স্টেশনারি প্রসেস

গণিত এবং পরিসংখ্যান-এ, একটি স্টেশনারি প্রসেস (যাকে স্ট্রিক্ট/স্ট্রিক্টলি স্টেশনারি প্রসেস বা স্ট্রং/স্ট্রংলি স্টেশনারি প্রসেসও বলা হয়) হলো এমন একটি স্টোকাস্টিক প্রসেস যার পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্য, যেমন গড় (mean) এবং ভেদাঙ্ক (variance), সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে বলতে গেলে, প্রক্রিয়াটির যৌথ সম্ভাবনা বিন্যাস (joint probability distribution) সময়ের সাথে স্থানান্তরিত হলেও একই থাকে। এর অর্থ হলো, প্রক্রিয়াটি বিভিন্ন সময়কালে পরিসংখ্যানগতভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ। যেহেতু টাইম সিরিজ বিশ্লেষণে অনেক পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি স্টেশনারিটির ওপর নির্ভর করে, তাই বিশ্লেষণের আগে নন-স্টেশনারি ডেটাকে প্রায়শই স্টেশনারি করার জন্য রূপান্তরিত করা হয়।

নন-স্টেশনারিটির একটি সাধারণ কারণ হলো গড়ের মধ্যে প্রবণতা (trend), যা একটি ইউনিট রুট (unit root) বা একটি ডিটারমিনিস্টিক ট্রেন্ডের কারণে হতে পারে। ইউনিট রুটের ক্ষেত্রে, স্টোকাস্টিক শকগুলোর স্থায়ী প্রভাব থাকে এবং প্রক্রিয়াটি গড়-রিভার্টিং (mean-reverting) হয় না। ডিটারমিনিস্টিক ট্রেন্ডের ক্ষেত্রে, প্রক্রিয়াটিকে ট্রেন্ড-স্টেশনারি প্রসেস বলা হয় এবং শকগুলোর প্রভাব কেবল ক্ষণস্থায়ী হয়, যেখানে চলকটি একটি ডিটারমিনিস্টিক্যালি বিবর্তিত গড়ের দিকে ধাবিত হয়। একটি ট্রেন্ড-স্টেশনারি প্রসেস কঠোরভাবে স্টেশনারি নয়, তবে ট্রেন্ড অপসারণের মাধ্যমে এটিকে স্টেশনারি করা যেতে পারে। একইভাবে, ইউনিট রুটযুক্ত প্রক্রিয়াগুলোকে ডিফারেন্সিং (differencing)-এর মাধ্যমে স্টেশনারি করা যায়।

নন-স্টেশনারি প্রক্রিয়ার আরেকটি ধরন, যা ট্রেন্ডযুক্ত প্রক্রিয়া থেকে আলাদা, তা হলো সাইক্লোস্টেশনারি প্রসেস, যা সময়ের সাথে চক্রাকার পরিবর্তন প্রদর্শন করে।

উপরে সংজ্ঞায়িত স্ট্রিক্ট স্টেশনারিটি অনেক অ্যাপ্লিকেশনের জন্য খুব বেশি সীমাবদ্ধ হতে পারে। তাই, স্টেশনারিটির অন্যান্য রূপ, যেমন ওয়াইড-সেন্স স্টেশনারিটি বা Nতম-ক্রমের স্টেশনারিটি, প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। বিভিন্ন ধরনের স্টেশনারিটির সংজ্ঞা বিভিন্ন লেখকের ক্ষেত্রে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয় (দেখুন #Other terminology)।

স্ট্রিক্ট-সেন্স স্টেশনারিটি

সংজ্ঞা

আনুষ্ঠানিকভাবে, ধরা যাক ${X_{t}}$ একটি স্টোকাস্টিক প্রসেস এবং $F_{X} (x_{t_{1} + τ}, \dots, x_{t_{n} + τ})$ হলো ${X_{t}}$ -এর $t_{1} + τ, \dots, t_{n} + τ$ সময়ে যৌথ বিন্যাস-এর (অর্থাৎ, কোনো নির্দিষ্ট প্রারম্ভিক মানের সাথে সম্পর্কহীন) কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন। তাহলে, ${X_{t}}$ -কে স্ট্রিক্টলি স্টেশনারি, স্ট্রংলি স্টেশনারি বা স্ট্রিক্ট-সেন্স স্টেশনারি বলা হয় যদি^[1]155

border

যেহেতু $τ$ মানটি F_X(\cdot)-কে প্রভাবিত করে না, তাই $F_{X}$ সময়ের ওপর নির্ভরশীল নয়।

