প্রাইর প্রোবাবিলিটি

একটি অনিশ্চিত পরিমাণের প্রাইর প্রোবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন (যা প্রায়শই কেবল প্রাইর প্রোবাবিলিটি, প্রাইর ডিস্ট্রিবিউশন বা প্রাইর নামে পরিচিত) হলো প্রমাণ বা তথ্য বিবেচনায় নেওয়ার আগে সেই পরিমাণের একটি অনুমিত সম্ভাব্যতা বিন্যাস। উদাহরণস্বরূপ, প্রাইর হতে পারে এমন একটি সম্ভাব্যতা বিন্যাস যা ভবিষ্যতের কোনো নির্বাচনে একজন নির্দিষ্ট রাজনীতিবিদের পক্ষে ভোট দেবেন এমন ভোটারদের আপেক্ষিক অনুপাতকে উপস্থাপন করে। অজানা পরিমাণটি কোনো পর্যবেক্ষণযোগ্য চলক-এর পরিবর্তে মডেলের কোনো প্যারামিটার বা সুপ্ত চলক হতে পারে।

বেয়েশিয়ান পরিসংখ্যানে, বেয়েস-এর নিয়ম নির্দেশ করে যে কীভাবে নতুন তথ্যের সাথে প্রাইরকে আপডেট করে পোস্টেরিয়র প্রোবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন পাওয়া যায়, যা নতুন ডেটা সাপেক্ষে অনিশ্চিত পরিমাণের শর্তাধীন বিন্যাস। ঐতিহাসিকভাবে, প্রাইর নির্বাচনের ক্ষেত্রে প্রায়শই একটি নির্দিষ্ট লাইকলিহুড ফাংশন-এর কনজুগেট ফ্যামিলি-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকতে হতো, যাতে একই ফ্যামিলির একটি সহজবোধ্য পোস্টেরিয়র পাওয়া যায়। তবে, Markov chain Monte Carlo পদ্ধতির ব্যাপক সহজলভ্যতা এই উদ্বেগকে অনেকাংশে কমিয়ে দিয়েছে।

প্রাইর ডিস্ট্রিবিউশন তৈরি করার অনেক উপায় রয়েছে। কিছু ক্ষেত্রে, পূর্ববর্তী পরীক্ষা-নিরীক্ষার মতো অতীত তথ্য থেকে প্রাইর নির্ধারণ করা যেতে পারে। একজন অভিজ্ঞ বিশেষজ্ঞের সম্পূর্ণ ব্যক্তিগত মূল্যায়ন থেকেও একটি প্রাইর আহরণ (elicited) করা সম্ভব। যখন কোনো তথ্য উপলব্ধ থাকে না, তখন অনিশ্চয়তার নীতি দ্বারা সমর্থিত একটি আনইনফরমেটিভ প্রাইর (uninformative prior) গ্রহণ করা যেতে পারে। আধুনিক প্রয়োগে, প্রাইরগুলো প্রায়শই তাদের যান্ত্রিক বৈশিষ্ট্যের জন্য নির্বাচন করা হয়, যেমন রেগুলারাইজেশন এবং ফিচার সিলেকশন।

মডেল প্যারামিটারগুলোর প্রাইর ডিস্ট্রিবিউশন প্রায়শই তাদের নিজস্ব প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে। এই হাইপারপ্যারামিটারগুলো সম্পর্কে অনিশ্চয়তাকে আবার hyperprior সম্ভাব্যতা বিন্যাস হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি কেউ একটি বার্নোলি ডিস্ট্রিবিউশন-এর প্যারামিটার p-এর বিন্যাস মডেল করার জন্য একটি বিটা ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহার করে, তবে:

• p হলো অন্তর্নিহিত সিস্টেমের (বার্নোলি ডিস্ট্রিবিউশন) একটি প্যারামিটার, এবং
• α এবং β হলো প্রাইর ডিস্ট্রিবিউশন-এর (বিটা ডিস্ট্রিবিউশন) প্যারামিটার; তাই এগুলো হাইপারপ্যারামিটার।

নীতিগতভাবে, প্রাইরগুলোকে বিন্যাসের অনেক শর্তাধীন স্তরে বিভক্ত করা যেতে পারে, যাকে বলা হয় হায়ারার্কিকাল প্রাইর।

ইনফরমেটিভ প্রাইর

একটি ইনফরমেটিভ প্রাইর কোনো চলক সম্পর্কে নির্দিষ্ট, সুনির্দিষ্ট তথ্য প্রকাশ করে। এর একটি উদাহরণ হলো আগামীকাল দুপুরের তাপমাত্রার জন্য একটি প্রাইর ডিস্ট্রিবিউশন। একটি যুক্তিসঙ্গত পদ্ধতি হলো প্রাইরটিকে একটি নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন হিসেবে তৈরি করা, যার প্রত্যাশিত মান আজকের দুপুরের তাপমাত্রার সমান এবং ভেদাঙ্ক বায়ুমণ্ডলীয় তাপমাত্রার দিন-প্রতিদিনের ভেদাঙ্কের সমান, অথবা বছরের সেই দিনের তাপমাত্রার বিন্যাসের সমান।

এই উদাহরণটির সাথে অনেক প্রাইরের একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে, তা হলো—একটি সমস্যার পোস্টেরিয়র (আজকের তাপমাত্রা) অন্য একটি সমস্যার (আগামীকালের তাপমাত্রা) প্রাইর হয়ে ওঠে; আগে থেকে বিদ্যমান প্রমাণ যা ইতিমধ্যেই বিবেচনায় নেওয়া হয়েছে তা প্রাইরের অংশ এবং যেহেতু আরও প্রমাণ জমা হয়, পোস্টেরিয়রটি মূলত প্রমাণের দ্বারাই নির্ধারিত হয়, কোনো মূল অনুমানের দ্বারা নয়, যদি না মূল অনুমানটি প্রমাণের পরামর্শ অনুযায়ী সম্ভাবনাকে স্বীকার করে। "প্রাইর" এবং "পোস্টেরিয়র" শব্দগুলো সাধারণত একটি নির্দিষ্ট ডেটা বা পর্যবেক্ষণের সাপেক্ষে ব্যবহৃত হয়।

স্ট্রং প্রাইর

একটি স্ট্রং প্রাইর (strong prior) হলো পূর্ববর্তী অনুমান, তত্ত্ব, ধারণা বা মতবাদ যার ওপর ভিত্তি করে নতুন তথ্য বিবেচনা করার পর একটি বর্তমান অনুমান, তত্ত্ব, ধারণা বা মতবাদ প্রতিষ্ঠিত হয়। একটি স্ট্রং প্রাইর হলো ইনফরমেটিভ প্রাইরের একটি ধরন যেখানে প্রাইর ডিস্ট্রিবিউশনে থাকা তথ্য বিশ্লেষণাধীন ডেটাতে থাকা তথ্যের চেয়ে বেশি প্রভাবশালী হয়। বেয়েশিয়ান বিশ্লেষণ প্রাইরে থাকা তথ্যের সাথে ডেটা থেকে প্রাপ্ত তথ্যকে একত্রিত করে পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশন তৈরি করে, যা "স্ট্রং প্রাইর"-এর ক্ষেত্রে প্রাইর ডিস্ট্রিবিউশন থেকে খুব সামান্যই পরিবর্তিত হয়।

