গাণিতিক পরিসংখ্যান

From LTRC

পরিসংখ্যান

একটি ডেটা সেটের ওপর রৈখিক রিগ্রেশনের চিত্র। রিগ্রেশন বিশ্লেষণ গাণিতিক পরিসংখ্যানের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ।

গাণিতিক পরিসংখ্যান (Mathematical statistics) হলো পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রে সম্ভাবনা তত্ত্ব (probability theory) এবং অন্যান্য গাণিতিক ধারণার প্রয়োগ, যা পরিসংখ্যানগত ডেটা সংগ্রহের কৌশল থেকে ভিন্ন।[1] পরিসংখ্যানে সাধারণত ব্যবহৃত নির্দিষ্ট গাণিতিক কৌশলগুলোর মধ্যে রয়েছে গাণিতিক বিশ্লেষণ (mathematical analysis), রৈখিক বীজগণিত (linear algebra), স্টোকাস্টিক বিশ্লেষণ (stochastic analysis), অন্তরক সমীকরণ (differential equations) এবং পরিমাপ তত্ত্ব (measure theory)।[2][3]

ভূমিকা

পরিসংখ্যানগত ডেটা সংগ্রহ গবেষণার পরিকল্পনার সাথে সম্পর্কিত, বিশেষ করে র‍্যান্ডমাইজড পরীক্ষার নকশা এবং র‍্যান্ডম স্যাম্পলিং ব্যবহার করে জরিপ পরিকল্পনার সাথে। ডেটার প্রাথমিক বিশ্লেষণ প্রায়শই গবেষণা পরিচালনার পূর্বে নির্দিষ্ট করা গবেষণা প্রোটোকল অনুসরণ করে। গবেষণার ডেটা প্রাথমিক ফলাফলের দ্বারা অনুপ্রাণিত গৌণ অনুমান বিবেচনা করতে বা নতুন গবেষণার পরামর্শ দিতেও বিশ্লেষণ করা যেতে পারে। একটি পরিকল্পিত গবেষণার ডেটার গৌণ বিশ্লেষণে ডেটা বিশ্লেষণ-এর সরঞ্জাম ব্যবহার করা হয় এবং এটি করার প্রক্রিয়াটিই হলো গাণিতিক পরিসংখ্যান।

ডেটা বিশ্লেষণকে নিম্নোক্তভাবে ভাগ করা যায়:

  • বর্ণনামূলক পরিসংখ্যান (descriptive statistics) – পরিসংখ্যানের যে অংশ ডেটার বর্ণনা দেয়, অর্থাৎ ডেটা এবং এর সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলোকে সংক্ষিপ্ত করে।
  • অনুমানমূলক পরিসংখ্যান (inferential statistics) – পরিসংখ্যানের যে অংশ ডেটা থেকে সিদ্ধান্ত গ্রহণ করে (ডেটার জন্য কোনো মডেল ব্যবহার করে): উদাহরণস্বরূপ, অনুমানমূলক পরিসংখ্যানের মধ্যে রয়েছে ডেটার জন্য একটি মডেল নির্বাচন করা, ডেটা একটি নির্দিষ্ট মডেলের শর্ত পূরণ করে কিনা তা পরীক্ষা করা এবং সংশ্লিষ্ট অনিশ্চয়তা পরিমাপ করা (যেমন কনফিডেন্স ইন্টারভাল ব্যবহার করে)।

যদিও ডেটা বিশ্লেষণের সরঞ্জামগুলো র‍্যান্ডমাইজড গবেষণার ডেটার ওপর সবচেয়ে ভালো কাজ করে, তবে এগুলো অন্যান্য ধরনের ডেটার ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, প্রাকৃতিক পরীক্ষা এবং পর্যবেক্ষণমূলক গবেষণা থেকে প্রাপ্ত ডেটার ক্ষেত্রে, যেখানে অনুমান পরিসংখ্যানবিদের দ্বারা নির্বাচিত মডেলের ওপর নির্ভরশীল এবং তাই এটি বিষয়ভিত্তিক।[4][5]

বিষয়বস্তু

গাণিতিক পরিসংখ্যানের কিছু গুরুত্বপূর্ণ বিষয় নিচে দেওয়া হলো:[6][7]

