সাইন টেস্ট
সাইন টেস্ট (Sign test) হলো জোড়ায় জোড়ায় থাকা পর্যবেক্ষণের মধ্যে সামঞ্জস্যপূর্ণ পার্থক্য নির্ণয়ের একটি পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা, যেমন চিকিৎসার আগে ও পরে রোগীদের ওজন। প্রতিটি বিষয়ের জন্য জোড়ায় জোড়ায় পর্যবেক্ষণ (যেমন চিকিৎসার আগে ও পরের ওজন) দেওয়া থাকলে, সাইন টেস্ট নির্ধারণ করে যে জোড়ার একটি সদস্য (যেমন চিকিৎসার আগের ওজন) অন্য সদস্যের (যেমন চিকিৎসার পরের ওজন) চেয়ে বড় (বা ছোট) হওয়ার প্রবণতা রাখে কি না।
জোড়ায় জোড়ায় পর্যবেক্ষণগুলোকে x এবং y হিসেবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। জোড়ায় জোড়ায় পর্যবেক্ষণের (x, y) তুলনার ক্ষেত্রে, সাইন টেস্ট তখনই সবচেয়ে বেশি কার্যকর হয় যখন তুলনাগুলোকে কেবল x > y, x = y, অথবা x < y হিসেবে প্রকাশ করা যায়। যদি এর পরিবর্তে পর্যবেক্ষণগুলোকে সংখ্যাগত পরিমাণ (x = 7, y = 18) বা র্যাঙ্ক (x-এর র্যাঙ্ক = ১ম, y-এর র্যাঙ্ক = ৮ম) হিসেবে প্রকাশ করা যায়, তবে জোড়ায় জোড়ায় t-test[1] অথবা Wilcoxon signed-rank test[2] সাধারণত সামঞ্জস্যপূর্ণ পার্থক্য শনাক্ত করার জন্য সাইন টেস্টের চেয়ে বেশি শক্তিশালী হয়। তবে, এগুলোর জন্য আরও কঠোর অনুমানের প্রয়োজন হয় এবং যখন এই অনুমানগুলো লঙ্ঘিত হয়, তখন এগুলো প্রায়শই ভুল ফলাফল প্রদান করে।[3]
যদি X এবং Y পরিমাণগত চলক হয়, তবে X এবং Y-এর মধ্যে পার্থক্যের মধ্যক (median) শূন্য—এই হাইপোথিসিস পরীক্ষা করার জন্য সাইন টেস্ট ব্যবহার করা যেতে পারে, যেখানে দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এবং Y-এর অবিচ্ছিন্ন বিন্যাস ধরে নেওয়া হয়, এমন পরিস্থিতিতে যখন আমরা X এবং Y থেকে জোড়ায় জোড়ায় নমুনা নিতে পারি।[4]
সাইন টেস্ট এটিও পরীক্ষা করতে পারে যে সংখ্যার একটি সংগ্রহের মধ্যক কোনো নির্দিষ্ট মানের চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে বড় বা ছোট কি না। উদাহরণস্বরূপ, একটি ক্লাসের শিক্ষার্থীদের গ্রেডের তালিকা দেওয়া থাকলে, সাইন টেস্ট নির্ধারণ করতে পারে যে মধ্যক গ্রেড ১০০-এর মধ্যে ৭৫ থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা কি না।
সাইন টেস্ট হলো একটি নন-প্যারামেট্রিক পরীক্ষা যা পরীক্ষাধীন বিন্যাসের প্রকৃতির ওপর খুব কম অনুমান করে—এর অর্থ হলো এর প্রয়োগ অত্যন্ত ব্যাপক, কিন্তু এটি বিকল্প পরীক্ষাগুলোর তুলনায় পরিসংখ্যানগত শক্তিতে পিছিয়ে থাকতে পারে।
জোড়ায় জোড়ায় নমুনা সাইন টেস্টের দুটি শর্ত হলো, প্রতিটি পপুলেশন থেকে একটি নমুনা অবশ্যই দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নির্বাচন করতে হবে এবং নমুনাগুলো অবশ্যই নির্ভরশীল বা জোড়ায় জোড়ায় হতে হবে। স্বাধীন নমুনাগুলোকে অর্থপূর্ণভাবে জোড়া করা যায় না। যেহেতু পরীক্ষাটি নন-প্যারামেট্রিক, তাই নমুনাগুলোকে স্বাভাবিকভাবে বিন্যস্ত পপুলেশন থেকে আসার প্রয়োজন নেই। এছাড়া, পরীক্ষাটি লেফট-টেইলড, রাইট-টেইলড এবং টু-টেইলড পরীক্ষার জন্য কাজ করে।
পদ্ধতি