উইকলি ইনফরমেটিভ প্রাইর

একটি উইকলি ইনফরমেটিভ প্রাইর (weakly informative prior) কোনো চলক সম্পর্কে আংশিক তথ্য প্রকাশ করে, যা বিশ্লেষণকে বিদ্যমান জ্ঞানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সমাধানের দিকে চালিত করে, তবে ফলাফলকে অতিরিক্ত সীমাবদ্ধ করে না বা চরম অনুমান প্রতিরোধ করে না। একটি উদাহরণ হলো, সেন্ট লুইসে আগামীকাল দুপুরের তাপমাত্রার জন্য প্রাইর ডিস্ট্রিবিউশন সেট করার সময়, ৫০ ডিগ্রি ফারেনহাইট গড় এবং ৪০ ডিগ্রি স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনসহ একটি নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহার করা, যা তাপমাত্রাকে খুব আলগাভাবে (১০ ডিগ্রি, ৯০ ডিগ্রি) সীমার মধ্যে সীমাবদ্ধ করে এবং -৩০ ডিগ্রির নিচে বা ১৩০ ডিগ্রির উপরে হওয়ার সম্ভাবনা খুব কম রাখে। উইকলি ইনফরমেটিভ প্রাইরের উদ্দেশ্য হলো রেগুলারাইজেশন, অর্থাৎ অনুমানগুলোকে একটি যুক্তিসঙ্গত সীমার মধ্যে রাখা।

আনইনফরমেটিভ প্রাইর

একটি আনইনফরমেটিভ, ফ্ল্যাট বা ডিফিউজ প্রাইর কোনো চলক সম্পর্কে অস্পষ্ট বা সাধারণ তথ্য প্রকাশ করে। "আনইনফরমেটিভ প্রাইর" শব্দটি কিছুটা ভুল। এই ধরনের প্রাইরকে খুব একটা ইনফরমেটিভ নয় এমন প্রাইর বা অবজেক্টিভ প্রাইরও বলা যেতে পারে, অর্থাৎ এমন একটি প্রাইর যা ব্যক্তিগতভাবে আহরণ করা হয়নি।

আনইনফরমেটিভ প্রাইরগুলো "অবজেক্টিভ" তথ্য প্রকাশ করতে পারে, যেমন "চলকটি ধনাত্মক" বা "চলকটি কোনো সীমার চেয়ে কম"। নন-ইনফরমেটিভ প্রাইর নির্ধারণের সবচেয়ে সহজ এবং প্রাচীন নিয়ম হলো অনিশ্চয়তার নীতি, যা সমস্ত সম্ভাবনার জন্য সমান সম্ভাবনা বরাদ্দ করে। প্যারামিটার অনুমানের সমস্যাগুলোতে, আনইনফরমেটিভ প্রাইরের ব্যবহার সাধারণত এমন ফলাফল দেয় যা প্রচলিত পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণের চেয়ে খুব বেশি আলাদা নয়, কারণ লাইকলিহুড ফাংশনটি প্রায়শই আনইনফরমেটিভ প্রাইরের চেয়ে বেশি তথ্য প্রদান করে।

এ-প্রিওরি (a priori) সম্ভাব্যতা খোঁজার কিছু প্রচেষ্টা করা হয়েছে, অর্থাৎ এমন সম্ভাব্যতা বিন্যাস যা একজনের অনিশ্চয়তার অবস্থার প্রকৃতির দ্বারা যৌক্তিকভাবে প্রয়োজনীয়; এগুলো দার্শনিক বিতর্কের বিষয়, যেখানে বেয়েশিয়ানরা মোটামুটি দুটি স্কুলে বিভক্ত: "অবজেক্টিভ বেয়েশিয়ান", যারা বিশ্বাস করে যে অনেক দরকারী পরিস্থিতিতে এই ধরনের প্রাইর বিদ্যমান, এবং "সাবজেক্টিভ বেয়েশিয়ান", যারা বিশ্বাস করে যে বাস্তবে প্রাইরগুলো সাধারণত মতামতের ব্যক্তিগত বিচারকে উপস্থাপন করে যা কঠোরভাবে ন্যায়সঙ্গত হতে পারে না (উইলিয়ামসন ২০১০)। সম্ভবত অবজেক্টিভ বেয়েশিয়ানবাদের পক্ষে সবচেয়ে শক্তিশালী যুক্তিগুলো দিয়েছেন Edwin T. Jaynes, যা মূলত প্রতিসাম্যের পরিণতি এবং সর্বোচ্চ এনট্রপির নীতির ওপর ভিত্তি করে।

এ-প্রিওরি প্রাইরের উদাহরণ হিসেবে, জেনস (২০০৩)-এর মতে, এমন একটি পরিস্থিতি বিবেচনা করুন যেখানে কেউ জানে যে একটি বল তিনটি কাপের (A, B, বা C) যেকোনো একটির নিচে লুকানো আছে, কিন্তু এর অবস্থান সম্পর্কে অন্য কোনো তথ্য নেই। এই ক্ষেত্রে p(A) = p(B) = p(C) = ১/৩-এর একটি ইউনিফর্ম প্রাইর স্বজ্ঞাতভাবে একমাত্র যুক্তিসঙ্গত পছন্দ বলে মনে হয়। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, আমরা দেখতে পারি যে কাপের লেবেলগুলো ("A", "B" এবং "C") অদলবদল করলেও সমস্যাটি একই থাকে। তাই এমন একটি প্রাইর নির্বাচন করা অদ্ভুত হবে যার জন্য লেবেলগুলোর বিন্যাস পরিবর্তন করলে বলটি কোন কাপের নিচে পাওয়া যাবে সে সম্পর্কে আমাদের ভবিষ্যদ্বাণী পরিবর্তিত হয়; ইউনিফর্ম প্রাইরই একমাত্র যা এই ইনভ্যারিয়েন্স বা অপরিবর্তনীয়তা বজায় রাখে। যদি কেউ এই ইনভ্যারিয়েন্স নীতিটি গ্রহণ করে তবে দেখা যায় যে এই জ্ঞানের অবস্থাকে উপস্থাপন করার জন্য ইউনিফর্ম প্রাইরই যৌক্তিকভাবে সঠিক প্রাইর। এই প্রাইরটি একটি নির্দিষ্ট জ্ঞানের অবস্থাকে উপস্থাপন করার জন্য সঠিক পছন্দ হওয়ার অর্থে "অবজেক্টিভ", কিন্তু এটি পর্যবেক্ষক-নিরপেক্ষ বিশ্বের বৈশিষ্ট্য হওয়ার অর্থে অবজেক্টিভ নয়: বাস্তবে বলটি একটি নির্দিষ্ট কাপের নিচে থাকে এবং এই পরিস্থিতিতে সম্ভাব্যতা সম্পর্কে কথা বলা তখনই অর্থবহ হয় যদি সিস্টেম সম্পর্কে সীমিত জ্ঞানসম্পন্ন কোনো পর্যবেক্ষক থাকে।