সম্ভাবনা বিন্যাস

মূল নিবন্ধ: Probability distribution একটি সম্ভাবনা বিন্যাস (probability distribution) হলো একটি ফাংশন যা একটি র‍্যান্ডম পরীক্ষা, জরিপ, বা পরিসংখ্যানগত অনুমান পদ্ধতির সম্ভাব্য ফলাফলের প্রতিটি পরিমাপযোগ্য উপসেট-এর সাথে একটি সম্ভাবনা নির্ধারণ করে। এর উদাহরণ সেই পরীক্ষাগুলোতে পাওয়া যায় যাদের নমুনা স্থান (sample space) সংখ্যাসূচক নয়, যেখানে বিন্যাসটি হবে একটি ক্যাটাগরিক্যাল বিন্যাস; যে পরীক্ষাগুলোর নমুনা স্থান বিচ্ছিন্ন র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল দ্বারা এনকোড করা হয়, যেখানে বিন্যাসটি একটি সম্ভাবনা ভর ফাংশন (probability mass function) দ্বারা নির্দিষ্ট করা যেতে পারে; এবং যে পরীক্ষাগুলোর নমুনা স্থান অবিচ্ছিন্ন র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল দ্বারা এনকোড করা হয়, যেখানে বিন্যাসটি একটি সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন (probability density function) দ্বারা নির্দিষ্ট করা যেতে পারে। আরও জটিল পরীক্ষা, যেমন অবিচ্ছিন্ন সময়-এ সংজ্ঞায়িত স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া-র সাথে জড়িত পরীক্ষাগুলোর ক্ষেত্রে আরও সাধারণ সম্ভাবনা পরিমাপ (probability measure) ব্যবহারের প্রয়োজন হতে পারে।

একটি সম্ভাবনা বিন্যাস ইউনিভ্যারিয়েট বিন্যাস বা মাল্টিভ্যারিয়েট বিন্যাস হতে পারে। একটি ইউনিভ্যারিয়েট বিন্যাস একটি একক র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল-এর বিভিন্ন বিকল্প মান গ্রহণের সম্ভাবনা দেয়; একটি মাল্টিভ্যারিয়েট বিন্যাস (একটি যৌথ সম্ভাবনা বিন্যাস) একটি র‍্যান্ডম ভেক্টর—দুই বা ততোধিক র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সেট—এর বিভিন্ন মানের সংমিশ্রণ গ্রহণের সম্ভাবনা দেয়। গুরুত্বপূর্ণ এবং সাধারণত দেখা যায় এমন ইউনিভ্যারিয়েট সম্ভাবনা বিন্যাসের মধ্যে রয়েছে দ্বিপদী বিন্যাস (binomial distribution), হাইপারজিওমেট্রিক বিন্যাস এবং স্বাভাবিক বিন্যাস (normal distribution)। মাল্টিভ্যারিয়েট স্বাভাবিক বিন্যাস একটি সাধারণ মাল্টিভ্যারিয়েট বিন্যাস।

বিশেষ বিন্যাসসমূহ

পরিসংখ্যানগত অনুমান

মূল নিবন্ধ: Statistical inference পরিসংখ্যানগত অনুমান (Statistical inference) হলো ডেটা থেকে সিদ্ধান্ত নেওয়ার প্রক্রিয়া যা র‍্যান্ডম পরিবর্তনের সাপেক্ষে, উদাহরণস্বরূপ, পর্যবেক্ষণমূলক ত্রুটি বা নমুনা পরিবর্তনের কারণে।[8] অনুমান এবং আরোহী যুক্তি (inductive reasoning)-এর জন্য এই ধরনের পদ্ধতির প্রাথমিক প্রয়োজনীয়তা হলো যে, সুসংজ্ঞায়িত পরিস্থিতিতে প্রয়োগ করা হলে সিস্টেমটি যেন যুক্তিসঙ্গত উত্তর দেয় এবং এটি যেন বিভিন্ন পরিস্থিতিতে প্রয়োগ করার মতো যথেষ্ট সাধারণ হয়। অনুমানমূলক পরিসংখ্যান নমুনা ডেটা ব্যবহার করে অনুমান পরীক্ষা করতে এবং প্রাক্কলন করতে ব্যবহৃত হয়। যেখানে বর্ণনামূলক পরিসংখ্যান একটি নমুনার বর্ণনা দেয়, সেখানে অনুমানমূলক পরিসংখ্যান নমুনাটি যে বৃহত্তর জনসংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে তার সম্পর্কে ভবিষ্যদ্বাণী করে।

