Confidence interval

বিন্দুগুলোর প্রতিটি সারি একই সাধারণ বিন্যাস (normal distribution) থেকে নেওয়া একটি নমুনা। রঙিন রেখাগুলো হলো পপুলেশন গড় μ-এর জন্য ৫০% কনফিডেন্স ইন্টারভাল। প্রতিটি ইন্টারভালের কেন্দ্রে রয়েছে নমুনার গড় $\overline{x}$, যা একটি ডায়মন্ড চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত। নীল ইন্টারভালগুলোতে μ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, এবং লালগুলোতে নেই।

ফ্রিকোয়েন্টিস্ট ইনফারেন্স (frequentist inference)-এ, একটি কনফিডেন্স ইন্টারভাল (CI) নিম্ন এবং উচ্চ সীমা নির্ধারণ করে, যার মধ্যে (পুনরাবৃত্ত নমুনা গ্রহণের মাধ্যমে) কোনো অজানা পরিসংখ্যানগত প্যারামিটার-এর প্রকৃত মান (যেমন পপুলেশন গড়) থাকার সম্ভাবনা থাকে। একক কোনো পয়েন্ট এস্টিমেট (যেমন "গড় স্ক্রিন টাইম প্রতিদিন ৩ ঘণ্টা") রিপোর্ট করার পরিবর্তে, একটি কনফিডেন্স ইন্টারভাল একটি ইন্টারভাল প্রদান করে, যেমন ২ ঘণ্টা থেকে ৪ ঘণ্টা।

একটি কনফিডেন্স ইন্টারভাল একটি পূর্বনির্ধারিত কভারেজ প্রোবাবিলিটি-এর ওপর ভিত্তি করে তৈরি হয়, যাকে কনফিডেন্স লেভেল বলা হয়, যা সাধারণত ৯৫% হয়ে থাকে। ৯৫% কনফিডেন্স লেভেলের অর্থ এই নয় যে, কোনো নমুনা থেকে গণনা করা একটি নির্দিষ্ট CI-এর মধ্যে প্রকৃত প্যারামিটারটি থাকার সম্ভাবনা ৯৫% (এই ধরনের ব্যাখ্যা বেইসিয়ান ইনফারেন্স-এ ক্রেডিবল ইন্টারভাল-এর সাথে সম্পর্কিত)। বরং কনফিডেন্স লেভেল ইন্টারভাল তৈরির পদ্ধতির দীর্ঘমেয়াদী কার্যকারিতা প্রতিফলিত করে। অন্য কথায়, যদি একই পপুলেশন থেকে ১০০ বার একই নমুনা গ্রহণের পদ্ধতি পুনরাবৃত্তি করা হয়, তবে প্রাপ্ত ইন্টারভালগুলোর মধ্যে প্রায় ৯৫টি ইন্টারভালে প্রকৃত পপুলেশন গড় থাকার কথা। ফ্রিকোয়েন্টিস্ট দৃষ্টিভঙ্গিতে প্রকৃত পপুলেশন গড়কে একটি স্থির অজানা ধ্রুবক হিসেবে দেখা হয়, যেখানে কনফিডেন্স ইন্টারভালটি একটি র‍্যান্ডম নমুনা থেকে প্রাপ্ত ডেটা ব্যবহার করে গণনা করা হয়। যেহেতু নমুনাটি র‍্যান্ডম, তাই ইন্টারভালের প্রান্তবিন্দুগুলো র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল।

সংজ্ঞা

ধরা যাক $X$ হলো একটি সম্ভাব্যতা বিন্যাস থেকে নেওয়া একটি র‍্যান্ডম নমুনা, যার পরিসংখ্যানগত প্যারামিটার $(\theta ,\phi )$। এখানে, $\theta$ হলো সেই পরিমাণ যা অনুমান করতে হবে, এবং $\phi$ হলো অন্যান্য প্যারামিটার (যদি থাকে) যা বিন্যাস নির্ধারণ করে। প্যারামিটার $\theta$-এর জন্য $\gamma$ কনফিডেন্স লেভেল বা সহগ বিশিষ্ট একটি কনফিডেন্স ইন্টারভাল হলো $(u(X),v(X))$ ইন্টারভাল, যা র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল $u(X)$ এবং $v(X)$ দ্বারা নির্ধারিত হয় এবং যার বৈশিষ্ট্য হলো: $$P(u(X)<\theta <v(X))=\gamma \text{সকল }(\theta ,\phi )\text{-এর জন্য।}$$

