ভেদাঙ্ক

একই গড় কিন্তু ভিন্ন ভেদাঙ্ক বিশিষ্ট দুটি পপুলেশন থেকে নেওয়া নমুনার উদাহরণ। লাল পপুলেশনের গড় 1=μ = 100 এবং ভেদাঙ্ক 1=σ² = 100 (1=σ = 10), যেখানে নীল পপুলেশনের গড় 1=μ = 100 এবং ভেদাঙ্ক 1=σ² = 2500 (1=σ = 50)।

সম্ভাবনা তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যান-এ, ভেদাঙ্ক (variance) হলো বিচ্ছুরণ-এর একটি পরিমাপ, যার অর্থ হলো এটি নির্দেশ করে যে এক সেট সংখ্যা তাদের গড় মান থেকে কতটা দূরে বিস্তৃত। এটি একটি দৈব চলক-এর গড় থেকে বর্গের বিচ্যুতি-এর প্রত্যাশিত মান হিসেবে সংজ্ঞায়িত। পরিমিত ব্যবধান (standard deviation) হলো ভেদাঙ্কের বর্গমূল। প্রযুক্তিগতভাবে, এটি একটি বিন্যাস-এর দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় মোমেন্ট এবং দৈব চলকটির নিজের সাথে সহভেদাঙ্ক (covariance), এবং এটি প্রায়শই \sigma^2, s^2, \operatorname{Var}(X), V(X), অথবা \mathbb{V}(X) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বিচ্ছুরণের পরিমাপ হিসেবে ভেদাঙ্কের একটি সুবিধা হলো এটি বিচ্ছুরণের অন্যান্য পরিমাপ যেমন প্রত্যাশিত পরম বিচ্যুতি-এর তুলনায় বীজগাণিতিক কারসাজির জন্য বেশি উপযোগী; উদাহরণস্বরূপ, অসংযুক্ত দৈব চলকগুলোর সমষ্টির ভেদাঙ্ক তাদের ভেদাঙ্কগুলোর সমষ্টির সমান। ব্যবহারিক প্রয়োগের ক্ষেত্রে ভেদাঙ্কের একটি অসুবিধা হলো, পরিমিত ব্যবধানের বিপরীতে এর একক দৈব চলকের একক থেকে ভিন্ন, যে কারণে হিসাব শেষ হওয়ার পর বিচ্ছুরণের পরিমাপ হিসেবে পরিমিত ব্যবধান বেশি ব্যবহৃত হয়। আরেকটি অসুবিধা হলো অনেক বিন্যাসের ক্ষেত্রে ভেদাঙ্ক সসীম নয়।

"ভেদাঙ্ক" নামে দুটি স্বতন্ত্র ধারণা রয়েছে। একটি, উপরে আলোচিত, তাত্ত্বিক সম্ভাবনা বিন্যাস-এর অংশ এবং একটি সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত। অন্য ভেদাঙ্কটি হলো পর্যবেক্ষণ সেটের একটি বৈশিষ্ট্য। যখন পর্যবেক্ষণ থেকে ভেদাঙ্ক গণনা করা হয়, তখন সেই পর্যবেক্ষণগুলো সাধারণত একটি বাস্তব-বিশ্বের সিস্টেম থেকে পরিমাপ করা হয়। যদি সিস্টেমের সমস্ত সম্ভাব্য পর্যবেক্ষণ উপস্থিত থাকে, তবে গণনাকৃত ভেদাঙ্ককে পপুলেশন ভেদাঙ্ক বলা হয়। তবে সাধারণত শুধুমাত্র একটি উপসেট উপলব্ধ থাকে এবং এটি থেকে গণনাকৃত ভেদাঙ্ককে নমুনা ভেদাঙ্ক বলা হয়। নমুনা থেকে গণনাকৃত ভেদাঙ্ককে সম্পূর্ণ পপুলেশন ভেদাঙ্কের একটি প্রাক্কলন হিসেবে বিবেচনা করা হয়। নমুনা ভেদাঙ্কের ভিত্তিতে পপুলেশন ভেদাঙ্ক প্রাক্কলন করার একাধিক উপায় রয়েছে, যা নিচের অংশে আলোচিত হয়েছে।

দুই ধরনের ভেদাঙ্ক ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। এটি বোঝার জন্য বিবেচনা করুন যে একটি তাত্ত্বিক সম্ভাবনা বিন্যাস কাল্পনিক পর্যবেক্ষণের উৎপাদক হিসেবে ব্যবহৃত হতে পারে। যদি একটি বিন্যাস ব্যবহার করে অসীম সংখ্যক পর্যবেক্ষণ তৈরি করা হয়, তবে সেই অসীম সেট থেকে গণনাকৃত নমুনা ভেদাঙ্ক বিন্যাসের ভেদাঙ্ক সমীকরণ ব্যবহার করে প্রাপ্ত মানের সাথে মিলে যাবে। পরিসংখ্যানবিদ্যায় ভেদাঙ্কের একটি কেন্দ্রীয় ভূমিকা রয়েছে, যেখানে এটি ব্যবহার করা কিছু ধারণার মধ্যে রয়েছে বর্ণনামূলক পরিসংখ্যান, পরিসংখ্যানগত অনুমান, হাইপোথিসিস টেস্টিং, গুডনেস অফ ফিট এবং মন্টে কার্লো স্যাম্পলিং।

একটি নির্বিচার বিন্যাসের (2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9) ভেদাঙ্কের জ্যামিতিক দৃশ্যমানতা: বর্গক্ষেত্রগুলোকে একটি আয়তক্ষেত্রে সাজালে যার এক বাহু মানের সংখ্যা, n-এর সমান, তবে অন্য বাহুটি হয় বিন্যাসের ভেদাঙ্ক, σ²।

সংজ্ঞা

একটি দৈব চলক $X$-এর ভেদাঙ্ক হলো X-এর গড় থেকে বর্গের বিচ্যুতি-এর প্রত্যাশিত মান, 1= \mu = \operatorname{E}[X]: $$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2].$$ এই সংজ্ঞাটি এমন দৈব চলকগুলোকে অন্তর্ভুক্ত করে যা বিচ্ছিন্ন, অবিচ্ছিন্ন, কোনটিই নয়, অথবা মিশ্র প্রক্রিয়ার মাধ্যমে তৈরি হয়। ভেদাঙ্ককে একটি দৈব চলকের নিজের সাথে সহভেদাঙ্ক হিসেবেও ভাবা যেতে পারে: $$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Cov}(X,X).$$

ভেদাঙ্ক X তৈরি করা একটি সম্ভাবনা বিন্যাসের দ্বিতীয় কামুল্যান্ট-এর সমতুল্য। ভেদাঙ্ককে সাধারণত \operatorname{Var}(X), অথবা কখনও কখনও $V(X)$ বা \mathbb{V}(X), অথবা প্রতীকীভাবে \sigma^2_X বা সহজভাবে ${\sigma }^2$ (উচ্চারণ "সিগমা স্কয়ার্ড") হিসেবে চিহ্নিত করা হয়। ভেদাঙ্কের রাশিটিকে নিম্নরূপভাবে সম্প্রসারিত করা যেতে পারে: $$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}(X)& =\mathrm{E}\left[{(X-\mathrm{E}[X])}^2\right]\\ & =\mathrm{E}[X^2-2X\mathrm{E}[X]+\mathrm{E}[X{]}^2]\\ & =\mathrm{E}\left[X^2\right]-2\mathrm{E}[X]\mathrm{E}[X]+\mathrm{E}[X{]}^2\\ & =\mathrm{E}\left[X^2\right]-2\mathrm{E}[X{]}^2+\mathrm{E}[X{]}^2\\ & =\mathrm{E}\left[X^2\right]-\mathrm{E}[X{]}^2\end{array}$$

অন্য কথায়, X-এর ভেদাঙ্ক হলো X-এর বর্গের গড় থেকে X-এর গড়ের বর্গ বিয়োগফলের সমান। এই সমীকরণটি ফ্লোটিং-পয়েন্ট পাটিগণিত ব্যবহার করে গণনার জন্য ব্যবহার করা উচিত নয়, কারণ সমীকরণের দুটি উপাদান যদি মানের দিক থেকে কাছাকাছি হয় তবে এটি ক্যাটাস্ট্রফিক ক্যান্সেলেশন-এর শিকার হয়। অন্যান্য সংখ্যাগতভাবে স্থিতিশীল বিকল্পের জন্য, দেখুন ভেদাঙ্ক গণনার অ্যালগরিদম।

বিচ্ছিন্ন দৈব চলক

যদি দৈব চলক $X$-এর উৎপাদকটি বিচ্ছিন্ন হয় এবং তার সম্ভাবনা ভর ফাংশন $x_1\mapsto p_1,x_2\mapsto p_2,\dots ,x_n\mapsto p_n$ হয়, তবে $$\mathrm{Var}(X)=\sum _{i=1}^n{p}_i\cdot {(x_i-\mu )}^2,$$ যেখানে $\mu$ হলো প্রত্যাশিত মান। অর্থাৎ, $$\mu =\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i.$$ (যখন এমন একটি বিচ্ছিন্ন ওজনযুক্ত ভেদাঙ্ক এমন ওজন দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয় যার সমষ্টি 1 নয়, তখন ওজনের সমষ্টি দ্বারা ভাগ করতে হয়।)

$n$ সংখ্যক সমান সম্ভাব্য মানের ভেদাঙ্ককে লেখা যায় $$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2,$$ যেখানে $\mu$ হলো গড় মান। অর্থাৎ, $$\mu =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i.$$

