হারমোনিক বিশ্লেষণ

Harmonic (mathematics) হারমোনিক বিশ্লেষণ (Harmonic analysis) হলো গাণিতিক বিশ্লেষণ-এর একটি ক্ষেত্র যা হারমোনিক ফাংশন এবং বিশেষত তাদের সীমানা আচরণের অধ্যয়ন থেকে উদ্ভূত হয়েছে। হারমোনিক বিশ্লেষণের পদ্ধতিগুলো ফাংশন এবং সংশ্লিষ্ট বস্তুসমূহকে, যেমন পরিমাপ (measures), প্রতিসাম্য, স্কেল, বর্ণালী বা দোলনের ভিত্তিতে উপাদানে বিভক্ত করে। এটি এই ধরনের বিভাজন থেকে উদ্ভূত অপারেটরগুলোর বিশ্লেষণাত্মক প্রাক্কলনের সাথেও সম্পর্কিত। মৌলিক উদাহরণগুলোর মধ্যে রয়েছে ফুরিয়ার ধারা (Fourier series) এবং ফুরিয়ার রূপান্তর (Fourier transform), যেখানে আধুনিক হারমোনিক বিশ্লেষণ ম্যাক্সিমাল ফাংশন, সিঙ্গুলার ইন্টিগ্রাল, অসিলেটরি ইন্টিগ্রাল, ফুরিয়ার মাল্টিপ্লায়ার, লিটলউড-প্যালি তত্ত্ব এবং বর্ণালী বিভাজন (spectral decompositions) নিয়েও অধ্যয়ন করে।

একটি সম্পর্কিত ধারা হলো বিমূর্ত হারমোনিক বিশ্লেষণ (abstract harmonic analysis), যেখানে টপোলজিক্যাল গ্রুপ-এর ওপর ফাংশন এবং উপস্থাপনার ওপর জোর দেওয়া হয়, যার মধ্যে রয়েছে পন্ট্রিয়াগিন দ্বৈততা (Pontryagin duality), পিটার-ওয়েল উপপাদ্য (Peter–Weyl theorem) এবং প্ল্যাঞ্চেরেল-জাতীয় উপপাদ্য। হারমোনিক বিশ্লেষণ উল্লেখযোগ্যভাবে ফুরিয়ার বিশ্লেষণ, বাস্তব বিশ্লেষণ, ফাংশনাল বিশ্লেষণ, আংশিক অন্তরক সমীকরণ, পটেনশিয়াল তত্ত্ব, এরগোডিক তত্ত্ব, উপস্থাপনা তত্ত্ব এবং সংখ্যা তত্ত্ব-এর সাথে সমাপতিত হয়।

ওভারভিউ

হারমোনিক বিশ্লেষণ ফুরিয়ার বিশ্লেষণের সাথে অনেক পদ্ধতি ভাগ করে নেয়, যা ফাংশনগুলোকে কম্পাঙ্ক বা হারমোনিক্সে বিভক্ত করার সাথেও সম্পর্কিত। এটি ফুরিয়ার বিশ্লেষণ থেকে মূলত বিবেচিত ফাংশনের ধরন এবং জিজ্ঞাসিত প্রশ্নের ধরনের দিক থেকে পৃথক। ফুরিয়ার বিশ্লেষণের একটি মৌলিক রূপ রয়েছে হিলবার্ট স্পেস-এ, যেখানে লম্বতা (orthogonality) এবং প্ল্যাঞ্চেরেলের উপপাদ্য কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে এবং এটি লম্ব কম্পাঙ্ক বিভাজনের কাছাকাছি বস্তুগুলো, যেমন মাল্টিপ্লায়ার, কনভোলিউশন এবং রৈখিক ধ্রুবক-সহগ আংশিক অন্তরক সমীকরণ নিয়ে অধ্যয়ন করে। এর বিপরীতে, হারমোনিক বিশ্লেষণ প্রায়শই এমন পরিস্থিতিতে ফুরিয়ার-সদৃশ বিভাজন অধ্যয়ন করে যেখানে কেবল লম্বতাই যথেষ্ট নয়। ফলস্বরূপ, এটিকে প্রায়শই ফুরিয়ার তত্ত্বের চেয়ে ফাংশনের সূক্ষ্মতর বিভাজন এবং বৈশিষ্ট্য খুঁজতে হয়।

