রৈখিক বীজগণিত

রৈখিক বীজগণিত (Linear algebra) হলো গণিতের একটি শাখা যা রৈখিক সমীকরণ নিয়ে কাজ করে, যেমন: $$a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n=b,$$ রৈখিক চিত্র (linear map) যেমন: $$(x_1,\dots ,x_n)\mapsto a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n,$$ এবং ভেক্টর জগতে ও ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে এদের উপস্থাপন নিয়ে আলোচনা করে।

ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় জগতে, এই তিনটি তল রৈখিক সমীকরণের সমাধান নির্দেশ করে এবং এদের ছেদবিন্দু সাধারণ সমাধানের সেট নির্দেশ করে: এই ক্ষেত্রে, একটি অনন্য বিন্দু। নীল রেখাটি এই সমীকরণগুলোর দুটির সাধারণ সমাধান।

রৈখিক বীজগণিত গণিতের প্রায় সকল ক্ষেত্রের কেন্দ্রবিন্দুতে অবস্থিত। উদাহরণস্বরূপ, জ্যামিতির আধুনিক উপস্থাপনায় রৈখিক বীজগণিত মৌলিক ভূমিকা পালন করে, যার মধ্যে রেখা, তল এবং ঘূর্ণন-এর মতো মৌলিক বস্তুগুলোর সংজ্ঞা অন্তর্ভুক্ত। এছাড়া, গাণিতিক বিশ্লেষণের একটি শাখা ফাংশনাল অ্যানালাইসিস-কে ফাংশন জগতে রৈখিক বীজগণিতের প্রয়োগ হিসেবে দেখা যেতে পারে।

রৈখিক বীজগণিত অধিকাংশ বিজ্ঞান এবং প্রকৌশলের ক্ষেত্রেও ব্যবহৃত হয়, কারণ রৈখিক কাঠামো অনেক ভৌত ঘটনার জন্য প্রাকৃতিক মডেল; এটি কম্পিউটিংয়ের অনেক ক্ষেত্রেও দরকারী এবং তাই অধিকাংশ বিজ্ঞানে প্রয়োগ করা হয়। অরৈখিক সিস্টেমের জন্য, রৈখিক বীজগণিত প্রায়শই প্রথম-ক্রমের আসন্ন মান নিয়ে কাজ করার জন্য ব্যবহৃত হয়: একটি বিন্দুতে ম্যানিফোল্ডের অন্তরজ একটি রেখার ঢাল প্রদান করে যা ম্যানিফোল্ডের স্থানীয় আচরণকে মডেল করে এবং এটি নিজেই রৈখিক বীজগণিত দিয়ে বিশ্লেষণ করা যায়।

ইতিহাস

আরও দেখুন: Determinant#History, Gaussian elimination#History

একযোগে রৈখিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি (গণনা দণ্ড ব্যবহার করে) যা এখন গাউসিয়ান এলিমিনেশন নামে পরিচিত, তা প্রাচীন চীনা গাণিতিক পাঠ্য দ্য নাইন চ্যাপ্টারস অন দ্য ম্যাথমেটিক্যাল আর্ট-এর অষ্টম অধ্যায়: 'আয়তক্ষেত্রাকার বিন্যাস'-এ দেখা যায়। এর ব্যবহার আঠারোটি সমস্যার মাধ্যমে চিত্রিত হয়েছে, যেখানে দুই থেকে পাঁচটি সমীকরণ রয়েছে।

রৈখিক সমীকরণ সিস্টেম ইউরোপে ১৬৩৭ সালে রেনে দেকার্ত কর্তৃক জ্যামিতিতে স্থানাঙ্ক প্রবর্তনের মাধ্যমে উদ্ভূত হয়। প্রকৃতপক্ষে, এই নতুন জ্যামিতিতে, যা এখন কার্তেসীয় জ্যামিতি নামে পরিচিত, রেখা এবং তলগুলো রৈখিক সমীকরণ দ্বারা উপস্থাপিত হয় এবং তাদের ছেদবিন্দু গণনা করা মানেই রৈখিক সমীকরণ সিস্টেম সমাধান করা।

রৈখিক সিস্টেম সমাধানের প্রথম পদ্ধতিগুলো নির্ণায়ক ব্যবহার করত এবং ১৬৯৩ সালে লাইবনিজ প্রথম এগুলো বিবেচনা করেছিলেন। ১৭৫০ সালে, গ্যাব্রিয়েল ক্রেমার রৈখিক সিস্টেমের স্পষ্ট সমাধান দেওয়ার জন্য এগুলো ব্যবহার করেন, যা এখন ক্রেমারের নিয়ম নামে পরিচিত। পরবর্তীতে, গাউস এলিমিনেশন পদ্ধতিটি আরও বর্ণনা করেন, যা প্রাথমিকভাবে জিওডিসিতে একটি অগ্রগতি হিসেবে তালিকাভুক্ত ছিল।

"ঊনবিংশ এবং বিংশ শতাব্দীর শুরুর দিকের শীর্ষস্থানীয় গণিতবিদরা প্রায় একশ বছর ধরে রৈখিক বীজগণিতের অধিকাংশ মৌলিক ফলাফল এবং কৌশলগুলো তৈরি ও ব্যবহার করেছিলেন, এমনকি একটি বিমূর্ত ভেক্টর জগত সংজ্ঞায়িত না করেই: এবং এমন কিছু নেই যা নির্দেশ করে যে তারা এতে ক্ষতিগ্রস্ত হয়েছিলেন।" ১৮৪৪ সালে হারমান গ্রাসম্যান তার "থিওরি অফ এক্সটেনশন" প্রকাশ করেন, যার মধ্যে আজকের রৈখিক বীজগণিত নামে পরিচিত মৌলিক নতুন বিষয়গুলো অন্তর্ভুক্ত ছিল। ১৮৪৮ সালে, জেমস জোসেফ সিলভেস্টার ম্যাট্রিক্স শব্দটি প্রবর্তন করেন, যা ল্যাটিন শব্দ যার অর্থ গর্ভ।

রৈখিক বীজগণিত জটিল সমতলে উল্লিখিত ধারণাগুলোর সাথে বৃদ্ধি পায়। উদাহরণস্বরূপ, $\mathbb{ℂ}$-এ দুটি সংখ্যা w এবং z-এর একটি পার্থক্য w – z থাকে এবং রেখাংশ wz এবং 0(w − z) একই দৈর্ঘ্য এবং দিকের হয়। রেখাংশগুলো ইকুইপোলেন্ট। কোয়াটারনিয়নের চতুর্মাত্রিক সিস্টেম $\mathbb{ℍ}$ ১৮৪৩ সালে ডব্লিউ.আর. হ্যামিল্টন আবিষ্কার করেন। ভেক্টর শব্দটি v = xi + yj + zk হিসেবে প্রবর্তিত হয়েছিল যা মহাকাশের একটি বিন্দুকে উপস্থাপন করে। কোয়াটারনিয়ন পার্থক্য p – q ও pq এর সমতুল্য একটি রেখাংশ তৈরি করে। অন্যান্য হাইপারকমপ্লেক্স সংখ্যা সিস্টেমগুলোও একটি ভিত্তি সহ একটি রৈখিক জগতের ধারণা ব্যবহার করেছিল।

আর্থার কেলি ১৮৫৬ সালে ম্যাট্রিক্স গুণন এবং বিপরীত ম্যাট্রিক্স প্রবর্তন করেন, যা সাধারণ রৈখিক গ্রুপ সম্ভব করে তোলে। গ্রুপ রিপ্রেজেন্টেশনের কৌশল জটিল এবং হাইপারকমপ্লেক্স সংখ্যা বর্ণনা করার জন্য উপলব্ধ হয়। গুরুত্বপূর্ণভাবে, কেলি একটি ম্যাট্রিক্সকে বোঝাতে একটি একক অক্ষর ব্যবহার করেছিলেন, এইভাবে একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি সামগ্রিক বস্তু হিসেবে বিবেচনা করেছিলেন। তিনি ম্যাট্রিক্স এবং নির্ণায়কের মধ্যে সংযোগও বুঝতে পেরেছিলেন এবং লিখেছিলেন "ম্যাট্রিক্সের এই তত্ত্ব সম্পর্কে অনেক কিছু বলার আছে যা আমার মনে হয় নির্ণায়কের তত্ত্বের আগে আসা উচিত"।

বেঞ্জামিন পিয়ার্স তার লিনিয়ার অ্যাসোসিয়েটিভ অ্যালজেব্রা (১৮৭২) প্রকাশ করেন এবং তার ছেলে চার্লস স্যান্ডার্স পিয়ার্স পরবর্তীতে কাজটিকে প্রসারিত করেন।

টেলিগ্রাফের জন্য একটি ব্যাখ্যামূলক সিস্টেমের প্রয়োজন ছিল এবং ১৮৭৩ সালে জেমস ক্লার্ক ম্যাক্সওয়েল-এর আ ট্রিটিজ অন ইলেকট্রিসিটি অ্যান্ড ম্যাগনেটিজম প্রকাশনা বলের একটি ফিল্ড থিওরি প্রতিষ্ঠা করে এবং প্রকাশের জন্য ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি প্রয়োজন হয়। রৈখিক বীজগণিত হলো সমতল ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি এবং এটি ম্যানিফোল্ডের স্পর্শক জগতে কাজ করে। স্পেসটাইমের ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক প্রতিসাম্যগুলো লরেন্টজ রূপান্তর দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং রৈখিক বীজগণিতের ইতিহাসের অনেকটা অংশই হলো লরেন্টজ রূপান্তরের ইতিহাস।