উদাহরণ

হোয়াইট নয়েজ হলো স্টেশনারি প্রসেসের সবচেয়ে সহজ উদাহরণ।

একটি ডিসক্রিট-টাইম স্টেশনারি প্রসেসের উদাহরণ যেখানে স্যাম্পল স্পেসটিও ডিসক্রিট (যাতে র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলটি N সংখ্যক সম্ভাব্য মান নিতে পারে) তা হলো একটি বার্নোলি স্কিম। অবিচ্ছিন্ন স্যাম্পল স্পেসসহ ডিসক্রিট-টাইম স্টেশনারি প্রসেসের অন্যান্য উদাহরণের মধ্যে রয়েছে কিছু অটোরেগ্রেসিভ এবং মুভিং এভারেজ প্রক্রিয়া, যা উভয়ই অটোরেগ্রেসিভ মুভিং এভারেজ মডেল-এর উপসেট। নন-ট্রিভিয়াল অটোরেগ্রেসিভ উপাদানযুক্ত মডেলগুলো প্যারামিটারের মানের ওপর নির্ভর করে স্টেশনারি বা নন-স্টেশনারি হতে পারে, এবং গুরুত্বপূর্ণ নন-স্টেশনারি বিশেষ ক্ষেত্র হলো যেখানে মডেলে ইউনিট রুট বিদ্যমান।

উদাহরণ ১

ধরা যাক $Y$ যেকোনো স্কেলার র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল, এবং একটি টাইম-সিরিজ ${X_{t}}$ সংজ্ঞায়িত করা হলো এভাবে:

X_{t} = Y for all t .

তাহলে ${X_{t}}$ একটি স্টেশনারি টাইম সিরিজ, যার রিয়ালাইজেশনগুলো ধ্রুবক মানের একটি সিরিজ নিয়ে গঠিত, যেখানে প্রতিটি রিয়ালাইজেশনের জন্য একটি ভিন্ন ধ্রুবক মান থাকে। এই ক্ষেত্রে ল অফ লার্জ নাম্বারস প্রযোজ্য নয়, কারণ একটি একক রিয়ালাইজেশন থেকে প্রাপ্ত গড়ের সীমা Y-এর এক্সপেক্টেড ভ্যালু নেওয়ার পরিবর্তে Y দ্বারা নির্ধারিত র‍্যান্ডম মান গ্রহণ করে।

$X_{t}$ -এর টাইম এভারেজ অভিসারী (converge) হয় না কারণ প্রক্রিয়াটি এরগডিক নয়।

উদাহরণ ২

স্টেশনারি প্রসেসের আরও একটি উদাহরণ যার যেকোনো একক রিয়ালাইজেশনের একটি আপাত নয়েজ-মুক্ত কাঠামো রয়েছে, ধরা যাক $Y$ -এর $[0, 2 π]$ ব্যবধানে একটি ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন আছে এবং টাইম সিরিজ ${X_{t}}$ সংজ্ঞায়িত করা হলো:

X_{t} = \cos (t + Y) for t \in ℝ .

তাহলে ${X_{t}}$ স্ট্রিক্টলি স্টেশনারি কারণ ((t+ Y) মডুলো 2 \pi) যেকোনো t-এর জন্য $Y$ -এর মতো একই ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন অনুসরণ করে।

উদাহরণ ৩

মনে রাখবেন যে একটি উইকলি হোয়াইট নয়েজ সবসময় স্ট্রিক্টলি স্টেশনারি হয় না। ধরা যাক $ω$ একটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল যা $(0, 2 π)$ ব্যবধানে ইউনিফর্মলি ডিস্ট্রিবিউটেড এবং টাইম সিরিজ ${z_{t}}$ সংজ্ঞায়িত করা হলো:

z_{t} = \cos (t ω) (t = 1, 2, . . .)

