অ্যাসিম্পটোটিক তত্ত্ব (পরিসংখ্যান)

পরিসংখ্যানে, অ্যাসিম্পটোটিক তত্ত্ব (asymptotic theory), বা বৃহৎ নমুনা তত্ত্ব (large sample theory), হলো প্রাক্কলক (estimator) এবং পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা-এর বৈশিষ্ট্য মূল্যায়নের একটি কাঠামো। এই কাঠামোর মধ্যে, প্রায়শই ধরে নেওয়া হয় যে নমুনার আকার n অনির্দিষ্টকালের জন্য বৃদ্ধি পেতে পারে; তখন প্রাক্কলক এবং পরীক্ষার বৈশিষ্ট্যগুলো n → ∞ সীমার অধীনে মূল্যায়ন করা হয়। বাস্তবে, একটি সীমা মূল্যায়ন বৃহৎ সসীম নমুনার আকারের জন্যও মোটামুটি বৈধ বলে গণ্য করা হয়।

ওভারভিউ

অধিকাংশ পরিসংখ্যানগত সমস্যা n আকারের একটি ডেটাসেট দিয়ে শুরু হয়। অ্যাসিম্পটোটিক তত্ত্ব এই ধারণার ওপর ভিত্তি করে অগ্রসর হয় যে (তাত্ত্বিকভাবে) অতিরিক্ত ডেটা সংগ্রহ করা সম্ভব, অর্থাৎ নমুনার আকার অসীমভাবে বৃদ্ধি পায়, যেমন n → ∞। এই অনুমানের অধীনে, এমন অনেক ফলাফল পাওয়া সম্ভব যা সসীম আকারের নমুনার জন্য উপলব্ধ নয়। একটি উদাহরণ হলো দুর্বল বৃহৎ সংখ্যার সূত্র। সূত্রটি বলে যে, স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত (IID) দৈব চলক X₁, X₂, ...-এর একটি অনুক্রমের জন্য, যদি প্রতিটি দৈব চলক থেকে একটি মান নেওয়া হয় এবং প্রথম n সংখ্যক মানের গড় X_n হিসেবে গণনা করা হয়, তবে n → ∞ হওয়ার সাথে সাথে X_n পপুলেশন গড় E[X_i]-এর দিকে সম্ভাবনায় অভিসৃত হয়।

অ্যাসিম্পটোটিক তত্ত্বে, আদর্শ পদ্ধতি হলো n → ∞। কিছু পরিসংখ্যানগত মডেল-এর জন্য, অ্যাসিম্পটোটিকসের কিছুটা ভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করা হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, প্যানেল ডেটা-এর ক্ষেত্রে, সাধারণত ধরে নেওয়া হয় যে ডেটার একটি মাত্রা স্থির থাকে, যেখানে অন্য মাত্রাটি বৃদ্ধি পায়: T = ধ্রুবক এবং N → ∞, অথবা এর বিপরীত।

অ্যাসিম্পটোটিকসের আদর্শ পদ্ধতি ছাড়াও, অন্যান্য বিকল্প পদ্ধতি বিদ্যমান:

• স্থানীয় অ্যাসিম্পটোটিক স্বাভাবিকতা (local asymptotic normality) কাঠামোর মধ্যে, ধরে নেওয়া হয় যে মডেলে "প্রকৃত প্যারামিটার"-এর মান n-এর সাথে সামান্য পরিবর্তিত হয়, যাতে n-তম মডেলটি θ_n = θ + h/n-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। এই পদ্ধতি আমাদের প্রাক্কলকের নিয়মিততা অধ্যয়ন করতে দেয়।
• যখন পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা-এর ক্ষমতা যাচাই করা হয় যে তারা নাল হাইপোথিসিসের কাছাকাছি বিকল্পগুলোর মধ্যে পার্থক্য করতে পারে কি না, তখন তা তথাকথিত "স্থানীয় বিকল্প" (local alternatives) কাঠামোর মধ্যে করা হয়: নাল হাইপোথিসিস হলো H₀: θ = θ₀ এবং বিকল্পটি হলো H₁: θ = θ₀ + h/n। এই পদ্ধতিটি ইউনিট রুট টেস্ট-এর জন্য বিশেষভাবে জনপ্রিয়।
• এমন মডেল রয়েছে যেখানে প্যারামিটার স্পেস Θ_n-এর মাত্রা n-এর সাথে ধীরে ধীরে প্রসারিত হয়, যা এই সত্যটিকে প্রতিফলিত করে যে যত বেশি পর্যবেক্ষণ থাকে, মডেলে তত বেশি কাঠামোগত প্রভাব অন্তর্ভুক্ত করা সম্ভব।
• কার্নেল ঘনত্ব প্রাক্কলন এবং কার্নেল রিগ্রেশন-এ, একটি অতিরিক্ত প্যারামিটার ধরে নেওয়া হয়—ব্যান্ডউইথ h। সেই মডেলগুলোতে, সাধারণত ধরা হয় যে n → ∞ হওয়ার সাথে সাথে h → 0। তবে অভিসৃতির হার সতর্কতার সাথে নির্বাচন করতে হয়, সাধারণত h ∝ n^−1/5।