হারমোনিক বিশ্লেষণের একটি উৎস, বিশেষ করে এর বাস্তব-চলক ঐতিহ্যের, হলো হারমোনিক ফাংশন এবং ধ্রুপদী পটেনশিয়াল তত্ত্ব-এর অধ্যয়ন। বিশেষত, পয়সন ইন্টিগ্রাল সূত্র একটি ডিস্ক বা অর্ধ-স্থানে সীমানা তথ্যের ভিত্তিতে একটি হারমোনিক ফাংশনকে উপস্থাপন করে। কিন্তু হারমোনিক ফাংশন এবং পয়সন কার্নেলের সীমানা আচরণ প্রায়শই ফুরিয়ার পদ্ধতির চেয়ে অনেক বেশি সূক্ষ্ম। সুতরাং পয়সন ইন্টিগ্রালের অভিসৃতি, সীমানা মানের অস্তিত্ব এবং কনজুগেট হারমোনিক ফাংশনের আচরণ সম্পর্কিত প্রশ্নগুলো ম্যাক্সিমাল প্রাক্কলন এবং সিঙ্গুলার ইন্টিগ্রাল অপারেটর-এর দিকে পরিচালিত করে।(Stein, 1970a)(Stein, Weiss, 1971)

আধুনিক হারমোনিক বিশ্লেষণ সাধারণত বাস্তব চলক পদ্ধতির সাথে সম্পর্কিত, যা হারমোনিক ফাংশন অধ্যয়নে প্রথম দেখা গিয়েছিল। পয়সন ইন্টিগ্রাল বাস্তব এবং জটিল পদ্ধতির মাঝে অবস্থান করে: জটিল বিশ্লেষণ হলোমোরফিক এবং হারমোনিক ফাংশনের জন্য শক্তিশালী সরঞ্জাম প্রদান করে, যেখানে সীমানা অভিসৃতি এবং L^p, দুর্বল L¹ এবং সংশ্লিষ্ট স্পেসগুলোতে প্রাক্কলনের জন্য প্রায়শই বাস্তব-চলক পদ্ধতির প্রয়োজন হয়। বাস্তব চলক তত্ত্বটি সম্পর্কিত হিলবার্ট রূপান্তর-এও স্পষ্ট, যা কনজুগেট হারমোনিক ফাংশন এবং হলোমোরফিক ফাংশনের সীমানা মানের তত্ত্বে উদ্ভূত হয়। এই রূপান্তরগুলো আরও সাধারণ সিঙ্গুলার ইন্টিগ্রাল অপারেটরের জন্য একটি প্রোটোটাইপ হয়ে ওঠে, যার জন্য হারমোনিক বিশ্লেষণের বাস্তব চলক পদ্ধতিগুলো অধিকতর উপযুক্ত। উচ্চতর মাত্রায়, অনুরূপ অপারেটরগুলোর মধ্যে রয়েছে রিস রূপান্তর (Riesz transforms), যা হারমোনিক এবং নিউটনিয়ান পটেনশিয়ালের অন্তরকগুলোর সাথে সংযুক্ত।(Stein, 1970a)(Stein, 1993)

একটি উপাদান হলো হার্ডি-লিটলউড ম্যাক্সিমাল ফাংশন। ম্যাক্সিমাল ফাংশনগুলো পয়েন্টওয়াইজ অভিসৃতি, ইন্টিগ্রালের ব্যবকলন এবং হারমোনিক বা সাবহারমোনিক ফাংশন-এর সীমানা সীমা নিয়ন্ত্রণ করতে ব্যবহৃত হয়। এগুলো বাস্তব-চলক বিশ্লেষণে পরবর্তী অনেক প্রাক্কলনের জন্য একটি মডেল প্রদান করে, যার মধ্যে রয়েছে দুর্বল-ধরনের অসমতা, ইন্টারপোলেশন যুক্তি এবং ওয়েটেড নর্ম অসমতা।(Stein, 1970a)(Stein, 1993)

ক্যালডেরন-জিগমুন্ড অপারেটর-এর তত্ত্ব সিঙ্গুলার ইন্টিগ্রাল অপারেটরের বিশ্লেষণাত্মক চিকিৎসার অন্যতম প্রধান উন্নয়ন। এই তত্ত্বটি এমন শর্ত প্রদান করে যার অধীনে সিঙ্গুলার ইন্টিগ্রাল অপারেটরগুলো L^p এবং সংশ্লিষ্ট ফাংশন স্পেসগুলোতে সীমাবদ্ধ থাকে। এটি হিলবার্ট রূপান্তর, রিস রূপান্তর, অনেক কনভোলিউশন অপারেটর এবং উপবৃত্তাকার ও প্যারাবোলিক আংশিক অন্তরক সমীকরণ-এ উদ্ভূত সিঙ্গুলার ইন্টিগ্রাল অপারেটরগুলোকে পরিচালনা করে।(Stein, 1970a)(Stein, 1993)