আরও বিতর্কিত উদাহরণ হিসেবে, জেনস প্যারামিটার পরিবর্তনের অধীনে প্রাইরের ইনভ্যারিয়েন্সের ওপর ভিত্তি করে একটি যুক্তি প্রকাশ করেছেন যা নির্দেশ করে যে একটি সম্ভাব্যতা সম্পর্কে সম্পূর্ণ অনিশ্চয়তাকে উপস্থাপনকারী প্রাইর হওয়া উচিত Haldane prior p⁻¹(1 − p)⁻¹। জেনস যে উদাহরণটি দিয়েছেন তা হলো ল্যাবে একটি রাসায়নিক খুঁজে পাওয়া এবং বারবার পরীক্ষায় এটি পানিতে দ্রবীভূত হবে কিনা তা জিজ্ঞাসা করা। হ্যালডেন প্রাইর $p=0$ এবং $p=1$-কে সবচেয়ে বেশি গুরুত্ব দেয়, যা নির্দেশ করে যে নমুনাটি হয় প্রতিবার দ্রবীভূত হবে অথবা কখনোই দ্রবীভূত হবে না, সমান সম্ভাবনায়। যাইহোক, যদি কেউ রাসায়নিকের নমুনাগুলোকে একটি পরীক্ষায় দ্রবীভূত হতে এবং অন্য পরীক্ষায় দ্রবীভূত না হতে দেখে থাকে, তবে এই প্রাইরটি [0, 1] অন্তরালে ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন-এ আপডেট হয়। এটি উপরের প্রাইর ব্যবহার করে দ্রবীভূত হওয়া এবং না হওয়ার একটি করে পর্যবেক্ষণের ডেটা সেটে বেয়েস-এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাওয়া যায়। হ্যালডেন প্রাইর একটি ইমপ্রপার প্রাইর ডিস্ট্রিবিউশন (যার অর্থ এর অসীম ভর রয়েছে)। Harold Jeffreys বার্নোলি র‍্যান্ডম চলকের জন্য Jeffreys prior p^−1/2(1 − p)^−1/2-এর মতো আনইনফরমেটিভ প্রাইর ডিজাইনের একটি পদ্ধতিগত উপায় তৈরি করেছিলেন।

যদি প্যারামিটার স্পেস X-এ একটি প্রাকৃতিক গ্রুপ কাঠামো থাকে যা আমাদের বেয়েশিয়ান জ্ঞানের অবস্থাকে ইনভ্যারিয়েন্ট রাখে, তবে Haar measure-এর সমানুপাতিক প্রাইর তৈরি করা যেতে পারে। এটিকে উপরের তিনটি কাপের উদাহরণে ইউনিফর্ম প্রাইরকে সমর্থন করার জন্য ব্যবহৃত ইনভ্যারিয়েন্স নীতির একটি সাধারণীকরণ হিসেবে দেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, পদার্থবিজ্ঞানে আমরা আশা করতে পারি যে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মূলবিন্দু নির্বাচনের নির্বিশেষে একটি পরীক্ষা একই ফলাফল দেবে। এটি X-এ ট্রান্সলেশন গ্রুপ-এর গ্রুপ কাঠামোকে প্ররোচিত করে, যা প্রাইর প্রোবাবিলিটিকে একটি ধ্রুবক improper prior হিসেবে নির্ধারণ করে। একইভাবে, কিছু পরিমাপ প্রাকৃতিকভাবে একটি ইচ্ছামাফিক স্কেল নির্বাচনের প্রতি ইনভ্যারিয়েন্ট (যেমন, সেন্টিমিটার বা ইঞ্চি যাই ব্যবহার করা হোক না কেন, ভৌত ফলাফল সমান হওয়া উচিত)। এই ধরনের ক্ষেত্রে, স্কেল গ্রুপটি হলো প্রাকৃতিক গ্রুপ কাঠামো এবং X-এর ওপর সংশ্লিষ্ট প্রাইরটি 1/x-এর সমানুপাতিক। কখনও কখনও এটি গুরুত্বপূর্ণ যে আমরা লেফট-ইনভ্যারিয়েন্ট নাকি রাইট-ইনভ্যারিয়েন্ট হার মেজার ব্যবহার করছি। উদাহরণস্বরূপ, affine group-এর লেফট এবং রাইট ইনভ্যারিয়েন্ট হার মেজার সমান নয়। বার্জার (১৯৮৫, পৃ. ৪১৩) যুক্তি দেন যে রাইট-ইনভ্যারিয়েন্ট হার মেজারই সঠিক পছন্দ।

আরেকটি ধারণা, যা Edwin T. Jaynes দ্বারা চ্যাম্পিয়ন হয়েছে, তা হলো সর্বোচ্চ এনট্রপির নীতি (MAXENT) ব্যবহার করা। এর অনুপ্রেরণা হলো যে একটি সম্ভাব্যতা বিন্যাসের শ্যানন এনট্রপি বিন্যাসে থাকা তথ্যের পরিমাণ পরিমাপ করে। এনট্রপি যত বেশি হবে, বিন্যাস দ্বারা তত কম তথ্য প্রদান করা হবে। সুতরাং, X-এর ওপর সম্ভাব্যতা বিন্যাসের একটি উপযুক্ত সেটের ওপর এনট্রপিকে সর্বোচ্চ করে, কেউ এমন বিন্যাস খুঁজে পায় যা সবচেয়ে কম ইনফরমেটিভ, এই অর্থে যে এটি সেটটিকে সংজ্ঞায়িত করে এমন সীমাবদ্ধতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সবচেয়ে কম পরিমাণ তথ্য ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি ডিসক্রিট স্পেস-এ সর্বোচ্চ এনট্রপি প্রাইর, যেখানে কেবল দেওয়া আছে যে সম্ভাব্যতা ১-এ নরমালাইজড, তা হলো সেই প্রাইর যা প্রতিটি অবস্থার জন্য সমান সম্ভাবনা বরাদ্দ করে। এবং কন্টিনিউয়াস ক্ষেত্রে, সর্বোচ্চ এনট্রপি প্রাইর, যেখানে ঘনত্ব শূন্য গড় এবং একক ভেদাঙ্কের সাথে নরমালাইজড, তা হলো স্ট্যান্ডার্ড নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন। মিনিমাম ক্রস-এনট্রপি নীতিটি সর্বোচ্চ-এনট্রপি অর্থে উপযুক্ত সীমাবদ্ধতার সাথে একটি ইচ্ছামাফিক প্রাইর ডিস্ট্রিবিউশনকে "আপডেট" করার ক্ষেত্রে MAXENT-কে সাধারণীকরণ করে।

একটি সম্পর্কিত ধারণা, রেফারেন্স প্রাইর, José-Miguel Bernardo দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। এখানে ধারণাটি হলো প্রাইরের সাপেক্ষে পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশনের প্রত্যাশিত কুলব্যাক-লেইবলার ডাইভারজেন্স সর্বোচ্চ করা। এটি p(x) প্রাইর ডেনসিটি হলে X সম্পর্কে প্রত্যাশিত পোস্টেরিয়র তথ্যকে সর্বোচ্চ করে; সুতরাং, এক অর্থে, p(x) হলো X সম্পর্কে "সবচেয়ে কম ইনফরমেটিভ" প্রাইর। রেফারেন্স প্রাইরটি অ্যাসিম্পটোটিক লিমিটে সংজ্ঞায়িত করা হয়, অর্থাৎ ডেটা পয়েন্টের সংখ্যা অসীমের দিকে যাওয়ার সাথে সাথে প্রাপ্ত প্রাইরগুলোর লিমিট বিবেচনা করা হয়। বর্তমান ক্ষেত্রে, প্রাইর এবং পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশনের মধ্যে KL ডাইভারজেন্স হলো $$KL=\int p(t)\int p(x\mid t)\log \frac{p(x\mid t)}{p(x)}dxdt$$

এখানে, $t$ হলো কোনো প্যারামিটার $x$-এর জন্য একটি সাফিসিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক। অভ্যন্তরীণ ইন্টিগ্রালটি হলো পোস্টেরিয়র $p(x\mid t)$ এবং প্রাইর $p(x)$ ডিস্ট্রিবিউশনের মধ্যে KL ডাইভারজেন্স এবং ফলাফলটি হলো $t$-এর সমস্ত মানের ওপর ওয়েটেড গড়। লগারিদমকে দুটি অংশে বিভক্ত করে, দ্বিতীয় অংশে ইন্টিগ্রালের ক্রম উল্টে দিয়ে এবং লক্ষ্য করে যে $$\log [p(x)]$$ $t$-এর ওপর নির্ভর করে না, পাওয়া যায় $$KL=\int p(t)\int p(x\mid t)\log [p(x\mid t)]dxdt-\int \log [p(x)]\int p(t)p(x\mid t)dtdx$$