ধরা যাক p = Pr(X > Y), এবং তারপর নাল হাইপোথিসিস H0: p = 0.50 পরীক্ষা করা হয়। অন্য কথায়, নাল হাইপোথিসিস বলে যে পরিমাপের একটি দৈব জোড়া (xi, yi) দেওয়া থাকলে, xi এবং yi-এর একে অপরের চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা সমান।
নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষা করার জন্য, পপুলেশন থেকে নমুনার স্বাধীন জোড়া সংগ্রহ করা হয় {(x1, y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn)}। যেসব জোড়ার মধ্যে কোনো পার্থক্য নেই সেগুলোকে বাদ দেওয়া হয়, যাতে m জোড়ার একটি হ্রাসকৃত নমুনা পাওয়ার সম্ভাবনা থাকে।[5]
তারপর W কে সেই জোড়াগুলোর সংখ্যা হিসেবে ধরা হয় যার জন্য yi − xi > 0। H0 সত্য ধরে নিলে, W একটি দ্বিপদী বিন্যাস W ~ b(n, 0.5) অনুসরণ করে।
অনুমানসমূহ
ধরা যাক Zi = Yi – Xi যেখানে i = 1, ... , n।
- পার্থক্যগুলো Zi স্বাধীন বলে ধরে নেওয়া হয়।
- প্রতিটি Zi একই অবিচ্ছিন্ন পপুলেশন থেকে আসে।
- Xi এবং Yi যে মানগুলো উপস্থাপন করে তা ক্রমানুসারে সাজানো (অন্তত অর্ডিনাল স্কেল), তাই "এর চেয়ে বড়", "এর চেয়ে ছোট", এবং "সমান" তুলনাগুলো অর্থপূর্ণ।
তাৎপর্য পরীক্ষা
যেহেতু টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকটি একটি দ্বিপদী বিন্যাস অনুসরণ করবে বলে আশা করা হয়, তাই তাৎপর্য গণনা করার জন্য আদর্শ দ্বিপদী পরীক্ষা ব্যবহার করা হয়। বড় নমুনার আকারের জন্য, m > 25, দ্বিপদী বিন্যাসের স্বাভাবিক আসন্ন মান ব্যবহার করা যেতে পারে।[5]
লেফট-টেইল মানটি Pr(W ≤ w) দ্বারা গণনা করা হয়, যা বিকল্প H1: p < 0.50-এর জন্য পি-ভ্যালু। এই বিকল্পটির অর্থ হলো X পরিমাপগুলো বেশি হওয়ার প্রবণতা রাখে।
রাইট-টেইল মানটি Pr(W ≥ w) দ্বারা গণনা করা হয়, যা বিকল্প H1: p > 0.50-এর জন্য পি-ভ্যালু। এই বিকল্পটির অর্থ হলো Y পরিমাপগুলো বেশি হওয়ার প্রবণতা রাখে।
টু-সাইডেড বিকল্প H1-এর জন্য পি-ভ্যালু হলো ছোট টেইল-মানের দ্বিগুণ।
জোড়ায় জোড়ায় মিল থাকা নমুনার জন্য টু-সাইডেড সাইন টেস্টের উদাহরণ
জার (Zar) জোড়ায় জোড়ায় মিল থাকা নমুনার জন্য সাইন টেস্টের নিম্নলিখিত উদাহরণটি দিয়েছেন। ১০টি হরিণের বাম পেছনের পা এবং বাম সামনের পায়ের দৈর্ঘ্যের ওপর তথ্য সংগ্রহ করা হয়েছে।[6]
| হরিণ | পেছনের পায়ের দৈর্ঘ্য (সেমি) | সামনের পায়ের দৈর্ঘ্য (সেমি) | পার্থক্য |
|---|---|---|---|
| 1 | 142 | 138 | + |
| 2 | 140 | 136 | + |
| 3 | 144 | 147 | − |
| 4 | 144 | 139 | + |
| 5 | 142 | 143 | − |
| 6 | 146 | 141 | + |
| 7 | 149 | 143 | + |
| 8 | 150 | 145 | + |
| 9 | 142 | 136 | + |
| 10 | 148 | 146 | + |
নাল হাইপোথিসিস হলো হরিণের পেছনের পা এবং সামনের পায়ের দৈর্ঘ্যের মধ্যে কোনো পার্থক্য নেই। বিকল্প হাইপোথিসিস হলো পেছনের পায়ের দৈর্ঘ্য এবং সামনের পায়ের দৈর্ঘ্যের মধ্যে পার্থক্য রয়েছে। এটি একটি টু-টেইলড পরীক্ষা, ওয়ান-টেইলড পরীক্ষা নয়। টু-টেইলড পরীক্ষার জন্য, বিকল্প হাইপোথিসিস হলো পেছনের পায়ের দৈর্ঘ্য সামনের পায়ের দৈর্ঘ্যের চেয়ে বড় বা ছোট হতে পারে। একটি ওয়ান-সাইডেড পরীক্ষা হতে পারে যে পেছনের পায়ের দৈর্ঘ্য সামনের পায়ের দৈর্ঘ্যের চেয়ে বড়, যাতে পার্থক্য কেবল এক দিকেই (বড়) হতে পারে।
