] = 0</math>

পূরণ হয়, তবে $\frac{X_i-{\mu }_i}{s_n}$-এর সমষ্টি $n$ অসীমের দিকে ধাবিত হলে বিন্যাসে একটি স্ট্যান্ডার্ড নরমাল দৈব চলকের দিকে অভিসারী হয়:

$$\frac{1}{s_n}\sum _{i=1}^n(X_i-{\mu }_i)\stackrel{d}{⟶}{𝒩}(0,1).$$ }}

বাস্তবে সাধারণত $\delta =1$ এর জন্য লিয়াপুনভের শর্ত পরীক্ষা করা সবচেয়ে সহজ।

যদি দৈব চলকের একটি অনুক্রম লিয়াপুনভের শর্ত পূরণ করে, তবে তা লিন্ডবার্গের শর্তও পূরণ করে। তবে বিপরীতটি সত্য নয়।

লিন্ডবার্গ (-ফেলার) সিএলটি

মূল নিবন্ধ: লিন্ডবার্গের শর্ত

উপরের একই প্রেক্ষাপট এবং নোটেশনে, লিয়াপুনভ শর্তটিকে নিচের দুর্বল শর্ত দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে (১৯২০ সালে লিন্ডবার্গ থেকে প্রাপ্ত)।

ধরা যাক প্রতিটি $\epsilon >0$ এর জন্য,

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{s_n^2}\sum _{i=1}^n\mathrm{E}[(X_i-{\mu }_i{)}^2\cdot {\mathbf{𝟏}}_{\{|X_i-{\mu }_i|>\epsilon s_n\}}]=0$$

যেখানে ${\mathbf{𝟏}}_{\{\dots \}}$ হলো ইন্ডিকেটর ফাংশন। তাহলে স্ট্যান্ডার্ডাইজড সমষ্টিগুলোর বিন্যাস

$$\frac{1}{s_n}\sum _{i=1}^n(X_i-{\mu }_i)$$

স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিন্যাস ${𝒩}(0,1)$-এর দিকে অভিসারী হয়।

দৈব চলকের দৈব সংখ্যার সমষ্টির জন্য সিএলটি

দৈব চলকের একটি পূর্ণসংখ্যা $n$ যোগ করে $n\to \mathrm{\infty }$ নেওয়ার পরিবর্তে, সমষ্টিটি দৈব চলকের একটি দৈব সংখ্যা $N$-এর হতে পারে, যেখানে $N$-এর ওপর শর্ত থাকে। উদাহরণস্বরূপ, নিচের উপপাদ্যটি রবিন্স (১৯৪৮)-এর উপপাদ্য ৪। এটি ধরে নেয় যে $N$ অ্যাসিম্পটোটিক্যালি নরমাল (রবিন্স অন্যান্য শর্তও তৈরি করেছিলেন যা একই ফলাফলের দিকে নিয়ে যায়)।

রবিন্স সিএলটি \xrightarrow{\quad d \quad} \mathcal{N}(0,1) </math>

যেখানে $\stackrel{d}{\to }$ বিন্যাসে অভিসরণ নির্দেশ করে এবং ${𝒩}(0,1)$ হলো গড় 0, ভেদাঙ্ক 1 বিশিষ্ট নরমাল বিন্যাস। তাহলে

$$\frac{\sum _{i=1}^{N_n}{X}_i-\mu E(N_n)}{\sqrt{{\sigma }^{2}E(N_n)+{\mu }^2\text{Var}(N_n)}}\stackrel{d}{\to }{𝒩}(0,1)$$ }}

বহুমাত্রিক সিএলটি

ক্যারেক্টারিস্টিক ফাংশন ব্যবহার করে করা প্রমাণগুলো এমন ক্ষেত্রে প্রসারিত করা যেতে পারে যেখানে প্রতিটি পৃথক ${\mathbf{𝐗}}_i$ হলো ${\mathbb{ℝ}}^k$-এ একটি দৈব ভেক্টর, যার গড় ভেক্টর $\mathit{\mu }=\mathrm{E}[{\mathbf{𝐗}}_i]$ এবং কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স $\mathrm{\Sigma }$ (ভেক্টরের উপাদানগুলোর মধ্যে), এবং এই দৈব ভেক্টরগুলো স্বাধীন ও অভিন্নভাবে বিন্যস্ত। বহুমাত্রিক সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম বলে যে স্কেল করার পর, সমষ্টিগুলো একটি মাল্টিভ্যারিয়েট নরমাল বিন্যাসে অভিসারী হয়। এই ভেক্টরগুলোর যোগফল উপাদান অনুযায়ী করা হয়।

$i=1,2,3,\dots ,$ এর জন্য, ধরা যাক

$${\mathbf{𝐗}}_i=\left[\begin{array}{c}{X}_i^{(1)}\\ ⋮\\ X_i^{(k)}\end{array}\right]$$

হলো স্বাধীন দৈব ভেক্টর। দৈব ভেক্টর ${\mathbf{𝐗}}_1,\dots ,{\mathbf{𝐗}}_n$-এর সমষ্টি হলো

$$\sum _{i=1}^n{\mathbf{𝐗}}_i=\left[\begin{array}{c}{X}_1^{(1)}\\ ⋮\\ X_1^{(k)}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{X}_2^{(1)}\\ ⋮\\ X_2^{(k)}\end{array}\right]+\cdots +\left[\begin{array}{c}{X}_n^{(1)}\\ ⋮\\ X_n^{(k)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sum _{i=1}^n{X}_i^{(1)}\\ ⋮\\ \sum _{i=1}^n{X}_i^{(k)}\end{array}\right]$$

এবং তাদের গড় হলো

$${\overline{\mathbf{X}}}_{\mathbf{𝐧}}=\left[\begin{array}{c}{\overline{X}}_i^{(1)}\\ ⋮\\ {\overline{X}}_i^{(k)}\end{array}\right]=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\mathbf{𝐗}}_i.$$

অতএব,

$$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{i=1}^n[{\mathbf{𝐗}}_i-\mathrm{E}\left({\mathbf{𝐗}}_i\right)]=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{i=1}^n({\mathbf{𝐗}}_i-\mathit{\mu })=\sqrt{n}({\overline{\mathbf{𝐗}}}_n-\mathit{\mu }).$$

বহুমাত্রিক সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম বলে যে

$$\sqrt{n}({\overline{\mathbf{𝐗}}}_n-\mathit{\mu })\stackrel{d}{⟶}{{𝒩}}_k(0,\mathrm{\Sigma }),$$ যেখানে কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স $\mathrm{\Sigma }$ সমান $$\mathrm{\Sigma }=\left[\begin{array}{ccccc}\mathrm{Var}\left(X_1^{(1)}\right)& \mathrm{Cov}(X_1^{(1)},X_1^{(2)})& \mathrm{Cov}(X_1^{(1)},X_1^{(3)})& \cdots & \mathrm{Cov}(X_1^{(1)},X_1^{(k)})\\ \mathrm{Cov}(X_1^{(2)},X_1^{(1)})& \mathrm{Var}\left(X_1^{(2)}\right)& \mathrm{Cov}(X_1^{(2)},X_1^{(3)})& \cdots & \mathrm{Cov}(X_1^{(2)},X_1^{(k)})\\ \mathrm{Cov}(X_1^{(3)},X_1^{(1)})& \mathrm{Cov}(X_1^{(3)},X_1^{(2)})& \mathrm{Var}\left(X_1^{(3)}\right)& \cdots & \mathrm{Cov}(X_1^{(3)},X_1^{(k)})\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \mathrm{Cov}(X_1^{(k)},X_1^{(1)})& \mathrm{Cov}(X_1^{(k)},X_1^{(2)})& \mathrm{Cov}(X_1^{(k)},X_1^{(3)})& \cdots & \mathrm{Var}\left(X_1^{(k)}\right)\\ \end{array}\right].$$