তাহলে

\begin{aligned} 𝔼 (z_{t}) & = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \cos (t ω) d ω = 0, \\ Var (z_{t}) & = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \cos^{2} (t ω) d ω = 1 / 2, \\ Cov (z_{t}, z_{j}) & = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \cos (t ω) \cos (j ω) d ω = 0 \forall t \neq j . \end{aligned}

সুতরাং ${z_{t}}$ দুর্বল অর্থে একটি হোয়াইট নয়েজ (গড় এবং ক্রস-কোভ্যারিয়েন্স শূন্য, এবং ভেদাঙ্কগুলো একই), তবে এটি স্ট্রিক্টলি স্টেশনারি নয়।

Nতম-ক্রমের স্টেশনারিটি

Eq.1-এ, স্টোকাস্টিক প্রসেসের n সংখ্যক স্যাম্পলের বিন্যাস অবশ্যই সময়ের সাথে স্থানান্তরিত স্যাম্পলগুলোর বিন্যাসের সমান হতে হবে সকল n-এর জন্য। Nতম-ক্রমের স্টেশনারিটি হলো স্টেশনারিটির একটি দুর্বল রূপ যেখানে এটি কেবল একটি নির্দিষ্ট ক্রম N পর্যন্ত সকল $n$ -এর জন্য অনুরোধ করা হয়। একটি র‍্যান্ডম প্রসেস ${X_{t}}$ -কে Nতম-ক্রমের স্টেশনারি বলা হয় যদি:^[1]152

border

দুর্বল বা ওয়াইড-সেন্স স্টেশনারিটি

সংজ্ঞা

সিগন্যাল প্রসেসিং-এ সাধারণত ব্যবহৃত স্টেশনারিটির একটি দুর্বল রূপ হলো উইক-সেন্স স্টেশনারিটি, ওয়াইড-সেন্স স্টেশনারিটি (WSS), বা কোভ্যারিয়েন্স স্টেশনারিটি। WSS র‍্যান্ডম প্রসেসগুলোর জন্য কেবল প্রয়োজন যে ১ম মোমেন্ট (অর্থাৎ গড়) এবং অটোকোভ্যারিয়েন্স সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না এবং ২য় মোমেন্ট সকল সময়ের জন্য সসীম (finite)। যেকোনো স্ট্রিক্টলি স্টেশনারি প্রসেস যার একটি সসীম গড় এবং কোভ্যারিয়েন্স আছে, তা WSS-ও বটে।^[2]299

সুতরাং, একটি কন্টিনিউয়াস টাইম র‍্যান্ডম প্রসেস ${X_{t}}$ যা WSS, তার গড় ফাংশন $m_{X} (t) ≜ E [X_{t}]$ এবং অটোকোভ্যারিয়েন্স ফাংশন K_{XX}(t_1, t_2) \triangleq \operatorname E[(X_{t_1}-m_X(t_1))(X_{t_2}-m_X(t_2))]-এর ওপর নিম্নলিখিত বিধিনিষেধ থাকে:

border

প্রথম বৈশিষ্ট্যটি নির্দেশ করে যে গড় ফাংশন $m_{X} (t)$ অবশ্যই ধ্রুবক হতে হবে। দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্যটি নির্দেশ করে যে অটোকোভ্যারিয়েন্স ফাংশনটি কেবল $t_{1}$ এবং $t_{2}$ -এর পার্থক্য-এর ওপর নির্ভর করে এবং দুটি চলকের পরিবর্তে কেবল একটি চলক দ্বারা সূচিত হওয়া প্রয়োজন।^[1]159 সুতরাং, লেখার পরিবর্তে,

K_{X X} (t_{1} - t_{2}, 0)

নোটেশনটি প্রায়শই 1= \tau = t_1 - t_2-এর প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে সংক্ষিপ্ত করা হয়:

K_{X X} (τ) ≜ K_{X X} (t_{1} - t_{2}, 0)

এটি আরও নির্দেশ করে যে অটো কোরিলেশন কেবল 1= \tau = t_1 - t_2-এর ওপর নির্ভর করে, অর্থাৎ

R_{X} (t_{1}, t_{2}) = R_{X} (t_{1} - t_{2}, 0) ≜ R_{X} (τ) .

তৃতীয় বৈশিষ্ট্যটি বলে যে দ্বিতীয় মোমেন্টগুলো যেকোনো সময় t-এর জন্য সসীম হতে হবে।