এখানে n=10টি হরিণ আছে। ৮টি ধনাত্মক পার্থক্য এবং ২টি ঋণাত্মক পার্থক্য রয়েছে। যদি নাল হাইপোথিসিস সত্য হয়, অর্থাৎ পেছনের পা এবং সামনের পায়ের দৈর্ঘ্যের মধ্যে কোনো পার্থক্য নেই, তবে প্রত্যাশিত ধনাত্মক পার্থক্যের সংখ্যা ১০টির মধ্যে ৫টি। যদি পায়ের দৈর্ঘ্যের মধ্যে কোনো পার্থক্য না থাকে, তবে ৮টি ধনাত্মক পার্থক্যের পর্যবেক্ষণ বা এর চেয়ে চরম কোনো ফলাফল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
যেহেতু পরীক্ষাটি টু-সাইডেড, তাই ৮টি ধনাত্মক পার্থক্যের সমান বা তার চেয়ে চরম ফলাফলের মধ্যে ৮, ৯, বা ১০টি ধনাত্মক পার্থক্যের ফলাফল এবং ০, ১, বা ২টি ধনাত্মক পার্থক্যের ফলাফল অন্তর্ভুক্ত। ১০টি হরিণের মধ্যে ৮ বা তার বেশি ধনাত্মক বা ২ বা তার কম ধনাত্মক পাওয়ার সম্ভাবনা একটি নিরপেক্ষ মুদ্রার ১০টি টসে ৮ বা তার বেশি হেড অথবা ২ বা তার কম হেড পাওয়ার সম্ভাবনার সমান। সম্ভাবনাগুলো দ্বিপদী পরীক্ষা ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে, যেখানে হেডের সম্ভাবনা = টেইলের সম্ভাবনা = ০.৫।
- নিরপেক্ষ মুদ্রার ১০টি টসে ০ হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ০.০০০৯৮
- নিরপেক্ষ মুদ্রার ১০টি টসে ১ হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ০.০০৯৭৭
- নিরপেক্ষ মুদ্রার ১০টি টসে ২ হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ০.০৪৩৯৫
- নিরপেক্ষ মুদ্রার ১০টি টসে ৮ হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ০.০৪৩৯৫
- নিরপেক্ষ মুদ্রার ১০টি টসে ৯ হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ০.০০৯৭৭
- নিরপেক্ষ মুদ্রার ১০টি টসে ১০ হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ০.০০০৯৮
৮টি ধনাত্মক পার্থক্যের মতো চরম ফলাফলের টু-সাইডেড সম্ভাবনা হলো এই সম্ভাবনাগুলোর যোগফল:
- ০.০০০৯৮ + ০.০০৯৭৭ + ০.০৪৩৯৫ + ০.০৪৩৯৫ + ০.০০৯৭৭ + ০.০০০৯৮ = ০.১০৯৩৭৫।
সুতরাং, পায়ের দৈর্ঘ্যের মধ্যে কোনো পার্থক্য না থাকলে, ১০টির মধ্যে ৮টি ধনাত্মক পার্থক্যের মতো চরম ফলাফল পর্যবেক্ষণ করার সম্ভাবনা হলো p = ০.১০৯৩৭৫। নাল হাইপোথিসিসটি p = ০.০৫ তাৎপর্য স্তরে প্রত্যাখ্যান করা হয় না। বড় নমুনার আকারের ক্ষেত্রে, নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করার জন্য প্রমাণ যথেষ্ট হতে পারে।
যেহেতু পর্যবেক্ষণগুলোকে সংখ্যাগত পরিমাণ (প্রকৃত পায়ের দৈর্ঘ্য) হিসেবে প্রকাশ করা যায়, তাই সামঞ্জস্যপূর্ণ পার্থক্য শনাক্ত করার জন্য পেয়ারড টি-টেস্ট বা উইলকক্সন সাইনড র্যাঙ্ক টেস্ট সাধারণত সাইন টেস্টের চেয়ে বেশি শক্তিশালী হবে। এই উদাহরণের জন্য, পার্থক্যের পেয়ারড টি-টেস্ট নির্দেশ করে যে পেছনের পায়ের দৈর্ঘ্য এবং সামনের পায়ের দৈর্ঘ্যের মধ্যে একটি উল্লেখযোগ্য পার্থক্য রয়েছে (p = ০.০০৭)।
যদি পর্যবেক্ষণকৃত ফলাফল ১০টি তুলনার মধ্যে ৯টি ধনাত্মক পার্থক্য হতো, তবে সাইন টেস্টটি তাৎপর্যপূর্ণ হতো। শুধুমাত্র ০, ১, ৯, বা ১০টি হেডসহ মুদ্রার টসগুলো পর্যবেক্ষণকৃত ফলাফলের সমান বা তার চেয়ে চরম হতো।
