মোমেন্ট (গণিত)

গণিতে, কোনো ফাংশনের মোমেন্ট (moment) হলো ফাংশনটির লেখচিত্রের আকৃতির সাথে সম্পর্কিত কিছু নির্দিষ্ট পরিমাণগত পরিমাপ। উদাহরণস্বরূপ, পদার্থবিজ্ঞানে, যদি ফাংশনটি ভর ঘনত্ব নির্দেশ করে, তবে শূন্যতম মোমেন্ট হলো মোট ভর, প্রথম মোমেন্ট হলো ভরকেন্দ্র (মোট ভর দ্বারা গুণিত), এবং দ্বিতীয় মোমেন্ট হলো জড়তার ভ্রামক। পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রে, যদি ফাংশনটি একটি সম্ভাবনা বিন্যাস হয়, তবে প্রথম মোমেন্ট হলো প্রত্যাশিত মান, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় মোমেন্ট হলো ভেদাঙ্ক, তৃতীয় আদর্শায়িত মোমেন্ট হলো বিষমতা, এবং চতুর্থ আদর্শায়িত মোমেন্ট হলো সূচালতা।

একটি সীমাবদ্ধ অন্তরালে ভর বা সম্ভাবনার বিন্যাসের জন্য, সমস্ত মোমেন্টের সংগ্রহ (সমস্ত ক্রমের, 0 থেকে ∞ পর্যন্ত) অনন্যভাবে বিন্যাসটিকে নির্ধারণ করে (Hausdorff moment problem)। অসীম অন্তরালের ক্ষেত্রে এটি সত্য নয় (Hamburger moment problem)।

গঠন

একটি বাস্তব-মান বিশিষ্ট অবিচ্ছিন্ন ঘনত্ব ফাংশন $f(x)$-এর একটি রেফারেন্স মান $c$-এর সাপেক্ষে n-তম মোমেন্ট হলো সমাকলন

$${\mu }_n=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-c{)}^{n}f(x)\mathrm{d}x.$$

বাস্তব-মান বিশিষ্ট ফাংশনের মোমেন্টের চেয়ে আরও সাধারণ উপায়ে মোমেন্ট সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব – দেখুন মেট্রিক স্পেসে মোমেন্ট। কোনো ফাংশনের মোমেন্ট, কোনো অতিরিক্ত ব্যাখ্যা ছাড়া, সাধারণত $c=0$ সহ উপরের রাশিটিকে বোঝায়। দ্বিতীয় এবং উচ্চতর মোমেন্টের জন্য, শূন্যের সাপেক্ষে মোমেন্টের পরিবর্তে সাধারণত কেন্দ্রীয় মোমেন্ট (গড়ের সাপেক্ষে মোমেন্ট, যেখানে c হলো গড়) ব্যবহার করা হয়, কারণ এগুলো বিন্যাসের আকৃতি সম্পর্কে আরও স্পষ্ট তথ্য প্রদান করে।

বৈশিষ্ট্য

কেন্দ্রের রূপান্তর

যেহেতু $$(x-b{)}^n=(x-a+a-b{)}^n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(x-a{)}^i(a-b{)}^{n-i}$$ যেখানে $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})$ হলো দ্বিপদী সহগ, তাই এটি অনুসরণ করে যে b-এর সাপেক্ষে মোমেন্টগুলো a-এর সাপেক্ষে মোমেন্ট থেকে এভাবে গণনা করা যায়: $$E[(x-b{)}^n]=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})E[(x-a{)}^i](a-b{)}^{n-i}.$$

এই ফলাফলের একটি উপপাদ্য হিসেবে, সর্বনিম্ন অশূন্য মোমেন্ট কেন্দ্রের পছন্দের উপর নির্ভর করে না। আমরা উপরের সূত্র থেকে এটি দেখতে পারি যখন আমরা এমন একটি ক্ষেত্র বিবেচনা করি যেখানে i-তম মোমেন্টগুলো (কোনো বিন্দু a-এর সাপেক্ষে) সমস্ত $i<n$-এর জন্য শূন্য হয়।

