গ্রেঞ্জার কজালিটি

যখন টাইম সিরিজ X, টাইম সিরিজ Y-এর গ্রেঞ্জার কজালিটি (Granger-causes) হিসেবে কাজ করে, তখন X-এর প্যাটার্নগুলো কিছু সময় ব্যবধানের পর Y-তে মোটামুটিভাবে পুনরাবৃত্তি হয় (দুটি উদাহরণ তীর চিহ্ন দিয়ে দেখানো হয়েছে)। সুতরাং, X-এর অতীত মানগুলো Y-এর ভবিষ্যৎ মান পূর্বাভাসের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে।

গ্রেঞ্জার কজালিটি টেস্ট (Granger causality test) হলো একটি পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস পরীক্ষা, যা ১৯৬৯ সালে প্রথম প্রস্তাবিত হয়। এটি নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয় যে একটি টাইম সিরিজ অন্যটির পূর্বাভাস দেওয়ার ক্ষেত্রে কতটা কার্যকর। সাধারণত, রিগ্রেশনগুলো কেবল "সাধারণ" সহসম্পর্ক প্রতিফলিত করে, কিন্তু ক্লাইভ গ্রেঞ্জার যুক্তি দিয়েছিলেন যে অর্থনীতিতে কার্যকারণ সম্পর্ক (causality) পরীক্ষা করা সম্ভব যদি একটি টাইম সিরিজের পূর্ববর্তী মান ব্যবহার করে অন্য একটি টাইম সিরিজের ভবিষ্যৎ মান অনুমান করার ক্ষমতা পরিমাপ করা যায়। যেহেতু "প্রকৃত কার্যকারণ" বা "true causality"-এর প্রশ্নটি গভীরভাবে দার্শনিক এবং পোস্ট হক এরগো প্রপটার হক (post hoc ergo propter hoc) ভ্রান্তির কারণে (যেখানে একটি ঘটনার আগে অন্যটি ঘটলেই সেটিকে কার্যকারণের প্রমাণ হিসেবে ধরে নেওয়া হয়), তাই অর্থনীতিবিদরা দাবি করেন যে গ্রেঞ্জার টেস্ট কেবল "পূর্বাভাসমূলক কার্যকারণ" (predictive causality) খুঁজে বের করে। শুধুমাত্র "কার্যকারণ" (causality) শব্দটি ব্যবহার করা ভুল, কারণ গ্রেঞ্জার কজালিটিকে "পূর্ববর্তী অবস্থান" (precedence) হিসেবে বর্ণনা করাই শ্রেয়, অথবা, যেমনটি গ্রেঞ্জার নিজে ১৯৭৭ সালে দাবি করেছিলেন, "সাময়িকভাবে সম্পর্কিত" (temporally related)। X, Y-এর কারণ কি না তা পরীক্ষা করার পরিবর্তে, গ্রেঞ্জার কজালিটি পরীক্ষা করে যে X, Y-এর পূর্বাভাস দিতে পারে কি না।

একটি টাইম সিরিজ X-কে Y-এর গ্রেঞ্জার কজালিটি বলা হয় যদি এটি দেখানো যায় যে, সাধারণত X-এর ল্যাগড ভ্যালুগুলোর (এবং Y-এর ল্যাগড ভ্যালুগুলো অন্তর্ভুক্ত করে) ওপর ধারাবাহিক টি-টেস্ট এবং এফ-টেস্ট প্রয়োগের মাধ্যমে, সেই X-এর মানগুলো Y-এর ভবিষ্যৎ মান সম্পর্কে পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ তথ্য প্রদান করে।

গ্রেঞ্জার আরও জোর দিয়ে বলেছিলেন যে অর্থনীতির বাইরের ক্ষেত্রে "গ্রেঞ্জার কজালিটি" পরীক্ষা ব্যবহার করে কিছু গবেষণা "হাস্যকর" সিদ্ধান্তে পৌঁছেছে। তার নোবেল বক্তৃতায় তিনি বলেছিলেন, "অবশ্যই, অনেক হাস্যকর গবেষণাপত্র প্রকাশিত হয়েছে।" তবুও, কম্পিউটেশনাল সরলতার কারণে টাইম সিরিজে কার্যকারণ বিশ্লেষণের জন্য এটি একটি জনপ্রিয় পদ্ধতি হিসেবে রয়ে গেছে। গ্রেঞ্জার কজালিটির মূল সংজ্ঞাটি ল্যাটেন্ট কনফাউন্ডিং ইফেক্ট বা তাৎক্ষণিক ও অ-রৈখিক কার্যকারণ সম্পর্কগুলোকে বিবেচনা করে না, যদিও এই সমস্যাগুলো সমাধানের জন্য বেশ কিছু সম্প্রসারণ প্রস্তাব করা হয়েছে।