- নিরপেক্ষ মুদ্রার ১০টি টসে ০ হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ০.০০০৯৮
- নিরপেক্ষ মুদ্রার ১০টি টসে ১ হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ০.০০৯৭৭
- নিরপেক্ষ মুদ্রার ১০টি টসে ৯ হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ০.০০৯৭৭
- নিরপেক্ষ মুদ্রার ১০টি টসে ১০ হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ০.০০০৯৮
৯টি ধনাত্মক পার্থক্যের মতো চরম ফলাফলের সম্ভাবনা হলো এই সম্ভাবনাগুলোর যোগফল:
- ০.০০০৯৮ + ০.০০৯৭৭ + ০.০০৯৭৭ + ০.০০০৯৮ = ০.০২১৫।
সাধারণভাবে, ১০টির মধ্যে ৮টি ধনাত্মক পার্থক্য তাৎপর্যপূর্ণ নয় (p = ০.১১), কিন্তু ১০টির মধ্যে ৯টি ধনাত্মক পার্থক্য তাৎপর্যপূর্ণ (p = ০.০২১৫)।
উদাহরণ
জোড়ায় জোড়ায় মিল থাকা নমুনার জন্য ওয়ান-সাইডেড সাইন টেস্টের উদাহরণ
কনোভার (Conover)[7] জোড়ায় জোড়ায় মিল থাকা নমুনার জন্য ওয়ান-সাইডেড সাইন টেস্ট ব্যবহার করে নিম্নলিখিত উদাহরণটি দিয়েছেন। একজন প্রস্তুতকারক দুটি পণ্য, A এবং B তৈরি করেন। প্রস্তুতকারক জানতে চান যে ভোক্তারা পণ্য A-এর চেয়ে পণ্য B-কে বেশি পছন্দ করে কি না। ১০ জন ভোক্তার একটি নমুনাকে পণ্য A এবং পণ্য B দেওয়া হয় এবং জিজ্ঞাসা করা হয় তারা কোন পণ্যটি বেশি পছন্দ করে।
নাল হাইপোথিসিস হলো ভোক্তারা পণ্য A-এর চেয়ে পণ্য B-কে পছন্দ করে না। বিকল্প হাইপোথিসিস হলো ভোক্তারা পণ্য A-এর চেয়ে পণ্য B-কে বেশি পছন্দ করে। এটি একটি ওয়ান-সাইডেড (দিকনির্দেশক) পরীক্ষা।
গবেষণার শেষে, ৮ জন ভোক্তা পণ্য B পছন্দ করেছেন, ১ জন ভোক্তা পণ্য A পছন্দ করেছেন এবং একজন কোনো পছন্দ জানাননি।
- +'র সংখ্যা (B পছন্দ করেছেন) = ৮
- -'র সংখ্যা (A পছন্দ করেছেন) = ১
- টাইয়ের সংখ্যা (কোনো পছন্দ নেই) = ১
টাইটিকে বিশ্লেষণ থেকে বাদ দেওয়া হয়েছে, যার ফলে n = +'র সংখ্যা এবং -'র সংখ্যা = ৮ + ১ = ৯।
যদি নাল হাইপোথিসিস সত্য হয়, অর্থাৎ ভোক্তাদের A-এর চেয়ে B-এর প্রতি কোনো পছন্দ নেই, তবে ৯টি জোড়ায় B-এর পক্ষে ৮টি ধনাত্মক ফলাফলের মতো চরম ফলাফলের সম্ভাবনা কত? এটি একটি নিরপেক্ষ মুদ্রার ৯টি টসে ৮ বা তার বেশি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা এবং এটি p(হেড) = p(টেইল) = ০.৫ ধরে দ্বিপদী বিন্যাস ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে।
P(একটি নিরপেক্ষ মুদ্রার ৯টি টসে ৮ বা ৯টি হেড) = ০.০১৯৫। নাল হাইপোথিসিসটি প্রত্যাখ্যান করা হয় এবং প্রস্তুতকারক এই সিদ্ধান্তে উপনীত হন যে ভোক্তারা পণ্য A-এর চেয়ে পণ্য B-কে বেশি পছন্দ করেন।
একটি একক নমুনার মধ্যকের জন্য সাইন টেস্টের উদাহরণ
স্প্রেন্ট (Sprent)[8] একটি মধ্যকের জন্য সাইন টেস্টের নিম্নলিখিত উদাহরণটি দিয়েছেন। একটি ক্লিনিকাল ট্রায়ালে, নন-হজকিন লিম্ফোমায় আক্রান্ত ১০ জন রোগীর বেঁচে থাকার সময় (সপ্তাহে) সংগ্রহ করা হয়। একজন রোগীর জন্য সঠিক বেঁচে থাকার সময় জানা যায়নি, যিনি ৩৬২ সপ্তাহ পরেও বেঁচে ছিলেন, যখন গবেষণাটি শেষ হয়। রোগীদের বেঁচে থাকার সময় ছিল:
- ৪৯, ৫৮, ৭৫, ১১০, ১১২, ১৩২, ১৫১, ২৭৬, ২৮১, ৩৬২+
