স্পেকট্রাল ডেনসিটি এস্টিমেশন

স্পেকট্রাল ডেনসিটি পরিসংখ্যানগত সিগন্যাল প্রসেসিং-এ, স্পেকট্রাল ডেনসিটি এস্টিমেশন (SDE) বা সংক্ষেপে স্পেকট্রাল এস্টিমেশন-এর লক্ষ্য হলো কোনো সিগন্যালের টাইম স্যাম্পল বা সময়ের নমুনা থেকে সেই সিগন্যালের স্পেকট্রাল ডেনসিটি (যা পাওয়ার স্পেকট্রাল ডেনসিটি বা দ্বিতীয়-ক্রমের পলিস্পেকট্রাম নামেও পরিচিত) অনুমান করা। সহজ কথায়, স্পেকট্রাল ডেনসিটি সিগন্যালের ফ্রিকোয়েন্সি বা কম্পাঙ্ক উপাদানকে বৈশিষ্ট্যমণ্ডিত করে। স্পেকট্রাল ডেনসিটি অনুমান করার একটি উদ্দেশ্য হলো ডেটার মধ্যে কোনো পর্যায়বৃত্ততা শনাক্ত করা, যা এই পর্যায়বৃত্ততার সাথে সম্পর্কিত কম্পাঙ্কগুলোতে চূড়া বা পিক পর্যবেক্ষণের মাধ্যমে করা হয়।

কিছু SDE কৌশল ধরে নেয় যে একটি সিগন্যাল সীমিত (সাধারণত অল্প) সংখ্যক উৎপন্ন কম্পাঙ্ক এবং নয়েজ বা গোলমালের সমন্বয়ে গঠিত এবং তারা সেই উৎপন্ন কম্পাঙ্কগুলোর অবস্থান ও তীব্রতা খুঁজে বের করার চেষ্টা করে। অন্যরা উপাদানগুলোর সংখ্যার ওপর কোনো অনুমান করে না এবং পুরো উৎপন্ন স্পেকট্রামটি অনুমান করার চেষ্টা করে।

ওভারভিউ

ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইন

কণ্ঠস্বরের ওয়েভফর্ম এবং এর ফ্রিকোয়েন্সি স্পেকট্রামের উদাহরণ

একটি পর্যায়বৃত্ত ওয়েভফর্ম (ট্রায়াঙ্গেল ওয়েভ) এবং এর ফ্রিকোয়েন্সি স্পেকট্রাম, যেখানে ২২০ হার্জে একটি "মৌলিক" কম্পাঙ্ক এবং এর গুণিতক (হারমোনিকস) দেখা যাচ্ছে

তুলনার জন্য দুটি ভিন্ন পদ্ধতিতে মিউজিকের একটি অংশের পাওয়ার স্পেকট্রাল ডেনসিটি অনুমান করা হয়েছে

স্পেকট্রাম অ্যানালাইসিস, যা ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইন বিশ্লেষণ বা স্পেকট্রাল ডেনসিটি এস্টিমেশন নামেও পরিচিত, হলো একটি জটিল সিগন্যালকে সহজতর অংশে বিভক্ত করার প্রযুক্তিগত প্রক্রিয়া। উপরে বর্ণিত হিসেবে, অনেক ভৌত প্রক্রিয়াকে অনেকগুলো পৃথক কম্পাঙ্ক উপাদানের সমষ্টি হিসেবে সবচেয়ে ভালোভাবে বর্ণনা করা যায়। যে কোনো প্রক্রিয়া যা কম্পাঙ্কের (বা দশা) বিপরীতে বিভিন্ন পরিমাণ (যেমন বিস্তার, ক্ষমতা, তীব্রতা) পরিমাপ করে, তাকে স্পেকট্রাম অ্যানালাইসিস বলা যেতে পারে।

পুরো সিগন্যালের ওপর স্পেকট্রাম অ্যানালাইসিস করা যেতে পারে। বিকল্পভাবে, একটি সিগন্যালকে ছোট ছোট অংশে (কখনও কখনও ফ্রেম বলা হয়) ভেঙে ফেলা যায় এবং এই পৃথক অংশগুলোতে স্পেকট্রাম অ্যানালাইসিস প্রয়োগ করা যেতে পারে। পর্যায়বৃত্ত ফাংশনগুলো (যেমন $\sin (t)$) এই উপ-বিভাজনের জন্য বিশেষভাবে উপযুক্ত। অ-পর্যায়বৃত্ত ফাংশন বিশ্লেষণের জন্য সাধারণ গাণিতিক কৌশলগুলো ফুরিয়ার বিশ্লেষণ বিভাগের অন্তর্ভুক্ত।