বহুমাত্রিক সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম ক্র্যামার-ওল্ড উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রমাণ করা যেতে পারে।

অভিসরণের হার নিচের বেরি-এসেন ধরনের ফলাফল দ্বারা প্রদত্ত:

_2</math> ${\mathbb{ℝ}}^d$-এ ইউক্লিডীয় নর্ম নির্দেশ করে।

$d^{1/4}$ গুণকটি প্রয়োজনীয় কি না তা অজানা।

সাধারণীকৃত সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম

সাধারণীকৃত সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম (GCLT) ছিল ১৯২০ থেকে ১৯৩৭ সালের মধ্যে একাধিক গণিতবিদের (সের্গেই বার্নস্টাইন, জার্ল ভালদেমার লিন্ডবার্গ, পল লেভি, উইলিয়াম ফেলার, আন্দ্রে কোলমোগোরভ এবং অন্যান্য) একটি প্রচেষ্টা। GCLT-এর প্রথম প্রকাশিত সম্পূর্ণ প্রমাণটি ১৯৩৭ সালে ফরাসি ভাষায় পল লেভি দিয়েছিলেন। GCLT-এর সম্পূর্ণ প্রমাণের একটি ইংরেজি সংস্করণ বরিস ভ্লাদিমিরোভিচ গ্নেদেঙ্কো এবং কোলমোগোরভের ১৯৫৪ সালের বইয়ের অনুবাদে পাওয়া যায়।

GCLT-এর বিবৃতিটি নিম্নরূপ:

সাধারণীকৃত সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম-এর বিবৃতি

অন্য কথায়, যদি স্বাধীন, অভিন্নভাবে বিন্যস্ত দৈব চলকের সমষ্টি কোনো Z-এর দিকে বিন্যাসে অভিসারী হয়, তবে Z-কে অবশ্যই একটি স্থিতিশীল বিন্যাস হতে হবে।

নির্ভরশীল প্রক্রিয়া

দুর্বল নির্ভরতার অধীনে সিএলটি

স্বাধীন, অভিন্নভাবে বিন্যস্ত দৈব চলকের একটি অনুক্রমের একটি দরকারী সাধারণীকরণ হলো বিচ্ছিন্ন সময়ে একটি মিক্সিং দৈব প্রক্রিয়া; "মিক্সিং" মানে, মোটামুটিভাবে, সাময়িকভাবে একে অপরের থেকে দূরে থাকা দৈব চলকগুলো প্রায় স্বাধীন। এরগডিক তত্ত্ব এবং সম্ভাবনা তত্ত্বে বিভিন্ন ধরনের মিক্সিং ব্যবহৃত হয়। বিশেষ করে স্ট্রং মিক্সিং (যাকে α-মিক্সিংও বলা হয়) দেখুন, যা $\alpha (n)\to 0$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত, যেখানে $\alpha (n)$ হলো তথাকথিত স্ট্রং মিক্সিং কোফিসিয়েন্ট।

স্ট্রং মিক্সিংয়ের অধীনে সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেমের একটি সরলীকৃত রূপ হলো:(Billingsley, 1995, Theorem 27.4)

ধরা যাক $\{X_1,\dots ,X_n,\dots \}$ হলো স্টেশনারি এবং $\alpha$-মিক্সিং, যেখানে ${\alpha }_n=O\left(n^{-5}\right)$ এবং $\mathrm{E}[X_n]=0$ ও $\mathrm{E}[X_n^{12}]<\mathrm{\infty }$। নির্দেশ করি $S_n=X_1+\cdots +X_n$, তাহলে সীমা

$${\sigma }^2=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{E}\left(S_n^2\right)}{n}$$

বিদ্যমান, এবং যদি $\sigma \ne 0$ হয় তবে Failed to parse (syntax error): {\textstyle \frac{S_n}{\sigma\sqrt{n} বিন্যাসে ${𝒩}(0,1)$-এর দিকে অভিসারী হয়। }}

বস্তুত,

$${\sigma }^2=\mathrm{E}\left(X_1^2\right)+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{E}\left(X_1{X}_{1+k}\right),$$

যেখানে সিরিজটি পরমভাবে অভিসারী।

$\sigma \ne 0$ অনুমানটি বাদ দেওয়া যায় না, কারণ $X_n=Y_n-Y_{n-1}$-এর জন্য অ্যাসিম্পটোটিক নরমালিটি ব্যর্থ হয়, যেখানে $Y_n$ হলো অন্য একটি স্টেশনারি অনুক্রম।

উপপাদ্যটির একটি শক্তিশালী সংস্করণ রয়েছে:(Durrett, 2004, Sect. 7.7(c), Theorem 7.8) $\mathrm{E}\left[X_n^{12}\right]<\mathrm{\infty }$ অনুমানটিকে Failed to parse (syntax error): {\textstyle \operatorname E\left[{\left দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয়, এবং <math display="inline">\alpha_n = O\left(n^{-5}\right) } অনুমানটিকে প্রতিস্থাপন করা হয়

$$\sum _n{\alpha }_n^{\frac{\delta }{2(2+\delta )}}<\mathrm{\infty }.$$

এমন $\delta >0$-এর অস্তিত্ব উপসংহার নিশ্চিত করে। মিক্সিং শর্তের অধীনে সীমা উপপাদ্যের বিশ্বকোষীয় চিকিৎসার জন্য (Bradley, 2007) দেখুন।

মার্টিঙ্গেল ডিফারেন্স সিএলটি

মূল নিবন্ধ: মার্টিঙ্গেল সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম

>\varepsilon\sqrt{n}\right]\right]} \to 0 </math> যখন n → ∞,

তাহলে Failed to parse (syntax error): {\textstyle \frac{M_n}{\sqrt{n} বিন্যাসে ${𝒩}(0,1)$-এর দিকে অভিসারী হয়, যখন $n\to \mathrm{\infty }$।(Durrett, 2004, Sect. 7.7, Theorem 7.4)(Billingsley, 1995, Theorem 35.12) }}

মন্তব্য

ধ্রুপদী সিএলটি-এর প্রমাণ

সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেমের একটি প্রমাণ ক্যারেক্টারিস্টিক ফাংশন ব্যবহার করে করা যায়। এটি বৃহৎ সংখ্যার সূত্রের (দুর্বল) প্রমাণের অনুরূপ।