পরিসংখ্যানগত অনুমানের ফলাফল "পরবর্তীতে কী করা উচিত?" এই প্রশ্নের উত্তর হতে পারে, যেখানে এটি আরও পরীক্ষা বা জরিপ করার সিদ্ধান্ত হতে পারে, অথবা কোনো সাংগঠনিক বা সরকারি নীতি বাস্তবায়নের আগে একটি সিদ্ধান্তে পৌঁছানো হতে পারে। অধিকাংশ ক্ষেত্রে, পরিসংখ্যানগত অনুমান জনসংখ্যার সম্পর্কে প্রস্তাবনা তৈরি করে, যা কোনো ধরনের র‍্যান্ডম স্যাম্পলিংয়ের মাধ্যমে সংগৃহীত ডেটা ব্যবহার করে। আরও সাধারণভাবে, একটি র‍্যান্ডম প্রক্রিয়া সম্পর্কে ডেটা তার সসীম সময়ের পর্যবেক্ষণের মাধ্যমে প্রাপ্ত হয়। কোনো প্যারামিটার বা অনুমান যার সম্পর্কে কেউ অনুমান করতে চায়, তার ক্ষেত্রে পরিসংখ্যানগত অনুমান প্রায়শই ব্যবহার করে:

  • র‍্যান্ডম প্রক্রিয়ার একটি পরিসংখ্যানগত মডেল যা ডেটা তৈরি করে বলে ধরে নেওয়া হয়, যা র‍্যান্ডমাইজেশন ব্যবহারের সময় জানা থাকে, এবং
  • র‍্যান্ডম প্রক্রিয়ার একটি নির্দিষ্ট বাস্তবায়ন; অর্থাৎ, ডেটার একটি সেট।

রিগ্রেশন

মূল নিবন্ধ: Regression analysis

পরিসংখ্যান-এ, রিগ্রেশন বিশ্লেষণ হলো ভেরিয়েবলগুলোর মধ্যে সম্পর্ক প্রাক্কলন করার একটি পরিসংখ্যানগত প্রক্রিয়া। এটি বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবল মডেলিং এবং বিশ্লেষণের অনেক উপায় অন্তর্ভুক্ত করে, যখন মূল লক্ষ্য থাকে একটি নির্ভরশীল ভেরিয়েবল এবং এক বা একাধিক স্বাধীন ভেরিয়েবল-এর মধ্যে সম্পর্ক। আরও নির্দিষ্টভাবে, রিগ্রেশন বিশ্লেষণ বুঝতে সাহায্য করে যে কীভাবে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের (বা 'ক্রাইটেরিয়ন ভেরিয়েবল') সাধারণ মান পরিবর্তিত হয় যখন অন্য স্বাধীন ভেরিয়েবলগুলোকে স্থির রেখে যেকোনো একটি স্বাধীন ভেরিয়েবল পরিবর্তন করা হয়। সাধারণত, রিগ্রেশন বিশ্লেষণ স্বাধীন ভেরিয়েবলগুলোর সাপেক্ষে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের শর্তাধীন প্রত্যাশা (conditional expectation) প্রাক্কলন করে – অর্থাৎ, স্বাধীন ভেরিয়েবলগুলো স্থির থাকলে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের গড় মান। কম সাধারণ ক্ষেত্রে, লক্ষ্য থাকে একটি কোয়ান্টাইল বা নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের শর্তাধীন বিন্যাসের অন্য কোনো অবস্থান প্যারামিটার। সব ক্ষেত্রেই, প্রাক্কলনের লক্ষ্য হলো স্বাধীন ভেরিয়েবলগুলোর একটি ফাংশন যাকে বলা হয় রিগ্রেশন ফাংশন। রিগ্রেশন বিশ্লেষণে, রিগ্রেশন ফাংশনের চারপাশে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের পরিবর্তনকে বৈশিষ্ট্যমণ্ডিত করাও আগ্রহের বিষয়, যা একটি সম্ভাবনা বিন্যাস দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে।

