ম্যান-হুইটনি ইউ টেস্ট

From LTRC
Revision as of 16:16, 6 October 2026 by Sourav001 (talk | contribs) (ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Mann–Whitney U test” নিবন্ধের বাংলা অনুবাদ)
(diff) ← Older revision | Latest revision (diff) | Newer revision → (diff)

U

ম্যান-হুইটনি U টেস্ট (যা ম্যান-হুইটনি-উইলকক্সন (MWW/MWU), উইলকক্সন র‍্যাঙ্ক-সাম টেস্ট, বা উইলকক্সন-ম্যান-হুইটনি টেস্ট নামেও পরিচিত) হলো একটি ননপ্যারামেট্রিক পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা, যা এই নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষা করে যে, দুটি পপুলেশন থেকে দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া মান X এবং Y-এর বিন্যাস একই।

এই পরীক্ষার মাধ্যমে নির্ণীত U-এর মানকে ইফেক্ট সাইজ বা প্রভাবের পরিমাপে রূপান্তর করা যায়। এর জন্য U-এর মানকে তার সর্বোচ্চ মান (যা তুলনা করা দুটি নমুনার আকারের গুণফল) দিয়ে ভাগ করতে হয়। এই পরিমাপটি হলো সেই সম্ভাবনা, যেখানে উচ্চতর গ্রুপ থেকে নেওয়া একটি দৈব পর্যবেক্ষণ নিম্নতর গ্রুপ থেকে নেওয়া একটি দৈব পর্যবেক্ষণের চেয়ে বড় হবে।[1]

দুটি নির্ভরশীল নমুনার ক্ষেত্রে ব্যবহৃত ননপ্যারামেট্রিক পরীক্ষাগুলো হলো সাইন টেস্ট এবং উইলকক্সন সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্ট।

অনুমান এবং হাইপোথিসিসের আনুষ্ঠানিক বিবৃতি

হেনরি ম্যান এবং ডোনাল্ড র‍্যানসম হুইটনি[2] ম্যান-হুইটনি U টেস্টটি তৈরি করেছিলেন এই অনুমানের ভিত্তিতে যে, প্রতিক্রিয়াগুলো অবিচ্ছিন্ন এবং বিকল্প হাইপোথিসিস হলো একটি বিন্যাস অন্যটির চেয়ে স্টোকাস্টিক্যালি বৃহত্তর। অর্থাৎ, একটি গ্রুপ থেকে নেওয়া একটি দৈব পর্যবেক্ষণ অন্য গ্রুপ থেকে নেওয়া একটি দৈব পর্যবেক্ষণের চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা ০.৫। নাল এবং বিকল্প হাইপোথিসিস গঠন করার আরও অনেক উপায় রয়েছে যার মাধ্যমে ম্যান-হুইটনি U টেস্ট একটি বৈধ পরীক্ষা হিসেবে কাজ করে।[3]

একটি অত্যন্ত সাধারণ গঠন হলো নিচের শর্তগুলো ধরে নেওয়া:

  1. উভয় গ্রুপের সমস্ত পর্যবেক্ষণ একে অপরের থেকে স্বাধীন,
  2. প্রতিক্রিয়াগুলো অন্তত অর্ডিনাল (অর্থাৎ, যেকোনো দুটি পর্যবেক্ষণের মধ্যে কোনটি বড় তা অন্তত বলা সম্ভব),
  3. নাল হাইপোথিসিস H0-এর অধীনে, উভয় পপুলেশনের বিন্যাস অভিন্ন।[4]
  4. বিকল্প হাইপোথিসিস H1 হলো যে বিন্যাসগুলো অভিন্ন নয়।

সাধারণ গঠনের অধীনে, পরীক্ষাটি কেবল তখনই সামঞ্জস্যপূর্ণ হয় যখন H1-এর অধীনে নিচের ঘটনাটি ঘটে:

  1. পপুলেশন X থেকে নেওয়া একটি পর্যবেক্ষণের পপুলেশন Y থেকে নেওয়া একটি পর্যবেক্ষণের চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা, Y থেকে নেওয়া একটি পর্যবেক্ষণের X থেকে নেওয়া একটি পর্যবেক্ষণের চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা থেকে ভিন্ন (বড় বা ছোট); অর্থাৎ, 1=P(X > Y) ≠ P(Y > X) অথবা 1=P(X > Y) + 0.5 · P(X = Y) ≠ 0.5।

উপরের সাধারণ গঠনের চেয়ে কঠোর অনুমানের অধীনে, যেমন—যদি প্রতিক্রিয়াগুলোকে অবিচ্ছিন্ন ধরা হয় এবং বিকল্পটিকে অবস্থানের পরিবর্তনের মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখা হয়, অর্থাৎ 1=F1(x) = F2(x + δ), তবে আমরা একটি তাৎপর্যপূর্ণ ম্যান-হুইটনি U টেস্টকে মধ্যমার পার্থক্য হিসেবে ব্যাখ্যা করতে পারি। এই পদ্ধতিটি ডেটা বিন্যাস সম্পর্কে কঠোর অনুমানের ওপর নির্ভর করে। যখন এই অনুমানটি কার্যকর হয় না, তখন এটি দেখানো সহজ যে, দুটি গ্রুপের মধ্যমা আসলে অভিন্ন হলেও পরীক্ষাটি পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ ফলাফল দেয়। যদি মধ্যমার পরীক্ষার প্রয়োজন হয়, তবে কোয়ান্টাইল রিগ্রেশন স্পষ্টভাবে এটি পরীক্ষা করে।[1]

এই অবস্থান পরিবর্তনের অনুমানের অধীনে, আমরা ম্যান-হুইটনি U টেস্টকে এটি মূল্যায়ন করার উপায় হিসেবেও ব্যাখ্যা করতে পারি যে, দুটি পপুলেশনের মধ্যে কেন্দ্রীয় প্রবণতার পার্থক্যের হজেস-লেহম্যান প্রাক্কলন শূন্য থেকে আলাদা কি না। এই দুই-নমুনা সমস্যার জন্য হজেস-লেহম্যান প্রাক্কলন হলো প্রথম নমুনার একটি পর্যবেক্ষণ এবং দ্বিতীয় নমুনার একটি পর্যবেক্ষণের মধ্যে সমস্ত সম্ভাব্য পার্থক্যের মধ্যমা।

অন্যথায়, যদি উভয় নমুনার বিন্যাসের বিচ্ছুরণ এবং আকৃতি ভিন্ন হয়, তবে ম্যান-হুইটনি U টেস্ট মধ্যমার পরীক্ষায় ব্যর্থ হয়। এমন উদাহরণ দেখানো সম্ভব যেখানে মধ্যমাগুলো সংখ্যাগতভাবে সমান, অথচ পরীক্ষাটি ছোট p-মানের সাথে নাল হাইপোথিসিসকে প্রত্যাখ্যান করে।[5][6][7]

ম্যান-হুইটনি U টেস্ট / উইলকক্সন র‍্যাঙ্ক-সাম টেস্ট এবং উইলকক্সন সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্ট এক নয়, যদিও উভয়ই ননপ্যারামেট্রিক এবং র‍্যাঙ্ক-এর যোগফলের সাথে জড়িত। ম্যান-হুইটনি U টেস্ট স্বাধীন নমুনার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়। উইলকক্সন সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্ট জোড় বা নির্ভরশীল নমুনার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়।