প্রেরণা

ওয়াইড-সেন্স স্টেশনারিটির প্রধান সুবিধা হলো এটি টাইম-সিরিজকে হিলবার্ট স্পেস-এর প্রেক্ষাপটে স্থাপন করে। ধরা যাক H হলো \{ x(t) \} দ্বারা উৎপন্ন হিলবার্ট স্পেস। অটোকোভ্যারিয়েন্স ফাংশনের পজিটিভ ডেফিনিটনেসের কারণে, বোচনারের উপপাদ্য থেকে এটি অনুসরণ করে যে বাস্তব রেখায় একটি পজিটিভ পরিমাপ $μ$ বিদ্যমান, যাতে H হলো \{ e^{-2\pi i \xi \cdot t} \} দ্বারা উৎপন্ন L^2(\mu)-এর হিলবার্ট সাবস্পেসের আইসোমরফিক। এটি তখন একটি কন্টিনিউয়াস টাইম স্টেশনারি স্টোকাস্টিক প্রসেসের জন্য নিম্নলিখিত ফুরিয়ার-টাইপ ডিকম্পোজিশন দেয়: একটি স্টোকাস্টিক প্রসেস $ω_{ξ}$ বিদ্যমান যার অর্থোগোনাল ইনক্রিমেন্ট আছে, যাতে সকল t-এর জন্য:

X_{t} = \int e^{- 2 π i λ \cdot t} d ω_{λ},

যেখানে ডানদিকের ইন্টিগ্রালটি একটি উপযুক্ত (রিম্যান) অর্থে ব্যাখ্যা করা হয়। একই ফলাফল ডিসক্রিট-টাইম স্টেশনারি প্রসেসের জন্যও প্রযোজ্য, যেখানে স্পেকট্রাল পরিমাপটি এখন ইউনিট সার্কেলে সংজ্ঞায়িত।

যখন WSS র‍্যান্ডম সিগন্যালগুলোকে লিনিয়ার, টাইম-ইনভ্যারিয়েন্ট (LTI) ফিল্টার দিয়ে প্রসেস করা হয়, তখন কোরিলেশন ফাংশনটিকে একটি লিনিয়ার অপারেটর হিসেবে ভাবা সহায়ক। যেহেতু এটি একটি সার্কুল্যান্ট অপারেটর (কেবল দুটি আর্গুমেন্টের পার্থক্যের ওপর নির্ভর করে), এর আইগেনফাংশনগুলো হলো ফুরিয়ার কমপ্লেক্স এক্সপোনেনশিয়াল। উপরন্তু, যেহেতু LTI অপারেটরগুলোর আইগেনফাংশনগুলোও কমপ্লেক্স এক্সপোনেনশিয়াল, তাই WSS র‍্যান্ডম সিগন্যালের LTI প্রসেসিং অত্যন্ত সহজসাধ্য—সকল গণনা ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইন-এ করা যেতে পারে। সুতরাং, WSS অনুমানটি সিগন্যাল প্রসেসিং অ্যালগরিদম-এ ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

কমপ্লেক্স স্টোকাস্টিক প্রসেসের জন্য সংজ্ঞা

যে ক্ষেত্রে ${X_{t}}$ একটি কমপ্লেক্স স্টোকাস্টিক প্রসেস, সেখানে অটোকোভ্যারিয়েন্স ফাংশনটি $K_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E [(X_{t_{1}} - m_{X} (t_{1})) \overline{(X_{t_{2}} - m_{X} (t_{2}))}]$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত হয় এবং Eq.3-এর প্রয়োজনীয়তা ছাড়াও, এটি প্রয়োজন যে সিউডো-অটোকোভ্যারিয়েন্স ফাংশন $J_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E [(X_{t_{1}} - m_{X} (t_{1})) (X_{t_{2}} - m_{X} (t_{2}))]$ কেবল টাইম ল্যাগের ওপর নির্ভর করে। ফর্মুলায়, ${X_{t}}$ WSS হবে, যদি

border

জয়েন্ট স্টেশনারিটি

স্টেশনারিটির ধারণাটি দুটি স্টোকাস্টিক প্রসেসের ক্ষেত্রে সম্প্রসারিত করা যেতে পারে।

জয়েন্ট স্ট্রিক্ট-সেন্স স্টেশনারিটি

দুটি স্টোকাস্টিক প্রসেস ${X_{t}}$ এবং ${Y_{t}}$ -কে জয়েন্টলি স্ট্রিক্ট-সেন্স স্টেশনারি বলা হয় যদি তাদের যৌথ কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন $F_{X Y} (x_{t_{1}}, \dots, x_{t_{m}}, y_{t_{1}^{'}}, \dots, y_{t_{n}^{'}})$ সময়ের স্থানান্তরের অধীনে অপরিবর্তিত থাকে, অর্থাৎ যদি

border

জয়েন্ট (M + N)তম-ক্রমের স্টেশনারিটি

দুটি স্টোকাস্টিক প্রসেস ${X_{t}}$ এবং ${Y_{t}}$ -কে জয়েন্টলি (M + N)তম-ক্রমের স্টেশনারি বলা হয় যদি:^[1]159