ধরা যাক $\{X_1,\dots ,X_n,\dots \}$ হলো স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত দৈব চলক, যার প্রতিটির গড় $\mu$ এবং সসীম ভেদাঙ্ক ${\sigma }^2$। সমষ্টি $X_1+\cdots +X_n$-এর গড় $n\mu$ এবং ভেদাঙ্ক $n{\sigma }^2$। দৈব চলকটি বিবেচনা করি

$$Z_n=\frac{X_1+\cdots +X_n-n\mu }{\sqrt{n{\sigma }^2}}=\sum _{i=1}^n\frac{X_i-\mu }{\sqrt{n{\sigma }^2}}=:\sum _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{n}}{Y}_i,$$

যেখানে শেষ ধাপটি নতুন দৈব চলক $Y_i:=\frac{X_i-\mu }{\sigma }$ সংজ্ঞায়িত করে, যার প্রতিটির গড় শূন্য এবং একক ভেদাঙ্ক ($\mathrm{var}(Y)=1$)। $Z_n$-এর ক্যারেক্টারিস্টিক ফাংশন প্রদত্ত

$$\begin{array}{rl}{\phi }_{Z_n}(t)={\phi }_{\sum _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{n}}{Y}_i}(t)& ={\phi }_{Y_1}\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right){\phi }_{Y_2}\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\cdots {\phi }_{Y_n}\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\\ & ={\left[{\phi }_{Y_1}\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right]}^n,\end{array}$$

যেখানে শেষ ধাপটি এই তথ্যের ওপর নির্ভর করে যে সকল $Y_i$ অভিন্নভাবে বিন্যস্ত। $Y_1$-এর ক্যারেক্টারিস্টিক ফাংশন হলো, টেলরের উপপাদ্য অনুযায়ী, $${\phi }_{Y_1}\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)=1-\frac{t^2}{2n}+o\left(\frac{t^2}{n}\right),\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\to 0$$

যেখানে $o(t^2/n)$ হলো "লিটল o নোটেশন" এমন একটি ফাংশনের জন্য যা $t^2/n$-এর চেয়ে দ্রুত শূন্যের দিকে যায়। সূচকীয় ফাংশনের সীমা ($e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n$) অনুযায়ী, $Z_n$-এর ক্যারেক্টারিস্টিক ফাংশন সমান

$${\phi }_{Z_n}(t)={(1-\frac{t^2}{2n}+o\left(\frac{t^2}{n}\right))}^n\to e^{-\frac{1}{2}{t}^2},n\to \mathrm{\infty }.$$

উচ্চতর ক্রমের সকল পদ সীমার মধ্যে বিলুপ্ত হয়ে যায় $n\to \mathrm{\infty }$। ডানদিকের অংশটি একটি স্ট্যান্ডার্ড নরমাল বিন্যাস ${𝒩}(0,1)$-এর ক্যারেক্টারিস্টিক ফাংশনের সমান, যা লেভির ধারাবাহিকতা উপপাদ্যের মাধ্যমে নির্দেশ করে যে $Z_n$-এর বিন্যাস $n\to \mathrm{\infty }$ হলে ${𝒩}(0,1)$-এর দিকে ধাবিত হবে। অতএব, নমুনার গড়

$${\overline{X}}_n=\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}$$

এমন যে

$$\frac{\sqrt{n}}{\sigma }({\overline{X}}_n-\mu )=Z_n$$

নরমাল বিন্যাস ${𝒩}(0,1)$-এর দিকে অভিসারী হয়, যা থেকে সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম অনুসরণ করে।

সীমার দিকে অভিসরণ

সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম কেবল একটি অ্যাসিম্পটোটিক বিন্যাস দেয়। পর্যবেক্ষণের একটি সসীম সংখ্যার জন্য আসন্ন মান হিসেবে, এটি কেবল নরমাল বিন্যাসের চূড়ার কাছাকাছি থাকলেই একটি যুক্তিসঙ্গত আসন্ন মান প্রদান করে; লেজগুলোর দিকে প্রসারিত হতে এটি খুব বড় সংখ্যক পর্যবেক্ষণের প্রয়োজন হয়।

সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেমে অভিসরণ হলো সুষম, কারণ সীমাবদ্ধ কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনটি ধারাবাহিক। যদি তৃতীয় কেন্দ্রীয় মোমেন্ট $\mathrm{E}[(X_1-\mu {)}^3]$ বিদ্যমান এবং সসীম হয়, তবে অভিসরণের গতি অন্তত $1/\sqrt{n}$ ক্রমের (দেখুন বেরি-এসেন উপপাদ্য)। স্টেইনের পদ্ধতি কেবল সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম প্রমাণ করতেই নয়, বরং নির্বাচিত মেট্রিকগুলোর জন্য অভিসরণের হারের সীমা প্রদান করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে।

নরমাল বিন্যাসের দিকে অভিসরণটি একঘেয়ে (monotonic), এই অর্থে যে $Z_n$-এর এনট্রপি নরমাল বিন্যাসের এনট্রপির দিকে একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায়।

কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যটি বিশেষত স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত বিচ্ছিন্ন দৈব চলক-এর সমষ্টির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। বিচ্ছিন্ন দৈব চলক-এর সমষ্টিও একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক, তাই আমরা এমন একগুচ্ছ বিচ্ছিন্ন দৈব চলক-এর সম্মুখীন হই যাদের ক্রমযোজিত সম্ভাবনা বিন্যাস অপেক্ষক একটি অবিচ্ছিন্ন চলকের (অর্থাৎ নরমাল বিন্যাস-এর) ক্রমযোজিত সম্ভাবনা বিন্যাস অপেক্ষকের দিকে ধাবিত হয়। এর অর্থ হলো, যদি আমরা n সংখ্যক স্বাধীন অভিন্ন বিচ্ছিন্ন চলকের সমষ্টির বাস্তবায়নের একটি হিস্টোগ্রাম তৈরি করি, তবে হিস্টোগ্রাম গঠনকারী আয়তক্ষেত্রগুলোর উপরের তলের কেন্দ্রগুলোকে যুক্তকারী খণ্ডশঃ-রৈখিক বক্ররেখাটি n-এর মান অসীমের দিকে অগ্রসর হওয়ার সাথে সাথে একটি গাউসীয় বক্ররেখার দিকে ধাবিত হয়; এই সম্পর্কটি দ্য মোইভর–ল্যাপলাস উপপাদ্য নামে পরিচিত। দ্বিপদী বিন্যাস নিবন্ধে কেবল দুটি সম্ভাব্য মান গ্রহণকারী একটি বিচ্ছিন্ন চলকের সরল ক্ষেত্রে কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের এই ধরনের প্রয়োগ বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে।

সাধারণ ভুল ধারণা

গবেষণায় দেখা গেছে যে, কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যটি বেশ কিছু সাধারণ কিন্তু গুরুতর ভুল ধারণার শিকার, যার মধ্যে কয়েকটি বহুল ব্যবহৃত পাঠ্যপুস্তকেও দেখা যায়। এর মধ্যে রয়েছে:

• এই ভুল ধারণা যে, উপপাদ্যটি যেকোনো চলকের দৈব নমুনার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, অথচ এটি মূলত বারবার নমুনা সংগ্রহের মাধ্যমে কোনো পপুলেশন থেকে আহরণ করা iid দৈব চলকের গড় মান (বা সমষ্টি)-এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। অর্থাৎ, উপপাদ্যটি ধরে নেয় যে দৈব নমুনায়ন এমন একটি নমুনা বিন্যাস তৈরি করে যা এই ধরনের দৈব চলকের বিভিন্ন গড় (বা সমষ্টি) থেকে গঠিত।
• এই ভুল ধারণা যে, উপপাদ্যটি নিশ্চিত করে যে যেকোনো দৈব চলকের পর্যাপ্ত বড় নমুনার ক্ষেত্রে পপুলেশন বিন্যাস নির্বিশেষে একটি নরমাল বিন্যাস তৈরি হবে। বাস্তবে, এই ধরনের নমুনায়ন অসীমতটীয়ভাবে পপুলেশনের বৈশিষ্ট্যগুলোকে পুনরুৎপাদন করে, যা গ্লিভেঙ্কো–ক্যান্টেলি উপপাদ্য দ্বারা সমর্থিত একটি স্বজ্ঞাত ফলাফল।
• এই ভুল ধারণা যে, উপপাদ্যটি প্রায় ৩০-এর বেশি নমুনার আকারের জন্য নরমাল বিন্যাসের একটি ভালো আসন্ন মান প্রদান করে, যা পপুলেশনের প্রকৃতি নির্বিশেষে নির্ভরযোগ্য অনুমান করতে দেয়। বাস্তবে, এই অভিজ্ঞতামূলক নিয়মটির কোনো বৈধ ভিত্তি নেই এবং এটি গুরুতরভাবে ত্রুটিপূর্ণ অনুমানের দিকে নিয়ে যেতে পারে। আসন্ন মানটি কোথায় কার্যকর হয় তা জানতে Z-test দেখুন।

বৃহৎ সংখ্যার সূত্রের সাথে সম্পর্ক

বৃহৎ সংখ্যার সূত্র এবং কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য উভয়ই একটি সাধারণ সমস্যার আংশিক সমাধান: "n অসীমের দিকে অগ্রসর হলে S_n-এর সীমাস্ত আচরণ কী?" গাণিতিক বিশ্লেষণে, এই ধরনের প্রশ্নের সমাধানের জন্য অসীমতটীয় ধারা (asymptotic series) অন্যতম জনপ্রিয় হাতিয়ার।

ধরা যাক, আমাদের কাছে $f(n)$-এর একটি অসীমতটীয় বিস্তার রয়েছে:

$$f(n)=a_1{\phi }_1(n)+a_2{\phi }_2(n)+O({\phi }_3(n))(n\to \mathrm{\infty }).$$

উভয় অংশকে φ₁(n) দ্বারা ভাগ করে সীমা নিলে a₁ পাওয়া যাবে, যা বিস্তারের সর্বোচ্চ ঘাতের সহগ এবং এটি সেই হারকে নির্দেশ করে যে হারে f(n) তার প্রধান পদে পরিবর্তিত হয়।

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(n)}{{\phi }_1(n)}=a_1.$$

অনানুষ্ঠানিকভাবে বলা যায়: "f(n) প্রায় a₁φ₁(n)-এর মতো বৃদ্ধি পায়"। f(n) এবং এর আসন্ন মানের পার্থক্য নিয়ে তাকে বিস্তারের পরবর্তী পদ দ্বারা ভাগ করলে আমরা f(n) সম্পর্কে আরও পরিমার্জিত একটি বিবৃতি পাই:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(n)-a_1{\phi }_1(n)}{{\phi }_2(n)}=a_2.$$

এখানে বলা যেতে পারে যে, ফাংশন এবং এর আসন্ন মানের পার্থক্য প্রায় a₂φ₂(n)-এর হারে বৃদ্ধি পায়। ধারণাটি হলো, ফাংশনটিকে উপযুক্ত নরমালাইজিং ফাংশন দ্বারা ভাগ করে ফলাফলের সীমাস্ত আচরণ পর্যবেক্ষণ করলে মূল ফাংশনটির সীমাস্ত আচরণ সম্পর্কে অনেক কিছু জানা যায়।

অনানুষ্ঠানিকভাবে, স্বাধীন অভিন্ন বিন্যস্ত দৈব চলক X₁, ..., X_n-এর সমষ্টি S_n যখন ধ্রুপদী সম্ভাবনা তত্ত্বে অধ্যয়ন করা হয়, তখন এই ধরনের কিছু ঘটে। যদি প্রতিটি X_i-এর সসীম গড় μ থাকে, তবে বৃহৎ সংখ্যার সূত্র অনুযায়ী, S_n/n → μ। যদি এর পাশাপাশি প্রতিটি X_i-এর সসীম ভেদাঙ্ক σ² থাকে, তবে কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য অনুযায়ী,

$$\frac{S_n-n\mu }{\sqrt{n}}\to \xi ,$$

যেখানে ξ হলো N(0,σ²)-এর মতো বিন্যস্ত। এটি অনানুষ্ঠানিক বিস্তারের প্রথম দুটি ধ্রুবকের মান প্রদান করে:

$$S_n\approx \mu n+\xi \sqrt{n}.$$

যে ক্ষেত্রে X_i-এর সসীম গড় বা ভেদাঙ্ক থাকে না, সেখানেও ভিন্ন কেন্দ্রিকরণ এবং স্কেলিং ফ্যাক্টরসহ স্থানান্তরিত ও পুনঃস্কেলকৃত সমষ্টির অভিসৃতি ঘটতে পারে:

$$\frac{S_n-a_n}{b_n}\to \mathrm{\Xi },$$

অথবা অনানুষ্ঠানিকভাবে

$$S_n\approx a_n+\mathrm{\Xi }{b}_n.$$

যে বিন্যাসগুলো Ξ এভাবে উদ্ভূত হতে পারে, তাদের স্থির (stable) বলা হয়। স্পষ্টতই, নরমাল বিন্যাস স্থির, কিন্তু অন্যান্য স্থির বিন্যাসও রয়েছে, যেমন কোশি বিন্যাস, যার জন্য গড় বা ভেদাঙ্ক সংজ্ঞায়িত নয়। স্কেলিং ফ্যাক্টর b_n যেকোনো c ≥ 1/2-এর জন্য n^c-এর সমানুপাতিক হতে পারে; এটি n-এর একটি ধীর পরিবর্তনশীল ফাংশন দ্বারাও গুণিত হতে পারে।

পুনরাবৃত্ত লগারিদমের সূত্র (law of the iterated logarithm) নির্দিষ্ট করে যে বৃহৎ সংখ্যার সূত্র এবং কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের "মাঝামাঝি" কী ঘটছে। বিশেষত এটি বলে যে, নরমালাইজিং ফাংশন n log log n, যা বৃহৎ সংখ্যার সূত্রের n এবং কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের n-এর আকারের মাঝামাঝি, একটি অ-তুচ্ছ সীমাস্ত আচরণ প্রদান করে।