U পরিসংখ্যান

যদিও ম্যান এবং হুইটনির মূল গবেষণাপত্রে পরীক্ষাটিকে স্টোকাস্টিক শ্রেষ্ঠত্বের পরীক্ষা হিসেবে বর্ণনা করা হয়েছিল—অন্য কথায়, একটি গ্রুপ থেকে নেওয়া পর্যবেক্ষণ অন্য গ্রুপ থেকে নেওয়া পর্যবেক্ষণের চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা যাচাইয়ের পরীক্ষা—পরীক্ষার পরিসংখ্যান U সরাসরি এই সম্ভাবনা দেয় না। এই সম্ভাবনাটি U-কে তার সর্বোচ্চ মান (যা দুটি নমুনার আকারের গুণফল) দিয়ে ভাগ করে সহজেই গণনা করা যায়।

ধরা যাক, X1,…,Xn1 হলো গ্রুপ ১, যা X থেকে নেওয়া একটি i.i.d. নমুনা, এবং Y1,…,Yn2 হলো গ্রুপ ২, যা Y থেকে নেওয়া একটি i.i.d. নমুনা, এবং উভয় নমুনা একে অপরের থেকে স্বাধীন। সংশ্লিষ্ট ম্যান-হুইটনি U পরিসংখ্যান নিচের দুটির মধ্যে ছোটটিকে হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

U1=n1n2+n1(n1+1)2−R1,U2=n1n2+n2(n2+1)2−R2

যেখানে

R1,R2 হলো গ্রুপ ১ এবং ২-এর র‍্যাঙ্কের যোগফল, উভয় গ্রুপের সমস্ত নমুনাকে র‍্যাঙ্ক করার পর, যেখানে ক্ষুদ্রতম মানটি ১ র‍্যাঙ্ক পায় এবং বৃহত্তম মানটি n1+n2 র‍্যাঙ্ক পায়।[8]

ROC কার্ভের জন্য এরিয়া-আন্ডার-কার্ভ (AUC) পরিসংখ্যান

U পরিসংখ্যানটি রিসিভার অপারেটিং ক্যারেক্টারিস্টিক কার্ভের নিচের ক্ষেত্রফলের (AUC) সাথে সম্পর্কিত:[9]

AUC1=U1n1n2

লক্ষ্য করুন যে এটি কমন ল্যাঙ্গুয়েজ ইফেক্ট সাইজ-এর একই সংজ্ঞা, অর্থাৎ একটি ক্লাসিফায়ার প্রথম গ্রুপ থেকে দৈবচয়ন করা একটি দৃষ্টান্তকে দ্বিতীয় গ্রুপ থেকে দৈবচয়ন করা একটি দৃষ্টান্তের চেয়ে উচ্চতর র‍্যাঙ্ক দেওয়ার সম্ভাবনা।[10]

এর সম্ভাব্য রূপের কারণে, U পরিসংখ্যানকে দুইয়ের অধিক ক্লাসের জন্য ক্লাসিফায়ারের পৃথকীকরণ ক্ষমতার পরিমাপ হিসেবে সাধারণীকরণ করা যায়:[11]

M=1c(c−1)∑AUCk,ℓ

যেখানে c হলো ক্লাসের সংখ্যা, এবং AUCk,ℓ-এর Rk,ℓ পদটি কেবল k এবং ℓ ক্লাসের অন্তর্গত আইটেমগুলোর র‍্যাঙ্কিং বিবেচনা করে (অর্থাৎ, অন্য সব ক্লাসের আইটেমগুলোকে উপেক্ষা করা হয়), ক্লাসিফায়ারের সেই আইটেমগুলোর k ক্লাসের অন্তর্গত হওয়ার সম্ভাবনার অনুমানের ভিত্তিতে। AUCk,k সবসময় শূন্য হবে, কিন্তু দুই-ক্লাসের ক্ষেত্রে যেমন হয় তার বিপরীতে, সাধারণত 1=AUCk,ℓ ≠ AUCℓ,k হয়, যে কারণে M পরিমাপটি সমস্ত (k,ℓ) জোড়ের ওপর যোগফল নির্ণয় করে, কার্যত AUCk,ℓ এবং AUCℓ,k-এর গড় ব্যবহার করে।

গণনা

এই পরীক্ষায় একটি পরিসংখ্যান গণনা করা হয়, যাকে সাধারণত U বলা হয়, যার বিন্যাস নাল হাইপোথিসিস-এর অধীনে জানা থাকে:

  • ছোট নমুনার ক্ষেত্রে, বিন্যাসটি সারণীবদ্ধ থাকে।
  • প্রায় ২০-এর বেশি নমুনার আকারের জন্য, স্বাভাবিক বিন্যাস ব্যবহার করে আসন্ন মান নির্ণয় বেশ ভালো কাজ করে।

বিকল্পভাবে, নাল বিন্যাসটি পারমুটেশন টেস্ট এবং মন্টে কার্লো সিমুলেশন ব্যবহার করে আসন্ন করা যেতে পারে।

কিছু বইয়ে U-এর পরিবর্তে নমুনার র‍্যাঙ্কের যোগফলের মতো U-এর সমতুল্য পরিসংখ্যান সারণীবদ্ধ করা থাকে।

ম্যান-হুইটনি U টেস্ট অধিকাংশ পরিসংখ্যানগত প্যাকেজে অন্তর্ভুক্ত থাকে।

এটি হাতেও সহজেই গণনা করা যায়, বিশেষ করে ছোট নমুনার ক্ষেত্রে। এটি করার একাধিক উপায় রয়েছে।

প্রথম পদ্ধতি:

দুটি ছোট পর্যবেক্ষণ সেট তুলনা করার জন্য, একটি সরাসরি পদ্ধতি দ্রুত কাজ করে এবং U পরিসংখ্যানের অর্থ সম্পর্কে ধারণা দেয়, যা সমস্ত জোড়ায় জোড়ায় প্রতিযোগিতার মধ্যে জয়ের সংখ্যার সাথে মিলে যায় (নিচে উদাহরণে কচ্ছপ এবং খরগোশের উদাহরণ দেখুন)। একটি সেটের প্রতিটি পর্যবেক্ষণের জন্য, গণনা করুন যে এটি অন্য সেটের কতগুলো পর্যবেক্ষণের চেয়ে বেশি (যদি প্রথমটি বড় হয় তবে অন্য মানটি হেরে যায়)। টাই বা সমতার ক্ষেত্রে ০.৫ গণনা করুন। জয় এবং টাইয়ের যোগফলই হলো প্রথম সেটের জন্য U (অর্থাৎ, U1)। অন্য সেটের জন্য U হলো এর বিপরীত (অর্থাৎ, U2)।

দ্বিতীয় পদ্ধতি:

বড় নমুনার জন্য:

  1. সমস্ত পর্যবেক্ষণের জন্য সংখ্যাসূচক র‍্যাঙ্ক নির্ধারণ করুন (উভয় গ্রুপের পর্যবেক্ষণগুলোকে একটি সেটে রাখুন), ক্ষুদ্রতম মানের জন্য ১ থেকে শুরু করুন। যেখানে টাই হওয়া মানের গ্রুপ রয়েছে, সেখানে অসামঞ্জস্যপূর্ণ র‍্যাঙ্কিংয়ের মধ্যবিন্দুর সমান র‍্যাঙ্ক নির্ধারণ করুন (যেমন, (3, 5, 5, 5, 5, 8) এর র‍্যাঙ্ক হলো (1, 3.5, 3.5, 3.5, 3.5, 6), যেখানে অসামঞ্জস্যপূর্ণ র‍্যাঙ্ক হতো (1, 2, 3, 4, 5, 6))।
  2. এখন, নমুনা ১ থেকে আসা পর্যবেক্ষণগুলোর র‍্যাঙ্ক যোগ করুন। নমুনা ২-এর র‍্যাঙ্কের যোগফল এখন নির্ধারিত, কারণ সমস্ত র‍্যাঙ্কের যোগফল সমান N(N + 1)/2, যেখানে N হলো মোট পর্যবেক্ষণের সংখ্যা।
  3. U তখন পাওয়া যায়:[12]
U1=R1−n1(n1+1)2
যেখানে n1 হলো নমুনা ১-এর আকার এবং R1 হলো নমুনা ১-এর র‍্যাঙ্কের যোগফল।
লক্ষ্য করুন যে দুটি নমুনার মধ্যে কোনটি নমুনা ১ হিসেবে বিবেচিত হচ্ছে তা গুরুত্বপূর্ণ নয়। U-এর জন্য সমানভাবে বৈধ আরেকটি সূত্র হলো
U2=R2−n2(n2+1)2
তাৎপর্য সারণী দেখার সময় U1 এবং U2-এর মধ্যে ছোট মানটি ব্যবহৃত হয়। দুটি মানের যোগফল হলো
U1+U2=R1−n1(n1+1)2+R2−n2(n2+1)2.
আমরা জানি যে 1=R1 + R2 = N(N + 1)/2 এবং 1=N = n1 + n2, এবং কিছু বীজগণিত প্রয়োগ করলে দেখা যায় যে যোগফল হলো
1=U1 + U2 = n1n2।

বৈশিষ্ট্য

U-এর সর্বোচ্চ মান হলো দুটি নমুনার আকারের গুণফল (অর্থাৎ, Ui=n1n2)। এমন ক্ষেত্রে, "অন্য" U-এর মান হবে ০।

উদাহরণ

গণনা পদ্ধতির চিত্রায়ন

ধরা যাক, ঈশপ তার চিরাচরিত পরীক্ষা নিয়ে অসন্তুষ্ট, যেখানে একটি কচ্ছপ একটি খরগোশকে দৌড়ে হারিয়েছিল, এবং তিনি একটি তাৎপর্য পরীক্ষা করার সিদ্ধান্ত নিলেন যে ফলাফলটি সাধারণভাবে কচ্ছপ এবং খরগোশের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য কি না। তিনি ৬টি কচ্ছপ এবং ৬টি খরগোশের একটি নমুনা সংগ্রহ করলেন এবং তাদের সবাইকে একসাথে দৌড়াতে দিলেন। তারা যে ক্রমে ফিনিশিং পোস্টে পৌঁছাল (তাদের র‍্যাঙ্ক ক্রম, প্রথম থেকে শেষ পর্যন্ত), তা নিম্নরূপ, কচ্ছপের জন্য T এবং খরগোশের জন্য H লিখে:

T H H H H H T T T T T H

U-এর মান কত?

  • সরাসরি পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা প্রতিটি কচ্ছপকে পর্যায়ক্রমে নিই এবং সে কতগুলো খরগোশকে হারিয়েছে তা গণনা করি, পাই ৬, ১, ১, ১, ১, ১, যার অর্থ 1=UT = 11। বিকল্পভাবে, আমরা প্রতিটি খরগোশকে পর্যায়ক্রমে নিতে পারি এবং সে কতগুলো কচ্ছপকে হারিয়েছে তা গণনা করতে পারি। এক্ষেত্রে, আমরা পাই ৫, ৫, ৫, ৫, ৫, ০, তাই 1=UH = 25। লক্ষ্য করুন যে এই দুটি মানের যোগফল 1=U = 36, যা 6×6।
  • পরোক্ষ পদ্ধতি ব্যবহার করে:
দৌড় শেষ করতে নেওয়া সময়ের ভিত্তিতে প্রাণীদের র‍্যাঙ্ক করুন, তাই প্রথম প্রাণীকে ১২ র‍্যাঙ্ক দিন, দ্বিতীয়টিকে ১১, এবং এভাবে চলতে থাকুন।
কচ্ছপগুলোর অর্জিত র‍্যাঙ্কের যোগফল হলো 1=12 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 32।
সুতরাং 1=UT = 32 − (6×7)/2 = 32 − 21 = 11 (প্রথম পদ্ধতির মতোই)।
খরগোশগুলোর অর্জিত র‍্যাঙ্কের যোগফল হলো 1=11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 1 = 46, যা থেকে পাওয়া যায় 1=UH = 46 − 21 = 25।

ফলাফলের উদাহরণ বিবৃতি

ম্যান-হুইটনি U টেস্টের ফলাফল রিপোর্ট করার সময়, নিচের বিষয়গুলো উল্লেখ করা গুরুত্বপূর্ণ:[13]

বাস্তবে এই তথ্যের কিছু অংশ আগেই সরবরাহ করা থাকতে পারে এবং তা পুনরায় উল্লেখ করার প্রয়োজন আছে কি না তা সাধারণ জ্ঞান ব্যবহার করে সিদ্ধান্ত নেওয়া উচিত। একটি সাধারণ রিপোর্ট হতে পারে,

"গ্রুপ E এবং C-তে মধ্যমা ল্যাটেন্সি ছিল ১৫৩ এবং ২৪৭ মি.সে.; দুটি গ্রুপের বিন্যাস উল্লেখযোগ্যভাবে ভিন্ন ছিল (ম্যান-হুইটনি 1=U = 10.5, 1=n1 = n2 = 8, 1=P < 0.05 দুই-প্রান্তিক)।"

পরীক্ষাটির পরিসংখ্যানগত অবস্থার প্রতি পূর্ণ সুবিচার করে এমন একটি বিবৃতি হতে পারে,

"দুটি চিকিৎসার ফলাফল উইলকক্সন-ম্যান-হুইটনি দুই-নমুনা র‍্যাঙ্ক-সাম টেস্ট ব্যবহার করে তুলনা করা হয়েছে। চিকিৎসার প্রভাব (চিকিৎসার মধ্যে পার্থক্য) হজেস-লেহম্যান (HL) প্রাক্কলক ব্যবহার করে পরিমাপ করা হয়েছে, যা উইলকক্সন টেস্টের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।[14] এই প্রাক্কলক (HLΔ) হলো গ্রুপ B-এর একজন বিষয় এবং গ্রুপ A-এর একজন বিষয়ের ফলাফলের মধ্যে সমস্ত সম্ভাব্য পার্থক্যের মধ্যমা। HLΔ-এর জন্য একটি নন-প্যারামেট্রিক ০.৯৫ কনফিডেন্স ইন্টারভাল এই প্রাক্কলনগুলোর সাথে থাকে, যেমনটি থাকে ρ, যা একটি সম্ভাবনা যে পপুলেশন B থেকে দৈবচয়ন করা একজন বিষয়ের ওজন পপুলেশন A থেকে দৈবচয়ন করা একজন বিষয়ের চেয়ে বেশি। চিকিৎসা A এবং B-এর বিষয়ের জন্য মধ্যমা [কোয়ার্টাইল] ওজন যথাক্রমে ১৪৭ [১২১, ১৭৭] এবং ১৫১ [১৩০, ১৮০] কেজি। চিকিৎসা A ওজন কমিয়েছে HLΔ = ৫ কেজি (০.৯৫ CL [২, ৯] কেজি, 1=2P = 0.02, 1=ρ = 0.58)।"