border

জয়েন্ট উইক বা ওয়াইড-সেন্স স্টেশনারিটি

দুটি স্টোকাস্টিক প্রসেস ${X_{t}}$ এবং ${Y_{t}}$ -কে জয়েন্টলি ওয়াইড-সেন্স স্টেশনারি বলা হয় যদি তারা উভয়েই ওয়াইড-সেন্স স্টেশনারি হয় এবং তাদের ক্রস-কোভ্যারিয়েন্স ফাংশন $K_{X Y} (t_{1}, t_{2}) = E [(X_{t_{1}} - m_{X} (t_{1})) (Y_{t_{2}} - m_{Y} (t_{2}))]$ কেবল সময়ের পার্থক্য 1= \tau = t_1 - t_2-এর ওপর নির্ভর করে। এটি নিম্নরূপ সংক্ষেপে বলা যেতে পারে:

border

স্টেশনারিটির বিভিন্ন ধরনের মধ্যে সম্পর্ক

যদি একটি স্টোকাস্টিক প্রসেস Nতম-ক্রমের স্টেশনারি হয়, তবে এটি সকল M \le N-এর জন্য Mতম-ক্রমের স্টেশনারিও।
যদি একটি স্টোকাস্টিক প্রসেস দ্বিতীয়-ক্রমের স্টেশনারি (1= N=2) হয় এবং তার সসীম দ্বিতীয় মোমেন্ট থাকে, তবে এটি ওয়াইড-সেন্স স্টেশনারিও।^[1]159
যদি একটি স্টোকাস্টিক প্রসেস ওয়াইড-সেন্স স্টেশনারি হয়, তবে এটি দ্বিতীয়-ক্রমের স্টেশনারি নাও হতে পারে।^[1]159
যদি একটি স্টোকাস্টিক প্রসেস স্ট্রিক্ট-সেন্স স্টেশনারি হয় এবং তার সসীম দ্বিতীয় মোমেন্ট থাকে, তবে এটি ওয়াইড-সেন্স স্টেশনারি।^[2]299
যদি দুটি স্টোকাস্টিক প্রসেস জয়েন্টলি (M + N)তম-ক্রমের স্টেশনারি হয়, তবে এটি নিশ্চিত করে না যে স্বতন্ত্র প্রসেসগুলো যথাক্রমে Mতম- বা Nতম-ক্রমের স্টেশনারি।^[1]159

অন্যান্য পরিভাষা

স্ট্রিক্ট স্টেশনারিটি ছাড়া অন্যান্য ধরনের স্টেশনারিটির জন্য ব্যবহৃত পরিভাষা বেশ মিশ্র হতে পারে। কিছু উদাহরণ নিচে দেওয়া হলো।

প্রিস্টলি m ক্রম পর্যন্ত স্টেশনারি শব্দটি ব্যবহার করেন যদি ওয়াইড সেন্স স্টেশনারিটির জন্য এখানে প্রদত্ত শর্তগুলোর মতো শর্তগুলো m ক্রম পর্যন্ত মোমেন্টের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হয়।^[3]^[4] সুতরাং ওয়াইড সেন্স স্টেশনারিটি "২য় ক্রম পর্যন্ত স্টেশনারি"-এর সমতুল্য হবে, যা এখানে প্রদত্ত দ্বিতীয়-ক্রমের স্টেশনারিটির সংজ্ঞা থেকে আলাদা।
হনারখা এবং কেয়ার্স মাল্টিপল-পয়েন্ট জিওস্ট্যাটিস্টিকসের প্রেক্ষাপটে স্টেশনারিটির অনুমান ব্যবহার করেন, যেখানে উচ্চতর n-পয়েন্ট পরিসংখ্যানগুলো স্থানিক ডোমেইনে স্টেশনারি বলে ধরে নেওয়া হয়।^[5]