সংখ্যা $\gamma$, যা সাধারণত বড় হয় (যেমন ০.৯৫), কখনও কখনও $1-\alpha$ আকারে (অথবা শতাংশ হিসেবে $100\cdot (1-\alpha )\mathrm{\%}$) দেওয়া হয়, যেখানে $\alpha$ একটি ছোট ধনাত্মক সংখ্যা, প্রায়শই ০.০৫। এর অর্থ হলো, পুনরাবৃত্ত নমুনা গ্রহণের ক্ষেত্রে $(u(X),v(X))$ ইন্টারভালটির $\theta$-এর মানকে কভার করার সম্ভাবনা $\gamma$।

বিকল্পভাবে, কিছু লেখক কেবল এই শর্তটি দাবি করেন যে

$$P(u(X)<\theta <v(X))\ge \gamma \text{সকল }(\theta ,\phi )\text{-এর জন্য।}$$ কনফিডেন্স লেভেলকে "কমপক্ষে $100\gamma \mathrm{\%}$" হিসেবে বর্ণনা করা যেতে পারে। যখন জানা যায় যে কিছু প্যারামিটার মানের জন্য কভারেজ প্রোবাবিলিটি $\gamma$-এর চেয়ে কঠোরভাবে বড় হতে পারে, তখন কনফিডেন্স ইন্টারভালটিকে রক্ষণশীল (conservative) বলা হয়, অর্থাৎ এটি নিরাপদ দিকে ভুল করে।

অনেক প্রয়োগে, ঠিক প্রয়োজনীয় কনফিডেন্স লেভেল বিশিষ্ট কনফিডেন্স ইন্টারভাল তৈরি করা কঠিন, কিন্তু আনুমানিক ইন্টারভাল গণনা করা যায়। ইন্টারভাল তৈরির নিয়মটি গ্রহণ করা যেতে পারে যদি

$$P(u(X)<\theta <v(X))\approx \gamma$$

একটি গ্রহণযোগ্য মাত্রার আসন্ন মানে হয়।

ব্যুৎপত্তির পদ্ধতি

কনফিডেন্স ইন্টারভাল গণনার অনেক উপায় রয়েছে এবং সেরা পদ্ধতিটি পরিস্থিতির ওপর নির্ভর করে। দুটি ব্যাপকভাবে প্রযোজ্য পদ্ধতি হলো বুটস্ট্র্যাপিং এবং সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম। পরবর্তী পদ্ধতিটি কেবল তখনই কাজ করে যখন নমুনা বড় হয়, কারণ এতে নমুনার গড় $\overline{X}$ এবং নমুনার স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন $S$ গণনা করতে হয় এবং অ্যাসিপটোটিক্যালি স্ট্যান্ডার্ড নরমাল রাশি ব্যবহার করতে হয়

$$\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$$

যেখানে $\mu$ এবং $n$ যথাক্রমে পপুলেশন গড় এবং নমুনার আকার।

উদাহরণ

ধরা যাক $X_1,\dots ,X_n$ হলো একটি নরমাল বিন্যাস থেকে নেওয়া একটি স্বাধীন নমুনা, যার অজানা প্যারামিটার গড় $\mu$ এবং ভেদাঙ্ক ${\sigma }^2$। নমুনার গড় $\overline{X}$ এবং অপক্ষপাতমূলক নমুনার ভেদাঙ্ক $S^2$-কে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা যাক

$$\begin{array}{rl}\overline{X}& =\frac{1}{n}(X_1+\cdots +X_n),\\ S^2& =\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2.\end{array}$$