অন্তর্দৃষ্টি

আমরা বলি যে একটি পরিবর্তনশীল X যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়, তা অন্য একটি পরিবর্তনশীল Y-এর ক্ষেত্রে গ্রেঞ্জার-কজালিটি হিসেবে কাজ করে যদি Y-এর নিজস্ব অতীত মান এবং X-এর অতীত মানের ওপর ভিত্তি করে Y-এর মানের পূর্বাভাস, শুধুমাত্র Y-এর নিজস্ব অতীত মানের ওপর ভিত্তি করে করা পূর্বাভাসের চেয়ে ভালো হয়।

অন্তর্নিহিত নীতি

গ্রেঞ্জার দুটি নীতির ওপর ভিত্তি করে কার্যকারণ সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করেছেন:

1. কারণটি তার ফলাফলের আগে ঘটে।
2. কারণটির কাছে তার ফলাফলের ভবিষ্যৎ মান সম্পর্কে অনন্য তথ্য থাকে।

কার্যকারণ সম্পর্কে এই দুটি অনুমানের ভিত্তিতে, গ্রেঞ্জার $X$-এর ওপর $Y$-এর কার্যকারণ প্রভাব শনাক্ত করার জন্য নিম্নলিখিত হাইপোথিসিসটি পরীক্ষা করার প্রস্তাব করেন:

$\mathbb{\mathbb{P}}[Y(t+1)\in A\mid {ℐ}(t)]\ne \mathbb{\mathbb{P}}[Y(t+1)\in A\mid {{ℐ}}_{-X}(t)],$

যেখানে $\mathbb{\mathbb{P}}$ সম্ভাবনাকে নির্দেশ করে, $A$ একটি নির্বিচারে অ-শূন্য সেট, এবং ${ℐ}(t)$ ও ${{ℐ}}_{-X}(t)$ যথাক্রমে সম্পূর্ণ মহাবিশ্বে এবং এমন একটি পরিবর্তিত মহাবিশ্বে যেখানে $X$ বাদ দেওয়া হয়েছে, সেখানে সময় $t$-এ উপলব্ধ তথ্য নির্দেশ করে। যদি উপরের হাইপোথিসিসটি গৃহীত হয়, তবে আমরা বলি যে $X$, $Y$-এর গ্রেঞ্জার কজালিটি হিসেবে কাজ করে।

পদ্ধতি

যদি একটি টাইম সিরিজ একটি স্টেশনারি প্রসেস হয়, তবে পরীক্ষাটি দুটি (বা তার বেশি) পরিবর্তনশীলের লেভেল মান ব্যবহার করে করা হয়। যদি পরিবর্তনশীলগুলো অ-স্টেশনারি হয়, তবে পরীক্ষাটি প্রথম (বা উচ্চতর) পার্থক্য ব্যবহার করে করা হয়। সাধারণত আকেইক ইনফরমেশন ক্রাইটেরিয়া বা শোয়ার্জ ইনফরমেশন ক্রাইটেরিয়া-এর মতো একটি ইনফরমেশন ক্রাইটেরিয়া ব্যবহার করে ল্যাগের সংখ্যা নির্বাচন করা হয়। কোনো পরিবর্তনশীলের একটি নির্দিষ্ট ল্যাগড ভ্যালু রিগ্রেশনে রাখা হয় যদি (১) এটি টি-টেস্ট অনুযায়ী তাৎপর্যপূর্ণ হয়, এবং (২) এটি ও ওই পরিবর্তনশীলের অন্যান্য ল্যাগড ভ্যালুগুলো সম্মিলিতভাবে এফ-টেস্ট অনুযায়ী মডেলে ব্যাখ্যামূলক ক্ষমতা যোগ করে। এরপর, কোনো গ্রেঞ্জার কজালিটি নেই—এই নাল হাইপোথিসিসটি তখনই গৃহীত হয় না যদি রিগ্রেশনে ব্যাখ্যামূলক পরিবর্তনশীলের কোনো ল্যাগড ভ্যালু রাখা না হয়।

