বেয়েসিয়ান ইনফারেন্স

বেয়েসিয়ান ইনফারেন্স (IPA: /ˈbeɪziən/ ən বা IPA: /ˈbeɪʒən/ zhən) হলো পরিসংখ্যানগত অনুমান (statistical inference)-এর একটি পদ্ধতি, যেখানে কোনো হাইপোথিসিস বা অনুমানের সম্ভাবনা নির্ণয় করতে বেয়েসের উপপাদ্য (Bayes' theorem) ব্যবহার করা হয়। এটি পূর্ববর্তী প্রমাণ (evidence)-এর ভিত্তিতে সম্ভাবনা গণনা করে এবং নতুন তথ্য (information) উপলব্ধ হওয়ার সাথে সাথে তা আপডেট করে। মূলত, বেয়েসিয়ান ইনফারেন্স একটি প্রায়র ডিস্ট্রিবিউশন (prior distribution) ব্যবহার করে পোস্টেরিয়র প্রোবাবিলিটি (posterior probabilities) অনুমান করে। বেয়েসিয়ান ইনফারেন্স পরিসংখ্যান এবং বিশেষ করে গাণিতিক পরিসংখ্যান-এর একটি গুরুত্বপূর্ণ কৌশল। বেয়েসিয়ান আপডেটিং বিশেষ করে তথ্যের ধারার গতিশীল বিশ্লেষণে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। বেয়েসিয়ান ইনফারেন্স বিজ্ঞান, প্রকৌশল, দর্শন, চিকিৎসা, খেলাধুলা, মনোবিজ্ঞান এবং আইনসহ বিস্তৃত ক্ষেত্রে প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছে। সিদ্ধান্ত তত্ত্বের দর্শনে, বেয়েসিয়ান ইনফারেন্স বিষয়গত সম্ভাবনার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যাকে প্রায়শই "বেয়েসিয়ান প্রোবাবিলিটি" বলা হয়।

বেয়েসের নিয়মের পরিচিতি

বেয়েসের উপপাদ্যের একটি জ্যামিতিক দৃশ্যমান রূপ। সারণীতে, ২, ৩, ৬ এবং ৯ মানগুলো প্রতিটি সংশ্লিষ্ট শর্ত এবং ঘটনার আপেক্ষিক গুরুত্ব প্রদান করে। চিত্রগুলো সারণীর প্রতিটি সেলের মান নির্দেশ করে, যেখানে সম্ভাবনা হলো প্রতিটি চিত্রের ছায়াযুক্ত অংশের ভগ্নাংশ। এটি দেখায় যে $P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$ অর্থাৎ $P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$। একই যুক্তি ব্যবহার করে দেখানো যায় যে $P(\mathrm{\neg }A|B)=\frac{P(B|\mathrm{\neg }A)P(\mathrm{\neg }A)}{P(B)}$ ইত্যাদি।

মূল নিবন্ধ: বেয়েসের উপপাদ্য আরও দেখুন: বেয়েসিয়ান প্রোবাবিলিটি

আনুষ্ঠানিক ব্যাখ্যা

কন্টিনজেন্সি টেবিল

হাইপোথিসিস	হাইপোথিসিস H পূরণ করে	হাইপোথিসিস \neg H লঙ্ঘন করে		মোট
প্রমাণ আছে E	$P(H|E)\cdot P(E)$ $=P(E|H)\cdot P(H)$	$P(\mathrm{\neg }H|E)\cdot P(E)$ $=P(E|\mathrm{\neg }H)\cdot P(\mathrm{\neg }H)$		P(E)
প্রমাণ নেই \neg E	$P(H|\mathrm{\neg }E)\cdot P(\mathrm{\neg }E)$ $=P(\mathrm{\neg }E|H)\cdot P(H)$	$P(\mathrm{\neg }H|\mathrm{\neg }E)\cdot P(\mathrm{\neg }E)$ $=P(\mathrm{\neg }E|\mathrm{\neg }H)\cdot P(\mathrm{\neg }H)$		$P(\mathrm{\neg }E)$= $1-P(E)$
মোট	P(H)	$P(\mathrm{\neg }H)=1-P(H)$	1

বেয়েসিয়ান ইনফারেন্স দুটি অ্যান্টিসিডেন্ট বা পূর্ববর্তী শর্তের ফলাফল হিসেবে পোস্টেরিয়র প্রোবাবিলিটি আহরণ করে: একটি প্রায়র প্রোবাবিলিটি এবং পর্যবেক্ষণ করা তথ্যের জন্য একটি পরিসংখ্যানগত মডেল থেকে প্রাপ্ত একটি "লাইকলিহুড ফাংশন"। বেয়েসিয়ান ইনফারেন্স বেয়েসের উপপাদ্য অনুযায়ী পোস্টেরিয়র প্রোবাবিলিটি গণনা করে:

$$P(H\mid E)=\frac{P(E\mid H)\cdot P(H)}{P(E)},$$

যেখানে

• $H$ যেকোনো হাইপোথিসিস বা অনুমানকে বোঝায় যার সম্ভাবনা উপাত্ত (নিচে 'প্রমাণ' বলা হয়েছে) দ্বারা প্রভাবিত হতে পারে। প্রায়শই একাধিক প্রতিদ্বন্দ্বী হাইপোথিসিস থাকে এবং কাজটি হলো কোনটি সবচেয়ে সম্ভাব্য তা নির্ধারণ করা।
• $P(H)$, অর্থাৎ প্রায়র প্রোবাবিলিটি, হলো বর্তমান প্রমাণ $E$ পর্যবেক্ষণ করার আগে হাইপোথিসিস $H$-এর সম্ভাবনার অনুমান।
• $E$, অর্থাৎ প্রমাণ, নতুন তথ্যকে নির্দেশ করে যা প্রায়র প্রোবাবিলিটি গণনার সময় ব্যবহৃত হয়নি।
• $P(H\mid E)$, অর্থাৎ পোস্টেরিয়র প্রোবাবিলিটি, হলো $E$ পর্যবেক্ষণ করার পরে $H$-এর সম্ভাবনা। এটিই আমরা জানতে চাই: পর্যবেক্ষণ করা প্রমাণের ভিত্তিতে একটি হাইপোথিসিসের সম্ভাবনা।
• $P(E\mid H)$ হলো $H$-এর ভিত্তিতে $E$ পর্যবেক্ষণ করার সম্ভাবনা এবং একে লাইকলিহুড বলা হয়। $H$ স্থির রেখে $E$-এর ফাংশন হিসেবে, এটি প্রদত্ত হাইপোথিসিসের সাথে প্রমাণের সামঞ্জস্য নির্দেশ করে। লাইকলিহুড ফাংশন হলো প্রমাণের $E$-এর ফাংশন, যেখানে পোস্টেরিয়র প্রোবাবিলিটি হলো হাইপোথিসিস $H$-এর ফাংশন।
• $P(E)$-কে কখনও কখনও মার্জিনাল লাইকলিহুড বা "মডেল এভিডেন্স" বলা হয়। এই ফ্যাক্টরটি বিবেচনাধীন সমস্ত সম্ভাব্য হাইপোথিসিসের জন্য একই (যা এই সত্য থেকে স্পষ্ট যে হাইপোথিসিস $H$ এই প্রতীকে কোথাও উপস্থিত নেই, অন্যান্য ফ্যাক্টরের মতো নয়) এবং তাই বিভিন্ন হাইপোথিসিসের আপেক্ষিক সম্ভাবনা নির্ধারণে এটি কোনো ভূমিকা রাখে না।
• $P(E)>0$, কারণ অন্যথায় বেয়েসের উপপাদ্যের হর শূন্য হয়ে যায়।

$H$-এর বিভিন্ন মানের জন্য, শুধুমাত্র লবের ফ্যাক্টর $P(H)$ এবং $P(E\mid H)$-ই $P(H\mid E)$-এর মানকে প্রভাবিত করে—একটি হাইপোথিসিসের পোস্টেরিয়র প্রোবাবিলিটি তার প্রায়র প্রোবাবিলিটি (এর অন্তর্নিহিত সম্ভাব্যতা) এবং নতুন প্রাপ্ত লাইকলিহুড (নতুন পর্যবেক্ষণ করা প্রমাণের সাথে এর সামঞ্জস্য)-এর সমানুপাতিক।

যেসব ক্ষেত্রে $\mathrm{\neg }H$ ("$H$ নয়"), যা $H$-এর লজিক্যাল নেগেশন, একটি বৈধ লাইকলিহুড, সেখানে বেয়েসের নিয়মকে নিম্নরূপভাবে লেখা যায়:

$$\begin{array}{rl}P(H\mid E)& =\frac{P(E\mid H)P(H)}{P(E)}\\ \\ & =\frac{P(E\mid H)P(H)}{P(E\mid H)P(H)+P(E\mid \mathrm{\neg }H)P(\mathrm{\neg }H)}\\ \\ & =\frac{1}{1+(\frac{1}{P(H)}-1)\frac{P(E\mid \mathrm{\neg }H)}{P(E\mid H)}}\\ \end{array}$$

কারণ

$$P(E)=P(E\mid H)P(H)+P(E\mid \mathrm{\neg }H)P(\mathrm{\neg }H)$$

এবং

$$P(H)+P(\mathrm{\neg }H)=1.$$

এটি নিচের পদের দিকে মনোযোগ আকর্ষণ করে:

$$(\frac{1}{P(H)}-1)\frac{P(E\mid \mathrm{\neg }H)}{P(E\mid H)}.$$

যদি সেই পদটি প্রায় ১ হয়, তবে প্রমাণের ভিত্তিতে হাইপোথিসিসের সম্ভাবনা, $P(H\mid E)$, প্রায় $\frac{1}{2}$ বা ৫০% হয়—অর্থাৎ হাইপোথিসিসটি সত্য বা মিথ্যা হওয়ার সম্ভাবনা সমান। যদি পদটি খুব ছোট বা শূন্যের কাছাকাছি হয়, তবে প্রমাণের ভিত্তিতে হাইপোথিসিসের সম্ভাবনা $P(H\mid E)$ ১-এর কাছাকাছি বা হাইপোথিসিসটি অত্যন্ত সম্ভাব্য। যদি পদটি খুব বড় হয়, ১-এর চেয়ে অনেক বেশি, তবে প্রমাণের ভিত্তিতে হাইপোথিসিসটি অত্যন্ত অসম্ভাব্য। যদি হাইপোথিসিসটি (প্রমাণ বিবেচনা না করে) অসম্ভাব্য হয়, তবে $P(H)$ ছোট হয় (কিন্তু অগত্যা জ্যোতির্বিজ্ঞানীয়ভাবে ছোট নয়) এবং $\frac{1}{P(H)}$ ১-এর চেয়ে অনেক বড় হয় এবং এই পদটিকে $\frac{P(E\mid \mathrm{\neg }H)}{P(E\mid H)\cdot P(H)}$ হিসেবে অনুমান করা যায় এবং প্রাসঙ্গিক সম্ভাবনাগুলোকে সরাসরি একে অপরের সাথে তুলনা করা যায়।