দ্বিতীয় অংশের অভ্যন্তরীণ ইন্টিগ্রালটি হলো জয়েন্ট ডেনসিটি $p(x,t)$-এর $t$-এর ওপর ইন্টিগ্রাল। এটি হলো মার্জিনাল ডিস্ট্রিবিউশন $p(x)$, তাই আমাদের আছে $$KL=\int p(t)\int p(x\mid t)\log [p(x\mid t)]dxdt-\int p(x)\log [p(x)]dx$$

এখন আমরা এনট্রপির ধারণা ব্যবহার করি যা, সম্ভাব্যতা বিন্যাসের ক্ষেত্রে, সম্ভাব্যতা ভর বা ঘনত্ব ফাংশনের লগারিদমের ঋণাত্মক প্রত্যাশিত মান বা $H(x)=-\int p(x)\log [p(x)]dx.$ শেষ সমীকরণে এটি ব্যবহার করলে পাওয়া যায় $$KL=-\int p(t)H(x\mid t)dt+H(x)$$

কথায়, KL হলো $t$-এর সাপেক্ষে $x$-এর এনট্রপির ঋণাত্মক প্রত্যাশিত মান এবং তার সাথে $x$-এর মার্জিনাল (অর্থাৎ, আনকন্ডিশনাল) এনট্রপির যোগফল। লিমিটিং ক্ষেত্রে যেখানে নমুনার আকার অসীমের দিকে যায়, Bernstein-von Mises theorem বলে যে একটি নির্দিষ্ট পর্যবেক্ষণকৃত মান $t$-এর সাপেক্ষে $x$-এর বিন্যাস হলো নরমাল, যার ভেদাঙ্ক $x$-এর 'সত্য' মানে ফিশার ইনফরমেশন-এর পারস্পরিক সমান। একটি নরমাল ডেনসিটি ফাংশনের এনট্রপি হলো $2\pi ev$-এর লগারিদমের অর্ধেক, যেখানে $v$ হলো বিন্যাসের ভেদাঙ্ক। এই ক্ষেত্রে তাই $$H=\log \sqrt{\frac{2\pi e}{NI(x^{*})}}$$ যেখানে $N$ হলো ইচ্ছামাফিক বড় নমুনার আকার (যার সাথে ফিশার ইনফরমেশন সমানুপাতিক) এবং $x*$ হলো 'সত্য' মান। যেহেতু এটি $t$-এর ওপর নির্ভর করে না, তাই এটিকে ইন্টিগ্রালের বাইরে নেওয়া যেতে পারে এবং যেহেতু এই ইন্টিগ্রালটি একটি সম্ভাব্যতা স্পেসের ওপর, তাই এটি একের সমান। সুতরাং আমরা KL-এর অ্যাসিম্পটোটিক রূপ লিখতে পারি $$KL=-\log \left(1\sqrt{kI(x^{*})}\right)-\int p(x)\log [p(x)]dx$$ যেখানে $k$ (অ্যাসিম্পটোটিক্যালি বড়) নমুনার আকারের সমানুপাতিক। আমরা $x*$-এর মান জানি না। প্রকৃতপক্ষে, এই ধারণাটি বেয়েশিয়ান ইনফারেন্সের দর্শনের বিরোধী যেখানে প্যারামিটারের 'সত্য' মানগুলোকে প্রাইর এবং পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশন দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয়। তাই আমরা $x*$-কে $x$ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে এবং নরমাল এনট্রপির প্রত্যাশিত মান নিয়ে এটিকে সরিয়ে ফেলি, যা আমরা $p(x)$ দ্বারা গুণ করে এবং $x$-এর ওপর ইন্টিগ্রেট করে পাই। এটি আমাদের লগারিদমগুলোকে একত্রিত করতে দেয়, যা দেয় $$KL=-\int p(x)\log \left[\frac{p(x)}{\sqrt{kI(x)}}\right]dx$$

এটি একটি কোয়াসি-KL ডাইভারজেন্স ("কোয়াসি" এই অর্থে যে ফিশার ইনফরমেশনের বর্গমূল একটি ইমপ্রপার ডিস্ট্রিবিউশনের কার্নেল হতে পারে)। মাইনাস চিহ্নের কারণে, আমরা যে KL ডাইভারজেন্স দিয়ে শুরু করেছিলাম তা সর্বোচ্চ করার জন্য আমাদের এটিকে মিনিমাইজ করতে হবে। শেষ সমীকরণের সর্বনিম্ন মান সেখানে ঘটে যেখানে লগারিদম আর্গুমেন্টের দুটি ডিস্ট্রিবিউশন, ইমপ্রপার হোক বা না হোক, ডাইভারজ করে না। এটি আবার ঘটে যখন প্রাইর ডিস্ট্রিবিউশন লাইকলিহুড ফাংশনের ফিশার ইনফরমেশনের বর্গমূলের সমানুপাতিক হয়। সুতরাং একক প্যারামিটার ক্ষেত্রে, রেফারেন্স প্রাইর এবং জেফ্রিস প্রাইর অভিন্ন, যদিও জেফ্রিসের যুক্তি খুব ভিন্ন।

রেফারেন্স প্রাইরগুলো প্রায়শই মাল্টিভ্যারিয়েট সমস্যায় পছন্দের অবজেক্টিভ প্রাইর হয়, কারণ অন্যান্য নিয়ম (যেমন, জেফ্রিস-এর নিয়ম) সমস্যাযুক্ত আচরণের প্রাইরের দিকে নিয়ে যেতে পারে।

অবজেক্টিভ প্রাইর ডিস্ট্রিবিউশনগুলো অন্যান্য নীতি থেকেও উদ্ভূত হতে পারে, যেমন তথ্য বা কোডিং তত্ত্ব (দেখুন যেমন, minimum description length) বা ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পরিসংখ্যান (তথাকথিত probability matching priors)। এই পদ্ধতিগুলো Solomonoff's theory of inductive inference-এ ব্যবহৃত হয়। অবজেক্টিভ প্রাইর তৈরি করা সম্প্রতি বায়োইনফরমেটিক্সে প্রবর্তিত হয়েছে, এবং বিশেষ করে ক্যান্সার সিস্টেমস বায়োলজি-তে ইনফারেন্সের ক্ষেত্রে, যেখানে নমুনার আকার সীমিত এবং প্রচুর পরিমাণে প্রাইর জ্ঞান উপলব্ধ। এই পদ্ধতিগুলোতে, হয় একটি তথ্য তত্ত্ব ভিত্তিক মানদণ্ড, যেমন KL ডাইভারজেন্স বা বাইনারি সুপারভাইজড লার্নিং সমস্যার জন্য লগ-লাইকলিহুড ফাংশন এবং মিক্সচার মডেল সমস্যা।