তবে এমন একটি নথিতে এত বিস্তৃত রিপোর্ট পাওয়া বিরল হবে যার প্রধান বিষয় পরিসংখ্যানগত অনুমান নয়।

স্বাভাবিক আসন্ন মান এবং টাই সংশোধন

বড় নমুনার জন্য, U প্রায় স্বাভাবিকভাবে বিন্যস্ত। সেক্ষেত্রে, স্ট্যান্ডার্ডাইজড মান

z=U−mUσU,

যেখানে mU এবং σU হলো U-এর গড় এবং স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন, তা প্রায় একটি স্ট্যান্ডার্ড নরমাল ডেভিয়েট, যার তাৎপর্য স্বাভাবিক বিন্যাসের সারণীতে পরীক্ষা করা যেতে পারে। mU এবং σU দেওয়া হয়েছে

mU=n1n22,[15] এবং
σU=n1n2(n1+n2+1)12.[15]

টাই হওয়া র‍্যাঙ্কের উপস্থিতিতে স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের সূত্রটি আরও জটিল। যদি র‍্যাঙ্কে টাই থাকে, তবে σ নিচের মতো সমন্বয় করা উচিত:

σties=n1n2(n1+n2+1)12−n1n2∑k=1K(tk3−tk)12n(n−1),[16]

যেখানে বাম দিকটি কেবল ভেদাঙ্ক এবং ডান দিকটি টাইয়ের জন্য সমন্বয়, tk হলো k-তম র‍্যাঙ্কের জন্য টাইয়ের সংখ্যা এবং K হলো টাইসহ অনন্য র‍্যাঙ্কের মোট সংখ্যা।

1=n1n2/12 ফ্যাক্টর করে আরও গণনা-দক্ষ রূপ হলো

σties=n1n212((n+1)−∑k=1K(tk3−tk)n(n−1)),

যেখানে 1=n = n1 + n2।

যদি টাইয়ের সংখ্যা কম হয় (এবং বিশেষ করে যদি বড় কোনো টাই ব্যান্ড না থাকে), তবে হাতে গণনা করার সময় টাইগুলোকে উপেক্ষা করা যেতে পারে। কম্পিউটার পরিসংখ্যানগত প্যাকেজগুলো রুটিন হিসেবে সঠিকভাবে সমন্বয়কৃত সূত্র ব্যবহার করবে।

লক্ষ্য করুন যে যেহেতু 1=U1 + U2 = n1n2, স্বাভাবিক আসন্ন মানে ব্যবহৃত গড় 1=n1n2/2 হলো U-এর দুটি মানের গড়। অতএব, U-এর যেকোনো মান ব্যবহার করা হোক না কেন, গণনা করা z-পরিসংখ্যানের পরম মান একই হবে।

ইফেক্ট সাইজ

বিজ্ঞানীদের জন্য একটি ইনফারেনশিয়াল টেস্টের ইফেক্ট সাইজ রিপোর্ট করা একটি ব্যাপকভাবে সুপারিশকৃত অনুশীলন।[17][18]

সমস্ত জোড়ের মধ্যে কনকর্ডেন্সের অনুপাত

নিচের পরিমাপগুলো সমতুল্য।

কমন ল্যাঙ্গুয়েজ ইফেক্ট সাইজ

ম্যান-হুইটনি U টেস্টের জন্য ইফেক্ট সাইজ রিপোর্ট করার একটি পদ্ধতি হলো f, কমন ল্যাঙ্গুয়েজ ইফেক্ট সাইজ।[19][20] একটি নমুনা পরিসংখ্যান হিসেবে, কমন ল্যাঙ্গুয়েজ ইফেক্ট সাইজ গণনা করা হয় দুটি গ্রুপের মধ্যে সমস্ত সম্ভাব্য জোড় গঠন করে, তারপর সেই জোড়গুলোর অনুপাত খুঁজে বের করে যা একটি দিক সমর্থন করে (যেমন, গ্রুপ ১-এর আইটেমগুলো গ্রুপ ২-এর আইটেমগুলোর চেয়ে বড়)।[20] চিত্রায়নের জন্য, দশটি খরগোশ এবং দশটি কচ্ছপের একটি নমুনার গবেষণায়, মোট ক্রমযুক্ত জোড়ের সংখ্যা দশ গুণ দশ বা ১০০টি খরগোশ ও কচ্ছপের জোড়। ধরা যাক ফলাফলগুলো দেখায় যে ১০০টি নমুনা জোড়ের মধ্যে ৯০টিতে খরগোশ কচ্ছপের চেয়ে দ্রুত দৌড়েছে; সেক্ষেত্রে, নমুনা কমন ল্যাঙ্গুয়েজ ইফেক্ট সাইজ হলো ৯০%।[21]

f এবং ম্যান-হুইটনি U (বিশেষভাবে U1)-এর মধ্যে সম্পর্ক নিম্নরূপ:

f=U1n1n2

এটি ROC কার্ভের জন্য এরিয়া আন্ডার দ্য কার্ভ (AUC)-এর একই সংজ্ঞা। এই সমতুল্যতার কারণে, কমন ল্যাঙ্গুয়েজ ইফেক্ট সাইজ সরাসরি একটি ক্লাসিফায়ারের জিনি সহগ (এই প্রেক্ষাপটে সোমারস' D-এর সমতুল্য) এর সাথে রৈখিক রূপান্তর G=2f−1 দ্বারা সম্পর্কিত। এই মেট্রিকটি অর্থনীতিতে আয় বা সম্পদের বৈষম্য পরিমাপের জন্য সাধারণত ব্যবহৃত জিনি সূচক নয়।

ρ পরিসংখ্যান

ρ নামক একটি পরিসংখ্যান যা U-এর সাথে রৈখিকভাবে সম্পর্কিত এবং শ্রেণীকরণ (ধারণা জড়িত ডিসক্রিমিনেশন লার্নিং) এবং অন্যান্য ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়,[22] তা গণনা করা হয় U-কে প্রদত্ত নমুনার আকারের জন্য তার সর্বোচ্চ মান দিয়ে ভাগ করে, যা কেবল 1=n1×n2। ρ তাই দুটি বিন্যাসের মধ্যে ওভারল্যাপের একটি নন-প্যারামেট্রিক পরিমাপ; এটি ০ এবং ১-এর মধ্যে মান নিতে পারে এবং এটি 1=P(Y > X) + 0.5 P(Y = X) প্রাক্কলন করে, যেখানে X এবং Y দুটি বিন্যাস থেকে দৈবচয়ন করা পর্যবেক্ষণ। উভয় চরম মান বিন্যাসগুলোর সম্পূর্ণ পৃথকীকরণ নির্দেশ করে, যেখানে ০.৫-এর ρ সম্পূর্ণ ওভারল্যাপ নির্দেশ করে। ρ পরিসংখ্যানের উপযোগিতা উপরের অদ্ভুত উদাহরণে দেখা যেতে পারে, যেখানে দুটি বিন্যাস যা ম্যান-হুইটনি U টেস্টে উল্লেখযোগ্যভাবে ভিন্ন ছিল, তাদের মধ্যমা প্রায় অভিন্ন ছিল: এই ক্ষেত্রে ρ মান খরগোশের পক্ষে প্রায় ০.৭২৩, যা সঠিকভাবে প্রতিফলিত করে যে যদিও মধ্যমা কচ্ছপ মধ্যমা খরগোশকে হারিয়েছে, খরগোশগুলো সামগ্রিকভাবে কচ্ছপগুলোর চেয়ে ভালো করেছে।