উপপাদ্যের বিকল্প বিবৃতি

ঘনত্ব ফাংশন

দুই বা ততোধিক স্বাধীন চলকের সমষ্টির ঘনত্ব হলো তাদের ঘনত্বের কনভোলিউশন (যদি এই ঘনত্বগুলো বিদ্যমান থাকে)। সুতরাং কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যকে কনভোলিউশনের অধীনে ঘনত্ব ফাংশনের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কিত একটি বিবৃতি হিসেবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে: কনভোলিউশনের সংখ্যা অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পেলে ঘনত্ব ফাংশনগুলোর কনভোলিউশন নরমাল ঘনত্বের দিকে ধাবিত হয়। এই উপপাদ্যগুলোর জন্য উপরে প্রদত্ত কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের রূপগুলোর চেয়ে শক্তিশালী অনুমানের প্রয়োজন হয়। এই ধরনের উপপাদ্যকে প্রায়শই স্থানীয় সীমা উপপাদ্য বলা হয়। স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত দৈব চলক-এর সমষ্টির জন্য একটি নির্দিষ্ট স্থানীয় সীমা উপপাদ্যের ক্ষেত্রে পেট্রভ দেখুন।

ক্যারেক্টারিস্টিক ফাংশন

যেহেতু কনভোলিউশনের ক্যারেক্টারিস্টিক ফাংশন হলো সংশ্লিষ্ট ঘনত্বগুলোর ক্যারেক্টারিস্টিক ফাংশনের গুণফল, তাই কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের আরেকটি পুনঃবিবৃতি রয়েছে: উপরে উল্লিখিত শর্তাবলির অধীনে, ঘনত্ব ফাংশনগুলোর সংখ্যা অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পেলে তাদের ক্যারেক্টারিস্টিক ফাংশনের গুণফল নরমাল ঘনত্বের ক্যারেক্টারিস্টিক ফাংশনের কাছাকাছি চলে আসে। বিশেষত, ক্যারেক্টারিস্টিক ফাংশনের আর্গুমেন্টে একটি উপযুক্ত স্কেলিং ফ্যাক্টর প্রয়োগ করতে হয়।

ফুরিয়ার রূপান্তর-এর ক্ষেত্রেও একটি সমতুল্য বিবৃতি দেওয়া যেতে পারে, কারণ ক্যারেক্টারিস্টিক ফাংশন মূলত একটি ফুরিয়ার রূপান্তর।

ভেদাঙ্ক গণনা

ধরা যাক S_n হলো n সংখ্যক দৈব চলকের সমষ্টি। অনেক কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য এমন শর্ত প্রদান করে যাতে S_n/Var(S_n) বিন্যাসের দিক থেকে N(0,1)-এর (গড় 0, ভেদাঙ্ক 1 বিশিষ্ট নরমাল বিন্যাস) দিকে ধাবিত হয় যখন n → ∞। কিছু ক্ষেত্রে, একটি ধ্রুবক σ² এবং ফাংশন f(n) খুঁজে পাওয়া সম্ভব যাতে S_n/(σn⋅f(n)) বিন্যাসের দিক থেকে N(0,1)-এর দিকে ধাবিত হয় যখন n → ∞।

< \infty</math>, এবং $0<\underset{0}{\overset{1}{\int }}(g(x){)}^{2}dx<\mathrm{\infty }$ হয়, তবে $n\to \mathrm{\infty }$ হলে $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(S_n)/(n{\gamma }_n)\to {\sigma }^2$, যেখানে ${\gamma }_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(g\left(\frac{i}{n}\right)\right)}^2$।

1. যদি এর পাশাপাশি $\sigma >0$ হয় এবং $n\to \mathrm{\infty }$ হলে $S_n/\sqrt{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(S_n)}$ বিন্যাসের দিক থেকে ${𝒩}(0,1)$-এর দিকে ধাবিত হয়, তবে $n\to \mathrm{\infty }$ হলে $S_n/(\sigma \sqrt{n{\gamma }_n})$-ও বিন্যাসের দিক থেকে ${𝒩}(0,1)$-এর দিকে ধাবিত হয়।

সম্প্রসারণ

ধনাত্মক দৈব চলকের গুণফল

একটি গুণফলের লগারিদম হলো গুণকগুলোর লগারিদমের সমষ্টি। অতএব, যখন শুধুমাত্র ধনাত্মক মান গ্রহণকারী দৈব চলকের গুণফলের লগারিদম একটি নরমাল বিন্যাসের দিকে ধাবিত হয়, তখন গুণফলটি নিজেই একটি লগ-নরমাল বিন্যাস-এর দিকে ধাবিত হয়। অনেক ভৌত রাশি (বিশেষত ভর বা দৈর্ঘ্য, যা স্কেলের বিষয় এবং ঋণাত্মক হতে পারে না) বিভিন্ন দৈব গুণকের গুণফল, তাই তারা একটি লগ-নরমাল বিন্যাস অনুসরণ করে। দৈব চলকের সমষ্টির জন্য কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের এই গুণিতক সংস্করণটিকে কখনও কখনও জিব্রাটের সূত্র বলা হয়।

যেখানে দৈব চলকের সমষ্টির জন্য কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের ক্ষেত্রে সসীম ভেদাঙ্কের শর্ত প্রয়োজন, সেখানে গুণফলের জন্য সংশ্লিষ্ট উপপাদ্যের ক্ষেত্রে ঘনত্ব ফাংশনটি বর্গ-সমাকলনযোগ্য (square-integrable) হওয়ার শর্ত প্রয়োজন।

ধ্রুপদী কাঠামোর বাইরে

অসীমতটীয় নর্মালিটি, অর্থাৎ উপযুক্ত স্থানান্তর এবং পুনঃস্কেলিংয়ের পর নরমাল বিন্যাসে অভিসৃতি, উপরে আলোচিত ধ্রুপদী কাঠামোর (অর্থাৎ স্বাধীন দৈব চলক বা ভেক্টরের সমষ্টি) চেয়ে অনেক বেশি সাধারণ একটি ঘটনা। সময়ে সময়ে নতুন কাঠামো উন্মোচিত হয়; বর্তমানে এর জন্য কোনো একক সমন্বিত কাঠামো নেই।

উত্তল বস্তু (Convex body)

এমন একটি অনুক্রম ε_n ↓ 0 বিদ্যমান যার জন্য নিম্নলিখিতটি সত্য। ধরা যাক n ≥ 1, এবং দৈব চলক X₁, ..., X_n-এর একটি লগ-অবতল যৌথ ঘনত্ব f রয়েছে, যাতে সব x₁, ..., x_n-এর জন্য 1=f(x₁, ..., x_n) = f(x₁, ..., x_n) এবং সব 1=k = 1, ..., n-এর জন্য 1=E(X'k) = 1। তাহলে

$$\frac{X_1+\cdots +X_n}{\sqrt{n}}$$

-এর বিন্যাস মোট ভিন্নতা দূরত্বে ${𝒩}(0,1)$-এর ε_n-কাছাকাছি।(Klartag, 2007, Theorem 1.2)