প্লাস চিহ্নটি নির্দেশ করে যে রোগী গবেষণার শেষেও বেঁচে ছিলেন। গবেষক নির্ধারণ করতে চেয়েছিলেন যে মধ্যক বেঁচে থাকার সময় ২০০ সপ্তাহের কম না বেশি।
নাল হাইপোথিসিস হলো মধ্যক বেঁচে থাকার সময় ২০০ সপ্তাহ। বিকল্প হাইপোথিসিস হলো মধ্যক বেঁচে থাকার সময় ২০০ সপ্তাহ নয়। এটি একটি টু-সাইডেড পরীক্ষা: বিকল্প মধ্যক ২০০ সপ্তাহের চেয়ে বেশি বা কম হতে পারে।
যদি নাল হাইপোথিসিস সত্য হয়, অর্থাৎ মধ্যক বেঁচে থাকার সময় ২০০ সপ্তাহ, তবে একটি দৈব নমুনায় প্রায় অর্ধেক রোগীর ২০০ সপ্তাহের কম বেঁচে থাকা উচিত এবং অর্ধেক রোগীর ২০০ সপ্তাহের বেশি বেঁচে থাকা উচিত। ২০০-এর নিচের পর্যবেক্ষণগুলোকে মাইনাস (−) এবং ২০০-এর উপরের পর্যবেক্ষণগুলোকে প্লাস (+) হিসেবে চিহ্নিত করা হয়। রোগীদের বেঁচে থাকার সময়ের জন্য, n=১০ জন রোগীর মধ্যে ২০০ সপ্তাহের নিচে ৭টি পর্যবেক্ষণ (−) এবং ২০০ সপ্তাহের উপরে ৩টি পর্যবেক্ষণ (+) রয়েছে।
যেহেতু যেকোনো একটি পর্যবেক্ষণের পপুলেশন মধ্যকের উপরে বা নিচে থাকার সম্ভাবনা সমান, তাই প্লাস স্কোরের সংখ্যা ০.৫ গড়সহ একটি দ্বিপদী বিন্যাস অনুসরণ করবে। ১০ জন রোগীর মধ্যে ৭ জন মধ্যকের নিচে থাকার মতো চরম ফলাফলের সম্ভাবনা কত? এটি একটি নিরপেক্ষ মুদ্রার ১০টি টসে ৭টি হেড পাওয়ার মতো চরম ফলাফলের সম্ভাবনার সমান। যেহেতু এটি একটি টু-সাইডেড পরীক্ষা, তাই একটি চরম ফলাফল ৩ বা তার কম হেড অথবা ৭ বা তার বেশি হেড হতে পারে।
একটি নিরপেক্ষ মুদ্রার ১০টি টসে kটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা, যেখানে p(হেড) = ০.৫, দ্বিপদী সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়:
- Pr(হেডের সংখ্যা = k) = Choose(10, k) × ০.৫১০
প্রতিটি k মানের জন্য সম্ভাবনা নিচের টেবিলে দেওয়া হলো।
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Pr | ০.০০০১০ | ০.০০৯৮ | ০.০৪৩৯ | ০.১১৭২ | ০.২০৫১ | ০.২৪৬১ | ০.২০৫১ | ০.১১৭২ | ০.০৪৩৯ | ০.০০৯৮ | ০.০০০১০ |
১০টি টসে ০, ১, ২, ৩, ৭, ৮, ৯, বা ১০টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা হলো তাদের ব্যক্তিগত সম্ভাবনাগুলোর যোগফল:
- ০.০০০১০ + ০.০০৯৮ + ০.০৪৩৯ + ০.১১৭২ + ০.১১৭২ + ০.০৪৩৯ + ০.০০৯৮ + ০.০০০১০ = ০.৩৪৩৮।
সুতরাং, যদি মধ্যক বেঁচে থাকার সময় ২০০ সপ্তাহ হয়, তবে বেঁচে থাকার তথ্যে ৩ বা তার কম প্লাস চিহ্ন অথবা ৭ বা তার বেশি প্লাস চিহ্ন পর্যবেক্ষণ করার সম্ভাবনা হলো ০.৩৪৩৮। নাল হাইপোথিসিস সত্য হলে প্লাস চিহ্নের প্রত্যাশিত সংখ্যা ৫। ৩ বা তার কম, অথবা ৭ বা তার বেশি প্লাস পর্যবেক্ষণ করা ৫ থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা নয়। নাল হাইপোথিসিসটি প্রত্যাখ্যান করা হয়নি। অত্যন্ত ছোট নমুনার আকারের কারণে, এই নমুনার পার্থক্য শনাক্ত করার ক্ষমতা কম।
সফটওয়্যার ইমপ্লিমেন্টেশন
সাইন টেস্ট হলো দ্বিপদী পরীক্ষার একটি বিশেষ ক্ষেত্র যেখানে নাল হাইপোথিসিসের অধীনে সাফল্যের সম্ভাবনা p=০.৫। সুতরাং, সাইন টেস্টটি দ্বিপদী পরীক্ষা ব্যবহার করে করা যেতে পারে, যা বেশিরভাগ পরিসংখ্যানগত সফটওয়্যার প্রোগ্রামে দেওয়া থাকে। সাইন টেস্টের জন্য অনলাইন ক্যালকুলেটর "sign test calculator" লিখে অনুসন্ধান করে পাওয়া যেতে পারে। অনেক ওয়েবসাইট দ্বিপদী পরীক্ষা অফার করে, তবে সাধারণত কেবল টু-সাইডেড সংস্করণ অফার করে।