লিটলউড-প্যালি তত্ত্ব হারমোনিক বিশ্লেষণের আরেকটি উপাদান। এটি স্কেল বা কম্পাঙ্ক দ্বারা ফাংশনগুলোকে বিভক্ত করতে এবং প্রাপ্ত অংশগুলো থেকে তৈরি স্কয়ার ফাংশনগুলোর প্রাক্কলন করতে চায়। এই কৌশলটি ফুরিয়ার তত্ত্বের সাথে একত্রে ব্যবহৃত হয়, কিন্তু ফুরিয়ার তত্ত্বের লম্বতা যুক্তিগুলোকে প্রায়-লম্বতা পদ্ধতির সাথে প্রতিস্থাপন করে যা এমন পরিস্থিতির জন্য উপযুক্ত যেখানে লম্বতা আর উপলব্ধ নেই, যেমন $L^p$ যেখানে $p\ne 2$।(Stein, 1970b)(Stein, 1993) জড়িত বিভাজনগুলোর ধরন প্রায়শই হিলবার্ট-স্পেস পদ্ধতির চেয়ে সূক্ষ্ম হয় যা ফুরিয়ার বিশ্লেষণের অনেক মৌলিক প্রশ্নের জন্য যথেষ্ট।

ফুরিয়ার রূপান্তর হারমোনিক বিশ্লেষণে একটি মৌলিক সরঞ্জাম হিসেবে রয়ে গেছে। তবে আধুনিক বাস্তব-চলক হারমোনিক বিশ্লেষণের বেশিরভাগই স্পষ্ট ফুরিয়ার ইনভার্সনের চেয়ে অপারেটরগুলোর প্রাক্কলনের সাথে বেশি সম্পর্কিত। এটি এটিকে ধ্রুপদী ফুরিয়ার বিশ্লেষণ এবং বিমূর্ত হারমোনিক বিশ্লেষণ থেকে পৃথক করে, যেখানে প্রতিসাম্য, লোকালি কমপ্যাক্ট গ্রুপ এবং উপস্থাপনা তত্ত্বের ওপর জোর দেওয়া হয়।

উদাহরণ

বিভাজন এবং সিঙ্গুলার ইন্টিগ্রাল

হারমোনিক বিশ্লেষণে একটি বাস্তব-চলক পদ্ধতি হলো একটি ফাংশনকে একটি নিয়ন্ত্রিত অংশ এবং স্থানীয়কৃত ব্যতিক্রমী অংশের একটি সংগ্রহে বিভক্ত করা। একটি উদাহরণ হলো ক্যালডেরন-জিগমুন্ড বিভাজন। একটি ইন্টিগ্রেবল ফাংশন $f$ এবং একটি থ্রেশহোল্ড $\lambda >0$ দেওয়া থাকলে, এমন ব্যবধি বা কিউব নির্বাচন করা হয় যেখানে $f$-এর গড় আকার $\lambda$-এর চেয়ে বড়। ফাংশনটিকে তখন পরিকল্পিতভাবে এভাবে লেখা হয়:

$f=g+\sum _j{b}_j.$

এখানে $g$ হলো "ভালো" অংশ: এটি নির্বাচিত কিউবগুলোর বাইরে $f$-এর সাথে একমত হয় এবং $\lambda$-এর একটি ধ্রুবক গুণিতক দ্বারা আকারে সীমাবদ্ধ থাকে। প্রতিটি $b_j$ হলো একটি "খারাপ" অংশ যা নির্বাচিত কিউবগুলোর একটির ওপর সমর্থিত, কিন্তু এর ক্যান্সেলেশন রয়েছে:

$\int b_j=0.$

কিউবগুলো এমন একটি সেট দখল করে যার মোট পরিমাপ $\Vert f{\Vert }_1/\lambda$ দ্বারা নিয়ন্ত্রিত। সুতরাং যে জায়গাগুলোতে $f$ খুব বড় তা স্থানীয়কৃত হয়, যখন অবশিষ্ট অংশটি সীমাবদ্ধ এবং প্রাক্কলন করা সহজ।(Stein, 1970a)(Stein, 1993)

