টাইম সিরিজ

From LTRC
টাইম সিরিজ: র‍্যান্ডম ডেটা এবং ট্রেন্ড, সাথে বেস্ট-ফিট লাইন এবং বিভিন্ন প্রয়োগকৃত ফিল্টার

গণিতে, টাইম সিরিজ হলো কালানুক্রমিক ক্রমে সূচিবদ্ধ, তালিকাভুক্ত বা গ্রাফে প্রদর্শিত ডেটা পয়েন্ট-এর একটি ক্রম। সাধারণত, একটি টাইম সিরিজ সময়ের সমান ব্যবধানে রেকর্ড করা পর্যবেক্ষণ নিয়ে গঠিত। সুতরাং, এটি ডিসক্রিট-টাইম (বিচ্ছিন্ন-সময়) ডেটার একটি রূপ। একটি টাইম সিরিজ সেকেন্ড, দিন, বছর বা এমনকি শতাব্দী ধরে সংগৃহীত পরিমাপ বর্ণনা করতে পারে। সাধারণ উদাহরণগুলোর মধ্যে রয়েছে সমুদ্রের জোয়ারের উচ্চতা, সৌরকলঙ্ক-এর সংখ্যা, দৈনিক তাপমাত্রার রিডিং এবং ডাও জোন্স ইন্ডাস্ট্রিয়াল এভারেজ-এর মতো স্টক মার্কেট সূচকের সমাপনী মান।

একটি টাইম সিরিজ প্রায়শই একটি রান চার্ট (এক ধরনের টেম্পোরাল লাইন চার্ট) ব্যবহার করে ভিজ্যুয়ালাইজ করা হয়, যা ট্রেন্ড, মৌসুমী প্রভাব এবং অনিয়মিত ওঠানামার মতো প্যাটার্ন শনাক্ত করতে সাহায্য করে। টাইম সিরিজ পরিসংখ্যান, অ্যাকচুয়ারিয়াল সায়েন্স, সিগন্যাল প্রসেসিং, প্যাটার্ন রিকগনিশন, ইকোনোমেট্রিক্স, গাণিতিক অর্থশাস্ত্র, আবহাওয়ার পূর্বাভাস, ভূমিকম্পের পূর্বাভাস, ইলেক্ট্রোএনসেফালোগ্রাফি, কন্ট্রোল ইঞ্জিনিয়ারিং, জ্যোতির্বিজ্ঞান, যোগাযোগ প্রকৌশল এবং ফলিত বিজ্ঞান ও প্রকৌশল-এর অন্যান্য অনেক ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, যেখানে টেম্পোরাল পরিমাপ জড়িত।

টাইম সিরিজ বিশ্লেষণ বলতে টাইম সিরিজ ডেটা থেকে অর্থপূর্ণ পরিসংখ্যান এবং ডেটার অন্যান্য বৈশিষ্ট্য বের করার পদ্ধতিগুলোকে বোঝায়। টাইম সিরিজ পূর্বাভাস হলো পূর্বে পর্যবেক্ষণ করা মানের ভিত্তিতে ভবিষ্যতের মান অনুমান করার জন্য একটি মডেল-এর ব্যবহার। সাধারণত, টাইম সিরিজ ডেটাকে একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হিসেবে মডেল করা হয়। যদিও রিগ্রেশন বিশ্লেষণ প্রায়শই এক বা একাধিক ভিন্ন টাইম সিরিজের মধ্যে সম্পর্ক পরীক্ষা করার জন্য ব্যবহৃত হয়, তবে এই ধরনের বিশ্লেষণকে সাধারণত "টাইম সিরিজ বিশ্লেষণ" বলা হয় না, যা মূলত একটি একক সিরিজের মধ্যে সময়ের বিভিন্ন বিন্দুর মধ্যকার সম্পর্ককে বোঝায়।

টাইম সিরিজ ডেটার একটি স্বাভাবিক টেম্পোরাল ক্রম থাকে। এটি টাইম সিরিজ বিশ্লেষণকে ক্রস-সেকশনাল স্টাডি থেকে আলাদা করে, যেখানে পর্যবেক্ষণের কোনো স্বাভাবিক ক্রম থাকে না (যেমন: মানুষের শিক্ষাগত যোগ্যতার ভিত্তিতে তাদের বেতনের ব্যাখ্যা করা, যেখানে ব্যক্তিদের ডেটা যেকোনো ক্রমে প্রবেশ করানো যেতে পারে)। টাইম সিরিজ বিশ্লেষণ স্থানিক ডেটা বিশ্লেষণ (spatial data analysis) থেকেও আলাদা, যেখানে পর্যবেক্ষণগুলো সাধারণত ভৌগোলিক অবস্থানের সাথে সম্পর্কিত (যেমন: বাড়ির অভ্যন্তরীণ বৈশিষ্ট্যের পাশাপাশি অবস্থানের ভিত্তিতে বাড়ির দামের হিসাব করা)। একটি টাইম সিরিজের জন্য একটি স্টোকাস্টিক মডেল সাধারণত এই সত্যটিকে প্রতিফলিত করবে যে সময়ের কাছাকাছি থাকা পর্যবেক্ষণগুলো দূরে থাকা পর্যবেক্ষণের চেয়ে বেশি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। উপরন্তু, টাইম সিরিজ মডেলগুলো প্রায়শই সময়ের স্বাভাবিক একমুখী ক্রম ব্যবহার করে, যাতে একটি নির্দিষ্ট সময়ের মান ভবিষ্যতের মান থেকে নয়, বরং অতীতের মান থেকে উদ্ভূত হয় (দেখুন টাইম রিভার্সিবিলিটি)।

টাইম সিরিজ বিশ্লেষণ বাস্তব-মান বিশিষ্ট, অবিচ্ছিন্ন ডেটা, বিচ্ছিন্ন সাংখ্যিক ডেটা বা বিচ্ছিন্ন প্রতীকী ডেটার (অর্থাৎ অক্ষরের ক্রম, যেমন ইংরেজি ভাষা-র অক্ষর ও শব্দ[1]) ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যেতে পারে।

বিশ্লেষণের পদ্ধতি

টাইম সিরিজ বিশ্লেষণের পদ্ধতিগুলোকে দুটি শ্রেণিতে ভাগ করা যায়: ফ্রিকোয়েন্সি-ডোমেইন পদ্ধতি এবং টাইম-ডোমেইন পদ্ধতি। প্রথমটির মধ্যে রয়েছে স্পেকট্রাল বিশ্লেষণ এবং ওয়েভলেট বিশ্লেষণ; দ্বিতীয়টির মধ্যে রয়েছে অটো-কোরিলেশন এবং ক্রস-কোরিলেশন বিশ্লেষণ। টাইম ডোমেইনে, কোরিলেশন এবং বিশ্লেষণ স্কেলড কোরিলেশন ব্যবহার করে ফিল্টারের মতো পদ্ধতিতে করা যেতে পারে, যার ফলে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে কাজ করার প্রয়োজনীয়তা হ্রাস পায়।

