উইলকক্সন সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্ট

উইলকক্সন সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্ট (Wilcoxon signed-rank test) হলো একটি নন-প্যারামেট্রিক rank test, যা পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস পরীক্ষার জন্য ব্যবহৃত হয়। এটি কোনো নমুনার তথ্যের ভিত্তিতে একটি পপুলেশনের অবস্থান (location) পরীক্ষা করতে অথবা দুটি ম্যাচড নমুনার (matched samples) মাধ্যমে দুটি পপুলেশনের অবস্থানের তুলনা করতে ব্যবহৃত হয়। এর ওয়ান-স্যাম্পল সংস্করণটি ওয়ান-স্যাম্পল স্টুডেন্ট'স টি-টেস্টের অনুরূপ উদ্দেশ্যে কাজ করে। দুটি ম্যাচড নমুনার ক্ষেত্রে, এটি একটি paired difference test, যা পেয়ারড স্টুডেন্ট'স টি-টেস্টের (যাকে "ম্যাচড পেয়ারের জন্য টি-টেস্ট" বা "ডিপেন্ডেন্ট স্যাম্পলের জন্য টি-টেস্ট"ও বলা হয়) মতো। যখন পেয়ারড ইন্ডিভিজুয়ালদের পার্থক্যের স্বাভাবিক বিন্যাস অনুমান করা যায় না, তখন উইলকক্সন টেস্ট টি-টেস্টের একটি ভালো বিকল্প। এর পরিবর্তে, এটি একটি দুর্বল হাইপোথিসিস অনুমান করে যে, এই পার্থক্যের বিন্যাস একটি কেন্দ্রীয় মানের চারপাশে প্রতিসম (symmetric) এবং এটি পরীক্ষা করে যে এই কেন্দ্রীয় মানটি শূন্য থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা কি না। উইলকক্সন টেস্ট সাইন টেস্টের চেয়ে বেশি শক্তিশালী বিকল্প, কারণ এটি পার্থক্যের মান বিবেচনা করে, তবে এর জন্য প্রতিসাম্যের এই মাঝারি শক্তিশালী অনুমানটি প্রয়োজন।

ইতিহাস

এই টেস্টটির নামকরণ করা হয়েছে Frank Wilcoxon (১৮৯২–১৯৬৫)-এর নামানুসারে, যিনি একটি গবেষণাপত্রে এটি এবং দুটি স্বাধীন নমুনার জন্য র‍্যাঙ্ক-সাম টেস্ট প্রস্তাব করেছিলেন। টেস্টটি Sidney Siegel (১৯৫৬) তার নন-প্যারামেট্রিক পরিসংখ্যানের প্রভাবশালী পাঠ্যপুস্তকে জনপ্রিয় করেন। সিগেল টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকের জন্য T প্রতীকটি ব্যবহার করেছিলেন, এবং ফলস্বরূপ, টেস্টটিকে কখনও কখনও উইলকক্সন টি-টেস্ট বলা হয়।

টেস্ট পদ্ধতি

সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্টের দুটি রূপ রয়েছে। তাত্ত্বিক দৃষ্টিকোণ থেকে, ওয়ান-স্যাম্পল টেস্টটি বেশি মৌলিক কারণ পেয়ারড স্যাম্পল টেস্টটি ডেটাকে ওয়ান-স্যাম্পল টেস্টের পরিস্থিতিতে রূপান্তর করে সম্পাদন করা হয়। তবে, সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্টের বেশিরভাগ ব্যবহারিক প্রয়োগ পেয়ারড ডেটা থেকে উদ্ভূত হয়।

একটি পেয়ারড স্যাম্পল টেস্টের জন্য, ডেটা একটি নমুনা $(X_1,Y_1),\dots ,(X_n,Y_n)$ নিয়ে গঠিত। নমুনার প্রতিটি ডেটা পয়েন্ট হলো পরিমাপের একটি জোড়া। সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে, পরিমাপগুলো ইন্টারভাল স্কেলে থাকে। তখন সেগুলোকে বাস্তব সংখ্যায় রূপান্তর করা যেতে পারে এবং প্রতিটি জোড়া $(X_i,Y_i)$-কে তাদের পার্থক্য $X_i-Y_i$ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পেয়ারড স্যাম্পল টেস্টটিকে ওয়ান-স্যাম্পল টেস্টে রূপান্তর করা হয়। সাধারণত, জোড়াগুলোর মধ্যে পার্থক্য র‍্যাঙ্ক করা সম্ভব হতে হবে। এর জন্য প্রয়োজন যে ডেটা একটি 'অর্ডার্ড মেট্রিক' স্কেলে থাকে, এটি এমন এক ধরনের স্কেল যা অর্ডিনাল স্কেলের চেয়ে বেশি তথ্য বহন করে তবে ইন্টারভাল স্কেলের চেয়ে কম হতে পারে।