তাহলে মানটি

$$T=\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$$

এর একটি স্টুডেন্টস টি-বিন্যাস রয়েছে যার ডিগ্রি অফ ফ্রিডম $n-1$। এই মানটি দরকারী কারণ এর বিন্যাসটি পর্যবেক্ষণ অযোগ্য প্যারামিটার $\mu$ এবং ${\sigma }^2$-এর মানের ওপর নির্ভর করে না; অর্থাৎ, এটি একটি পিভোটাল কোয়ান্টিটি।

ধরা যাক আমরা $\mu$-এর জন্য একটি ৯৫% কনফিডেন্স ইন্টারভাল গণনা করতে চাই। প্রথমে, ধরা যাক $c$ হলো $T$-এর বিন্যাসের ৯৭.৫তম পার্সেন্টাইল। তাহলে ২.৫% সম্ভাবনা আছে যে $T$ মানটি $-c$-এর চেয়ে কম হবে এবং ২.৫% সম্ভাবনা আছে যে এটি $+c$-এর চেয়ে বেশি হবে (যেহেতু টি-বিন্যাসটি ০-এর সাপেক্ষে প্রতিসম)। অন্য কথায়,

$$P_T(-c\le T\le c)=0.95.$$

ফলস্বরূপ, $T$-কে $\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে এবং পদগুলো পুনর্বিন্যাস করে,

$$P_X(\overline{X}-\frac{cS}{\sqrt{n}}\le \mu \le \overline{X}+\frac{cS}{\sqrt{n}})=0.95$$

যেখানে $P_X$ হলো নমুনা $X_1,\dots ,X_n$-এর জন্য সম্ভাব্যতা পরিমাপ।

এর অর্থ হলো, পুনরাবৃত্ত নমুনা গ্রহণের ক্ষেত্রে এই শর্তটি Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \bar{X} - \frac} \leq \mu \leq \bar{X} + \frac}} ঘটার সম্ভাবনা ৯৫%। একটি নমুনা পর্যবেক্ষণ করার পর, আমরা $\overline{X}$-এর জন্য $\overline{x}$ এবং $S$-এর জন্য $s$ মান পাই, যা থেকে আমরা নিচের ইন্টারভালটি গণনা করি এবং আমরা বলি এটি গড়ের জন্য একটি ৯৫% কনফিডেন্স ইন্টারভাল।