ভেক্টর জগতের প্রথম আধুনিক এবং আরও সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা ১৮৮৮ সালে পিয়ানো প্রবর্তন করেন; ১৯০০ সালের মধ্যে, সসীম-মাত্রিক ভেক্টর জগতের রৈখিক রূপান্তরের একটি তত্ত্ব আবির্ভূত হয়। বিংশ শতাব্দীর প্রথমার্ধে রৈখিক বীজগণিত তার আধুনিক রূপ ধারণ করে যখন পূর্ববর্তী শতাব্দীর অনেক ধারণা এবং পদ্ধতি বিমূর্ত বীজগণিত হিসেবে সাধারণীকৃত হয়। কম্পিউটারের উন্নয়ন গাউসিয়ান এলিমিনেশন এবং ম্যাট্রিক্স ডিকম্পোজিশনের জন্য দক্ষ অ্যালগরিদমের গবেষণাকে বাড়িয়ে তোলে এবং রৈখিক বীজগণিত মডেলিং ও সিমুলেশনের জন্য একটি অপরিহার্য হাতিয়ার হয়ে ওঠে।

ভেক্টর জগত

মূল নিবন্ধ: Vector space ঊনবিংশ শতাব্দী পর্যন্ত, রৈখিক বীজগণিত রৈখিক সমীকরণ সিস্টেম এবং ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে প্রবর্তিত হতো। আধুনিক গণিতে, ভেক্টর জগতের মাধ্যমে উপস্থাপনা সাধারণত পছন্দ করা হয়, কারণ এটি আরও সিন্থেটিক, আরও সাধারণ (সসীম-মাত্রিক ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ নয়) এবং ধারণাগতভাবে সহজ, যদিও আরও বিমূর্ত।

একটি ক্ষেত্র F-এর উপর একটি ভেক্টর জগত (প্রায়শই বাস্তব সংখ্যা বা জটিল সংখ্যা-এর ক্ষেত্র) হলো একটি সেট V যা দুটি বাইনারি অপারেশন দ্বারা সজ্জিত। V-এর উপাদানগুলোকে ভেক্টর বলা হয় এবং F-এর উপাদানগুলোকে স্কেলার বলা হয়। প্রথম অপারেশন, ভেক্টর যোগ, যেকোনো দুটি ভেক্টর v এবং w নেয় এবং একটি তৃতীয় ভেক্টর v + w আউটপুট দেয়। দ্বিতীয় অপারেশন, স্কেলার গুণন, যেকোনো স্কেলার a এবং যেকোনো ভেক্টর v নেয় এবং একটি নতুন ভেক্টর av আউটপুট দেয়। যোগ এবং স্কেলার গুণনকে যে স্বতঃসিদ্ধগুলো পূরণ করতে হয় তা নিচে দেওয়া হলো। (নিচের তালিকায়, u, v এবং w হলো V-এর ইচ্ছামাফিক উপাদান এবং a ও b হলো ক্ষেত্র F-এর ইচ্ছামাফিক স্কেলার।)

স্বতঃসিদ্ধ	তাৎপর্য
যোগের সহযোজন বিধি	1=u + (v + w) = (u + v) + w
যোগের বিনিময় বিধি	1=u + v = v + u
যোগের অভেদক উপাদান	V-তে একটি উপাদান 0 বিদ্যমান, যাকে শূন্য ভেক্টর (বা কেবল শূন্য) বলা হয়, যাতে V-এর সকল v-এর জন্য 1=v + 0 = v হয়।
যোগের বিপরীত উপাদান	V-এর প্রতিটি v-এর জন্য, V-তে একটি উপাদান −v বিদ্যমান, যাকে v-এর যোগাত্মক বিপরীত বলা হয়, যাতে 1=v + (−v) = 0 হয়।
ভেক্টর যোগের সাপেক্ষে স্কেলার গুণনের বন্টন বিধি	1=a(u + v) = au + av
ক্ষেত্র যোগের সাপেক্ষে স্কেলার গুণনের বন্টন বিধি	1=(a + b)v = av + bv
ক্ষেত্র গুণনের সাথে স্কেলার গুণনের সামঞ্জস্য	1=a(bv) = (ab)v
স্কেলার গুণনের অভেদক উপাদান	1=1v = v, যেখানে 1 হলো F-এর গুণাত্মক অভেদক।

প্রথম চারটি স্বতঃসিদ্ধের অর্থ হলো V যোগের অধীনে একটি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ।

একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর জগতের উপাদানগুলোর প্রকৃতি বিভিন্ন হতে পারে; উদাহরণস্বরূপ, সেগুলো টুপল, অনুক্রম, ফাংশন, বহুপদী বা ম্যাট্রিক্স হতে পারে। রৈখিক বীজগণিত এমন বস্তুর বৈশিষ্ট্য নিয়ে কাজ করে যা সকল ভেক্টর জগতের জন্য সাধারণ।

রৈখিক চিত্র

মূল নিবন্ধ: Linear map রৈখিক চিত্র (Linear maps) হলো ভেক্টর জগতের মধ্যে ম্যাপিং যা ভেক্টর-জগতের কাঠামো বজায় রাখে। একটি ক্ষেত্র F-এর উপর দুটি ভেক্টর জগত V এবং W দেওয়া থাকলে, একটি রৈখিক চিত্র (কিছু ক্ষেত্রে রৈখিক রূপান্তর বা রৈখিক ম্যাপিংও বলা হয়) হলো একটি ম্যাপ $$T:V\to W$$ যা যোগ এবং স্কেলার গুণনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, অর্থাৎ

$$T(\mathbf{𝐮}+\mathbf{𝐯})=T(\mathbf{𝐮})+T(\mathbf{𝐯}),T(a\mathbf{𝐯})=aT(\mathbf{𝐯})$$

V-এর যেকোনো ভেক্টর u,v এবং F-এর স্কেলার a-এর জন্য।

একটি সমতুল্য শর্ত হলো

$$T(a\mathbf{𝐮}+b\mathbf{𝐯})=aT(\mathbf{𝐮})+bT(\mathbf{𝐯})$$

V-এর যেকোনো ভেক্টর u, v এবং F-এর স্কেলার a, b-এর জন্য।

যখন 1=V = W একই ভেক্টর জগত হয়, তখন একটি রৈখিক চিত্র T : V → V-কে V-এর ওপর একটি রৈখিক অপারেটর বলা হয়।

দুটি ভেক্টর জগতের মধ্যে একটি বাইজেক্টিভ রৈখিক চিত্র (অর্থাৎ, দ্বিতীয় জগতের প্রতিটি ভেক্টর প্রথম জগতের ঠিক একটি ভেক্টরের সাথে যুক্ত) হলো একটি আইসোমরফিজম। যেহেতু একটি আইসোমরফিজম রৈখিক কাঠামো বজায় রাখে, তাই দুটি আইসোমরফিক ভেক্টর জগত রৈখিক বীজগণিতের দৃষ্টিকোণ থেকে "মূলত একই", এই অর্থে যে ভেক্টর জগতের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে তাদের আলাদা করা যায় না। রৈখিক বীজগণিতের একটি অপরিহার্য প্রশ্ন হলো একটি রৈখিক চিত্র আইসোমরফিজম কি না তা পরীক্ষা করা এবং যদি এটি আইসোমরফিজম না হয়, তবে এর রেঞ্জ (বা ইমেজ) এবং শূন্য ভেক্টরের সাথে ম্যাপ করা উপাদানগুলোর সেট খুঁজে বের করা, যাকে ম্যাপের কার্নেল বলা হয়। এই সব প্রশ্নের সমাধান গাউসিয়ান এলিমিনেশন বা এই অ্যালগরিদমের কোনো রূপ ব্যবহার করে করা যেতে পারে।

সাবস্পেস, স্প্যান এবং ভিত্তি

মূল নিবন্ধ: Linear subspace, Linear span, Basis (linear algebra) ভেক্টর জগতের সেই উপসেটগুলোর অধ্যয়ন যা প্ররোচিত অপারেশনের অধীনে নিজেরাই ভেক্টর জগত, তা মৌলিক, অনেক গাণিতিক কাঠামোর মতোই। এই উপসেটগুলোকে রৈখিক সাবস্পেস বলা হয়। আরও স্পষ্টভাবে, একটি ক্ষেত্র F-এর উপর একটি ভেক্টর জগত V-এর একটি রৈখিক সাবস্পেস হলো V-এর একটি উপসেট W যাতে u + v এবং au W-তে থাকে, W-এর প্রতিটি u, v-এর জন্য এবং F-এর প্রতিটি a-এর জন্য। (এই শর্তগুলোই যথেষ্ট এটি বোঝানোর জন্য যে W একটি ভেক্টর জগত।)

উদাহরণস্বরূপ, একটি রৈখিক চিত্র T : V → W দেওয়া থাকলে, V-এর ইমেজ T(V) এবং 0-এর বিপরীত ইমেজ T⁻¹(0) (যাকে কার্নেল বা নাল স্পেস বলা হয়), যথাক্রমে W এবং V-এর রৈখিক সাবস্পেস।

সাবস্পেস গঠনের আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ উপায় হলো ভেক্টরের একটি সেট S-এর রৈখিক সমাবেশ বিবেচনা করা: সমস্ত যোগফলের সেট $$a_1{\mathbf{𝐯}}_1+a_2{\mathbf{𝐯}}_2+\cdots +a_k{\mathbf{𝐯}}_k,$$ যেখানে v₁, v₂, ..., v_k S-এ আছে এবং a₁, a₂, ..., a_k F-এ আছে, একটি রৈখিক সাবস্পেস গঠন করে যাকে S-এর স্প্যান বলা হয়। S-এর স্প্যান হলো S-কে ধারণকারী সকল রৈখিক সাবস্পেসের ছেদ। অন্য কথায়, এটি S-কে ধারণকারী ক্ষুদ্রতম (অন্তর্ভুক্তি সম্পর্কের জন্য) রৈখিক সাবস্পেস।

ভেক্টরের একটি সেট রৈখিক স্বাধীন যদি কোনোটিই অন্যদের স্প্যানে না থাকে। সমতুল্যভাবে, ভেক্টরের একটি সেট S রৈখিক স্বাধীন যদি S-এর উপাদানগুলোর রৈখিক সমাবেশ হিসেবে শূন্য ভেক্টর প্রকাশ করার একমাত্র উপায় হলো প্রতিটি সহগ a_i-এর জন্য শূন্য নেওয়া।