$n$ সংখ্যক সমান সম্ভাব্য মানের সেটের ভেদাঙ্ককে গড়ের সরাসরি উল্লেখ ছাড়াই, একে অপরের থেকে সমস্ত জোড়াবিন্যস্ত বর্গের দূরত্বের বিচ্যুতি হিসেবে সমতুল্যভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে: $$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{1}{2}{(x_i-x_j)}^2=\frac{1}{n^2}\sum _i\sum _{j>i}{(x_i-x_j)}^2.$$

পরম অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক

যদি দৈব চলক $X$-এর একটি সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন f(x) থাকে এবং $F(x)$ সংশ্লিষ্ট ক্রমযোজিত বিন্যাস ফাংশন হয়, তবে $$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}(X)={\sigma }^2& =\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }{(x-\mu )}^{2}f(x)dx\\ & =\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }{x}^{2}f(x)dx-2\mu \underset{\mathbb{ℝ}}{\int }xf(x)dx+{\mu }^2\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }f(x)dx\\ & =\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }{x}^{2}dF(x)-2\mu \underset{\mathbb{ℝ}}{\int }xdF(x)+{\mu }^2\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }dF(x)\\ & =\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }{x}^{2}dF(x)-2\mu \cdot \mu +{\mu }^2\cdot 1\\ & =\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }{x}^{2}dF(x)-{\mu }^2,\end{array}$$ অথবা সমতুল্যভাবে, $$\mathrm{Var}(X)=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }{x}^{2}f(x)dx-{\mu }^2,$$ যেখানে $\mu$ হলো $X$-এর প্রত্যাশিত মান যা নিম্নরূপ: $$\mu =\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }xf(x)dx=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }xdF(x).$$

এই সূত্রগুলোতে, $dx$ এবং $dF(x)$-এর সাপেক্ষে সমাকলনগুলো যথাক্রমে লেবেসগ এবং লেবেসগ-স্টিলজেস সমাকলন।

যদি ফাংশন $x^{2}f(x)$ প্রতিটি সসীম ব্যবধি $[a,b]\subset \mathbb{ℝ},$-এ রিম্যান-সমাকলনযোগ্য হয়, তবে $$\mathrm{Var}(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2}f(x)dx-{\mu }^2,$$ যেখানে সমাকলনটি একটি অনিয়ত রিম্যান সমাকলন।

উদাহরণ

এক্সপোনেনশিয়াল বিন্যাস

প্যারামিটার \lambda > 0 বিশিষ্ট এক্সপোনেনশিয়াল বিন্যাস হলো একটি অবিচ্ছিন্ন বিন্যাস যার সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন 0, ∞ ব্যবধিতে নিম্নরূপ: $$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$$ এর গড় দেখানো যেতে পারে: $$\mathrm{E}[X]=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }.$$

পার্টস দ্বারা সমাকলন ব্যবহার করে এবং ইতিমধ্যে গণনাকৃত প্রত্যাশিত মান ব্যবহার করে, আমরা পাই: $$\begin{array}{rl}\mathrm{E}\left[X^2\right]& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2\lambda e^{-\lambda x}dx\\ & ={[-x^2{e}^{-\lambda x}]}_0^{\mathrm{\infty }}+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}2x{e}^{-\lambda x}dx\\ & =0+\frac{2}{\lambda }\mathrm{E}[X]\\ & =\frac{2}{{\lambda }^2}.\end{array}$$

সুতরাং, X-এর ভেদাঙ্ক হলো $$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}\left[X^2\right]-\mathrm{E}[X{]}^2=\frac{2}{{\lambda }^2}-{\left(\frac{1}{\lambda }\right)}^2=\frac{1}{{\lambda }^2}.$$

নিরপেক্ষ ছক্কা

একটি নিরপেক্ষ ছয়-পার্শ্বযুক্ত ছক্কা-কে একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক, X হিসেবে মডেল করা যেতে পারে, যার ফলাফল 1 থেকে 6, প্রতিটির সম্ভাবনা 1/6। X-এর প্রত্যাশিত মান হলো Failed to parse (syntax error): {\displaystyle (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 7/2।} অতএব, X-এর ভেদাঙ্ক হলো $$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}(X)& =\sum _{i=1}^6\frac{1}{6}{(i-\frac{7}{2})}^2\\ & =\frac{1}{6}((-5/2{)}^2+(-3/2{)}^2+(-1/2{)}^2+(1/2{)}^2+(3/2{)}^2+(5/2{)}^2)\\ & =\frac{35}{12}\approx 2.92.\end{array}$$

একটি n-পার্শ্বযুক্ত ছক্কার ফলাফলের ভেদাঙ্কের সাধারণ সূত্র হলো $$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}(X)& =\mathrm{E}\left(X^2\right)-(\mathrm{E}(X){)}^2\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{i}^2-{\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}i\right)}^2\\ & =\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-{\left(\frac{n+1}{2}\right)}^2\\ & =\frac{n^2-1}{12}.\end{array}$$

সাধারণত ব্যবহৃত সম্ভাবনা বিন্যাস

নিচের সারণীতে সাধারণত ব্যবহৃত কিছু সম্ভাবনা বিন্যাসের ভেদাঙ্ক তালিকাভুক্ত করা হয়েছে।

সম্ভাবনা বিন্যাসের নাম	সম্ভাবনা বিন্যাস ফাংশন	গড়	ভেদাঙ্ক
দ্বিপদী বিন্যাস	$\mathrm{Pr}(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
জ্যামিতিক বিন্যাস	$\mathrm{Pr}(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$	$\frac{1}{p}$	$\frac{(1-p)}{p^2}$
স্বাভাবিক বিন্যাস	$f(x\mid \mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$	$\mu$	${\sigma }^2$
সুষম বিন্যাস (অবিচ্ছিন্ন)	$f(x\mid a,b)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a}& \text{for }a\le x\le b,\\ 0& \text{for }x<a\text{ or }x>b\end{array}$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$
এক্সপোনেনশিয়াল বিন্যাস	$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$
পয়সন বিন্যাস	$f(k\mid \lambda )=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$	$\lambda$	$\lambda$

বৈশিষ্ট্য

মৌলিক বৈশিষ্ট্য

ভেদাঙ্ক অ-ঋণাত্মক কারণ বর্গগুলো ধনাত্মক বা শূন্য: $$\mathrm{Var}(X)\ge 0.$$

একটি ধ্রুবকের ভেদাঙ্ক শূন্য। $$\mathrm{Var}(a)=0.$$

বিপরীতভাবে, যদি একটি দৈব চলকের ভেদাঙ্ক 0 হয়, তবে এটি প্রায় নিশ্চিতভাবে একটি ধ্রুবক। অর্থাৎ, এর মান সর্বদা একই থাকে: $$\mathrm{Var}(X)=0⟺\mathrm{\exists }a:P(X=a)=1.$$

সসীমতার সমস্যা

যদি কোনো বিন্যাসের সসীম প্রত্যাশিত মান না থাকে, যেমন কশি বিন্যাস-এর ক্ষেত্রে, তবে ভেদাঙ্কও সসীম হতে পারে না। তবে, কিছু বিন্যাসের প্রত্যাশিত মান সসীম হওয়া সত্ত্বেও সসীম ভেদাঙ্ক নাও থাকতে পারে। একটি উদাহরণ হলো প্যারেটো বিন্যাস যার সূচক $k$ শর্ত পূরণ করে Failed to parse (syntax error): {\displaystyle 1 < k \leq 2।}

বিয়োজন

ভেদাঙ্ক বিয়োজন বা মোট ভেদাঙ্কের সূত্র-এর সাধারণ সূত্র হলো: যদি $X$ এবং $Y$ দুটি দৈব চলক হয় এবং $X$-এর ভেদাঙ্ক বিদ্যমান থাকে, তবে $$\mathrm{Var}[X]=\mathrm{E}(\mathrm{Var}[X\mid Y])+\mathrm{Var}(\mathrm{E}[X\mid Y]).$$

$Y$-এর সাপেক্ষে $X$-এর শর্তাধীন প্রত্যাশা $\mathrm{E}(X\mid Y)$ এবং শর্তাধীন ভেদাঙ্ক $\mathrm{Var}(X\mid Y)$ নিম্নরূপ বোঝা যেতে পারে। দৈব চলক Y-এর যেকোনো নির্দিষ্ট মান y দেওয়া থাকলে, Y = y ঘটনাটি সাপেক্ষে একটি শর্তাধীন প্রত্যাশা $\mathrm{E}(X\mid Y=y)$ থাকে। এই পরিমাণটি নির্দিষ্ট মান y-এর উপর নির্ভর করে; এটি একটি ফাংশন $g(y)=\mathrm{E}(X\mid Y=y)$। দৈব চলক Y-এর ক্ষেত্রে সেই একই ফাংশনটি হলো শর্তাধীন প্রত্যাশা 1= \operatorname E(X\mid Y) = g(Y)।

বিশেষভাবে, যদি $Y$ একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক হয় যা সম্ভাব্য মান $y_1,y_2,y_3\dots$ গ্রহণ করে এবং সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনা $p_1,p_2,p_3\dots ,$ হয়, তবে মোট ভেদাঙ্কের সূত্রে, ডানদিকের প্রথম পদটি হয় $$\mathrm{E}(\mathrm{Var}[X\mid Y])=\sum _i{p}_i{\sigma }_i^2,$$ যেখানে ${\sigma }_i^2=\mathrm{Var}[X\mid Y=y_i]$। একইভাবে, ডানদিকের দ্বিতীয় পদটি হয় $$\mathrm{Var}(\mathrm{E}[X\mid Y])=\sum _i{p}_i{\mu }_i^2-{\left(\sum _i{p}_i{\mu }_i\right)}^2=\sum _i{p}_i{\mu }_i^2-{\mu }^2,$$ যেখানে = \mu_i = \operatorname{E}[X \mid Y = y_i] এবং 1= \textstyle \mu = \sum_i p_i \mu_i। সুতরাং মোট ভেদাঙ্ক হলো $$\mathrm{Var}[X]=\sum _i{p}_i{\sigma }_i^2+(\sum _i{p}_i{\mu }_i^2-{\mu }^2).$$