অতিরিক্তভাবে, টাইম সিরিজ বিশ্লেষণের কৌশলগুলোকে প্যারামেট্রিক এবং নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতিতে ভাগ করা যায়। প্যারামেট্রিক পদ্ধতিগুলো ধরে নেয় যে অন্তর্নিহিত স্টেশনারি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটির একটি নির্দিষ্ট কাঠামো রয়েছে যা অল্প সংখ্যক প্যারামিটার ব্যবহার করে বর্ণনা করা যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, একটি অটোরেগ্রেসিভ বা মুভিং-এভারেজ মডেল ব্যবহার করে)। এই পদ্ধতিগুলোতে, কাজটি হলো স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটি বর্ণনা করে এমন মডেলের প্যারামিটারগুলো অনুমান করা। বিপরীতে, নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতিগুলো স্পষ্টভাবে প্রক্রিয়ার কোভ্যারিয়েন্স বা স্পেকট্রাম অনুমান করে, এটি ধরে না নিয়ে যে প্রক্রিয়ার কোনো নির্দিষ্ট কাঠামো রয়েছে।

টাইম সিরিজ বিশ্লেষণের পদ্ধতিগুলোকে লিনিয়ার এবং নন-লিনিয়ার, এবং ইউনিভ্যারিয়েট ও মাল্টিভ্যারিয়েট হিসেবেও ভাগ করা যায়।

প্যানেল ডেটা

একটি টাইম সিরিজ হলো প্যানেল ডেটা-র একটি ধরন। প্যানেল ডেটা হলো সাধারণ শ্রেণি, একটি মাল্টি-ডাইমেনশনাল ডেটা সেট, যেখানে একটি টাইম সিরিজ ডেটা সেট হলো একটি ওয়ান-ডাইমেনশনাল প্যানেল (যেমনটি একটি ক্রস-সেকশনাল ডেটা সেট)। একটি ডেটা সেট প্যানেল ডেটা এবং টাইম সিরিজ ডেটা উভয়ের বৈশিষ্ট্য প্রদর্শন করতে পারে। এটি বোঝার একটি উপায় হলো নিজেকে জিজ্ঞাসা করা যে কী একটি ডেটা রেকর্ডকে অন্য রেকর্ড থেকে অনন্য করে তোলে। যদি উত্তরটি হয় টাইম ডেটা ফিল্ড, তবে এটি একটি টাইম সিরিজ ডেটা সেটের প্রার্থী। যদি একটি অনন্য রেকর্ড নির্ধারণ করতে টাইম ডেটা ফিল্ড এবং সময়ের সাথে সম্পর্কহীন একটি অতিরিক্ত শনাক্তকারী (যেমন স্টুডেন্ট আইডি, স্টক সিম্বল, কান্ট্রি কোড) প্রয়োজন হয়, তবে এটি প্যানেল ডেটার প্রার্থী। যদি পার্থক্যটি নন-টাইম শনাক্তকারীর ওপর নির্ভর করে, তবে ডেটা সেটটি একটি ক্রস-সেকশনাল ডেটা সেটের প্রার্থী।

বিশ্লেষণ

টাইম সিরিজের জন্য বিভিন্ন ধরনের অনুপ্রেরণা এবং ডেটা বিশ্লেষণ উপলব্ধ রয়েছে যা বিভিন্ন উদ্দেশ্যের জন্য উপযুক্ত।

অনুপ্রেরণা

পরিসংখ্যান, ইকোনোমেট্রিক্স, কোয়ান্টিটেটিভ ফাইন্যান্স, সিসমোলজি, মেটিওরোলজি এবং জিওফিজিক্স-এর প্রেক্ষাপটে টাইম সিরিজ বিশ্লেষণের প্রাথমিক লক্ষ্য হলো পূর্বাভাস। সিগন্যাল প্রসেসিং, কন্ট্রোল ইঞ্জিনিয়ারিং এবং যোগাযোগ প্রকৌশল-এর প্রেক্ষাপটে এটি সিগন্যাল শনাক্তকরণের জন্য ব্যবহৃত হয়। অন্যান্য প্রয়োগগুলো হলো ডেটা মাইনিং, প্যাটার্ন রিকগনিশন এবং মেশিন লার্নিং, যেখানে টাইম সিরিজ বিশ্লেষণ ক্লাস্টারিং,[2][3][4] শ্রেণিবিন্যাস,[5] বিষয়বস্তু অনুযায়ী অনুসন্ধান,[6] অ্যানোমালি ডিটেকশন এবং পূর্বাভাস-এর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে।[7]

অনুসন্ধানমূলক বিশ্লেষণ

আরও দেখুন: Exploratory analysis

যুক্তরাষ্ট্রে ১৯৫৪–২০২১ সালে যক্ষ্মায় মৃত্যুর টাইম সিরিজ

একটি নিয়মিত টাইম সিরিজ পরীক্ষা করার একটি সহজ উপায় হলো লাইন চার্ট দিয়ে ম্যানুয়ালি দেখা। ডেটাগ্রাফিকটি যুক্তরাষ্ট্রে যক্ষ্মায় মৃত্যুর সংখ্যা দেখায়,[8] সাথে বার্ষিক পরিবর্তন এবং বছর থেকে বছরে শতাংশের পরিবর্তন। মোট মৃত্যুর সংখ্যা ১৯৮০-এর দশকের মাঝামাঝি পর্যন্ত প্রতি বছর হ্রাস পেয়েছিল, যার পরে মাঝে মাঝে বৃদ্ধি দেখা গেছে, যা প্রায়শই আনুপাতিকভাবে—তবে পরমভাবে নয়—বেশ বড় ছিল।

কর্পোরেট ডেটা বিশ্লেষকদের একটি গবেষণায় অনুসন্ধানমূলক টাইম সিরিজ বিশ্লেষণের দুটি চ্যালেঞ্জ পাওয়া গেছে: আকর্ষণীয় প্যাটার্নের আকৃতি আবিষ্কার করা এবং এই প্যাটার্নগুলোর জন্য একটি ব্যাখ্যা খুঁজে বের করা।[9] ভিজ্যুয়াল টুল যা টাইম সিরিজ ডেটাকে হিট ম্যাপ ম্যাট্রিক্স হিসেবে উপস্থাপন করে, তা এই চ্যালেঞ্জগুলো কাটিয়ে উঠতে সাহায্য করতে পারে।

অনুমান, ফিল্টারিং এবং স্মুথিং

এই পদ্ধতিটি হারমোনিক বিশ্লেষণ এবং ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইন-এ সিগন্যাল ফিল্টারিং এবং স্পেকট্রাল ডেনসিটি এস্টিমেশন-এর ওপর ভিত্তি করে হতে পারে। এর বিকাশ দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধ-এর সময় গণিতবিদ নরবার্ট উইনার, ইলেকট্রিক্যাল ইঞ্জিনিয়ার রুডলফ ই. কালম্যান, ডেনিস গ্যাবর এবং অন্যদের দ্বারা সিগন্যাল থেকে নয়েজ ফিল্টার করা এবং নির্দিষ্ট সময়ে সিগন্যালের মান অনুমান করার জন্য উল্লেখযোগ্যভাবে ত্বরান্বিত হয়েছিল।

একটি কালম্যান ফিল্টার-এর মতো টাইম ডোমেইনেও সমতুল্য প্রভাব অর্জন করা যেতে পারে; আরও কৌশলের জন্য ফিল্টারিং এবং স্মুথিং দেখুন।

অন্যান্য সম্পর্কিত কৌশলগুলোর মধ্যে রয়েছে:

কার্ভ ফিটিং

মূল নিবন্ধ: Curve fitting

কার্ভ ফিটিং[12][13] হলো একটি কার্ভ বা গাণিতিক ফাংশন তৈরির প্রক্রিয়া, যা ডেটা পয়েন্টগুলোর একটি সিরিজের সাথে সবচেয়ে ভালোভাবে ফিট করে,[14] সম্ভবত কিছু সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে।[15][16] কার্ভ ফিটিং-এ ইন্টারপোলেশন অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে,[17][18] যেখানে ডেটার সাথে একটি সঠিক ফিট প্রয়োজন, অথবা স্মুথিং,[19][20] যেখানে একটি "স্মুথ" ফাংশন তৈরি করা হয় যা মোটামুটিভাবে ডেটার সাথে ফিট করে। একটি সম্পর্কিত বিষয় হলো রিগ্রেশন বিশ্লেষণ,[21][22] যা পরিসংখ্যানগত অনুমান-এর প্রশ্নগুলোর ওপর বেশি মনোযোগ দেয়, যেমন র‍্যান্ডম ত্রুটির সাথে পর্যবেক্ষণ করা ডেটার ওপর ফিট করা একটি কার্ভে কতটা অনিশ্চয়তা বিদ্যমান। ফিট করা কার্ভগুলো ডেটা ভিজ্যুয়ালাইজেশনের জন্য সহায়ক হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে,[23][24] যেখানে কোনো ডেটা উপলব্ধ নেই সেখানে ফাংশনের মান অনুমান করতে,[25] এবং দুই বা ততোধিক ভেরিয়েবলের মধ্যে সম্পর্ক সংক্ষিপ্ত করতে।[26] এক্সট্রাপোলেশন বলতে পর্যবেক্ষণ করা ডেটার পরিসীমার বাইরে একটি ফিট করা কার্ভের ব্যবহারকে বোঝায়,[27] এবং এটি অনিশ্চয়তার একটি মাত্রার সাপেক্ষে,[28] কারণ এটি কার্ভ তৈরির জন্য ব্যবহৃত পদ্ধতিকে যতটা প্রতিফলিত করে, ততটাই পর্যবেক্ষণ করা ডেটাকেও প্রতিফলিত করতে পারে।

গ্রোথ ইকুয়েশন

যে প্রক্রিয়াগুলো সাধারণত আকারে বৃদ্ধি পাবে বলে আশা করা হয়, সেগুলোর জন্য গ্রাফের কার্ভগুলোর মধ্যে একটি (এবং আরও অনেক) তাদের প্যারামিটার অনুমান করে ফিট করা যেতে পারে।

অর্থনৈতিক টাইম সিরিজ তৈরির ক্ষেত্রে পূর্ববর্তী এবং পরবর্তী তারিখের মানগুলোর ("বেঞ্চমার্ক") মধ্যে ইন্টারপোলেশন দ্বারা কিছু তারিখের জন্য কিছু উপাদানের অনুমান জড়িত থাকে। ইন্টারপোলেশন হলো দুটি পরিচিত পরিমাণের (ঐতিহাসিক ডেটা) মধ্যে একটি অজানা পরিমাণের অনুমান, অথবা উপলব্ধ তথ্য থেকে অনুপস্থিত তথ্য সম্পর্কে উপসংহারে আসা ("লাইনের মধ্যে পড়া")।[29] ইন্টারপোলেশন সেখানে কার্যকর যেখানে অনুপস্থিত ডেটার আশেপাশের ডেটা উপলব্ধ থাকে এবং এর ট্রেন্ড, মৌসুমীতা এবং দীর্ঘমেয়াদী চক্রগুলো জানা থাকে। এটি প্রায়শই সমস্ত প্রাসঙ্গিক তারিখের জন্য পরিচিত একটি সম্পর্কিত সিরিজ ব্যবহার করে করা হয়।[30] বিকল্পভাবে পলিলিনিয়ার ইন্টারপোলেশন বা স্প্লাইন ইন্টারপোলেশন ব্যবহৃত হয় যেখানে পিসওয়াইজ পলিলিনিয়াল ফাংশনগুলো সময়ের ব্যবধানে এমনভাবে ফিট করা হয় যাতে সেগুলো মসৃণভাবে একসাথে ফিট হয়। ইন্টারপোলেশনের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত একটি ভিন্ন সমস্যা হলো একটি জটিল ফাংশনকে একটি সহজ ফাংশন দ্বারা আসন্ন করা (যাকে পলিলিনিয়াল রিগ্রেশন-ও বলা হয়)। রিগ্রেশন এবং ইন্টারপোলেশনের মধ্যে প্রধান পার্থক্য হলো পলিলিনিয়াল রিগ্রেশন একটি একক পলিলিনিয়াল দেয় যা পুরো ডেটা সেটকে মডেল করে। তবে, স্প্লাইন ইন্টারপোলেশন ডেটা সেটকে মডেল করার জন্য অনেকগুলো পলিলিনিয়াল নিয়ে গঠিত একটি পিসওয়াইজ অবিচ্ছিন্ন ফাংশন প্রদান করে।

এক্সট্রাপোলেশন হলো অন্য একটি ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কের ভিত্তিতে একটি ভেরিয়েবলের মান মূল পর্যবেক্ষণের সীমার বাইরে অনুমান করার প্রক্রিয়া। এটি ইন্টারপোলেশন-এর মতোই, যা পরিচিত পর্যবেক্ষণের মধ্যে অনুমান তৈরি করে, কিন্তু এক্সট্রাপোলেশন বৃহত্তর অনিশ্চয়তা এবং অর্থহীন ফলাফল তৈরির উচ্চ ঝুঁকির সাপেক্ষে।

ফাংশন অ্যাপ্রক্সিমেশন

মূল নিবন্ধ: Function approximation

সাধারণভাবে, একটি ফাংশন অ্যাপ্রক্সিমেশন সমস্যা আমাদের একটি সু-সংজ্ঞায়িত শ্রেণির মধ্যে থেকে এমন একটি ফাংশন নির্বাচন করতে বলে যা একটি টাস্ক-নির্দিষ্ট উপায়ে একটি লক্ষ্য ফাংশনের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে মেলে ("আসন্ন")। ফাংশন অ্যাপ্রক্সিমেশন সমস্যাগুলোকে দুটি প্রধান শ্রেণিতে ভাগ করা যায়: প্রথমত, পরিচিত লক্ষ্য ফাংশনগুলোর জন্য, অ্যাপ্রক্সিমেশন থিওরি হলো সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ-এর সেই শাখা যা তদন্ত করে যে কীভাবে নির্দিষ্ট পরিচিত ফাংশনগুলোকে (উদাহরণস্বরূপ, স্পেশাল ফাংশন) ফাংশনের একটি নির্দিষ্ট শ্রেণি (উদাহরণস্বরূপ, পলিলিনিয়াল বা র‍্যাশনাল ফাংশন) দ্বারা আসন্ন করা যেতে পারে, যেগুলোর প্রায়শই কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য থাকে (কম খরচে গণনা, ধারাবাহিকতা, ইন্টিগ্রাল এবং লিমিট মান ইত্যাদি)।