ওয়ান-স্যাম্পল টেস্টের জন্য ডেটা হলো এমন একটি নমুনা যেখানে প্রতিটি পর্যবেক্ষণ একটি বাস্তব সংখ্যা: $X_1,\dots ,X_n$। সরলতার জন্য ধরে নেওয়া যাক যে নমুনার পর্যবেক্ষণগুলোর পরম মান ভিন্ন এবং কোনো পর্যবেক্ষণ শূন্যের সমান নয়। (শূন্য এবং টাই বেশ কিছু জটিলতা তৈরি করে; নিচে দেখুন।) টেস্টটি নিম্নরূপভাবে সম্পাদিত হয়:

1. $|X_1|,\dots ,|X_n|$ গণনা করুন।
2. $|X_1|,\dots ,|X_n|$ সাজান এবং র‍্যাঙ্ক $R_1,\dots ,R_n$ নির্ধারণ করতে এই সাজানো তালিকাটি ব্যবহার করুন: ক্ষুদ্রতম পর্যবেক্ষণের র‍্যাঙ্ক এক, পরবর্তী ক্ষুদ্রতমের র‍্যাঙ্ক দুই, ইত্যাদি।
3. $\mathrm{sgn}$ কে সাইন ফাংশন হিসেবে চিহ্নিত করুন: যদি $x>0$ হয় তবে $\mathrm{sgn}(x)=1$ এবং যদি $x<0$ হয় তবে $\mathrm{sgn}(x)=-1$। টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক হলো 'সাইনড-র‍্যাঙ্ক সাম' $T$: $$T=\sum _{i=1}^N\mathrm{sgn}(X_i)R_i.$$
4. নাল হাইপোথিসিসের অধীনে $T$-কে তার বিন্যাসের সাথে তুলনা করে একটি $p$-মান তৈরি করুন।

র‍্যাঙ্কগুলো এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে $R_i$ হলো সেই $j$-এর সংখ্যা যার জন্য $|X_j|\le |X_i|$। অতিরিক্তভাবে, যদি $\sigma :\{1,\dots ,n\}\to \{1,\dots ,n\}$ এমন হয় যে $|X_{\sigma (1)}|<\dots <|X_{\sigma (n)}|$, তবে সব $i$-এর জন্য $R_{\sigma (i)}=i$।

সাইনড-র‍্যাঙ্ক সাম $T$ অন্য দুটি টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। 'পজিটিভ-র‍্যাঙ্ক সাম' $T^{+}$ এবং 'নেগেটিভ-র‍্যাঙ্ক সাম' $T^{-}$ নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত: $$\begin{array}{rl}{T}^{+}& =\sum _{1\le i\le n,X_i>0}{R}_i,\\ T^{-}& =\sum _{1\le i\le n,X_i<0}{R}_i.\end{array}$$ যেহেতু $T^{+}+T^{-}$ সমস্ত র‍্যাঙ্কের যোগফলের সমান, যা হলো $1+2+\dots +n=n(n+1)/2$, এই তিনটি স্ট্যাটিস্টিক নিম্নরূপভাবে সম্পর্কিত: $$\begin{array}{rl}{T}^{+}& =\frac{n(n+1)}{2}-T^{-}=\frac{n(n+1)}{4}+\frac{T}{2},\\ T^{-}& =\frac{n(n+1)}{2}-T^{+}=\frac{n(n+1)}{4}-\frac{T}{2},\\ T& =T^{+}-T^{-}=2T^{+}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}-2T^{-}.\end{array}$$ যেহেতু $T$, $T^{+}$, এবং $T^{-}$ একই তথ্য বহন করে, তাই তাদের যেকোনো একটি টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে।

পজিটিভ-র‍্যাঙ্ক সাম এবং নেগেটিভ-র‍্যাঙ্ক সামের বিকল্প ব্যাখ্যা রয়েছে যা টেস্টের পেছনের তত্ত্বের জন্য দরকারী। 'ওয়ালশ গড়' (Walsh average) $W_{ij}$-কে $\frac{1}{2}(X_i+X_j)$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করুন। তাহলে: $$\begin{array}{r}{T}^{+}=\mathrm{\#}\{W_{ij}>0:1\le i\le j\le n\},\\ T^{-}=\mathrm{\#}\{W_{ij}<0:1\le i\le j\le n\}.\end{array}$$