সমীকরণটি মনে রাখার একটি দ্রুত এবং সহজ উপায় হলো গুণফলের নিয়ম ব্যবহার করা:

$$P(E\cap H)=P(E\mid H)P(H)=P(H\mid E)P(E).$$

বেয়েসিয়ান আপডেটিং-এর বিকল্পসমূহ

বেয়েসিয়ান আপডেটিং ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় এবং গণনার জন্য সুবিধাজনক। তবে, এটিই একমাত্র আপডেটিং নিয়ম নয় যা যৌক্তিক বলে বিবেচিত হতে পারে।

ইয়ান হ্যাকিং উল্লেখ করেছেন যে প্রচলিত "ডাচ বুক" যুক্তিগুলো বেয়েসিয়ান আপডেটিং নির্দিষ্ট করেনি: তারা এই সম্ভাবনা খোলা রেখেছিল যে অ-বেয়েসিয়ান আপডেটিং নিয়মগুলো ডাচ বুক এড়াতে পারে। হ্যাকিং লিখেছেন: "এবং ডাচ বুক যুক্তি বা সম্ভাব্যতা স্বতঃসিদ্ধের প্রমাণের ব্যক্তিগত অস্ত্রাগারে অন্য কোনো কিছুই গতিশীল অনুমানকে অন্তর্ভুক্ত করে না। কোনটিই বেয়েসিয়ানবাদকে অন্তর্ভুক্ত করে না। তাই ব্যক্তিগতবাদীর বেয়েসিয়ান হওয়ার জন্য গতিশীল অনুমানের প্রয়োজন। এটা সত্য যে সামঞ্জস্য বজায় রাখতে একজন ব্যক্তিগতবাদী অভিজ্ঞতা থেকে শেখার বেয়েসিয়ান মডেল ত্যাগ করতে পারেন।"

প্রকৃতপক্ষে, এমন অ-বেয়েসিয়ান আপডেটিং নিয়ম রয়েছে যা ডাচ বুক এড়ায় (যেমন "প্রোবাবিলিটি কাইনেমেটিক্স" সংক্রান্ত সাহিত্যে আলোচিত হয়েছে), যা রিচার্ড সি. জেফ্রি-এর নিয়মের প্রকাশের পর এসেছে, যা বেয়েসের নিয়মকে এমন ক্ষেত্রে প্রয়োগ করে যেখানে প্রমাণকেই একটি সম্ভাবনা প্রদান করা হয়। বেয়েসিয়ান আপডেটিং-এর জন্য প্রয়োজনীয় অতিরিক্ত হাইপোথিসিসগুলোকে যথেষ্ট, জটিল এবং অসন্তোষজনক বলে মনে করা হয়েছে।

এক্সক্লুসিভ এবং এক্সহস্টিভ সম্ভাবনার ওপর ইনফারেন্স

যদি প্রমাণ একই সাথে এক সেট এক্সক্লুসিভ (পরস্পর বর্জনীয়) এবং এক্সহস্টিভ (নিঃশেষকারী) প্রস্তাবনার ওপর বিশ্বাস আপডেট করতে ব্যবহৃত হয়, তবে বেয়েসিয়ান ইনফারেন্সকে এই বিশ্বাস বিতরণের ওপর সামগ্রিকভাবে কাজ করছে বলে মনে করা যেতে পারে।

সাধারণ সূত্রায়ন

বেয়েসিয়ান ইনফারেন্সের সাধারণ সূত্রায়নে ইভেন্ট স্পেস $\mathrm{\Omega }$ চিত্রিতকারী ডায়াগ্রাম। যদিও এই ডায়াগ্রামটি বিচ্ছিন্ন মডেল এবং ঘটনা দেখায়, অবিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রটিকেও সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ব্যবহার করে একইভাবে কল্পনা করা যেতে পারে।

ধরা যাক একটি প্রক্রিয়া স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণ করা ঘটনা $E_n,n=1,2,3,\dots$ তৈরি করছে, কিন্তু সম্ভাব্যতা বিতরণ অজানা। ইভেন্ট স্পেস $\mathrm{\Omega }$-কে এই প্রক্রিয়ার জন্য বিশ্বাসের বর্তমান অবস্থা হিসেবে ধরা যাক। প্রতিটি মডেল ইভেন্ট $M_m$ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। মডেলগুলোকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য কন্ডিশনাল প্রোবাবিলিটি $P(E_n\mid M_m)$ নির্দিষ্ট করা হয়েছে। $P(M_m)$ হলো $M_m$-এর ওপর বিশ্বাসের মাত্রা। প্রথম ইনফারেন্স ধাপের আগে, $\{P(M_m)\}$ হলো প্রাথমিক প্রায়র প্রোবাবিলিটি-এর একটি সেট। এগুলো অবশ্যই ১-এর সমান হতে হবে, কিন্তু অন্যথায় এগুলো ইচ্ছামাফিক।

ধরা যাক প্রক্রিয়াটি $E\in \{E_n\}$ তৈরি করতে দেখা গেছে। প্রতিটি $M\in \{M_m\}$-এর জন্য, প্রায়র $P(M)$ আপডেট হয়ে পোস্টেরিয়র $P(M\mid E)$-এ পরিণত হয়। বেয়েসের উপপাদ্য থেকে:

$$P(M\mid E)=\frac{P(E\mid M)}{\sum _{m}P(E\mid M_m)P(M_m)}\cdot P(M).$$

আরও প্রমাণ পর্যবেক্ষণের পর, এই পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে।

একাধিক পর্যবেক্ষণ

স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণ করা পর্যবেক্ষণের একটি ধারার জন্য $\mathbf{𝐄}=(e_1,\dots ,e_n)$, গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি দ্বারা দেখানো যেতে পারে যে উপরেরটির পুনরাবৃত্ত প্রয়োগ নিচেরটির সমতুল্য: $$P(M\mid \mathbf{𝐄})=\frac{P(\mathbf{𝐄}\mid M)}{\sum _{m}P(\mathbf{𝐄}\mid M_m)P(M_m)}\cdot P(M),$$ যেখানে $$P(\mathbf{𝐄}\mid M)=\prod _{k}P(e_k\mid M).$$

প্যারামেট্রিক সূত্রায়ন: আনুষ্ঠানিক বর্ণনার অনুপ্রেরণা

মডেলের স্পেসকে প্যারামিটারাইজ করার মাধ্যমে, সমস্ত মডেলে বিশ্বাস একটি একক ধাপে আপডেট করা যেতে পারে। মডেল স্পেসের ওপর বিশ্বাসের বিতরণকে তখন প্যারামিটার স্পেসের ওপর বিশ্বাসের বিতরণ হিসেবে ভাবা যেতে পারে। এই বিভাগের বিতরণগুলো অবিচ্ছিন্ন হিসেবে প্রকাশ করা হয়েছে, যা সম্ভাব্যতা ঘনত্ব দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, কারণ এটিই স্বাভাবিক পরিস্থিতি। তবে, এই কৌশলটি বিচ্ছিন্ন বিতরণের ক্ষেত্রেও সমানভাবে প্রযোজ্য।

ধরা যাক ভেক্টর $\mathit{\theta }$ প্যারামিটার স্পেসকে বিস্তৃত করে। $\mathit{\theta }$-এর ওপর প্রাথমিক প্রায়র বিতরণকে $p(\mathit{\theta }\mid \mathit{\alpha })$ ধরা যাক, যেখানে $\mathit{\alpha }$ হলো প্রায়রের নিজস্ব প্যারামিটারের একটি সেট, বা হাইপারপ্যারামিটার। ধরা যাক $\mathbf{𝐄}=(e_1,\dots ,e_n)$ হলো স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণ করা ঘটনা পর্যবেক্ষণের একটি ধারা, যেখানে সমস্ত $e_i$ কিছু $\mathit{\theta }$-এর জন্য $p(e\mid \mathit{\theta })$ হিসেবে বিতরণ করা হয়েছে। বেয়েসের উপপাদ্য প্রয়োগ করা হয় $\mathit{\theta }$-এর ওপর পোস্টেরিয়র বিতরণ খুঁজে বের করতে:

$$\begin{array}{rl}p(\mathit{\theta }\mid \mathbf{𝐄},\mathit{\alpha })& =\frac{p(\mathbf{𝐄}\mid \mathit{\theta },\mathit{\alpha })}{p(\mathbf{𝐄}\mid \mathit{\alpha })}\cdot p(\mathit{\theta }\mid \mathit{\alpha })\\ & =\frac{p(\mathbf{𝐄}\mid \mathit{\theta },\mathit{\alpha })}{\int p(\mathbf{𝐄}\mid \mathit{\theta },\mathit{\alpha })p(\mathit{\theta }\mid \mathit{\alpha })d\mathit{\theta }}\cdot p(\mathit{\theta }\mid \mathit{\alpha }),\end{array}$$ যেখানে $$p(\mathbf{𝐄}\mid \mathit{\theta },\mathit{\alpha })=\prod _{k}p(e_k\mid \mathit{\theta }).$$

আনুষ্ঠানিক বর্ণনা

সংজ্ঞাসমূহ

• $x$, সাধারণভাবে একটি ডেটা পয়েন্ট। এটি মানগুলোর একটি ভেক্টর হতে পারে।
• $\theta$, ডেটা পয়েন্টের বিতরণের প্যারামিটার, অর্থাৎ $x\sim p(x\mid \theta )$। এটি প্যারামিটারের একটি ভেক্টর হতে পারে।
• $\alpha$, প্যারামিটার বিতরণের হাইপারপ্যারামিটার, অর্থাৎ $\theta \sim p(\theta \mid \alpha )$। এটি হাইপারপ্যারামিটারের একটি ভেক্টর হতে পারে।
• $\mathbf{𝐗}$ হলো নমুনা, $n$ সংখ্যক পর্যবেক্ষণ করা ডেটা পয়েন্টের একটি সেট, অর্থাৎ $x_1,\dots ,x_n$।
• $\tilde{x}$, একটি নতুন ডেটা পয়েন্ট যার বিতরণ ভবিষ্যদ্বাণী করা হবে।