দ্বিতীয়ত, লক্ষ্য ফাংশনটি, যাকে g বলা যাক, অজানা হতে পারে; একটি স্পষ্ট সূত্রের পরিবর্তে, শুধুমাত্র (x, g(x)) আকারের পয়েন্টগুলোর একটি সেট (একটি টাইম সিরিজ) প্রদান করা হয়। g-এর ডোমেইন এবং কোডোমেইন-এর কাঠামোর ওপর নির্ভর করে, g-কে আসন্ন করার জন্য বেশ কয়েকটি কৌশল প্রযোজ্য হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি g বাস্তব সংখ্যা-র ওপর একটি অপারেশন হয়, তবে ইন্টারপোলেশন, এক্সট্রাপোলেশন, রিগ্রেশন বিশ্লেষণ এবং কার্ভ ফিটিং-এর কৌশলগুলো ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি g-এর কোডোমেইন (রেঞ্জ বা টার্গেট সেট) একটি সসীম সেট হয়, তবে কেউ একটি শ্রেণিবিন্যাস সমস্যার সাথে কাজ করছে। 'অনলাইন' টাইম সিরিজ অ্যাপ্রক্সিমেশন-এর একটি সম্পর্কিত সমস্যা[31] হলো ডেটাকে এক-পাসে সংক্ষিপ্ত করা এবং একটি আসন্ন উপস্থাপনা তৈরি করা যা সবচেয়ে খারাপ-ক্ষেত্রে ত্রুটির সীমানা সহ বিভিন্ন টাইম সিরিজ কোয়েরিকে সমর্থন করতে পারে।

কিছুটা হলেও, বিভিন্ন সমস্যাগুলো (রিগ্রেশন, শ্রেণিবিন্যাস, ফিটনেস অ্যাপ্রক্সিমেশন) পরিসংখ্যানগত লার্নিং থিওরি-তে একটি সমন্বিত চিকিৎসা পেয়েছে, যেখানে সেগুলোকে সুপারভাইজড লার্নিং সমস্যা হিসেবে দেখা হয়।

পূর্বাভাস এবং প্রেডিকশন

পরিসংখ্যান-এ, প্রেডিকশন হলো পরিসংখ্যানগত অনুমান-এর একটি অংশ। এই ধরনের অনুমানের একটি নির্দিষ্ট পদ্ধতি প্রেডিক্টিভ ইনফারেন্স নামে পরিচিত, তবে প্রেডিকশন পরিসংখ্যানগত অনুমানের বেশ কয়েকটি পদ্ধতির যেকোনো একটির মধ্যে করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, পরিসংখ্যানের একটি বর্ণনা হলো যে এটি একটি জনসংখ্যার নমুনা থেকে পুরো জনসংখ্যায় এবং অন্যান্য সম্পর্কিত জনসংখ্যায় জ্ঞান স্থানান্তরের একটি উপায় প্রদান করে, যা সময়ের সাথে প্রেডিকশনের মতো একই নয়। যখন তথ্য সময়ের সাথে স্থানান্তরিত হয়, প্রায়শই সময়ের নির্দিষ্ট বিন্দুতে, তখন প্রক্রিয়াটিকে পূর্বাভাস বলা হয়।

  • স্টোকাস্টিক সিমুলেশন উদ্দেশ্যে সম্পূর্ণ গঠিত পরিসংখ্যানগত মডেল, যাতে টাইম সিরিজের বিকল্প সংস্করণ তৈরি করা যায়, যা ভবিষ্যতে অনির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে কী ঘটতে পারে তা উপস্থাপন করে।
  • সাম্প্রতিক ফলাফলের জ্ঞানের ভিত্তিতে তাৎক্ষণিক ভবিষ্যতে টাইম সিরিজের সম্ভাব্য ফলাফল বর্ণনা করার জন্য সহজ বা সম্পূর্ণ গঠিত পরিসংখ্যানগত মডেল (পূর্বাভাস)।
  • টাইম সিরিজের ওপর পূর্বাভাস সাধারণত স্বয়ংক্রিয় পরিসংখ্যানগত সফটওয়্যার প্যাকেজ এবং প্রোগ্রামিং ভাষা ব্যবহার করে করা হয়, যেমন জুলিয়া, পাইথন, আর, এসএএস, এসপিএসএস এবং আরও অনেক।
  • বৃহৎ আকারের ডেটার ওপর পূর্বাভাস অ্যাপাচি স্পার্ক ব্যবহার করে করা যেতে পারে, স্পার্ক-টিএস লাইব্রেরি ব্যবহার করে, যা একটি তৃতীয়-পক্ষের প্যাকেজ।[32]

শ্রেণিবিন্যাস

মূল নিবন্ধ: Statistical classification

টাইম সিরিজ প্যাটার্নকে একটি নির্দিষ্ট শ্রেণিতে বরাদ্দ করা, উদাহরণস্বরূপ সাংকেতিক ভাষা-তে হাতের নড়াচড়ার সিরিজের ওপর ভিত্তি করে একটি শব্দ শনাক্ত করা।

সেগমেন্টেশন

মূল নিবন্ধ: Time-series segmentation

একটি টাইম সিরিজকে সেগমেন্টের একটি ক্রমে বিভক্ত করা। প্রায়শই এমন হয় যে একটি টাইম সিরিজকে পৃথক সেগমেন্টের একটি ক্রম হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যার প্রতিটির নিজস্ব বৈশিষ্ট্য রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, একটি কনফারেন্স কলের অডিও সিগন্যালকে প্রতিটি ব্যক্তি কথা বলার সময় অনুযায়ী টুকরো টুকরো করা যেতে পারে। টাইম-সিরিজ সেগমেন্টেশনে, লক্ষ্য হলো টাইম সিরিজে সেগমেন্টের সীমানা বিন্দুগুলো শনাক্ত করা এবং প্রতিটি সেগমেন্টের সাথে যুক্ত গতিশীল বৈশিষ্ট্যগুলো চিহ্নিত করা। কেউ এই সমস্যাটির সমাধান চেঞ্জ-পয়েন্ট ডিটেকশন ব্যবহার করে বা টাইম সিরিজকে একটি আরও পরিশীলিত সিস্টেম হিসেবে মডেল করে করতে পারে, যেমন একটি মার্কভ জাম্প লিনিয়ার সিস্টেম।

ক্লাস্টারিং

টাইম সিরিজ ডেটা ক্লাস্টার করা যেতে পারে, তবে সাবসিকোয়েন্স ক্লাস্টারিং বিবেচনা করার সময় বিশেষ যত্ন নিতে হবে।[33][34] টাইম সিরিজ ক্লাস্টারিং বিভক্ত করা যেতে পারে:

  • হোল টাইম সিরিজ ক্লাস্টারিং (একাধিক টাইম সিরিজ যার জন্য একটি ক্লাস্টার খুঁজে বের করতে হবে)[35]
  • সাবসিকোয়েন্স টাইম সিরিজ ক্লাস্টারিং (একক টাইম সিরিজ, স্লাইডিং উইন্ডো ব্যবহার করে টুকরো টুকরো করা)
  • টাইম পয়েন্ট ক্লাস্টারিং

সাবসিকোয়েন্স টাইম সিরিজ ক্লাস্টারিং

সাবসিকোয়েন্স টাইম সিরিজ ক্লাস্টারিং স্লাইডিং উইন্ডো ব্যবহার করে চঙ্কিং-এর মাধ্যমে ফিচার এক্সট্রাকশন দ্বারা প্ররোচিত অস্থির (র‍্যান্ডম) ক্লাস্টারের ফলাফল দেয়।[36] দেখা গেছে যে ক্লাস্টার সেন্টারগুলো (একটি ক্লাস্টারের টাইম সিরিজের গড় - এটিও একটি টাইম সিরিজ) একটি নির্বিচারে স্থানান্তরিত সাইন প্যাটার্ন অনুসরণ করে (ডেটাসেট নির্বিশেষে, এমনকি একটি র‍্যান্ডম ওয়াক-এর উপলব্ধিতেও)। এর অর্থ হলো খুঁজে পাওয়া ক্লাস্টার সেন্টারগুলো ডেটাসেটের জন্য অ-বর্ণনামূলক কারণ ক্লাস্টার সেন্টারগুলো সর্বদা অ-প্রতিনিধিত্বমূলক সাইন ওয়েভ।