নাল এবং অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস

ওয়ান-স্যাম্পল টেস্ট

ওয়ান-স্যাম্পল উইলকক্সন সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্টটি পরীক্ষা করতে ব্যবহৃত হতে পারে যে ডেটা একটি নির্দিষ্ট কেন্দ্র (যা মিডিয়ান, গড় এবং সিউডোমিডিয়ানের সাথে সম্পর্কিত) বিশিষ্ট প্রতিসম পপুলেশন থেকে এসেছে কি না। যদি পপুলেশনের কেন্দ্র জানা থাকে, তবে এটি পরীক্ষা করতে ব্যবহৃত হতে পারে যে ডেটা তার কেন্দ্রের চারপাশে প্রতিসম কি না।

নাল এবং অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস আনুষ্ঠানিকভাবে ব্যাখ্যা করার জন্য, ধরে নিন যে ডেটা একটি বিন্যাস $F$ থেকে স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত নমুনা নিয়ে গঠিত। যদি $F$-কে প্রতিসম ধরে নেওয়া যায়, তবে নাল এবং অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিসগুলো নিম্নরূপ:

নাল হাইপোথিসিস H₀

$F$, $\mu =0$-এর চারপাশে প্রতিসম।

ওয়ান-সাইডেড অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস H₁

$F$, $\mu <0$-এর চারপাশে প্রতিসম।

ওয়ান-সাইডেড অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস H₂

$F$, $\mu >0$-এর চারপাশে প্রতিসম।

টু-সাইডেড অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস H₃

$F$, $\mu \ne 0$-এর চারপাশে প্রতিসম।

যদি অতিরিক্তভাবে $\mathrm{Pr}(X=\mu )=0$ হয়, তবে $\mu$ হলো $F$-এর একটি মিডিয়ান। যদি এই মিডিয়ান অনন্য হয়, তবে উইলকক্সন সাইনড-র‍্যাঙ্ক সাম টেস্ট মিডিয়ানের অবস্থানের জন্য একটি টেস্টে পরিণত হয়। যখন $F$-এর গড় সংজ্ঞায়িত হয়, তখন গড় হলো $\mu$, এবং টেস্টটি গড়ের অবস্থানের জন্যও একটি টেস্ট।

ডেটা IID হওয়ার হাইপোথিসিসটি দুর্বল করা যেতে পারে। প্রতিটি ডেটা পয়েন্ট একটি ভিন্ন বিন্যাস থেকে নেওয়া যেতে পারে, যতক্ষণ না সমস্ত বিন্যাস একটি সাধারণ বিন্দু ${\mu }_0$-এর চারপাশে অবিচ্ছিন্ন এবং প্রতিসম বলে ধরে নেওয়া হয়। ডেটা পয়েন্টগুলো স্বাধীন হওয়ার প্রয়োজন নেই, যতক্ষণ না অন্যদের সাপেক্ষে প্রতিটি পর্যবেক্ষণের শর্তাধীন বিন্যাস ${\mu }_0$-এর চারপাশে প্রতিসম হয়।

পেয়ারড ডেটা টেস্ট

যেহেতু পেয়ারড ডেটা টেস্ট পেয়ারড পার্থক্য থেকে উদ্ভূত হয়, তাই এর নাল এবং অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিসগুলো ওয়ান-স্যাম্পল টেস্ট থেকে উদ্ভূত হতে পারে। প্রতিটি ক্ষেত্রে, এগুলো পার্থক্য $X_i-Y_i$-এর আচরণের বিষয়ে দাবিতে পরিণত হয়।

ধরা যাক $F(x,y)$ হলো জোড়া $(X_i,Y_i)$-এর যৌথ কিউমুলেটিভ বিন্যাস। যদি আমরা ধরে নিই যে এমন একটি $\mu$ বিদ্যমান যার জন্য $X_i-Y_i$, $\mu$-এর চারপাশে প্রতিসম, তবে নাল এবং অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিসগুলো হলো:

নাল হাইপোথিসিস H₀

পর্যবেক্ষণ $X_i-Y_i$, $\mu =0$-এর চারপাশে প্রতিসম।

ওয়ান-সাইডেড অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস H₁

পর্যবেক্ষণ $X_i-Y_i$, $\mu <0$-এর চারপাশে প্রতিসম।

ওয়ান-সাইডেড অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস H₂

পর্যবেক্ষণ $X_i-Y_i$, $\mu >0$-এর চারপাশে প্রতিসম।

টু-সাইডেড অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস H₃

পর্যবেক্ষণ $X_i-Y_i$, $\mu \ne 0$-এর চারপাশে প্রতিসম।

এগুলো মূল জোড়ার ক্ষেত্রে আরও সরাসরি প্রকাশ করা যেতে পারে:

নাল হাইপোথিসিস H₀

পর্যবেক্ষণ $(X_i,Y_i)$ 'এক্সচেঞ্জেবল' (exchangeable), যার অর্থ $(X_i,Y_i)$ এবং $(Y_i,X_i)$-এর একই বিন্যাস রয়েছে। সমতুল্যভাবে, $F(x,y)=F(y,x)$।

ওয়ান-সাইডেড অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস H₁

কিছু $\mu <0$-এর জন্য, জোড়া $(X_i,Y_i)$ এবং $(Y_i+\mu ,X_i-\mu )$-এর একই বিন্যাস রয়েছে।

ওয়ান-সাইডেড অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস H₂

কিছু $\mu >0$-এর জন্য, জোড়া $(X_i,Y_i)$ এবং $(Y_i+\mu ,X_i-\mu )$-এর একই বিন্যাস রয়েছে।

টু-সাইডেড অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস H₃

কিছু $\mu \ne 0$-এর জন্য, জোড়া $(X_i,Y_i)$ এবং $(Y_i+\mu ,X_i-\mu )$-এর একই বিন্যাস রয়েছে।

এক্সচেঞ্জেবলিটির নাল হাইপোথিসিস একটি ট্রিটমেন্ট গ্রুপ এবং একটি কন্ট্রোল গ্রুপ নিয়ে ম্যাচড পেয়ার পরীক্ষা থেকে উদ্ভূত হতে পারে। প্রতিটি জোড়ার মধ্যে ট্রিটমেন্ট এবং কন্ট্রোল র‍্যান্ডমাইজ করা পর্যবেক্ষণগুলোকে এক্সচেঞ্জেবল করে তোলে। একটি এক্সচেঞ্জেবল বিন্যাসের জন্য, $X_i-Y_i$-এর বিন্যাস $Y_i-X_i$-এর মতোই, এবং তাই, নাল হাইপোথিসিসের অধীনে, বিন্যাসটি শূন্যের চারপাশে প্রতিসম।

শূন্য এবং টাই

বাস্তব ডেটাতে, কখনও কখনও এমন হয় যে নমুনায় একটি পর্যবেক্ষণ $X_i$ শূন্যের সমান অথবা একটি জোড়া $(X_i,Y_i)$ যেখানে $X_i=Y_i$। এমনও হতে পারে যে টাই পর্যবেক্ষণ রয়েছে। এর মানে হলো কিছু $i\ne j$-এর জন্য, আমাদের $X_i=X_j$ (ওয়ান-স্যাম্পল ক্ষেত্রে) অথবা $X_i-Y_i=X_j-Y_j$ (পেয়ারড স্যাম্পল ক্ষেত্রে) আছে। এটি ডিসক্রিট ডেটার জন্য বিশেষভাবে সাধারণ। যখন এটি ঘটে, তখন উপরে সংজ্ঞায়িত টেস্ট পদ্ধতিটি সাধারণত অনির্ধারিত থাকে কারণ ডেটা অনন্যভাবে র‍্যাঙ্ক করার কোনো উপায় নেই। (একমাত্র ব্যতিক্রম হলো যদি একটি একক পর্যবেক্ষণ $X_i$ শূন্য হয় এবং অন্য কোনো শূন্য বা টাই না থাকে।) এই কারণে, টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকটি সংশোধন করা প্রয়োজন।

শূন্য

উইলকক্সনের মূল গবেষণাপত্রে শূন্যের সমান পর্যবেক্ষণ (বা পেয়ারড স্যাম্পল ক্ষেত্রে পার্থক্য) সম্পর্কে প্রশ্নটি সমাধান করা হয়নি। তবে, পরবর্তী জরিপগুলোতে, তিনি নমুনা থেকে শূন্য বাদ দেওয়ার পরামর্শ দিয়েছিলেন। তারপর স্ট্যান্ডার্ড সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্টটি প্রাপ্ত ডেটাতে প্রয়োগ করা যেতে পারে, যতক্ষণ না কোনো টাই থাকে। একে এখন 'রিডিউসড স্যাম্পল প্রসিডিউর' বলা হয়।

প্র্যাট পর্যবেক্ষণ করেছেন যে রিডিউসড স্যাম্পল প্রসিডিউর প্যারাডক্সিক্যাল আচরণের দিকে নিয়ে যেতে পারে। তিনি নিম্নলিখিত উদাহরণটি দেন। ধরুন আমরা ওয়ান-স্যাম্পল পরিস্থিতিতে আছি এবং নিম্নলিখিত তেরোটি পর্যবেক্ষণ আছে:

0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 17, −18.