একটি অনুরূপ সূত্র ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণ-এ প্রয়োগ করা হয়, যেখানে সংশ্লিষ্ট সূত্রটি হলো $${{M}{S}}_{\text{total}}={{M}{S}}_{\text{between}}+{{M}{S}}_{\text{within}};$$ এখানে ${M}{S}$ বলতে বর্গের গড় (Mean of the Squares) বোঝায়। রৈখিক নির্ভরণ বিশ্লেষণে সংশ্লিষ্ট সূত্রটি হলো $${{M}{S}}_{\text{total}}={{M}{S}}_{\text{regression}}+{{M}{S}}_{\text{residual}}.$$

এটি ভেদাঙ্কের সংযোজনশীলতা থেকেও উদ্ভূত হতে পারে, যেহেতু মোট (পর্যবেক্ষণকৃত) স্কোর হলো পূর্বাভাসিত স্কোর এবং ত্রুটি স্কোরের সমষ্টি, যেখানে শেষের দুটি অসংযুক্ত।

বর্গের বিচ্যুতির সমষ্টির (sum of squares, ${S}{S}$) জন্য অনুরূপ বিয়োজন সম্ভব: $${{S}{S}}_{\text{total}}={{S}{S}}_{\text{between}}+{{S}{S}}_{\text{within}},$$ $${{S}{S}}_{\text{total}}={{S}{S}}_{\text{regression}}+{{S}{S}}_{\text{residual}}.$$

CDF থেকে গণনা

একটি অ-ঋণাত্মক দৈব চলকের পপুলেশন ভেদাঙ্ককে ক্রমযোজিত বিন্যাস ফাংশন F ব্যবহার করে প্রকাশ করা যায়: $$2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u(1-F(u))du-{[\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1-F(u))du]}^2.$$

এই রাশিটি এমন পরিস্থিতিতে ভেদাঙ্ক গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যেখানে CDF, কিন্তু ঘনত্ব নয়, সুবিধাজনকভাবে প্রকাশ করা যায়।

বৈশিষ্ট্যসূচক ধর্ম

একটি দৈব চলকের দ্বিতীয় মোমেন্ট সর্বনিম্ন মান অর্জন করে যখন তা দৈব চলকের প্রথম মোমেন্টের (অর্থাৎ গড়) চারপাশে নেওয়া হয়, অর্থাৎ 1= \mathrm{argmin}_m \, \mathrm{E}\left(\left(X - m\right)^2\right) = \mathrm{E}(X)। বিপরীতভাবে, যদি একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন $\phi$ সমস্ত দৈব চলক X-এর জন্য ${\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}_m\mathrm{E}(\phi (X-m))=\mathrm{E}(X)$ শর্ত পূরণ করে, তবে এটি অবশ্যই 1= \varphi(x) = a x^2 + b আকারে হয়, যেখানে a > 0। এটি বহুমাত্রিক ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

পরিমাপের একক

প্রত্যাশিত পরম বিচ্যুতি-এর বিপরীতে, একটি চলকের ভেদাঙ্কের একক হলো চলকটির নিজস্ব এককের বর্গ। উদাহরণস্বরূপ, মিটারে পরিমাপ করা একটি চলকের ভেদাঙ্ক মিটার স্কয়ারে পরিমাপ করা হবে। এই কারণে, ডেটা সেটগুলোকে তাদের পরিমিত ব্যবধান বা রুট মিন স্কয়ার ডেভিয়েশন দ্বারা বর্ণনা করা ভেদাঙ্ক ব্যবহারের চেয়ে বেশি পছন্দনীয়। ছক্কার উদাহরণে পরিমিত ব্যবধান হলো 2.9 ≈ 1.7, যা প্রত্যাশিত পরম বিচ্যুতি 1.5-এর চেয়ে সামান্য বেশি।

পরিমিত ব্যবধান এবং প্রত্যাশিত পরম বিচ্যুতি উভয়ই একটি বিন্যাসের "বিস্তৃতি" নির্দেশক হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে। পরিমিত ব্যবধান প্রত্যাশিত পরম বিচ্যুতির চেয়ে বীজগাণিতিক কারসাজির জন্য বেশি উপযোগী এবং ভেদাঙ্ক ও এর সাধারণীকরণ সহভেদাঙ্ক-এর সাথে তাত্ত্বিক পরিসংখ্যানে ঘন ঘন ব্যবহৃত হয়; তবে প্রত্যাশিত পরম বিচ্যুতি দৃঢ় হওয়ার প্রবণতা রাখে কারণ এটি পরিমাপ অসঙ্গতি বা অত্যধিক হেভি-টেইলড বিন্যাস থেকে উদ্ভূত আউটলায়ার-এর প্রতি কম সংবেদনশীল।

বিস্তার

যোগ এবং ধ্রুবক দ্বারা গুণ

ভেদাঙ্ক একটি অবস্থান প্যারামিটার-এর পরিবর্তনের সাপেক্ষে ইনভ্যারিয়েন্ট। অর্থাৎ, যদি চলকের সমস্ত মানের সাথে একটি ধ্রুবক যোগ করা হয়, তবে ভেদাঙ্ক অপরিবর্তিত থাকে: $$\mathrm{Var}(X+a)=\mathrm{Var}(X).$$

যদি সমস্ত মান একটি ধ্রুবক দ্বারা স্কেল করা হয়, তবে ভেদাঙ্ক সেই ধ্রুবকের বর্গ দ্বারা স্কেল হয়: $$\mathrm{Var}(aX)=a^2\mathrm{Var}(X).$$

দুটি দৈব চলকের সমষ্টির ভেদাঙ্ক হলো $$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}(aX+bY)& =a^2\mathrm{Var}(X)+b^2\mathrm{Var}(Y)+2ab\mathrm{Cov}(X,Y)\\ \mathrm{Var}(aX-bY)& =a^2\mathrm{Var}(X)+b^2\mathrm{Var}(Y)-2ab\mathrm{Cov}(X,Y)\end{array}$$ যেখানে $\mathrm{Cov}(X,Y)$ হলো সহভেদাঙ্ক।

রৈখিক সমন্বয়

সাধারণভাবে, $N$ সংখ্যক দৈব চলক \{X_1,\dots,X_N\}-এর সমষ্টির জন্য, ভেদাঙ্ক হয়: $$\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^N{X}_i\right)=\sum _{i,j=1}^N\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\sum _{i=1}^N\mathrm{Var}(X_i)+\sum _{i,j=1,i\ne j}^N\mathrm{Cov}(X_i,X_j),$$ আরও দেখুন সাধারণ বিয়েনায়মে-এর অভেদ।

এই ফলাফলগুলো একটি রৈখিক সমন্বয়-এর ভেদাঙ্ককে নিম্নরূপ করে তোলে: $$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^N{a}_i{X}_i\right)& =\sum _{i,j=1}^N{a}_i{a}_j\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\\ & =\sum _{i=1}^N{a}_i^2\mathrm{Var}(X_i)+\sum _{i\ne j}{a}_i{a}_j\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\\ & =\sum _{i=1}^N{a}_i^2\mathrm{Var}(X_i)+2\sum _{1\le i<j\le N}{a}_i{a}_j\mathrm{Cov}(X_i,X_j).\end{array}$$

যদি দৈব চলক $X_1,\dots ,X_N$ এমন হয় যে $$\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=0,\mathrm{\forall }(i\ne j),$$ তবে তাদের অসংযুক্ত বলা হয়। পূর্বের রাশি থেকে সরাসরি বোঝা যায় যে যদি দৈব চলক $X_1,\dots ,X_N$ অসংযুক্ত হয়, তবে তাদের সমষ্টির ভেদাঙ্ক তাদের ভেদাঙ্কগুলোর সমষ্টির সমান, বা প্রতীকীভাবে: $$\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^N{X}_i\right)=\sum _{i=1}^N\mathrm{Var}(X_i).$$

যেহেতু স্বাধীন দৈব চলকগুলো সর্বদা অসংযুক্ত (দেখুন অসংযুক্ততা এবং স্বাধীনতা), উপরের সমীকরণটি বিশেষভাবে সত্য যখন দৈব চলক $X_1,\dots ,X_n$ স্বাধীন হয়। সুতরাং, সমষ্টির ভেদাঙ্ক ভেদাঙ্কগুলোর সমষ্টির সমান হওয়ার জন্য স্বাধীনতা যথেষ্ট কিন্তু প্রয়োজনীয় নয়।

রৈখিক সমন্বয়ের ভেদাঙ্কের জন্য ম্যাট্রিক্স নোটেশন

$X$-কে $n$ সংখ্যক দৈব চলক X_1, \ldots,X_n-এর একটি কলাম ভেক্টর হিসেবে এবং $c$-কে $n$ সংখ্যক স্কেলার c_1, \ldots,c_n-এর একটি কলাম ভেক্টর হিসেবে সংজ্ঞায়িত করুন। অতএব, $c^{\mathsf{T}}X$ হলো এই দৈব চলকগুলোর একটি রৈখিক সমন্বয়, যেখানে $c^{\mathsf{T}}$ হলো c-এর ট্রান্সপোজ। আরও ধরুন $\mathrm{\Sigma }$ হলো X-এর সহভেদাঙ্ক ম্যাট্রিক্স। $c^{\mathsf{T}}X$-এর ভেদাঙ্ক তখন নিম্নরূপ: $$\mathrm{Var}\left(c^{\mathsf{T}}X\right)=c^{\mathsf{T}}\mathrm{\Sigma }c.$$