ভেক্টরের একটি সেট যা একটি ভেক্টর জগতকে স্প্যান করে তাকে স্প্যানিং সেট বা উৎপাদনকারী সেট বলা হয়। যদি একটি স্প্যানিং সেট S রৈখিক নির্ভরশীল হয় (অর্থাৎ রৈখিক স্বাধীন নয়), তবে S-এর কিছু উপাদান w অন্য উপাদানগুলোর স্প্যানে থাকে এবং যদি কেউ S থেকে w সরিয়ে ফেলে তবে স্প্যান একই থাকবে। কেউ S-এর উপাদানগুলো সরিয়ে ফেলা চালিয়ে যেতে পারে যতক্ষণ না একটি রৈখিক স্বাধীন স্প্যানিং সেট পাওয়া যায়। এমন একটি রৈখিক স্বাধীন সেট যা একটি ভেক্টর জগত V-কে স্প্যান করে তাকে V-এর একটি ভিত্তি বলা হয়। ভিত্তির গুরুত্ব এই সত্যে নিহিত যে এগুলো একই সাথে ন্যূনতম-উৎপাদনকারী সেট এবং সর্বোচ্চ স্বাধীন সেট। আরও স্পষ্টভাবে, যদি S একটি রৈখিক স্বাধীন সেট হয় এবং T একটি স্প্যানিং সেট হয় যাতে S ⊆ T, তবে একটি ভিত্তি B বিদ্যমান যাতে S ⊆ B ⊆ T।

একটি ভেক্টর জগত V-এর যেকোনো দুটি ভিত্তির একই কার্ডিনালিটি থাকে, যাকে V-এর মাত্রা বলা হয়; এটি হলো ভেক্টর জগতের জন্য মাত্রা উপপাদ্য। অধিকন্তু, একই ক্ষেত্র F-এর উপর দুটি ভেক্টর জগত আইসোমরফিক যদি এবং কেবল যদি তাদের মাত্রা সমান হয়।

যদি V-এর কোনো ভিত্তির (এবং তাই প্রতিটি ভিত্তির) সসীম সংখ্যক উপাদান থাকে, তবে V হলো একটি সসীম-মাত্রিক ভেক্টর জগত। যদি U V-এর একটি সাবস্পেস হয়, তবে dim U ≤ dim V। যে ক্ষেত্রে V সসীম-মাত্রিক, মাত্রার সমতা 1=U = V নির্দেশ করে।

যদি U₁ এবং U₂ V-এর সাবস্পেস হয়, তবে $$\dim (U_1+U_2)=\dim U_1+\dim U_2-\dim (U_1\cap U_2),$$ যেখানে U₁ + U₂ U₁ ∪ U₂-এর স্প্যান নির্দেশ করে।

ম্যাট্রিক্স

মূল নিবন্ধ: Matrix (mathematics)

ম্যাট্রিক্স সসীম-মাত্রিক ভেক্টর জগত এবং রৈখিক চিত্র-এর স্পষ্ট ম্যানিপুলেশন অনুমোদন করে। তাই এদের তত্ত্ব রৈখিক বীজগণিতের একটি অপরিহার্য অংশ।

ধরা যাক V একটি ক্ষেত্র F-এর উপর একটি সসীম-মাত্রিক ভেক্টর জগত এবং (v₁, v₂, ..., v_m) V-এর একটি ভিত্তি (সুতরাং m হলো V-এর মাত্রা)। ভিত্তির সংজ্ঞা অনুযায়ী, ম্যাপ $$\begin{array}{rl}(a_1,\dots ,a_m)& \mapsto a_1{\mathbf{𝐯}}_1+\cdots a_m{\mathbf{𝐯}}_m\\ F^m& \to V\end{array}$$ হলো F^m থেকে V-এর একটি বাইজেকশন, যেখানে F^m হলো F-এর m উপাদানের অনুক্রমের সেট। এটি ভেক্টর জগতের একটি আইসোমরফিজম, যদি F^m তার ভেক্টর জগতের আদর্শ কাঠামো দ্বারা সজ্জিত থাকে, যেখানে ভেক্টর যোগ এবং স্কেলার গুণন উপাদান অনুযায়ী করা হয়।

এই আইসোমরফিজম একটি ভেক্টরকে এই আইসোমরফিজমের অধীনে তার বিপরীত ইমেজ দ্বারা উপস্থাপন করার অনুমতি দেয়, অর্থাৎ স্থানাঙ্ক ভেক্টর (a₁, ..., a_m) দ্বারা বা কলাম ম্যাট্রিক্স $$\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right]$$ দ্বারা।

যদি W আরেকটি সসীম মাত্রিক ভেক্টর জগত হয় (সম্ভবত একই), একটি ভিত্তি (w₁, ..., w_n) সহ, W থেকে V-তে একটি রৈখিক চিত্র f ভিত্তির উপাদানগুলোর ওপর তার মান দ্বারা সুসংজ্ঞায়িত হয়, অর্থাৎ (f(w₁), ..., f(w_n))। সুতরাং, f সংশ্লিষ্ট কলাম ম্যাট্রিক্সের তালিকা দ্বারা ভালোভাবে উপস্থাপিত হয়। অর্থাৎ, যদি $$f(w_j)=a_{1,j}{v}_1+\cdots +a_{m,j}{v}_m,$$ 1=j = 1, ..., n-এর জন্য, তবে f ম্যাট্রিক্স দ্বারা উপস্থাপিত হয় $$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right],$$ m সারি এবং n কলামসহ।

ম্যাট্রিক্স গুণন এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল হলো সংশ্লিষ্ট রৈখিক চিত্রের কম্পোজিশনের ম্যাট্রিক্স এবং একটি ম্যাট্রিক্স ও একটি কলাম ম্যাট্রিক্সের গুণফল হলো উপস্থাপিত ভেক্টরের ওপর উপস্থাপিত রৈখিক চিত্র প্রয়োগের ফলাফল নির্দেশকারী কলাম ম্যাট্রিক্স। এটি অনুসরণ করে যে সসীম-মাত্রিক ভেক্টর জগতের তত্ত্ব এবং ম্যাট্রিক্সের তত্ত্ব একই ধারণা প্রকাশের জন্য দুটি ভিন্ন ভাষা।

দুটি ম্যাট্রিক্স যা ভিন্ন ভিত্তিতে একই রৈখিক রূপান্তর এনকোড করে তাদের সদৃশ বলা হয়। এটি প্রমাণ করা যায় যে দুটি ম্যাট্রিক্স সদৃশ যদি এবং কেবল যদি কেউ প্রাথমিক সারি এবং কলাম অপারেশন দ্বারা একটিকে অন্যটিতে রূপান্তর করতে পারে। W থেকে V-তে একটি রৈখিক চিত্র উপস্থাপনকারী ম্যাট্রিক্সের জন্য, সারি অপারেশনগুলো V-তে ভিত্তির পরিবর্তন এবং কলাম অপারেশনগুলো W-তে ভিত্তির পরিবর্তনের সাথে মিলে যায়। প্রতিটি ম্যাট্রিক্স একটি অভেদক ম্যাট্রিক্সের সদৃশ যা সম্ভবত শূন্য সারি এবং শূন্য কলাম দ্বারা পরিবেষ্টিত। ভেক্টর জগতের পরিপ্রেক্ষিতে, এর অর্থ হলো, W থেকে V-তে যেকোনো রৈখিক চিত্রের জন্য, এমন ভিত্তি আছে যাতে W-এর ভিত্তির একটি অংশ V-এর ভিত্তির একটি অংশের ওপর বাইজেক্টিভভাবে ম্যাপ করা হয় এবং W-এর অবশিষ্ট ভিত্তির উপাদানগুলো, যদি থাকে, শূন্যতে ম্যাপ করা হয়। গাউসিয়ান এলিমিনেশন হলো এই প্রাথমিক অপারেশনগুলো খুঁজে বের করার এবং এই ফলাফলগুলো প্রমাণ করার মৌলিক অ্যালগরিদম।

রৈখিক সিস্টেম

মূল নিবন্ধ: System of linear equations সসীম সংখ্যক চলকের সসীম সংখ্যক রৈখিক সমীকরণ, উদাহরণস্বরূপ, x₁, x₂, ..., x_n, বা x, y, ..., z-কে একটি রৈখিক সমীকরণ সিস্টেম বা রৈখিক সিস্টেম বলা হয়।

রৈখিক সমীকরণ সিস্টেম রৈখিক বীজগণিতের একটি মৌলিক অংশ গঠন করে। ঐতিহাসিকভাবে, রৈখিক বীজগণিত এবং ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব এমন সিস্টেম সমাধানের জন্য তৈরি করা হয়েছে। ভেক্টর জগত এবং ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে রৈখিক বীজগণিতের আধুনিক উপস্থাপনায়, অনেক সমস্যা রৈখিক সিস্টেমের পরিপ্রেক্ষিতে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক S একটি রৈখিক সিস্টেম।

এমন একটি সিস্টেমের সাথে, কেউ তার ম্যাট্রিক্স $$M=\left[\begin{array}{rrr}2& 1& -1\\ -3& -1& 2\\ -2& 1& 2\end{array}\right].$$ এবং তার ডানদিকের সদস্য ভেক্টর $$\mathbf{𝐯}=\left[\begin{array}{c}8\\ -11\\ -3\end{array}\right].$$ যুক্ত করতে পারে।

ধরা যাক T হলো ম্যাট্রিক্স M-এর সাথে সংশ্লিষ্ট রৈখিক রূপান্তর। সিস্টেমের (S) একটি সমাধান হলো একটি ভেক্টর $$\mathbf{𝐗}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$ যাতে $$T(\mathbf{𝐗})=\mathbf{𝐯},$$ অর্থাৎ T দ্বারা v-এর প্রি-ইমেজ-এর একটি উপাদান।

ধরা যাক (S′) হলো সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় রৈখিক সমীকরণ সিস্টেম, যেখানে সমীকরণের ডানদিকের অংশগুলো শূন্য করা হয়েছে:

S′

(S′)-এর সমাধানগুলো ঠিক T বা সমতুল্যভাবে M-এর কার্নেলের উপাদান।

গাউসিয়ান-এলিমিনেশন গঠিত হয় অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্স-এর ওপর প্রাথমিক সারি অপারেশন সম্পাদন করে $$\left[\begin{array}{cc}M& \mathbf{𝐯}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrrr}2& 1& -1& 8\\ -3& -1& 2& -11\\ -2& 1& 2& -3\end{array}\right]$$ সেটিকে রিডিউসড রো ইচেলন ফর্ম-এ আনার জন্য। এই সারি অপারেশনগুলো সমীকরণ সিস্টেমের সমাধানের সেট পরিবর্তন করে না। উদাহরণে, রিডিউসড ইচেলন ফর্ম হলো $$\left[\begin{array}{cc}M& \mathbf{𝐯}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrrr}1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& 3\\ 0& 0& 1& -1\end{array}\right],$$ যা দেখায় যে সিস্টেম (S)-এর অনন্য সমাধান হলো $$\begin{array}{rl}x& =2\\ y& =3\\ z& =-1.\end{array}$$

আরও সাধারণভাবে, $n$ চলকের $m$ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম এভাবে লেখা যেতে পারে $A\mathbf{𝐱}=\mathbf{𝐛}$ যেখানে $$\begin{array}{rl}A& =(a_{ij}{)}_{m\times n}\\ \mathbf{𝐱}& =\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\\ \mathbf{𝐛}& =\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]\end{array}$$

যদি $m=n$ হয় এবং ম্যাট্রিক্স $A$ ইনভার্টিবল হয়, তবে সিস্টেমটির অনন্য সমাধান হলো $\mathbf{𝐱}=A^{-1}\mathbf{𝐛}$।

রৈখিক সিস্টেমের এই ম্যাট্রিক্স ব্যাখ্যা থেকে এটি অনুসরণ করে যে একই পদ্ধতি রৈখিক সিস্টেম সমাধানের জন্য এবং ম্যাট্রিক্স ও রৈখিক রূপান্তরের অনেক অপারেশনের জন্য প্রয়োগ করা যেতে পারে, যার মধ্যে র‍্যাঙ্ক, কার্নেল, ম্যাট্রিক্স ইনভার্স গণনা অন্তর্ভুক্ত।

এন্ডোমরফিজম এবং বর্গ ম্যাট্রিক্স

মূল নিবন্ধ: Square matrix একটি রৈখিক এন্ডোমরফিজম হলো একটি রৈখিক চিত্র যা একটি ভেক্টর জগত V-কে নিজের ওপর ম্যাপ করে। যদি V-এর n উপাদানের একটি ভিত্তি থাকে, তবে এমন একটি এন্ডোমরফিজম n আকারের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স দ্বারা উপস্থাপিত হয়।

সাধারণ রৈখিক চিত্র, রৈখিক এন্ডোমরফিজম এবং বর্গ ম্যাট্রিক্সের কিছু নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা তাদের অধ্যয়নকে রৈখিক বীজগণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ করে তোলে, যা জ্যামিতিক রূপান্তর, স্থানাঙ্ক পরিবর্তন, দ্বিঘাত রূপ এবং গণিতের অনেক অংশে ব্যবহৃত হয়।

নির্ণায়ক

মূল নিবন্ধ: Determinant একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A-এর নির্ণায়ক সংজ্ঞায়িত করা হয় এভাবে $$\sum _{\sigma \in S_n}(-1{)}^{\sigma }{a}_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)},$$ যেখানে S_n হলো n উপাদানের সকল পারমুটেশনের গ্রুপ, σ একটি পারমুটেশন এবং (−1)^σ পারমুটেশনের প্যারিটি। একটি ম্যাট্রিক্স ইনভার্টিবল যদি এবং কেবল যদি নির্ণায়ক ইনভার্টিবল হয় (অর্থাৎ স্কেলারগুলো যদি কোনো ক্ষেত্রের অন্তর্গত হয় তবে অশূন্য)।

ক্রেমারের নিয়ম হলো n অজ্ঞাত রাশির n রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের নির্ণায়কের পরিপ্রেক্ষিতে একটি ক্লোজড-ফর্ম এক্সপ্রেশন। ক্রেমারের নিয়ম সমাধান সম্পর্কে যুক্তির জন্য দরকারী, কিন্তু 1=n = 2 বা 3 ছাড়া, এটি সমাধানের গণনার জন্য খুব কমই ব্যবহৃত হয়, কারণ গাউসিয়ান এলিমিনেশন একটি দ্রুততর অ্যালগরিদম।

একটি এন্ডোমরফিজমের নির্ণায়ক হলো কোনো একটি ক্রমিত ভিত্তির পরিপ্রেক্ষিতে এন্ডোমরফিজম উপস্থাপনকারী ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক। এই সংজ্ঞাটি অর্থপূর্ণ কারণ এই নির্ণায়ক ভিত্তির পছন্দের ওপর নির্ভর করে না।

আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর

মূল নিবন্ধ: Eigenvalues and eigenvectors যদি f একটি ক্ষেত্র F-এর উপর একটি ভেক্টর জগত V-এর একটি রৈখিক এন্ডোমরফিজম হয়, তবে f-এর একটি আইগেনভেক্টর হলো V-এর একটি অশূন্য ভেক্টর v যাতে 1=f(v) = av হয়, F-এর কিছু স্কেলার a-এর জন্য। এই স্কেলার a হলো f-এর একটি আইগেনভ্যালু।

যদি V-এর মাত্রা সসীম হয় এবং একটি ভিত্তি নির্বাচন করা হয়, তবে f এবং v যথাক্রমে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স M এবং একটি কলাম ম্যাট্রিক্স z দ্বারা উপস্থাপিত হতে পারে; আইগেনভেক্টর এবং আইগেনভ্যালু সংজ্ঞায়িত সমীকরণটি হয় $$Mz=az.$$ অভেদক ম্যাট্রিক্স I ব্যবহার করে, যার এন্ট্রিগুলো সব শূন্য, প্রধান কর্ণ ছাড়া, যা একের সমান, এটি পুনরায় লেখা যেতে পারে $$(M-aI)z=0.$$ যেহেতু z অশূন্য বলে ধরে নেওয়া হয়েছে, এর অর্থ হলো M – aI একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স এবং তাই এর নির্ণায়ক det (M − aI) শূন্যের সমান। আইগেনভ্যালুগুলো তাই বহুপদীর মূল $$\det (xI-M).$$ যদি V n মাত্রার হয়, তবে এটি n ঘাতের একটি মোনিক বহুপদী, যাকে ম্যাট্রিক্সের (বা এন্ডোমরফিজমের) ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী বলা হয় এবং সেখানে সর্বোচ্চ n টি আইগেনভ্যালু থাকে।

যদি এমন একটি ভিত্তি বিদ্যমান থাকে যা কেবল আইগেনভেক্টর নিয়ে গঠিত, তবে এই ভিত্তির ওপর f-এর ম্যাট্রিক্সের একটি খুব সহজ কাঠামো থাকে: এটি একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স যাতে প্রধান কর্ণের এন্ট্রিগুলো আইগেনভ্যালু এবং অন্য এন্ট্রিগুলো শূন্য। এই ক্ষেত্রে, এন্ডোমরফিজম এবং ম্যাট্রিক্সকে ডায়াগোনালাইজেবল বলা হয়। আরও সাধারণভাবে, একটি এন্ডোমরফিজম এবং একটি ম্যাট্রিক্সকেও ডায়াগোনালাইজেবল বলা হয়, যদি তারা স্কেলারের ক্ষেত্র সম্প্রসারণের পরে ডায়াগোনালাইজেবল হয়। এই সম্প্রসারিত অর্থে, যদি ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী স্কয়ার-ফ্রি হয়, তবে ম্যাট্রিক্সটি ডায়াগোনালাইজেবল।

একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স সর্বদা ডায়াগোনালাইজেবল। অ-ডায়াগোনালাইজেবল ম্যাট্রিক্সও আছে, যার মধ্যে সহজতম হলো $$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$$ (এটি ডায়াগোনালাইজেবল হতে পারে না কারণ এর বর্গ হলো শূন্য ম্যাট্রিক্স এবং একটি অশূন্য কর্ণ ম্যাট্রিক্সের বর্গ কখনোই শূন্য হয় না)।

যখন একটি এন্ডোমরফিজম কর্ণীকরণযোগ্য (diagonalizable) হয় না, তখন এমন ভিত্তি (basis) থাকে যার সাপেক্ষে এটি একটি সরল রূপ ধারণ করে, যদিও তা কর্ণ রূপের (diagonal form) মতো অতটা সরল নয়। ফ্রোবেনিয়াস নর্মাল ফর্ম-এর ক্ষেত্রে স্কেলারের ক্ষেত্রকে (field of scalars) প্রসারিত করার প্রয়োজন হয় না এবং এটি ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যসূচক বহুপদীকে (characteristic polynomial) সরাসরি পাঠযোগ্য করে তোলে। জর্ডান নর্মাল ফর্ম-এর ক্ষেত্রে সমস্ত আইগেনমান ধারণ করার জন্য স্কেলারের ক্ষেত্রকে প্রসারিত করার প্রয়োজন হয় এবং এটি কর্ণ রূপ থেকে কেবল প্রধান কর্ণের ঠিক উপরের কিছু ভুক্তি দ্বারা পৃথক হয়, যেগুলোর মান ১।

দ্বৈততা

মূল নিবন্ধ: Dual space একটি রৈখিক রূপান্তর (linear form) হলো একটি ক্ষেত্র F-এর ওপর সংজ্ঞায়িত একটি ভেক্টর স্পেস V থেকে সেই একই ক্ষেত্র F-এর (যা নিজেই নিজের ওপর একটি ভেক্টর স্পেস হিসেবে বিবেচিত) একটি রৈখিক মানচিত্র। বিন্দুভিত্তিক যোগ এবং স্কেলার গুণনের মাধ্যমে, রৈখিক রূপান্তরগুলো একটি ভেক্টর স্পেস গঠন করে, যাকে V-এর দ্বৈত স্পেস (dual space) বলা হয় এবং সাধারণত V* বা V দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