একটি ফাংশনের ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম একটি ফ্রিকোয়েন্সি স্পেকট্রাম তৈরি করে যা মূল সিগন্যাল সম্পর্কে সমস্ত তথ্য ধারণ করে, কিন্তু ভিন্ন আকারে। এর মানে হলো, মূল ফাংশনটিকে একটি ইনভার্স ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম দ্বারা সম্পূর্ণরূপে পুনর্গঠন (সিন্থেসাইজ) করা সম্ভব। নিখুঁত পুনর্গঠনের জন্য, স্পেকট্রাম অ্যানালাইজারকে প্রতিটি কম্পাঙ্ক উপাদানের বিস্তার এবং দশা উভয়ই সংরক্ষণ করতে হবে। এই দুটি তথ্যকে একটি দ্বিমাত্রিক ভেক্টর, একটি জটিল সংখ্যা, অথবা পোলার স্থানাঙ্ক-এ মান (বিস্তার) এবং দশা (অর্থাৎ, একটি ফেজর) হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। সিগন্যাল প্রসেসিংয়ে একটি সাধারণ কৌশল হলো বর্গকৃত বিস্তার বা ক্ষমতা বিবেচনা করা; এই ক্ষেত্রে প্রাপ্ত প্লটটিকে পাওয়ার স্পেকট্রাম বলা হয়।

বিপরীতমুখী হওয়ার কারণে, ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মকে সময়ের পরিবর্তে কম্পাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে ফাংশনের একটি উপস্থাপনা বলা হয়; সুতরাং, এটি একটি ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইন উপস্থাপনা। টাইম ডোমেইনে যে রৈখিক অপারেশনগুলো করা যেতে পারে, সেগুলোর প্রতিরূপ প্রায়শই ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে আরও সহজে করা যায়। ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণ বিভিন্ন টাইম-ডোমেইন অপারেশনের প্রভাব বোঝা এবং ব্যাখ্যা করা সহজ করে তোলে, তা রৈখিক বা অ-রৈখিক যাই হোক না কেন। উদাহরণস্বরূপ, শুধুমাত্র অ-রৈখিক বা টাইম-ভ্যারিয়েন্ট অপারেশনগুলোই ফ্রিকোয়েন্সি স্পেকট্রামে নতুন কম্পাঙ্ক তৈরি করতে পারে।

বাস্তবে, ফ্রিকোয়েন্সি স্পেকট্রাম তৈরি করে এমন প্রায় সমস্ত সফটওয়্যার এবং ইলেকট্রনিক ডিভাইস একটি ডিসক্রিট ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (DFT) ব্যবহার করে, যা সিগন্যালের নমুনাগুলোর ওপর কাজ করে এবং সম্পূর্ণ ইন্টিগ্রাল সমাধানের একটি গাণিতিক আসন্ন মান প্রদান করে। DFT প্রায় সবসময়ই ফাস্ট ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (FFT) নামক একটি দক্ষ অ্যালগরিদম দ্বারা বাস্তবায়িত হয়। DFT-এর বর্গকৃত-মান উপাদানগুলোর অ্যারে হলো এক ধরনের পাওয়ার স্পেকট্রাম যাকে পিরিওডোগ্রাম বলা হয়, যা ফিল্টার ইমপালস রেসপন্স এবং উইন্ডো ফাংশন-এর মতো নয়েজ-মুক্ত ফাংশনের কম্পাঙ্ক বৈশিষ্ট্য পরীক্ষার জন্য ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। কিন্তু পিরিওডোগ্রাম নয়েজ-সদৃশ সিগন্যাল বা এমনকি কম সিগন্যাল-টু-নয়েজ অনুপাতে সাইনুসয়েডের ক্ষেত্রে প্রসেসিং-গেইন প্রদান করে নাFFT does provide higher process gain as the bin count increases. Why do we suggest that it doesn't at low SNR?। অন্য কথায়, একটি নির্দিষ্ট কম্পাঙ্কে এর স্পেকট্রাল অনুমানের ভ্যারিয়েন্স বা বিচ্যুতি গণনায় ব্যবহৃত নমুনার সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে কমে না। এটি সময়ের গড় (ওয়েলচ পদ্ধতি) বা কম্পাঙ্কের গড় (স্মুথিং) করার মাধ্যমে কমানো যেতে পারে। ওয়েলচ পদ্ধতি স্পেকট্রাল ডেনসিটি এস্টিমেশন (SDE)-এর জন্য ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। যাইহোক, পিরিওডোগ্রাম-ভিত্তিক কৌশলগুলো ছোটখাটো পক্ষপাত (bias) প্রবর্তন করে যা কিছু অ্যাপ্লিকেশনে অগ্রহণযোগ্য। তাই পরবর্তী বিভাগে অন্যান্য বিকল্প উপস্থাপন করা হয়েছে।