এটি নির্দেশ করে যে গড়ের ভেদাঙ্ককে লেখা যেতে পারে (একের কলাম ভেক্টরসহ) $$\mathrm{Var}\left(\overline{x}\right)=\mathrm{Var}\left(\frac{1}{n}{1}^{\prime }X\right)=\frac{1}{n^2}{1}^{\prime }\mathrm{\Sigma }1.$$

চলকের সমষ্টি

অসংযুক্ত চলকের সমষ্টি

মূল নিবন্ধ: বিয়েনায়মে-এর অভেদ আরও দেখুন: স্বাভাবিকভাবে বিন্যস্ত দৈব চলকের সমষ্টি বিচ্ছুরণের অন্যান্য পরিমাপের চেয়ে ভেদাঙ্ক ব্যবহারের একটি কারণ হলো অসংযুক্ত দৈব চলকের সমষ্টির (বা পার্থক্যের) ভেদাঙ্ক তাদের ভেদাঙ্কগুলোর সমষ্টি: $$\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i).$$

এই বিবৃতিটিকে বিয়েনায়মে সূত্র বলা হয় এবং এটি 1853 সালে আবিষ্কৃত হয়েছিল। এটি প্রায়শই এই শক্তিশালী শর্তের সাথে করা হয় যে চলকগুলো স্বাধীন, কিন্তু অসংযুক্ত হওয়াই যথেষ্ট। সুতরাং যদি সমস্ত চলকের একই ভেদাঙ্ক σ² থাকে, তবে যেহেতু n দ্বারা ভাগ করা একটি রৈখিক রূপান্তর, এই সূত্রটি তাৎক্ষণিকভাবে নির্দেশ করে যে তাদের গড়ের ভেদাঙ্ক হলো $$\mathrm{Var}\left(\bar{X}\right)=\mathrm{Var}\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}\left(X_i\right)=\frac{1}{n^2}n{\sigma }^2=\frac{{\sigma }^2}{n}.$$

অর্থাৎ, n বাড়লে গড়ের ভেদাঙ্ক কমে। গড়ের ভেদাঙ্কের এই সূত্রটি নমুনা গড়ের পরিমিত ত্রুটি-এর সংজ্ঞায় ব্যবহৃত হয়, যা কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য-এ ব্যবহৃত হয়।

প্রাথমিক বিবৃতিটি প্রমাণ করার জন্য, এটি দেখানো যথেষ্ট যে $$\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y).$$

সাধারণ ফলাফলটি তখন আরোহী পদ্ধতিতে অনুসরণ করে। সংজ্ঞা থেকে শুরু করে, $$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}(X+Y)& =\mathrm{E}[(X+Y{)}^2]-(\mathrm{E}[X+Y]{)}^2\\ & =\mathrm{E}[X^2+2XY+Y^2]-(\mathrm{E}[X]+\mathrm{E}[Y]{)}^2.\end{array}$$

প্রত্যাশা অপারেটর-এর রৈখিকতা এবং X ও Y-এর স্বাধীনতার (বা অসংযুক্ততার) অনুমান ব্যবহার করে, এটি নিম্নরূপভাবে সরলীকৃত হয়: $$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}(X+Y)& =\mathrm{E}\left[X^2\right]+2\mathrm{E}[XY]+\mathrm{E}\left[Y^2\right]-(\mathrm{E}[X{]}^2+2\mathrm{E}[X]\mathrm{E}[Y]+\mathrm{E}[Y{]}^2)\\ & =\mathrm{E}\left[X^2\right]+\mathrm{E}\left[Y^2\right]-\mathrm{E}[X{]}^2-\mathrm{E}[Y{]}^2\\ & =\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y).\end{array}$$

সংযুক্ত চলকের সমষ্টি

নির্দিষ্ট নমুনার আকারের সাথে সংযুক্ত চলকের সমষ্টি

মূল নিবন্ধ: বিয়েনায়মে-এর অভেদ সাধারণভাবে, n সংখ্যক চলকের সমষ্টির ভেদাঙ্ক তাদের সহভেদাঙ্ক-এর সমষ্টি: $$\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}\left(X_i\right)+2\sum _{1\le i<j\le n}\mathrm{Cov}(X_i,X_j).$$ (দ্রষ্টব্য: দ্বিতীয় সমতাটি এই সত্য থেকে আসে যে 1=Cov(X_i, X_i) = Var(X_i)।)

এখানে, $\mathrm{Cov}(\cdot ,\cdot )$ হলো সহভেদাঙ্ক, যা স্বাধীন দৈব চলকের জন্য শূন্য (যদি এটি বিদ্যমান থাকে)। সূত্রটি নির্দেশ করে যে সমষ্টির ভেদাঙ্ক উপাদানগুলোর সহভেদাঙ্ক ম্যাট্রিক্সের সমস্ত উপাদানের সমষ্টির সমান। পরবর্তী রাশিটি সমতুল্যভাবে নির্দেশ করে যে সমষ্টির ভেদাঙ্ক হলো সহভেদাঙ্ক ম্যাট্রিক্সের কর্ণের সমষ্টি এবং এর উপরের ত্রিভুজাকার উপাদানগুলোর (বা এর নিচের ত্রিভুজাকার উপাদানগুলোর) সমষ্টির দুই গুণের যোগফল; এটি জোর দেয় যে সহভেদাঙ্ক ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম। এই সূত্রটি ধ্রুপদী পরীক্ষা তত্ত্ব-এ ক্রনব্যাক আলফা-এর তত্ত্বে ব্যবহৃত হয়।

সুতরাং, যদি চলকগুলোর সমান ভেদাঙ্ক σ² থাকে এবং স্বতন্ত্র চলকগুলোর গড় সহসম্পর্ক ρ হয়, তবে তাদের গড়ের ভেদাঙ্ক হলো $$\mathrm{Var}\left(\bar{X}\right)=\frac{{\sigma }^2}{n}+\frac{n-1}{n}\rho {\sigma }^2.$$

এটি নির্দেশ করে যে গড়ের ভেদাঙ্ক সহসম্পর্কগুলোর গড়ের সাথে বৃদ্ধি পায়। অন্য কথায়, অতিরিক্ত সংযুক্ত পর্যবেক্ষণগুলো গড়ের অনিশ্চয়তা কমানোর ক্ষেত্রে অতিরিক্ত স্বাধীন পর্যবেক্ষণের মতো কার্যকর নয়। অধিকন্তু, যদি চলকগুলোর একক ভেদাঙ্ক থাকে, উদাহরণস্বরূপ যদি তারা প্রমিত হয়, তবে এটি সরলীকৃত হয়ে হয় $$\mathrm{Var}\left(\bar{X}\right)=\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n}\rho .$$

এই সূত্রটি ধ্রুপদী পরীক্ষা তত্ত্বের স্পিয়ারম্যান-ব্রাউন পূর্বাভাস সূত্র-এ ব্যবহৃত হয়। এটি ρ-এর দিকে অভিসারী হয় যদি n অসীমের দিকে যায়, শর্ত থাকে যে গড় সহসম্পর্ক স্থির থাকে বা অভিসারী হয়। সুতরাং প্রমিত চলকের গড়ের ভেদাঙ্কের জন্য সমান সহসম্পর্ক বা অভিসারী গড় সহসম্পর্কসহ আমরা পাই $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{Var}\left(\bar{X}\right)=\rho .$$

অতএব, বিপুল সংখ্যক প্রমিত চলকের গড়ের ভেদাঙ্ক প্রায় তাদের গড় সহসম্পর্কের সমান। এটি স্পষ্ট করে যে সংযুক্ত চলকের নমুনা গড় সাধারণত পপুলেশন গড়ের দিকে অভিসারী হয় না, যদিও বৃহৎ সংখ্যার সূত্র বলে যে স্বাধীন চলকের জন্য নমুনা গড় অভিসারী হবে।

দৈব নমুনা আকারের সাথে অসংলগ্ন চলকের সমষ্টি

এমন কিছু ক্ষেত্র রয়েছে যেখানে কোনো নির্দিষ্ট মানদণ্ড অনুযায়ী কতগুলো পর্যবেক্ষণ গ্রহণযোগ্য হবে তা আগে থেকে না জেনেই নমুনা নেওয়া হয়। এমন ক্ষেত্রে, নমুনার আকার N একটি দৈব চলক, যার পরিবর্তন X-এর পরিবর্তনের সাথে যুক্ত হয়, যেমন, $$\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^N{X}_i\right)=\mathrm{E}\left[N\right]\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(N)(\mathrm{E}\left[X\right]{)}^2$$ যা মোট ভেদাঙ্কের সূত্র (law of total variance) থেকে পাওয়া যায়।

যদি N-এর একটি পয়সন বিন্যাস (Poisson distribution) থাকে, তবে $\mathrm{E}[N]=\mathrm{Var}(N)$ হয়, যেখানে প্রাক্কলক (estimator) হলো 1=n = N। সুতরাং, $\mathrm{Var}\left({\sum }_{i=1}^n{X}_i\right)$-এর প্রাক্কলকটি হয় \textstyle n{S_x}^2+n\bar{X}^2, যা থেকে পাওয়া যায় Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \textstyle \operatorname{SE}(\bar{X})=\sqrt} (দেখুন Standard error#Standard error of the sample mean)।

চলকের গুরুত্বযুক্ত সমষ্টি (Weighted sum)

আরও দেখুন: Weighted arithmetic mean#Variance|Variance of a weighted arithmetic mean