বেয়েসিয়ান ইনফারেন্স

• প্রায়র বিতরণ হলো কোনো ডেটা পর্যবেক্ষণ করার আগে প্যারামিটার(সমূহ)-এর বিতরণ, অর্থাৎ $p(\theta \mid \alpha )$। প্রায়র বিতরণ সহজে নির্ধারণ করা সম্ভব নাও হতে পারে; সেক্ষেত্রে, নতুন পর্যবেক্ষণের সাথে আপডেট করার আগে একটি প্রায়র বিতরণ পেতে জেফ্রিস প্রায়র ব্যবহার করা একটি সম্ভাবনা হতে পারে।
• স্যাম্পলিং বিতরণ হলো এর প্যারামিটারের শর্তসাপেক্ষে পর্যবেক্ষণ করা ডেটার বিতরণ, অর্থাৎ $p(\mathbf{𝐗}\mid \theta )$। একে লাইকলিহুড-ও বলা হয়, বিশেষ করে যখন প্যারামিটার(সমূহ)-এর ফাংশন হিসেবে দেখা হয়, কখনও কখনও লেখা হয় $\mathrm{L}(\theta \mid \mathbf{𝐗})=p(\mathbf{𝐗}\mid \theta )$।
• মার্জিনাল লাইকলিহুড (কখনও কখনও এভিডেন্স নামেও পরিচিত) হলো প্যারামিটার(সমূহ)-এর ওপর মার্জিনালাইজড পর্যবেক্ষণ করা ডেটার বিতরণ, অর্থাৎ $$p(\mathbf{𝐗}\mid \alpha )=\int p(\mathbf{𝐗}\mid \theta )p(\theta \mid \alpha )d\theta .$$ এটি ডেটা এবং বিশেষজ্ঞ মতামতের মধ্যে সামঞ্জস্য পরিমাপ করে, একটি জ্যামিতিক অর্থে যা সুনির্দিষ্ট করা যেতে পারে। যদি মার্জিনাল লাইকলিহুড ০ হয়, তবে ডেটা এবং বিশেষজ্ঞ মতামতের মধ্যে কোনো সামঞ্জস্য নেই এবং বেয়েসের নিয়ম প্রয়োগ করা যাবে না।
• পোস্টেরিয়র বিতরণ হলো পর্যবেক্ষণ করা ডেটা বিবেচনায় নেওয়ার পর প্যারামিটার(সমূহ)-এর বিতরণ। এটি বেয়েসের নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয়, যা বেয়েসিয়ান ইনফারেন্সের কেন্দ্রবিন্দু:

$p(\theta \mid \mathbf{𝐗},\alpha )=\frac{p(\theta ,\mathbf{𝐗},\alpha )}{p(\mathbf{𝐗},\alpha )}=\frac{p(\mathbf{𝐗}\mid \theta ,\alpha )p(\theta ,\alpha )}{p(\mathbf{𝐗}\mid \alpha )p(\alpha )}$ $=\frac{p(\mathbf{𝐗}\mid \theta ,\alpha )p(\theta \mid \alpha )}{p(\mathbf{𝐗}\mid \alpha )}\propto p(\mathbf{𝐗}\mid \theta ,\alpha )p(\theta \mid \alpha ).$

কথায় একে প্রকাশ করা হয় "পোস্টেরিয়র লাইকলিহুড গুণ প্রায়রের সমানুপাতিক", অথবা কখনও কখনও "পোস্টেরিয়র = লাইকলিহুড গুণ প্রায়র, ভাগ এভিডেন্স"।

• বাস্তবে, মেশিন লার্নিংয়ে ব্যবহৃত প্রায় সমস্ত জটিল বেয়েসিয়ান মডেলের জন্য, পোস্টেরিয়র বিতরণ $p(\theta \mid \mathbf{𝐗},\alpha )$ ক্লোজড-ফর্ম বিতরণে পাওয়া যায় না, মূলত কারণ $\theta$-এর প্যারামিটার স্পেস খুব উচ্চ হতে পারে, অথবা বেয়েসিয়ান মডেলটি পর্যবেক্ষণ $\mathbf{𝐗}$ এবং প্যারামিটার $\theta$ থেকে তৈরি নির্দিষ্ট হায়ারার্কিকাল কাঠামো বজায় রাখে। এমন পরিস্থিতিতে, আমাদের অনুমান কৌশলের আশ্রয় নিতে হয়।
• সাধারণ ক্ষেত্র: ধরা যাক $P_Y^x$ হলো $X=x$ দেওয়া থাকলে $Y$-এর কন্ডিশনাল বিতরণ এবং $P_X$ হলো $X$-এর বিতরণ। জয়েন্ট বিতরণ তখন $P_{X,Y}(dx,dy)=P_Y^x(dy)P_X(dx)$। $Y=y$ দেওয়া থাকলে $X$-এর কন্ডিশনাল বিতরণ $P_X^y$ তখন নির্ধারিত হয়

$$P_X^y(A)=E(1_A(X)|Y=y)$$প্রয়োজনীয় কন্ডিশনাল এক্সপেক্টেশন-এর অস্তিত্ব এবং অনন্যতা রাডন-নিকোডিম উপপাদ্য-এর একটি ফলাফল। এটি ১৯৩৩ সালে আন্দ্রে কোলমোগোরভ তার বিখ্যাত বইতে সূত্রায়িত করেছিলেন। কোলমোগোরভ তার ভূমিকায় কন্ডিশনাল সম্ভাব্যতা এবং কন্ডিশনাল এক্সপেক্টেশনের গুরুত্বের ওপর জোর দিয়েছিলেন। বেয়েসের উপপাদ্য প্রায়র বিতরণ থেকে পোস্টেরিয়র বিতরণ নির্ধারণ করে। অনন্যতার জন্য ধারাবাহিকতা অনুমানের প্রয়োজন। বেয়েসের উপপাদ্যকে ইমপ্রপার প্রায়র বিতরণ যেমন বাস্তব রেখায় ইউনিফর্ম বিতরণ অন্তর্ভুক্ত করার জন্য সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। আধুনিক মার্কভ চেইন মন্টে কার্লো পদ্ধতিগুলো ইমপ্রপার প্রায়রসহ বেয়েসের উপপাদ্যের গুরুত্ব বাড়িয়েছে।

বেয়েসিয়ান ভবিষ্যদ্বাণী

• পোস্টেরিয়র প্রেডিক্টিভ ডিস্ট্রিবিউশন হলো একটি নতুন ডেটা পয়েন্টের বিতরণ, যা পোস্টেরিয়রের ওপর মার্জিনালাইজড: $$p(\tilde{x}\mid \mathbf{𝐗},\alpha )=\int p(\tilde{x}\mid \theta )p(\theta \mid \mathbf{𝐗},\alpha )d\theta$$
• প্রায়র প্রেডিক্টিভ ডিস্ট্রিবিউশন হলো একটি নতুন ডেটা পয়েন্টের বিতরণ, যা প্রায়রের ওপর মার্জিনালাইজড: $$p(\tilde{x}\mid \alpha )=\int p(\tilde{x}\mid \theta )p(\theta \mid \alpha )d\theta$$

বেয়েসিয়ান তত্ত্ব প্রেডিক্টিভ ইনফারেন্স করার জন্য পোস্টেরিয়র প্রেডিক্টিভ ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহারের আহ্বান জানায়, অর্থাৎ একটি নতুন, পর্যবেক্ষণ না করা ডেটা পয়েন্টের বিতরণ ভবিষ্যদ্বাণী করতে। অর্থাৎ, ভবিষ্যদ্বাণী হিসেবে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর পরিবর্তে, সম্ভাব্য বিন্দুগুলোর ওপর একটি বিতরণ প্রদান করা হয়। শুধুমাত্র এভাবেই প্যারামিটার(সমূহ)-এর সম্পূর্ণ পোস্টেরিয়র বিতরণ ব্যবহৃত হয়। তুলনায়, ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পরিসংখ্যান-এ ভবিষ্যদ্বাণী প্রায়শই প্যারামিটার(সমূহ)-এর একটি সর্বোত্তম বিন্দু অনুমান খুঁজে বের করার সাথে জড়িত—যেমন ম্যাক্সিমাম লাইকলিহুড বা ম্যাক্সিমাম আ পোস্টেরিয়রি এস্টিমেশন (MAP) দ্বারা—এবং তারপর এই অনুমানটিকে ডেটা পয়েন্টের বিতরণের সূত্রে বসানো হয়। এর অসুবিধা হলো এটি প্যারামিটারের মানের কোনো অনিশ্চয়তা বিবেচনা করে না, এবং তাই প্রেডিক্টিভ বিতরণের ভ্যারিয়েন্সকে অবমূল্যায়ন করে।

কিছু ক্ষেত্রে, ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পরিসংখ্যান এই সমস্যার সমাধান করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, অজানা গড় এবং ভ্যারিয়েন্সসহ একটি নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন থেকে তৈরি ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পরিসংখ্যানের কনফিডেন্স ইন্টারভাল এবং প্রেডিকশন ইন্টারভালগুলো স্টুডেন্টস টি-ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহার করে তৈরি করা হয়। এটি ভ্যারিয়েন্সকে সঠিকভাবে অনুমান করে, কারণ (১) নরমালি বিতরণ করা র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড়ও নরমালি বিতরণ করা হয়, এবং (২) কনজুগেট বা অ-তথ্যবহুল প্রায়র ব্যবহার করে অজানা গড় এবং ভ্যারিয়েন্সসহ একটি নরমালি বিতরণ করা ডেটা পয়েন্টের প্রেডিক্টিভ বিতরণের একটি স্টুডেন্টস টি-ডিস্ট্রিবিউশন থাকে। তবে, বেয়েসিয়ান পরিসংখ্যানে, পোস্টেরিয়র প্রেডিক্টিভ বিতরণ সর্বদা সঠিকভাবে নির্ধারণ করা যায়—অথবা অন্তত সংখ্যাসূচক পদ্ধতি ব্যবহার করা হলে একটি নির্দিষ্ট মাত্রার নির্ভুলতায়।

উভয় ধরনের প্রেডিক্টিভ বিতরণেরই একটি যৌগিক সম্ভাব্যতা বিতরণ (compound probability distribution)-এর রূপ থাকে (যেমনটি মার্জিনাল লাইকলিহুডের ক্ষেত্রেও হয়)। প্রকৃতপক্ষে, যদি প্রায়র বিতরণ একটি কনজুগেট প্রায়র হয়, যাতে প্রায়র এবং পোস্টেরিয়র বিতরণ একই পরিবার থেকে আসে, তবে দেখা যায় যে প্রায়র এবং পোস্টেরিয়র প্রেডিক্টিভ বিতরণগুলোও যৌগিক বিতরণের একই পরিবার থেকে আসে। একমাত্র পার্থক্য হলো পোস্টেরিয়র প্রেডিক্টিভ বিতরণ হাইপারপ্যারামিটারের আপডেট করা মানগুলো ব্যবহার করে (কনজুগেট প্রায়র নিবন্ধে দেওয়া বেয়েসিয়ান আপডেট নিয়ম প্রয়োগ করে), যেখানে প্রায়র প্রেডিক্টিভ বিতরণ প্রায়র বিতরণে উপস্থিত হাইপারপ্যারামিটারের মানগুলো ব্যবহার করে।