যদি v₁, ..., v_n হলো V-এর একটি ভিত্তি (এর অর্থ V সসীম-মাত্রিক), তবে 1=i = 1, ..., n-এর জন্য এমন একটি রৈখিক মানচিত্র v_i* সংজ্ঞায়িত করা যায় যেখানে v_i*(v_i) = 1 এবং যদি j ≠ i হয় তবে v_i*(v_j) = 0। এই রৈখিক মানচিত্রগুলো V*-এর একটি ভিত্তি গঠন করে, যাকে v₁, ..., v_n-এর দ্বৈত ভিত্তি (dual basis) বলা হয়। (যদি V সসীম-মাত্রিক না হয়, তবে v_i*-কে একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে; তারা রৈখিকভাবে স্বাধীন, কিন্তু ভিত্তি গঠন করে না।)

V-এর যেকোনো v-এর জন্য, মানচিত্র $$f\to f(\mathbf{𝐯})$$ হলো V*-এর ওপর একটি রৈখিক রূপান্তর। এটি V থেকে (V*)*-এ (যা V*-এর দ্বৈত) একটি ক্যানোনিকাল রৈখিক মানচিত্র সংজ্ঞায়িত করে, যাকে V-এর দ্বৈতের দ্বৈত (double dual) বা বিডুয়াল (bidual) বলা হয়। যদি V সসীম-মাত্রিক হয়, তবে এই ক্যানোনিকাল মানচিত্রটি একটি আইসোমরফিজম হয় এবং এটি V-কে তার বিডুয়ালের সাথে অভিন্ন হিসেবে চিহ্নিত করার সুযোগ দেয়। (অসীম-মাত্রিক ক্ষেত্রে, ক্যানোনিকাল মানচিত্রটি ইনজেক্টিভ, কিন্তু সারজেক্টিভ নয়।)

সুতরাং, একটি সসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস এবং তার দ্বৈতের মধ্যে একটি পূর্ণ প্রতিসাম্য বিদ্যমান। এটি এই প্রেক্ষাপটে ব্রা-কেট নোটেশন-এর ঘন ঘন ব্যবহারের প্রেরণা জোগায়: $$⟨f,\mathbf{𝐱}⟩$$ যা f(x)-কে নির্দেশ করে।

দ্বৈত মানচিত্র

মূল নিবন্ধ: Transpose of a linear map

ধরা যাক, $$f:V\to W$$ একটি রৈখিক মানচিত্র। W-এর ওপর প্রতিটি রৈখিক রূপান্তর h-এর জন্য, যৌগিক ফাংশন h ∘ f হলো V-এর ওপর একটি রৈখিক রূপান্তর। এটি দ্বৈত স্পেসগুলোর মধ্যে একটি রৈখিক মানচিত্র সংজ্ঞায়িত করে: $$f^{*}:W^{*}\to V^{*}$$ যাকে f-এর দ্বৈত বা ট্রান্সপোজ বলা হয়।

যদি V এবং W সসীম-মাত্রিক হয় এবং M কোনো নির্দিষ্ট ভিত্তির সাপেক্ষে f-এর ম্যাট্রিক্স হয়, তবে দ্বৈত ভিত্তির সাপেক্ষে f*-এর ম্যাট্রিক্স হবে M-এর ট্রান্সপোজ M^T, যা সারি এবং কলাম বিনিময়ের মাধ্যমে পাওয়া যায়।

যদি ভেক্টর স্পেস এবং তাদের দ্বৈতের উপাদানগুলোকে কলাম ভেক্টর দ্বারা উপস্থাপন করা হয়, তবে এই দ্বৈততাকে ব্রা-কেট নোটেশন-এ এভাবে প্রকাশ করা যায়: $$⟨h^{\mathsf{T}},M\mathbf{𝐯}⟩=⟨h^{\mathsf{T}}M,\mathbf{𝐯}⟩.$$ এই প্রতিসাম্যকে তুলে ধরার জন্য, সমতার এই দুটি অংশকে কখনও কখনও এভাবে লেখা হয়: $$⟨h^{\mathsf{T}}\mid M\mid \mathbf{𝐯}⟩.$$

ইনার-প্রোডাক্ট স্পেস

মূল নিবন্ধ: Inner product space

এই মৌলিক ধারণাগুলো ছাড়াও, রৈখিক বীজগণিত অতিরিক্ত কাঠামোযুক্ত ভেক্টর স্পেস নিয়ে আলোচনা করে, যেমন ইনার প্রোডাক্ট। ইনার প্রোডাক্ট হলো বিলিনিয়ার ফর্ম-এর একটি উদাহরণ এবং এটি দৈর্ঘ্য ও কোণ সংজ্ঞায়িত করার সুযোগ দিয়ে ভেক্টর স্পেসকে একটি জ্যামিতিক কাঠামো প্রদান করে। আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি 'ইনার প্রোডাক্ট' হলো একটি মানচিত্র:

$$⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to F$$

যা V-এর সকল ভেক্টর u, v, w এবং F-এর সকল স্কেলার a-এর জন্য নিচের তিনটি স্বতঃসিদ্ধ (axiom) মেনে চলে:

• কনজুগেট প্রতিসাম্য: $$⟨\mathbf{𝐮},\mathbf{𝐯}⟩=\overline{⟨\mathbf{𝐯},\mathbf{𝐮}⟩}.$$ $\mathbb{ℝ}$-এর ক্ষেত্রে এটি প্রতিসম।
• প্রথম আর্গুমেন্টে রৈখিকতা (Linearity): $$\begin{array}{rl}⟨a\mathbf{𝐮},\mathbf{𝐯}⟩& =a⟨\mathbf{𝐮},\mathbf{𝐯}⟩.\\ ⟨\mathbf{𝐮}+\mathbf{𝐯},\mathbf{𝐰}⟩& =⟨\mathbf{𝐮},\mathbf{𝐰}⟩+⟨\mathbf{𝐯},\mathbf{𝐰}⟩.\end{array}$$
• পজিটিভ-ডেফিনিটনেস: $$⟨\mathbf{𝐯},\mathbf{𝐯}⟩\ge 0$$ এবং শুধুমাত্র v = 0-এর ক্ষেত্রেই সমতা বজায় থাকে।

আমরা V-তে একটি ভেক্টর v-এর দৈর্ঘ্য সংজ্ঞায়িত করতে পারি এভাবে: $$\Vert \mathbf{𝐯}{\Vert }^2=⟨\mathbf{𝐯},\mathbf{𝐯}⟩,$$ এবং আমরা কোশি-শোয়ার্জ অসমতা প্রমাণ করতে পারি: $$|⟨\mathbf{𝐮},\mathbf{𝐯}⟩|\le \Vert \mathbf{𝐮}\Vert \cdot \Vert \mathbf{𝐯}\Vert .$$

বিশেষভাবে, রাশিটি $$\frac{|⟨\mathbf{𝐮},\mathbf{𝐯}⟩|}{\Vert \mathbf{𝐮}\Vert \cdot \Vert \mathbf{𝐯}\Vert }\le 1,$$ এবং তাই আমরা এই রাশিটিকে দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন (cosine) বলতে পারি।

দুটি ভেক্টর লম্ব (orthogonal) হয় যদি ⟨u, v⟩ = 0 হয়। একটি অর্থোনরমাল ভিত্তি হলো এমন একটি ভিত্তি যেখানে সমস্ত ভিত্তি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য ১ এবং তারা একে অপরের ওপর লম্ব। যেকোনো সসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসের ক্ষেত্রে, গ্রাম-শমিট পদ্ধতির মাধ্যমে একটি অর্থোনরমাল ভিত্তি খুঁজে পাওয়া যায়। অর্থোনরমাল ভিত্তির সাথে কাজ করা বিশেষভাবে সহজ, কারণ যদি 1=v = a₁ v₁ + ⋯ + a_n v_n হয়, তবে $$a_i=⟨\mathbf{𝐯},{\mathbf{𝐯}}_i⟩.$$

ইনার প্রোডাক্ট অনেক দরকারী ধারণার গঠনকে সহজতর করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি রূপান্তর T-এর জন্য, আমরা এর হারমিশিয়ান কনজুগেট T*-কে এমন একটি রৈখিক রূপান্তর হিসেবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি যা মেনে চলে: $$⟨T\mathbf{𝐮},\mathbf{𝐯}⟩=⟨\mathbf{𝐮},T^{*}\mathbf{𝐯}⟩.$$ যদি T শর্ত TT* = T*T মেনে চলে, তবে আমরা T-কে নরমাল বলি। দেখা যায় যে, নরমাল ম্যাট্রিক্সগুলোই হলো সেই ম্যাট্রিক্স যাদের আইগেনভেক্টরের একটি অর্থোনরমাল সিস্টেম আছে যা V-কে স্প্যান করে।

জ্যামিতির সাথে সম্পর্ক

রৈখিক বীজগণিত এবং জ্যামিতি-র মধ্যে একটি শক্তিশালী সম্পর্ক রয়েছে, যার সূচনা হয়েছিল ১৬৩৭ সালে রেনে দেকার্ত কর্তৃক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক প্রবর্তনের মাধ্যমে। এই নতুন (তৎকালীন) জ্যামিতিতে, যাকে এখন কার্তেসীয় জ্যামিতি বলা হয়, বিন্দুগুলোকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক দ্বারা উপস্থাপন করা হয়, যা তিনটি বাস্তব সংখ্যার ক্রম (সাধারণ ত্রিমাত্রিক স্পেস-এর ক্ষেত্রে)। জ্যামিতির মৌলিক বস্তু, যেমন রেখা এবং তল, রৈখিক সমীকরণ দ্বারা উপস্থাপিত হয়। সুতরাং, রেখা এবং তলের ছেদবিন্দু নির্ণয় করা মানেই রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম সমাধান করা। এটি রৈখিক বীজগণিত উন্নয়নের অন্যতম প্রধান প্রেরণা ছিল।

অধিকাংশ জ্যামিতিক রূপান্তর, যেমন ট্রান্সলেশন, ঘূর্ণন, প্রতিফলন, দৃঢ় বস্তু গতি, আইসোমেট্রি, এবং প্রক্ষেপণ রেখাকে রেখায় রূপান্তরিত করে। এর থেকে বোঝা যায় যে, এগুলোকে রৈখিক মানচিত্রের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত, নির্দিষ্ট এবং অধ্যয়ন করা যায়। হোমোগ্রাফি এবং মবিউস রূপান্তর-এর ক্ষেত্রেও এটি সত্য, যখন সেগুলোকে একটি প্রজেক্টিভ স্পেস-এর রূপান্তর হিসেবে বিবেচনা করা হয়।