বাস্তবে দেখা যেতে পারে যে কোনো পরিবর্তনশীলই অন্যটির গ্রেঞ্জার কজালিটি নয়, অথবা দুটি পরিবর্তনশীলই একে অপরের গ্রেঞ্জার কজালিটি।

গাণিতিক বিবৃতি

ধরা যাক y এবং x হলো স্টেশনারি টাইম সিরিজ। x, y-এর গ্রেঞ্জার কজালিটি নয়—এই নাল হাইপোথিসিসটি পরীক্ষা করার জন্য, প্রথমে y-এর একটি ইউনিভ্যারিয়েট অটোরেগ্রেশন-এ অন্তর্ভুক্ত করার জন্য y-এর সঠিক ল্যাগড ভ্যালুগুলো খুঁজে বের করতে হয়:

$y_t=a_0+a_1{y}_{t-1}+a_2{y}_{t-2}+\cdots +a_m{y}_{t-m}+{\text{error}}_t.$

এরপর, x-এর ল্যাগড ভ্যালুগুলো অন্তর্ভুক্ত করে অটোরেগ্রেশনটিকে বর্ধিত করা হয়:

$y_t=a_0+a_1{y}_{t-1}+a_2{y}_{t-2}+\cdots +a_m{y}_{t-m}+b_p{x}_{t-p}+\cdots +b_q{x}_{t-q}+{\text{error}}_t.$

এই রিগ্রেশনে x-এর সেই সব ল্যাগড ভ্যালু রাখা হয় যা তাদের টি-স্ট্যাটিস্টিক অনুযায়ী স্বতন্ত্রভাবে তাৎপর্যপূর্ণ, তবে শর্ত থাকে যে তারা সম্মিলিতভাবে এফ-টেস্ট অনুযায়ী রিগ্রেশনে ব্যাখ্যামূলক ক্ষমতা যোগ করে (যার নাল হাইপোথিসিস হলো x-এর মানগুলো সম্মিলিতভাবে কোনো ব্যাখ্যামূলক ক্ষমতা যোগ করে না)। উপরের বর্ধিত রিগ্রেশনের নোটেশনে, p হলো ক্ষুদ্রতম এবং q হলো দীর্ঘতম ল্যাগ দৈর্ঘ্য যার জন্য x-এর ল্যাগড ভ্যালু তাৎপর্যপূর্ণ।

x, y-এর গ্রেঞ্জার কজালিটি নয়—এই নাল হাইপোথিসিসটি তখনই গৃহীত হয় না যদি রিগ্রেশনে x-এর কোনো ল্যাগড ভ্যালু রাখা না হয়।

মাল্টিভ্যারিয়েট বিশ্লেষণ

মাল্টিভ্যারিয়েট গ্রেঞ্জার কজালিটি বিশ্লেষণ সাধারণত টাইম সিরিজে একটি ভেক্টর অটোরেগ্রেসিভ মডেল (VAR) ফিট করে করা হয়। বিশেষ করে, ধরা যাক $X(t)\in {\mathbb{ℝ}}^{d\times 1}$ যেখানে $t=1,\dots ,T$ একটি $d$-মাত্রিক মাল্টিভ্যারিয়েট টাইম সিরিজ। গ্রেঞ্জার কজালিটি পরীক্ষা করা হয় নিম্নরূপ $L$ টাইম ল্যাগসহ একটি VAR মডেল ফিট করে:

$X(t)=\sum _{\tau =1}^L{A}_{\tau }X(t-\tau )+\epsilon (t),$

যেখানে $\epsilon (t)$ একটি হোয়াইট গাউসিয়ান র‍্যান্ডম ভেক্টর এবং $A_{\tau }$ হলো প্রতিটি $\tau$-এর জন্য একটি ম্যাট্রিক্স। একটি টাইম সিরিজ $X_i$-কে অন্য একটি টাইম সিরিজ $X_j$-এর গ্রেঞ্জার কারণ বলা হয়, যদি অন্তত একটি উপাদান $A_{\tau }(j,i)$ (যেখানে $\tau =1,\dots ,L$) শূন্যের চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে বড় হয় (পরম মানে)।