গাণিতিক বৈশিষ্ট্য

section

ফ্যাক্টরের ব্যাখ্যা

$\frac{P(E\mid M)}{P(E)}>1\Rightarrow P(E\mid M)>P(E)$। অর্থাৎ, যদি মডেলটি সত্য হতো, তবে প্রমাণটি বিশ্বাসের বর্তমান অবস্থার চেয়ে বেশি সম্ভাব্য হতো। বিশ্বাসের হ্রাসের ক্ষেত্রে বিপরীতটি প্রযোজ্য। যদি বিশ্বাস পরিবর্তিত না হয়, $\frac{P(E\mid M)}{P(E)}=1\Rightarrow P(E\mid M)=P(E)$। অর্থাৎ, প্রমাণটি মডেল থেকে স্বাধীন। যদি মডেলটি সত্য হতো, তবে প্রমাণটি বিশ্বাসের বর্তমান অবস্থা দ্বারা পূর্বাভাসিত হওয়ার মতোই সম্ভাব্য হতো।

ক্রমওয়েলের নিয়ম

মূল নিবন্ধ: ক্রমওয়েলের নিয়ম

যদি $P(M)=0$ হয় তবে $P(M\mid E)=0$। যদি $P(M)=1$ এবং $P(E)>0$ হয়, তবে $P(M|E)=1$। এর অর্থ হলো কঠোর বিশ্বাসগুলো পাল্টা প্রমাণের প্রতি সংবেদনশীল নয়।

প্রথমটি সরাসরি বেয়েসের উপপাদ্য থেকে আসে। দ্বিতীয়টি "$M$"-এর পরিবর্তে "$M$ নয়" ঘটনার জন্য প্রথম নিয়ম প্রয়োগ করে আহরণ করা যেতে পারে, যা দেয় "যদি $1-P(M)=0$ হয়, তবে $1-P(M\mid E)=0$", যা থেকে ফলাফলটি সরাসরি অনুসরণ করে।

পোস্টেরিয়রের অ্যাসিপটোটিক আচরণ

স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণ করা ট্রায়ালের সাথে অনেকবার আপডেট করা একটি বিশ্বাস বিতরণের আচরণের কথা বিবেচনা করুন। যথেষ্ট ভালো প্রায়র সম্ভাবনার জন্য, বার্নস্টাইন-ভন মিসেস উপপাদ্য বলে যে অসীম ট্রায়ালের সীমায়, পোস্টেরিয়র একটি গাউসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশন-এ রূপান্তরিত হয়, যা প্রাথমিক প্রায়র থেকে স্বাধীন। এটি ১৯৪৮ সালে জোসেফ এল. ডুব দ্বারা বর্ণিত এবং কঠোরভাবে প্রমাণিত হয়েছিল, বিশেষ করে যদি বিবেচনাধীন র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সসীম সম্ভাব্যতা স্পেস থাকে। আরও সাধারণ ফলাফল পরে পরিসংখ্যানবিদ ডেভিড এ. ফ্রিডম্যান দ্বারা প্রাপ্ত হয়েছিল, যিনি ১৯৬৩ এবং ১৯৬৫ সালে দুটি গবেষণাপত্রে প্রকাশ করেছিলেন যে কখন এবং কোন পরিস্থিতিতে পোস্টেরিয়রের অ্যাসিপটোটিক আচরণ নিশ্চিত। তার ১৯৬৩ সালের গবেষণাপত্রটি, ডুব (১৯৪৯)-এর মতো, সসীম ক্ষেত্রটি নিয়ে আলোচনা করে এবং একটি সন্তোষজনক সিদ্ধান্তে পৌঁছায়। তবে, যদি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি অসীম কিন্তু গণনাযোগ্য সম্ভাব্যতা স্পেস থাকে (অর্থাৎ, অসীম সংখ্যক মুখবিশিষ্ট ছক্কার সাথে সম্পর্কিত), তবে ১৯৬৫ সালের গবেষণাপত্রটি দেখায় যে প্রায়রের একটি ঘন উপসেটের জন্য বার্নস্টাইন-ভন মিসেস উপপাদ্য প্রযোজ্য নয়। এই ক্ষেত্রে প্রায় নিশ্চিতভাবে কোনো অ্যাসিপটোটিক রূপান্তর নেই। পরে ১৯৮০ এবং ১৯৯০-এর দশকে ডেভিড এ. ফ্রিডম্যান এবং পার্সি ডায়াকোনিস অসীম গণনাযোগ্য সম্ভাব্যতা স্পেসের ক্ষেত্রে কাজ চালিয়ে যান। সংক্ষেপে, প্রাথমিক পছন্দের প্রভাব দমন করার জন্য ট্রায়াল অপর্যাপ্ত হতে পারে, এবং বিশেষ করে বড় (কিন্তু সসীম) সিস্টেমের জন্য রূপান্তর খুব ধীর হতে পারে।

কনজুগেট প্রায়র

মূল নিবন্ধ: কনজুগেট প্রায়র

প্যারামিটারাইজড আকারে, প্রায়র বিতরণকে প্রায়শই কনজুগেট প্রায়র নামক বিতরণের পরিবার থেকে আসা বলে ধরে নেওয়া হয়। একটি কনজুগেট প্রায়রের উপযোগিতা হলো যে সংশ্লিষ্ট পোস্টেরিয়র বিতরণ একই পরিবারে থাকবে, এবং গণনাটি ক্লোজড-ফর্ম এক্সপ্রেশন-এ প্রকাশ করা যেতে পারে।

প্যারামিটার এবং ভবিষ্যদ্বাণীর অনুমান

একটি প্যারামিটার বা ভেরিয়েবল অনুমান করার জন্য পোস্টেরিয়র বিতরণ ব্যবহার করা প্রায়শই কাঙ্ক্ষিত। বেয়েসিয়ান অনুমানের বেশ কয়েকটি পদ্ধতি পোস্টেরিয়র বিতরণ থেকে সেন্ট্রাল টেন্ডেন্সি বা কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ নির্বাচন করে।

এক-মাত্রিক সমস্যার জন্য, ব্যবহারিক অবিচ্ছিন্ন সমস্যার জন্য একটি অনন্য মিডিয়ান বিদ্যমান। পোস্টেরিয়র মিডিয়ান একটি রোবাস্ট এস্টিমেটর হিসেবে আকর্ষণীয়।

যদি পোস্টেরিয়র বিতরণের জন্য একটি সসীম গড় বিদ্যমান থাকে, তবে পোস্টেরিয়র গড় অনুমানের একটি পদ্ধতি। $$\tilde{\theta }=\mathrm{E}[\theta ]=\int \theta p(\theta \mid \mathbf{𝐗},\alpha )d\theta$$

সর্বাধিক সম্ভাবনাযুক্ত মান গ্রহণ করা ম্যাক্সিমাম আ পোস্টেরিয়রি এস্টিমেশন (MAP)-কে সংজ্ঞায়িত করে: $$\{{\theta }_{\text{MAP}}\}\subset \arg \underset{\theta }{\max }p(\theta \mid \mathbf{𝐗},\alpha ).$$

এমন উদাহরণ রয়েছে যেখানে কোনো সর্বোচ্চ মান অর্জিত হয় না, সেক্ষেত্রে MAP অনুমানের সেটটি খালি হয়।

অনুমানের অন্যান্য পদ্ধতি রয়েছে যা একটি লস ফাংশন-এর সাপেক্ষে পোস্টেরিয়র ঝুঁকি (প্রত্যাশিত-পোস্টেরিয়র ক্ষতি) হ্রাস করে, এবং এগুলো স্যাম্পলিং বিতরণ (ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পরিসংখ্যান) ব্যবহার করে পরিসংখ্যানগত সিদ্ধান্ত তত্ত্ব-এর জন্য আগ্রহের বিষয়।

একটি নতুন পর্যবেক্ষণের $\tilde{x}$ (যা পূর্ববর্তী পর্যবেক্ষণগুলো থেকে স্বাধীন) পোস্টেরিয়র প্রেডিক্টিভ ডিস্ট্রিবিউশন বা পশ্চাৎবর্তী পূর্বাভাস বিন্যাস নিম্নোক্তভাবে নির্ধারিত হয় $p(\tilde{x}|\mathbf{𝐗},\alpha )=\int p(\tilde{x},\theta \mid \mathbf{𝐗},\alpha )d\theta$ $=\int p(\tilde{x}\mid \theta )p(\theta \mid \mathbf{𝐗},\alpha )d\theta .$

উদাহরণ

হাইপোথিসিসের সম্ভাবনা

কন্টিনজেন্সি টেবিল

বাটি	#১ H১	#২ H২		মোট
প্লেইন, E	৩০	২০		৫০
চকলেট, ¬E	১০	২০		৩০
মোট	৪০	৪০		৮০
P(H১|E) = ৩০ / ৫০ = ০.৬

ধরা যাক, কুকিতে পূর্ণ দুটি বাটি আছে। বাটি #১-এ ১০টি চকলেট চিপ এবং ৩০টি প্লেইন কুকি আছে, অন্যদিকে বাটি #২-এ প্রতিটির ২০টি করে কুকি আছে। ফ্রেড দৈবচয়ন পদ্ধতিতে একটি বাটি বেছে নিল এবং তারপর দৈবচয়ন পদ্ধতিতে একটি কুকি তুলল, যার অর্থ হলো ফ্রেড যে একটি বাটিকে অন্যটির চেয়ে আলাদাভাবে দেখছে এমন কোনো কারণ নেই, কুকির ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। দেখা গেল কুকিটি একটি প্লেইন কুকি। ফ্রেড যে এটি বাটি #১ থেকে তুলেছে তার সম্ভাবনা কত, তা হলো বেইজিয়ান ইনফারেন্স বা বেইজীয় অনুমানের মাধ্যমে সমাধানযোগ্য একটি সমস্যা।