রিগ্রেশন বিশ্লেষণ পরিচালনার জন্য অনেক কৌশল তৈরি করা হয়েছে। পরিচিত পদ্ধতিগুলো, যেমন রৈখিক রিগ্রেশন, হলো প্যারামেট্রিক পরিসংখ্যান, যেখানে রিগ্রেশন ফাংশনটি অজানা প্যারামিটার-এর একটি সসীম সংখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত হয় যা ডেটা থেকে প্রাক্কলন করা হয় (যেমন সাধারণ ক্ষুদ্রতম বর্গ ব্যবহার করে)। ননপ্যারামেট্রিক রিগ্রেশন বলতে সেই কৌশলগুলোকে বোঝায় যা রিগ্রেশন ফাংশনকে ফাংশন-এর একটি নির্দিষ্ট সেটে থাকতে দেয়, যা অসীম-মাত্রিক হতে পারে।

ননপ্যারামেট্রিক পরিসংখ্যান

মূল নিবন্ধ: Nonparametric statistics ননপ্যারামেট্রিক পরিসংখ্যান হলো ডেটা থেকে গণনা করা মান যা সম্ভাবনা বিন্যাস-এর প্যারামিটারাইজড পরিবারের ওপর ভিত্তি করে নয়। এর মধ্যে বর্ণনামূলক পরিসংখ্যান এবং পরিসংখ্যানগত অনুমান উভয়ই অন্তর্ভুক্ত। সাধারণ প্যারামিটারগুলো হলো প্রত্যাশা, ভেদাঙ্ক ইত্যাদি। প্যারামেট্রিক পরিসংখ্যান-এর বিপরীতে, ননপ্যারামেট্রিক পরিসংখ্যান মূল্যায়ন করা ভেরিয়েবলগুলোর সম্ভাবনা বিন্যাস সম্পর্কে কোনো অনুমান করে না।[9]

নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতিগুলো র‍্যাঙ্কড অর্ডারে থাকা জনসংখ্যার অধ্যয়নের জন্য ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় (যেমন মুভি রিভিউ যেখানে এক থেকে চার স্টার দেওয়া হয়)। যখন ডেটার একটি র‍্যাঙ্কিং থাকে কিন্তু কোনো স্পষ্ট সংখ্যাসূচক ব্যাখ্যা থাকে না, যেমন পছন্দ মূল্যায়ন করার সময়, তখন নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতির ব্যবহার প্রয়োজনীয় হতে পারে। পরিমাপের স্তর-এর পরিপ্রেক্ষিতে, নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতিগুলো "অর্ডিনাল" ডেটা প্রদান করে।

যেহেতু নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতিগুলো কম অনুমান করে, তাই এদের প্রয়োগযোগ্যতা সংশ্লিষ্ট প্যারামেট্রিক পদ্ধতির চেয়ে অনেক বেশি। বিশেষ করে, এগুলো এমন পরিস্থিতিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে যেখানে সংশ্লিষ্ট প্রয়োগ সম্পর্কে কম জানা থাকে। এছাড়াও, কম অনুমানের ওপর নির্ভরতার কারণে, নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতিগুলো বেশি রবাস্ট।

নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতির একটি অসুবিধা হলো যে, যেহেতু তারা অনুমানের ওপর নির্ভর করে না, তাই এগুলো সাধারণত তাদের প্যারামেট্রিক প্রতিপক্ষের তুলনায় কম শক্তিশালী।[10] কম ক্ষমতার নন-প্যারামেট্রিক পরীক্ষাগুলো সমস্যাযুক্ত কারণ এই পদ্ধতিগুলোর একটি সাধারণ ব্যবহার হলো যখন নমুনার আকার ছোট হয়।[10] অনেক প্যারামেট্রিক পদ্ধতি নেইম্যান-পিয়ারসন লেমা এবং লাইকলিহুড-রেশিও পরীক্ষা-র মতো পদ্ধতির মাধ্যমে সবচেয়ে শক্তিশালী পরীক্ষা হিসেবে প্রমাণিত।

নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতি ব্যবহারের আরেকটি যৌক্তিকতা হলো সরলতা। নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, এমনকি যখন প্যারামেট্রিক পদ্ধতির ব্যবহার ন্যায়সঙ্গত হয়, তখনও নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতিগুলো ব্যবহার করা সহজ হতে পারে। এই সরলতা এবং অধিক রবাস্ট হওয়ার কারণে, কিছু পরিসংখ্যানবিদ মনে করেন যে নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতিগুলো অনুপযুক্ত ব্যবহার এবং ভুল বোঝাবুঝির সুযোগ কম রাখে।