অনেক ক্ষেত্রে, সংখ্যাসূচক পদ্ধতির (অর্থাৎ কম্পিউটার) মাধ্যমে সসীম নমুনার জন্য অত্যন্ত নির্ভুল ফলাফল পাওয়া যেতে পারে; তবুও এমন ক্ষেত্রেও অ্যাসিম্পটোটিক বিশ্লেষণ কার্যকর হতে পারে। এই বিষয়টি 2010 নিম্নরূপভাবে তুলে ধরেছেন। অ্যাসিম্পটোটিক বিশ্লেষণের একটি প্রাথমিক লক্ষ্য হলো পরিমাণগত সরঞ্জামের গভীর গুণগত বোঝাপড়া অর্জন করা। একটি অ্যাসিম্পটোটিক বিশ্লেষণের উপসংহারগুলো প্রায়শই সেই উপসংহারগুলোকে পরিপূরক করে যা সংখ্যাসূচক পদ্ধতির মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে।

দৈব চলকের অভিসৃতির মোড

আরও দেখুন: দৈব চলকের অভিসৃতি

অ্যাসিম্পটোটিক বৈশিষ্ট্য

বিন্দু প্রাক্কলক (Point estimators)

নিচে, $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ হবে প্রাক্কলকের একটি ইচ্ছামাফিক অনুক্রম।

সামঞ্জস্যতা (Consistency)

অনুক্রম $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$-কে (দুর্বলভাবে) সামঞ্জস্যপূর্ণ বলা হয়, যদি এটি প্রাক্কলন করা প্যারামিটারের প্রকৃত মানের দিকে সম্ভাবনায় অভিসৃত হয়:

$${\hat{\theta }}_n\stackrel{\stackrel{}{p}}{\to }{\theta }_0.$$

এর অর্থ হলো, প্রাক্কলিত মানটি ${\theta }_0$-এর ইচ্ছামাফিক কাছাকাছি আসার সম্ভাবনা শূন্যের দিকে অভিসৃত হয় যখন $n$ অসীমের দিকে ধাবিত হয়। আরও নির্দিষ্টভাবে, যদি $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$-এর ${\theta }_0$-এর দিকে অভিসৃতি অসীমের দিকে ধাবিত বাস্তব সংখ্যার কোনো অনুক্রম $(a_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$-এর জন্য স্টোকাস্টিক অর্ডার $1/a_n$ (যাকে ${\text{<mi fromhbox="1">O</mi>}}_p(1/a_n)$-ও লেখা হয়) হয়, অর্থাৎ

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{\mathbb{P}}(|a_n({\hat{\theta }}_n-{\theta }_0)|>K)=0\text{সকল }K>0\text{-এর জন্য},$$

তবে $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$-কে $a_n$-সামঞ্জস্যপূর্ণ বলা হয়।

প্রাক্কলনের অনুক্রমটিকে দৃঢ়ভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ বলা হয়, যদি এটি প্রকৃত প্যারামিটারের দিকে প্রায় নিশ্চিতভাবে অভিসৃত হয়:

$${\hat{\theta }}_n\stackrel{\mathrm{a}\mathrm{.}\mathrm{s}\mathrm{.}}{⟶}{\theta }_0.$$

দুর্বলভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ প্রাক্কলকের সাথে এর সূক্ষ্ম পার্থক্য হলো যে, একটি দৃঢ়ভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ প্রাক্কলক $n$ অসীমের দিকে ধাবিত হওয়ার সাথে সাথে শেষ পর্যন্ত ${\theta }_0$-এর ইচ্ছামাফিক কাছাকাছি পৌঁছানোর নিশ্চয়তা দেয়।

অ্যাসিম্পটোটিক বিন্যাস

যদি অ-দৈব ধ্রুবকের অনুক্রম $(a_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$, $(b_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ (সম্ভবত ${\theta }_0$ মানের ওপর নির্ভরশীল) এবং একটি অ-অবক্ষয়ী বিন্যাস $\mu$ খুঁজে পাওয়া সম্ভব হয় যাতে

$$b_n({\hat{\theta }}_n-a_n)\stackrel{d}{\to }\mu ,$$

তবে প্রাক্কলকের অনুক্রম ${\hat{\theta }}_n$-এর অ্যাসিম্পটোটিক বিন্যাস $\mu$ রয়েছে বলে বলা হয়।