স্বজ্ঞাতভাবে এটি স্পষ্ট যে উত্তরটি অর্ধেকের বেশি হওয়া উচিত, কারণ বাটি #১-এ প্লেইন কুকির সংখ্যা বেশি। সঠিক উত্তরটি বেইজের উপপাদ্য (Bayes' theorem) দ্বারা পাওয়া যায়। ধরা যাক, $H_1$ হলো বাটি #১ এবং $H_2$ হলো বাটি #২। এটি দেওয়া আছে যে ফ্রেডের দৃষ্টিকোণ থেকে বাটি দুটি অভিন্ন, তাই $P(H_1)=P(H_2)$, এবং দুটির যোগফল অবশ্যই ১ হতে হবে, সুতরাং উভয়ই ০.৫-এর সমান। ঘটনা $E$ হলো একটি প্লেইন কুকি পর্যবেক্ষণ করা। বাটির বিষয়বস্তু থেকে জানা যায় যে $P(E\mid H_1)=30/40=0.75$ এবং $P(E\mid H_2)=20/40=0.5$। বেইজের সূত্র প্রয়োগ করে পাওয়া যায়: $P(H_1\mid E)=\frac{P(E\mid H_1)P(H_1)}{P(E\mid H_1)P(H_1)+P(E\mid H_2)P(H_2)}$ $=\frac{0.75\times 0.5}{0.75\times 0.5+0.5\times 0.5}=0.6$

ফ্রেডের কুকিটি পর্যবেক্ষণ করার আগে, ফ্রেডের বাটি #১ বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা ছিল প্রাইয়র বা পূর্ববর্তী সম্ভাবনা $P(H_1)=50\mathrm{\%}$। কুকিটি দেখার পর, ফ্রেডের (বা যেকোনো পর্যবেক্ষকের) $P(H_1)$-এর উন্নততর অনুমান আপডেট হয়ে দাঁড়ায় $P(H_1\mid E)=60\mathrm{\%}$।

পূর্বাভাস তৈরি করা

প্রত্নতাত্ত্বিক উদাহরণের ফলাফল। এই সিমুলেশনটি c=15.2 ব্যবহার করে তৈরি করা হয়েছে।

একজন প্রত্নতাত্ত্বিক এমন একটি স্থানে কাজ করছেন যা ১১শ শতাব্দী থেকে ১৬শ শতাব্দীর মধ্যবর্তী মধ্যযুগীয় সময়ের বলে ধারণা করা হয়। তবে, এই সময়ের ঠিক কখন স্থানটি জনবসতিপূর্ণ ছিল তা অনিশ্চিত। মাটির পাত্রের কিছু টুকরো পাওয়া গেছে, যার কিছু চকচকে (glazed) এবং কিছু অলঙ্কৃত। ধারণা করা হয় যে, যদি স্থানটি প্রারম্ভিক মধ্যযুগে জনবসতিপূর্ণ হতো, তবে ১% পাত্র চকচকে এবং ৫০% অলঙ্কৃত হতো, অন্যদিকে যদি তা শেষ মধ্যযুগে হতো, তবে ৮১% চকচকে এবং ৫% অলঙ্কৃত হতো। টুকরোগুলো পাওয়ার সাথে সাথে প্রত্নতাত্ত্বিক জনবসতির সময়কাল সম্পর্কে কতটা নিশ্চিত হতে পারেন?

ক্রমাগত চলক $C$ (শতাব্দী)-এর ওপর বিশ্বাসের মাত্রা গণনা করতে হবে, যেখানে ঘটনাগুলোর বিচ্ছিন্ন সেট $\{GD,G\overline{D},\overline{G}D,\overline{G}\overline{D}\}$ হলো প্রমাণ। পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী: $$p_G(c)=0.01+\frac{0.80}{5}(c-11)$$ চকচকে হওয়ার সম্ভাবনার জন্য এবং $$p_D(c)=0.5-\frac{0.45}{5}(c-11)$$ অলঙ্করণের সম্ভাবনার জন্য; এদের পরিপূরকগুলো হলো: $${\overline{p}}_G(c)=1-p_G(c),{\overline{p}}_D(c)=1-p_D(c).$$ সময়ের সাথে চকচকে ভাব ও অলঙ্করণের রৈখিক পরিবর্তন এবং এই চলকগুলো স্বাধীন ধরে নিয়ে, প্রতিটি ঘটনার সম্ভাবনা নিম্নরূপ: 4=$P(E=\overline{G}\overline{D}\mid C=c)={\overline{p}}_G(c){\overline{p}}_D(c)$

যখন $e$ ধরনের একটি নতুন টুকরো আবিষ্কৃত হয়, তখন তার অর্থ হলো গবেষণার জন্য আরও তথ্য এবং বেইজের উপপাদ্যের মাধ্যমে প্রত্নতাত্ত্বিকের অনুমানের ওপর বিশ্বাসের মাত্রার একটি আপডেট বা উন্নত সংস্করণ। $f_C(c)=0.2$ এর একটি ইউনিফর্ম প্রাইয়র ধরে নিয়ে এবং ট্রায়ালগুলো স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত (independent and identically distributed) হলে:

$f_C(c\mid E=e)=\frac{P(E=e\mid C=c)}{P(E=e)}{f}_C(c)$ $=\frac{P(E=e\mid C=c)}{\underset{11}{\overset{16}{\int }}P(E=e\mid C=c)f_C(c)dc}{f}_C(c).$

৫০টি টুকরো পাওয়ার সাথে সাথে বিশ্বাসের পরিবর্তনের একটি কম্পিউটার সিমুলেশন গ্রাফে দেখানো হয়েছে। সিমুলেশনে, স্থানটি ১৪২০ সালের দিকে জনবসতিপূর্ণ ছিল, বা $c=15.2$। ৫০টি ট্রায়ালের জন্য গ্রাফের প্রাসঙ্গিক অংশের ক্ষেত্রফল গণনা করে, প্রত্নতাত্ত্বিক বলতে পারেন যে স্থানটি ১১শ বা ১২শ শতাব্দীতে জনবসতিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা কার্যত নেই, ১৩শ শতাব্দীতে হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় ১%, ১৪শ শতাব্দীতে ৬৩% এবং ১৫শ শতাব্দীতে ৩৬%। বার্নস্টাইন-ভন মিসেস উপপাদ্য (Bernstein–von Mises theorem) এখানে "সত্য" বিন্যাসের দিকে অসিম্পটোটিক অভিসরণের নিশ্চয়তা দেয়, কারণ বিচ্ছিন্ন ঘটনাগুলোর সেটের সাথে সম্পর্কিত সম্ভাবনা স্থান (probability space) $\{GD,G\overline{D},\overline{G}D,\overline{G}\overline{D}\}$ সসীম (পশ্চাৎবর্তী আচরণের অসিম্পটোটিক বিষয়ক বিভাগটি দেখুন)।

ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পরিসংখ্যান এবং সিদ্ধান্ত তত্ত্বে

বেইজীয় অনুমানের ব্যবহারের একটি সিদ্ধান্ত-তাত্ত্বিক (decision-theoretic) যৌক্তিকতা প্রদান করেছিলেন আব্রাহাম ওয়াল্ড, যিনি প্রমাণ করেছিলেন যে প্রতিটি অনন্য বেইজীয় পদ্ধতিই হলো গ্রহণযোগ্য সিদ্ধান্ত বিধি (admissible decision rule)। বিপরীতভাবে, প্রতিটি গ্রহণযোগ্য সিদ্ধান্ত বিধি হয় একটি বেইজীয় পদ্ধতি অথবা বেইজীয় পদ্ধতির সীমা।

ওয়াল্ড গ্রহণযোগ্য পদ্ধতিগুলোকে বেইজীয় পদ্ধতি (এবং বেইজীয় পদ্ধতির সীমা) হিসেবে চিহ্নিত করেছেন, যা বেইজীয় ফর্মালিজমকে ফ্রিকোয়েন্টিস্ট ইনফারেন্স বা ফ্রিকোয়েন্টিস্ট অনুমানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে যেমন—প্যারামিটার এস্টিমেশন, হাইপোথিসিস টেস্টিং এবং কনফিডেন্স ইন্টারভ্যাল গণনার একটি কেন্দ্রীয় কৌশলে পরিণত করেছে। উদাহরণস্বরূপ:

• "কিছু শর্তাধীনে, সমস্ত গ্রহণযোগ্য পদ্ধতিই হয় বেইজ পদ্ধতি অথবা বেইজ পদ্ধতির সীমা (বিভিন্ন অর্থে)। এই অসাধারণ ফলাফলগুলো, অন্তত তাদের মূল আকারে, মূলত ওয়াল্ডের অবদান। এগুলো কার্যকর কারণ গ্রহণযোগ্যতার চেয়ে বেইজ হওয়ার বৈশিষ্ট্যটি বিশ্লেষণ করা সহজ।"
• "সিদ্ধান্ত তত্ত্বে, গ্রহণযোগ্যতা প্রমাণের একটি অত্যন্ত সাধারণ পদ্ধতি হলো কোনো পদ্ধতিকে একটি অনন্য বেইজ সমাধান হিসেবে প্রদর্শন করা।"
• "এই কাজের প্রথম অধ্যায়গুলোতে, সসীম সাপোর্টসহ প্রাইয়র ডিস্ট্রিবিউশন এবং সংশ্লিষ্ট বেইজ পদ্ধতিগুলো পরীক্ষার তুলনামূলক প্রধান উপপাদ্যগুলো প্রতিষ্ঠার জন্য ব্যবহৃত হয়েছিল। আরও সাধারণ প্রাইয়র ডিস্ট্রিবিউশনের সাপেক্ষে বেইজ পদ্ধতিগুলো পরিসংখ্যানের বিকাশে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছে, যার মধ্যে এর অসিম্পটোটিক তত্ত্বও অন্তর্ভুক্ত।" "এমন অনেক সমস্যা আছে যেখানে উপযুক্ত প্রাইয়রের জন্য পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশনের দিকে তাকালেই তাৎক্ষণিকভাবে আকর্ষণীয় তথ্য পাওয়া যায়। এছাড়া, সিকোয়েন্সিয়াল অ্যানালাইসিসে এই কৌশলটি এড়িয়ে চলা প্রায় অসম্ভব।"
• "একটি দরকারী তথ্য হলো যে, সম্পূর্ণ প্যারামিটার স্পেসের ওপর একটি সঠিক প্রাইয়র নিয়ে প্রাপ্ত যেকোনো বেইজ সিদ্ধান্ত বিধি অবশ্যই গ্রহণযোগ্য হতে হবে।"
• "গ্রহণযোগ্যতার ধারণাগুলোর বিকাশে গবেষণার একটি গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্র হলো প্রচলিত স্যাম্পলিং-তত্ত্ব পদ্ধতি, এবং অনেক আকর্ষণীয় ফলাফল পাওয়া গেছে।"