একটি অপারেটর যেমন সিঙ্গুলার ইন্টিগ্রাল প্রাক্কলন করতে, কেউ হিলবার্ট-স্পেস বা $L^2$ প্রাক্কলন ব্যবহার করে $g$-কে পরিচালনা করে, যেখানে লম্বতা এবং সীমাবদ্ধতা উপলব্ধ। স্থানীয়কৃত পদ $b_j$-গুলোকে আলাদাভাবে পরিচালনা করা হয়: তাদের সমর্থনকারী কিউবগুলোর কাছাকাছি, মোট পরিমাপ ছোট, যখন সেই কিউবগুলো থেকে দূরে তাদের গড়-শূন্য ক্যান্সেলেশন অপারেটরের আকার হ্রাস করে। এইভাবে একটি ফাংশনকে বিশ্বব্যাপী কম্পাঙ্কে বিভক্ত করার আগে স্থানীয়ভাবে আকার অনুযায়ী বিভক্ত করা হয়। এই স্থানীয়-বিশ্বব্যাপী বিভাজন হারমোনিক বিশ্লেষণের অনেক যুক্তির বৈশিষ্ট্য।

উদাহরণস্বরূপ, হিলবার্ট রূপান্তর $L^1$-এ সীমাবদ্ধ নয়, তবে এটি দুর্বল-ধরনের $L^{1,\mathrm{\infty }}$-এ ম্যাপ করে। একটি প্রমাণে একটি ফাংশন $f\in L^1\cap L^2$ নেওয়া হয় এবং এটিকে সাব-ইন্টারভ্যালের একটি সংগ্রহের ওপর একটি $\lambda$-সীমাবদ্ধ অংশ এবং একটি $2\lambda$ গড়-সীমাবদ্ধ অংশে বিভক্ত করা হয়, $f=g+b$। তখন পাওয়া যায়: $$\Vert g{\Vert }_2^2\le C\Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\Vert g{\Vert }_1\le C\lambda \Vert f{\Vert }_1$$ যা $f$-এর $L^1$ নর্মের পরিপ্রেক্ষিতে $g$-এর $L^2$ নর্মকে সীমাবদ্ধ করে। হিলবার্ট রূপান্তর $L^2$-এ সীমাবদ্ধ, তাই ভালো অংশ $g$ একই সীমা উত্তরাধিকারসূত্রে পায়। যেহেতু খারাপ সেটের পরিমাপ $\lambda$ দ্বারা নিয়ন্ত্রিত, দুর্বল-ধরনের সীমার জন্য খারাপ সেট থেকে দূরে $b$-এর হিলবার্ট রূপান্তর প্রাক্কলন করাই যথেষ্ট, এবং এখানে ক্যান্সেলেশন একটি প্রাক্কলন তৈরি করে যেমন: $$\underset{\mathbb{ℝ}\setminus E_{*}}{\int }|Hg|\le C\Vert f{\Vert }_1$$ যেখানে $E_{*}$ হলো খারাপ সেটের একটি সামান্য প্রসারণ।

ফুরিয়ার রেস্ট্রিকশন সমস্যা

ফুরিয়ার রেস্ট্রিকশন সমস্যাগুলো দেখায় যে কীভাবে হারমোনিক বিশ্লেষণ ধ্রুপদী ফুরিয়ার বিশ্লেষণকে প্রসারিত করে। প্রাথমিক ফুরিয়ার বিশ্লেষণে, ফুরিয়ার রূপান্তর প্রথমে একটি সম্পূর্ণ স্পেসের ফাংশনের ওপর রূপান্তর হিসেবে অধ্যয়ন করা হয়, যেমন ${\mathbb{ℝ}}^n$, যেখানে ইনভার্সন, কনভোলিউশন, প্ল্যাঞ্চেরেলের উপপাদ্য এবং ফাংশনগুলোকে কম্পাঙ্কে বিভক্ত করার মৌলিক ফলাফল রয়েছে। একটি রেস্ট্রিকশন সমস্যা এই প্রশ্নটি উত্থাপন করে যে একটি ফাংশনের ফুরিয়ার রূপান্তরকে কম্পাঙ্ক স্পেসের একটি নিম্ন-মাত্রিক সেটে, যেমন একটি গোলক, কোণ বা প্যারাবোলয়েডে অর্থপূর্ণভাবে সীমাবদ্ধ করা যায় কিনা।

যদি $f\in L^1({\mathbb{ℝ}}^n)$ হয়, তবে $\hat{f}$ অবিচ্ছিন্ন, তাই একটি মসৃণ পৃষ্ঠ $S$-এ এর রেস্ট্রিকশন সুসংজ্ঞায়িত। সমস্যাটি $L^p({\mathbb{ℝ}}^n)$-এর ফাংশনগুলোর জন্য অ-তুচ্ছ হয়ে ওঠে, যেখানে ফুরিয়ার রূপান্তরকে সাধারণ পয়েন্টওয়াইজ-সংজ্ঞায়িত ফাংশন দ্বারা দেওয়ার প্রয়োজন হয় না। কেউ জিজ্ঞাসা করে যে এই ধরনের একটি প্রাক্কলন:

$\Vert \hat{f}{|}_S{\Vert }_{L^q(S,d\sigma )}\le C\Vert f{\Vert }_{L^p({\mathbb{ℝ}}^n)}$

সত্য হতে পারে কিনা, যেখানে $d\sigma$ হলো $S$-এ পৃষ্ঠ পরিমাপ। সমতুল্যভাবে, দ্বৈততা দ্বারা, কেউ এক্সটেনশন অপারেটর অধ্যয়ন করে:

$Eg(x)=\underset{S}{\int }g(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\sigma (\xi )$

এবং এই ধরনের প্রাক্কলন চায়:

$\Vert Eg{\Vert }_{L^r({\mathbb{ℝ}}^n)}\le C\Vert g{\Vert }_{L^q(S)}.$

এই ফর্মুলেশনে, $Eg$ হলো সমতল তরঙ্গের একটি সুপারপজিশন যার কম্পাঙ্কগুলো $S$ পৃষ্ঠে থাকে।(Stein, 1993)

সমস্যাটির ফুরিয়ার-বিশ্লেষণাত্মক দিকটি হলো অসিলেটরি উপস্থাপনা নিজেই। একটি ফাংশনকে নির্ধারিত কম্পাঙ্কের তরঙ্গ দ্বারা বর্ণনা করা হয় এবং $S$-এর বিভিন্ন পছন্দ বিভিন্ন জ্যামিতিক বা ভৌত পরিস্থিতির সাথে মিলে যায়। উদাহরণস্বরূপ, প্যারাবোলয়েড মুক্ত শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ-এর সাথে সংযুক্ত, যখন কোণটি তরঙ্গ সমীকরণ-এর সাথে সংযুক্ত। হারমোনিক-বিশ্লেষণাত্মক দিকটি হলো প্রাক্কলন তত্ত্ব, যা নির্ধারণ করে কোন সূচকগুলো সম্ভব এবং উত্তরটি কীভাবে বক্রতা, ক্যান্সেলেশন, স্কেলিং এবং ভৌত স্পেসে তরঙ্গ প্যাকেটগুলো কীভাবে সমাপতিত হয় তার ওপর নির্ভর করে।

একটি সমতল হাইপারপ্লেনে ঘনীভূত কম্পাঙ্কগুলো একটি বক্র হাইপারসারফেসের কম্পাঙ্কের মতো ছড়িয়ে পড়ে না। বক্র পৃষ্ঠের জন্য, অসিলেশন ক্যান্সেলেশন এবং প্রসারণকে বাধ্য করতে পারে, যা এমন প্রাক্কলনের অনুমতি দেয় যা সমতল সেটের জন্য ব্যর্থ হবে। এই ধরনের একটি মৌলিক ফলাফল হলো স্টেইন-টমাস উপপাদ্য, যা গোলকের জন্য একটি $L^2$ রেস্ট্রিকশন উপপাদ্য প্রদান করে। আরও উন্নত রেস্ট্রিকশন সমস্যাগুলোর মধ্যে রয়েছে বিলিনিয়ার এবং মাল্টিলিনিয়ার প্রাক্কলন, তরঙ্গ-প্যাকেট বিভাজন, স্কেলের ওপর আবেশ এবং কাকিয়া-ধরনের জ্যামিতির সাথে সংযোগ।(Stein, 1993)

সুতরাং ফুরিয়ার রেস্ট্রিকশন সমস্যাগুলোতে, ফুরিয়ার বিশ্লেষণ রূপান্তর এবং কম্পাঙ্ক-স্পেস ফর্মুলেশন সরবরাহ করে, যখন হারমোনিক বিশ্লেষণ প্রাপ্ত অসমতা এবং সংশ্লিষ্ট অপারেটরগুলোর সূক্ষ্ম আচরণ অধ্যয়ন করে।

অন্যান্য ক্ষেত্রের সাথে সংযোগ

বাস্তব বিশ্লেষণ

হারমোনিক বিশ্লেষণ লেবেসগ পরিমাপ সম্পর্কিত ফলাফলের জন্য বিশ্লেষণাত্মক সরঞ্জাম সরবরাহ করে। একটি হলো লেবেসগ ডিফারেন্সিয়েশন উপপাদ্য, যা বলে যে একটি স্থানীয়ভাবে ইন্টিগ্রেবল ফাংশন প্রায় সর্বত্র বলের ওপর তার গড়ের সীমার সমান। প্রমাণটি প্রায় সর্বত্র অভিসৃতি নিয়ন্ত্রণ করতে দুর্বল-ধরনের প্রাক্কলন এবং ম্যাক্সিমাল ফাংশন ব্যবহার করে।