সাইন টেস্টের জন্য এক্সেল সফটওয়্যার
সাইন টেস্টের জন্য একটি টেমপ্লেট http://www.real-statistics.com/non-parametric-tests/sign-test/ এ পাওয়া যাবে।
সাইন টেস্টের জন্য আর (R) সফটওয়্যার
R-এ, দ্বিপদী পরীক্ষাটি binom.test() ফাংশন ব্যবহার করে করা যেতে পারে।
ফাংশনটির সিনট্যাক্স হলো
binom.test(x, n, p = 0.5, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), conf.level = 0.95)যেখানে
x= সাফল্যের সংখ্যা, অথবা সাফল্যের এবং ব্যর্থতার সংখ্যা নির্দেশকারী ২ দৈর্ঘ্যের একটি ভেক্টরn= ট্রায়ালের সংখ্যা; যদি x-এর দৈর্ঘ্য ২ হয় তবে এটি উপেক্ষা করা হয়p= সাফল্যের হাইপোথিসাইজড সম্ভাবনাalternative= বিকল্প হাইপোথিসিস নির্দেশ করে এবং অবশ্যই "two.sided", "greater" অথবা "less"-এর মধ্যে একটি হতে হবেconf.level= প্রত্যাবর্তিত কনফিডেন্স ইন্টারভ্যালের জন্য কনফিডেন্স লেভেল।
আর (R) ফাংশন binom.test ব্যবহার করে সাইন টেস্টের উদাহরণ
জার (Zar)[6] থেকে সাইন টেস্টের উদাহরণটি হরিণের পেছনের পা এবং সামনের পায়ের দৈর্ঘ্য তুলনা করেছে। ১০টি হরিণের মধ্যে ৮টির পেছনের পা সামনের পায়ের চেয়ে লম্বা ছিল। সুতরাং, ১০টি ট্রায়ালে x=৮টি সাফল্য রয়েছে। নাল হাইপোথিসিসের অধীনে সাফল্যের হাইপোথিসাইজড সম্ভাবনা (পেছনের পা সামনের পায়ের চেয়ে লম্বা হিসেবে সংজ্ঞায়িত) হলো p = ০.৫, যেখানে নাল হাইপোথিসিস হলো পেছনের পা এবং সামনের পায়ের দৈর্ঘ্যের মধ্যে কোনো পার্থক্য নেই। বিকল্প হাইপোথিসিস হলো পেছনের পায়ের দৈর্ঘ্য সামনের পায়ের দৈর্ঘ্যের চেয়ে বড় বা ছোট হতে পারে, যা একটি টু-সাইডেড পরীক্ষা, যাকে alternative="two.sided" হিসেবে নির্দিষ্ট করা হয়েছে।
আর (R) কমান্ড binom.test(x=8, n=10, p=0.5, alternative="two.sided") উদাহরণটির মতো p=০.১০৯৪ প্রদান করে।
কনোভার (Conover)[7]-এর সাইন টেস্টের উদাহরণটি পণ্য A বনাম পণ্য B-এর জন্য ভোক্তার পছন্দ পরীক্ষা করেছে। নাল হাইপোথিসিস ছিল ভোক্তারা পণ্য A-এর চেয়ে পণ্য B-কে পছন্দ করে না। বিকল্প হাইপোথিসিস ছিল ভোক্তারা পণ্য A-এর চেয়ে পণ্য B-কে বেশি পছন্দ করে, যা একটি ওয়ান-সাইডেড পরীক্ষা। গবেষণায়, ৯ জন ভোক্তার মধ্যে ৮ জন যারা পছন্দ প্রকাশ করেছেন তারা পণ্য A-এর চেয়ে পণ্য B-কে বেশি পছন্দ করেছেন।
আর (R) কমান্ড binom.test(x=8, n=9, p=0.5, alternative="greater") উদাহরণটির মতো p=০.০১৯৫৩ প্রদান করে।
ইতিহাস
আরও দেখুন: History of statistics কনোভার[7] এবং স্প্রেন্ট[8] ১৭১০ সালে John Arbuthnot-এর সাইন টেস্টের ব্যবহারের বর্ণনা দিয়েছেন। আরবাথনট ১৬২৯ থেকে ১৭১০ সাল পর্যন্ত ৮২ বছরের প্রতি বছরের জন্য লন্ডনের জন্ম রেকর্ড পরীক্ষা করেছিলেন। প্রতি বছরই, লন্ডনে জন্ম নেওয়া পুরুষের সংখ্যা নারীর সংখ্যার চেয়ে বেশি ছিল। যদি সমান সংখ্যক জন্মের নাল হাইপোথিসিস সত্য হয়, তবে পর্যবেক্ষণকৃত ফলাফলের সম্ভাবনা হলো ১/২৮২, যা আরবাথনটকে এই সিদ্ধান্তে উপনীত করে যে পুরুষ এবং নারী জন্মের সম্ভাবনা ঠিক সমান ছিল না।