অধিকাংশ ক্ষেত্রে, বাস্তবে প্রাপ্ত প্রাক্কলকের অ্যাসিম্পটোটিক বিন্যাস হলো স্বাভাবিক বিন্যাস $\mu ={𝒩}(0,V)$ (কিছু কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স $V$-এর জন্য), সেক্ষেত্রে প্রাক্কলকটিকে অ্যাসিম্পটোটিক্যালি স্বাভাবিক বলা হয়। কিছু লেখক বিশেষভাবে $a_n={\theta }_0$ এবং $b_n=\sqrt{n}$ দাবি করেন এবং তখন প্রাক্কলকের অনুক্রমটিকে ${\theta }_0$-এর জন্য অ্যাসিম্পটোটিক্যালি স্বাভাবিক বলেন।

সীমায় নিরপেক্ষতা (Unbiasedness in the limit)

অনুক্রমটিকে সীমায় নিরপেক্ষ বলা হয়, যদি $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{𝔼}[{\hat{\theta }}_n]={\theta }_0$ হয়। এই বৈশিষ্ট্যযুক্ত একটি প্রাক্কলককে কখনও কখনও প্রায় নিরপেক্ষ-ও বলা হয়।

অ্যাসিম্পটোটিক নিরপেক্ষতা

অনুক্রমটিকে প্যারামিটার ${\theta }_0$-এর জন্য অ্যাসিম্পটোটিক্যালি নিরপেক্ষ বলা হয়, যদি বাস্তব সংখ্যার কোনো অনুক্রম $({\sigma }_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$-এর জন্য ${\sigma }_n({\hat{\theta }}_n-{\theta }_0)$ একটি দৈব চলক $G\ne 0$-এর দিকে বিন্যাসে অভিসৃত হয়, যেখানে $\mathbb{𝔼}[G]=0$।

সীমিত ভেদাঙ্ক (Limiting variance)

যদি বাস্তব সংখ্যার এমন একটি অনুক্রম $({\tau }_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ বিদ্যমান থাকে যাতে $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\tau }_n\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}({\hat{\theta }}_n)={\sigma }^2$ হয়, তবে ${\sigma }^2$-কে $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$-এর সীমিত ভেদাঙ্ক বলা হয়। সাধারণত, ${\tau }_n=n$ নির্বাচন করা হয়।

অ্যাসিম্পটোটিক ভেদাঙ্ক

যদি এমন একটি অনুক্রম $(b_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ বিদ্যমান থাকে যাতে

$$b_n({\hat{\theta }}_n-{\theta }_0)\stackrel{d}{\to }G$$

এবং $0<\mathbb{𝔼}[G^2]<\mathrm{\infty }$ হয়, তবে $V=\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(G)$-কে $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$-এর অ্যাসিম্পটোটিক ভেদাঙ্ক বলা হয়। বিশেষ করে, যদি $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ অ্যাসিম্পটোটিক্যালি নিরপেক্ষ হয়, তবে $V=\mathbb{𝔼}[G^2]$।

অ্যাসিম্পটোটিক দক্ষতা

অনুক্রমটিকে অ্যাসিম্পটোটিক্যালি দক্ষ বলা হয়, যদি এটি ${\theta }_0$-এর জন্য অ্যাসিম্পটোটিক্যালি স্বাভাবিক হয় এবং এর অ্যাসিম্পটোটিক ভেদাঙ্ক ফিশার তথ্য $I({\theta }_0)$-এর সাথে $V=I({\theta }_0{)}^{-1}$ হয়, অর্থাৎ অ্যাসিম্পটোটিক ভেদাঙ্ক ক্র্যামার-রাও বাউন্ড অর্জন করে।

অ্যাসিম্পটোটিক বৈশিষ্ট্যের মধ্যে সাধারণ সম্পর্ক

উপরে যেমন বলা হয়েছে, ধরি $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ হলো প্রাক্কলকের একটি ইচ্ছামাফিক অনুক্রম।