র‍্যাঙ্ক-বাইসিরিয়াল কোরিলেশন

ম্যান-হুইটনি U টেস্টের জন্য ইফেক্ট সাইজ রিপোর্ট করার একটি পদ্ধতি হলো র‍্যাঙ্ক কোরিলেশন-এর একটি পরিমাপ যা র‍্যাঙ্ক-বাইসিরিয়াল কোরিলেশন নামে পরিচিত। এডওয়ার্ড কিউরেটন এই পরিমাপটি প্রবর্তন এবং নামকরণ করেছিলেন।[23] অন্যান্য কোরিলেশনাল পরিমাপের মতো, র‍্যাঙ্ক-বাইসিরিয়াল কোরিলেশন মাইনাস এক থেকে প্লাস এক পর্যন্ত হতে পারে, যেখানে শূন্য মান কোনো সম্পর্ক নির্দেশ করে না।

কমন ল্যাঙ্গুয়েজ ইফেক্ট সাইজ থেকে র‍্যাঙ্ক-বাইসিরিয়াল কোরিলেশন গণনা করার একটি সহজ পার্থক্য সূত্র রয়েছে: কোরিলেশন হলো হাইপোথিসিসের অনুকূল জোড়ের অনুপাত (f) থেকে তার পরিপূরক (অর্থাৎ, প্রতিকূল অনুপাত (u)) বিয়োগফল। এই সহজ পার্থক্য সূত্রটি প্রতিটি গ্রুপের কমন ল্যাঙ্গুয়েজ ইফেক্ট সাইজের পার্থক্য মাত্র এবং তা নিম্নরূপ:[19]

r=f−u

উদাহরণস্বরূপ, সেই উদাহরণটি বিবেচনা করুন যেখানে ১০০টি জোড়ের মধ্যে ৯০টিতে খরগোশ কচ্ছপের চেয়ে দ্রুত দৌড়ায়। কমন ল্যাঙ্গুয়েজ ইফেক্ট সাইজ ৯০%, তাই র‍্যাঙ্ক-বাইসিরিয়াল কোরিলেশন হলো ৯০% মাইনাস ১০%, এবং র‍্যাঙ্ক-বাইসিরিয়াল 1=r = 0.80।

র‍্যাঙ্ক-বাইসিরিয়ালের জন্য একটি বিকল্প সূত্র ব্যবহার করা যেতে পারে ম্যান-হুইটনি U (U1 বা U2) এবং প্রতিটি গ্রুপের নমুনার আকার থেকে এটি গণনা করার জন্য:[24]

r=f−(1−f)=2f−1=2U1n1n2−1=1−2U2n1n2

এই সূত্রটি তখন কার্যকর হয় যখন ডেটা উপলব্ধ থাকে না, কিন্তু একটি প্রকাশিত রিপোর্ট থাকে, কারণ U এবং নমুনার আকার নিয়মিতভাবে রিপোর্ট করা হয়। উপরে ৯০টি জোড় যা খরগোশের পক্ষে এবং ১০টি জোড় যা কচ্ছপের পক্ষে, সেই উদাহরণটি ব্যবহার করে, U2 হলো দুটির মধ্যে ছোট, তাই 1=U2 = 10। এই সূত্রটি তখন দেয় 1=r = 1 – (2×10) / (10×10) = 0.80, যা উপরের সহজ পার্থক্য সূত্রের মতোই ফলাফল।

অন্যান্য পরীক্ষার সাথে সম্পর্ক

স্টুডেন্ট'স t-টেস্টের সাথে তুলনা

ম্যান-হুইটনি U টেস্ট একটি নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষা করে, যেখানে ধরা হয় যে একটি দল থেকে দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া পর্যবেক্ষণের সম্ভাব্যতা বিন্যাস (probability distribution) অন্য দল থেকে নেওয়া পর্যবেক্ষণের সম্ভাব্যতা বিন্যাসের সমান; এর বিপরীতে বিকল্প হাইপোথিসিসটি হলো যে এই বিন্যাসগুলো সমান নয় (দেখুন Mann–Whitney U test#Assumptions and formal statement of hypotheses)। এর বিপরীতে, একটি t-test দুটি দলের গড়ের সমতার নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষা করে, যার বিকল্প হলো গড়ের অসমতা (কিছু নিয়মিত শর্ত সাপেক্ষে [3])। সুতরাং, বিশেষ ক্ষেত্রগুলো ছাড়া ম্যান-হুইটনি U টেস্ট এবং t-টেস্ট একই হাইপোথিসিস পরীক্ষা করে না এবং এই বিষয়টি মাথায় রেখে এদের তুলনা করা উচিত।

অর্ডিনাল ডেটা
যখন ডেটা অর্ডিনাল (ক্রমবাচক) হয় কিন্তু ইন্টারভ্যাল স্কেলভুক্ত হয় না, তখন ম্যান-হুইটনি U টেস্ট t-টেস্টের চেয়ে বেশি গ্রহণযোগ্য। কারণ এক্ষেত্রে স্কেলের পাশাপাশি মানগুলোর মধ্যবর্তী দূরত্ব সমান বলে ধরে নেওয়া যায় না।
দৃঢ়তা (Robustness)
যেহেতু এটি র‍্যাঙ্কের সমষ্টির তুলনা করে,[25] তাই ম্যান-হুইটনি U টেস্টে আউটলায়ার (outlier)-এর উপস্থিতির কারণে ভুলভাবে তাৎপর্যপূর্ণ ফলাফল পাওয়ার সম্ভাবনা t-টেস্টের তুলনায় কম। তবে, ডেটা যদি হেটেরোস্কেডাসটিক (heteroscedastic) এবং নন-নরমাল উভয়ই হয়, তবে ম্যান-হুইটনি U টেস্টের টাইপ I ত্রুটি নিয়ন্ত্রণের ক্ষমতা দুর্বল হতে পারে।[26]
দক্ষতা (Efficiency)
যখন ডেটা নরমাল বিন্যাস মেনে চলে, তখন t-টেস্টের তুলনায় ম্যান-হুইটনি U টেস্টের (অ্যাসিম্পটোটিক) দক্ষতা হলো 3/ বা প্রায় 0.95।[27] বিন্যাসগুলো যখন নরমাল থেকে যথেষ্ট দূরে থাকে এবং নমুনার আকার যথেষ্ট বড় হয়, তখন ম্যান-হুইটনি U টেস্ট t-টেস্টের চেয়ে অনেক বেশি দক্ষ।[28] তবে দক্ষতার এই তুলনা সতর্কতার সাথে ব্যাখ্যা করা উচিত, কারণ ম্যান-হুইটনি এবং t-টেস্ট একই পরিমাপ পরীক্ষা করে না। উদাহরণস্বরূপ, যদি দলগুলোর গড়ের পার্থক্যই মূল আগ্রহের বিষয় হয়, তবে ম্যান-হুইটনি উপযুক্ত পরীক্ষা নয়।[29]