$$[\overline{x}-\frac{cs}{\sqrt{n}},\overline{x}+\frac{cs}{\sqrt{n}}].$$

গ্রন্থপঞ্জি

• Confidence estimation
• ফিশার, আর.এ. (১৯৫৬) স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেথডস অ্যান্ড সায়েন্টিফিক ইনফারেন্স (Statistical Methods and Scientific Inference) অলিভার অ্যান্ড বয়েড, এডিনবরা। (পৃষ্ঠা ৩২ দেখুন।)
• ফ্রুয়েন্ড, জে.ই. (১৯৬২) ম্যাথমেটিক্যাল স্ট্যাটিস্টিকস (Mathematical Statistics) প্রেন্টিস হল, এঙ্গলউড ক্লিফস, এনজে। (পৃষ্ঠা ২২৭–২২৮ দেখুন।)
• হ্যাকিং, আই. (১৯৬৫) লজিক অফ স্ট্যাটিস্টিক্যাল ইনফারেন্স (Logic of Statistical Inference) কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, কেমব্রিজ। 0-521-05165-7
• কিপিং, ই.এস. (১৯৬২) ইন্ট্রোডাকশন টু স্ট্যাটিস্টিক্যাল ইনফারেন্স (Introduction to Statistical Inference) ডি. ভ্যান নস্ট্র্যান্ড, প্রিন্সটন, এনজে।
• (১৯৭৭). "কন্ডিশনাল কনফিডেন্স স্টেটমেন্টস অ্যান্ড কনফিডেন্স এস্টিমেটরস (উইথ ডিসকাশন)". জার্নাল অফ দ্য আমেরিকান স্ট্যাটিস্টিক্যাল অ্যাসোসিয়েশন. ৭২ (৩৬০এ) ৭৮৯–৮২৭. doi:10.1080/01621459.1977.10479956.
• মায়ো, ডি. জি. (১৯৮১) "ইন ডিফেন্স অফ দ্য নেইম্যান-পিয়ারসন থিওরি অফ কনফিডেন্স ইন্টারভ্যালস", ফিলোসফি অফ সায়েন্স, ৪৮ (২), ২৬৯–২৮০। 187185।
• মেহতা, এস. (২০১৪) স্ট্যাটিস্টিকস টপিকস (Statistics Topics)। 978-1-4992-7353-3।
• (২০১৬). "দ্য ফ্যালাসি অফ প্লেসিং কনফিডেন্স ইন কনফিডেন্স ইন্টারভ্যালস". সাইকোোনোমিক বুলেটিন অ্যান্ড রিভিউ. ২৩ (১) ১০৩–১২৩. doi:10.3758/s13423-015-0947-8.
• নেইম্যান, জে. (১৯৩৭) "আউটলাইন অফ আ থিওরি অফ স্ট্যাটিস্টিক্যাল এস্টিমেশন বেসড অন দ্য ক্লাসিক্যাল থিওরি অফ প্রোবাবিলিটি" ফিলোসফিক্যাল ট্রানজ্যাকশনস অফ দ্য রয়্যাল সোসাইটি অফ লন্ডন এ, ২৩৬, ৩৩৩–৩৮০। (মৌলিক কাজ)
• (১৯৭৫). "সাম কাউন্টারএক্সাম্পলস টু দ্য থিওরি অফ কনফিডেন্স ইন্টারভ্যালস". বায়োমেট্রিকা. ৬২ (১) ১৫৫–১৬১. doi:10.1093/biomet/62.1.155.
• স্যাভেজ, এল. জে. (১৯৬২), দ্য ফাউন্ডেশনস অফ স্ট্যাটিস্টিক্যাল ইনফারেন্স (The Foundations of Statistical Inference)। মেথুয়েন, লন্ডন।
• স্মিথসন, এম. (২০০৩) কনফিডেন্স ইন্টারভ্যালস (Confidence intervals)। কোয়ান্টিটেটিভ অ্যাপ্লিকেশনস ইন দ্য সোশ্যাল সায়েন্সেস সিরিজ, নং ১৪০। বেলমন্ট, সিএ: সেজ পাবলিকেশনস। 978-0-7619-2499-9।

বহিঃসংযোগ

• দ্য এক্সপ্লোরেটরি সফটওয়্যার ফর কনফিডেন্স ইন্টারভ্যালস টিউটোরিয়াল প্রোগ্রামস দ্যাট রান আন্ডার এক্সেল
• কনফিডেন্স ইন্টারভ্যাল ক্যালকুলেটরস ফর আর-স্কয়ারস, রিগ্রেশন কো-এফিসিয়েন্টস, অ্যান্ড রিগ্রেশন ইন্টারসেপ্টস
• ConfidenceInterval
• CAUSEweb.org পরিসংখ্যান শেখানোর জন্য অনেক রিসোর্স, যার মধ্যে কনফিডেন্স ইন্টারভ্যাল অন্তর্ভুক্ত।
• কনফিডেন্স ইন্টারভ্যালের একটি ইন্টারঅ্যাক্টিভ পরিচিতি
• কনফিডেন্স ইন্টারভ্যালস: কনফিডেন্স লেভেল, স্যাম্পল সাইজ, অ্যান্ড মার্জিন অফ এরর এরিক শুলজ, উলফ্রাম ডেমোনস্ট্রেশনস প্রজেক্ট।
• কনফিডেন্স ইন্টারভ্যালস ইন পাবলিক হেলথ সংরক্ষিত সংস্করণ. উদাহরণসহ সহজবোধ্য বর্ণনা এবং ছোট স্যাম্পল সাইজ বা ০-এর কাছাকাছি হারের ক্ষেত্রে কী করতে হবে তার নির্দেশনা।

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Confidence interval” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Confidence_interval এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।