১৬৯২ এবং ১৭১০ সালের তার প্রকাশনাগুলোর জন্য, আরবাথনটকে "… তাৎপর্য পরীক্ষার প্রথম ব্যবহার …",[9] পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য এবং নৈতিক নিশ্চয়তা সম্পর্কে যুক্তির প্রথম উদাহরণ,[10] এবং "… সম্ভবত একটি নন-প্যারামেট্রিক পরীক্ষার প্রথম প্রকাশিত প্রতিবেদন …" হিসেবে কৃতিত্ব দেওয়া হয়।[7]
হাল্ড (Hald)[10] আরও আরবাথনটের গবেষণার প্রভাব বর্ণনা করেছেন।
"নিকোলাস বার্নোলি (১৭১০–১৭১৩) আরবাথনটের তথ্যের বিশ্লেষণ সম্পন্ন করে দেখিয়েছেন যে বার্ষিক পুরুষ জন্মের সংখ্যার পরিবর্তনের বড় অংশটি p = ১৮/৩৫ সহ দ্বিপদী হিসেবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। এটি তথ্যের সাথে একটি দ্বিপদী বিন্যাস ফিট করার প্রথম উদাহরণ। সুতরাং এখানে আমাদের কাছে তাৎপর্য পরীক্ষার একটি নাল হাইপোথিসিস p = ০.৫ প্রত্যাখ্যান করার পরীক্ষা রয়েছে, যার পরে p-এর একটি অনুমান এবং ফিটনেস যাচাইয়ের আলোচনা রয়েছে …"
অন্যান্য পরিসংখ্যানগত পরীক্ষার সাথে সম্পর্ক
উইলকক্সন সাইনড-র্যাঙ্ক টেস্ট
সাইন টেস্টের জন্য কেবল জোড়ার পর্যবেক্ষণগুলোকে ক্রমানুসারে সাজানো প্রয়োজন, উদাহরণস্বরূপ x > y। কিছু ক্ষেত্রে, সমস্ত বিষয়ের পর্যবেক্ষণগুলোকে একটি র্যাঙ্ক মান (১, ২, ৩, ...) দেওয়া যেতে পারে। যদি পর্যবেক্ষণগুলোকে র্যাঙ্ক করা যায়, এবং একটি জোড়ার প্রতিটি পর্যবেক্ষণ একটি প্রতিসম বিন্যাস থেকে একটি দৈব নমুনা হয়, তবে Wilcoxon signed-rank test উপযুক্ত। উইলকক্সন টেস্ট সাধারণত সাইন টেস্টের চেয়ে পার্থক্য শনাক্ত করার জন্য বেশি শক্তিশালী হবে। এই পরিস্থিতিতে সাইন টেস্টের উইলকক্সন সাইনড র্যাঙ্ক টেস্টের তুলনায় অ্যাসিম্পটোটিক রিলেটিভ এফিসিয়েন্সি হলো ০.৬৭।[7]
পেয়ারড টি-টেস্ট
যদি জোড়ায় জোড়ায় পর্যবেক্ষণগুলো সংখ্যাগত পরিমাণ হয় (যেমন জার-এর উদাহরণে পেছনের পা এবং সামনের পায়ের প্রকৃত দৈর্ঘ্য), এবং জোড়ায় জোড়ায় পর্যবেক্ষণের পার্থক্যগুলো একটি একক স্বাভাবিক বিন্যাস থেকে দৈব নমুনা হয়, তবে paired t-test উপযুক্ত। পেয়ারড টি-টেস্ট সাধারণত সাইন টেস্টের চেয়ে পার্থক্য শনাক্ত করার জন্য বেশি শক্তিশালী হবে। এই পরিস্থিতিতে সাইন টেস্টের পেয়ারড টি-টেস্টের তুলনায় অ্যাসিম্পটোটিক রিলেটিভ এফিসিয়েন্সি হলো ০.৬৩৭। তবে, যদি জোড়ার পার্থক্যের বিন্যাস স্বাভাবিক না হয়ে ভারী-টেইলড (platykurtic distribution) হয়, তবে সাইন টেস্ট পেয়ারড টি-টেস্টের চেয়ে বেশি শক্তিশালী হতে পারে, যার পেয়ারড টি-টেস্টের তুলনায় অ্যাসিম্পটোটিক রিলেটিভ এফিসিয়েন্সি ২.০ এবং উইলকক্সন সাইনড র্যাঙ্ক টেস্টের তুলনায় ১.৩।[7]
ম্যাকনেমার টেস্ট
কিছু প্রয়োগে, প্রতিটি জোড়ার মধ্যে পর্যবেক্ষণগুলো কেবল ০ বা ১ মান নিতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ০ ব্যর্থতা এবং ১ সাফল্য নির্দেশ করতে পারে। ৪টি সম্ভাব্য জোড়া রয়েছে: {০,০}, {০,১}, {১,০}, এবং {১,১}। এই ক্ষেত্রে, সাইন টেস্টের মতো একই পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, তবে এটি McNemar's test নামে পরিচিত।[7]