• যদি $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ প্যারামিটার ${\theta }_0$-এর জন্য অ্যাসিম্পটোটিক্যালি স্বাভাবিক হয়, তবে এটি সামঞ্জস্যপূর্ণ (স্লাটস্কির উপপাদ্য দ্বারা)।
• যদি $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়, তবে এটি অ্যাসিম্পটোটিক্যালি নিরপেক্ষ।
• যদি $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ অ্যাসিম্পটোটিক্যালি নিরপেক্ষ এবং ইউনিফর্মলি ইন্টিগ্রেবল হয়, তবে এটি সীমায় নিরপেক্ষ। এটি এমন ক্ষেত্রে ঘটে, উদাহরণস্বরূপ, যখন দ্বিতীয় মোমেন্টগুলো ইউনিফর্মলি সীমাবদ্ধ থাকে, অর্থাৎ $\underset{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}{\sup }\mathbb{𝔼}[|{\hat{\theta }}_n{|}^2]<\mathrm{\infty }$।
• একচলক ক্ষেত্রে, যদি একটি প্রাক্কলক অ্যাসিম্পটোটিক্যালি নিরপেক্ষ হয় এবং তার অ্যাসিম্পটোটিক ভেদাঙ্ক ${\tau }^2$ হয়, এবং যদি সীমিত ভেদাঙ্ক ${\sigma }^2$ বিদ্যমান থাকে, তবে ${\tau }^2\le {\sigma }^2$। সমতা তখনই ঘটে যদি এবং কেবল যদি প্রাক্কলকের নরমালাইজড অনুক্রম, অর্থাৎ উপযুক্ত $b_n$-এর জন্য $b_n({\hat{\theta }}_n-{\theta }_0)$, ইউনিফর্মলি ইন্টিগ্রেবল হয় (যা বাস্তবে প্রায়শই ঘটে)।

অ্যাসিম্পটোটিক উপপাদ্য

প্রাক্কলকের একটি অনুক্রম $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$-এর (একটি প্যারামিটার $\theta$-এর জন্য) অ্যাসিম্পটোটিক বৈশিষ্ট্যগুলো প্রায়শই সম্ভাবনা তত্ত্ব-এর সাধারণ উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত হয়। নিচে, ধরি $X_1,X_2,\dots$ হলো প্রকৃত বিন্যাস ${\mathbb{\mathbb{P}}}_{\theta }$ থেকে স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত পর্যবেক্ষণ।

সামঞ্জস্যতার জন্য

বৃহৎ সংখ্যার শক্তিশালী সূত্র

যদি প্রাক্কলকগুলো ${\hat{\theta }}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(X_i)$ আকারের হয়, যেখানে $f$ এমন একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন যাতে $\mathbb{𝔼}[|f(X_1)|]<\mathrm{\infty }$ হয়, তবে বৃহৎ সংখ্যার শক্তিশালী সূত্র দ্বারা

$${\hat{\theta }}_n\stackrel{a.s.}{\to }\mathbb{𝔼}[f(X_1)].$$

সুতরাং, যদি $\theta =\mathbb{𝔼}[f(X_1)]$ হয়, তবে $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ দৃঢ়ভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

কন্টিনিউয়াস ম্যাপিং থিওরেম

ধরি $\theta =f(\tau )$ অন্য কোনো প্যারামিটার $\tau$ এবং একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন $f$-এর জন্য। প্যারামিটার $\tau$-এর জন্য প্রাক্কলকের একটি (দৃঢ়ভাবে) সামঞ্জস্যপূর্ণ অনুক্রম $({\hat{\tau }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ দেওয়া থাকলে, কন্টিনিউয়াস ম্যাপিং থিওরেম দ্বারা, প্রাক্কলকের অনুক্রম $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}=(f({\hat{\tau }}_n){)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ প্যারামিটার $\theta$-এর জন্য (দৃঢ়ভাবে) সামঞ্জস্যপূর্ণ।

অ্যাসিম্পটোটিক বিন্যাসের জন্য

সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম

যদি প্রাক্কলকগুলো ${\hat{\theta }}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(X_i)$ আকারের হয়, যেখানে $f$ এমন একটি বাস্তব-মান পরিমাপযোগ্য ফাংশন যাতে $\mathbb{𝔼}[|f(X_1){|}^2]<\mathrm{\infty }$ হয়, তবে সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম দ্বারা, $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ অ্যাসিম্পটোটিক্যালি স্বাভাবিক

$$\sqrt{n}\frac{{\hat{\theta }}_n-\mu }{\sigma }\stackrel{d}{⟶}{𝒩}(0,1)$$

এই অর্থে, যেখানে $\mathbb{𝔼}[f(X_1)]=\mu$ এবং $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(f(X_1))={\sigma }^2$।