এরগোডিক তত্ত্ব

হারমোনিক বিশ্লেষণ এরগোডিক তত্ত্ব-এর ধ্রুপদী ফলাফলে ব্যবহৃত হয়। ম্যাক্সিমাল এরগোডিক উপপাদ্য হার্ডি-লিটলউড ম্যাক্সিমাল উপপাদ্যের অনুরূপ: এটি সেই সেটের পরিমাপকে সীমাবদ্ধ করে যার ওপর এরগোডিক গড়ের সুপ্রিমাম বড়। এই ধরনের ম্যাক্সিমাল প্রাক্কলন বার্কহফ এরগোডিক উপপাদ্য-এর প্রমাণে ব্যবহৃত হয়, যেখানে তারা ফাংশনের একটি ঘন শ্রেণী থেকে প্রায়-সর্বত্র অভিসৃতিতে পৌঁছাতে সাহায্য করে।

ক্যালডেরন দেখিয়েছেন যে ট্রান্সলেশন-ইনভ্যারিয়েন্ট অপারেটরের জন্য হারমোনিক বিশ্লেষণাত্মক প্রাক্কলনগুলোকে পরিমাপ-সংরক্ষণকারী রূপান্তরের সাথে যুক্ত এরগোডিক গড়ে স্থানান্তর করা যেতে পারে। এটি ম্যাক্সিমাল ফাংশন এবং সিঙ্গুলার ইন্টিগ্রালের জন্য হারমোনিক-বিশ্লেষণাত্মক প্রাক্কলনগুলোকে এরগোডিক সেটিংসে ব্যবহার করার অনুমতি দেয়।

এরগোডিক গড়ের ওপর পরবর্তী কাজ সেই গড়গুলোর চারপাশে অসিলেশন এবং বিচ্যুতি অধ্যয়নের ওপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করেছে। এটি হারমোনিক বিশ্লেষণের কৌশল ব্যবহার করে $L^p$ নর্মে ছোট পরিবর্তনগুলো প্রাক্কলন করা জড়িত।

সোবোলেভ স্পেস এবং আংশিক অন্তরক সমীকরণ

হারমোনিক বিশ্লেষণ সোবোলেভ স্পেস এবং আংশিক অন্তরক সমীকরণ-এর নিয়মিততা তত্ত্বের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সংযুক্ত। রিস পটেনশিয়াল এবং ফ্র্যাকশনাল ইন্টিগ্রাল অপারেটরগুলো সোবোলেভ-ধরনের অসমতা প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয়, যার মধ্যে L^p স্পেস এবং দুর্বলভাবে ব্যবকলনযোগ্য ফাংশনের স্পেসের মধ্যে এম্বেডিং অন্তর্ভুক্ত।(Stein, Weiss, 1971)(Stein, 1970a)

সিঙ্গুলার ইন্টিগ্রাল প্রাক্কলনগুলো দুর্বল অন্তরক সম্পর্কেও তথ্য দেয়। উদাহরণস্বরূপ, ক্যালডেরন-জিগমুন্ড অপারেটরগুলো উপবৃত্তাকার সমীকরণের সমাধানের অন্তরকগুলোর জন্য L^p প্রাক্কলন পেতে ব্যবহৃত হয়। এইভাবে, সিঙ্গুলার ইন্টিগ্রালের জন্য হারমোনিক-বিশ্লেষণাত্মক সীমা অন্তরক সমীকরণের সমাধানের নিয়মিততা প্রাক্কলন হয়ে ওঠে।(Stein, 1970a)(Stein, 1993)

লিটলউড-প্যালি তত্ত্ব ফাংশনগুলোকে বিভিন্ন স্কেল বা কম্পাঙ্কে বিভক্ত করে সোবোলেভ এবং সংশ্লিষ্ট ফাংশন স্পেসগুলোর আরেকটি বর্ণনা দেয়। এই দৃষ্টিভঙ্গিটি ফ্র্যাকশনাল সোবোলেভ স্পেস, বেসভ স্পেস, ট্রিয়েবেল-লিঝোরকিন স্পেস এবং অ-রৈখিক সমস্যার জন্য বিশেষভাবে কার্যকর যেখানে স্কেল অনুযায়ী প্রাক্কলন করতে হয়।(Stein, 1970b)(Stein, 1993)