স্কেলিং বৈশিষ্ট্য এবং বিনেমে সূত্র (Bienaymé formula), সহভেদাঙ্ক (covariance)-এর বৈশিষ্ট্য Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y)-এর সাথে মিলিত হয়ে নির্দেশ করে যে: $$\mathrm{Var}(aX\pm bY)=a^2\mathrm{Var}(X)+b^2\mathrm{Var}(Y)\pm 2ab\mathrm{Cov}(X,Y).$$

এর অর্থ হলো, চলকের একটি গুরুত্বযুক্ত সমষ্টিতে (weighted sum), যে চলকের গুরুত্ব (weight) সবচেয়ে বেশি, মোট ভেদাঙ্কে তার প্রভাব অসামঞ্জস্যপূর্ণভাবে বেশি হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি X এবং Y অসংলগ্ন (uncorrelated) হয় এবং X-এর গুরুত্ব Y-এর গুরুত্বের দ্বিগুণ হয়, তবে X-এর ভেদাঙ্কের গুরুত্ব Y-এর ভেদাঙ্কের গুরুত্বের চার গুণ হবে।

উপরের রাশিটিকে একাধিক চলকের গুরুত্বযুক্ত সমষ্টির ক্ষেত্রে প্রসারিত করা যায়: $$\mathrm{Var}\left(\sum _i^n{a}_i{X}_i\right)=\sum _{i=1}^n{a}_i^2\mathrm{Var}(X_i)+2\sum _{1\le i}\sum _{<j\le n}{a}_i{a}_j\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$$

চলকের গুণফল

স্বাধীন চলকের গুণফল

যদি দুটি চলক X এবং Y স্বাধীন (independent) হয়, তবে তাদের গুণফলের ভেদাঙ্ক নিম্নরূপ: $$\mathrm{Var}(XY)=[\mathrm{E}(X){]}^2\mathrm{Var}(Y)+[\mathrm{E}(Y){]}^2\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y).$$

সমতুল্যভাবে, প্রত্যাশার মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলো ব্যবহার করে এটি লেখা যায়: $$\mathrm{Var}(XY)=\mathrm{E}\left(X^2\right)\mathrm{E}\left(Y^2\right)-[\mathrm{E}(X){]}^2[\mathrm{E}(Y){]}^2.$$

পরিসংখ্যানগতভাবে নির্ভরশীল চলকের গুণফল

সাধারণভাবে, যদি দুটি চলক পরিসংখ্যানগতভাবে নির্ভরশীল হয়, তবে তাদের গুণফলের ভেদাঙ্ক নিম্নরূপ:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}(XY)=& \mathrm{E}\left[X^2{Y}^2\right]-[\mathrm{E}(XY){]}^2\\ =& \mathrm{Cov}(X^2,Y^2)+\mathrm{E}(X^2)\mathrm{E}\left(Y^2\right)-[\mathrm{E}(XY){]}^2\\ =& \mathrm{Cov}(X^2,Y^2)+(\mathrm{Var}(X)+[\mathrm{E}(X){]}^2)(\mathrm{Var}(Y)+[\mathrm{E}(Y){]}^2)\\ & -[\mathrm{Cov}(X,Y)+\mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y){]}^2\end{array}$$

ইচ্ছামাফিক ফাংশন

মূল নিবন্ধ: Uncertainty propagation

ডেল্টা পদ্ধতি (delta method) এক বা একাধিক দৈব চলকের ফাংশনের ভেদাঙ্ক প্রাক্কলন করতে দ্বিতীয়-ক্রমের টেইলর বিস্তৃতি (Taylor expansion) ব্যবহার করে (দেখুন Taylor expansions for the moments of functions of random variables)। উদাহরণস্বরূপ, একটি চলকের ফাংশনের আসন্ন ভেদাঙ্ক হলো: $$\mathrm{Var}[f(X)]\approx {(f^{\prime }(\mathrm{E}\left[X\right]))}^2\mathrm{Var}\left[X\right]$$ শর্ত থাকে যে, f দ্বি-অন্তরীকরণযোগ্য (twice differentiable) এবং X-এর গড় ও ভেদাঙ্ক সসীম।

পপুলেশন ভেদাঙ্ক এবং নমুনা ভেদাঙ্ক

Estimation আরও দেখুন: Unbiased estimation of standard deviation বাস্তব জগতের পর্যবেক্ষণগুলো, যেমন গতকাল সারাদিনের বৃষ্টির পরিমাপ, সাধারণত সম্ভাব্য সকল পর্যবেক্ষণের সম্পূর্ণ সেট হতে পারে না। তাই, সসীম সেট থেকে গণনা করা ভেদাঙ্ক সাধারণত সম্ভাব্য সকল পর্যবেক্ষণের সম্পূর্ণ পপুলেশন থেকে গণনা করা ভেদাঙ্কের সাথে মেলে না। এর অর্থ হলো, একজন পর্যবেক্ষক একটি প্রাক্কলক (estimator) সমীকরণ ব্যবহার করে সীমিত সংখ্যক পর্যবেক্ষণ থেকে গড় এবং ভেদাঙ্ক প্রাক্কলন (estimate) করেন। প্রাক্কলকটি হলো সম্ভাব্য পর্যবেক্ষণের সম্পূর্ণ পরিসংখ্যানগত পপুলেশন (statistical population) থেকে কোনো পক্ষপাত ছাড়াই নেওয়া n সংখ্যক পর্যবেক্ষণের নমুনা (sample)-এর একটি ফাংশন। এই উদাহরণে, নমুনাটি হবে আগ্রহের ভৌগোলিক এলাকার উপলব্ধ রেইন গেজ থেকে গতকালের বৃষ্টিপাতের প্রকৃত পরিমাপের সেট।

পপুলেশন গড় এবং পপুলেশন ভেদাঙ্কের জন্য সবচেয়ে সহজ প্রাক্কলকগুলো হলো নমুনার গড় এবং ভেদাঙ্ক, যা নমুনা গড় (sample mean) এবং (অসংশোধিত) নমুনা ভেদাঙ্ক (uncorrected sample variance) নামে পরিচিত—এগুলো সামঞ্জস্যপূর্ণ প্রাক্কলক (consistent estimator) (নমুনার সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে এগুলো সম্পূর্ণ পপুলেশনের মানের দিকে ধাবিত হয়), তবে এদের উন্নত করা সম্ভব। সবচেয়ে সহজভাবে, নমুনা ভেদাঙ্ক গণনা করা হয় (নমুনা) গড়ের সাপেক্ষে বর্গীয় বিচ্যুতি (squared deviations)-এর সমষ্টিকে নমুনার সংখ্যা n দিয়ে ভাগ করে। তবে, n-এর পরিবর্তে অন্য মান ব্যবহার করলে প্রাক্কলকটি বিভিন্নভাবে উন্নত হয়। হর (denominator)-এর জন্য চারটি সাধারণ মান হলো n, n − 1, n + 1, এবং n − 1.5: n হলো সবচেয়ে সহজ (নমুনার ভেদাঙ্ক), n − 1 পক্ষপাত দূর করে, n + 1 স্বাভাবিক বিন্যাসের জন্য গড় বর্গীয় ত্রুটি (mean squared error) হ্রাস করে, এবং n − 1.5 স্বাভাবিক বিন্যাসের জন্য মানক বিচ্যুতির নিরপেক্ষ প্রাক্কলন (unbiased estimation of standard deviation)-এ পক্ষপাত প্রায় সম্পূর্ণ দূর করে।

প্রথমত, যদি প্রকৃত পপুলেশন গড় অজানা থাকে, তবে নমুনা ভেদাঙ্ক (যা প্রকৃত গড়ের পরিবর্তে নমুনা গড় ব্যবহার করে) একটি পক্ষপাতদুষ্ট প্রাক্কলক (biased estimator): এটি ভেদাঙ্ককে (n − 1) / n গুণক দ্বারা কম প্রাক্কলন করে; এই গুণকটি সংশোধন করে, অর্থাৎ নমুনা গড়ের সাপেক্ষে বর্গীয় বিচ্যুতির সমষ্টিকে n-এর পরিবর্তে n − 1 দিয়ে ভাগ করলে তাকে বেসেলের সংশোধন (Bessel's correction) বলা হয়। প্রাপ্ত প্রাক্কলকটি নিরপেক্ষ এবং একে (সংশোধিত) নমুনা ভেদাঙ্ক (corrected sample variance) বা নিরপেক্ষ নমুনা ভেদাঙ্ক (unbiased sample variance) বলা হয়। যদি গড়টি ভেদাঙ্ক প্রাক্কলনের জন্য ব্যবহৃত নমুনা ছাড়া অন্য কোনো উপায়ে নির্ধারিত হয়, তবে এই পক্ষপাত তৈরি হয় না এবং ভেদাঙ্কটি নিরাপদে (স্বাধীনভাবে জানা) গড়ের সাপেক্ষে নমুনার ভেদাঙ্ক হিসেবে প্রাক্কলন করা যায়।

দ্বিতীয়ত, নমুনা ভেদাঙ্ক সাধারণত নমুনা ভেদাঙ্ক এবং পপুলেশন ভেদাঙ্কের মধ্যে গড় বর্গীয় ত্রুটি হ্রাস করে না। পক্ষপাতের জন্য সংশোধন অনেক সময় পরিস্থিতি আরও খারাপ করে: কেউ সবসময় এমন একটি স্কেল গুণক বেছে নিতে পারে যা সংশোধিত নমুনা ভেদাঙ্কের চেয়ে ভালো কাজ করে, যদিও সর্বোত্তম স্কেল গুণকটি পপুলেশনের অতিরিক্ত কার্টোসিস (excess kurtosis)-এর ওপর নির্ভর করে (দেখুন Mean squared error#Variance) এবং এটি পক্ষপাত তৈরি করে। এটি সবসময় নিরপেক্ষ প্রাক্কলককে ছোট করার (n − 1-এর চেয়ে বড় সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা) মাধ্যমে গঠিত হয় এবং এটি একটি শ্রিনকেজ প্রাক্কলক (shrinkage estimator)-এর সহজ উদাহরণ: কেউ নিরপেক্ষ প্রাক্কলককে শূন্যের দিকে "সংকুচিত" করে। স্বাভাবিক বিন্যাসের জন্য, n + 1 দিয়ে ভাগ করা (n − 1 বা n-এর পরিবর্তে) গড় বর্গীয় ত্রুটি হ্রাস করে। তবে প্রাপ্ত প্রাক্কলকটি পক্ষপাতদুষ্ট এবং একে পক্ষপাতদুষ্ট নমুনা ভেদাঙ্ক (biased sample variation) বলা হয়।