আনইনফরমেটিভ প্রাইরের সাথে সম্পর্কিত দার্শনিক সমস্যাগুলো একটি উপযুক্ত মেট্রিক বা পরিমাপের স্কেল নির্বাচনের সাথে যুক্ত। ধরুন আমরা এমন একজন দৌড়বিদের দৌড়ানোর গতির জন্য একটি প্রাইর চাই যার সম্পর্কে আমরা জানি না। আমরা তার গতির প্রাইর হিসেবে একটি নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন নির্দিষ্ট করতে পারি, কিন্তু বিকল্পভাবে আমরা তার ১০০ মিটার দৌড় শেষ করার সময়ের জন্য একটি নরমাল প্রাইর নির্দিষ্ট করতে পারি, যা প্রথম প্রাইরের পারস্পরিক সমানুপাতিক। এগুলো খুব ভিন্ন প্রাইর, কিন্তু কোনটি পছন্দনীয় তা স্পষ্ট নয়। জেনস-এর ট্রান্সফরমেশন গ্রুপ পদ্ধতি কিছু পরিস্থিতিতে এই প্রশ্নের উত্তর দিতে পারে।

একইভাবে, যদি ০ এবং ১-এর মধ্যে একটি অজানা অনুপাত অনুমান করতে বলা হয়, আমরা বলতে পারি যে সমস্ত অনুপাত সমানভাবে সম্ভাব্য এবং একটি ইউনিফর্ম প্রাইর ব্যবহার করতে পারি। বিকল্পভাবে, আমরা বলতে পারি যে অনুপাতের সমস্ত অর্ডারের মাত্রা সমানভাবে সম্ভাব্য, logarithmic prior, যা অনুপাতের লগারিদমের ওপর ইউনিফর্ম প্রাইর। Jeffreys prior এমন একটি প্রাইর গণনা করে এই সমস্যা সমাধানের চেষ্টা করে যা কোন মেট্রিক ব্যবহার করা হচ্ছে তা নির্বিশেষে একই বিশ্বাস প্রকাশ করে। একটি অজানা অনুপাত p-এর জন্য জেফ্রিস প্রাইর হলো p^−1/2(1 − p)^−1/2, যা জেনস-এর সুপারিশ থেকে আলাদা।

অ্যালগরিদমিক সম্ভাব্যতা ধারণার ওপর ভিত্তি করে প্রাইরগুলো ইন্ডাক্টিভ ইনফারেন্স-এ খুব সাধারণ সেটিংসে ইন্ডাকশনের ভিত্তি হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

আনইনফরমেটিভ প্রাইরের সাথে সম্পর্কিত ব্যবহারিক সমস্যাগুলোর মধ্যে রয়েছে পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশনটি প্রপার হওয়ার প্রয়োজনীয়তা। কন্টিনিউয়াস, আনবাউন্ডেড চলকের ওপর সাধারণ আনইনফরমেটিভ প্রাইরগুলো ইমপ্রপার। যদি পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশন প্রপার হয় তবে এটি কোনো সমস্যা নয়। গুরুত্বের আরেকটি বিষয় হলো যে যদি একটি আনইনফরমেটিভ প্রাইর রুটিনলি ব্যবহার করা হয়, অর্থাৎ অনেক ভিন্ন ডেটা সেটের সাথে, তবে এর ভালো frequentist বৈশিষ্ট্য থাকা উচিত। সাধারণত একজন বেয়েশিয়ান এই ধরনের সমস্যা নিয়ে উদ্বিগ্ন হবেন না, তবে এই পরিস্থিতিতে এটি গুরুত্বপূর্ণ হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, কেউ চাইবে যে পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশনের ওপর ভিত্তি করে যেকোনো ডিসিশন রুল গৃহীত লস ফাংশনের অধীনে অ্যাডমিসিবল হোক। অ্যাডমিসিবিলিটি পরীক্ষা করা প্রায়শই কঠিন, যদিও কিছু ফলাফল জানা আছে (যেমন, বার্জার এবং স্ট্রডারম্যান ১৯৯৬)। সমস্যাটি হায়ারার্কিকাল বেয়েস মডেল-এর ক্ষেত্রে বিশেষভাবে তীব্র; সাধারণ প্রাইরগুলো (যেমন, জেফ্রিস-এর প্রাইর) হায়ারার্কির উচ্চ স্তরে নিযুক্ত হলে খারাপভাবে ইনঅ্যাডমিসিবল ডিসিশন রুল দিতে পারে।

ইমপ্রপার প্রাইর

ধরা যাক ঘটনা $A_1,A_2,\dots ,A_n$ মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ এবং এক্সহস্টিভ। যদি বেয়েস-এর উপপাদ্য এভাবে লেখা হয় $$P(A_i\mid B)=\frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{\sum _{j}P(B\mid A_j)P(A_j)},$$ তবে এটি স্পষ্ট যে একই ফলাফল পাওয়া যেত যদি সমস্ত প্রাইর প্রোবাবিলিটি P(A_i) এবং P(A_j)-কে একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক দ্বারা গুণ করা হতো; একটি কন্টিনিউয়াস র‍্যান্ডম চলক-এর ক্ষেত্রেও একই কথা সত্য। যদি হরের সমষ্টি কনভার্জ করে, তবে পোস্টেরিয়র প্রোবাবিলিটিগুলো তখনও ১-এ যোগ (বা ইন্টিগ্রেট) হবে এমনকি যদি প্রাইর মানগুলো না হয়, এবং তাই প্রাইরগুলোকে কেবল সঠিক অনুপাতে নির্দিষ্ট করার প্রয়োজন হতে পারে। এই ধারণাটিকে আরও এগিয়ে নিলে, অনেক ক্ষেত্রে পোস্টেরিয়র প্রোবাবিলিটির জন্য সংবেদনশীল উত্তর পাওয়ার জন্য প্রাইর মানগুলোর যোগফল বা ইন্টিগ্রাল সসীম হওয়ারও প্রয়োজন নাও হতে পারে। যখন এমন হয়, তখন প্রাইরটিকে বলা হয় ইমপ্রপার প্রাইর। তবে, প্রাইর ইমপ্রপার হলে পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশন প্রপার ডিস্ট্রিবিউশন হওয়ার প্রয়োজন নেই। এটি সেই ক্ষেত্রে স্পষ্ট যেখানে ঘটনা B সমস্ত A_j থেকে স্বাধীন।

পরিসংখ্যানবিদরা কখনও কখনও ইমপ্রপার প্রাইরগুলোকে আনইনফরমেটিভ প্রাইর হিসেবে ব্যবহার করেন। উদাহরণস্বরূপ, যদি তাদের একটি র‍্যান্ডম চলকের গড় এবং ভেদাঙ্কের জন্য একটি প্রাইর ডিস্ট্রিবিউশন প্রয়োজন হয়, তবে তারা ধরে নিতে পারে p(m, v) ~ 1/v (যেখানে v > 0), যা নির্দেশ করবে যে গড়ের যেকোনো মান "সমানভাবে সম্ভাব্য" এবং ধনাত্মক ভেদাঙ্কের একটি মান তার মানের বিপরীত অনুপাতে "কম সম্ভাব্য" হয়ে ওঠে। অনেক লেখক (লিন্ডলি, ১৯৭৩; ডি গ্রুট, ১৯৩৭; কাস এবং ওয়াসারম্যান, ১৯৯৬) এই প্রাইরগুলোকে অতিরিক্ত ব্যাখ্যা করার বিপদ সম্পর্কে সতর্ক করেছেন কারণ এগুলো সম্ভাব্যতা ঘনত্ব নয়। তাদের একমাত্র প্রাসঙ্গিকতা সংশ্লিষ্ট পোস্টেরিয়রে পাওয়া যায়, যতক্ষণ না এটি সমস্ত পর্যবেক্ষণের জন্য সুসংজ্ঞায়িত থাকে। (হ্যালডেন প্রাইর একটি সাধারণ কাউন্টার-উদাহরণ।)