অ-প্যারামেট্রিক পরীক্ষা

উপরের রৈখিক পদ্ধতিগুলো গড়ের ক্ষেত্রে গ্রেঞ্জার কজালিটি পরীক্ষার জন্য উপযুক্ত। তবে এগুলো উচ্চতর মোমেন্টে, যেমন ভেদাঙ্কে (variance), গ্রেঞ্জার কজালিটি শনাক্ত করতে সক্ষম নয়। গ্রেঞ্জার কজালিটির জন্য অ-প্যারামেট্রিক পরীক্ষাগুলো এই সমস্যা সমাধানের জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। এই পরীক্ষাগুলোতে গ্রেঞ্জার কজালিটির সংজ্ঞা সাধারণ এবং এতে কোনো রৈখিক অটোরেগ্রেসিভ মডেলের মতো কোনো মডেলিং অনুমান জড়িত থাকে না। গ্রেঞ্জার কজালিটির অ-প্যারামেট্রিক পরীক্ষাগুলো উচ্চতর মোমেন্ট এবং/অথবা অ-রৈখিকতা অন্তর্ভুক্ত করে আরও ভালো প্যারামেট্রিক মডেল তৈরির জন্য ডায়াগনস্টিক টুল হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে।

সীমাবদ্ধতা

নাম থেকেই বোঝা যায়, গ্রেঞ্জার কজালিটি মানেই যে প্রকৃত কার্যকারণ তা নয়। যদি X এবং Y উভয়ই ভিন্ন ভিন্ন ল্যাগসহ একটি সাধারণ তৃতীয় প্রক্রিয়ার দ্বারা চালিত হয়, তবে গ্রেঞ্জার কজালিটির বিকল্প হাইপোথিসিসটি প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থ হওয়া সম্ভব। তবুও, পরিবর্তনশীলগুলোর একটির ম্যানিপুলেশন অন্যটিকে পরিবর্তন করবে না। প্রকৃতপক্ষে, গ্রেঞ্জার কজালিটি টেস্টগুলো দুটি পরিবর্তনশীলের জোড়া নিয়ে কাজ করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে এবং যখন প্রকৃত সম্পর্কের ক্ষেত্রে তিনটি বা তার বেশি পরিবর্তনশীল জড়িত থাকে, তখন এগুলো বিভ্রান্তিকর ফলাফল দিতে পারে। এটি বলার পর, এটি যুক্তি দেওয়া হয়েছে যে কার্যকারণের একটি সম্ভাব্য দৃষ্টিভঙ্গি থেকে, গ্রেঞ্জার কজালিটিকে সেই অর্থে প্রকৃত কার্যকারণ হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে, বিশেষ করে যখন রাইখেনবাখের সম্ভাব্য কার্যকারণের "স্ক্রিনিং অফ" ধারণাটি বিবেচনায় নেওয়া হয়। বিভ্রান্তিকর পরীক্ষার ফলাফলের অন্যান্য সম্ভাব্য উৎসগুলো হলো: (১) পর্যাপ্ত ঘন ঘন বা খুব ঘন ঘন স্যাম্পলিং, (২) অ-রৈখিক কার্যকারণ সম্পর্ক, (৩) টাইম সিরিজ অ-স্টেশনারিটি এবং অ-রৈখিকতা এবং (৪) যৌক্তিক প্রত্যাশার অস্তিত্ব। আরও বেশি পরিবর্তনশীল জড়িত এমন একটি অনুরূপ পরীক্ষা ভেক্টর অটোরেগ্রেশন-এর সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে।

একাডেমিক সাহিত্যে গ্রেঞ্জার কজালিটি টেস্টের বৈধতাকে চ্যালেঞ্জ করা হয়েছে, একটি গবেষণাপত্রে দাবি করা হয়েছে যে "কার্যকারণের যেকোনো সম্ভাব্য সংজ্ঞার অন্তর্নিহিত সবচেয়ে মৌলিক প্রয়োজনীয়তাটিও গ্রেঞ্জার কজালিটি টেস্ট দ্বারা পূরণ হয় না... কার্যকারণের যেকোনো সংজ্ঞার অতীত থেকে ভবিষ্যতের পূর্বাভাসের উল্লেখ থাকা উচিত... আমরা দেখতে পাই যে গ্রেঞ্জার ভবিষ্যৎ থেকে অতীতকে 'পূর্বাভাস' করারও অনুমতি দেয়।"