রিডিউসড স্যাম্পল প্রসিডিউর শূন্যটি সরিয়ে ফেলে। অবশিষ্ট ডেটাতে, এটি সাইনড র‍্যাঙ্কগুলো নির্ধারণ করে:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, −12.

এর একটি ওয়ান-সাইডেড p-মান $55/2^{12}$, এবং তাই নমুনাটি কোনো সিগনিফিক্যান্স লেভেল $\alpha <55/2^{12}\approx 0.0134$-এ উল্লেখযোগ্যভাবে পজিটিভ নয়। প্র্যাট যুক্তি দেন যে কেউ আশা করবে যে পর্যবেক্ষণগুলো কমানো অবশ্যই ডেটাকে আরও পজিটিভ দেখাবে না। তবে, যদি শূন্য পর্যবেক্ষণটি ২-এর চেয়ে কম পরিমাণে কমানো হয়, অথবা যদি সমস্ত পর্যবেক্ষণ ১-এর চেয়ে কম পরিমাণে কমানো হয়, তবে সাইনড র‍্যাঙ্কগুলো হয়ে যায়:

−1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, −13.

এর একটি ওয়ান-সাইডেড p-মান $109/2^{13}$। তাই নমুনাটিকে যেকোনো সিগনিফিক্যান্স লেভেল $\alpha >109/2^{13}\approx 0.0133$-এ উল্লেখযোগ্যভাবে পজিটিভ হিসেবে বিচার করা হবে। প্যারাডক্সটি হলো যে, যদি $\alpha$, $109/2^{13}$ এবং $55/2^{12}$-এর মধ্যে থাকে, তবে একটি অউল্লেখযোগ্য নমুনা 'কমানো' এটিকে উল্লেখযোগ্যভাবে 'পজিটিভ' দেখায়।

প্র্যাট তাই 'সাইনড-র‍্যাঙ্ক জিরো প্রসিডিউর' প্রস্তাব করেছিলেন। এই পদ্ধতিটি নমুনার পর্যবেক্ষণগুলো র‍্যাঙ্ক করার সময় শূন্যগুলোকে অন্তর্ভুক্ত করে। তবে, এটি টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক থেকে সেগুলোকে বাদ দেয়, অথবা সমতুল্যভাবে এটি $\mathrm{sgn}(0)=0$ সংজ্ঞায়িত করে। প্র্যাট প্রমাণ করেছেন যে সাইনড-র‍্যাঙ্ক জিরো প্রসিডিউরের বেশ কিছু কাঙ্ক্ষিত আচরণ রয়েছে যা রিডিউসড স্যাম্পল প্রসিডিউরের নেই:

1. পর্যবেক্ষণকৃত মানগুলো বৃদ্ধি করা একটি উল্লেখযোগ্যভাবে পজিটিভ নমুনাকে অউল্লেখযোগ্য করে তোলে না, এবং এটি একটি অউল্লেখযোগ্য নমুনাকে উল্লেখযোগ্যভাবে নেগেটিভ করে তোলে না।
2. যদি পর্যবেক্ষণের বিন্যাস প্রতিসম হয়, তবে $\mu$-এর মানগুলো যা টেস্ট প্রত্যাখ্যান করে না তা একটি ইন্টারভাল গঠন করে।
3. একটি নমুনা উল্লেখযোগ্যভাবে পজিটিভ, অউল্লেখযোগ্য, বা উল্লেখযোগ্যভাবে নেগেটিভ হয়, যদি এবং কেবল যদি এটি তখন হয় যখন শূন্যগুলোকে ইচ্ছামতো নন-জিরো চিহ্ন দেওয়া হয়, যদি এবং কেবল যদি এটি তখন হয় যখন শূন্যগুলোকে নন-জিরো মান দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হয় যা যেকোনো নন-জিরো পর্যবেক্ষণের চেয়ে পরম মানে ছোট।
4. একটি নির্দিষ্ট সিগনিফিক্যান্স থ্রেশহোল্ড $\alpha$-এর জন্য, এবং একটি টেস্টের জন্য যা সঠিকভাবে $\alpha$ লেভেল হওয়ার জন্য র‍্যান্ডমাইজ করা হয়, পর্যবেক্ষণগুলোর একটি সেটকে উল্লেখযোগ্যভাবে পজিটিভ (যথাক্রমে, উল্লেখযোগ্যভাবে নেগেটিভ) বলার সম্ভাবনা পর্যবেক্ষণগুলোর একটি নন-ডিক্রিজিং (যথাক্রমে, নন-ইনক্রিজিং) ফাংশন।