এই দুটি ε_n-কাছাকাছি বিন্যাসের ঘনত্ব রয়েছে (প্রকৃতপক্ষে, লগ-অবতল ঘনত্ব), তাই তাদের মধ্যে মোট ভিন্নতা দূরত্ব হলো ঘনত্বগুলোর পার্থক্যের পরম মানের সমাকলন। মোট ভিন্নতায় অভিসৃতি দুর্বল অভিসৃতির চেয়ে শক্তিশালী।

একটি লগ-অবতল ঘনত্বের গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হলো একটি নির্দিষ্ট উত্তল বস্তুর ভেতরে ধ্রুবক এবং বাইরে শূন্য ফাংশন; এটি উত্তল বস্তুর ওপর সুষম বিন্যাসের সাথে মিলে যায়, যা "উত্তল বস্তুর জন্য কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য" শব্দটিকে ব্যাখ্যা করে।

আরেকটি উদাহরণ: 1=f(x₁, ..., x_n) = const · exp(−(x₁^α + ⋯ + x_n^α)^β), যেখানে α > 1 এবং αβ > 1। যদি 1=β = 1 হয়, তবে f(x₁, ..., x_n) ভেঙে const · exp (−x₁^α) ... exp(−x_n^α) হয়, যার অর্থ X₁, ..., X_n স্বাধীন। তবে সাধারণভাবে, তারা নির্ভরশীল।

শর্ত 1=f(x₁, ..., x_n) = f(x₁, ..., x_n) নিশ্চিত করে যে X₁, ..., X_n শূন্য গড় বিশিষ্ট এবং অসহসম্বন্ধিত (uncorrelated); তবুও, তাদের স্বাধীন হওয়ার প্রয়োজন নেই, এমনকি জোড়ায় জোড়ায় স্বাধীন হওয়ারও প্রয়োজন নেই। প্রসঙ্গত, ধ্রুপদী কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যে জোড়ায় জোড়ায় স্বাধীনতা, স্বাধীনতার স্থলাভিষিক্ত হতে পারে না।(Durrett, 2004, Section 2.4, Example 4.5)

এখানে একটি বেরি–এসেন ধরনের ফলাফল দেওয়া হলো।

\mathbb{P} \left( a \le \frac{ X_1+\cdots+X_n }{ \sqrt n } \le b \right) - \frac1{\sqrt{2\pi \int_a^b e^{-\frac{1}{2} t^2} \, dt \right| \le \frac{C}{n} </math>

সব a < b-এর জন্য; এখানে C হলো একটি সার্বজনীন (পরম) ধ্রুবক। অধিকন্তু, প্রতিটি c₁, ..., c_n ∈ R-এর জন্য, যাতে 1=c1 + ⋯ + c'n = 1,

$$|\mathbb{\mathbb{P}}(a\le c_1{X}_1+\cdots +c_n{X}_n\le b)-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}{t}^2}dt|\le C(c_1^4+\dots +c_n^4).$$ }}

X₁ + ⋯ + X_n/n-এর বিন্যাস যে প্রায় নরমাল হতে হবে এমন নয় (প্রকৃতপক্ষে, এটি সুষম হতে পারে)।(Klartag, 2007, Theorem 1.1) তবে, c₁X₁ + ⋯ + c_nX_n-এর বিন্যাস বেশিরভাগ ভেক্টর (c₁, ..., c_n)-এর জন্য (মোট ভিন্নতা দূরত্বে) ${𝒩}(0,1)$-এর কাছাকাছি, যা গোলক 1=c1 + ⋯ + c'n = 1-এর ওপর সুষম বিন্যাস অনুযায়ী।

ল্যাকুনারি ত্রিকোণমিতিক ধারা

উপপাদ্য (সালেম–জিগমুন্ড)

গাউসীয় পলিটোপ

ধরা যাক A₁, ..., A_n হলো সমতল R²-এর ওপর স্বাধীন দৈব বিন্দু, যার প্রতিটির দ্বিমাত্রিক আদর্শ নরমাল বিন্যাস রয়েছে। ধরা যাক K_n হলো এই বিন্দুগুলোর উত্তল হাল (convex hull), এবং X_n হলো K_n-এর ক্ষেত্রফল। তাহলে(Bárány, Vu, 2007, Theorem 1.1)

$$\frac{X_n-\mathrm{E}(X_n)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X_n)}}$$ n অসীমের দিকে ধাবিত হওয়ার সাথে সাথে বিন্যাসের দিক থেকে ${𝒩}(0,1)$-এর দিকে ধাবিত হয়।

এটি 2-এর চেয়ে বড় সব মাত্রার ক্ষেত্রেও সত্য।

পলিটোপ K_n-কে গাউসীয় দৈব পলিটোপ বলা হয়।

শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা (গাউসীয় পলিটোপের), বাহুর সংখ্যা এবং প্রকৃতপক্ষে সব মাত্রার তলের সংখ্যার ক্ষেত্রেও একই ফলাফল প্রযোজ্য।(Bárány, Vu, 2007, Theorem 1.2)

অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্সের রৈখিক ফাংশন

একটি ম্যাট্রিক্স M-এর রৈখিক ফাংশন হলো এর উপাদানগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ (প্রদত্ত সহগসহ), M ↦ tr(AM), যেখানে A হলো সহগগুলোর ম্যাট্রিক্স; দেখুন ট্রেস (রৈখিক বীজগণিত)#ইনার প্রোডাক্ট।

একটি দৈব অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স-কে সুষমভাবে বিন্যস্ত বলা হয়, যদি এর বিন্যাস অর্থোগোনাল গ্রুপ O(n,R)-এর ওপর নরমালাইজড হার পরিমাপ (Haar measure) হয়; দেখুন রোটেশন ম্যাট্রিক্স#সুষম দৈব রোটেশন ম্যাট্রিক্স।

ধরা যাক M হলো সুষমভাবে বিন্যস্ত একটি দৈব অর্থোগোনাল n × n ম্যাট্রিক্স, এবং A একটি নির্দিষ্ট n × n ম্যাট্রিক্স যাতে 1=tr(AA*) = n, এবং ধরা যাক 1=X = tr(AM)। তাহলে X-এর বিন্যাস মোট ভিন্নতা মেট্রিক্সে 23/n − 1-এর মধ্যে ${𝒩}(0,1)$-এর কাছাকাছি।

উপ-অনুক্রম

ধরা যাক দৈব চলক X₁, X₂, ... ∈ L₂(Ω) এমন যে X_n → 0 দুর্বলভাবে L₂(Ω)-তে এবং X2 → 1 দুর্বলভাবে L₁(Ω)-তে। তাহলে এমন পূর্ণসংখ্যা n₁ < n₂ < ⋯ বিদ্যমান যাতে

$$\frac{X_{n_1}+\cdots +X_{n_k}}{\sqrt{k}}$$

k অসীমের দিকে ধাবিত হওয়ার সাথে সাথে বিন্যাসের দিক থেকে ${𝒩}(0,1)$-এর দিকে ধাবিত হয়।(Gaposhkin, 1966, Sect. 1.5)

ক্রিস্টাল ল্যাটিসে দৈব ভ্রমণ

ক্রিস্টাল ল্যাটিসের (একটি সসীম গ্রাফের ওপর অসীম-গুণ অ্যাবেলীয় কভারিং গ্রাফ) ওপর সাধারণ দৈব ভ্রমণ-এর জন্য কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য প্রতিষ্ঠিত হতে পারে এবং এটি ক্রিস্টাল কাঠামোর নকশার জন্য ব্যবহৃত হয়।