নন-স্টেশনারি প্রসেসকে স্টেশনারি করার কৌশল

টাইম সিরিজ বিশ্লেষণে এবং স্টোকাস্টিক প্রসেসে, একটি টাইম সিরিজকে স্টেশনারি করা একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রি-প্রসেসিং ধাপ, যার লক্ষ্য একটি নন-স্টেশনারি প্রসেসকে স্টেশনারি প্রসেসে রূপান্তর করা। বিদ্যমান নন-স্টেশনারিটির ধরন এবং ক্রমের ওপর নির্ভর করে এটি অর্জনের জন্য বেশ কিছু কৌশল রয়েছে। প্রথম-ক্রমের নন-স্টেশনারিটির জন্য, যেখানে প্রক্রিয়ার গড় সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়, ডিফারেন্সিং একটি সাধারণ এবং কার্যকর পদ্ধতি: এটি প্রতিটি মান থেকে তার পূর্বসূরিকে বিয়োগ করে সিরিজটিকে রূপান্তরিত করে, যার ফলে গড় স্থিতিশীল হয়। দ্বিতীয় ক্রম পর্যন্ত নন-স্টেশনারিটির জন্য, সময়-ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণ (যেমন, ওয়েভলেট ট্রান্সফর্ম, উইগনার ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন, বা শর্ট-টাইম ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম) ব্যবহার করে সময়-স্থানীয়, নন-স্টেশনারি স্পেকট্রাল উপাদানগুলোকে আলাদা এবং দমন করা যেতে পারে। উপরন্তু, সারোগেট ডেটা পদ্ধতি ব্যবহার করে মূল টাইম সিরিজের স্ট্রিক্টলি স্টেশনারি সংস্করণ তৈরি করা যেতে পারে।

নন-স্টেশনারি টাইম সিরিজ শনাক্ত করার অন্যতম উপায় হলো ACF (অটো কোরিলেশন ফাংশন) প্লট, যা ল্যাগের বিপরীতে অটো কোরিলেশন প্লট করে। কখনও কখনও, নন-স্টেশনারিটির সাথে সম্পর্কিত প্যাটার্নগুলো মূল টাইম সিরিজের চেয়ে ACF প্লটে বেশি দৃশ্যমান হয়; তবে, এটি সবসময় হয় না।^[6]

টাইম সিরিজ স্টেশনারাইজেশনের জন্য পদ্ধতির পছন্দ নন-স্টেশনারিটির প্রকৃতি এবং বিশ্লেষণের লক্ষ্যের ওপর নির্ভর করে, বিশেষ করে যখন এমন মডেল তৈরি করা হয় যার জন্য স্ট্রিক্ট স্টেশনারিটির অনুমান প্রয়োজন, যেমন ARMA বা স্পেকট্রাল-ভিত্তিক কৌশল। কিছু টাইম সিরিজ স্টেশনারাইজেশন পদ্ধতির বিস্তারিত নিচে দেওয়া হলো।

ডিফারেন্সিং-এর মাধ্যমে স্টেশনারাইজেশন

কিছু টাইম সিরিজকে প্রথম-ক্রমের স্টেশনারি করার একটি উপায় হলো ধারাবাহিক পর্যবেক্ষণগুলোর মধ্যে পার্থক্য গণনা করা। একে ডিফারেন্সিং বলা হয়। ডিফারেন্সিং টাইম সিরিজের স্তরের পরিবর্তনগুলো দূর করে এবং ট্রেন্ডগুলো নির্মূল করে গড় স্থিতিশীল করতে সাহায্য করতে পারে। এটি ঋতুভিত্তিকতাও দূর করতে পারে, যদি পার্থক্যগুলো যথাযথভাবে নেওয়া হয় (যেমন, বার্ষিক ট্রেন্ড দূর করতে ১ বছর ব্যবধানের পর্যবেক্ষণগুলোর পার্থক্য নেওয়া)। লগারিদমের মতো রূপান্তরগুলো টাইম সিরিজের ভেদাঙ্ক স্থিতিশীল করতে সাহায্য করতে পারে।