১৯শ শতাব্দীর শেষ পর্যন্ত, জ্যামিতিক স্পেসগুলোকে বিন্দু, রেখা এবং তলের সাথে সম্পর্কিত স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হতো (সিন্থেটিক জ্যামিতি)। সেই সময়ের কাছাকাছি সময়ে, এটি প্রতীয়মান হয় যে ভেক্টর স্পেসের সাথে জড়িত নির্মাণের মাধ্যমেও জ্যামিতিক স্পেস সংজ্ঞায়িত করা যায় (উদাহরণস্বরূপ, দেখুন প্রজেক্টিভ স্পেস এবং অ্যাফাইন স্পেস)। এটি দেখানো হয়েছে যে এই দুটি পদ্ধতি মূলত সমতুল্য। ধ্রুপদী জ্যামিতিতে, সংশ্লিষ্ট ভেক্টর স্পেসগুলো বাস্তব সংখ্যার ওপর ভেক্টর স্পেস, কিন্তু এই নির্মাণগুলোকে যেকোনো ক্ষেত্রের ওপর ভেক্টর স্পেসে প্রসারিত করা যায়, যা সসীম ক্ষেত্রসহ যেকোনো ক্ষেত্রের ওপর জ্যামিতি বিবেচনার সুযোগ দেয়।

বর্তমানে, অধিকাংশ পাঠ্যপুস্তক রৈখিক বীজগণিত থেকে জ্যামিতিক স্পেসের পরিচয় দেয় এবং প্রাথমিক স্তরে জ্যামিতিকে প্রায়শই রৈখিক বীজগণিতের একটি উপক্ষেত্র হিসেবে উপস্থাপন করা হয়।

ব্যবহার এবং প্রয়োগ

রৈখিক বীজগণিত গণিতের প্রায় সকল ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যা একে গণিত ব্যবহারকারী প্রায় সকল বৈজ্ঞানিক ক্ষেত্রে প্রাসঙ্গিক করে তুলেছে। এই প্রয়োগগুলোকে কয়েকটি বিস্তৃত বিভাগে ভাগ করা যায়।

ফাংশনাল অ্যানালাইসিস

ফাংশনাল অ্যানালাইসিস ফাংশন স্পেস নিয়ে অধ্যয়ন করে। এগুলো হলো অতিরিক্ত কাঠামোযুক্ত ভেক্টর স্পেস, যেমন হিলবার্ট স্পেস। সুতরাং, রৈখিক বীজগণিত ফাংশনাল অ্যানালাইসিস এবং এর প্রয়োগের একটি মৌলিক অংশ, যার মধ্যে বিশেষভাবে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে কোয়ান্টাম মেকানিক্স (তরঙ্গ ফাংশন) এবং ফুরিয়ার বিশ্লেষণ (অর্থোগোনাল ভিত্তি)।

বৈজ্ঞানিক গণনা

প্রায় সকল বৈজ্ঞানিক গণনা-তে রৈখিক বীজগণিত জড়িত। ফলস্বরূপ, রৈখিক বীজগণিতের অ্যালগরিদমগুলোকে অত্যন্ত অপ্টিমাইজ করা হয়েছে। BLAS এবং LAPACK হলো এর সবচেয়ে পরিচিত বাস্তবায়ন। কার্যকারিতা উন্নত করার জন্য, এদের মধ্যে কিছু অ্যালগরিদম রান-টাইমে স্বয়ংক্রিয়ভাবে কনফিগার হয় যাতে কম্পিউটারের বৈশিষ্ট্যগুলোর (ক্যাশ সাইজ, উপলব্ধ মাল্টি-কোর প্রসেসর-এর সংখ্যা, ...) সাথে খাপ খাইয়ে নেওয়া যায়।

১৯৬০-এর দশক থেকে এমন প্রসেসর রয়েছে যেগুলোতে রৈখিক বীজগণিতের অপারেশনগুলোকে অপ্টিমাইজ করার জন্য বিশেষ নির্দেশাবলী এবং প্রচলিত প্রসেসরের নিয়ন্ত্রণে ঐচ্ছিক অ্যারে প্রসেসর রয়েছে, যা অ্যারে প্রসেসিংয়ের জন্য ডিজাইন করা হয়েছে, এবং ভেক্টর রেজিস্টারসহ প্রচলিত প্রসেসরগুলোকেও উন্নত করা হয়েছে।

কিছু সমসাময়িক প্রসেসর, সাধারণত গ্রাফিক্স প্রসেসিং ইউনিট (GPU), রৈখিক বীজগণিতের অপারেশনগুলোকে অপ্টিমাইজ করার জন্য ম্যাট্রিক্স কাঠামোসহ ডিজাইন করা হয়েছে।

পরিবেষ্টিত স্পেসের জ্যামিতি

পরিবেষ্টিত স্পেস-এর গাণিতিক মডেলিং জ্যামিতির ওপর ভিত্তি করে প্রতিষ্ঠিত। এই স্পেসের সাথে সংশ্লিষ্ট বিজ্ঞানগুলো জ্যামিতিকে ব্যাপকভাবে ব্যবহার করে। মেকানিক্স এবং রোবোটিক্স-এ দৃঢ় বস্তু গতিবিদ্যা বর্ণনার জন্য; পৃথিবীর আকৃতি বর্ণনার জন্য জিওডেসি; দৃশ্য এবং এর সমতল উপস্থাপনার মধ্যে সম্পর্ক বর্ণনার জন্য পারস্পেক্টিভিটি, কম্পিউটার ভিশন এবং কম্পিউটার গ্রাফিক্স-এ এটি ব্যবহৃত হয়।

এই সমস্ত প্রয়োগে, সাধারণ বর্ণনা এবং গুণগত পদ্ধতির জন্য প্রায়শই সিন্থেটিক জ্যামিতি ব্যবহৃত হয়, কিন্তু স্পষ্ট পরিস্থিতি অধ্যয়নের জন্য স্থানাঙ্ক নিয়ে গণনা করতে হয়। এর জন্য রৈখিক বীজগণিতের ব্যাপক ব্যবহার প্রয়োজন।

জটিল সিস্টেমের অধ্যয়ন

আরও দেখুন: Complex system অধিকাংশ ভৌত ঘটনা আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা মডেল করা হয়। এগুলো সমাধান করার জন্য, সাধারণত যে স্পেসে সমাধান খোঁজা হয় তাকে ছোট, পারস্পরিক মিথস্ক্রিয়াশীল কোষে বিভক্ত করা হয়। রৈখিক সিস্টেম-এর জন্য এই মিথস্ক্রিয়া রৈখিক ফাংশন জড়িত করে। অরৈখিক সিস্টেম-এর জন্য, এই মিথস্ক্রিয়া প্রায়শই রৈখিক ফাংশন দ্বারা আসন্ন করা হয়। একে রৈখিক মডেল বা প্রথম-ক্রমের আসন্নীকরণ বলা হয়। জটিল অরৈখিক বাস্তব-বিশ্বের সিস্টেমের জন্য রৈখিক মডেলগুলো ঘন ঘন ব্যবহৃত হয় কারণ এগুলো প্যারামিটারাইজেশন-কে আরও পরিচালনাযোগ্য করে তোলে। উভয় ক্ষেত্রেই, সাধারণত খুব বড় ম্যাট্রিক্স জড়িত থাকে। আবহাওয়ার পূর্বাভাস (বা আরও নির্দিষ্টভাবে, বায়ুমণ্ডলীয় মডেলিংয়ের জন্য প্যারামিটারাইজেশন) বাস্তব-বিশ্বের প্রয়োগের একটি সাধারণ উদাহরণ, যেখানে পুরো পৃথিবীর বায়ুমণ্ডল-কে, ধরা যাক, ১০০ কিমি প্রস্থ এবং ১০০ কিমি উচ্চতার কোষে বিভক্ত করা হয়।

ফ্লুইড মেকানিক্স, ফ্লুইড ডাইনামিক্স এবং তাপীয় শক্তি সিস্টেম

রৈখিক বীজগণিত, গণিতের একটি শাখা যা ভেক্টর স্পেস এবং এই স্পেসগুলোর মধ্যে রৈখিক ম্যাপিং নিয়ে কাজ করে, বিভিন্ন প্রকৌশল শাখায় গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, যার মধ্যে রয়েছে ফ্লুইড মেকানিক্স, ফ্লুইড ডাইনামিক্স এবং তাপীয় শক্তি সিস্টেম। এই ক্ষেত্রগুলোতে এর প্রয়োগ বহুমুখী এবং জটিল সমস্যা সমাধানের জন্য অপরিহার্য।

ফ্লুইড মেকানিক্স-এ, তরলের আচরণ সম্পর্কিত সমস্যা বোঝা এবং সমাধানের জন্য রৈখিক বীজগণিত অবিচ্ছেদ্য। এটি তরল প্রবাহের মডেলিং এবং সিমুলেশনে সহায়তা করে, যা ফ্লুইড ডাইনামিক্স সমস্যার বিশ্লেষণের জন্য প্রয়োজনীয় সরঞ্জাম সরবরাহ করে। উদাহরণস্বরূপ, তরলের গতি বর্ণনা করে এমন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ-এর সিস্টেম সমাধানের জন্য রৈখিক বীজগাণিতিক কৌশল ব্যবহৃত হয়। এই সমীকরণগুলো, যা প্রায়শই জটিল এবং অরৈখিক, রৈখিক বীজগণিতের পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক করা যেতে পারে, যা সহজতর সমাধান এবং বিশ্লেষণের সুযোগ দেয়।