বিপরীতভাবে, লাইকলিহুড ফাংশন-গুলোকে ইন্টিগ্রেট করার প্রয়োজন হয় না, এবং একটি লাইকলিহুড ফাংশন যা ইউনিফর্মলি ১, তা ডেটার অনুপস্থিতিকে নির্দেশ করে (ডেটা না থাকলে সমস্ত মডেল সমানভাবে সম্ভাব্য): বেয়েস-এর নিয়ম একটি প্রাইরকে লাইকলিহুড দ্বারা গুণ করে, এবং একটি এমটি প্রোডাক্ট কেবল ধ্রুবক লাইকলিহুড ১। যাইহোক, একটি প্রাইর প্রোবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন দিয়ে শুরু না করলে, কেউ একটি পোস্টেরিয়র প্রোবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন পায় না, এবং তাই ইন্টিগ্রেট করতে বা প্রত্যাশিত মান বা লস গণনা করতে পারে না। বিস্তারিত জানার জন্য Non-integrability দেখুন।

উদাহরণ

ইমপ্রপার প্রাইরের উদাহরণগুলোর মধ্যে রয়েছে:

• একটি অসীম অন্তরালে ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন (অর্থাৎ, একটি হাফ-লাইন বা সম্পূর্ণ বাস্তব রেখা)।
• Beta(0,0), α=0, β=0-এর জন্য বিটা ডিস্ট্রিবিউশন (log-odds স্কেলে ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন)।
• পজিটিভ রিয়েলস-এর ওপর লগারিদমিক প্রাইর (log scale-এ ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন)।

এই ফাংশনগুলো, ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন হিসেবে ব্যাখ্যা করা হলে, ডেটার অনুপস্থিতিতে লাইকলিহুড ফাংশন হিসেবেও ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, কিন্তু এগুলো প্রপার প্রাইর নয়।

পরিসংখ্যানগত বলবিদ্যায় প্রায়র প্রোবাবিলিটি (Prior probability)

যদিও বেইজীয় পরিসংখ্যানে (Bayesian statistics) প্রায়র প্রোবাবিলিটি বা প্রাক-সম্ভাব্যতা একটি অনিশ্চিত প্যারামিটার সম্পর্কে প্রাথমিক বিশ্বাসকে উপস্থাপন করতে ব্যবহৃত হয়, পরিসংখ্যানগত বলবিদ্যায় (statistical mechanics) 'আ প্রায়োরি' (a priori) সম্ভাবনা একটি সিস্টেমের প্রাথমিক অবস্থাকে বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়। এর ধ্রুপদী সংস্করণটি হলো মৌলিক ঘটনার (elementary events) সংখ্যার (যেমন, একটি ছক্কা কতবার নিক্ষেপ করা হলো) সাথে মোট ঘটনার অনুপাত—এবং এগুলোকে সম্পূর্ণরূপে অবরোহী (deductively) পদ্ধতিতে বিবেচনা করা হয়, অর্থাৎ কোনো পরীক্ষা-নিরীক্ষা ছাড়াই। ছক্কার ক্ষেত্রে, যদি আমরা এটিকে নিক্ষেপ না করে টেবিলের ওপর দেখি, তবে প্রতিটি মৌলিক ঘটনার ক্ষেত্রে অবরোহী যুক্তিতে একই সম্ভাবনা থাকে—এভাবে একটি (নিখুঁত) ছক্কার কাল্পনিক নিক্ষেপের প্রতিটি ফলাফলের সম্ভাবনা বা কেবল ছক্কার তলের সংখ্যা গণনা করে পাওয়া যায় ১/৬। ছক্কার প্রতিটি তল সমান সম্ভাবনায় উপস্থিত হয়—সম্ভাবনা হলো প্রতিটি মৌলিক ঘটনার জন্য সংজ্ঞায়িত একটি পরিমাপ। ফলাফলটি ভিন্ন হয় যদি আমরা ছক্কাটি বিশবার নিক্ষেপ করি এবং জানতে চাই যে (২০ বারের মধ্যে) কতবার ওপরের তলে ৬ সংখ্যাটি আসে। এই ক্ষেত্রে সময়ের প্রভাব চলে আসে এবং ছক্কাটি কতবার নিক্ষেপ করা হয়েছে বা সময়ের ওপর নির্ভর করে আমরা ভিন্ন ধরনের সম্ভাবনা পাই। অন্যদিকে, আ প্রায়োরি সম্ভাবনা সময়ের ওপর নির্ভরশীল নয়—আপনি টেবিলের ওপর ছক্কাটিকে স্পর্শ না করে যতক্ষণ খুশি দেখতে পারেন এবং আপনি অবরোহী পদ্ধতিতে সিদ্ধান্ত নিতে পারেন যে ওপরের তলে ৬ সংখ্যাটি আসার সম্ভাবনা ১/৬।

পরিসংখ্যানগত বলবিদ্যায়, যেমন একটি সসীম আয়তন $V$-এর মধ্যে থাকা গ্যাসের ক্ষেত্রে, পৃথক গ্যাসীয় উপাদানের (পরমাণু বা অণু) স্থানিক স্থানাঙ্ক $q_i$ এবং ভরবেগের স্থানাঙ্ক $p_i$ উভয়ই এই স্থানাঙ্কগুলো দ্বারা বিস্তৃত দশা-স্থানে (phase space) সসীম। ছক্কার উদাহরণের সাদৃশ্যে, এখানে আ প্রায়োরি সম্ভাবনা (সতত বা continuum-এর ক্ষেত্রে) দশা-স্থানের আয়তনের উপাদান $\mathrm{\Delta }q\mathrm{\Delta }p$-কে $h$ দিয়ে ভাগ করলে যা পাওয়া যায় তার সমানুপাতিক এবং এটি হলো এর মধ্যে থাকা স্থির তরঙ্গের (অর্থাৎ, অবস্থার) সংখ্যা, যেখানে $\mathrm{\Delta }q$ হলো চলক $q$-এর পরিসর এবং $\mathrm{\Delta }p$ হলো চলক $p$-এর পরিসর (এখানে সরলতার জন্য এক মাত্রায় বিবেচনা করা হয়েছে)। ১ মাত্রায় (দৈর্ঘ্য $L$) এই সংখ্যা বা পরিসংখ্যানগত ওজন বা আ প্রায়োরি ওয়েটিং হলো $L\mathrm{\Delta }p/h$। প্রচলিত ৩ মাত্রায় (আয়তন $V$) সংশ্লিষ্ট সংখ্যাটি গণনা করে পাওয়া যায় $V4\pi p^2\mathrm{\Delta }p/h^3$। কোয়ান্টাম (অর্থাৎ, তরঙ্গ) বলবিদ্যায় এই রাশিটিকে অবস্থার সংখ্যা হিসেবে বোঝার জন্য মনে রাখতে হবে যে, কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় প্রতিটি কণা একটি পদার্থ তরঙ্গের সাথে যুক্ত থাকে যা একটি শ্রোডিঞ্জার সমীকরণ-এর সমাধান। একটি বাক্সের আয়তন $V=L^3$-এর মধ্যে থাকা গ্যাসের মতো মুক্ত কণার (শক্তি $ϵ={\mathbf{𝐩}}^2/2m$) ক্ষেত্রে এমন একটি পদার্থ তরঙ্গ স্পষ্টভাবে হলো: $$\psi \propto \sin \frac{l\pi x}{L}\sin \frac{m\pi y}{L}\sin \frac{n\pi z}{L},$$ যেখানে $l,m,n$ হলো পূর্ণসংখ্যা। $p,p+dp,p^2={\mathbf{𝐩}}^2$ অঞ্চলের মধ্যে বিভিন্ন $(l,m,n)$ মানের সংখ্যা এবং তাই অবস্থার সংখ্যা তখন এই বিন্দুগুলো দ্বারা আবৃত ক্ষেত্রফল বিবেচনা করে উপরের রাশি $V4\pi p^{2}dp/h^3$ হিসেবে পাওয়া যায়। অধিকন্তু, অনিশ্চয়তা নীতি-এর পরিপ্রেক্ষিতে, যা ১ স্থানিক মাত্রায় হলো $$\mathrm{\Delta }q\mathrm{\Delta }p\ge h,$$ এই অবস্থাগুলো অবিভেদ্য (অর্থাৎ, এই অবস্থাগুলোর কোনো লেবেল থাকে না)। একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল হলো লিউভিলের উপপাদ্য, অর্থাৎ এই দশা-স্থানের আয়তনের উপাদানের সময়ের ওপর নির্ভর না করা এবং তাই আ প্রায়োরি সম্ভাবনার সময়ের ওপর নির্ভর না করা। এই রাশির সময়ের ওপর নির্ভরতা সিস্টেমের গতিবিদ্যা সম্পর্কে জানা তথ্যকে নির্দেশ করবে, এবং তাই এটি আ প্রায়োরি সম্ভাবনা হবে না। সুতরাং অঞ্চল $$\mathrm{\Omega }:=\frac{\mathrm{\Delta }q\mathrm{\Delta }p}{\int \mathrm{\Delta }q\mathrm{\Delta }p},\int \mathrm{\Delta }q\mathrm{\Delta }p=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{.},$$ যখন সময়ের $t$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করা হয় তখন শূন্য পাওয়া যায় (হ্যামিল্টনের সমীকরণের সাহায্যে): সময় $t$-এ আয়তন সময় শূন্যের মতোই থাকে। একে তথ্যের সংরক্ষণও বলা হয়।