সম্প্রসারণ

গ্রেঞ্জার কজালিটির জন্য এমন একটি পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে যা এরর টার্ম স্বাভাবিকভাবে বিতরণ করা হয়েছে—এই অনুমানের বিচ্যুতিতে সংবেদনশীল নয়। এই পদ্ধতিটি আর্থিক অর্থনীতিতে বিশেষভাবে কার্যকর, কারণ অনেক আর্থিক পরিবর্তনশীল স্বাভাবিকভাবে বিতরণ করা হয় না। সম্প্রতি, ইতিবাচক পরিবর্তনের কার্যকারণ প্রভাবকে নেতিবাচক পরিবর্তন থেকে আলাদা করার জন্য সাহিত্যে অপ্রতিসম কার্যকারণ পরীক্ষার পরামর্শ দেওয়া হয়েছে। প্যানেল ডেটাতে গ্রেঞ্জার (অ-)কার্যকারণ পরীক্ষার একটি সম্প্রসারণও উপলব্ধ। GARCH (জেনারালাইজড অটো-রিগ্রেসিভ কন্ডিশনাল হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি) ধরনের ইন্টিজার-ভ্যালুড টাইম সিরিজ মডেলের ওপর ভিত্তি করে একটি সংশোধিত গ্রেঞ্জার কজালিটি টেস্ট অনেক ক্ষেত্রে উপলব্ধ।

সময়-পরিবর্তনশীল গ্রেঞ্জার কজালিটি

গ্রেঞ্জার কজালিটির সম্প্রসারণ যা এর গতিশীল, সময়-পরিবর্তনশীল প্রকৃতিকে অন্তর্ভুক্ত করে, তা টাইম-সিরিজ ডেটাতে কার্যকারণ সম্পর্কগুলো সময়ের সাথে কীভাবে বিবর্তিত হয় সে সম্পর্কে আরও সূক্ষ্ম বোঝার সুযোগ দেয়। এই পদ্ধতিটি প্রথাগত গ্রেঞ্জার কজালিটি টেস্টের সীমাবদ্ধতা কাটিয়ে উঠতে এবং বিভিন্ন সময়কাল জুড়ে কার্যকারণ সম্পর্কের পরিবর্তনগুলো বোঝার জন্য ফরওয়ার্ড এক্সপ্যান্ডিং (FE), রোলিং (RO), এবং রিকার্সিভ ইভলভিং (RE) উইন্ডোর মতো রিকার্সিভ কৌশল ব্যবহার করে। এই পদ্ধতির একটি কেন্দ্রীয় দিক হলো Stata-তে 'tvgc' কমান্ড। ইথেরিয়াম নেটওয়ার্কে ট্রানজ্যাকশন ফি এবং অর্থনৈতিক সাব-সিস্টেমের ডেটার মতো গবেষণামূলক প্রয়োগগুলো সময়ের সাথে অর্থনৈতিক সম্পর্কের গতিশীল প্রকৃতিকে তুলে ধরে।

নিউরোলজিতে

নিউরোলজিক্যাল ফাংশন সম্পর্কে দীর্ঘদিনের একটি বিশ্বাস ছিল যে মস্তিষ্কের বিভিন্ন এলাকা নির্দিষ্ট কাজের জন্য নির্ধারিত; অর্থাৎ একটি নির্দিষ্ট এলাকার স্থানীয় স্ট্রাকচারাল কানেক্টিভিটি কোনোভাবে সেই অংশের কাজ নির্ধারণ করে। বহু বছর ধরে সংগৃহীত কাজের ভিত্তিতে, মস্তিষ্কে তথ্যের প্রবাহ বর্ণনা করার জন্য একটি ভিন্ন, নেটওয়ার্ক-কেন্দ্রিক দৃষ্টিভঙ্গির দিকে পরিবর্তন এসেছে। কাজের ব্যাখ্যায় এখন মস্তিষ্কের বিভিন্ন স্তরে এবং বিভিন্ন অবস্থানে বিদ্যমান নেটওয়ার্কের ধারণা অন্তর্ভুক্ত করা হচ্ছে। এই নেটওয়ার্কগুলোর আচরণ অ-নির্ধারিত প্রক্রিয়ার দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে যা সময়ের সাথে বিবর্তিত হচ্ছে। অর্থাৎ, একই ইনপুট উদ্দীপনা দেওয়া হলেও, আপনি নেটওয়ার্ক থেকে একই আউটপুট পাবেন না। এই নেটওয়ার্কগুলোর গতিশীলতা সম্ভাবনার দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়, তাই আমরা সেগুলোকে স্টোকাস্টিক (র‍্যান্ডম) প্রসেস হিসেবে বিবেচনা করি যাতে আমরা মস্তিষ্কের বিভিন্ন এলাকার মধ্যে এই ধরনের গতিশীলতা ক্যাপচার করতে পারি।