ফ্লুইড ডাইনামিক্সের ক্ষেত্রে, রৈখিক বীজগণিত কম্পিউটেশনাল ফ্লুইড ডাইনামিক্স (CFD)-এ প্রয়োগ খুঁজে পায়, যা এমন একটি শাখা যা তরল প্রবাহের সমস্যা সমাধান এবং বিশ্লেষণের জন্য সাংখ্যিক বিশ্লেষণ এবং ডেটা স্ট্রাকচার ব্যবহার করে। CFD তরল প্রবাহ এবং তাপ স্থানান্তর গণনার জন্য রৈখিক বীজগণিতের ওপর ব্যাপকভাবে নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, নাভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ, যা ফ্লুইড ডাইনামিক্সে মৌলিক, প্রায়শই রৈখিক বীজগণিত থেকে প্রাপ্ত কৌশল ব্যবহার করে সমাধান করা হয়। এর মধ্যে তরল প্রবাহের ক্ষেত্রগুলোকে উপস্থাপন এবং ম্যানিপুলেট করার জন্য ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টর-এর ব্যবহার অন্তর্ভুক্ত।

অধিকন্তু, রৈখিক বীজগণিত তাপীয় শক্তি সিস্টেমে, বিশেষ করে পাওয়ার সিস্টেম বিশ্লেষণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। এটি বৈদ্যুতিক শক্তির উৎপাদন, সঞ্চালন এবং বিতরণ মডেল এবং অপ্টিমাইজ করতে ব্যবহৃত হয়। ম্যাট্রিক্স অপারেশন এবং আইগেনভ্যালু সমস্যার মতো রৈখিক বীজগাণিতিক ধারণাগুলো পাওয়ার সিস্টেমের দক্ষতা, নির্ভরযোগ্যতা এবং অর্থনৈতিক কর্মক্ষমতা উন্নত করতে ব্যবহৃত হয়। এই প্রেক্ষাপটে রৈখিক বীজগণিতের প্রয়োগ আধুনিক পাওয়ার সিস্টেমের নকশা এবং পরিচালনার জন্য অত্যাবশ্যক, যার মধ্যে রয়েছে নবায়নযোগ্য শক্তি উৎস এবং স্মার্ট গ্রিড।

সামগ্রিকভাবে, ফ্লুইড মেকানিক্স, ফ্লুইড ডাইনামিক্স এবং তাপীয় শক্তি সিস্টেমে রৈখিক বীজগণিতের প্রয়োগ গণিত এবং প্রকৌশল-এর মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কের একটি উদাহরণ। এটি প্রকৌশলীদের এই ডোমেইনগুলোতে জটিল সমস্যা মডেল, বিশ্লেষণ এবং সমাধান করার জন্য প্রয়োজনীয় সরঞ্জাম সরবরাহ করে, যা প্রযুক্তি এবং শিল্পে অগ্রগতির দিকে পরিচালিত করে।

সম্প্রসারণ এবং সাধারণীকরণ

এই বিভাগে এমন কিছু সম্পর্কিত বিষয় উপস্থাপন করা হয়েছে যা রৈখিক বীজগণিতের প্রাথমিক পাঠ্যপুস্তকে সাধারণত থাকে না, তবে উন্নত গণিতে এগুলোকে রৈখিক বীজগণিতের অংশ হিসেবে বিবেচনা করা হয়।

মডিউল তত্ত্ব

মূল নিবন্ধ: Module (mathematics)

একটি ভেক্টর স্পেস সংজ্ঞায়িতকারী স্বতঃসিদ্ধগুলোতে ক্ষেত্রে (field) গুণাত্মক বিপরীতের অস্তিত্ব জড়িত থাকে না। তাই কেউ স্কেলারের ক্ষেত্রকে একটি রিং R দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে পারে এবং এটি R-এর ওপর একটি কাঠামো প্রদান করে, যাকে R-এর ওপর একটি মডিউল বা R-মডিউল বলা হয়।

রৈখিক স্বাধীনতা, স্প্যান, ভিত্তি এবং রৈখিক মানচিত্রের (যাকে মডিউল হোমোমরফিজম-ও বলা হয়) ধারণাগুলো মডিউলের জন্য ঠিক ভেক্টর স্পেসের মতোই সংজ্ঞায়িত করা হয়, যার মূল পার্থক্য হলো, যদি R একটি ক্ষেত্র না হয়, তবে এমন মডিউল থাকতে পারে যার কোনো ভিত্তি নেই। যে মডিউলগুলোর ভিত্তি আছে সেগুলো হলো ফ্রি মডিউল, এবং যেগুলো একটি সসীম সেট দ্বারা স্প্যান করা হয় সেগুলো হলো ফাইনাইটলি জেনারেটেড মডিউল। ফাইনাইটলি জেনারেটেড ফ্রি মডিউলের মধ্যে মডিউল হোমোমরফিজমগুলোকে ম্যাট্রিক্স দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে। একটি রিংয়ের ওপর ম্যাট্রিক্সের তত্ত্ব একটি ক্ষেত্রের ওপর ম্যাট্রিক্সের তত্ত্বের মতোই, কেবল পার্থক্য হলো যে নির্ণায়ক (determinant) কেবল তখনই বিদ্যমান থাকে যদি রিংটি কমিউটেটিভ হয় এবং একটি কমিউটেটিভ রিংয়ের ওপর একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স তখনই ইনভার্টিবল হয় যদি এর নির্ণায়কের রিংটিতে একটি গুণাত্মক বিপরীত থাকে।

ভেক্টর স্পেসগুলো তাদের মাত্রা (আইসোমরফিজম পর্যন্ত) দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বৈশিষ্ট্যমণ্ডিত। সাধারণভাবে, মডিউলের জন্য এমন কোনো সম্পূর্ণ শ্রেণিবিন্যাস নেই, এমনকি যদি কেউ নিজেকে ফাইনাইটলি জেনারেটেড মডিউলের মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখে তবুও। তবে, প্রতিটি মডিউলই ফ্রি মডিউলের একটি হোমোমরফিজমের কোকার্নেল।

পূর্ণসংখ্যার ওপর মডিউলগুলোকে অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ হিসেবে চিহ্নিত করা যেতে পারে, কারণ পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণনকে বারবার যোগফল হিসেবে চিহ্নিত করা যায়। অ্যাবেলিয়ান গ্রুপের অধিকাংশ তত্ত্বকে একটি প্রিন্সিপাল আইডিয়াল ডোমেইন-এর ওপর মডিউলে প্রসারিত করা যেতে পারে। বিশেষভাবে, একটি প্রিন্সিপাল আইডিয়াল ডোমেইনের ওপর, একটি ফ্রি মডিউলের প্রতিটি সাবমডিউল ফ্রি হয় এবং ফাইনাইটলি জেনারেটেড অ্যাবেলিয়ান গ্রুপের মৌলিক উপপাদ্য-কে একটি প্রিন্সিপাল রিংয়ের ওপর ফাইনাইটলি জেনারেটেড মডিউলের ক্ষেত্রে সরাসরি প্রসারিত করা যেতে পারে।

এমন অনেক রিং আছে যার জন্য রৈখিক সমীকরণ এবং রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম সমাধানের অ্যালগরিদম রয়েছে। তবে, এই অ্যালগরিদমগুলোর কম্পিউটেশনাল কমপ্লেক্সিটি সাধারণত একটি ক্ষেত্রের ওপর অনুরূপ অ্যালগরিদমের চেয়ে অনেক বেশি। আরও বিস্তারিত জানার জন্য, দেখুন রৈখিক সমীকরণ (রিংয়ের ওপর)।

মাল্টিলিনিয়ার বীজগণিত এবং টেনসর

section মাল্টিলিনিয়ার বীজগণিত-এ, মাল্টিভ্যারিয়েবল রৈখিক রূপান্তর বিবেচনা করা হয়, অর্থাৎ এমন ম্যাপিং যা বিভিন্ন চলকের প্রতিটিতে রৈখিক। এই অনুসন্ধানের ধারাটি স্বাভাবিকভাবেই দ্বৈত স্পেস-এর ধারণার দিকে নিয়ে যায়, যা রৈখিক মানচিত্র f : V → F-এর সমন্বয়ে গঠিত ভেক্টর স্পেস V*, যেখানে F হলো স্কেলারের ক্ষেত্র। মাল্টিলিনিয়ার মানচিত্র T : Vⁿ → F-কে V*-এর উপাদানগুলোর টেনসর প্রোডাক্ট-এর মাধ্যমে বর্ণনা করা যেতে পারে।

যদি ভেক্টর যোগ এবং স্কেলার গুণনের পাশাপাশি একটি বিলিনিয়ার ভেক্টর প্রোডাক্ট V × V → V থাকে, তবে ভেক্টর স্পেসটিকে একটি বীজগণিত (ক্ষেত্র) বলা হয়; উদাহরণস্বরূপ, অ্যাসোসিয়েটিভ বীজগণিত হলো এমন বীজগণিত যার একটি অ্যাসোসিয়েটিভ ভেক্টর প্রোডাক্ট আছে (যেমন বর্গ ম্যাট্রিক্সের বীজগণিত, বা বহুপদীর বীজগণিত)।