মডেল

ক্লাসিক্যাল মডেল (AR, ARMA, ARIMA এবং সুপরিচিত প্রকরণ)

টাইম সিরিজ ডেটার মডেলগুলোর অনেক রূপ থাকতে পারে এবং বিভিন্ন স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া উপস্থাপন করতে পারে। একটি প্রক্রিয়ার স্তরের পরিবর্তনগুলো মডেল করার সময়, ব্যবহারিক গুরুত্বের তিনটি বিস্তৃত শ্রেণি হলো অটোরেগ্রেসিভ (AR) মডেল, ইন্টিগ্রেটেড (I) মডেল এবং মুভিং-এভারেজ (MA) মডেল। এই তিনটি শ্রেণি পূর্ববর্তী ডেটা পয়েন্টগুলোর ওপর লিনিয়ারভাবে নির্ভর করে।[37] এই ধারণাগুলোর সংমিশ্রণ অটোরেগ্রেসিভ মুভিং-এভারেজ (ARMA) এবং অটোরেগ্রেসিভ ইন্টিগ্রেটেড মুভিং-এভারেজ (ARIMA) মডেল তৈরি করে। অটোরেগ্রেসিভ ফ্র্যাকশনালি ইন্টিগ্রেটেড মুভিং-এভারেজ (ARFIMA) মডেল পূর্বের তিনটিকে সাধারণীকরণ করে। আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ সাধারণীকরণ হলো টাইম-ভ্যারিয়িং অটোরেগ্রেসিভ (TVAR) মডেল, যেখানে AR কোফিসিয়েন্টগুলোকে সময়ের সাথে পরিবর্তন করার অনুমতি দেওয়া হয়, যা মডেলটিকে বিকশিত বা নন-স্টেশনারি গতিশীলতা ক্যাপচার করতে সক্ষম করে। ভেক্টর-মান বিশিষ্ট ডেটার সাথে কাজ করার জন্য এই শ্রেণিগুলোর সম্প্রসারণ মাল্টিভ্যারিয়েট টাইম-সিরিজ মডেলের শিরোনামে উপলব্ধ এবং কখনও কখনও পূর্ববর্তী সংক্ষিপ্ত রূপগুলোকে "ভেক্টর"-এর জন্য একটি প্রাথমিক "V" অন্তর্ভুক্ত করে প্রসারিত করা হয়, যেমন VAR-এর ক্ষেত্রে ভেক্টর অটোরেগ্রেশন। এই মডেলগুলোর একটি অতিরিক্ত সেট ব্যবহারের জন্য উপলব্ধ যেখানে পর্যবেক্ষণ করা টাইম-সিরিজটি কিছু "ফোর্সিং" টাইম-সিরিজ দ্বারা চালিত হয় (যার পর্যবেক্ষণ করা সিরিজের ওপর কোনো কার্যকারণ প্রভাব নাও থাকতে পারে): মাল্টিভ্যারিয়েট কেস থেকে পার্থক্য হলো যে ফোর্সিং সিরিজটি ডিটারমিনিস্টিক বা পরীক্ষকের নিয়ন্ত্রণে থাকতে পারে। এই মডেলগুলোর জন্য, সংক্ষিপ্ত রূপগুলোকে "এক্সোজেনাস"-এর জন্য একটি চূড়ান্ত "X" দিয়ে প্রসারিত করা হয়।

স্যাম্পল অটো-কোরিলেশন ফাংশন (ACF)-এর সসীম-নমুনা আচরণের ওপর সাম্প্রতিক কাজগুলো বাস্তবে ক্লাসিক্যাল AR, MA, ARMA এবং সম্পর্কিত মডেলগুলো কীভাবে শনাক্ত এবং নির্ণয় করা হয় সে সম্পর্কেও প্রশ্ন তুলেছে। হাসানির −1/2 উপপাদ্য দেখায় যে, একটি সাধারণ হর সহ প্রচলিত গড়-সংশোধিত স্যাম্পল ACF-এর জন্য, যেকোনো নন-কনস্ট্যান্ট সসীম নমুনার সমস্ত পজিটিভ-ল্যাগ স্যাম্পল অটো-কোরিলেশনের যোগফল ঠিক −1/2।[38][39]

এই অভিন্নতাটি আনুমানিক স্ব-সহসম্বন্ধগুলোর (estimated autocorrelations) মধ্যে একটি সুনির্দিষ্ট সসীম-নমুনা নির্ভরতা তৈরি করে। ফলস্বরূপ, নমুনার ACF মানগুলোর সম্পূর্ণ সেটকে পারস্পরিকভাবে স্বাধীন হিসেবে গণ্য করা যায় না, যদিও আদর্শ অসীমতট তত্ত্ব (asymptotic theory) নমুনা স্ব-সহসম্বন্ধের একটি নির্দিষ্ট এবং তুলনামূলকভাবে ছোট সংখ্যাকে প্রায় স্বাভাবিক এবং দুর্বলভাবে সম্পর্কযুক্ত হিসেবে অনুমান করতে পারে।[39]

এই পার্থক্যটি ধ্রুপদী মডেল শনাক্তকরণের জন্য তাৎপর্যপূর্ণ, কারণ AR, MA এবং ARMA মডেলগুলোকে সাধারণত ACF এবং PACF-এর তাত্ত্বিক আকারের ভিত্তিতে আলাদা করা হয়, যেখানে বাস্তবে এই রাশিগুলো সসীম নমুনা থেকে অনুমান করা হয় এবং তাই এগুলো −1/2 সীমাবদ্ধতার অধীন। যখন প্রচুর সংখ্যক ল্যাগ (lags) পরীক্ষা করা হয়, যখন ক্রমবর্ধমান স্ব-সহসম্বন্ধ আচরণ থেকে মেমরি বৈশিষ্ট্য অনুমান করা হয়, অথবা যখন পোর্টম্যানটো পরিসংখ্যান (portmanteau statistics) ব্যবহার করে অবশিষ্টাংশের শুভ্রতা (residual whiteness) মূল্যায়ন করা হয়, তখন এই বিষয়টি বিশেষভাবে প্রাসঙ্গিক হয়ে ওঠে।[40]

পরবর্তী গবেষণায় দেখা গেছে যে, যখন অনেকগুলো ল্যাগ বিবেচনা করা হয়, তখন নমুনা স্ব-সহসম্বন্ধগুলোর যৌথ সসীম-নমুনা আচরণ সাধারণ স্বাধীন-স্বাভাবিক অনুমান থেকে বিচ্যুত হতে পারে, যার ফলে মডেল শনাক্তকরণ, পর্যাপ্ততা পরীক্ষা এবং স্বল্প- ও দীর্ঘ-মেমরি আচরণের ব্যাখ্যার ক্ষেত্রে সম্ভাব্য প্রভাব পড়তে পারে।[41]

−1/2 উপপাদ্যটি এমন নয় যে ধ্রুপদী AR, ARMA বা ARIMA মডেলগুলো অবৈধ। বরং, এটি তাত্ত্বিক স্ব-সহসম্বন্ধ ফাংশন এবং তাদের সসীম-নমুনা অনুমানের মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য চিহ্নিত করে এবং পরামর্শ দেয় যে, যখন অনেকগুলো নমুনা ল্যাগ ব্যবহার করা হয়, তখন ধ্রুপদী ACF-ভিত্তিক মডেল শনাক্তকরণ এবং ডায়াগনস্টিক পদ্ধতিগুলো সতর্কতার সাথে ব্যাখ্যা করা উচিত।