একটি নিউরন এবং তার আশেপাশের এনসেম্বলের ফায়ারিং কার্যকলাপ থেকে তথ্যের প্রবাহ পরিমাপের বিভিন্ন পদ্ধতি অতীতে অন্বেষণ করা হয়েছে, কিন্তু সেগুলো থেকে যে ধরনের সিদ্ধান্তে পৌঁছানো যায় তা সীমিত এবং তথ্যের দিকনির্দেশক প্রবাহ, এর প্রভাবের আকার এবং সময়ের সাথে এটি কীভাবে পরিবর্তিত হতে পারে সে সম্পর্কে খুব কম অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে। সম্প্রতি গ্রেঞ্জার কজালিটি এই সমস্যাগুলোর কিছু সমাধানের জন্য প্রয়োগ করা হয়েছে। সহজ কথায়, কেউ পরীক্ষা করে যে একটি নিউরনের ভবিষ্যৎ কীভাবে সবচেয়ে ভালোভাবে অনুমান করা যায়: হয় পুরো এনসেম্বল ব্যবহার করে অথবা একটি নির্দিষ্ট টার্গেট নিউরন ছাড়া পুরো এনসেম্বল ব্যবহার করে। যদি টার্গেট নিউরনটিকে বাদ দেওয়ার ফলে পূর্বাভাস খারাপ হয়, তবে আমরা বলি যে এটির বর্তমান নিউরনের সাথে একটি "g-causal" সম্পর্ক রয়েছে।

পয়েন্ট প্রসেস মডেলে সম্প্রসারণ

পূর্ববর্তী গ্রেঞ্জার কজালিটি পদ্ধতিগুলো কেবল কন্টিনিউয়াস-ভ্যালুড ডেটাতে কাজ করতে পারত, তাই নিউরাল স্পাইক ট্রেন রেকর্ডিংয়ের বিশ্লেষণে এমন রূপান্তর জড়িত ছিল যা শেষ পর্যন্ত ডেটার স্টোকাস্টিক বৈশিষ্ট্যগুলোকে পরিবর্তন করত, পরোক্ষভাবে তা থেকে প্রাপ্ত সিদ্ধান্তের বৈধতাকে পরিবর্তন করত। তবে ২০১১ সালে, একটি নতুন সাধারণ-উদ্দেশ্যমূলক গ্রেঞ্জার কজালিটি ফ্রেমওয়ার্ক প্রস্তাব করা হয়েছিল যা সরাসরি যেকোনো মডালিটিতে কাজ করতে পারত, যার মধ্যে নিউরাল-স্পাইক ট্রেনও অন্তর্ভুক্ত।