প্র্যাট উল্লেখ করেছেন যে, যখন সাইনড-র‍্যাঙ্ক জিরো প্রসিডিউর টাই সমাধানের জন্য গড় র‍্যাঙ্ক পদ্ধতির সাথে একত্রিত হয়, তখন প্রাপ্ত টেস্টটি অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিসের বিরুদ্ধে একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ টেস্ট, যে সব $i\ne j$-এর জন্য, $\mathrm{Pr}(X_i+X_j>0)$ এবং $\mathrm{Pr}(X_i+X_j<0)$ অন্তত একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক দ্বারা আলাদা যা $i$ এবং $j$-এর থেকে স্বাধীন।

সাইনড-র‍্যাঙ্ক জিরো প্রসিডিউরের অসুবিধা হলো যে, যখন শূন্য ঘটে, তখন টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকের নাল বিন্যাস পরিবর্তিত হয়, তাই p-মানের টেবিলগুলো আর ব্যবহার করা যায় না।

যখন ডেটা সমানভাবে ব্যবধানযুক্ত ক্যাটাগরি সহ একটি লাইকার্ট স্কেলে থাকে, তখন সাইনড-র‍্যাঙ্ক জিরো প্রসিডিউর রিডিউসড স্যাম্পল প্রসিডিউরের চেয়ে টাইপ I এরর রেট বজায় রাখার সম্ভাবনা বেশি।

পরিসংখ্যানগত দক্ষতার দৃষ্টিকোণ থেকে, শূন্য পরিচালনার জন্য কোনো নিখুঁত নিয়ম নেই। কানোভার নাল এবং অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিসের উদাহরণ খুঁজে পেয়েছেন যা দেখায় যে উইলকক্সন এবং প্র্যাটের পদ্ধতিগুলোর কোনোটিই অন্যটির চেয়ে সমানভাবে ভালো নয়। যখন একটি ডিসক্রিট ইউনিফর্ম বিন্যাসকে এমন একটি বিন্যাসের সাথে তুলনা করা হয় যেখানে সম্ভাবনা বাম থেকে ডানে রৈখিকভাবে বৃদ্ধি পায়, তখন প্র্যাটের পদ্ধতি উইলকক্সনের চেয়ে ভালো কাজ করে। যখন শূন্যের চারপাশে কেন্দ্রিক একটি বাইনোমিয়াল বিন্যাস পরীক্ষা করা হয় যে প্রতিটি বার্নোলি ট্রায়ালের প্যারামিটার $\frac{1}{2}$ কি না, তখন উইলকক্সনের পদ্ধতি প্র্যাটের চেয়ে ভালো কাজ করে।

টাই

যখন ডেটাতে টাই থাকে না, তখন টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক গণনা করতে র‍্যাঙ্ক $R_i$ ব্যবহৃত হয়। টাই উপস্থিত থাকলে, র‍্যাঙ্কগুলো সংজ্ঞায়িত হয় না। এটি সমাধানের দুটি প্রধান পদ্ধতি রয়েছে।