ম্যান-হুইটনি U টেস্ট ডেটার র‍্যাঙ্কিংয়ের ওপর সাধারণ প্যারামেট্রিক দুই-নমুনার t-টেস্ট পরিচালনার মতোই ফলাফল প্রদান করে।[30]

ম্যান-হুইটনি টেস্ট বনাম দুই-নমুনার t-টেস্টের আপেক্ষিক দক্ষতা, যদি f = g বিভিন্ন বিন্যাসের ক্ষেত্রে সমান হয়[31]
বিন্যাস দক্ষতা
লজিস্টিক π2/9
নরমাল 3/π
ল্যাপলাস 3/2
ইউনিফর্ম 1

ভিন্ন বিন্যাস

ম্যান-হুইটনি U টেস্টটি নাল হাইপোথিসিস P(Y>X)+0.5P(Y=X)=0.5-এর বিপরীতে বিকল্প হাইপোথিসিস P(Y>X)+0.5P(Y=X)≠0.5 পরীক্ষার জন্য বৈধ নয়, যদি না নাল হাইপোথিসিসের অধীনে বিন্যাসগুলো একই বলে ধরে নেওয়া হয় (অর্থাৎ, F1=F2 ধরে নেওয়া হয়)।[3] এই হাইপোথিসিসগুলোর মধ্যে পরীক্ষার জন্য আরও ভালো পদ্ধতি রয়েছে। এর মধ্যে উল্লেখযোগ্য হলো ব্রুনার-মুনজেল এবং ফ্লিনার-পোলিসেলো টেস্ট।[32] বিশেষত, অধিকতর সাধারণ নাল হাইপোথিসিস P(Y>X)+0.5P(Y=X)=0.5-এর অধীনে, ম্যান-হুইটনি U টেস্ট বড় নমুনার ক্ষেত্রেও টাইপ I ত্রুটির হার বাড়িয়ে দিতে পারে (বিশেষ করে যদি দুটি পপুলেশনের ভ্যারিয়েন্স অসমান হয় এবং নমুনার আকার ভিন্ন হয়), যা উন্নত বিকল্প পদ্ধতিগুলো সমাধান করতে পারে।[33] ফলস্বরূপ, যদি নাল হাইপোথিসিসের অধীনে বিন্যাসগুলো সমান বলে ধরে নেওয়া না যায়, তবে বিকল্প পদ্ধতিগুলোর একটি (বিশেষত ব্রুনার-মুনজেল টেস্ট) ব্যবহারের পরামর্শ দেওয়া হয়েছে।[33]

বিকল্পসমূহ

যদি কেউ একটি সাধারণ শিফট ইন্টারপ্রিটেশন বা ব্যাখ্যা চায়, তবে দুটি নমুনার বিন্যাস খুব আলাদা হলে ম্যান-হুইটনি U টেস্ট ব্যবহার করা উচিত নয়, কারণ এটি তাৎপর্যপূর্ণ ফলাফলের ভুল ব্যাখ্যা দিতে পারে।[34] সেই পরিস্থিতিতে, t-টেস্টের অসমান ভ্যারিয়েন্স সংস্করণটি আরও নির্ভরযোগ্য ফলাফল দিতে পারে।

একইভাবে, কিছু লেখক (Conover, W. J.. (1999). "Practical Nonparametric Statistics -- 3rd ed.". 272-281. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-16068-7.) ডেটাকে র‍্যাঙ্কে রূপান্তর করে (যদি সেগুলো ইতিমধ্যে র‍্যাঙ্ক না হয়) তারপর রূপান্তরিত ডেটার ওপর t-টেস্ট পরিচালনার পরামর্শ দেন, যেখানে পপুলেশনের ভ্যারিয়েন্স ভিন্ন বলে সন্দেহ করা হয় কি না তার ওপর ভিত্তি করে t-টেস্টের সংস্করণটি বেছে নেওয়া হয়। র‍্যাঙ্ক রূপান্তর ভ্যারিয়েন্স সংরক্ষণ করে না, তবে র‍্যাঙ্ক রূপান্তরের পর নমুনা থেকে ভ্যারিয়েন্স পুনরায় গণনা করা হয়।

Brown–Forsythe test-কে সমান ভ্যারিয়েন্সের জন্য F-টেস্ট-এর একটি উপযুক্ত নন-প্যারামেট্রিক বিকল্প হিসেবে প্রস্তাব করা হয়েছে।

একটি অধিক শক্তিশালী পরীক্ষা হলো ব্রুনার-মুনজেল টেস্ট, যা বিনিময়যোগ্যতার (exchangeability) অনুমান লঙ্ঘিত হলে ম্যান-হুইটনি U টেস্টের চেয়ে ভালো কাজ করে।[35]

ম্যান-হুইটনি U টেস্ট হলো proportional odds model-এর একটি বিশেষ ক্ষেত্র, যা কোভ্যারিয়েট-অ্যাডজাস্টমেন্টের সুযোগ দেয়।[36]

আরও দেখুন Kolmogorov–Smirnov test।

সম্পর্কিত টেস্ট পরিসংখ্যান

কেন্ডাল'স টাউ

ম্যান-হুইটনি U টেস্ট অন্যান্য অনেক নন-প্যারামেট্রিক পরিসংখ্যানগত পদ্ধতির সাথে সম্পর্কিত। উদাহরণস্বরূপ, যদি চলকগুলোর একটি বাইনারি হয় (অর্থাৎ, এটি কেবল দুটি মান নিতে পারে), তবে এটি কেন্ডাল'স টাউ কোরিলেশন কোফিসিয়েন্টের সমতুল্য।

সফটওয়্যার ইমপ্লিমেন্টেশন

অনেক সফটওয়্যার প্যাকেজে ম্যান-হুইটনি U টেস্ট (সমান বিন্যাসের হাইপোথিসিসের বিপরীতে উপযুক্ত বিকল্পগুলোর জন্য) সঠিকভাবে নথিবদ্ধ করা হয়নি। কিছু প্যাকেজ ভুলভাবে টাই (ties) হ্যান্ডেল করে অথবা অ্যাসিম্পটোটিক কৌশলগুলো (যেমন, কন্টিনিউটি কারেকশন) নথিবদ্ধ করতে ব্যর্থ হয়। ২০০০ সালের একটি পর্যালোচনায় নিচের কিছু প্যাকেজ নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে:[37]