সম্পূর্ণ কোয়ান্টাম তত্ত্বে একটি অনুরূপ সংরক্ষণ সূত্র রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, দশা-স্থানের অঞ্চলটি একটি প্রজেকশন অপারেটর $P$-এর মাধ্যমে প্রকাশিত অবস্থার স্থানের একটি উপ-স্থান দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় এবং দশা-স্থানে সম্ভাবনার পরিবর্তে, আমাদের কাছে সম্ভাবনার ঘনত্ব থাকে $$\mathrm{\Sigma }:=\frac{P}{\text{Tr}(P)},N=\text{Tr}(P)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{.},$$ যেখানে $N$ হলো উপ-স্থানের মাত্রা। এই ক্ষেত্রে সংরক্ষণ সূত্রটি S-ম্যাট্রিক্স-এর একত্বতা (unitarity) দ্বারা প্রকাশিত হয়। উভয় ক্ষেত্রেই, বিবেচনাগুলো একটি বদ্ধ বিচ্ছিন্ন সিস্টেম ধরে নেয়। এই বদ্ধ বিচ্ছিন্ন সিস্টেমটি হলো এমন একটি সিস্টেম যার (১) একটি নির্দিষ্ট শক্তি $E$ এবং (২) একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক কণা $N$ আছে (গ) সাম্যাবস্থায়। যদি কেউ এই সিস্টেমের বিপুল সংখ্যক প্রতিলিপি বিবেচনা করে, তবে সে যা পায় তাকে বলা হয় মাইক্রোক্যানোনিকাল এনসেম্বল। এই সিস্টেমের জন্যই কোয়ান্টাম পরিসংখ্যানে "একটি বিচ্ছিন্ন সিস্টেমের সমান আ প্রায়োরি সম্ভাবনার মৌলিক স্বীকার্য" প্রস্তাব করা হয়। এটি বলে যে সাম্যাবস্থায় থাকা বিচ্ছিন্ন সিস্টেমটি তার প্রতিটি প্রবেশযোগ্য অবস্থা সমান সম্ভাবনায় দখল করে। এই মৌলিক স্বীকার্যটি তাই আমাদের আ প্রায়োরি সম্ভাবনাকে একটি সিস্টেমের ডিজেনারেসি বা অবক্ষয়ের সাথে, অর্থাৎ একই শক্তির বিভিন্ন অবস্থার সংখ্যার সাথে সমতুল্য করতে দেয়।

উদাহরণ

নিচের উদাহরণটি (ক) ধ্রুপদী এবং (খ) কোয়ান্টাম প্রেক্ষাপটে আ প্রায়োরি সম্ভাবনা (বা আ প্রায়োরি ওয়েটিং) ব্যাখ্যা করে। 1 = ধ্রুপদী আ প্রায়োরি সম্ভাবনা

গোলকীয় পোলার স্থানাঙ্ক $\theta ,\varphi$-এ জড়তার ভ্রামক I বিশিষ্ট একটি দ্বি-পারমাণবিক অণুর ঘূর্ণন শক্তি E বিবেচনা করুন (এর অর্থ হলো উপরের $q$ এখানে $\theta ,\varphi$), অর্থাৎ Failed to parse (syntax error): {\displaystyle E = \frac{1}{2I}\left(p^2_{\theta} + \frac{p^2_{\phi{\sin^2\theta}\right).} ধ্রুবক E এবং $\theta$-এর জন্য $(p_{\theta },p_{\varphi })$-বক্ররেখাটি হলো একটি উপবৃত্ত যার ক্ষেত্রফল $$\oint d{p}_{\theta }d{p}_{\varphi }=\pi \sqrt{2IE}\sqrt{2IE}\sin \theta =2\pi IE\sin \theta .$$ $\theta$ এবং $\varphi$-এর ওপর ইন্টিগ্রেশন করে ধ্রুবক শক্তি E-এর জন্য আবৃত দশা-স্থানের মোট আয়তন হলো $$\underset{0}{\overset{\varphi =2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\theta =\pi }{\int }}2I\pi E\sin \theta d\theta d\varphi =8{\pi }^{2}IE=\oint d{p}_{\theta }d{p}_{\varphi }d\theta d\varphi ,$$ এবং তাই শক্তি পরিসর $dE$-এ ধ্রুপদী আ প্রায়োরি ওয়েটিং হলো

$\mathrm{\Omega }\propto$ (E+dE-তে দশা-স্থানের আয়তন) বিয়োগ (E-তে দশা-স্থানের আয়তন) যা $8{\pi }^{2}IdE$ দ্বারা দেওয়া হয়।