নিউরাল স্পাইক ট্রেন ডেটাকে একটি পয়েন্ট প্রসেস হিসেবে মডেল করা যেতে পারে। একটি টেম্পোরাল পয়েন্ট প্রসেস হলো বাইনারি ইভেন্টের একটি স্টোকাস্টিক টাইম-সিরিজ যা কন্টিনিউয়াস সময়ে ঘটে। এটি সময়ের প্রতিটি বিন্দুতে কেবল দুটি মান নিতে পারে, যা নির্দেশ করে যে কোনো ঘটনা আসলে ঘটেছে কি না। তথ্যের এই ধরনের বাইনারি-ভ্যালুড উপস্থাপনা নিউরাল পপুলেশনের কার্যকলাপের জন্য উপযুক্ত কারণ একটি একক নিউরনের অ্যাকশন পটেনশিয়ালের একটি সাধারণ ওয়েভফর্ম থাকে। এইভাবে, একটি নিউরন থেকে আউটপুট হিসেবে যে প্রকৃত তথ্য বহন করা হয় তা হলো একটি "স্পাইক"-এর ঘটনা, সেইসাথে পরপর দুটি স্পাইকের মধ্যবর্তী সময়। এই পদ্ধতি ব্যবহার করে কেউ একটি নিউরাল-নেটওয়ার্কে তথ্যের প্রবাহকে একটি পর্যবেক্ষণ সময়কাল জুড়ে প্রতিটি নিউরনের স্পাইকিং সময় হিসেবে বিমূর্ত করতে পারে। একটি পয়েন্ট প্রসেসকে স্পাইকগুলোর সময়, স্পাইকগুলোর মধ্যবর্তী অপেক্ষার সময়, একটি কাউন্টিং প্রসেস ব্যবহার করে, অথবা যদি সময়কে যথেষ্ট ডিসক্রিটাইজ করা হয় যাতে প্রতিটি উইন্ডোতে কেবল একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা থাকে (অর্থাৎ একটি টাইম বিনে কেবল একটি ঘটনা থাকতে পারে), তবে ১ এবং ০-এর সেট হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যা বাইনারির খুব কাছাকাছি।

নিউরাল-স্পাইকিং মডেলের অন্যতম সহজ ধরন হলো পয়সন প্রসেস। তবে এটি মেমোরি-লেস হওয়ার কারণে সীমিত। এটি ফায়ারিংয়ের বর্তমান সম্ভাবনা গণনা করার সময় কোনো স্পাইকিং ইতিহাস বিবেচনা করে না। তবে নিউরনগুলো তাদের আপেক্ষিক এবং পরম রিফ্র্যাক্টরি পিরিয়ডের মাধ্যমে একটি মৌলিক (বায়োফিজিক্যাল) ইতিহাস নির্ভরতা প্রদর্শন করে। এটি সমাধানের জন্য, একটি কন্ডিশনাল ইনটেনসিটি ফাংশন ব্যবহার করা হয় নিউরনের স্পাইক করার সম্ভাবনা উপস্থাপন করতে, যা তার নিজস্ব ইতিহাসের ওপর শর্তযুক্ত। কন্ডিশনাল ইনটেনসিটি ফাংশন তাৎক্ষণিক ফায়ারিং সম্ভাবনা প্রকাশ করে এবং পরোক্ষভাবে পয়েন্ট প্রসেসের জন্য একটি সম্পূর্ণ সম্ভাব্যতা মডেল সংজ্ঞায়িত করে। এটি প্রতি ইউনিট সময়ে একটি সম্ভাবনা সংজ্ঞায়িত করে। সুতরাং যদি এই ইউনিট সময়কে যথেষ্ট ছোট নেওয়া হয় যাতে নিশ্চিত করা যায় যে সেই সময় উইন্ডোতে কেবল একটি স্পাইক ঘটতে পারে, তবে আমাদের কন্ডিশনাল ইনটেনসিটি ফাংশনটি সম্পূর্ণভাবে নির্দিষ্ট করে যে একটি নির্দিষ্ট নিউরন একটি নির্দিষ্ট সময়ে ফায়ার করার সম্ভাবনা কত।

কম্পিউটিংয়ে

পাইথন এবং আর-এ "গ্রেঞ্জার কজালিটি" পরিমাপের জন্য সফটওয়্যার প্যাকেজ তৈরি করা হয়েছে:

• পাইথন প্যাকেজ [1]
• আর প্যাকেজ [2]

আরও দেখুন

• ব্র্যাডফোর্ড হিল ক্রাইটেরিয়া
• ট্রান্সফার এনট্রপি
• কখ পোস্টুলেট

আরও পড়ুন

• Enders, Walter. (2004). Applied Econometric Time Series. 283–288. Wiley. ISBN 978-0-471-23065-6.
• (2009). "Basic Econometrics". 652–658. McGraw-Hill. ISBN 978-007-127625-2.
• Hoover, Kevin D.. (1988). The New Classical Macroeconomics. 168–176. Basil Blackwell. ISBN 978-0-631-14605-6.
• Kuersteiner, Guido. (2008). Granger–Sims causality. The New Palgrave Dictionary of Economics.
• Kleinberg, S. and Hripcsak, G. (2011) "A review of causal inference for biomedical informatics" সংরক্ষিত সংস্করণ J. Biomed Informatics

analysis

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Granger causality” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Granger_causality এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।