কৌশলসমূহ

মৌলিক পিরিওডোগ্রামের অসুবিধাগুলো কমানোর জন্য স্পেকট্রাল এস্টিমেশনের আরও অনেক কৌশল তৈরি করা হয়েছে। এই কৌশলগুলোকে সাধারণত নন-প্যারামেট্রিক, প্যারামেট্রিক, এবং অতি সম্প্রতি সেমি-প্যারামেট্রিক (স্পার্স নামেও পরিচিত) পদ্ধতিতে ভাগ করা যায়। নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতিগুলো প্রক্রিয়ার কোনো নির্দিষ্ট কাঠামো আছে বলে ধরে না নিয়ে সরাসরি কোভ্যারিয়েন্স বা স্পেকট্রাম অনুমান করে। মৌলিক অ্যাপ্লিকেশনের জন্য ব্যবহৃত কিছু সাধারণ এস্টিমেটর (যেমন ওয়েলচ পদ্ধতি) হলো নন-প্যারামেট্রিক এস্টিমেটর যা পিরিওডোগ্রামের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। বিপরীতে, প্যারামেট্রিক পদ্ধতিগুলো ধরে নেয় যে অন্তর্নিহিত স্টেশনারি স্টোকাস্টিক প্রসেস-এর একটি নির্দিষ্ট কাঠামো রয়েছে যা অল্প সংখ্যক প্যারামিটার ব্যবহার করে বর্ণনা করা যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, একটি অটোরেগ্রেসিভ বা মুভিং-অ্যাভারেজ মডেল ব্যবহার করে)। এই পদ্ধতিগুলোতে কাজ হলো মডেলের প্যারামিটারগুলো অনুমান করা যা স্টোকাস্টিক প্রসেসটিকে বর্ণনা করে। সেমি-প্যারামেট্রিক পদ্ধতি ব্যবহার করার সময়, অন্তর্নিহিত প্রক্রিয়াটিকে একটি নন-প্যারামেট্রিক কাঠামোর মাধ্যমে মডেল করা হয়, সাথে এই অতিরিক্ত অনুমান থাকে যে মডেলের অ-শূন্য উপাদানগুলোর সংখ্যা কম (অর্থাৎ, মডেলটি স্পার্স)। একই ধরনের পদ্ধতি ডেটা পুনরুদ্ধারের পাশাপাশি সিগন্যাল পুনর্গঠন-এর জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে।

স্পেকট্রাল ডেনসিটি এস্টিমেশন কৌশলের একটি আংশিক তালিকা নিচে দেওয়া হলো:

• নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতি যার জন্য সিগন্যাল নমুনাগুলো সময়ে অসমভাবে ব্যবধানযুক্ত হতে পারে (রেকর্ড অসম্পূর্ণ হতে পারে)
  • লিস্ট-স্কয়ার্স স্পেকট্রাল অ্যানালাইসিস, যা পরিচিত কম্পাঙ্কের সাথে লিস্ট-স্কয়ার্স ফিটিংয়ের ওপর ভিত্তি করে
  • লম্ব–স্কার্গল পিরিওডোগ্রাম, লিস্ট-স্কয়ার্স স্পেকট্রাল অ্যানালাইসিস-এর একটি আসন্ন মান
  • নন-ইউনিফর্ম ডিসক্রিট ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম
• নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতি যার জন্য সিগন্যাল নমুনাগুলো অবশ্যই সময়ে সমানভাবে ব্যবধানযুক্ত হতে হবে (রেকর্ড অবশ্যই সম্পূর্ণ হতে হবে):
  • পিরিওডোগ্রাম, ডিসক্রিট ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের মডুলাস স্কয়ার্ড
  • বার্টলেট পদ্ধতি, যা স্পেকট্রাল ডেনসিটি অনুমানের ভ্যারিয়েন্স কমানোর জন্য সিগন্যালের একাধিক অংশের পিরিওডোগ্রামের গড়
  • ওয়েলচ পদ্ধতি, বার্টলেট পদ্ধতির একটি উইন্ডোড সংস্করণ যা ওভারল্যাপিং অংশ ব্যবহার করে
  • মাল্টিট্যাপার, একটি পিরিওডোগ্রাম-ভিত্তিক পদ্ধতি যা স্পেকট্রাল ডেনসিটি অনুমানের ভ্যারিয়েন্স কমানোর জন্য স্পেকট্রাল ডেনসিটির স্বাধীন অনুমান তৈরি করতে একাধিক ট্যাপার বা উইন্ডো ব্যবহার করে
  • সিঙ্গুলার স্পেকট্রাম অ্যানালাইসিস, একটি নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতি যা স্পেকট্রাল ডেনসিটি অনুমান করতে কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স-এর সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকম্পোজিশন ব্যবহার করে
  • শর্ট-টাইম ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম
  • ক্রিটিক্যাল ফিল্টার, ইনফরমেশন ফিল্ড থিওরি-এর ওপর ভিত্তি করে একটি নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতি যা নয়েজ, অসম্পূর্ণ ডেটা এবং ইন্সট্রুমেন্টাল রেসপন্স ফাংশন নিয়ে কাজ করতে পারে
• প্যারামেট্রিক কৌশল (একটি অসম্পূর্ণ তালিকা):
  • অটোরেগ্রেসিভ মডেল (AR) এস্টিমেশন, যা ধরে নেয় যে n-তম নমুনাটি পূর্ববর্তী p নমুনার সাথে সম্পর্কিত।
  • মুভিং-অ্যাভারেজ মডেল (MA) এস্টিমেশন, যা ধরে নেয় যে n-তম নমুনাটি পূর্ববর্তী p নমুনার নয়েজ টার্মের সাথে সম্পর্কিত।
  • অটোরেগ্রেসিভ মুভিং-অ্যাভারেজ (ARMA) এস্টিমেশন, যা AR এবং MA মডেলগুলোকে সাধারণীকরণ করে।
  • মাল্টিপল সিগন্যাল ক্লাসিফিকেশন (MUSIC) একটি জনপ্রিয় সুপাররেজোলিউশন পদ্ধতি।
  • এস্টিমেশন অফ সিগন্যাল প্যারামিটারস ভায়া রোটেশনাল ইনভ্যারিয়েন্স টেকনিকস (ESPRIT) আরেকটি সুপাররেজোলিউশন পদ্ধতি।
  • ম্যাক্সিমাম এন্ট্রপি স্পেকট্রাল এস্টিমেশন একটি অল-পোলস পদ্ধতি যা SDE-এর জন্য উপযোগী যখন তীক্ষ্ণ চূড়ার মতো একক স্পেকট্রাল বৈশিষ্ট্য প্রত্যাশিত হয়।
• সেমি-প্যারামেট্রিক কৌশল (একটি অসম্পূর্ণ তালিকা):
  • স্পার্স ইটারেটিভ কোভ্যারিয়েন্স-বেসড এস্টিমেশন (SPICE) এস্টিমেশন, এবং আরও সাধারণ $(r,q)$-SPICE।
  • ইটারেটিভ অ্যাডাপ্টিভ অ্যাপ্রোচ (IAA) এস্টিমেশন।
  • Lasso, লিস্ট-স্কয়ার্স স্পেকট্রাল অ্যানালাইসিস-এর মতো কিন্তু স্পার্সটি এনফোর্সিং পেনাল্টিসহ।

প্যারামেট্রিক এস্টিমেশন

প্যারামেট্রিক স্পেকট্রাল এস্টিমেশনে, ধরে নেওয়া হয় যে সিগন্যালটি একটি স্টেশনারি প্রসেস দ্বারা মডেল করা হয়েছে যার একটি স্পেকট্রাল ডেনসিটি ফাংশন (SDF) $S(f;a_1,\dots ,a_p)$ রয়েছে, যা কম্পাঙ্ক $f$ এবং $p$ সংখ্যক প্যারামিটার $a_1,\dots ,a_p$-এর একটি ফাংশন। তখন এস্টিমেশন সমস্যাটি এই প্যারামিটারগুলো অনুমান করার সমস্যায় পরিণত হয়।