সারোগেট পদ্ধতির মাধ্যমে স্টেশনারাইজেশন

স্টেশনারাইজেশনের জন্য সারোগেট পদ্ধতি^[7] এমন একটি নতুন টাইম সিরিজ তৈরি করে কাজ করে যা মূল সিরিজের নির্দিষ্ট পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্যগুলো সংরক্ষণ করে এবং তার নন-স্টেশনারি উপাদানগুলো সরিয়ে ফেলে।^[8]^[9]^[10] একটি সাধারণ পদ্ধতি হলো মূল টাইম সিরিজে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম প্রয়োগ করে তার ম্যাগনিটিউড এবং ফেজ স্পেকট্রা পাওয়া। ম্যাগনিটিউড স্পেকট্রাম, যা ফ্রিকোয়েন্সি জুড়ে শক্তির বিন্যাস নির্ধারণ করে, তা গ্লোবাল অটো কোরিলেশন কাঠামো সংরক্ষণের জন্য রাখা হয়। ফেজ স্পেকট্রাম, যা ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানগুলোর সময়গত বিন্যাস এনকোড করে এবং প্রায়শই টাইম সিরিজে সময়-নির্ভর গতিবিদ্যার (যেমন নন-স্টেশনারিটি) জন্য দায়ী, তা র‍্যান্ডমাইজ করা হয়, সাধারণত $[- π, π]$ থেকে ইউনিফর্মলি নেওয়া র‍্যান্ডম ফেজের একটি সেট দিয়ে প্রতিস্থাপন করে, যেখানে রিয়েল-ভ্যালুড ইনভার্স নিশ্চিত করার জন্য কনজুগেট সিমেট্রি প্রয়োগ করা হয়। পরিবর্তিত স্পেকট্রাতে ইনভার্স ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম প্রয়োগ করলে একটি স্ট্রিক্টলি স্টেশনারি সারোগেট টাইম সিরিজ পাওয়া যায়:^[11] যার পাওয়ার স্পেকট্রাম মূল সিরিজের মতোই কিন্তু তাতে সেই সময়গত কাঠামো নেই যা নন-স্টেশনারিটির কারণ ছিল। এই কৌশলটি প্রায়শই স্টেশনারিটি বৈশিষ্ট্য যাচাই করার জন্য হাইপোথিসিস টেস্টে ব্যবহৃত হয়।^[8]^[10]^[12]^[13]

আরও দেখুন

তথ্যসূত্র

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 Park, Kun Il. (2018). "Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications". Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.
↑ ^2.0 ^2.1 Ionut Florescu. (7 November 2014). "Probability and Stochastic Processes". John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-59320-2.
↑ Priestley, M. B.. (1981). "Spectral Analysis and Time Series". Academic Press. ISBN 0-12-564922-3.
↑ Priestley, M. B.. (1988). Non-linear and Non-stationary Time Series Analysis. Academic Press. ISBN 0-12-564911-8.
↑ (2010). "Stochastic Simulation of Patterns Using Distance-Based Pattern Modeling". Mathematical Geosciences. 42 (5) 487–517. doi:10.1007/s11004-010-9276-7.
↑ Forecasting: Principles and Practice. OTexts.
↑ Pierre Borgnat and Patrick Flandrin. (2009). Stationarization via surrogates. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, vol. 2009, n. 1, https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-5468/2009/01/P01001
↑ ^8.0 ^8.1 Pierre Borgnat et al. (2010). Testing Stationarity With Surrogates: A Time-Frequency Approach. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 58, n. 7, pp. 3459-3470 https://ieeexplore.ieee.org/document/5419113
↑ Pierre Borgnat et al. (2011). Transitional Surrogates. 2011 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, pp. 3600-3603 https://ieeexplore.ieee.org/document/5946257
↑ ^10.0 ^10.1 Douglas Baptista de Souza et al. (2019). An Improved Stationarity Test Based on Surrogates. IEEE Signal Processing Letters, vol. 26, n. 10, pp. 1431-1435 https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8777090
↑ Cédric Richard et al. (2010). Statistical hypothesis testing with time-frequency surrogates to check signal stationarity. 2010 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, pp. 3666-3669 https://ieeexplore.ieee.org/document/5495887
↑ Douglas Baptista de Souza et al. (2012). A modified time-frequency method for testing wide-sense stationarity. 2012 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, pp. 3409-3412 https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/6288648
↑ Jun Xiao et al. (2007). Testing Stationarity with Surrogates - A One-Class SVM Approach. 2007 IEEE/SP 14th Workshop on Statistical Signal Processing, pp. 720-724 https://ieeexplore.ieee.org/document/4301353

বহিঃসংযোগ

Spectral decomposition of a random function (Springer)

analysis

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Stationary process” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Stationary_process এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।

[KunIlPark-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 Park, Kun Il. (2018). "Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications". Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.

[Florescu2014-2] 2.0 ^2.1 Ionut Florescu. (7 November 2014). "Probability and Stochastic Processes". John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-59320-2.

[3] Priestley, M. B.. (1981). "Spectral Analysis and Time Series". Academic Press. ISBN 0-12-564922-3.

[4] Priestley, M. B.. (1988). Non-linear and Non-stationary Time Series Analysis. Academic Press. ISBN 0-12-564911-8.

[5] (2010). "Stochastic Simulation of Patterns Using Distance-Based Pattern Modeling". Mathematical Geosciences. 42 (5) 487–517. doi:10.1007/s11004-010-9276-7.