মডেল নির্বাচন

মূল নিবন্ধ: Bayesian model selection আরও দেখুন: Bayesian information criterion বেইজীয় পদ্ধতি মডেল নির্বাচন-এও ভূমিকা পালন করে, যেখানে লক্ষ্য হলো প্রতিযোগিতামূলক মডেলের একটি সেট থেকে এমন একটি মডেল নির্বাচন করা যা পর্যবেক্ষণ করা ডেটা তৈরি করা অন্তর্নিহিত প্রক্রিয়াটিকে সবচেয়ে ঘনিষ্ঠভাবে উপস্থাপন করে। বেইজীয় মডেল তুলনায়, ডেটার সাপেক্ষে সর্বোচ্চ পোস্টেরিয়র প্রোবাবিলিটি বা পশ্চাৎবর্তী সম্ভাবনাযুক্ত মডেলটি নির্বাচন করা হয়। একটি মডেলের পোস্টেরিয়র প্রোবাবিলিটি নির্ভর করে এভিডেন্স বা মার্জিনাল লাইকলিহুড-এর ওপর, যা প্রতিফলিত করে যে ডেটাটি মডেল দ্বারা তৈরি হওয়ার সম্ভাবনা কতটুকু, এবং মডেলটির ওপর পূর্ববর্তী বিশ্বাসের ওপর। যখন দুটি প্রতিযোগিতামূলক মডেলকে প্রাইয়রলি সমসম্ভাব্য (equiprobable) বিবেচনা করা হয়, তখন তাদের পোস্টেরিয়র প্রোবাবিলিটির অনুপাত বেইজ ফ্যাক্টর-এর সাথে মিলে যায়। যেহেতু বেইজীয় মডেল তুলনার লক্ষ্য সর্বোচ্চ পোস্টেরিয়র প্রোবাবিলিটিযুক্ত মডেল নির্বাচন করা, তাই এই পদ্ধতিকে ম্যাক্সিমাম আ পোস্টেরিয়রি (MAP) সিলেকশন রুল বা MAP প্রোবাবিলিটি রুলও বলা হয়।

প্রোবাবিলিস্টিক প্রোগ্রামিং

মূল নিবন্ধ: Probabilistic programming

ধারণাগতভাবে সহজ হলেও, বেইজীয় পদ্ধতিগুলো গাণিতিক এবং সংখ্যাগতভাবে চ্যালেঞ্জিং হতে পারে। প্রোবাবিলিস্টিক প্রোগ্রামিং ল্যাঙ্গুয়েজগুলো (PPLs) সহজে বেইজীয় মডেল তৈরির জন্য ফাংশন বাস্তবায়ন করে, সাথে থাকে কার্যকর স্বয়ংক্রিয় ইনফারেন্স পদ্ধতি। এটি মডেল তৈরি থেকে ইনফারেন্সকে আলাদা করতে সাহায্য করে, যা অনুশীলনকারীদের তাদের নির্দিষ্ট সমস্যার ওপর মনোযোগ দিতে দেয় এবং কম্পিউটেশনাল বিষয়গুলো PPL-এর ওপর ছেড়ে দেয়।

প্রয়োগ

পরিসংখ্যানগত ডেটা বিশ্লেষণ

বেইজীয় পরিসংখ্যান বিষয়ক আলাদা উইকিপিডিয়া এন্ট্রি দেখুন, বিশেষ করে সেই পৃষ্ঠার পরিসংখ্যানগত মডেলিং বিভাগটি।

কম্পিউটার অ্যাপ্লিকেশন

কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা এবং এক্সপার্ট সিস্টেম-এ বেইজীয় অনুমানের প্রয়োগ রয়েছে। ১৯৫০-এর দশকের শেষভাগ থেকে কম্পিউটারাইজড প্যাটার্ন রিকগনিশন কৌশলের একটি মৌলিক অংশ হলো বেইজীয় ইনফারেন্স কৌশল। বেইজীয় পদ্ধতি এবং সিমুলেশন-ভিত্তিক মন্টে কার্লো কৌশলের মধ্যে ক্রমবর্ধমান সংযোগ রয়েছে, কারণ জটিল মডেলগুলো বেইজীয় বিশ্লেষণের মাধ্যমে ক্লোজড ফর্মে প্রক্রিয়াজাত করা যায় না, যেখানে একটি গ্রাফিক্যাল মডেল কাঠামো গিবস স্যাম্পলিং এবং অন্যান্য মেট্রোপলিস-হ্যাস্টিংস অ্যালগরিদম স্কিমের মতো কার্যকর সিমুলেশন অ্যালগরিদমের সুযোগ করে দিতে পারে। সম্প্রতি বেইজীয় ইনফারেন্স এই কারণগুলোর জন্য ফাইলোজেনেটিক্স কমিউনিটিতে জনপ্রিয়তা পেয়েছে; বেশ কিছু অ্যাপ্লিকেশন অনেক ডেমোগ্রাফিক এবং বিবর্তনীয় প্যারামিটারকে একই সাথে অনুমান করার সুযোগ দেয়।

পরিসংখ্যানগত শ্রেণিবিন্যাস (statistical classification)-এ প্রয়োগের ক্ষেত্রে, ই-মেইল স্প্যাম শনাক্ত করার অ্যালগরিদম তৈরিতে বেইজীয় ইনফারেন্স ব্যবহৃত হয়েছে। স্প্যাম ফিল্টারিংয়ের জন্য বেইজীয় ইনফারেন্স ব্যবহারকারী অ্যাপ্লিকেশনগুলোর মধ্যে রয়েছে CRM114, DSPAM, Bogofilter, SpamAssassin, SpamBayes, Mozilla, XEAMS এবং অন্যান্য। স্প্যাম শ্রেণিবিন্যাস সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা নায়েভ বেইজ ক্লাসিফায়ার নিবন্ধে রয়েছে।

সলোমনফের ইন্ডাক্টিভ ইনফারেন্স তত্ত্ব হলো পর্যবেক্ষণের ওপর ভিত্তি করে পূর্বাভাসের তত্ত্ব; উদাহরণস্বরূপ, চিহ্নের একটি সিরিজের ওপর ভিত্তি করে পরবর্তী চিহ্নটি অনুমান করা। একমাত্র অনুমান হলো যে পরিবেশটি কোনো অজানা কিন্তু কম্পিউটেবল সম্ভাবনা বিন্যাস অনুসরণ করে। এটি একটি আনুষ্ঠানিক ইন্ডাক্টিভ কাঠামো যা ইন্ডাক্টিভ ইনফারেন্সের দুটি সুপরিচিত নীতিকে একত্রিত করে: বেইজীয় পরিসংখ্যান এবং অকামের রেজার। কম্পিউটেবল সিকোয়েন্স x-এর যেকোনো প্রিফিক্স p-এর সলোমনফের ইউনিভার্সাল প্রাইয়র প্রোবাবিলিটি হলো সেই সমস্ত প্রোগ্রামের (একটি ইউনিভার্সাল কম্পিউটারের জন্য) সম্ভাবনার যোগফল যা p দিয়ে শুরু হওয়া কিছু গণনা করে। কিছু p এবং যেকোনো কম্পিউটেবল কিন্তু অজানা সম্ভাবনা বিন্যাস, যেখান থেকে x স্যাম্পল করা হয়, তা দেওয়া থাকলে, ইউনিভার্সাল প্রাইয়র এবং বেইজের উপপাদ্য ব্যবহার করে x-এর অদেখা অংশগুলো সর্বোত্তম উপায়ে অনুমান করা যায়।

বায়োইনফরমেটিক্স এবং স্বাস্থ্যসেবা অ্যাপ্লিকেশন

বেইজীয় ইনফারেন্স বিভিন্ন বায়োইনফরমেটিক্স অ্যাপ্লিকেশনে প্রয়োগ করা হয়েছে, যার মধ্যে ডিফারেনশিয়াল জিন এক্সপ্রেশন বিশ্লেষণ অন্তর্ভুক্ত। বেইজীয় ইনফারেন্স একটি সাধারণ ক্যান্সার ঝুঁকি মডেলেও ব্যবহৃত হয়, যার নাম CIRI, যেখানে একটি বেইজীয় মডেলকে আপডেট করার জন্য সিরিয়াল পরিমাপ অন্তর্ভুক্ত করা হয়, যা মূলত পূর্ববর্তী জ্ঞান থেকে তৈরি।

কসমোলজি এবং অ্যাস্ট্রোফিজিক্যাল অ্যাপ্লিকেশন

বেইজীয় পদ্ধতি কসমোলজি এবং অ্যাস্ট্রোফিজিক্যাল অ্যাপ্লিকেশনের সাম্প্রতিক অগ্রগতিতে কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করেছে, এবং এটি এক্সোপ্ল্যানেটের বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ (যেমন k2-18b-এর বায়ুমণ্ডল ফিটিং), কসমোলজিক্যাল ডেটার সাথে প্যারামিটার সীমাবদ্ধতা, এবং অ্যাস্ট্রোফিজিক্যাল পরীক্ষায় ক্যালিব্রেশনসহ বিস্তৃত অ্যাস্ট্রোফিজিক্যাল সমস্যার ক্ষেত্রে প্রসারিত হয়েছে।

কসমোলজিতে, এটি প্রায়শই মার্কভ চেইন মন্টে কার্লো (MCMC) এবং নেস্টেড স্যাম্পলিং অ্যালগরিদম-এর মতো কম্পিউটেশনাল কৌশলের সাথে জটিল ডেটাসেট বিশ্লেষণ এবং উচ্চ-মাত্রিক প্যারামিটার স্পেস নেভিগেট করার জন্য ব্যবহৃত হয়। একটি উল্লেখযোগ্য প্রয়োগ হলো প্যারামিটার ইনফারেন্সের জন্য প্ল্যাঙ্ক ২০১৮ CMB ডেটা। ল্যাম্বডা-CDM মডেল-এর ছয়টি মূল কসমোলজিক্যাল প্যারামিটার কোনো তত্ত্ব দ্বারা পূর্বাভাসিত নয়, বরং কসমোলজির একটি নির্বাচিত মডেলের (ল্যাম্বডা-CDM মডেল) সাথে কসমিক মাইক্রোওয়েভ ব্যাকগ্রাউন্ড (CMB) ডেটা থেকে ফিট করা হয়। কসমোলজির জন্য বেইজীয় কোড `cobaya` কসমোলজিক্যাল রান সেটআপ করে এবং কসমোলজিক্যাল লাইকলিহুড, বোল্টজম্যান কোড ইন্টারফেস করে, যা MCMC বা নেস্টেড স্যাম্পলারের সাথে যেকোনো কসমোলজিক্যাল প্যারামিটারের সেটের জন্য পূর্বাভাসিত CMB অ্যানাইসোট্রপি গণনা করে।