প্রয়োগ এবং উদাহরণ

কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের একটি সহজ উদাহরণ হলো অনেকগুলো অভিন্ন, নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করা। নিক্ষেপ করা সংখ্যাগুলোর সমষ্টি (বা গড়)-এর বিন্যাস একটি নরমাল বিন্যাস দ্বারা ভালোভাবে আসন্ন করা যাবে। যেহেতু বাস্তব জগতের রাশিগুলো প্রায়শই অনেকগুলো অদৃশ্য দৈব ঘটনার ভারসাম্যপূর্ণ সমষ্টি, তাই কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য নরমাল সম্ভাবনা বিন্যাসের ব্যাপকতার একটি আংশিক ব্যাখ্যাও প্রদান করে। এটি নিয়ন্ত্রিত পরীক্ষায় নরমাল বিন্যাসের প্রতি বৃহৎ-নমুনার পরিসংখ্যান-এর আসন্ন মানকেও সমর্থন করে।

রিগ্রেশন

রিগ্রেশন বিশ্লেষণ, এবং বিশেষত সাধারণ লঘিষ্ঠ বর্গ (ordinary least squares), নির্দিষ্ট করে যে একটি নির্ভরশীল চলক একটি যোগমূলক ত্রুটি পদ-সহ এক বা একাধিক স্বাধীন চলক-এর ওপর কোনো ফাংশন অনুযায়ী নির্ভর করে। রিগ্রেশনের ওপর বিভিন্ন ধরনের পরিসংখ্যানগত অনুমান ধরে নেয় যে ত্রুটি পদটি নরমালভাবে বিন্যস্ত। এই অনুমানটিকে এই ধারণা দ্বারা সমর্থন করা যেতে পারে যে ত্রুটি পদটি আসলে অনেকগুলো স্বাধীন ত্রুটি পদের সমষ্টি; এমনকি যদি পৃথক ত্রুটি পদগুলো নরমালভাবে বিন্যস্ত নাও হয়, কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য অনুযায়ী তাদের সমষ্টি একটি নরমাল বিন্যাস দ্বারা ভালোভাবে আসন্ন করা যেতে পারে।

অন্যান্য দৃষ্টান্ত

মূল নিবন্ধ: কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের দৃষ্টান্ত

পরিসংখ্যানের জন্য এর গুরুত্ব বিবেচনা করে, বেশ কিছু গবেষণাপত্র এবং কম্পিউটার প্যাকেজ উপলব্ধ রয়েছে যা কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যে জড়িত অভিসৃতি প্রদর্শন করে।

ইতিহাস

ডাচ গণিতবিদ হেঙ্ক টিজম লিখেছেন:

কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের একটি আকর্ষণীয় ইতিহাস রয়েছে। এই উপপাদ্যের প্রথম সংস্করণটি ফরাসি বংশোদ্ভূত গণিতবিদ আব্রাহাম দ্য মোইভর প্রস্তাব করেছিলেন, যিনি ১৭৩৩ সালে প্রকাশিত একটি অসাধারণ নিবন্ধে একটি নিরপেক্ষ মুদ্রার অনেকবার নিক্ষেপের ফলে প্রাপ্ত হেডের সংখ্যার বিন্যাসকে আসন্ন করার জন্য নরমাল বিন্যাস ব্যবহার করেছিলেন। এই ফলাফলটি তার সময়ের চেয়ে অনেক এগিয়ে ছিল এবং বিখ্যাত ফরাসি গণিতবিদ পিয়ের-সিমন ল্যাপলাস ১৮১২ সালে প্রকাশিত তার কালজয়ী কাজ Théorie analytique des probabilités-এ এটিকে বিস্মৃতি থেকে উদ্ধার না করা পর্যন্ত এটি প্রায় বিস্মৃতই ছিল। ল্যাপলাস দ্বিপদী বিন্যাসকে নরমাল বিন্যাস দ্বারা আসন্ন করে দ্য মোইভরের ফলাফলকে প্রসারিত করেছিলেন। কিন্তু দ্য মোইভরের মতো ল্যাপলাসের ফলাফলও তার নিজের সময়ে খুব কম মনোযোগ পেয়েছিল। ঊনবিংশ শতাব্দী শেষ না হওয়া পর্যন্ত কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের গুরুত্ব বোঝা যায়নি, যখন ১৯০১ সালে রাশিয়ান গণিতবিদ আলেকজান্ডার লিয়াপুনভ এটিকে সাধারণ ভাষায় সংজ্ঞায়িত করেন এবং গাণিতিকভাবে এটি কীভাবে কাজ করে তা সঠিকভাবে প্রমাণ করেন। আজকাল, কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যকে সম্ভাবনা তত্ত্বের অনানুষ্ঠানিক সার্বভৌম শাসক হিসেবে বিবেচনা করা হয়।

স্যার ফ্রান্সিস গ্যালটন কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যকে এভাবে বর্ণনা করেছেন:

আমি কল্পনাকে প্রভাবিত করার মতো "ত্রুটির কম্পাঙ্ক সূত্র" (Law of Frequency of Error) দ্বারা প্রকাশিত মহাজাগতিক শৃঙ্খলার চমৎকার রূপের চেয়ে বেশি কিছু জানি না। গ্রীকরা যদি এটি জানত, তবে তারা এই সূত্রটিকে মূর্ত করে তুলত এবং দেবত্ব আরোপ করত। এটি চরম বিশৃঙ্খলার মাঝেও প্রশান্তি এবং সম্পূর্ণ আত্ম-বিস্মৃতির সাথে রাজত্ব করে। ভিড় যত বিশাল এবং আপাত নৈরাজ্য যত বেশি, এর আধিপত্য তত নিখুঁত। এটি অযৌক্তিকতার সর্বোচ্চ সূত্র। যখন বিশৃঙ্খল উপাদানের একটি বড় নমুনা হাতে নেওয়া হয় এবং তাদের মানের ক্রমানুসারে সাজানো হয়, তখন একটি অপ্রত্যাশিত এবং সবচেয়ে সুন্দর নিয়মিততার রূপ সুপ্ত অবস্থায় বিদ্যমান বলে প্রমাণিত হয়।

প্রকৃত "কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য" (জার্মান ভাষায়: "zentraler Grenzwertsatz") শব্দটি প্রথম ১৯২০ সালে জর্জ পোলিয়া একটি গবেষণাপত্রের শিরোনামে ব্যবহার করেছিলেন। পোলিয়া উপপাদ্যটিকে "কেন্দ্রীয়" বলেছিলেন কারণ সম্ভাবনা তত্ত্বে এর গুরুত্ব অপরিসীম। লে কামের মতে, ফরাসি সম্ভাবনা স্কুল কেন্দ্রীয় শব্দটিকে এই অর্থে ব্যাখ্যা করে যে "এটি বিন্যাসের লেজের বিপরীতে কেন্দ্রের আচরণ বর্ণনা করে"। ১৯২০ সালে পোলিয়ার গবেষণাপত্র On the central limit theorem of calculus of probability and the problem of moments-এর সারাংশ নিম্নরূপ অনুবাদ করা হয়।