টপোলজিক্যাল ভেক্টর স্পেস

মূল নিবন্ধ: Topological vector space, Normed vector space, Hilbert space যে ভেক্টর স্পেসগুলো সসীম-মাত্রিক নয়, সেগুলোর ক্ষেত্রে প্রায়শই পরিচালনাযোগ্য হওয়ার জন্য অতিরিক্ত কাঠামোর প্রয়োজন হয়। একটি নর্মড ভেক্টর স্পেস হলো এমন একটি ভেক্টর স্পেস যার সাথে একটি ফাংশন থাকে যাকে নর্ম বলা হয়, যা উপাদানগুলোর "আকার" পরিমাপ করে। নর্ম একটি মেট্রিক প্ররোচিত করে, যা উপাদানগুলোর মধ্যবর্তী দূরত্ব পরিমাপ করে এবং একটি টপোলজিক্যাল স্পেস প্ররোচিত করে, যা অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের সংজ্ঞা দেওয়ার সুযোগ দেয়। মেট্রিকটি লিমিট এবং সম্পূর্ণতা-র সংজ্ঞা দেওয়ারও সুযোগ দেয়—একটি নর্মড ভেক্টর স্পেস যা সম্পূর্ণ, তাকে বানাখ স্পেস বলা হয়। একটি সম্পূর্ণ মেট্রিক স্পেস এবং একটি ইনার প্রোডাক্ট-এর (একটি কনজুগেট প্রতিসম সেসকুইলিনিয়ার ফর্ম) অতিরিক্ত কাঠামোর সমন্বয়কে হিলবার্ট স্পেস বলা হয়, যা এক অর্থে একটি বিশেষভাবে সুবিন্যস্ত বানাখ স্পেস। ফাংশনাল অ্যানালাইসিস বিভিন্ন ফাংশন স্পেস অধ্যয়নের জন্য গাণিতিক বিশ্লেষণ-এর পাশাপাশি রৈখিক বীজগণিতের পদ্ধতিগুলো প্রয়োগ করে; ফাংশনাল অ্যানালাইসিসের অধ্যয়নের কেন্দ্রীয় বস্তুগুলো হলো L^p স্পেস, যা বানাখ স্পেস, এবং বিশেষ করে বর্গ-সমাকলনযোগ্য ফাংশনের L² স্পেস, যা তাদের মধ্যে একমাত্র হিলবার্ট স্পেস। কোয়ান্টাম মেকানিক্স, আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্ব, ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং এবং ইলেকট্রিক্যাল ইঞ্জিনিয়ারিংয়ের জন্য ফাংশনাল অ্যানালাইসিস বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ। এটি ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম এবং সম্পর্কিত পদ্ধতির ভিত্তি এবং তাত্ত্বিক কাঠামোও প্রদান করে।

আরও দেখুন

• ফান্ডামেন্টাল ম্যাট্রিক্স (কম্পিউটার ভিশন)
• জ্যামিতিক বীজগণিত
• রৈখিক প্রোগ্রামিং
• রৈখিক রিগ্রেশন, একটি পরিসংখ্যানগত প্রাক্কলন পদ্ধতি
• সাংখ্যিক রৈখিক বীজগণিত
• রৈখিক বীজগণিতের রূপরেখা
• ট্রান্সফরমেশন ম্যাট্রিক্স

সাধারণ এবং উদ্ধৃত উৎস

• (1987). "Elementary Linear Algebra". Wiley. ISBN 0-471-84819-0.
• Axler, Sheldon. (2024). "Linear Algebra Done Right". Springer Publishing. ISBN 978-3-031-41026-0. doi:10.1007/978-3-031-41026-0.
• (1973). A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields. Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-14017-X.
• (1993). Numerical Analysis. Prindle, Weber and Schmidt. ISBN 0-534-93219-3.
• (1996). "Matrix Computations". Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-5414-9.
• Halmos, Paul Richard. (1974). "Finite-Dimensional Vector Spaces". Springer Publishing. ISBN 0-387-90093-4.
• (1976). "Introduction to Mathematical Physics". Prentice-Hall. ISBN 0-13-487538-9.
• (2008). "A (Terse) Introduction to Linear Algebra". American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Roman, Steven. (March 22, 2005). "Advanced Linear Algebra". Springer. ISBN 978-0-387-24766-3.

আরও পড়ুন

ইতিহাস

• Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra", American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
• Grassmann, Hermann. (1844). "Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert". O. Wigand.

পরিচয়মূলক পাঠ্যপুস্তক

• Anton, Howard. (2005). "Elementary Linear Algebra (Applications Version)". Wiley International.
• (2014). "Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics". Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1420095388.
• Bretscher, Otto. (2004). "Linear Algebra with Applications". Prentice Hall. ISBN 978-0-13-145334-0.
• (2004). "Practical Linear Algebra: A Geometry Toolbox". AK Peters. ISBN 978-1-56881-234-2.
• Kolman, Bernard; Hill, David R.. (2007). "Elementary Linear Algebra with Applications". Prentice Hall. ISBN 978-0-13-229654-0.
• Lay, David C.. (2005). "Linear Algebra and Its Applications". Addison Wesley. ISBN 978-0-321-28713-7.
• Leon, Steven J.. (2006). Linear Algebra With Applications. Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-185785-8.
• Murty, Katta G. (2014) Computational and Algorithmic Linear Algebra and n-Dimensional Geometry, World Scientific Publishing, 978-981-4366-62-5। Chapter 1: Systems of Simultaneous Linear Equations
• Noble, B. & Daniel, J.W. (2nd Ed. 1977) [1], Pearson Higher Education, 978-0130413437।
• Poole, David. (2010). "Linear Algebra: A Modern Introduction". Cengage – Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-73545-2.
• Ricardo, Henry. (2010). "A Modern Introduction To Linear Algebra". CRC Press. ISBN 978-1-4398-0040-9.
• Sadun, Lorenzo. (2008). "Applied Linear Algebra: the decoupling principle". AMS. ISBN 978-0-8218-4441-0.
• Strang, Gilbert. (2016). "Introduction to Linear Algebra". Wellesley-Cambridge Press. ISBN 978-09802327-7-6.
• The Manga Guide to Linear Algebra (2012), লেখক: Shin Takahashi, Iroha Inoue এবং Trend-Pro Co., Ltd., 978-1-59327-413-9

উন্নত পাঠ্যপুস্তক

• Bhatia, Rajendra. (November 15, 1996). "Matrix Analysis". Springer. ISBN 978-0-387-94846-1.
• Demmel, James W.. (August 1, 1997). "Applied Numerical Linear Algebra". SIAM. ISBN 978-0-89871-389-3.
• Dym, Harry. (2007). "Linear Algebra in Action". AMS. ISBN 978-0-8218-3813-6.
• Gantmacher, Felix R.. (2005). "Applications of the Theory of Matrices". Dover Publications. ISBN 978-0-486-44554-0.
• Gantmacher, Felix R.. (1990). "Matrix Theory Vol. 1". American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1376-8.
• Gantmacher, Felix R.. (2000). "Matrix Theory Vol. 2". American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2664-5.
• Gelfand, Israel M.. (1989). "Lectures on Linear Algebra". Dover Publications. ISBN 978-0-486-66082-0.
• (2006). "Finite-Dimensional Linear Analysis". Dover Publications. ISBN 978-0-486-45332-3.
• Golan, Johnathan S.. (January 2007). "The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know". Springer. ISBN 978-1-4020-5494-5.
• Golan, Johnathan S.. (August 1995). "Foundations of Linear Algebra". Kluwer. ISBN 0-7923-3614-3.
• Greub, Werner H.. (October 16, 1981). "Linear Algebra". Springer. ISBN 978-0-8018-5414-9.
• (1971). "Linear algebra". Prentice-Hall, Inc..
• Halmos, Paul R.. (August 20, 1993). "Finite-Dimensional Vector Spaces". Springer. ISBN 978-0-387-90093-3.
• (September 7, 2018). "Linear Algebra". Pearson. ISBN 978-0-13-486024-4.
• (February 23, 1990). "Matrix Analysis". Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6.
• (June 24, 1994). "Topics in Matrix Analysis". Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46713-1.
• Lang, Serge. (March 9, 2004). "Linear Algebra". Springer. ISBN 978-0-387-96412-6.
• (2010). "A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities". Dover Publications. ISBN 978-0-486-67102-4.
• Meyer, Carl D.. (February 15, 2001). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). ISBN 978-0-89871-454-8.
• (1990). "An Introduction to Linear Algebra". Dover Publications. ISBN 978-0-486-66434-7.
• (2012). Linear Algebra and Geometry. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.
• Shilov, Georgi E.. (June 1, 1977). "Linear algebra". Dover Publications. ISBN 978-0-486-63518-7.
• Shores, Thomas S.. (December 6, 2006). "Applied Linear Algebra and Matrix Analysis". Springer. ISBN 978-0-387-33194-2.
• Smith, Larry. (May 28, 1998). "Linear Algebra". Springer. ISBN 978-0-387-98455-1.
• (1997). "Numerical Linear Algebra". SIAM. ISBN 978-0-898-71361-9.

অধ্যয়ন নির্দেশিকা এবং রূপরেখা

• Leduc, Steven A.. (May 1, 1996). "Linear Algebra (Cliffs Quick Review)". Cliffs Notes. ISBN 978-0-8220-5331-6.
• (December 6, 2000). "Schaum's Outline of Linear Algebra". McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-136200-9.
• Lipschutz, Seymour. (January 1, 1989). "3,000 Solved Problems in Linear Algebra". McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-038023-3.
• McMahon, David. (October 28, 2005). "Linear Algebra Demystified". McGraw–Hill Professional. ISBN 978-0-07-146579-3.
• Zhang, Fuzhen. (April 7, 2009). "Linear Algebra: Challenging Problems for Students". The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9125-0.

বহিঃসংযোগ

Linear Algebra Linear Algebra

অনলাইন রিসোর্স

• MIT Linear Algebra Video Lectures, অধ্যাপক Gilbert Strang-এর ৩৪টি রেকর্ড করা লেকচারের একটি সিরিজ (বসন্ত ২০১০)
• International Linear Algebra Society
• Linear algebra
• Linear Algebra - MathWorld-এ
• Matrix and Linear Algebra Terms - Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics-এ
• Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors - Earliest Uses of Various Mathematical Symbols-এ
• Essence of linear algebra, 3Blue1Brown থেকে রৈখিক বীজগণিতের মৌলিক বিষয়গুলোর ওপর একটি ভিডিও উপস্থাপনা, যেখানে জ্যামিতিক, ম্যাট্রিক্স এবং বিমূর্ত দৃষ্টিভঙ্গির মধ্যকার সম্পর্কের ওপর জোর দেওয়া হয়েছে।

অনলাইন বই

• (2009). A First Course in Linear Algebra. University Press of Florida. ISBN 9781616100049.
• (2004). Elements of Abstract and Linear Algebra. Self-published.
• (2019). Interactive Linear Algebra. Self-published.
• (2013). Elementary Linear Algebra. Self-published.
• (2020). Linear Algebra: Theory and Algorithms. Self-published.
• Sharipov, Ruslan, Course of linear algebra and multidimensional geometry
• Treil, Sergei, Linear Algebra Done Wrong

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Linear algebra” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_algebra এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।