বিমূর্ত হারমোনিক বিশ্লেষণ

হারমোনিক বিশ্লেষণ গণিতে একটি ভিন্ন, কিন্তু সম্পর্কিত অর্থে ব্যবহৃত হয়, যা বর্ণনা করে যে কীভাবে বাস্তব বা জটিল ফাংশনগুলোকে (প্রায়শই খুব সাধারণ ডোমেনে) ট্রান্সলেশন বা রোটেশন-এর মতো প্রতিসাম্য ব্যবহার করে অধ্যয়ন করা যেতে পারে। একটি উদাহরণ হলো ইউক্লিডীয় স্পেসের একটি ফাংশনকে স্ফেরিক্যাল হারমোনিক-এ বিভক্ত করা, যা ল্যাপলাস অপারেটরের আইজেনফাংশন।

বিমূর্ত হারমোনিক বিশ্লেষণ ধ্রুপদী স্ফেরিক্যাল হারমোনিক বিভাজনগুলোকে অন্যান্য গ্রুপ-এর সাথে যুক্ত স্পেসের ফাংশনগুলোতে প্রসারিত করে। এইভাবে, তত্ত্বটি উপস্থাপনা তত্ত্ব এবং ফাংশনাল বিশ্লেষণ-এর কাছাকাছি।

হারমোনিক বিশ্লেষণের অন্যতম আধুনিক শাখা, যার শিকড় বিংশ শতাব্দীর মাঝামাঝি সময়ে, হলো টপোলজিক্যাল গ্রুপ-এর ওপর বিশ্লেষণ। মূল অনুপ্রেরণামূলক ধারণাগুলো হলো বিভিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তর, যা হাউজডর্ফ লোকালি কমপ্যাক্ট টপোলজিক্যাল গ্রুপ-এ সংজ্ঞায়িত ফাংশনের রূপান্তরে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে।

অ্যাবেলিয়ান লোকালি কমপ্যাক্ট গ্রুপে ফাংশনের তত্ত্বের অন্যতম প্রধান ফলাফলকে বলা হয় পন্ট্রিয়াগিন দ্বৈততা। হারমোনিক বিশ্লেষণ সেই দ্বৈততার বৈশিষ্ট্যগুলো অধ্যয়ন করে। ফুরিয়ার রূপান্তরের বিভিন্ন সাধারণীকরণ সেই বৈশিষ্ট্যগুলোকে বিভিন্ন সেটিংসে প্রসারিত করার চেষ্টা করে, উদাহরণস্বরূপ, প্রথমে সাধারণ অ্যাবেলিয়ান টপোলজিক্যাল গ্রুপের ক্ষেত্রে এবং দ্বিতীয়ত অ-অ্যাবেলিয়ান লাই গ্রুপ-এর ক্ষেত্রে।

হারমোনিক বিশ্লেষণ সাধারণ অ-অ্যাবেলিয়ান লোকালি কমপ্যাক্ট গ্রুপের জন্য ইউনিটারি গ্রুপ উপস্থাপনার তত্ত্বের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। কমপ্যাক্ট গ্রুপের জন্য, পিটার-ওয়েল উপপাদ্য ব্যাখ্যা করে যে কীভাবে উপস্থাপনার প্রতিটি সমতুল্যতা শ্রেণী থেকে একটি অপ্রসারণযোগ্য উপস্থাপনা নির্বাচন করে হারমোনিক্স পাওয়া যেতে পারে। হারমোনিক্সের এই পছন্দটি কনভোলিউশনকে পয়েন্টওয়াইজ পণ্যে বহন করার ক্ষেত্রে বা অন্যথায় অন্তর্নিহিত গ্রুপ কাঠামোর একটি নির্দিষ্ট বোঝাপড়া দেখানোর ক্ষেত্রে ধ্রুপদী ফুরিয়ার রূপান্তরের কিছু মূল্যবান বৈশিষ্ট্য উপভোগ করে। আরও দেখুন: অ-কমিউটেটিভ হারমোনিক বিশ্লেষণ।

যদি গ্রুপটি অ্যাবেলিয়ান বা কমপ্যাক্ট না হয়, তবে বর্তমানে কোনো সাধারণ সন্তোষজনক তত্ত্ব জানা নেই ("সন্তোষজনক" মানে অন্তত প্ল্যাঞ্চেরেল উপপাদ্য-এর মতো শক্তিশালী)। যাইহোক, অনেক নির্দিষ্ট কেস বিশ্লেষণ করা হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, SL_n। এই ক্ষেত্রে, অসীম মাত্রায় উপস্থাপনাগুলো একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

বিমূর্ত হারমোনিক বিশ্লেষণের সংখ্যা তত্ত্ব-এও প্রয়োগ রয়েছে। টেটের থিসিস-এ, L-ফাংশন সম্পর্কিত প্রশ্নগুলো অ্যাডেল রিং এবং আইডেল গ্রুপ-এর ওপর হারমোনিক বিশ্লেষণ ব্যবহার করে তৈরি করা হয়।(Tate, 1950)