পুনরাবৃত্ত পরীক্ষায়, পরিমাপের ত্রুটিতে, যা খুব অনেক এবং খুব ছোট প্রাথমিক ত্রুটির সংমিশ্রণের ফলে ঘটে, ব্যাপন প্রক্রিয়ায় ইত্যাদিতে গাউসীয় সম্ভাবনা ঘনত্ব 1 = e^−x2-এর উপস্থিতি ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, যেমনটি সুপরিচিত, সেই একই সীমা উপপাদ্য দ্বারা, যা সম্ভাবনা ক্যালকুলাসে একটি কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে। এই সীমা উপপাদ্যের প্রকৃত আবিষ্কারক হিসেবে ল্যাপলাসকে নামাঙ্কিত করা উচিত; সম্ভবত এর কঠোর প্রমাণ প্রথম দিয়েছিলেন চেবিশেভ এবং এর সবচেয়ে তীক্ষ্ণ সূত্রায়ন পাওয়া যেতে পারে, যতদূর আমি জানি, লিয়াপুনভ-এর একটি নিবন্ধে। ...

এই উপপাদ্যের ইতিহাসের একটি পুঙ্খানুপুঙ্খ বিবরণ, যেখানে ল্যাপলাসের মৌলিক কাজের পাশাপাশি কোশি, বেসেল এবং পোয়াসোঁ-এর অবদান বিস্তারিতভাবে বর্ণিত হয়েছে, তা হাল্ড (Hald) প্রদান করেছেন। হ্যান্স ফিশার দুটি ঐতিহাসিক বিবরণ দিয়েছেন; একটি ল্যাপলাস থেকে কোশি পর্যন্ত উন্নয়নের ধারাকে কভার করে এবং দ্বিতীয়টি ১৯২০-এর দশকে ফন মিসেস, পোলিয়া, লিন্ডবার্গ, লেভি এবং ক্রেমার-এর অবদান নিয়ে আলোচনা করে।(Fischer, 2011, Chapter 2; Chapter 5.2) লে কাম ১৯৩৫ সালের আশেপাশের সময়কালটি বর্ণনা করেছেন। বার্নস্টাইন একটি ঐতিহাসিক আলোচনা উপস্থাপন করেছেন যা পাফনুটি চেবিশেভ এবং তাঁর ছাত্র আন্দ্রে মারকভ ও আলেকজান্ডার লিয়াপুনভ-এর কাজের ওপর আলোকপাত করে, যা সাধারণ প্রেক্ষাপটে সিএলটি (CLT)-এর প্রথম প্রমাণগুলোর দিকে পরিচালিত করেছিল।

সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেমের ইতিহাসের একটি কৌতূহলোদ্দীপক পাদটীকা হলো যে, ১৯২২ সালের লিন্ডবার্গ সিএলটি-এর অনুরূপ একটি ফলাফলের প্রমাণ কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়-এর কিংস কলেজ-এর জন্য অ্যালান টুরিং-এর ১৯৩৪ সালের ফেলোশিপ গবেষণাপত্রের বিষয় ছিল। কাজটি জমা দেওয়ার পরেই টুরিং জানতে পারেন যে এটি আগেই প্রমাণিত হয়েছে। ফলস্বরূপ, টুরিং-এর গবেষণাপত্রটি প্রকাশিত হয়নি।

আরও দেখুন

• অ্যাসিম্পটোটিক ইকুইপার্টিশন প্রপার্টি
• অ্যাসিম্পটোটিক ডিস্ট্রিবিউশন
• বেটস ডিস্ট্রিবিউশন
• বেনফোর্ডস ল – দৈব চলকের গুণফলের ক্ষেত্রে সিএলটি-এর সম্প্রসারণের ফলাফল।
• বেরি–এসেন থিওরেম
• সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম ফর ডিরেকশনাল স্ট্যাটিস্টিকস – দিকনির্দেশক পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রে সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেমের প্রয়োগ।
• ডেল্টা মেথড – একটি দৈব চলকের ফাংশনের লিমিট ডিস্ট্রিবিউশন নির্ণয়ের জন্য।
• এরডোস–কাক থিওরেম – একটি পূর্ণসংখ্যার মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যার সাথে নরমাল প্রোবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশনের সংযোগ স্থাপন করে।
• ফিশার–টিপেট–গ্নেডেনকো থিওরেম – চরম মানের জন্য লিমিট থিওরেম (যেমন max{X_n})।
• আরউইন–হল ডিস্ট্রিবিউশন
• মারকভ চেইন সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম
• নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন
• টুইডি কনভারজেন্স থিওরেম – একটি উপপাদ্য যা সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম এবং পোয়াসোঁ কনভারজেন্স থিওরেম-এর মধ্যে সেতুবন্ধন হিসেবে বিবেচিত হতে পারে।
• ডনস্কারস থিওরেম

তথ্যসূত্র

• (2007). "Central limit theorems for Gaussian polytopes". Annals of Probability. 35 (4) 1593–1621. doi:10.1214/009117906000000791.
• Bauer, Heinz. (2001). "Measure and Integration Theory". de Gruyter. ISBN 3110167190.
• Billingsley, Patrick. (1995). "Probability and Measure". John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.
• Bradley, Richard. (2005). "Basic Properties of Strong Mixing Conditions. A Survey and Some Open Questions". Probability Surveys. 2 107–144. doi:10.1214/154957805100000104.
• Bradley, Richard. (2007). "Introduction to Strong Mixing Conditions". Kendrick Press. ISBN 978-0-9740427-9-4.
• (2008). Central Limit Theorem: New SOCR Applet and Demonstration Activity. Journal of Statistics Education. 16 (2) 1–15. doi:10.1080/10691898.2008.11889560.
• Durrett, Richard. (2004). "Probability: theory and examples". Cambridge University Press. ISBN 0521765390.
• Fischer, Hans. (2011). A History of the Central Limit Theorem: From Classical to Modern Probability Theory. Springer. ISBN 978-0-387-87856-0. doi:10.1007/978-0-387-87857-7.
• Gaposhkin, V. F.. (1966). "Lacunary series and independent functions". Russian Mathematical Surveys. 21 (6) 1–82. doi:10.1070/RM1966v021n06ABEH001196..
• Klartag, Bo'az. (2007). "A central limit theorem for convex sets". Inventiones Mathematicae. 168 (1) 91–131. doi:10.1007/s00222-006-0028-8.
• Klartag, Bo'az. (2008). "A Berry–Esseen type inequality for convex bodies with an unconditional basis". Probability Theory and Related Fields. 145 (1–2) 1–33. doi:10.1007/s00440-008-0158-6.

বহিঃসংযোগ

• Central Limit Theorem খান একাডেমিতে
• Central limit theorem
• Central Limit Theorem
• গ্যালটন বোর্ডের মাধ্যমে সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম প্রদর্শনকারী একটি মিউজিক ভিডিও কার্ল ম্যাকট্যাগ কর্তৃক

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Central limit theorem” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।