  • MATLAB-এর স্ট্যাটিস্টিকস টুলবক্সে ranksum রয়েছে।
  • R-এর স্ট্যাটিস্টিকস বেস-প্যাকেজ তার "stats" প্যাকেজে wilcox.test টেস্টটি ইমপ্লিমেন্ট করে।
  • rcompanion প্যাকেজের R ফাংশন wilcoxonZ উইলকক্সন দুই-নমুনার, পেয়ারড বা এক-নমুনার টেস্টের জন্য z পরিসংখ্যান গণনা করবে।
  • SAS তার PROC NPAR1WAY প্রসিডিউরে টেস্টটি ইমপ্লিমেন্ট করে।
  • Python-এ SciPy দ্বারা এই টেস্টের একটি ইমপ্লিমেন্টেশন প্রদান করা হয়েছে।[38]
  • SigmaStat (SPSS Inc., Chicago, IL)
  • SYSTAT (SPSS Inc., Chicago, IL)
  • Java-তে Apache Commons দ্বারা এই টেস্টের একটি ইমপ্লিমেন্টেশন প্রদান করা হয়েছে[39]
  • Julia-তে বেশ কয়েকটি প্যাকেজের মাধ্যমে এই টেস্টের ইমপ্লিমেন্টেশন রয়েছে। HypothesisTests.jl প্যাকেজে এটি pvalue(MannWhitneyUTest(X, Y)) হিসেবে পাওয়া যায়।[40]
  • JMP (SAS Institute Inc., Cary, NC)
  • S-Plus (MathSoft, Inc., Seattle, WA)
  • STATISTICA (StatSoft, Inc., Tulsa, OK)
  • SPSS (SPSS Inc, Chicago)
  • StatsDirect (StatsDirect Ltd, Manchester, UK) সব সাধারণ ভেরিয়েন্ট ইমপ্লিমেন্ট করে।
  • Stata (Stata Corporation, College Station, TX) তার ranksum কমান্ডে টেস্টটি ইমপ্লিমেন্ট করে।
  • StatXact (Cytel Software Corporation, Cambridge, Massachusetts)
  • PSPP তার WILCOXON ফাংশনে টেস্টটি ইমপ্লিমেন্ট করে।
  • KNIME তার Wilcoxon–Mann–Whitney Test নোডে টেস্টটি ইমপ্লিমেন্ট করে।
  • ClickHouse তার mannWhitneyUTest ফাংশনে টেস্টটি ইমপ্লিমেন্ট করে।

ইতিহাস

এই পরিসংখ্যানটি ১৯১৪ সালের একটি নিবন্ধে[41] জার্মান গুস্তাভ ডিউচলার (Gustav Deuchler) কর্তৃক প্রকাশিত হয় (যার ভ্যারিয়েন্সের সূত্রে একটি পদ অনুপস্থিত ছিল)।

১৯৪৫ সালের একটি একক গবেষণাপত্রে, Frank Wilcoxon প্রস্তাব করেন[42] যে এক-নমুনার সাইনড র‍্যাঙ্ক এবং দুই-নমুনার র‍্যাঙ্ক সাম টেস্ট, একটি test of significance-এর মধ্যে পয়েন্ট নাল-হাইপোথিসিসের বিপরীতে এর পরিপূরক বিকল্প (অর্থাৎ, সমান বনাম সমান নয়) হিসেবে কাজ করবে। তবে, তিনি সেই গবেষণাপত্রে কেবল সমান নমুনার আকারের ক্ষেত্রে কিছু পয়েন্ট সারণীবদ্ধ করেছিলেন (যদিও পরবর্তী একটি গবেষণাপত্রে তিনি বড় টেবিল দিয়েছিলেন)।

পরিসংখ্যানটির একটি পুঙ্খানুপুঙ্খ বিশ্লেষণ, যার মধ্যে যেকোনো নমুনার আকারের জন্য টেইল প্রোবাবিলিটি গণনার একটি রিকারেন্স এবং আট বা তার কম নমুনার আকারের জন্য টেবিল অন্তর্ভুক্ত ছিল, তা ১৯৪৭ সালে Henry Mann এবং তার ছাত্র ডোনাল্ড র‍্যানসম হুইটনি-এর নিবন্ধে প্রকাশিত হয়।[2] এই নিবন্ধটি বিকল্প হাইপোথিসিসগুলো নিয়ে আলোচনা করে, যার মধ্যে একটি stochastic ordering (যেখানে cumulative distribution functionগুলো পয়েন্টওয়াইজ অসমতা 1=FX(t) < FY(t) মেনে চলে) অন্তর্ভুক্ত ছিল। এই গবেষণাপত্রটি প্রথম চারটি মোমেন্টও গণনা করে এবং নাল হাইপোথিসিসের অধীনে পরিসংখ্যানটির লিমিটিং নরমালিটি প্রতিষ্ঠা করে, যার মাধ্যমে এটি প্রমাণিত হয় যে এটি অ্যাসিম্পটোটিক্যালি ডিস্ট্রিবিউশন-ফ্রি।