[6] Forecasting: Principles and Practice. OTexts.

[7] Pierre Borgnat and Patrick Flandrin. (2009). Stationarization via surrogates. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, vol. 2009, n. 1, https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-5468/2009/01/P01001

[ieeexplore.ieee.org-8] 8.0 ^8.1 Pierre Borgnat et al. (2010). Testing Stationarity With Surrogates: A Time-Frequency Approach. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 58, n. 7, pp. 3459-3470 https://ieeexplore.ieee.org/document/5419113

[9] Pierre Borgnat et al. (2011). Transitional Surrogates. 2011 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, pp. 3600-3603 https://ieeexplore.ieee.org/document/5946257

[Souza_2019-10] 10.0 ^10.1 Douglas Baptista de Souza et al. (2019). An Improved Stationarity Test Based on Surrogates. IEEE Signal Processing Letters, vol. 26, n. 10, pp. 1431-1435 https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8777090

[11] Cédric Richard et al. (2010). Statistical hypothesis testing with time-frequency surrogates to check signal stationarity. 2010 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, pp. 3666-3669 https://ieeexplore.ieee.org/document/5495887

[12] Douglas Baptista de Souza et al. (2012). A modified time-frequency method for testing wide-sense stationarity. 2012 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, pp. 3409-3412 https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/6288648

[13] Jun Xiao et al. (2007). Testing Stationarity with Surrogates - A One-Class SVM Approach. 2007 IEEE/SP 14th Workshop on Statistical Signal Processing, pp. 720-724 https://ieeexplore.ieee.org/document/4301353

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Anonymous

Search

স্টেশনারি প্রসেস

Namespaces

More

Page actions

Contents

স্ট্রিক্ট-সেন্স স্টেশনারিটি

সংজ্ঞা

উদাহরণ

উদাহরণ ১

উদাহরণ ২

উদাহরণ ৩

Nতম-ক্রমের স্টেশনারিটি

দুর্বল বা ওয়াইড-সেন্স স্টেশনারিটি

সংজ্ঞা

প্রেরণা

কমপ্লেক্স স্টোকাস্টিক প্রসেসের জন্য সংজ্ঞা

জয়েন্ট স্টেশনারিটি

জয়েন্ট স্ট্রিক্ট-সেন্স স্টেশনারিটি

জয়েন্ট (M + N)তম-ক্রমের স্টেশনারিটি

জয়েন্ট উইক বা ওয়াইড-সেন্স স্টেশনারিটি

স্টেশনারিটির বিভিন্ন ধরনের মধ্যে সম্পর্ক

অন্যান্য পরিভাষা

নন-স্টেশনারি প্রসেসকে স্টেশনারি করার কৌশল

ডিফারেন্সিং-এর মাধ্যমে স্টেশনারাইজেশন

সারোগেট পদ্ধতির মাধ্যমে স্টেশনারাইজেশন

আরও দেখুন

তথ্যসূত্র

আরও পড়ুন

বহিঃসংযোগ

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Anonymous

Search

স্টেশনারি প্রসেস

স্ট্রিক্ট-সেন্স স্টেশনারিটি

সংজ্ঞা

উদাহরণ

উদাহরণ ১

উদাহরণ ২

উদাহরণ ৩

Nতম-ক্রমের স্টেশনারিটি

দুর্বল বা ওয়াইড-সেন্স স্টেশনারিটি

সংজ্ঞা

প্রেরণা

কমপ্লেক্স স্টোকাস্টিক প্রসেসের জন্য সংজ্ঞা

জয়েন্ট স্টেশনারিটি

জয়েন্ট স্ট্রিক্ট-সেন্স স্টেশনারিটি

জয়েন্ট (M + N)তম-ক্রমের স্টেশনারিটি

জয়েন্ট উইক বা ওয়াইড-সেন্স স্টেশনারিটি

স্টেশনারিটির বিভিন্ন ধরনের মধ্যে সম্পর্ক

অন্যান্য পরিভাষা

নন-স্টেশনারি প্রসেসকে স্টেশনারি করার কৌশল

ডিফারেন্সিং-এর মাধ্যমে স্টেশনারাইজেশন

সারোগেট পদ্ধতির মাধ্যমে স্টেশনারাইজেশন

আরও দেখুন

তথ্যসূত্র

আরও পড়ুন

বহিঃসংযোগ

Navigation

Wiki tools

Page tools

Categories