টাই পরিচালনার জন্য সবচেয়ে সাধারণ পদ্ধতি, এবং উইলকক্সন কর্তৃক মূলত সুপারিশকৃত পদ্ধতিটিকে 'গড় র‍্যাঙ্ক' বা 'মিডর‍্যাঙ্ক প্রসিডিউর' বলা হয়। এই পদ্ধতিটি পর্যবেক্ষণগুলোকে ১ এবং n-এর মধ্যে সংখ্যা নির্ধারণ করে, দুটি পর্যবেক্ষণ একই সংখ্যা পায় যদি এবং কেবল যদি তাদের পরম মান একই হয়। এই সংখ্যাগুলোকে প্রচলিতভাবে র‍্যাঙ্ক বলা হয় যদিও এই সংখ্যাগুলোর সেট $\{1,\dots ,n\}$-এর সমান নয় (যখন টাই থাকে না তখন ছাড়া)। একটি পর্যবেক্ষণে নির্ধারিত র‍্যাঙ্ক হলো সম্ভাব্য র‍্যাঙ্কগুলোর গড় যা এটি পেত যদি টাইগুলো সব সম্ভাব্য উপায়ে ভাঙা হতো। একবার র‍্যাঙ্কগুলো নির্ধারিত হয়ে গেলে, টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক স্বাভাবিকভাবেই গণনা করা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, ধরুন পর্যবেক্ষণগুলো সন্তুষ্ট করে $$|X_3|<|X_2|=|X_5|<|X_6|<|X_1|=|X_4|=|X_7|.$$ এই ক্ষেত্রে, $X_3$-কে র‍্যাঙ্ক ১ নির্ধারণ করা হয়, $X_2$ এবং $X_5$-কে র‍্যাঙ্ক $(2+3)/2=2.5$ নির্ধারণ করা হয়, $X_6$-কে র‍্যাঙ্ক ৪ নির্ধারণ করা হয়, এবং $X_1$, $X_4$, এবং $X_7$-কে র‍্যাঙ্ক $(5+6+7)/3=6$ নির্ধারণ করা হয়। আনুষ্ঠানিকভাবে, ধরুন এমন এক সেট পর্যবেক্ষণ আছে যাদের সবার পরম মান $v$, যে $k-1$ পর্যবেক্ষণের পরম মান $v$-এর চেয়ে কম, এবং $\ell$ পর্যবেক্ষণের পরম মান $v$-এর চেয়ে কম বা সমান। যদি $v$ পরম মান বিশিষ্ট পর্যবেক্ষণগুলোর মধ্যে টাইগুলো ভাঙা হতো, তবে এই পর্যবেক্ষণগুলো র‍্যাঙ্ক $k$ থেকে $\ell$ দখল করত। তাই গড় র‍্যাঙ্ক পদ্ধতি তাদের র‍্যাঙ্ক $(k+\ell )/2$ নির্ধারণ করে।

গড় র‍্যাঙ্ক পদ্ধতির অধীনে, টাই উপস্থিত থাকলে নাল বিন্যাস ভিন্ন হয়। গড় র‍্যাঙ্ক পদ্ধতির কিছু অসুবিধাও রয়েছে যা শূন্যের জন্য রিডিউসড স্যাম্পল প্রসিডিউরের অনুরূপ। এটি সম্ভব যে একটি নমুনা গড় র‍্যাঙ্ক পদ্ধতি দ্বারা উল্লেখযোগ্যভাবে পজিটিভ হিসেবে বিচার করা যেতে পারে; কিন্তু টাইগুলো ভাঙার জন্য কিছু মান বৃদ্ধি করা, অথবা যেকোনো উপায়ে টাইগুলো ভাঙা, এমন একটি নমুনার দিকে নিয়ে যায় যা টেস্টটি অউল্লেখযোগ্য হিসেবে বিচার করে। তবে, সমস্ত পর্যবেক্ষণকৃত মান একই পরিমাণে বৃদ্ধি করা একটি উল্লেখযোগ্যভাবে পজিটিভ ফলাফলকে অউল্লেখযোগ্য করতে পারে না, বা একটি অউল্লেখযোগ্য ফলাফলকে উল্লেখযোগ্যভাবে নেগেটিভ করতে পারে না। অধিকন্তু, যদি পর্যবেক্ষণগুলো প্রতিসমভাবে বিন্যস্ত হয়, তবে $\mu$-এর মানগুলো যা টেস্ট প্রত্যাখ্যান করে না তা একটি ইন্টারভাল গঠন করে।

টাই পরিচালনার জন্য অন্য সাধারণ বিকল্প হলো একটি টাইব্রেকিং পদ্ধতি। একটি টাইব্রেকিং পদ্ধতিতে, পর্যবেক্ষণগুলোকে $\{1,\dots ,n\}$ সেটে স্বতন্ত্র র‍্যাঙ্ক নির্ধারণ করা হয়। একটি পর্যবেক্ষণে নির্ধারিত র‍্যাঙ্ক তার পরম মান এবং টাইব্রেকিং নিয়মের উপর নির্ভর করে। ছোট পরম মান বিশিষ্ট পর্যবেক্ষণগুলোকে সর্বদা ছোট র‍্যাঙ্ক দেওয়া হয়, ঠিক যেমন স্ট্যান্ডার্ড র‍্যাঙ্ক-সাম টেস্টে। টাইব্রেকিং নিয়মটি একই পরম মান বিশিষ্ট পর্যবেক্ষণগুলোতে র‍্যাঙ্ক নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়। টাইব্রেকিং নিয়মের একটি সুবিধা হলো যে এগুলো p-মান গণনার জন্য স্ট্যান্ডার্ড টেবিল ব্যবহারের অনুমতি দেয়।