আরও দেখুন

নোট

  1. ↑ 1.0 1.1 Conroy, Ronán M.. (2012). What Hypotheses do “Nonparametric” Two-Group Tests Actually Test?. The Stata Journal: Promoting communications on statistics and Stata. 12 (2) 182–190. doi:10.1177/1536867X1201200202.
  2. ↑ 2.0 2.1 (1947). "On a Test of Whether one of Two Random Variables is Stochastically Larger than the Other". Annals of Mathematical Statistics. 18 (1) 50–60. doi:10.1214/aoms/1177730491.
  3. ↑ 3.0 3.1 3.2 (2010). "Wilcoxon–Mann–Whitney or t-test? On assumptions for hypothesis tests and multiple interpretations of decision rules". Statistics Surveys. 4 1–39. doi:10.1214/09-SS051.
  4. ↑ [1], প্র্যাট (১৯৬৪)-এর টেবিল ২.১ দেখুন "Robustness of Some Procedures for the Two-Sample Location Problem." Journal of the American Statistical Association. 59 (307): 655–680. যদি দুটি বিন্যাস স্বাভাবিক হয় কিন্তু তাদের গড় একই এবং ভেদাঙ্ক ভিন্ন হয়, তবে Pr[X > Y] = Pr[Y < X] হয়, কিন্তু ম্যান-হুইটনি টেস্টের আকার নামমাত্র স্তরের চেয়ে বড় হতে পারে। তাই আমরা নাল হাইপোথিসিসকে Pr[X > Y] = Pr[Y < X] হিসেবে সংজ্ঞায়িত করে একটি বৈধ পরীক্ষা পেতে পারি না।
  5. ↑ (2018). "The Wilcoxon–Mann–Whitney Procedure Fails as a Test of Medians". The American Statistician. 72 (3) 278–286. doi:10.1080/00031305.2017.1305291.
  6. ↑ (2012). What Hypotheses do "Nonparametric" Two-Group Tests Actually Test?. Stata Journal. 12 (2) 182–190. doi:10.1177/1536867X1201200202.
  7. ↑ (2001). "Mann–Whitney test is not just a test of medians: differences in spread can be important". BMJ. 323 (7309) 391–393. doi:10.1136/bmj.323.7309.391.
  8. ↑ বোস্টন ইউনিভার্সিটি (SPH), ২০১৭
  9. ↑ (2002). "Areas beneath the relative operating characteristics (ROC) and relative operating levels (ROL) curves: Statistical significance and interpretation". Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 128 (584) 2145–2166. doi:10.1256/003590002320603584.
  10. ↑ ফসেট, টম (২০০৬); An introduction to ROC analysis, প্যাটার্ন রিকগনিশন লেটারস, ২৭, ৮৬১–৮৭৪।
  11. ↑ (2001). "A Simple Generalisation of the Area Under the ROC Curve for Multiple Class Classification Problems". Machine Learning. 45 (2) 171–186. doi:10.1023/A:1010920819831.
  12. ↑ Zar, Jerrold H.. (1998). "Biostatistical Analysis". 147. Prentice Hall International, INC.. ISBN 978-0-13-082390-8.
  13. ↑ (2012). Effect size estimates: Current use, calculations, and interpretation.. Journal of Experimental Psychology: General. 141 (1) 2–18. doi:10.1037/a0024338.
  14. ↑ (1999). "Nonparametric Statistical Methods". Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-19045-5.
  15. ↑ 15.0 15.1 "Nonparametric statistics for the behavioral sciences". 121. McGraw-Hill.
  16. ↑ "Nonparametrics: Statistical Methods Based on Ranks". 20. Holden-Day.
  17. ↑ Wilkinson, Leland. (1999). "Statistical methods in psychology journals: Guidelines and explanations". American Psychologist. 54 (8) 594–604. doi:10.1037/0003-066X.54.8.594.
  18. ↑ Nakagawa, Shinichi. (2007). "Effect size, confidence interval and statistical significance: a practical guide for biologists". Biological Reviews of the Cambridge Philosophical Society. 82 (4) 591–605. doi:10.1111/j.1469-185X.2007.00027.x.
  19. ↑ 19.0 19.1 (2014). "The simple difference formula: An approach to teaching nonparametric correlation". Comprehensive Psychology. 3. doi:10.2466/11.IT.3.1.
  20. ↑ 20.0 20.1 (1992). "A common language effect size statistic". Psychological Bulletin. 111 (2) 361–365. doi:10.1037/0033-2909.111.2.361.
  21. ↑ Grissom RJ. (1994). "Statistical analysis of ordinal categorical status after therapies". Journal of Consulting and Clinical Psychology. 62 (2) 281–284. doi:10.1037/0022-006X.62.2.281.
  22. ↑ 22.0 22.1 (1976). "Natural Concepts in Pigeons". Journal of Experimental Psychology: Animal Behavior Processes. 2 (4) 285–302. doi:10.1037/0097-7403.2.4.285.
  23. ↑ (1956). "Rank-biserial correlation". Psychometrika. 21 (3) 287–290. doi:10.1007/BF02289138.
  24. ↑ (1972). "Dealing with a common problem in social science: A simplified rank-biserial coefficient of correlation based on the U statistic". European Journal of Social Psychology. 2 (4) 463–465. doi:10.1002/ejsp.2420020412.
  25. ↑ Motulsky, Harvey J.; Statistics Guide, San Diego, CA: GraphPad Software, 2007, p. 123
  26. ↑ Zimmerman, Donald W.. (1998-01-01). "Invalidation of Parametric and Nonparametric Statistical Tests by Concurrent Violation of Two Assumptions". The Journal of Experimental Education. 67 (1) 55–68. doi:10.1080/00220979809598344.
  27. ↑ Lehamnn, Erich L.; Elements of Large Sample Theory, Springer, 1999, p. 176
  28. ↑ Conover, William J.; Practical Nonparametric Statistics, John Wiley & Sons, 1980 (2nd Edition), pp. 225–226
  29. ↑ (May 2002). "The Importance of the Normality Assumption in Large Public Health Data Sets". Annual Review of Public Health. 23 (1) 151–169. doi:10.1146/annurev.publhealth.23.100901.140546.
  30. ↑ (1981). "Rank Transformations as a Bridge Between Parametric and Nonparametric Statistics". The American Statistician. 35 (3) 124–129. doi:10.2307/2683975.
  31. ↑ Vaart, A. W. van der. (1998-10-13). "Asymptotic Statistics". Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-80225-6. doi:10.1017/cbo9780511802256.
  32. ↑ (2018). Rank and pseudo-rank procedures for independent observations in factorial designs: Using R and SAS. Springer International Publishing. ISBN 978-3-030-02912-8. doi:10.1007/978-3-030-02914-2.
  33. ↑ 33.0 33.1 Karch, Julian D.. (2021). "Psychologists Should Use Brunner–Munzel's Instead of Mann–Whitney's U Test as the Default Nonparametric Procedure". Advances in Methods and Practices in Psychological Science. 4 (2). doi:10.1177/2515245921999602.
  34. ↑ (2001). "Mann–Whitney U test when variances are unequal". Animal Behaviour. 61 (6) 1247–1249. doi:10.1006/anbe.2001.1691.
  35. ↑ (2021). Psychologists Should Use Brunner–Munzel's Instead of Mann–Whitney's U Test as the Default Nonparametric Procedure. Advances in Methods and Practices in Psychological Science. 4 (2). doi:10.1177/2515245921999602.
  36. ↑ (20 September 2020). Violation of Proportional Odds is Not Fatal.
  37. ↑ (2000). "Different Outcomes of the Wilcoxon–Mann–Whitney Test from Different Statistics Packages". The American Statistician. 54 (1) 72–77. doi:10.1080/00031305.2000.10474513.
  38. ↑ . (24 July 2015). scipy.stats.mannwhitneyu. SciPy v0.16.0 Reference Guide.
  39. ↑ MannWhitneyUTest (Apache Commons Math 3.3 API). commons.apache.org.
  40. ↑ (30 May 2021). JuliaStats/HypothesisTests.jl. GitHub.
  41. ↑ Kruskal, William H.. (September 1957). "Historical Notes on the Wilcoxon Unpaired Two-Sample Test". Journal of the American Statistical Association. 52 (279) 356–360. doi:10.2307/2280906.
  42. ↑ Wilcoxon, Frank. (1945). "Individual comparisons by ranking methods". Biometrics Bulletin. 1 (6) 80–83. doi:10.2307/3001968.

তথ্যসূত্র

  • (1998). "Robust nonparametric statistical methods". 5 xiv+467. Edward Arnold; John Wiley and Sons, Inc.. ISBN 978-0-340-54937-7.
  • (2014). "Nonparametric Statistics: A Step-by-Step Approach". Wiley. ISBN 978-1-118-84031-3.
  • (1963). "Estimation of location based on ranks". Annals of Mathematical Statistics. 34 (2) 598–611. doi:10.1214/aoms/1177704172.
  • (2014). "The simple difference formula: An approach to teaching nonparametric correlation". Comprehensive Psychology. 3. doi:10.2466/11.IT.3.1.
  • Lehmann, Erich L.. (2006). "Nonparametrics: Statistical methods based on ranks". xvi+463. Springer. ISBN 978-0-387-35212-1.
  • Oja, Hannu. (2010). "Multivariate nonparametric methods with R: An approach based on spatial signs and ranks". 199 xiv+232. Springer. ISBN 978-1-4419-0467-6. doi:10.1007/978-1-4419-0468-3.
  • Sen, Pranab Kumar. (December 1963). "On the estimation of relative potency in dilution(-direct) assays by distribution-free methods". Biometrics. 19 (4) 532–552. doi:10.2307/2527532.
  • Chicco D.. (2025). "A simple guide to the use of Student's t-test, Mann-Whitney U test, Chi-squared test, and Kruskal-Wallis test in biostatistics". BioData Mining. 18 (56) 1-51. doi:10.1186/s13040-025-00465-6.

বহিঃসংযোগ

inference

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Mann–Whitney U test” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Mann–Whitney_U_test এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।

Retrieved from "https://ltrc.sciwiki.in/index.php?title=ম্যান-হুইটনি_ইউ_টেস্ট&oldid=3217"