ফাংশনের কনভোলিউশনের মোমেন্ট

মূল নিবন্ধ: Convolution একটি কনভোলিউশন $$h(t)=(f*g)(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$$-এর র (raw) মোমেন্ট হলো $${\mu }_n[h]=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}){\mu }_i[f]{\mu }_{n-i}[g]$$ যেখানে ${\mu }_n[\cdot ]$ বন্ধনীতে দেওয়া ফাংশনের $n$-তম মোমেন্ট নির্দেশ করে। এই অভেদটি মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশনের জন্য কনভোলিউশন উপপাদ্য এবং একটি গুণের অন্তরীকরণ করার জন্য চেইন রুল প্রয়োগ করে পাওয়া যায়।

আংশিক মোমেন্ট

আংশিক মোমেন্টকে কখনও কখনও "এক-পার্শ্বীয় মোমেন্ট" (one-sided moments) বলা হয়। একটি রেফারেন্স বিন্দু r-এর সাপেক্ষে n-তম ক্রমের নিম্ন এবং উচ্চ আংশিক মোমেন্টগুলো এভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে: $${\mu }_n^{-}(r)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{r}{\int }}(r-x{)}^{n}f(x)\mathrm{d}x,$$ $${\mu }_n^{+}(r)=\underset{r}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-r{)}^{n}f(x)\mathrm{d}x.$$

যদি সমাকলন ফাংশনটি অভিসারী না হয়, তবে আংশিক মোমেন্টের অস্তিত্ব নেই।

আংশিক মোমেন্টগুলোকে 1/n ঘাতে উন্নীত করে নরমালাইজ করা হয়। upside potential ratio-কে প্রথম-ক্রমের উচ্চ আংশিক মোমেন্ট এবং নরমালাইজড দ্বিতীয়-ক্রমের নিম্ন আংশিক মোমেন্টের অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে।

মেট্রিক স্পেসে কেন্দ্রীয় মোমেন্ট

ধরা যাক (M, d) একটি মেট্রিক স্পেস, এবং B(M) হলো M-এর উপর বোরেল σ-বীজগণিত, যা d-উন্মুক্ত উপসেট দ্বারা উৎপন্ন σ-বীজগণিত। (প্রযুক্তিগত কারণে, এটি ধরে নেওয়া সুবিধাজনক যে M হলো d মেট্রিকের সাপেক্ষে একটি সেপারেবল স্পেস।) ধরা যাক 1 ≤ p ≤ ∞।

একটি প্রদত্ত বিন্দু x₀ ∈ M-এর সাপেক্ষে পরিমাপ μ-এর p-তম কেন্দ্রীয় মোমেন্ট সংজ্ঞায়িত করা হয় এভাবে: $$\underset{M}{\int }d{(x,x_0)}^p\mathrm{d}\mu (x).$$

μ-কে সসীম p-তম কেন্দ্রীয় মোমেন্ট বিশিষ্ট বলা হয় যদি কোনো x₀ ∈ M-এর জন্য μ-এর p-তম কেন্দ্রীয় মোমেন্ট সসীম হয়।

পরিমাপের জন্য এই পরিভাষাটি দৈব চলকের ক্ষেত্রেও একইভাবে প্রযোজ্য: যদি (Ω, Σ, P) একটি সম্ভাবনা স্পেস হয় এবং X : Ω → M একটি দৈব চলক হয়, তবে x₀ ∈ M-এর সাপেক্ষে X-এর p-তম কেন্দ্রীয় মোমেন্ট সংজ্ঞায়িত করা হয় এভাবে: $$\underset{M}{\int }d{(x,x_0)}^p\mathrm{d}\left(X_{*}\left(\mathbf{𝐏}\right)\right)(x)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }d{(X(\omega ),x_0)}^p\mathrm{d}\mathbf{𝐏}(\omega )=\mathbf{𝐄}[d(X,x_0{)}^p],$$ এবং X-এর সসীম p-তম কেন্দ্রীয় মোমেন্ট থাকে যদি কোনো x₀ ∈ M-এর জন্য X-এর p-তম কেন্দ্রীয় মোমেন্ট সসীম হয়।

আরও দেখুন

• Energy (signal processing)
• Factorial moment
• Generalised mean
• Image moment
• L-moment
• Moment-generating function
• Moment measure
• Second moment method
• Stieltjes moment problem

তথ্যসূত্র

• Text was copied from Moment at the Encyclopedia of Mathematics, which is released under a Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 (Unported) (CC-BY-SA 3.0) license and the GNU Free Documentation License.

বহিঃসংযোগ

• Moment
• Moments at Mathworld

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Moment (mathematics)” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(mathematics) এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।