পপুলেশন ভেদাঙ্ক

সাধারণভাবে, N আকারের একটি সসীম পরিসংখ্যানগত পপুলেশন-এর x_i মানগুলোর পপুলেশন ভেদাঙ্ক নিম্নরূপ: $$\begin{array}{rl}{\sigma }^2& =\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{(x_i-\mu )}^2=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i^2-2\mu x_i+{\mu }^2)\\ & =\left(\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i^2\right)-2\mu \left(\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i\right)+{\mu }^2\\ & =\mathrm{E}[x_i^2]-{\mu }^2,\end{array}$$ যেখানে পপুলেশন গড় $\mu =\mathrm{E}[x_i]=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{x}_i$ এবং 1= \textstyle \operatorname{E}[x_i^2] = \left(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i^2\right), যেখানে $\mathrm{E}$ হলো প্রত্যাশিত মান (expectation value) অপারেটর।

পপুলেশন ভেদাঙ্ক নিম্নোক্ত উপায়েও গণনা করা যায়: $${\sigma }^2=\frac{1}{N^2}\sum _{i<j}{(x_i-x_j)}^2=\frac{1}{2N^2}\sum _{i,j=1}^N{(x_i-x_j)}^2.$$

(ডানদিকের রাশিতে সমষ্টিতে সদৃশ পদ রয়েছে, যেখানে মাঝের রাশিতে কেবল অনন্য পদগুলো যোগ করা হয়।) এটি সত্য কারণ: $$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2N^2}\sum _{i,j=1}^N{(x_i-x_j)}^2\\ =& \frac{1}{2N^2}\sum _{i,j=1}^N(x_i^2-2x_i{x}_j+x_j^2)\\ =& \frac{1}{2N}\sum _{j=1}^N\left(\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i^2\right)-\left(\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i\right)\left(\frac{1}{N}\sum _{j=1}^N{x}_j\right)+\frac{1}{2N}\sum _{i=1}^N\left(\frac{1}{N}\sum _{j=1}^N{x}_j^2\right)\\ =& \frac{1}{2}({\sigma }^2+{\mu }^2)-{\mu }^2+\frac{1}{2}({\sigma }^2+{\mu }^2)\\ =& {\sigma }^2.\end{array}$$

পপুলেশন ভেদাঙ্ক উৎপাদনকারী সম্ভাবনা বিন্যাসের ভেদাঙ্কের সাথে মিলে যায়। এই অর্থে, পপুলেশনের ধারণাটি অসীম পপুলেশনসহ অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকের ক্ষেত্রেও প্রসারিত করা যায়।

নমুনা ভেদাঙ্ক

আরও দেখুন: Sample standard deviation

পক্ষপাতদুষ্ট নমুনা ভেদাঙ্ক

অনেক ব্যবহারিক পরিস্থিতিতে, একটি পপুলেশনের প্রকৃত ভেদাঙ্ক আগে থেকে জানা থাকে না এবং তা কোনোভাবে গণনা করতে হয়। অত্যন্ত বড় পপুলেশনের ক্ষেত্রে, পপুলেশনের প্রতিটি বস্তুকে গণনা করা সম্ভব নয়, তাই গণনাটি পপুলেশনের একটি নমুনা (sample)-এর ওপর করতে হয়। একে সাধারণত নমুনা ভেদাঙ্ক (sample variance) বা অভিজ্ঞতামূলক ভেদাঙ্ক (empirical variance) বলা হয়। নমুনা ভেদাঙ্ক কোনো অবিচ্ছিন্ন বিন্যাসের নমুনা থেকে সেই বিন্যাসের ভেদাঙ্ক প্রাক্কলনের ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা যায়।

আমরা N আকারের পপুলেশন থেকে n মানবিশিষ্ট একটি প্রতিস্থাপনসহ নমুনা (sample with replacement) Y₁, ..., Y_n নিই, যেখানে n < N, এবং এই নমুনার ভিত্তিতে ভেদাঙ্ক প্রাক্কলন করি। সরাসরি নমুনার তথ্যের ভেদাঙ্ক নিলে বর্গীয় বিচ্যুতি-এর গড় পাওয়া যায়: $${\tilde{S}}_Y^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(Y_i-\bar{Y})}^2=\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i^2\right)-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{Y}}=\frac{1}{n^2}\sum _{i,j:i<j}{(Y_i-Y_j)}^2.$$ (এই সূত্রের ব্যুৎপত্তির জন্য #Population variance বিভাগটি দেখুন।) এখানে, $\bar{Y}$ হলো নমুনা গড়: $$\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i.$$

যেহেতু Y_i-গুলো দৈবভাবে নির্বাচিত হয়, তাই $\bar{Y}$ এবং ${\tilde{S}}_Y^2$ উভয়ই দৈব চলক। পপুলেশন থেকে n আকারের সকল সম্ভাব্য নমুনার Y_i এনসেম্বলের ওপর গড় করে এদের প্রত্যাশিত মান নির্ণয় করা যায়। ${\tilde{S}}_Y^2$-এর জন্য এটি হয়: $$\begin{array}{rl}\mathrm{E}[{\tilde{S}}_Y^2]& =\mathrm{E}\left[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(Y_i-\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{Y}_j)}^2\right]\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\mathrm{E}[Y_i^2-\frac{2}{n}{Y}_i\sum _{j=1}^n{Y}_j+\frac{1}{n^2}\sum _{j=1}^n{Y}_j\sum _{k=1}^n{Y}_k]\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(\mathrm{E}\left[Y_i^2\right]-\frac{2}{n}(\sum _{j\ne i}\mathrm{E}\left[Y_i{Y}_j\right]+\mathrm{E}\left[Y_i^2\right])+\frac{1}{n^2}\sum _{j=1}^n\sum _{k\ne j}^n\mathrm{E}\left[Y_j{Y}_k\right]+\frac{1}{n^2}\sum _{j=1}^n\mathrm{E}\left[Y_j^2\right])\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(\frac{n-2}{n}\mathrm{E}\left[Y_i^2\right]-\frac{2}{n}\sum _{j\ne i}\mathrm{E}\left[Y_i{Y}_j\right]+\frac{1}{n^2}\sum _{j=1}^n\sum _{k\ne j}^n\mathrm{E}\left[Y_j{Y}_k\right]+\frac{1}{n^2}\sum _{j=1}^n\mathrm{E}\left[Y_j^2\right])\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n[\frac{n-2}{n}({\sigma }^2+{\mu }^2)-\frac{2}{n}(n-1){\mu }^2+\frac{1}{n^2}n(n-1){\mu }^2+\frac{1}{n}({\sigma }^2+{\mu }^2)]\\ & =\frac{n-1}{n}{\sigma }^2.\end{array}$$

এখানে ${\sigma }^2=\mathrm{E}[Y_i^2]-{\mu }^2$ হলো পপুলেশন ভেদাঙ্ক এবং $\mathrm{E}[Y_i{Y}_j]=\mathrm{E}[Y_i]\mathrm{E}[Y_j]={\mu }^2$, যা $Y_i$ এবং Y_j-এর স্বাধীনতার কারণে হয়।

সুতরাং ${\tilde{S}}_Y^2$ পপুলেশন ভেদাঙ্ক ${\sigma }^2$-এর একটি প্রাক্কলন দেয় যা $\frac{n-1}{n}$ গুণক দ্বারা পক্ষপাতদুষ্ট, কারণ ${\tilde{S}}_Y^2$-এর প্রত্যাশিত মান সেই গুণক দ্বারা পপুলেশন ভেদাঙ্ক (প্রকৃত ভেদাঙ্ক) থেকে ছোট। এই কারণে, ${\tilde{S}}_Y^2$-কে পক্ষপাতদুষ্ট নমুনা ভেদাঙ্ক বলা হয়।

নিরপেক্ষ নমুনা ভেদাঙ্ক

এই পক্ষপাতের সংশোধন করলে পাওয়া যায় নিরপেক্ষ নমুনা ভেদাঙ্ক, যাকে S^2 দ্বারা চিহ্নিত করা হয়: $$S^2=\frac{n}{n-1}{\tilde{S}}_Y^2=\frac{n}{n-1}\left[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(Y_i-\bar{Y})}^2\right]=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(Y_i-\bar{Y})}^2$$