| 2 = কোয়ান্টাম আ প্রায়োরি সম্ভাবনা

ধরে নেওয়া যাক যে প্রতিটি গতির দিকের জন্য $\mathrm{\Delta }q\mathrm{\Delta }p$ পরিসরে কোয়ান্টাম অবস্থার সংখ্যা, প্রতি উপাদানের জন্য, একটি গুণক $\mathrm{\Delta }q\mathrm{\Delta }p/h$ দ্বারা দেওয়া হয়, শক্তি পরিসর dE-তে অবস্থার সংখ্যা হলো, (ক)-এর অধীনে দেখা গেছে, ঘূর্ণনশীল দ্বি-পারমাণবিক অণুর জন্য $8{\pi }^{2}IdE/h^2$। তরঙ্গ বলবিদ্যা থেকে জানা যায় যে একটি ঘূর্ণনশীল দ্বি-পারমাণবিক অণুর শক্তির স্তরগুলো হলো $$E_n=\frac{n(n+1)h^2}{8{\pi }^{2}I},$$ প্রতিটি স্তর (2n+1)-গুণ ডিজেনারেট বা অবক্ষয়িত। $dn/d{E}_n=1/(d{E}_n/dn)$ মূল্যায়ন করে পাওয়া যায় $$\frac{dn}{d{E}_n}=\frac{8{\pi }^{2}I}{(2n+1)h^2},(2n+1)dn=\frac{8{\pi }^{2}I}{h^2}d{E}_n.$$ সুতরাং উপরের $\mathrm{\Omega }$-এর সাথে তুলনা করে, দেখা যায় যে dE পরিসরে অবস্থার আনুমানিক সংখ্যা ডিজেনারেসি দ্বারা দেওয়া হয়, অর্থাৎ $$\mathrm{\Sigma }\propto (2n+1)dn.$$ সুতরাং ধ্রুপদী প্রেক্ষাপটে (ক) আ প্রায়োরি ওয়েটিং এখানে কোয়ান্টাম প্রেক্ষাপটে (খ) আ প্রায়োরি ওয়েটিংয়ের সাথে মিলে যায়। স্বাভাবিক কম্পাঙ্ক $\nu$-এর এক-মাত্রিক সরল হারমোনিক অসিলেটরের ক্ষেত্রে পাওয়া যায়: (ক) $\mathrm{\Omega }\propto dE/\nu$, এবং (খ) $\mathrm{\Sigma }\propto dn$ (কোনো ডিজেনারেসি নেই)। সুতরাং কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় আ প্রায়োরি সম্ভাবনা কার্যকরভাবে ডিজেনারেসি বা অবক্ষয়ের একটি পরিমাপ, অর্থাৎ একই শক্তি সম্পন্ন অবস্থার সংখ্যা।

হাইড্রোজেন পরমাণু বা কুলম্ব বিভবের ক্ষেত্রে (যেখানে ধ্রুবক শক্তির জন্য দশা-স্থানের আয়তন মূল্যায়ন করা আরও জটিল) জানা যায় যে কোয়ান্টাম যান্ত্রিক ডিজেনারেসি হলো $n^2$ যেখানে $E\propto 1/n^2$। সুতরাং এই ক্ষেত্রে $\mathrm{\Sigma }\propto n^{2}dn$। }}

প্রাইওরি সম্ভাবনা এবং বিন্যাস ফাংশন

পরিসংখ্যানগত বলবিদ্যায়, বিভিন্ন পরিসংখ্যানের জন্য তথাকথিত বিন্যাস ফাংশন $f$ উদ্ভূত করা সাধারণ বিষয়। ফার্মি-ডিরাক পরিসংখ্যান এবং বোস-আইনস্টাইন পরিসংখ্যান-এর ক্ষেত্রে, এই ফাংশনগুলো যথাক্রমে $$f_i^{FD}=\frac{1}{e^{({ϵ}_i-{ϵ}_0)/kT}+1},f_i^{BE}=\frac{1}{e^{({ϵ}_i-{ϵ}_0)/kT}-1}.$$ এই ফাংশনগুলো উদ্ভূত করা হয় (১) গতিশীল সাম্যাবস্থায় থাকা একটি সিস্টেমের জন্য (অর্থাৎ, স্থির, অভিন্ন অবস্থার অধীনে) (২) মোট (এবং বিপুল) সংখ্যক কণা $N={\mathrm{\Sigma }}_i{n}_i$ (এই শর্তটি ধ্রুবক ${ϵ}_0$ নির্ধারণ করে), এবং (৩) মোট শক্তি $E={\mathrm{\Sigma }}_i{n}_i{ϵ}_i$, অর্থাৎ, প্রতিটি $n_i$ কণার শক্তি ${ϵ}_i$ থাকে। এই উদ্ভূত প্রক্রিয়ার একটি গুরুত্বপূর্ণ দিক হলো কোয়ান্টাম পরিসংখ্যানে কণা এবং অবস্থার অবিভেদ্যতাকে বিবেচনায় নেওয়া, অর্থাৎ সেখানে কণা এবং অবস্থার কোনো লেবেল থাকে না। ফার্মিয়নের ক্ষেত্রে, যেমন ইলেকট্রন, যা পাউলির বর্জন নীতি মেনে চলে (প্রতি অবস্থায় কেবল একটি কণা বা কোনোটিই নয়), তাই আমাদের কাছে আছে $$0\le f_i^{FD}\le 1,\text{যেখানে}0\le f_i^{BE}\le \mathrm{\infty }.$$ সুতরাং $f_i^{FD}$ হলো শক্তি ${ϵ}_i$ এবং তাপমাত্রা $T$-এ ইলেকট্রন দ্বারা প্রকৃতপক্ষে দখলকৃত অবস্থার ভগ্নাংশের একটি পরিমাপ। অন্যদিকে, আ প্রায়োরি সম্ভাবনা $g_i$ হলো উপলব্ধ তরঙ্গ যান্ত্রিক অবস্থার সংখ্যার একটি পরিমাপ। অতএব $$n_i=f_i{g}_i.$$ যেহেতু অভিন্ন অবস্থার অধীনে $n_i$ ধ্রুবক থাকে (একটি আয়তন উপাদান থেকে যতগুলো কণা বেরিয়ে যায় ঠিক ততগুলোই স্থিরভাবে ভেতরে প্রবেশ করে, যাতে উপাদানটির পরিস্থিতি স্থির মনে হয়), অর্থাৎ সময়ের $t$-এর ওপর নির্ভরশীল নয়, এবং $g_i$-ও সময়ের $t$-এর ওপর নির্ভরশীল নয় যেমনটি আগে দেখানো হয়েছে, আমরা পাই $$\frac{d{f}_i}{dt}=0,f_i=f_i(t,{\mathbf{𝐯}}_i,{\mathbf{𝐫}}_i).$$ এই সমীকরণটিকে এর আংশিক অন্তরক হিসেবে প্রকাশ করলে, বোল্টজম্যান পরিবহন সমীকরণ পাওয়া যায়। উপরে বৈদ্যুতিক বা অন্য কোনো ক্ষেত্রের কথা উল্লেখ করা হয়নি। সুতরাং এমন কোনো ক্ষেত্র উপস্থিত না থাকলে আমাদের কাছে উপরের মতো ফার্মি-ডিরাক বিন্যাস থাকে। কিন্তু এমন ক্ষেত্র উপস্থিত থাকলে আমাদের কাছে $f$-এর এই অতিরিক্ত নির্ভরতা থাকে।

আরও দেখুন

• বেস রেট
• বেস রেট ফ্যালাসি
• বেইজীয় জ্ঞানতত্ত্ব
• স্ট্রং প্রায়র

তথ্যসূত্র

• (1999). "Bayesian Inference in Dynamic Econometric Models". 94–128. Oxford University Press. ISBN 0-19-877313-7.
• (2003). "Bayesian Data Analysis". Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-388-3.
• Berger, James O.. (1985). Statistical decision theory and Bayesian analysis. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96098-2.
• (1996). "Choice of hierarchical priors: admissibility in estimation of normal means". Annals of Statistics. 24 (3) 931–951. doi:10.1214/aos/1032526950.
• Bernardo, Jose M.. (1979). "Reference Posterior Distributions for Bayesian Inference". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 41 (2) 113–147. doi:10.1111/j.2517-6161.1979.tb01066.x.
• (2009). "The formal definition of reference priors". Annals of Statistics. 37 (2) 905–938. doi:10.1214/07-AOS587.
• Jaynes, Edwin T.. (2003). Probability Theory: The Logic of Science. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59271-0.
• Williamson, Jon. (2010). review of Bruno di Finetti. Philosophical Lectures on Probability. Philosophia Mathematica. 18 (1) 130–135. doi:10.1093/philmat/nkp019.

বহিঃসংযোগ

• PriorDB a collaborative database of models and their priors

inference

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Prior probability” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Prior_probability এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।