এই কম্পিউটেশনাল কাঠামোটি কেবল স্ট্যান্ডার্ড মডেলের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়, এটি কসমোলজির বিকল্প বা বর্ধিত তত্ত্বগুলো পরীক্ষার জন্যও অপরিহার্য, যেমন আর্লি ডার্ক এনার্জিযুক্ত তত্ত্ব, অথবা ল্যাম্বডা-CDM-এর বাইরে অতিরিক্ত প্যারামিটার প্রবর্তনকারী মডিফাইড গ্র্যাভিটি তত্ত্ব। বেইজীয় মডেল তুলনা তখন প্রতিযোগিতামূলক মডেলগুলোর জন্য এভিডেন্স গণনা করতে ব্যবহৃত হতে পারে, যা স্ট্যান্ডার্ড ল্যাম্বডা-CDM-এর চেয়ে ডেটা সেগুলোকে সমর্থন করে কি না তা মূল্যায়ন করার জন্য একটি পরিসংখ্যানগত ভিত্তি প্রদান করে।

আদালতে

আরও দেখুন: Jurimetrics#Bayesian analysis of evidence, Evidence under Bayes' theorem বেইজীয় ইনফারেন্স জুরিদের দ্বারা বিবাদীর পক্ষে এবং বিপক্ষে প্রমাণগুলো সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে জমা করতে এবং সামগ্রিকভাবে তা তাদের ব্যক্তিগত "সন্দেহাতীতভাবে প্রমাণিত" (beyond a reasonable doubt) হওয়ার মানদণ্ড পূরণ করে কি না তা দেখার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। বেইজের উপপাদ্য উপস্থাপিত সমস্ত প্রমাণের ওপর ধারাবাহিকভাবে প্রয়োগ করা হয়, যেখানে এক ধাপের পোস্টেরিয়র পরবর্তী ধাপের প্রাইয়র হিসেবে কাজ করে। বেইজীয় পদ্ধতির সুবিধা হলো এটি জুরিকে প্রমাণ একত্রিত করার জন্য একটি নিরপেক্ষ, যৌক্তিক ব্যবস্থা প্রদান করে। জুরিদের কাছে অডস ফর্মে বেইজের উপপাদ্য ব্যাখ্যা করা উপযুক্ত হতে পারে, কারণ বেটিং অডস সম্ভাবনার চেয়ে বেশি পরিচিত। বিকল্পভাবে, একটি লগারিদমিক পদ্ধতি, যেখানে গুণের পরিবর্তে যোগ ব্যবহার করা হয়, জুরির জন্য পরিচালনা করা সহজ হতে পারে।

প্রমাণ যোগ করা

যদি অপরাধের অস্তিত্ব নিয়ে কোনো সন্দেহ না থাকে, কেবল অপরাধীর পরিচয় নিয়ে থাকে, তবে পরামর্শ দেওয়া হয়েছে যে প্রাইয়রটি যোগ্য জনসংখ্যার ওপর ইউনিফর্ম হওয়া উচিত। উদাহরণস্বরূপ, যদি ১,০০০ জন ব্যক্তি অপরাধটি করে থাকতে পারে, তবে অপরাধের প্রাইয়র সম্ভাবনা হবে ১/১০০০।

জুরিদের দ্বারা বেইজের উপপাদ্যের ব্যবহার বিতর্কিত। যুক্তরাজ্যে, একজন প্রতিরক্ষা বিশেষজ্ঞ সাক্ষী R v Adams মামলায় জুরিদের কাছে বেইজের উপপাদ্য ব্যাখ্যা করেছিলেন। জুরিরা দোষী সাব্যস্ত করেছিল, কিন্তু মামলাটি আপিলে গিয়েছিল এই ভিত্তিতে যে, যে জুরিরা বেইজের উপপাদ্য ব্যবহার করতে চান না তাদের জন্য প্রমাণ জমা করার কোনো উপায় প্রদান করা হয়নি। আপিল আদালত দোষী সাব্যস্ত করার রায় বহাল রাখে, কিন্তু তারা এই মতামতও দেয় যে, "বেইজের উপপাদ্য বা অনুরূপ কোনো পদ্ধতি ফৌজদারি বিচারে অন্তর্ভুক্ত করা জুরিদের তত্ত্ব এবং জটিলতার অনুপযুক্ত ও অপ্রয়োজনীয় রাজ্যে নিমজ্জিত করে, যা তাদের সঠিক কাজ থেকে বিচ্যুত করে।"

গার্ডনার-মেডউইন যুক্তি দেন যে ফৌজদারি বিচারের রায় যে মানদণ্ডের ওপর ভিত্তি করে হওয়া উচিত তা অপরাধের সম্ভাবনা নয়, বরং বিবাদী নির্দোষ হলে প্রমাণের সম্ভাবনা (একটি ফ্রিকোয়েন্টিস্ট p-value-এর মতো)। তিনি যুক্তি দেন যে যদি বেইজের উপপাদ্য দ্বারা অপরাধের পোস্টেরিয়র সম্ভাবনা গণনা করতে হয়, তবে অপরাধের প্রাইয়র সম্ভাবনা অবশ্যই জানা থাকতে হবে। এটি অপরাধের ঘটনার ওপর নির্ভর করবে, যা ফৌজদারি বিচারে বিবেচনা করার জন্য একটি অস্বাভাবিক প্রমাণ। নিচের তিনটি প্রস্তাব বিবেচনা করুন:

A – বিবাদী দোষী হলে জানা ঘটনা এবং সাক্ষ্য উদ্ভূত হতে পারত।

B – বিবাদী নির্দোষ হলে জানা ঘটনা এবং সাক্ষ্য উদ্ভূত হতে পারত।

C – বিবাদী দোষী।

গার্ডনার-মেডউইন যুক্তি দেন যে দোষী সাব্যস্ত করার জন্য জুরির A এবং নট-B উভয়কেই বিশ্বাস করা উচিত। A এবং নট-B মানেই C-এর সত্যতা, কিন্তু বিপরীতটি সত্য নয়। এটি সম্ভব যে B এবং C উভয়ই সত্য, কিন্তু এই ক্ষেত্রে তিনি যুক্তি দেন যে জুরির খালাস দেওয়া উচিত, যদিও তারা জানে যে তারা কিছু অপরাধীকে মুক্ত করে দিচ্ছে। আরও দেখুন লিন্ডলির প্যারাডক্স।

বেইজীয় জ্ঞানতত্ত্ব

বেইজীয় জ্ঞানতত্ত্ব হলো এমন একটি আন্দোলন যা ইন্ডাক্টিভ লজিকের নিয়মগুলোকে ন্যায্যতা দেওয়ার উপায় হিসেবে বেইজীয় ইনফারেন্সের পক্ষে কথা বলে।

কার্ল পপার এবং ডেভিড মিলার বেইজীয় যুক্তিবাদ, অর্থাৎ জ্ঞানতাত্ত্বিক অনুমান করার জন্য বেইজ নিয়ম ব্যবহারের ধারণাকে প্রত্যাখ্যান করেছেন: এটি অন্য যেকোনো ন্যায্যতাধর্মী (justificationist) জ্ঞানতত্ত্বের মতো একই দুষ্টচক্র-এর শিকার, কারণ এটি যা ন্যায্যতা দেওয়ার চেষ্টা করে তা আগেই ধরে নেয়। এই দৃষ্টিভঙ্গি অনুযায়ী, বেইজীয় ইনফারেন্সের একটি যৌক্তিক ব্যাখ্যা একে কেবল মিথ্যাযোগ্যতার (falsifiability) একটি সম্ভাব্য সংস্করণ হিসেবে দেখবে, বেইজীয়দের দ্বারা সাধারণত গৃহীত এই বিশ্বাসকে প্রত্যাখ্যান করবে যে বেইজীয় আপডেটের একটি সিরিজের মাধ্যমে অর্জিত উচ্চ সম্ভাবনা হাইপোথিসিসটিকে কোনো যুক্তিসঙ্গত সন্দেহাতীতভাবে বা এমনকি ০-এর চেয়ে বেশি সম্ভাবনা দিয়ে প্রমাণ করবে।

অন্যান্য

আরও দেখুন: List of things named after Thomas Bayes

• বৈজ্ঞানিক পদ্ধতিকে কখনও কখনও বেইজিয়ান ইনফারেন্সের একটি প্রয়োগ হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয়। এই দৃষ্টিভঙ্গিতে, বেইজের নিয়ম নতুন পর্যবেক্ষণ বা পরীক্ষার শর্তসাপেক্ষে অনুকল্প সম্পর্কিত সম্ভাব্যতা হালনাগাদ করার ক্ষেত্রে পথপ্রদর্শক হিসেবে কাজ করে (বা করা উচিত)। বেইজিয়ান ইনফারেন্স অসম্পূর্ণ তথ্যের ভিত্তিতে স্টোকাস্টিক শিডিউলিং (stochastic scheduling) সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রেও ব্যবহৃত হয়েছে, যা কাই এবং অন্যান্যদের (২০০৯) গবেষণায় দেখা যায়।
• বেইজিয়ান অনুসন্ধান তত্ত্ব (Bayesian search theory) হারানো বস্তু খোঁজার কাজে ব্যবহৃত হয়।
• ফাইলোজেনি বা জাতিজনি বিকাশে বেইজিয়ান ইনফারেন্স
• মিথাইলেশন বিশ্লেষণের জন্য বেইজিয়ান টুল
• মস্তিষ্কের কার্যকারিতার বেইজিয়ান দৃষ্টিভঙ্গি মস্তিষ্ককে একটি বেইজিয়ান প্রক্রিয়া হিসেবে অনুসন্ধান করে।
• পরিবেশগত গবেষণায় বেইজিয়ান ইনফারেন্স
• স্টোকাস্টিক রাসায়নিক গতিবিদ্যা মডেলে প্যারামিটার নির্ণয়ের জন্য বেইজিয়ান ইনফারেন্স ব্যবহৃত হয়
• মুদ্রা বা আর্থিক উদ্ধৃতিতে প্রবণতা পরিবর্তনের পূর্বাভাসের জন্য ইকোনোফিজিক্স-এ বেইজিয়ান ইনফারেন্স
• বিপণনে বেইজিয়ান ইনফারেন্স
• মোটর লার্নিং-এ বেইজিয়ান ইনফারেন্স
• গাণিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য সম্ভাব্যতাভিত্তিক সংখ্যাতত্ত্ব (probabilistic numerics)-এ বেইজিয়ান ইনফারেন্স ব্যবহৃত হয়।