প্যারামেট্রিক SDF অনুমানের সবচেয়ে সাধারণ রূপটি মডেল হিসেবে $p$ অর্ডারের একটি অটোরেগ্রেসিভ মডেল $\text{AR}(p)$ ব্যবহার করে। একটি সিগন্যাল সিকোয়েন্স $\{Y_t\}$ যা শূন্য গড় $\text{AR}(p)$ প্রক্রিয়া মেনে চলে, তা নিচের সমীকরণটি পূরণ করে:

$$Y_t={\varphi }_1{Y}_{t-1}+{\varphi }_2{Y}_{t-2}+\cdots +{\varphi }_p{Y}_{t-p}+{\epsilon }_t,$$

যেখানে ${\varphi }_1,\dots ,{\varphi }_p$ হলো নির্দিষ্ট সহগ এবং ${\epsilon }_t$ হলো শূন্য গড় এবং ইনোভেশন ভ্যারিয়েন্স ${\sigma }_p^2$ বিশিষ্ট একটি হোয়াইট নয়েজ প্রক্রিয়া। এই প্রক্রিয়ার জন্য SDF হলো:

$$S(f;{\varphi }_1,\dots ,{\varphi }_p,{\sigma }_p^2)=\frac{{\sigma }_p^2\mathrm{\Delta }t}{{|1-\sum _{k=1}^p{\varphi }_k{e}^{-2\pi ifk\mathrm{\Delta }t}|}^2},|f|<f_N,$$

যেখানে $\mathrm{\Delta }t$ হলো স্যাম্পলিং সময়ের ব্যবধান এবং $f_N$ হলো নাইকুইস্ট কম্পাঙ্ক।

$\text{AR}(p)$ প্রক্রিয়ার প্যারামিটার ${\varphi }_1,\dots ,{\varphi }_p,{\sigma }_p^2$ এবং এভাবে স্পেকট্রাল ডেনসিটি অনুমান করার বেশ কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে:

• ইউলে–ওয়াকার এস্টিমেটরগুলো একটি $\text{AR}(p)$ প্রক্রিয়ার জন্য ইউলে–ওয়াকার সমীকরণগুলো পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে সমাধান করে পাওয়া যায়।
• বার্গ এস্টিমেটরগুলো ইউলে–ওয়াকার সমীকরণগুলোকে সাধারণ লিস্ট-স্কয়ার্স সমস্যার একটি রূপ হিসেবে বিবেচনা করে পাওয়া যায়। বার্গ এস্টিমেটরগুলোকে সাধারণত ইউলে–ওয়াকার এস্টিমেটরের চেয়ে উন্নত বলে মনে করা হয়। বার্গ এগুলোকে ম্যাক্সিমাম এন্ট্রপি স্পেকট্রাল এস্টিমেশন-এর সাথে যুক্ত করেছিলেন।
• ফরোয়ার্ড-ব্যাকওয়ার্ড লিস্ট-স্কয়ার্স এস্টিমেটরগুলো $\text{AR}(p)$ প্রক্রিয়াটিকে একটি রিগ্রেশন সমস্যা হিসেবে বিবেচনা করে এবং ফরোয়ার্ড-ব্যাকওয়ার্ড পদ্ধতি ব্যবহার করে সেই সমস্যার সমাধান করে। এগুলো বার্গ এস্টিমেটরের সাথে প্রতিযোগিতামূলক।
• ম্যাক্সিমাম লাইকলিহুড এস্টিমেটরগুলো একটি ম্যাক্সিমাম লাইকলিহুড পদ্ধতি ব্যবহার করে প্যারামিটারগুলো অনুমান করে। এতে একটি অ-রৈখিক অপ্টিমাইজেশন জড়িত এবং এটি প্রথম তিনটির চেয়ে জটিল।

বিকল্প প্যারামেট্রিক পদ্ধতির মধ্যে রয়েছে মুভিং-অ্যাভারেজ মডেল (MA) এবং একটি সম্পূর্ণ অটোরেগ্রেসিভ মুভিং-অ্যাভারেজ মডেল (ARMA)-এর সাথে ফিটিং করা।