প্রসঙ্গ অনুযায়ী উভয় প্রাক্কলককেই সহজভাবে নমুনা ভেদাঙ্ক বলা যেতে পারে। একই প্রমাণ অবিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিন্যাস থেকে নেওয়া নমুনার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

n − 1 পদের ব্যবহারকে বেসেলের সংশোধন বলা হয় এবং এটি নমুনা সহভেদাঙ্ক (sample covariance) এবং নমুনা মানক বিচ্যুতি (ভেদাঙ্কের বর্গমূল)-এর ক্ষেত্রেও ব্যবহৃত হয়। বর্গমূল একটি অবতল ফাংশন (concave function) এবং তাই এটি ঋণাত্মক পক্ষপাত তৈরি করে (জেনসেনের অসমতা অনুযায়ী), যা বিন্যাসের ওপর নির্ভর করে। তাই সংশোধিত নমুনা মানক বিচ্যুতি (বেসেলের সংশোধন ব্যবহার করে) পক্ষপাতদুষ্ট। মানক বিচ্যুতির নিরপেক্ষ প্রাক্কলন একটি প্রযুক্তিগতভাবে জটিল সমস্যা, যদিও স্বাভাবিক বিন্যাসের ক্ষেত্রে n − 1.5 পদটি ব্যবহার করলে প্রায় নিরপেক্ষ প্রাক্কলক পাওয়া যায়।

নিরপেক্ষ নমুনা ভেদাঙ্ক হলো 1=f(y₁, y₂) = (y₁ − y₂)²/2 ফাংশনের জন্য একটি U-পরিসংখ্যান (U-statistic), যার অর্থ হলো এটি পপুলেশনের ২-উপাদানবিশিষ্ট উপসেটগুলোর ওপর ২-নমুনা পরিসংখ্যানের গড় করে পাওয়া যায়।

উদাহরণ

10, 15, 30, 45, 57, 52, 63, 72, 81, 93, 102, 105 সংখ্যার একটি সেটের জন্য, যদি এই সেটটি কোনো পরিমাপের সম্পূর্ণ ডেটা পপুলেশন হয়, তবে ভেদাঙ্ক হলো পপুলেশন ভেদাঙ্ক ৯৩২.৭৪৩, যা এই সেটের গড়ের সাপেক্ষে বর্গীয় বিচ্যুতির সমষ্টিকে ১২ (সেটের সদস্য সংখ্যা) দিয়ে ভাগ করে পাওয়া যায়। যদি সেটটি সম্পূর্ণ পপুলেশন থেকে নেওয়া একটি নমুনা হয়, তবে নিরপেক্ষ নমুনা ভেদাঙ্ক গণনা করা যায় ১০১৭.৫৩৮, যা নমুনার গড়ের সাপেক্ষে বর্গীয় বিচ্যুতির সমষ্টিকে ১২-এর পরিবর্তে ১১ দিয়ে ভাগ করে পাওয়া যায়। মাইক্রোসফট এক্সেল-এ VAR.S ফাংশনটি নিরপেক্ষ নমুনা ভেদাঙ্ক দেয়, যেখানে VAR.P পপুলেশন ভেদাঙ্কের জন্য ব্যবহৃত হয়।

নমুনা ভেদাঙ্কের বিন্যাস

right

দৈব চলক-এর একটি ফাংশন হওয়ায়, নমুনা ভেদাঙ্ক নিজেই একটি দৈব চলক এবং এর বিন্যাস নিয়ে অধ্যয়ন করা স্বাভাবিক। যদি Y_i-গুলো স্বাভাবিক বিন্যাস থেকে নেওয়া স্বাধীন পর্যবেক্ষণ হয়, তবে ককরানের উপপাদ্য (Cochran's theorem) দেখায় যে নিরপেক্ষ নমুনা ভেদাঙ্ক S² একটি স্কেলড কাই-স্কয়ার বিন্যাস (chi-squared distribution) অনুসরণ করে (আরও দেখুন: অ্যাসিম্পটোটিক বৈশিষ্ট্য এবং একটি প্রাথমিক প্রমাণ): $$(n-1)\frac{S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n-1}^2,$$ যেখানে σ² হলো পপুলেশন ভেদাঙ্ক। সরাসরি ফলাফল হিসেবে, এটি অনুসরণ করে যে: $$\mathrm{E}\left(S^2\right)=\mathrm{E}\left(\frac{{\sigma }^2}{n-1}{\chi }_{n-1}^2\right)={\sigma }^2,$$ এবং Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \operatorname{Var}\left[S^2\right] = \operatorname{Var}\left(\frac{\sigma^2}{n - 1} \chi^2_{n-1}\right) = \frac{\sigma^4}} হয়, তবে ভেদাঙ্ক অপরিবর্তিত থাকবে। তদনুসারে, যদি নতুন পর্যবেক্ষণটি গড়ের কাছাকাছি হয় ($|x_{n+1}|<{\overline{x}}_n+s_n\sqrt{\frac{n+1}{n}}$), তবে ভেদাঙ্ক হ্রাস পাবে—এবং যদি তা গড় থেকে দূরে হয় ($|x_{n+1}|>{\overline{x}}_n+s_n\sqrt{\frac{n+1}{n}}$), তবে ভেদাঙ্ক বৃদ্ধি পাবে।

width:100% নমুনা ভেদাঙ্কের ব্যুৎপত্তি

বর্গের সমষ্টির ($SS$) আপডেট সূত্র ব্যবহার করে:

$S{S}_{n+1}=S{S}_n+\frac{n}{n+1}(x_{n+1}-{\overline{x}}_n{)}^2$

নমুনা ভেদাঙ্কের সম্পর্ক ($SS=(n-1)s^2$) প্রতিস্থাপন করে:

$n{s}_{n+1}^2=(n-1)s_n^2+\frac{n}{n+1}(x_{n+1}-{\overline{x}}_n{)}^2$

$s_{n+1}^2=s_n^2$ ধরে:

$n{s}_n^2=(n-1)s_n^2+\frac{n}{n+1}(x_{n+1}-{\overline{x}}_n{)}^2$

$s_n^2=\frac{n}{n+1}(x_{n+1}-{\overline{x}}_n{)}^2$

$x_{n+1}$-এর জন্য সমাধান করলে পাওয়া যায়:

$x_{n+1}={\overline{x}}_n\pm s_n\sqrt{\frac{n+1}{n}}$

পপুলেশন ভেদাঙ্কের ব্যুৎপত্তি

পপুলেশন ভেদাঙ্কের (${\sigma }^2=\frac{SS}{n}$) জন্য, আপডেট সূত্রটি হলো:

$(n+1){\sigma }_{n+1}^2=n{\sigma }_n^2+\frac{n}{n+1}(x_{n+1}-{\mu }_n{)}^2$

${\sigma }_{n+1}^2={\sigma }_n^2$ ধরে:

$(n+1){\sigma }_n^2=n{\sigma }_n^2+\frac{n}{n+1}(x_{n+1}-{\mu }_n{)}^2$

${\sigma }_n^2=\frac{n}{n+1}(x_{n+1}-{\mu }_n{)}^2$

$x_{n+1}$-এর জন্য সমাধান করলে পাওয়া যায়:

$x_{n+1}={\mu }_n\pm {\sigma }_n\sqrt{\frac{n+1}{n}}$

হারমোনিক এবং গাণিতিক গড়ের সাথে সম্পর্ক

এটি দেখানো হয়েছে যে ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার একটি নমুনা y_i-এর জন্য, $${\sigma }_y^2\le 2y_{\max }(A-H),$$ যেখানে y_max হলো নমুনার সর্বোচ্চ মান, A হলো গাণিতিক গড়, H হলো নমুনার হারমোনিক গড় এবং ${\sigma }_y^2$ হলো নমুনার (পক্ষপাতদুষ্ট) ভেদাঙ্ক।

এই সীমাটি উন্নত করা হয়েছে এবং এটি জানা গেছে যে ভেদাঙ্ক নিম্নোক্ত সীমার মধ্যে থাকে: $$\begin{array}{rl}{\sigma }_y^2& \le \frac{y_{\max }(A-H)(y_{\max }-A)}{y_{\max }-H},\\ {\sigma }_y^2& \ge \frac{y_{\min }(A-H)(A-y_{\min })}{H-y_{\min }},\end{array}$$ যেখানে y_min হলো নমুনার সর্বনিম্ন মান।

ভেদাঙ্কের সমতার পরীক্ষা

নমুনা স্বাভাবিকভাবে বিন্যস্ত হলে ভেদাঙ্কের সমতার জন্য এফ-পরীক্ষা (F-test of equality of variances) এবং কাই-স্কয়ার পরীক্ষা উপযুক্ত। স্বাভাবিক বিন্যাস না থাকলে দুই বা ততোধিক ভেদাঙ্কের সমতা পরীক্ষা করা আরও কঠিন হয়ে পড়ে।

বেশ কিছু নন-প্যারামেট্রিক পরীক্ষা প্রস্তাব করা হয়েছে: এর মধ্যে রয়েছে বার্টন-ডেভিড-আনসারি-ফ্রুন্ড-সিগেল-টুকেই পরীক্ষা, ক্যাপন পরীক্ষা, মুড পরীক্ষা, ক্লটজ পরীক্ষা এবং সুখাতমে পরীক্ষা। সুখাতমে পরীক্ষা দুটি ভেদাঙ্কের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য এবং এর জন্য উভয় মধ্যক (median) জানা থাকা এবং শূন্যের সমান হওয়া প্রয়োজন। মুড, ক্লটজ, ক্যাপন এবং বার্টন-ডেভিড-আনসারি-ফ্রুন্ড-সিগেল-টুকেই পরীক্ষাও দুটি ভেদাঙ্কের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। এগুলো মধ্যক অজানা থাকলেও কাজ করে, তবে দুটি মধ্যক সমান হওয়া প্রয়োজন।

লেহম্যান পরীক্ষা (Lehmann test) হলো দুটি ভেদাঙ্কের একটি প্যারামেট্রিক পরীক্ষা। এই পরীক্ষার বেশ কিছু রূপভেদ রয়েছে। ভেদাঙ্কের সমতার অন্যান্য পরীক্ষার মধ্যে রয়েছে বক্স পরীক্ষা, বক্স-অ্যান্ডারসন পরীক্ষা এবং মোসেস পরীক্ষা।