Friedman test
(পণ্য A, পণ্য B)-এর মতো জোড়ায় জোড়ায় পর্যবেক্ষণের পরিবর্তে, তথ্যটিতে তিন বা ততোধিক স্তর (পণ্য A, পণ্য B, পণ্য C) থাকতে পারে। যদি পৃথক পর্যবেক্ষণগুলোকে সাইন টেস্টের মতো একইভাবে ক্রমানুসারে সাজানো যায়, উদাহরণস্বরূপ B > C > A, তবে Friedman test ব্যবহার করা যেতে পারে।[6]
ট্রিনোমিয়াল টেস্ট
বিয়ান, ম্যাকঅ্যালার এবং ওং (Bian, McAleer and Wong)[11] ২০১১ সালে অনেক টাই (ties) থাকার সময় জোড়ায় জোড়ায় তথ্যের জন্য একটি নন-প্যারামেট্রিক পরীক্ষা প্রস্তাব করেছিলেন। তারা দেখিয়েছেন যে টাইয়ের উপস্থিতিতে তাদের ট্রিনোমিয়াল টেস্ট সাইন টেস্টের চেয়ে উন্নত।
আরও দেখুন
- Wilcoxon signed-rank test – সাইন টেস্টের একটি আরও শক্তিশালী সংস্করণ, তবে এটি একটি প্রতিসম বিন্যাস এবং ইন্টারভ্যাল ডেটা অনুমান করে।
- Median test – সাইন টেস্টের একটি আনপেয়ারড বিকল্প।
তথ্যসূত্র
- ↑ Baguley, Thomas. (2012). Serious Stats: A Guide to Advanced Statistics for the Behavioral Sciences. 281. Palgrave Macmillan. ISBN 9780230363557..
- ↑ (2014). "Nonparametric Statistics: A Step-by-Step Approach". John Wiley & Sons. ISBN 9781118840429..
- ↑ Wilcoxon-Signed-Rank Test. SpringerReference.
- ↑ The Sign Test for a Median // STAT 415 Intro Mathematical Statistics. Penn State University.
- ↑ 5.0 5.1 (1989). "Mathematical statistics with applications". 674–679. PWS-Kent. ISBN 0-534-92026-8.
- ↑ 6.0 6.1 6.2 Zar, Jerold H.. (1999). "Biostatistical Analysis". 516–570. Prentice-Hall. ISBN 0-13-081542-X.
- ↑ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 Conover, W.J.. (1999). "Practical Nonparametric Statistics". 157–176. Wiley. ISBN 0-471-16068-7.
- ↑ 8.0 8.1 Sprent, P.. (1989). "Applied Nonparametric Statistical Methods". Chapman & Hall. ISBN 0-412-44980-3.
- ↑ Bellhouse, P.. (2001). "in Statisticians of the Centuries". 39–42. Springer. ISBN 0-387-95329-9.
- ↑ 10.0 10.1 Hald, Anders. (1998). "A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930". 65. Wiley.
- ↑ (2011). "A trinomial test for paired data when there are many ties.". 1153–1160. Mathematics and Computers in Simulation, 81(6).
- Gibbons, J.D. and Chakraborti, S. (1992). Nonparametric Statistical Inference. Marcel Dekker Inc., New York.
- Kitchens, L.J.(2003). Basic Statistics and Data Analysis. Duxbury.
- Conover, W. J. (1980). Practical Nonparametric Statistics, 2nd ed. Wiley, New York.
- Lehmann, E. L. (1975). Nonparametrics: Statistical Methods Based on Ranks. Holden and Day, San Francisco.
collapsed
উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Sign test” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Sign_test এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।