কম্পাঙ্ক এস্টিমেশন

কম্পাঙ্ক এস্টিমেশন হলো নয়েজ-এর উপস্থিতিতে একটি সিগন্যাল-এর কম্পাঙ্ক, বিস্তার এবং দশা-পরিবর্তন অনুমান করার প্রক্রিয়া, যেখানে উপাদানগুলোর সংখ্যা সম্পর্কে অনুমান দেওয়া থাকে। এটি উপরের সাধারণ পদ্ধতিগুলোর বিপরীত, যা উপাদানগুলো সম্পর্কে পূর্বের কোনো অনুমান করে না।

সিঙ্গেল টোন

আরও দেখুন: সাইনুসয়েডাল মডেল

যদি কেউ শুধুমাত্র একক উচ্চস্বরের পিওর-টোন সিগন্যাল-এর কম্পাঙ্ক অনুমান করতে চায়, তবে সে একটি পিচ ডিটেকশন অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে পারে।

যদি প্রভাবশালী কম্পাঙ্ক সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়, তবে সমস্যাটি টাইম–ফ্রিকোয়েন্সি রিপ্রেজেন্টেশন-এ সংজ্ঞায়িত ইনস্ট্যান্টেনিয়াস ফ্রিকোয়েন্সি অনুমানের সমস্যায় পরিণত হয়। ইনস্ট্যান্টেনিয়াস ফ্রিকোয়েন্সি অনুমানের পদ্ধতির মধ্যে রয়েছে উইগনার–ভিল ডিস্ট্রিবিউশন এবং উচ্চতর ক্রমের অ্যাম্বিগুয়িটি ফাংশন-এর ওপর ভিত্তি করে পদ্ধতিগুলো।

যদি কেউ একটি প্রাপ্ত সিগন্যালের (ট্রান্সমিটেড সিগন্যাল এবং নয়েজসহ) সমস্ত (সম্ভবত জটিল) কম্পাঙ্ক উপাদান জানতে চায়, তবে সে একটি মাল্টিপল-টোন পদ্ধতি ব্যবহার করে।

মাল্টিপল টোন

একটি সিগন্যাল $x(n)$-এর জন্য একটি সাধারণ মডেল হোয়াইট নয়েজ $w(n)$-এর উপস্থিতিতে $p$ সংখ্যক জটিল এক্সপোনেনশিয়ালের সমষ্টি নিয়ে গঠিত:

$x(n)=\sum _{k=1}^p{A}_k{e}^{in{\omega }_k}+w(n)$।

$x(n)$-এর পাওয়ার স্পেকট্রাল ডেনসিটি নয়েজের কারণে স্পেকট্রাল ডেনসিটি ফাংশনের পাশাপাশি $p$ সংখ্যক ইমপালস ফাংশন নিয়ে গঠিত।

কম্পাঙ্ক অনুমানের সবচেয়ে সাধারণ পদ্ধতিগুলোর মধ্যে এই উপাদানগুলো বের করার জন্য নয়েজ সাবস্পেস শনাক্ত করা অন্তর্ভুক্ত। এই পদ্ধতিগুলো সিগন্যাল সাবস্পেস এবং নয়েজ সাবস্পেসের মধ্যে অটোকারিলেশন ম্যাট্রিক্স-এর আইগেনডিকম্পোজিশন-এর ওপর ভিত্তি করে। এই সাবস্পেসগুলো শনাক্ত করার পর, নয়েজ সাবস্পেস থেকে উপাদান কম্পাঙ্কগুলো খুঁজে বের করার জন্য একটি কম্পাঙ্ক এস্টিমেশন ফাংশন ব্যবহার করা হয়। নয়েজ সাবস্পেস-ভিত্তিক কম্পাঙ্ক অনুমানের সবচেয়ে জনপ্রিয় পদ্ধতিগুলো হলো পিসারেঙ্কোর পদ্ধতি, মাল্টিপল সিগন্যাল ক্লাসিফিকেশন (MUSIC) পদ্ধতি, আইগেনভেক্টর পদ্ধতি এবং মিনিমাম নর্ম পদ্ধতি।

পিসারেঙ্কোর পদ্ধতি

${\hat{P}}_{\text{PHD}}\left(e^{j\omega }\right)=\frac{1}{{\left|{\mathbf{𝐞}}^H{\mathbf{𝐯}}_{\text{min}}\right|}^2}$

MUSIC

${\hat{P}}_{\text{MU}}\left(e^{j\omega }\right)=\frac{1}{\sum _{i=p+1}^M{\left|{\mathbf{𝐞}}^H{\mathbf{𝐯}}_i\right|}^2}$