সম্পর্কিত ক্ষেত্র

হারমোনিক বিশ্লেষণ, এই পরবর্তী অর্থে, বর্ণালী তত্ত্ব-এর সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সংযুক্ত, বিশেষত ল্যাপলাসিয়ান এবং অন্যান্য অন্তরক অপারেটরের অধ্যয়নের মাধ্যমে। ইউক্লিডীয় স্পেস, ম্যানিফোল্ড, সিমেট্রিক স্পেস এবং গ্রাফে, আইজেনফাংশন, আইজেনভ্যালু, হিট কার্নেল এবং তরঙ্গ প্রচার সম্পর্কিত প্রশ্নগুলো প্রায়শই হারমোনিক-বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়। এই দৃষ্টিভঙ্গির মধ্যে রয়েছে ড্রামের আকৃতি শোনা-এর মতো সমস্যা এবং সিমেট্রিক স্পেসে স্ফেরিক্যাল ফাংশনের বিশ্লেষণ।(Terras, 2013)

ইউক্লিডীয় স্পেসে, হারমোনিক বিশ্লেষণ Rⁿ-এ ফুরিয়ার রূপান্তরের জন্য বিশেষ ঘটনাগুলোও অধ্যয়ন করে, যেমন রোটেশন ইনভ্যারিয়েন্স, রেস্ট্রিকশন প্রাক্কলন, রেডিয়াল ফুরিয়ার রূপান্তর, বেসেল ফাংশন এবং স্ফেরিক্যাল হারমোনিক। এই বিষয়গুলো বাস্তব-চলক তত্ত্বকে ধ্রুপদী বিশেষ ফাংশন এবং আংশিক অন্তরক সমীকরণের সাথে সংযুক্ত করে।(Stein, Weiss, 1971)(Stein, 1993)

আরও কয়েকটি বিশেষায়িত ক্ষেত্র হারমোনিক-বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি ব্যবহার করে। সিমেট্রিক স্পেস এবং লোকালি কমপ্যাক্ট গ্রুপ-এর ওপর হারমোনিক বিশ্লেষণ উপস্থাপনা তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিত। টিউব ডোমেইন-এর ওপর হারমোনিক বিশ্লেষণ হার্ডি স্পেস এবং বেশ কয়েকটি জটিল চলকের সাথে সংযুক্ত। অটোমোরফিক ফর্ম-কেও গাণিতিক প্রতিসাম্য গ্রুপের সাথে যুক্ত হারমোনিক-বিশ্লেষণাত্মক বস্তু হিসেবে দেখা যেতে পারে, যদিও সেগুলোকে সাধারণত সংখ্যা তত্ত্ব এবং ল্যাংল্যান্ডস প্রোগ্রাম-এর সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সংযুক্ত একটি পৃথক বিষয় হিসেবে বিবেচনা করা হয়।

দেখুন

• ফুরিয়ার ধারার অভিসৃতি
• ফুরিয়ার বিশ্লেষণ
• হারমোনিক (গণিত)
• লিস্ট-স্কয়ার বর্ণালী বিশ্লেষণ
• বর্ণালী ঘনত্ব প্রাক্কলন
• টেটের থিসিস

গ্রন্থপঞ্জি

• Stein, Elias M.. (1970). "Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions". 30. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08079-6.
• Stein, Elias M.. (1970). "Topics in Harmonic Analysis Related to the Littlewood-Paley Theory". 63. Princeton University Press.
• Stein, Elias M.. (1993). "Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals". 43. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03216-0.
• (1971). "Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces". 32. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9.
• Katznelson, Yitzhak. (2004). "An Introduction to Harmonic Analysis". Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54359-0.
• Folland, Gerald B.. (1995). "A Course in Abstract Harmonic Analysis". CRC Press. ISBN 978-0-8493-8490-5.
• Robert, Alain. (1983). "Introduction to the Representation Theory of Compact and Locally Compact Groups". 80. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-28975-7.
• Mackey, George W.. (1980). "Harmonic analysis as the exploitation of symmetry—a historical survey". Bulletin of the American Mathematical Society. 3 (1) 543–698. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14783-7.
• Terence Tao, Fourier Transform.
• (2013). Harmonic Analysis on Symmetric Spaces-Euclidean Space, the Sphere, and the Poincaré Upper Half-Plane. 37. Springer. ISBN 978-1461479710.
• Tate, John T.. (1967). "Algebraic Number Theory". 305–347. Academic Press.

বহিঃসংযোগ

no

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Harmonic analysis” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_analysis এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।