সময়-পরিবর্তনশীল অটোরেগ্রেসিভ (TVAR) মডেল

সময়-পরিবর্তনশীল অটোরেগ্রেসিভ (TVAR) মডেলগুলো অ-স্থির (non-stationary) টাইম সিরিজ বিশ্লেষণের জন্য বিশেষভাবে উপযোগী, যেখানে অন্তর্নিহিত গতিশীলতা সময়ের সাথে জটিল উপায়ে বিবর্তিত হয়, যা কেবল প্রবণতা বা ঋতুভিত্তিক প্যাটার্নের মতো ধ্রুপদী পরিবর্তনের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়। নির্দিষ্ট প্যারামিটারযুক্ত ধ্রুপদী AR মডেলের বিপরীতে, TVAR মডেলগুলো অটোরেগ্রেসিভ সহগগুলোকে সময়ের ফাংশন হিসেবে পরিবর্তিত হতে দেয়, যা সাধারণত ভিত্তি ফাংশন প্রসারণের (basis function expansions) মাধ্যমে উপস্থাপিত হয়। এর রূপ এবং জটিলতা ব্যবহারকারী দ্বারা নির্ধারিত হয়, যা সময়-পরিবর্তনশীল আচরণের অত্যন্ত নমনীয় মডেলিংয়ের সুযোগ দেয় এবং ডেটার নির্দিষ্ট অ-স্থির প্যাটার্নগুলো ধরতে সক্ষম করে। এই নমনীয়তা তাদের কাঠামোগত পরিবর্তন, শাসন পরিবর্তন (regime shifts), বা সিস্টেমের আচরণের ধীরে ধীরে বিবর্তন মডেলিংয়ের জন্য উপযুক্ত করে তোলে। TVAR টাইম-সিরিজ মডেলগুলো সিগন্যাল প্রসেসিং,[42][43] অর্থনীতি,[44] অর্থসংস্থান,[45] নির্ভরযোগ্যতা এবং condition monitoring,[46][47][48] টেলিযোগাযোগ,[49][50] স্নায়ুবিজ্ঞান,[51] জলবায়ু বিজ্ঞান,[52] এবং জলবিজ্ঞান,[53] এর মতো ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে প্রয়োগ করা হয়, যেখানে টাইম সিরিজ প্রায়শই এমন গতিশীলতা প্রদর্শন করে যা প্রচলিত রৈখিক মডেলগুলো পর্যাপ্তভাবে উপস্থাপন করতে পারে না। TVAR মডেলের অনুমানের ক্ষেত্রে সাধারণত কার্নেল স্মুথিং,[54] রিকার্সিভ লিস্ট স্কোয়ার,[55] অথবা কালম্যান ফিল্টারিংয়ের[56] মতো পদ্ধতিগুলো জড়িত থাকে।

অ-রৈখিক মডেল

পূর্ববর্তী ডেটা পয়েন্টগুলোর ওপর একটি সিরিজের স্তরের অ-রৈখিক নির্ভরতা আগ্রহের বিষয়, আংশিকভাবে বিশৃঙ্খল টাইম সিরিজ তৈরির সম্ভাবনার কারণে। তবে, আরও গুরুত্বপূর্ণভাবে, অভিজ্ঞতামূলক তদন্তগুলো রৈখিক মডেলের তুলনায় অ-রৈখিক মডেল থেকে প্রাপ্ত পূর্বাভাসের সুবিধা নির্দেশ করতে পারে, যেমনটি nonlinear autoregressive exogenous model-এর ক্ষেত্রে দেখা যায়। অ-রৈখিক টাইম সিরিজ বিশ্লেষণের ওপর আরও তথ্যসূত্র: (Kantz and Schreiber),[57] এবং (Abarbanel)[58]

অন্যান্য ধরনের অ-রৈখিক টাইম সিরিজ মডেলের মধ্যে, সময়ের সাথে ভেদাঙ্কের পরিবর্তন (heteroskedasticity) উপস্থাপনের জন্য মডেল রয়েছে। এই মডেলগুলো autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) উপস্থাপন করে এবং এই সংগ্রহের মধ্যে বিভিন্ন ধরনের উপস্থাপনা (GARCH, TARCH, EGARCH, FIGARCH, CGARCH ইত্যাদি) অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। এখানে পরিবর্তনশীলতার পরিবর্তনগুলো পর্যবেক্ষিত সিরিজের সাম্প্রতিক অতীত মানগুলোর সাথে সম্পর্কিত বা তার দ্বারা পূর্বাভাসিত হয়। এটি স্থানীয়ভাবে পরিবর্তনশীল পরিবর্তনশীলতার অন্যান্য সম্ভাব্য উপস্থাপনার বিপরীতে, যেখানে পরিবর্তনশীলতাকে একটি পৃথক সময়-পরিবর্তনশীল প্রক্রিয়া দ্বারা চালিত হিসেবে মডেল করা হতে পারে, যেমনটি একটি doubly stochastic model-এ দেখা যায়।

অন্যান্য মডেলিং পদ্ধতি

"মডেল-মুক্ত" বিশ্লেষণের ওপর সাম্প্রতিক কাজে (একটি শব্দ যা প্রায়শই এমন বিশ্লেষণকে বোঝাতে ব্যবহৃত হয় যা সময়ের সাথে প্রক্রিয়ার বিবর্তনকে প্যারামেট্রিক গাণিতিক অভিব্যক্তির সাথে মডেল করার ওপর নির্ভর করে না), ওয়েভলেট ট্রান্সফর্ম ভিত্তিক পদ্ধতিগুলো (উদাহরণস্বরূপ লোকালি স্টেশনারি ওয়েভলেট এবং ওয়েভলেট ডিকম্পোজড নিউরাল নেটওয়ার্ক) জনপ্রিয়তা পেয়েছে।[59] মাল্টিস্কেল (প্রায়শই মাল্টি-রেজোলিউশন হিসেবে পরিচিত) কৌশলগুলো একটি প্রদত্ত টাইম সিরিজকে বিয়োজিত করে, যা একাধিক স্কেলে সময়ের নির্ভরতা চিত্রিত করার চেষ্টা করে। অস্থিরতা বিবর্তন মডেলিংয়ের জন্য Markov switching multifractal (MSMF) কৌশলগুলোও দেখুন।

একটি hidden Markov model (HMM) হলো একটি পরিসংখ্যানগত মার্কভ মডেল যেখানে মডেলকৃত সিস্টেমটিকে অ-পর্যবেক্ষিত (লুকানো) অবস্থা সহ একটি মার্কভ প্রক্রিয়া হিসেবে ধরে নেওয়া হয়। একটি HMM-কে সবচেয়ে সহজ dynamic Bayesian network হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে। HMM মডেলগুলো speech recognition-এ ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, যা কথ্য শব্দের একটি টাইম সিরিজকে টেক্সটে অনুবাদ করার জন্য ব্যবহৃত হয়।

এই মডেলগুলোর অনেকগুলোই পাইথন প্যাকেজ sktime-এ সংগ্রহ করা হয়েছে।

নোটেশন

টাইম-সিরিজ বিশ্লেষণের জন্য বিভিন্ন নোটেশন ব্যবহৃত হয়। natural number দ্বারা সূচিত একটি টাইম সিরিজ X-এর জন্য একটি সাধারণ নোটেশন হলো:

1=X = (X1, X2, ...)।

আরেকটি সাধারণ নোটেশন হলো:

1=Y = (Yt: t ∈ T),

যেখানে T হলো index set।

শর্তসমূহ

দুটি শর্তের সেট রয়েছে যার ওপর ভিত্তি করে বেশিরভাগ তত্ত্ব তৈরি করা হয়েছে:

এরগোডিসিটি স্টেশনারিটি বোঝায়, কিন্তু বিপরীতটি সর্বদা সত্য নয়। স্টেশনারিটিকে সাধারণত strict stationarity এবং ওয়াইড-সেন্স বা second-order stationarity-এ শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। মডেল এবং অ্যাপ্লিকেশন উভয়ই এই শর্তগুলোর অধীনে তৈরি করা যেতে পারে, যদিও পরবর্তী ক্ষেত্রে মডেলগুলোকে কেবল আংশিকভাবে নির্দিষ্ট হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

এছাড়াও, টাইম-সিরিজ বিশ্লেষণ সেখানে প্রয়োগ করা যেতে পারে যেখানে সিরিজগুলো ঋতুভিত্তিক স্টেশনারি বা অ-স্থির। যেসব ক্ষেত্রে ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানের প্রশস্ততা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়, সেগুলো time-frequency analysis-এ মোকাবিলা করা যেতে পারে, যা একটি টাইম-সিরিজ বা সিগন্যালের time–frequency representation ব্যবহার করে।[60]

টুলসমূহ

টাইম-সিরিজ ডেটা অনুসন্ধানের টুলগুলোর মধ্যে রয়েছে:

পরিমাপসমূহ

টাইম-সিরিজ মেট্রিক্স বা features যা টাইম সিরিজ classification বা regression analysis-এর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে:[64]

ভিজ্যুয়ালাইজেশন

টাইম সিরিজকে দুই ধরনের চার্ট দিয়ে ভিজ্যুয়ালাইজ করা যেতে পারে: ওভারল্যাপিং চার্ট এবং সেপারেটেড চার্ট। ওভারল্যাপিং চার্ট একই লেআউটে সমস্ত টাইম সিরিজ প্রদর্শন করে, যেখানে সেপারেটেড চার্ট সেগুলোকে বিভিন্ন লেআউটে উপস্থাপন করে (তবে তুলনার উদ্দেশ্যে সারিবদ্ধ থাকে)।[68]

ওভারল্যাপিং চার্ট

  • Braided graph
  • লাইন চার্ট
  • স্লোপ গ্রাফ
  • GapChart

সেপারেটেড চার্ট

  • Horizon graph
  • রিডিউসড লাইন চার্ট (স্মল মাল্টিপল)
  • সিলুয়েট গ্রাফ
  • সার্কুলার সিলুয়েট গ্রাফ

ইতিহাস

জেভনস প্রথম টাইম সিরিজ অধ্যয়ন করেছিলেন।[69] তার বইতে তিনি ১৮২৫ থেকে ১৮৬০ সাল পর্যন্ত সাপ্তাহিক আর্থিক টাইম সিরিজের একটি সংখ্যা পরীক্ষা করেছিলেন। এর মধ্যে দেউলিয়াত্ব, মুদ্রা প্রচলন এবং ডিসকাউন্ট হারের টাইম সিরিজ অন্তর্ভুক্ত ছিল।