আইগেনভেক্টর পদ্ধতি

${\hat{P}}_{\text{EV}}\left(e^{j\omega }\right)=\frac{1}{\sum _{i=p+1}^M\frac{1}{{\lambda }_i}{\left|{\mathbf{𝐞}}^H{\mathbf{𝐯}}_i\right|}^2}$

মিনিমাম নর্ম পদ্ধতি

${\hat{P}}_{\text{MN}}\left(e^{j\omega }\right)=\frac{1}{{\left|{\mathbf{𝐞}}^H\mathbf{𝐚}\right|}^2};\mathbf{𝐚}=\lambda {\mathbf{𝐏}}_n{\mathbf{𝐮}}_1$

উদাহরণ গণনা

ধরা যাক $x_n$, $n=0$ থেকে $N-1$ পর্যন্ত একটি টাইম সিরিজ (ডিসক্রিট টাইম) যার গড় শূন্য। ধরা যাক এটি সীমিত সংখ্যক পর্যায়বৃত্ত উপাদানের সমষ্টি (সব কম্পাঙ্ক ধনাত্মক):

$$\begin{array}{rl}{x}_n& =\sum _k{A}_k\sin (2\pi {\nu }_{k}n+{\varphi }_k)\\ & =\sum _k{A}_k[\sin ({\varphi }_k)\cos (2\pi {\nu }_{k}n)+\cos ({\varphi }_k)\sin (2\pi {\nu }_{k}n)]\\ & =\sum _k[a_k\cos (2\pi {\nu }_{k}n)+b_k\sin (2\pi {\nu }_{k}n)]\end{array}$$ যেখানে $$\begin{array}{rlrl}{a}_k& =A_k\sin ({\varphi }_k),& b_k& =A_k\cos ({\varphi }_k).\end{array}$$

উপরের মতো শূন্য-গড় ফাংশনের জন্য $x_n$-এর ভ্যারিয়েন্স হলো:

$$\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n^2.$$

যদি এই ডেটাগুলো একটি বৈদ্যুতিক সিগন্যাল থেকে নেওয়া নমুনা হতো, তবে এটি হতো এর গড় ক্ষমতা (ক্ষমতা হলো প্রতি একক সময়ের শক্তি, তাই এটি ভ্যারিয়েন্সের অনুরূপ যদি শক্তি বিস্তারের বর্গের অনুরূপ হয়)।

এখন, সরলতার জন্য, ধরা যাক সিগন্যালটি সময়ের সাথে অসীমভাবে বিস্তৃত, তাই আমরা $N\to \mathrm{\infty }$ সীমা গ্রহণ করি। যদি গড় ক্ষমতা সীমাবদ্ধ হয়, যা বাস্তবে প্রায় সবসময়ই ঘটে, তবে নিচের সীমাটি বিদ্যমান এবং এটি ডেটার ভ্যারিয়েন্স।

$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n^2.$$

আবার, সরলতার জন্য, আমরা কন্টিনিউয়াস টাইমে যাব এবং ধরে নেব যে সিগন্যালটি উভয় দিকেই সময়ের সাথে অসীমভাবে বিস্তৃত। তখন এই দুটি সূত্র হয়:

$$x(t)=\sum _k{A}_k\sin (2\pi {\nu }_{k}t+{\varphi }_k)$$

এবং

$$\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2T}\underset{-T}{\overset{T}{\int }}x(t{)}^{2}dt.$$

$\sin$-এর রুট মিন স্কয়ার হলো $1/\sqrt{2}$, তাই $A_k\sin (2\pi {\nu }_{k}t+{\varphi }_k)$-এর ভ্যারিয়েন্স হলো $\frac{1}{2}{A}_k^2.$ সুতরাং, ${\nu }_k$ কম্পাঙ্ক বিশিষ্ট উপাদানের কারণে $x(t)$-এর গড় ক্ষমতায় অবদান হলো $\frac{1}{2}{A}_k^2.$ এই সমস্ত অবদান যোগ করলে $x(t)$-এর গড় ক্ষমতা পাওয়া যায়।