ফিশার-টিপেট-গ্নেদেঙ্কো উপপাদ্য

যদি প্রাক্কলকগুলো ${\hat{\theta }}_n=\underset{i=1,\dots ,n}{\max }f(X_i)$ আকারের হয়, যেখানে $f$ একটি বাস্তব-মান পরিমাপযোগ্য ফাংশন এবং যদি অনুক্রম $(a_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$, $(b_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ এবং একটি অ-অবক্ষয়ী বিন্যাস $G$ বিদ্যমান থাকে যাতে

$$\frac{{\hat{\theta }}_n-a_n}{b_n}\stackrel{d}{⟶}G,$$

তবে, ফিশার-টিপেট-গ্নেদেঙ্কো উপপাদ্য দ্বারা, $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$-এর অ্যাসিম্পটোটিক বিন্যাস $G$ হলো একটি জেনারালাইজড এক্সট্রিম ভ্যালু ডিস্ট্রিবিউশন।

ডেল্টা মেথড

ধরি $\theta =f(\tau )$ অন্য কোনো প্যারামিটার $\tau$ এবং একটি ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন $f$-এর জন্য, যেখানে $\mathrm{\nabla }f(\tau )\ne 0$। প্যারামিটার $\tau$-এর জন্য প্রাক্কলকের একটি অনুক্রম $({\hat{\tau }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ দেওয়া থাকলে, যার অ্যাসিম্পটোটিক বিন্যাস $G$ এই অর্থে

$$\frac{{\hat{\tau }}_n-\tau }{{\sigma }_n}\stackrel{d}{⟶}Z\sim G$$

বাস্তব সংখ্যার কোনো অনুক্রম $({\sigma }_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$-এর জন্য, তবে ডেল্টা মেথড দ্বারা, প্রাক্কলকের অনুক্রম $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}=(f({\hat{\tau }}_n){)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$-এর অ্যাসিম্পটোটিক বিন্যাস হলো $\mathrm{\nabla }f(\tau {)}^{\mathrm{\top }}Z$-এর বিন্যাস।

বিশেষ ক্ষেত্রে, যেখানে $({\hat{\tau }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ অ্যাসিম্পটোটিক ভেদাঙ্ক $V$-এর সাথে $\tau$-এর জন্য অ্যাসিম্পটোটিক্যালি স্বাভাবিক, সেখানে অনুক্রম $({\hat{\theta }}_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ অ্যাসিম্পটোটিক ভেদাঙ্ক $\mathrm{\nabla }f(\tau {)}^{\mathrm{\top }}V\mathrm{\nabla }f(\tau )$-এর সাথে অ্যাসিম্পটোটিক্যালি স্বাভাবিক।

আরও দেখুন

• অ্যাসিম্পটোটিক বিশ্লেষণ
• সঠিক পরিসংখ্যান (Exact statistics)
• বৃহৎ বিচ্যুতি তত্ত্ব (Large deviations theory)

গ্রন্থপঞ্জি

• (2001). Asymptotic Methods in Probability and Statistics with Applications. Birkhäuser. ISBN 9781461202097.
• Billingsley, P.. (1995). "Probability and Measure". John Wiley & Sons.
• (2010). Asymptotic Analysis of Random Walks. Cambridge University Press.
• (1997). Asymptotic Behaviour of Linearly Transformed Sums of Random Variables. Springer. ISBN 9789401155687.
• (2000). "Asymptotics in Statistics". Springer.
• Casella, G.; Berger, R. L.. (2002). Statistical Inference. Duxbury.
• (2015). "Asymptotic Laws and Methods in Stochastics". Springer-Verlag.
• Höpfner, R.. (2014). "Asymptotic Statistics". Walter de Gruyter.
• Lehmann, E. L.; Casella, G.. (1998). Theory of Point Estimation. Springer.
• Lin'kov, Yu. N.. (2001). "Asymptotic Statistical Methods for Stochastic Processes". American Mathematical Society.
• Oliveira, P. E.. (2012). "Asymptotics for Associated Random Variables". Springer.
• Petrov, V. V.. (1995). "Limit Theorems of Probability Theory". Oxford University Press.
• (2009). "From Finite Sample to Asymptotic Methods in Statistics". Cambridge University Press.
• Shao, J.. (2003). "Mathematical Statistics". Springer. ISBN 978-0-387-95382-3.
• (2000). "Statistical Experiments and Decisions: Asymptotic theory". World Scientific.
• Small, C. G.. (2010). "Expansions and Asymptotics for Statistics". Chapman & Hall.
• van der Vaart, A. W.. (1998). "Asymptotic Statistics". Cambridge University Press.

collapsed

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Asymptotic theory (statistics)” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Asymptotic_theory_(statistics) এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।