আরও দেখুন

তথ্যসূত্র

  1. ↑ (2003). Proceedings of the 8th ACM SIGMOD workshop on Research issues in data mining and knowledge discovery. 2–11. ACM Press. ISBN 978-1-4503-7422-4. doi:10.1145/882082.882086.
  2. ↑ (November 2005). "Clustering of time series data—a survey". Pattern Recognition. 38 (11) 1857–1874. doi:10.1016/j.patcog.2005.01.025.
  3. ↑ (October 2015). "Time-series clustering – A decade review". Information Systems. 53 16–38. doi:10.1016/j.is.2015.04.007.
  4. ↑ (April 2023). "AngClust: Angle Feature-Based Clustering for Short Time Series Gene Expression Profiles". IEEE/ACM Transactions on Computational Biology and Bioinformatics. 20 (2) 1574–1580. doi:10.1109/TCBB.2022.3192306.
  5. ↑ (2002). "Proceedings of the eighth ACM SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining". 102–111. ISBN 1-58113-567-X. doi:10.1145/775047.775062.
  6. ↑ (1993). Foundations of Data Organization and Algorithms. 730 69–84. ISBN 978-3-540-57301-2. doi:10.1007/3-540-57301-1_5.
  7. ↑ (4 September 2021). "Ordinal Time Series Forecasting of the Air Quality Index". Entropy. 23 (9) 1167. doi:10.3390/e23091167.
  8. ↑ (27 August 2024). Table 1 Reported TB in the US 2022 Data & Statistics TB CDC.
  9. ↑ (2016). 2016 IEEE Symposium on Visual Languages and Human-Centric Computing (VL/HCC). 78–86. ISBN 978-1-5090-0252-8. doi:10.1109/vlhcc.2016.7739668.
  10. ↑ (1976). Fourier Analysis of Time Series: An Introduction. Wiley. ISBN 978-0-471-08256-9.January 2024
  11. ↑ (1988). Applied Statistical Time Series Analysis. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-041500-4.January 2024
  12. ↑ (1994). "Practical Handbook of Curve Fitting". CRC Press. ISBN 978-0-8493-0143-8.January 2024
  13. ↑ (1984). "Curve Fitting for Programmable Calculators". SYNTEC. ISBN 978-0-943494-02-9.January 2024
  14. ↑ (1992). "Advanced Techniques of Population Analysis". 165. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-306-43997-1.
  15. ↑ (2012). The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail but Some Don't. The Penguin Press. ISBN 978-1-59420-411-1.
  16. ↑ (1999). "Data Preparation for Data Mining". Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-529-9.January 2024
  17. ↑ Numerical Methods in Engineering with MATLAB. By Jaan Kiusalaas. Page 24.
  18. ↑ (2013). "Numerical Methods in Engineering with Python 3". 21. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-62058-1.
  19. ↑ (2012). "Numerical Methods of Curve Fitting". 349. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-64695-7.
  20. ↑ See also: Mollifier
  21. ↑ (2004). "Fitting Models to Biological Data Using Linear and Nonlinear Regression: A Practical Guide to Curve Fitting". Oxford University Press. ISBN 978-0-19-803834-4.January 2024
  22. ↑ Regression Analysis By Rudolf J. Freund, William J. Wilson, Ping Sa. Page 269.
  23. ↑ (2009). "Visual Informatics: Bridging Research and Practice". 5857 686–695. ISBN 978-3-642-05035-0. doi:10.1007/978-3-642-05036-7_65.
  24. ↑ (2009). "Numerical Methods for Nonlinear Engineering Models". 227. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-9920-5.
  25. ↑ (1976). "Spectroscopy". 13 115–346 [150]. ISBN 978-0-12-475913-8. doi:10.1016/S0076-695X(08)60643-2.
  26. ↑ (2010). Encyclopedia of Research Design. 266. SAGE. ISBN 978-1-4129-6127-1.
  27. ↑ (1990). "Community Analysis and Planning Techniques". 1. Rowman & Littlefield Publishers. ISBN 978-0-7425-7440-3.
  28. ↑ (March 1996). "An Introduction to Risk and Uncertainty in the Evaluation of Environmental Investments". 69. U.S. Army Corps of Engineers.
  29. ↑ (2012). "Numerical Methods for Scientists and Engineers". Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13482-6.January 2024
  30. ↑ (December 1962). "The Interpolation of Time Series by Related Series". Journal of the American Statistical Association. 57 (300) 729–757. doi:10.1080/01621459.1962.10500812.
  31. ↑ (2010). "2010 IEEE 26th International Conference on Data Engineering (ICDE 2010)". 924–935. ISBN 978-1-4244-5445-7. doi:10.1109/ICDE.2010.5447930.
  32. ↑ (2020-03-18). Time Series Analysis with Spark. Databricks.
  33. ↑ (2014). "A Review of Subsequence Time Series Clustering". The Scientific World Journal. 2014. doi:10.1155/2014/312521.
  34. ↑ (April 2023). "AngClust: Angle Feature-Based Clustering for Short Time Series Gene Expression Profiles". IEEE/ACM Transactions on Computational Biology and Bioinformatics. 20 (2) 1574–1580. doi:10.1109/TCBB.2022.3192306.
  35. ↑ (2026). "Geometric Invariants: Theory for Application to Financial Time Series". Symmetry. 18. doi:10.3390/sym18071176.
  36. ↑ (August 2005). "Clustering of time-series subsequences is meaningless: implications for previous and future research". Knowledge and Information Systems. 8 (2) 154–177. doi:10.1007/s10115-004-0172-7.
  37. ↑ Gershenfeld, N.. (1999). The Nature of Mathematical Modeling. 205–208. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57095-4.
  38. ↑ Hassani, Hossein. (2009). "Sum of the sample autocorrelation function". Random Operators and Stochastic Equations. 17 (2) 125–130. doi:10.1515/ROSE.2009.008.
  39. ↑ 39.0 39.1 Hassani, Hossein. (2010). "A note on the sum of the sample autocorrelation function". Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications. 389 (8) 1601–1606. doi:10.1016/j.physa.2009.12.050.
  40. ↑ (2012). "The sample autocorrelation function and the detection of long-memory processes". Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications. 391 (24) 6367–6379. doi:10.1016/j.physa.2012.07.062.
  41. ↑ (2024). "Exploring the Depths of the Autocorrelation Function: Its Departure from Normality". Information. 15 (8) 449. doi:10.3390/info15080449.
  42. ↑ (January 2019). "A Time-Varying Autoregressive Model for Characterizing Nonstationary Processes". IEEE Signal Processing Letters. 26 (1) 134–138. doi:10.1109/LSP.2018.2880086.
  43. ↑ (April 2008). A New Nonstationarity Detector. IEEE Transactions on Signal Processing. 56 (4) 1440–1451. doi:10.1109/TSP.2007.909346.
  44. ↑ (31 December 2024). "Time-Varying Autoregressive Models for Economic Forecasting". Matematika. 131–142. doi:10.11113/matematika.v40.n3.1654.
  45. ↑ (9 July 2025). "The Use of Minimization Solvers for Optimizing Time-Varying Autoregressive Models and Their Applications in Finance". Mathematics. 13 (14) 2230. doi:10.3390/math13142230.
  46. ↑ (5 November 2024). "Data Augmentation of Multivariate Sensor Time Series using Autoregressive Models and Application to Failure Prognostics". Annual Conference of the PHM Society. 16 (1). doi:10.36001/phmconf.2024.v16i1.4145.
  47. ↑ (26 October 2023). "Data Augmentation of Sensor Time Series using Time-varying Autoregressive Processes". Annual Conference of the PHM Society. 15 (1). doi:10.36001/phmconf.2023.v15i1.3565.
  48. ↑ (2020). "A Fault Diagnosis Methodology Based on Non-Stationary Monitoring Signals by Extracting Features With Unknown Probability Distribution". IEEE Access. 8 59821–59836. doi:10.1109/ACCESS.2020.2978112.
  49. ↑ (17 March 2023). "IDBD-Based Beamforming Algorithm for Improving the Performance of Phased Array Radar in Nonstationary Environments". Sensors. 23 (6) 3211. doi:10.3390/s23063211.
  50. ↑ (23 February 2023). "Prediction of Packet Loss Rate in Non-Stationary Networks Based on Time-Varying Autoregressive Sequences". Electronics. 12 (5) 1103. doi:10.3390/electronics12051103.
  51. ↑ (August 2011). "2011 Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society". 6585–6588. ISBN 978-1-4577-1589-1. doi:10.1109/IEMBS.2011.6091624.
  52. ↑ (18 March 2025). "Climate driven generative time-varying model for improved decadal storm power predictions in the Mediterranean". Communications Earth & Environment. 6 (1) 212. doi:10.1038/s43247-025-02196-2.
  53. ↑ (1 October 2022). "A time-varying autoregressive model for groundwater depth prediction". Journal of Hydrology. 613. doi:10.1016/j.jhydrol.2022.128394.
  54. ↑ (1 June 2012). "Inference of time-varying regression models". The Annals of Statistics. 40 (3). doi:10.1214/12-AOS1010.
  55. ↑ (May 2012). "2012 IEEE International Symposium on Circuits and Systems". 1026–1029. ISBN 978-1-4673-0219-7. doi:10.1109/ISCAS.2012.6271402.
  56. ↑ (December 2013). "2013 9th International Conference on Information, Communications & Signal Processing". 1–4. ISBN 978-1-4799-0434-1. doi:10.1109/ICICS.2013.6782838.
  57. ↑ (2004). Nonlinear Time Series Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-52902-0.
  58. ↑ (Nov 25, 1997). Analysis of Observed Chaotic Data. Springer. ISBN 978-0-387-98372-1.
  59. ↑ (June 2016). Using Wavelet Tools to Analyse Seasonal Variations from InSAR Time-Series Data: A Case Study of the Huangtupo Landslide. Landslides. 13 (3) 437–450. doi:10.1007/s10346-015-0589-y.
  60. ↑ Boashash, B. (ed.), (2003) Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference, Elsevier Science, Oxford, 2003 0-08-044335-4
  61. ↑ (March 2012). "Scaled correlation analysis: a better way to compute a cross-correlogram". European Journal of Neuroscience. 35 (5) 742–762. doi:10.1111/j.1460-9568.2011.07987.x.
  62. ↑ (April 2023). "AngClust: Angle Feature-Based Clustering for Short Time Series Gene Expression Profiles". IEEE/ACM Transactions on Computational Biology and Bioinformatics. 20 (2) 1574–1580. doi:10.1109/TCBB.2022.3192306.
  63. ↑ 63.0 63.1 (February 1978). "Dynamic programming algorithm optimization for spoken word recognition". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 26 (1) 43–49. doi:10.1109/TASSP.1978.1163055.
  64. ↑ (2007). "Seizure prediction: the long and winding road". Brain. 130 (2) 314–333. doi:10.1093/brain/awl241.
  65. ↑ Measuring the 'Complexity' of a time series.
  66. ↑ (2016). "A Primer on the Signature Method in Machine Learning".
  67. ↑ (2003). "Proceedings of the 25th Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society (IEEE Cat. No. 03CH37439)". 2933–2936. ISBN 978-0-7803-7789-9. doi:10.1109/IEMBS.2003.1280532.
  68. ↑ The TimeViz Browser:A Visual Survey of Visualization Techniques for Time-Oriented Data.
  69. ↑ W. S. Jevons. Investigations in Currency and Finance. Macmillan, London, 1884

আরও পড়ুন

বহিঃসংযোগ

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Time series” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Time_series এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।

Retrieved from "https://ltrc.sciwiki.in/index.php?title=টাইম_সিরিজ&oldid=3737"