বেইজ এবং বেইজিয়ান ইনফারেন্স

বেইজ তার প্রবন্ধ "অ্যান এসে টুয়ার্ডস সলভিং আ প্রবলেম ইন দ্য ডকট্রিন অফ চান্সেস"-এর ৯ নম্বর প্রতিজ্ঞায় যে সমস্যাটি বিবেচনা করেছিলেন, তা হলো দ্বিপদী বিন্যাস-এর প্যারামিটার a (সাফল্যের হার)-এর পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশন।

ইতিহাস

মূল নিবন্ধ: History of statistics#Bayesian statistics

বেইজিয়ান শব্দটি থমাস বেইজ (১৭০১–১৭৬১)-এর নাম থেকে এসেছে, যিনি প্রমাণ করেছিলেন যে একটি অজানা ঘটনার ওপর সম্ভাব্যতার সীমা আরোপ করা সম্ভব। তবে, পিয়েরে-সাইমন ল্যাপলাস (১৭৪৯–১৮২৭) ছিলেন সেই ব্যক্তি যিনি (ষষ্ঠ নীতি হিসেবে) বর্তমানে যা বেইজের উপপাদ্য নামে পরিচিত তা প্রবর্তন করেন এবং এটিকে মহাজাগতিক বলবিদ্যা, চিকিৎসা পরিসংখ্যান, নির্ভরযোগ্যতা (পরিসংখ্যান) এবং আইনশাস্ত্র-এর সমস্যা সমাধানে ব্যবহার করেন। প্রাথমিক বেইজিয়ান ইনফারেন্স, যা ল্যাপলাসের অপ্রতুল কারণের নীতি (principle of insufficient reason) অনুসরণ করে ইউনিফর্ম প্রায়র (uniform priors) ব্যবহার করত, তাকে বিপরীত সম্ভাবনা (inverse probability) বলা হতো (কারণ এটি পর্যবেক্ষণ থেকে প্যারামিটারের দিকে, বা ফলাফল থেকে কারণের দিকে আরোহী যুক্তি প্রয়োগ করে)। ১৯২০-এর দশকের পর, বিপরীত সম্ভাবনা মূলত এমন কিছু পদ্ধতির দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় যেগুলোকে ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পরিসংখ্যান বলা হয়।

বিংশ শতাব্দীতে, ল্যাপলাসের ধারণাগুলো দুটি ভিন্ন দিকে বিকশিত হয়, যা বেইজিয়ান অনুশীলনে 'বস্তুনিষ্ঠ' (objective) এবং 'বিষয়ী' (subjective) ধারার জন্ম দেয়। বস্তুনিষ্ঠ (বা "তথ্যহীন") ধারায়, পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণ শুধুমাত্র গৃহীত মডেল, বিশ্লেষিত ডেটা এবং প্রায়র নির্ধারণের পদ্ধতির ওপর নির্ভর করে, যা একজন বস্তুনিষ্ঠ বেইজিয়ান অনুশীলনকারীর থেকে অন্যজনের ক্ষেত্রে ভিন্ন হতে পারে। বিষয়ী (বা "তথ্যবহুল") ধারায়, প্রায়রের নির্দিষ্টকরণ বিশ্বাসের ওপর নির্ভর করে—অর্থাৎ সেই প্রস্তাবনাগুলো যার ভিত্তিতে বিশ্লেষণটি প্রস্তুত করা হয়—যা বিশেষজ্ঞ, পূর্ববর্তী গবেষণা ইত্যাদি থেকে প্রাপ্ত তথ্যকে সংক্ষিপ্ত করতে পারে।

১৯৮০-এর দশকে, বেইজিয়ান পদ্ধতির গবেষণা ও প্রয়োগে নাটকীয় বৃদ্ধি ঘটে, যার প্রধান কারণ ছিল মার্কভ চেইন মন্টে কার্লো পদ্ধতির আবিষ্কার, যা অনেক গাণিতিক সমস্যার সমাধান করে এবং অ-মানক, জটিল প্রয়োগের প্রতি আগ্রহ বাড়িয়ে তোলে। বেইজিয়ান গবেষণার বৃদ্ধি সত্ত্বেও, স্নাতক পর্যায়ের বেশিরভাগ শিক্ষা এখনও ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পরিসংখ্যানের ওপর ভিত্তি করে পরিচালিত হয়। তা সত্ত্বেও, বেইজিয়ান পদ্ধতিগুলো ব্যাপকভাবে গৃহীত এবং ব্যবহৃত হয়, যেমন উদাহরণস্বরূপ মেশিন লার্নিং-এর ক্ষেত্রে।

আরও দেখুন

• মস্তিষ্কের কার্যকারিতার বেইজিয়ান দৃষ্টিভঙ্গি
• ক্রেডিবিলিটি থিওরি
• জ্ঞানতত্ত্ব
• মুক্ত শক্তি নীতি
• আরোহী সম্ভাবনা
• ইনফরমেশন ফিল্ড থিওরি
• সর্বোচ্চ এনট্রপি নীতি
• সম্ভাব্যতাভিত্তিক কার্যকারণ
• সম্ভাব্যতাভিত্তিক প্রোগ্রামিং

তথ্যসূত্র

উৎসসমূহ

• Aster, Richard; Borchers, Brian, and Thurber, Clifford (2012). Parameter Estimation and Inverse Problems, Second Edition, Elsevier. 0123850487, 978-0123850485
• (2001). "Mathematical Statistics, Volume 1: Basic and Selected Topics". Pearson Prentice–Hall. ISBN 978-0-13-850363-5.
• Box, G. E. P. and Tiao, G. C. (1973). Bayesian Inference in Statistical Analysis, Wiley, 0-471-57428-7
• Edwards, Ward. (1968). "Formal Representation of Human Judgment". Wiley.
• Edwards, Ward. (1982). "Judgment under uncertainty: Heuristics and biases". Science. 185 (4157) 1124–1131. doi:10.1126/science.185.4157.1124.
• Jaynes E. T. (2003) Probability Theory: The Logic of Science, CUP. 978-0-521-59271-0 (Link to Fragmentary Edition of March 1996).
• Howson, C.. (2005). "Scientific Reasoning: the Bayesian Approach". Open Court Publishing Company. ISBN 978-0-8126-9578-6.
• (October 2008). A Science of Decision Making:The Legacy of Ward Edwards. 536. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-532298-9.

আরও পড়ুন

• বেইজিয়ান পরিসংখ্যানের ইতিহাস এবং ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পদ্ধতির সাথে বিতর্কের সম্পূর্ণ প্রতিবেদনের জন্য পড়ুন Vallverdu, Jordi. (2016). "Bayesians Versus Frequentists A Philosophical Debate on Statistical Reasoning". Springer. ISBN 978-3-662-48638-2.
• Clayton, Aubrey. (August 2021). Bernoulli's Fallacy: Statistical Illogic and the Crisis of Modern Science. Columbia University Press. ISBN 978-0-231-55335-3.

প্রাথমিক

নিচের বইগুলো সম্ভাব্যতার জটিলতার ক্রমানুসারে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে:

• Stone, JV (2013), "Bayes' Rule: A Tutorial Introduction to Bayesian Analysis", Download first chapter here., Sebtel Press, England.
• Dennis V. Lindley. (2013). "Understanding Uncertainty, Revised Edition". John Wiley. ISBN 978-1-118-65012-7.
• Colin Howson. (2005). "Scientific Reasoning: The Bayesian Approach". Open Court Publishing Company. ISBN 978-0-8126-9578-6.
• Berry, Donald A.. (1996). Statistics: A Bayesian Perspective. Duxbury. ISBN 978-0-534-23476-8.
• Morris H. DeGroot. (2002). Probability and Statistics. Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-52488-8.
• Bolstad, William M. (2007) Introduction to Bayesian Statistics: Second Edition, John Wiley 0-471-27020-2
• Winkler, Robert L. (2003). Introduction to Bayesian Inference and Decision. Probabilistic. ISBN 978-0-9647938-4-2. Updated classic textbook. Bayesian theory clearly presented.
• Lee, Peter M. Bayesian Statistics: An Introduction. Fourth Edition (2012), John Wiley 978-1-1183-3257-3
• (2008). Bayesian Methods for Data Analysis, Third Edition. Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-697-6.
• (2013). "Bayesian Data Analysis, Third Edition". Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-4398-4095-5.

মধ্যবর্তী বা উন্নত

• Berger, James O. (1985). Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96098-2.
• (1994). "Bayesian Theory". Wiley.
• DeGroot, Morris H., Optimal Statistical Decisions. Wiley Classics Library. 2004. (Originally published (1970) by McGraw-Hill.) 0-471-68029-X.
• Schervish, Mark J.. (1995). "Theory of statistics". Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94546-0.
• Jaynes, E. T. (1998). Probability Theory: The Logic of Science.
• O'Hagan, A. and Forster, J. (2003). Kendall's Advanced Theory of Statistics, Volume 2B: Bayesian Inference. Arnold, New York. 0-340-52922-9.
• Robert, Christian P. (2007). "The Bayesian Choice: From Decision-Theoretic Foundations to Computational Implementation". Springer. ISBN 978-0-387-71598-8.
• Pearl, Judea. (1988). Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems: Networks of Plausible Inference, San Mateo, CA: Morgan Kaufmann.
• Pierre Bessière et al. (2013). "Bayesian Programming". CRC Press. 9781439880326
• Francisco J. Samaniego (2010). "A Comparison of the Bayesian and Frequentist Approaches to Estimation". Springer. New York, 978-1-4419-5940-9

বহিঃসংযোগ

• Bayesian approach to statistical problems
• Bayesian Statistics from Scholarpedia.
• Introduction to Bayesian probability. from Queen Mary University of London
• Mathematical Notes on Bayesian Statistics and Markov Chain Monte Carlo.
• Bayesian reading list., categorized and annotated by Tom Griffiths
• A. Hajek and S. Hartmann: Bayesian Epistemology, in: J. Dancy et al. (eds.), A Companion to Epistemology. Oxford: Blackwell 2010, 93–106.
• S. Hartmann and J. Sprenger: Bayesian Epistemology, in: S. Bernecker and D. Pritchard (eds.), Routledge Companion to Epistemology. London: Routledge 2010, 609–620.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Inductive Logic"
• Bayesian Confirmation Theory (PDF)
• What is Bayesian Learning?
• Data, Uncertainty and Inference — Informal introduction with many examples, ebook (PDF) freely available at causaScientia

inference

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Bayesian inference” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_inference এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।