পরিসংখ্যানগত বিচ্ছুরণ

ডিসেম্বর ২০১০

একই গড় কিন্তু ভিন্ন বিচ্ছুরণ বিশিষ্ট দুটি পপুলেশন থেকে নেওয়া নমুনার উদাহরণ। নীল পপুলেশনটি লাল পপুলেশনের তুলনায় অনেক বেশি বিচ্ছুরিত।

পরিসংখ্যানে, বিচ্ছুরণ (যাকে পরিবর্তনশীলতা, স্ক্যাটার, বা বিস্তৃতিও বলা হয়) হলো এমন একটি মাত্রা যা নির্দেশ করে যে একটি বিন্যাস কতটা প্রসারিত বা সংকুচিত। পরিসংখ্যানগত বিচ্ছুরণের সাধারণ পরিমাপের উদাহরণ হলো ভেদাঙ্ক, আদর্শ বিচ্যুতি, এবং আন্তঃচতুর্থক পরিসর। উদাহরণস্বরূপ, যখন কোনো সেটের ডেটার ভেদাঙ্ক বড় হয়, তখন ডেটা ব্যাপকভাবে ছড়িয়ে থাকে। অন্যদিকে, যখন ভেদাঙ্ক ছোট হয়, তখন সেটের ডেটাগুলো পুঞ্জীভূত থাকে।

বিচ্ছুরণকে অবস্থান বা কেন্দ্রীয় প্রবণতা-এর বিপরীতে দেখা হয় এবং এগুলো একত্রে বিন্যাসের সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত বৈশিষ্ট্য।

পরিসংখ্যানগত বিচ্ছুরণের পরিমাপসমূহ

একটি পরিসংখ্যানগত বিচ্ছুরণের পরিমাপ হলো একটি অ-ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা, যা শূন্য হয় যদি সমস্ত ডেটা একই হয় এবং ডেটা যত বৈচিত্র্যময় হয়, এর মান তত বৃদ্ধি পায়।

বিচ্ছুরণের বেশিরভাগ পরিমাপের একক পরিমাপকৃত রাশি-এর এককের মতোই হয়। অন্য কথায়, যদি পরিমাপগুলো মিটার বা সেকেন্ডে হয়, তবে বিচ্ছুরণের পরিমাপও তাই হবে। বিচ্ছুরণের পরিমাপের উদাহরণগুলোর মধ্যে রয়েছে:

• আদর্শ বিচ্যুতি
• আন্তঃচতুর্থক পরিসর (IQR)
• পরিসর
• গড় পরম পার্থক্য (যা জিনি গড় পরম পার্থক্য নামেও পরিচিত)
• মধ্যমা পরম বিচ্যুতি (MAD)
• গড় পরম বিচ্যুতি (বা সহজভাবে গড় বিচ্যুতি)
• দূরত্ব আদর্শ বিচ্যুতি

এগুলো প্রায়শই স্কেল ফ্যাক্টর-এর সাথে স্কেল প্যারামিটার-এর অনুমাপক হিসেবে ব্যবহৃত হয়, যে ক্ষেত্রে এগুলোকে স্কেলের প্রাক্কলন বলা হয়। স্কেলের শক্তিশালী পরিমাপ হলো সেগুলো যা অল্প সংখ্যক আউটলায়ার দ্বারা প্রভাবিত হয় না, এবং এর মধ্যে IQR ও MAD অন্তর্ভুক্ত।

উপরের সমস্ত পরিসংখ্যানগত বিচ্ছুরণের পরিমাপের একটি দরকারী বৈশিষ্ট্য হলো যে এগুলো 'অবস্থান-অপরিবর্তনশীল' এবং 'স্কেলে রৈখিক'। এর অর্থ হলো, যদি একটি দৈব চলক $X$-এর বিচ্ছুরণ $S_X$ হয়, তবে একটি রৈখিক রূপান্তর $Y=aX+b$-এর জন্য (যেখানে $a$ এবং $b$ বাস্তব সংখ্যা) বিচ্ছুরণ হবে $S_Y=|a|S_X$, যেখানে $|a|$ হলো $a$-এর পরম মান, অর্থাৎ এটি পূর্ববর্তী ঋণাত্মক চিহ্ন $-$-কে উপেক্ষা করে।

বিচ্ছুরণের অন্যান্য পরিমাপ হলো মাত্রাহীন। অন্য কথায়, চলকটির নিজস্ব একক থাকলেও এগুলোর কোনো একক থাকে না। এর মধ্যে রয়েছে:

• পরিবর্তন গুণাঙ্ক
• চতুর্থক বিচ্ছুরণ গুণাঙ্ক
• আপেক্ষিক গড় পার্থক্য, যা দ্বিগুণ জিনি গুণাঙ্ক-এর সমান
• এনট্রপি: যদিও একটি বিচ্ছিন্ন চলকের এনট্রপি অবস্থান-অপরিবর্তনশীল এবং স্কেল-স্বাধীন, এবং তাই উপরের অর্থে এটি বিচ্ছুরণের পরিমাপ নয়, একটি অবিচ্ছিন্ন চলকের এনট্রপি অবস্থান-অপরিবর্তনশীল এবং স্কেলে সংযোজনীয়: যদি $H(z)$ একটি অবিচ্ছিন্ন চলক $z$-এর এনট্রপি হয় এবং $z=ax+b$ হয়, তবে $H(z)=H(x)+\log (a)$।

বিচ্ছুরণের অন্যান্য পরিমাপও রয়েছে:

• ভেদাঙ্ক (আদর্শ বিচ্যুতির বর্গ) – অবস্থান-অপরিবর্তনশীল কিন্তু স্কেলে রৈখিক নয়।
• ভেদাঙ্ক-থেকে-গড় অনুপাত – মূলত গণনা ডেটা-এর জন্য ব্যবহৃত হয় যখন বিচ্ছুরণ গুণাঙ্ক শব্দটি ব্যবহৃত হয় এবং যখন এই অনুপাতটি মাত্রাহীন হয়, যেহেতু গণনা ডেটা নিজেই মাত্রাহীন, অন্যথায় নয়।

বিচ্ছুরণের কিছু পরিমাপের বিশেষ উদ্দেশ্য থাকে। অ্যালান ভেদাঙ্ক এমন অ্যাপ্লিকেশনের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যেখানে নয়েজ অভিসরণকে ব্যাহত করে। হাডামার্ড ভেদাঙ্ক রৈখিক কম্পাঙ্ক ড্রিফট সংবেদনশীলতা প্রতিহত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

শ্রেণীবদ্ধ চলক-এর জন্য, একটি একক সংখ্যা দ্বারা বিচ্ছুরণ পরিমাপ করা কম প্রচলিত; দেখুন গুণগত পরিবর্তনশীলতা। একটি পরিমাপ যা এটি করে তা হলো বিচ্ছিন্ন এনট্রপি।

উৎস

ভৌত বিজ্ঞান-এ, এই ধরনের পরিবর্তনশীলতা দৈব পরিমাপ ত্রুটির কারণে হতে পারে: যন্ত্রের পরিমাপ প্রায়শই নিখুঁতভাবে নির্ভুল, অর্থাৎ পুনরুৎপাদনযোগ্য হয় না, এবং পরিমাপকৃত ফলাফল ব্যাখ্যা ও প্রতিবেদন করার ক্ষেত্রে অতিরিক্ত রেটার-মধ্যস্থ পরিবর্তনশীলতা থাকে। কেউ ধরে নিতে পারে যে পরিমাপকৃত রাশিটি স্থিতিশীল এবং পরিমাপের মধ্যে পার্থক্যটি পর্যবেক্ষণমূলক ত্রুটি-এর কারণে ঘটে। বিপুল সংখ্যক কণার একটি সিস্টেম তাপমাত্রা, শক্তি এবং ঘনত্বের মতো তুলনামূলকভাবে অল্প সংখ্যক ম্যাক্রোস্কোপিক রাশির গড় মান দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। আদর্শ বিচ্যুতি ফ্লকচুয়েশন থিওরির একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিমাপ, যা আকাশ কেন নীল তা সহ অনেক ভৌত ঘটনা ব্যাখ্যা করে।

জীববিজ্ঞান-এ, পরিমাপকৃত রাশিটি খুব কমই অপরিবর্তনীয় এবং স্থিতিশীল হয় এবং পরিলক্ষিত পরিবর্তনশীলতাটি ঘটনার জন্য অন্তর্নিহিত হতে পারে: এটি ব্যক্তি-মধ্যস্থ পরিবর্তনশীলতা-এর কারণে হতে পারে, অর্থাৎ একটি পপুলেশনের স্বতন্ত্র সদস্যরা একে অপরের থেকে আলাদা। এছাড়াও, এটি ব্যক্তি-অভ্যন্তরীণ পরিবর্তনশীলতা-এর কারণে হতে পারে, অর্থাৎ একই ব্যক্তি বিভিন্ন সময়ে বা ভিন্ন ভিন্ন পরিস্থিতিতে নেওয়া পরীক্ষায় ভিন্ন ফলাফল প্রদর্শন করে। এই ধরনের পরিবর্তনশীলতা উৎপাদিত পণ্যের ক্ষেত্রেও দেখা যায়; এমনকি সেখানেও, সূক্ষ্ম পর্যবেক্ষক পরিবর্তন খুঁজে পান।

বিচ্ছুরণের একটি আংশিক ক্রমবিন্যাস

একটি গড়-সংরক্ষণকারী বিস্তার (MPS) হলো একটি সম্ভাবনা বিন্যাস A থেকে অন্য একটি সম্ভাবনা বিন্যাস B-তে পরিবর্তন, যেখানে B গঠিত হয় A-এর সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশনের এক বা একাধিক অংশকে ছড়িয়ে দিয়ে, কিন্তু গড় (প্রত্যাশিত মান) অপরিবর্তিত রেখে। গড়-সংরক্ষণকারী বিস্তারের ধারণাটি সম্ভাবনা বিন্যাসগুলোর বিচ্ছুরণের ভিত্তিতে একটি আংশিক ক্রমবিন্যাস প্রদান করে: দুটি সম্ভাবনা বিন্যাসের মধ্যে, একটিকে অন্যটির চেয়ে বেশি বিচ্ছুরিত হিসেবে গণ্য করা হতে পারে, অথবা কোনোটিকেই বেশি বিচ্ছুরিত হিসেবে গণ্য করা নাও হতে পারে।

আরও দেখুন

• গড়
• বৃত্তাকার বিচ্ছুরণ
• বিচ্ছুরণ ম্যাট্রিক্স
• সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন
• গুণগত পরিবর্তনশীলতা
• পরিমাপ অনিশ্চয়তা
• যথার্থতা (পরিসংখ্যান)
• স্কেলের শক্তিশালী পরিমাপ
• সারাংশ পরিসংখ্যান

তথ্যসূত্র

descriptive

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Statistical dispersion” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_dispersion এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।