রিস্যাম্পলিং পদ্ধতি, যার মধ্যে রয়েছে বুটস্ট্র্যাপিং (পরিসংখ্যান) এবং জ্যাকনাইফ, ভেদাঙ্কের সমতা পরীক্ষার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে।

জড়তার ভ্রামক

আরও দেখুন: Moment (physics)#Examples একটি সম্ভাবনা বিন্যাসের ভেদাঙ্ক হলো একটি রেখা বরাবর ভর বিন্যাসের জড়তার ভ্রামক (moment of inertia)-এর অনুরূপ, যা তার ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে ঘূর্ণনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। এই সাদৃশ্যের কারণেই ভেদাঙ্কের মতো বিষয়গুলোকে সম্ভাবনা বিন্যাস-এর মোমেন্ট বলা হয়। সহভেদাঙ্ক ম্যাট্রিক্সটি মাল্টিভ্যারিয়েট বিন্যাসের জন্য জড়তার ভ্রামক টেনসর-এর সাথে সম্পর্কিত। $\mathrm{\Sigma }$ সহভেদাঙ্ক ম্যাট্রিক্সসহ n সংখ্যক বিন্দুর মেঘের জড়তার ভ্রামক হলো: $$I=n({\mathbf{𝟏}}_{3\times 3}\mathrm{tr}(\mathrm{\Sigma })-\mathrm{\Sigma }).$$

পদার্থবিজ্ঞান এবং পরিসংখ্যানে জড়তার ভ্রামকের এই পার্থক্যটি এমন বিন্দুর ক্ষেত্রে স্পষ্ট হয় যা একটি রেখা বরাবর জমা থাকে। ধরুন অনেক বিন্দু x অক্ষের কাছাকাছি এবং তার বরাবর বিন্যস্ত। সহভেদাঙ্ক ম্যাট্রিক্সটি এমন হতে পারে: $$\mathrm{\Sigma }=\left[\begin{array}{ccc}10& 0& 0\\ 0& 0.1& 0\\ 0& 0& 0.1\end{array}\right].$$

অর্থাৎ, x দিকে ভেদাঙ্ক সবচেয়ে বেশি। পদার্থবিজ্ঞানীরা এটিকে x অক্ষের সাপেক্ষে কম ভ্রামক হিসেবে বিবেচনা করবেন, তাই জড়তার ভ্রামক টেনসরটি হলো: $$I=n\left[\begin{array}{ccc}0.2& 0& 0\\ 0& 10.1& 0\\ 0& 0& 10.1\end{array}\right].$$

সেমিভেদাঙ্ক

সেমিভ্যারিয়েন্স (semivariance) ভ্যারিয়েন্সের মতোই গণনা করা হয়, তবে শুধুমাত্র সেই পর্যবেক্ষণগুলোই গণনার অন্তর্ভুক্ত করা হয় যা গড়ের নিচে থাকে: $$\text{Semivariance}=\frac{1}{n}\sum _{i:x_i<\mu }{(x_i-\mu )}^2$$ এটি বিভিন্ন প্রয়োগের ক্ষেত্রে একটি নির্দিষ্ট পরিমাপ হিসেবেও বর্ণিত হয়। স্কিউড (skewed) বা বিষম বিন্যাসের ক্ষেত্রে, সেমিভ্যারিয়েন্স এমন অতিরিক্ত তথ্য প্রদান করতে পারে যা ভ্যারিয়েন্স পারে না।

সেমিভ্যারিয়েন্সের সাথে সম্পর্কিত অসমতাগুলোর জন্য, দেখুন Semivariances।

ব্যুৎপত্তি

ভ্যারিয়েন্স শব্দটি প্রথম প্রবর্তন করেন রোনাল্ড ফিশার তার ১৯১৮ সালের গবেষণাপত্র The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance-এ:

উপলব্ধ পরিসংখ্যানের বিশাল ভাণ্ডার আমাদের দেখায় যে, গড় থেকে মানব পরিমাপের বিচ্যুতিগুলো নরমাল ল অফ এররস-কে খুব ঘনিষ্ঠভাবে অনুসরণ করে, এবং তাই, পরিবর্তনশীলতাকে মিন স্কয়ার এরর-এর বর্গমূল-এর সাথে সম্পর্কিত স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন দ্বারা সমানভাবে পরিমাপ করা যেতে পারে। যখন পরিবর্তনশীলতার দুটি স্বাধীন কারণ থাকে যা অন্যথায় অভিন্ন জনসংখ্যার বিন্যাসে

${\sigma }_1$

এবং

${\sigma }_2$

স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন তৈরি করতে সক্ষম, তখন দেখা যায় যে উভয় কারণ একসাথে কাজ করলে বিন্যাসটির স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন হয়

$\sqrt{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}$

। তাই পরিবর্তনশীলতার কারণগুলো বিশ্লেষণ করার সময় পরিবর্তনশীলতার পরিমাপ হিসেবে স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের বর্গ নিয়ে কাজ করা বাঞ্ছনীয়। আমরা এই রাশিটিকে ভ্যারিয়েন্স হিসেবে অভিহিত করব...

সাধারণীকরণ

জটিল চলকের জন্য

যদি $x$ একটি স্কেলার জটিল-মান বিশিষ্ট দৈব চলক হয়, যার মান \mathbb{C}-তে থাকে, তবে এর ভ্যারিয়েন্স হলো \operatorname{E}\left[(x - \mu)(x - \mu)^*\right], যেখানে $x^{*}$ হলো x-এর জটিল অনুবন্ধী। এই ভ্যারিয়েন্স একটি বাস্তব স্কেলার।

ভেক্টর-মান বিশিষ্ট দৈব চলকের জন্য

ম্যাট্রিক্স হিসেবে

যদি $X$ একটি ভেক্টর-মান বিশিষ্ট দৈব চলক হয়, যার মান ${\mathbb{ℝ}}^n,$-এ থাকে এবং একে কলাম ভেক্টর হিসেবে বিবেচনা করা হয়, তবে ভ্যারিয়েন্সের একটি স্বাভাবিক সাধারণীকরণ হলো $\mathrm{E}[(X-\mu ){(X-\mu )}^{\mathsf{T}}],$ যেখানে $\mu =\mathrm{E}(X)$ এবং $X^{\mathsf{T}}$ হলো X-এর ট্রান্সপোজ, এবং তাই এটি একটি রো ভেক্টর। ফলাফলটি একটি পজিটিভ সেমি-ডেফিনিট বর্গ ম্যাট্রিক্স, যা সাধারণত ভ্যারিয়েন্স-কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স (বা কেবল কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স) হিসেবে পরিচিত।

যদি $X$ একটি ভেক্টর- এবং জটিল-মান বিশিষ্ট দৈব চলক হয়, যার মান \mathbb{C}^n-এ থাকে, তবে কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সটি হলো \operatorname{E}\left[(X - \mu){(X - \mu)}^\dagger\right], যেখানে $X^{†}$ হলো X-এর কনজুগেট ট্রান্সপোজ। এই ম্যাট্রিক্সটিও পজিটিভ সেমি-ডেফিনিট এবং বর্গাকার।

স্কেলার হিসেবে

ভেক্টর-মান বিশিষ্ট দৈব চলক $X,$-এর জন্য ভ্যারিয়েন্সের আরেকটি সাধারণীকরণ, যা ম্যাট্রিক্সের পরিবর্তে একটি স্কেলার মান প্রদান করে, তা হলো জেনারালাইজড ভ্যারিয়েন্স \det(C), যা কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট। জেনারালাইজড ভ্যারিয়েন্সকে তাদের গড়ের চারপাশে বিন্দুগুলোর বহুমাত্রিক বিস্তারের সাথে সম্পর্কিত দেখানো যেতে পারে।

একটি ভিন্ন সাধারণীকরণ পাওয়া যায় স্কেলার ভ্যারিয়েন্সের সমীকরণ $\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2],$ বিবেচনা করে এবং $(X-\mu {)}^2$-কে দৈব চলক এবং এর গড়ের মধ্যবর্তী বর্গীকৃত ইউক্লিডীয় দূরত্ব হিসেবে, অথবা সহজভাবে ভেক্টর $X-\mu$-এর নিজের সাথে স্কেলার গুণফল হিসেবে পুনরায় ব্যাখ্যা করে। এর ফলে পাওয়া যায় $\mathrm{E}[(X-\mu {)}^{\mathsf{T}}(X-\mu )]=\mathrm{tr}(C),$ যা কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের ট্রেস।

আরও দেখুন

variance

• ভাটিয়া-ডেভিস অসমতা
• সহগ পরিবর্তন
• হোমোসেডাস্টিসিটি
• লিস্ট-স্কয়ার্স স্পেকট্রাল অ্যানালাইসিস (ভ্যারিয়েন্সের % বা dB-এ স্পেকট্রাল ম্যাগনিটিউডসহ একটি ফ্রিকোয়েন্সি স্পেকট্রাম গণনার জন্য)
• মডার্ন পোর্টফোলিও থিওরি
• পোপোভিসিউ'স ইনইকুয়ালিটি অন ভ্যারিয়েন্সেস
• পরিসংখ্যানগত বিচ্ছুরণের পরিমাপ
• ভ্যারিয়েন্স-স্ট্যাবিলাইজিং ট্রান্সফরমেশন

ভ্যারিয়েন্সের প্রকারভেদ

• সহসম্পর্ক
• দূরত্ব ভ্যারিয়েন্স
• এক্সপ্লেইনড ভ্যারিয়েন্স
• পুলড ভ্যারিয়েন্স
• সিউডো-ভ্যারিয়েন্স

তথ্যসূত্র

descriptive

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Variance” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Variance এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।