পরিসংখ্যান, গণিত এবং গাণিতিক পরিসংখ্যান

গাণিতিক পরিসংখ্যান হলো পরিসংখ্যান শাস্ত্রের একটি মূল উপসেট। পরিসংখ্যান তাত্ত্বিকরা গণিত দিয়ে পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি অধ্যয়ন এবং উন্নত করেন, এবং পরিসংখ্যানগত গবেষণা প্রায়শই গাণিতিক প্রশ্ন উত্থাপন করে।

গাউস, ল্যাপলাস এবং সি. এস. পিয়ার্স-এর মতো গণিতবিদ এবং পরিসংখ্যানবিদরা সম্ভাবনা বিন্যাস এবং লস ফাংশন (বা ইউটিলিটি ফাংশন) সহ সর্বোত্তম সিদ্ধান্ত তত্ত্ব ব্যবহার করেছিলেন। পরিসংখ্যানগত অনুমানের সিদ্ধান্ত-তাত্ত্বিক দৃষ্টিভঙ্গি আব্রাহাম ওয়াল্ড এবং তার উত্তরসূরিদের দ্বারা পুনরুজ্জীবিত হয়েছিল[11][12][13][14][15][16][17] এবং এটি বৈজ্ঞানিক কম্পিউটিং, বিশ্লেষণ এবং অপ্টিমাইজেশন-এর ব্যাপক ব্যবহার করে; পরীক্ষার নকশার জন্য, পরিসংখ্যানবিদরা বীজগণিত এবং কম্বিনেটরিক্স ব্যবহার করেন। কিন্তু যদিও পরিসংখ্যানগত অনুশীলন প্রায়শই সম্ভাবনা এবং সর্বোত্তম সিদ্ধান্ত তত্ত্বের ওপর নির্ভর করে, তবে তাদের প্রয়োগ বিতর্কিত হতে পারে।[5]

আরও দেখুন

তথ্যসূত্র

  1. ↑ Shao, Jun. (2008-02-03). Mathematical Statistics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-21718-5.
  2. ↑ (2002). "Handbook of stochastic analysis and applications". M. Dekker. ISBN 0824706609.
  3. ↑ Schervish, Mark J.. (1995). "Theory of statistics". Springer. ISBN 0387945466.
  4. ↑ Freedman, D.A. (2005) Statistical Models: Theory and Practice, Cambridge University Press. 978-0-521-67105-7
  5. ↑ 5.0 5.1 (2010). Statistical Models and Causal Inference: A Dialogue with the Social Sciences. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-12390-7.
  6. ↑ Hogg, R. V., A. Craig, and J. W. McKean. "Intro to Mathematical Statistics." (2005).
  7. ↑ Larsen, Richard J. and Marx, Morris L. "An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications" (2012). Prentice Hall.
  8. ↑ Upton, G., Cook, I. (2008) Oxford Dictionary of Statistics, OUP. 978-0-19-954145-4
  9. ↑ Research Nonparametric Methods. Carnegie Mellon University.
  10. ↑ 10.0 10.1 Nonparametric Tests. sphweb.bumc.bu.edu.
  11. ↑ Wald, Abraham. (1947). "Sequential analysis". John Wiley and Sons. ISBN 0-471-91806-7.
  12. ↑ Wald, Abraham. (1950). "Statistical Decision Functions". John Wiley and Sons, New York.
  13. ↑ Lehmann, Erich. (1997). "Testing Statistical Hypotheses". ISBN 0-387-94919-4.
  14. ↑ (1998). "Theory of Point Estimation". ISBN 0-387-98502-6.
  15. ↑ (2001). "Mathematical Statistics: Basic and Selected Topics". 1. Pearson Prentice-Hall.
  16. ↑ Le Cam, Lucien. (1986). "Asymptotic Methods in Statistical Decision Theory". Springer-Verlag. ISBN 0-387-96307-3.
  17. ↑ (2008). "Statistical Decision Theory: Estimation, Testing, and Selection". Springer.

আরও পড়ুন

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Mathematical statistics” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_statistics এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।

Retrieved from "https://ltrc.sciwiki.in/index.php?title=গাণিতিক_পরিসংখ্যান&oldid=1675"