তখন কম্পাঙ্কের ফাংশন হিসেবে ক্ষমতা হলো $\frac{1}{2}{A}_k^2,$ এবং এর পরিসংখ্যানগত কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন $S(\nu )$ হবে:

$$S(\nu )=\frac{1}{2}\sum _{k:{\nu }_k<\nu }{A}_k^2.$$

$S$ হলো একটি স্টেপ ফাংশন, যা একঘেয়েভাবে অ-হ্রাসমান। এর লাফগুলো $x$-এর পর্যায়বৃত্ত উপাদানগুলোর কম্পাঙ্কে ঘটে এবং প্রতিটি লাফের মান হলো সেই উপাদানের ক্ষমতা বা ভ্যারিয়েন্স।

ভ্যারিয়েন্স হলো ডেটার নিজস্ব কোভ্যারিয়েন্স। যদি আমরা এখন একই ডেটা বিবেচনা করি কিন্তু $\tau$ ল্যাগসহ, তবে আমরা $x(t)$-এর সাথে $x(t+\tau )$-এর কোভ্যারিয়েন্স নিতে পারি এবং এটিকে সিগন্যাল (বা ডেটা) $x$-এর অটোকারিলেশন ফাংশন $c$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

$$c(\tau )=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2T}\underset{-T}{\overset{T}{\int }}x(t)x(t+\tau )dt.$$

যদি এটি বিদ্যমান থাকে, তবে এটি $\tau$-এর একটি জোড় ফাংশন। যদি গড় ক্ষমতা সীমাবদ্ধ হয়, তবে $c$ সর্বত্র বিদ্যমান, সসীম এবং $c(0)$, দ্বারা সীমাবদ্ধ, যা ডেটার গড় ক্ষমতা বা ভ্যারিয়েন্স।

এটি দেখানো যেতে পারে যে $c$-কে $x$-এর মতো একই পর্যায়কাল বিশিষ্ট পর্যায়বৃত্ত উপাদানে বিভক্ত করা যেতে পারে:

$$c(\tau )=\frac{1}{2}\sum _k{A}_k^2\cos (2\pi {\nu }_k\tau ).$$

এটি আসলে বিভিন্ন কম্পাঙ্ক জুড়ে $c$-এর স্পেকট্রাল ডিকম্পোজিশন এবং এটি কম্পাঙ্ক জুড়ে $x$-এর ক্ষমতার বণ্টনের সাথে সম্পর্কিত: $c$-এর একটি কম্পাঙ্ক উপাদানের বিস্তার হলো সিগন্যালের গড় ক্ষমতায় এর অবদান।

এই উদাহরণের পাওয়ার স্পেকট্রাম কন্টিনিউয়াস বা অবিচ্ছিন্ন নয়, এবং তাই এর কোনো ডেরিভেটিভ নেই, এবং তাই এই সিগন্যালটির কোনো পাওয়ার স্পেকট্রাল ডেনসিটি ফাংশন নেই। সাধারণভাবে, পাওয়ার স্পেকট্রাম সাধারণত দুটি অংশের সমষ্টি হবে: একটি লাইন স্পেকট্রাম যেমন এই উদাহরণে, যা অবিচ্ছিন্ন নয় এবং যার কোনো ডেনসিটি ফাংশন নেই, এবং একটি অবশিষ্টাংশ, যা সম্পূর্ণ অবিচ্ছিন্ন এবং যার একটি ডেনসিটি ফাংশন রয়েছে।

আরও দেখুন

• মাল্টিডাইমেনশনাল স্পেকট্রাল এস্টিমেশন
• পিরিওডোগ্রাম
• পলিস্পেকট্রা (উচ্চতর ক্রমের স্পেকট্রা)
• SigSpec
• স্পেকট্রোগ্রাম
• টাইম–ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণ
• টাইম–ফ্রিকোয়েন্সি রিপ্রেজেন্টেশন
• হুইটল লাইকলিহুড
• স্পেকট্রাল পাওয়ার ডিস্ট্রিবিউশন

আরও পড়ুন

• Porat, B.. (1994). "Digital Processing of Random Signals: Theory & Methods". Prentice Hall. ISBN 978-0-13-063751-2.
• Priestley, M.B.. (1991). "Spectral Analysis and Time Series". Academic Press. ISBN 978-0-12-564922-3.
• (2005). "Spectral Analysis of Signals". Prentice Hall. ISBN 978-0-13-113956-5.
• (1982). "Spectrum estimation and harmonic analysis". Proceedings of the IEEE. 70 (9) 1055–1096. doi:10.1109/PROC.1982.12433.

analysis

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Spectral density estimation” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_density_estimation এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।