'র‍্যান্ডম টাইব্রেকিং' টাইগুলো র‍্যান্ডমলি ভাঙে। র‍্যান্ডম টাইব্রেকিংয়ের অধীনে, নাল বিন্যাসটি টাই না থাকার মতোই, কিন্তু টেস্টের ফলাফল কেবল ডেটার ওপরই নয়, অতিরিক্ত র‍্যান্ডম পছন্দের ওপরও নির্ভর করে। সম্ভাব্য র‍্যান্ডম পছন্দগুলোর ওপর র‍্যাঙ্কগুলোর গড় করা গড় র‍্যাঙ্ক পদ্ধতির দিকে নিয়ে যায়। কেউ সমস্ত র‍্যান্ডম পছন্দের ওপর প্রত্যাখ্যানের সম্ভাবনাও রিপোর্ট করতে পারে। র‍্যান্ডম টাইব্রেকিংয়ের সুবিধা হলো যে একটি নমুনা উল্লেখযোগ্যভাবে পজিটিভ হিসেবে বিচার হওয়ার সম্ভাবনা হ্রাস পায় না যখন কিছু পর্যবেক্ষণ বৃদ্ধি করা হয়। 'কনজারভেটিভ টাইব্রেকিং' নাল হাইপোথিসিসের পক্ষে টাইগুলো ভাঙে। যখন একটি ওয়ান-সাইডেড টেস্ট করা হয় যেখানে $T$-এর নেগেটিভ মানগুলো বেশি উল্লেখযোগ্য হওয়ার প্রবণতা থাকে, তখন নেগেটিভ পর্যবেক্ষণগুলোতে নিম্ন র‍্যাঙ্ক এবং পজিটিভগুলোতে উচ্চ র‍্যাঙ্ক নির্ধারণ করে টাইগুলো ভাঙা হয়। যখন টেস্টটি $T$-এর পজিটিভ মানগুলোকে উল্লেখযোগ্য করে তোলে, তখন টাইগুলো অন্যভাবে ভাঙা হয়, এবং যখন $T$-এর বড় পরম মানগুলো উল্লেখযোগ্য হয়, তখন টাইগুলো এমনভাবে ভাঙা হয় যাতে $|T|$ যথাসম্ভব ছোট হয়। প্র্যাট পর্যবেক্ষণ করেছেন যে যখন টাই হওয়ার সম্ভাবনা থাকে, তখন কনজারভেটিভ টাইব্রেকিং পদ্ধতি "সম্ভবত কম শক্তিশালী, কারণ এটি নাল হাইপোথিসিসের পক্ষে সমস্ত টাই ভাঙার সমান।"

গড় র‍্যাঙ্ক পদ্ধতি টাইব্রেকিং পদ্ধতির সাথে দ্বিমত পোষণ করতে পারে। প্র্যাট নিম্নলিখিত উদাহরণটি দেন। ধরুন পর্যবেক্ষণগুলো হলো:

1, 1, 1, 1, 2, 3, −4.

গড় র‍্যাঙ্ক পদ্ধতি এগুলোকে সাইনড র‍্যাঙ্ক নির্ধারণ করে

2.5, 2.5, 2.5, 2.5, 5, 6, −7.

এই নমুনাটি ওয়ান-সাইডেড লেভেল $\alpha =14/2^7$-এ উল্লেখযোগ্যভাবে পজিটিভ। অন্যদিকে, যেকোনো টাইব্রেকিং নিয়ম র‍্যাঙ্কগুলো নির্ধারণ করবে

1, 2, 3, 4, 5, 6, −7.

একই ওয়ান-সাইডেড লেভেল $\alpha =14/2^7$-এ, এটি উল্লেখযোগ্য নয়।

টাই পরিচালনার জন্য অন্য দুটি বিকল্প টাইব্রেকিংয়ের ফলাফলের গড়ের ওপর ভিত্তি করে। 'গড় স্ট্যাটিস্টিক' পদ্ধতিতে, টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক $T$ টাই ভাঙার প্রতিটি সম্ভাব্য উপায়ের জন্য গণনা করা হয়, এবং চূড়ান্ত স্ট্যাটিস্টিক হলো টাই-ব্রোকেন স্ট্যাটিস্টিকগুলোর গড়। 'গড় সম্ভাবনা' পদ্ধতিতে, p-মান টাই ভাঙার প্রতিটি সম্ভাব্য উপায়ের জন্য গণনা করা হয়, এবং চূড়ান্ত p-মান হলো টাই-ব্রোকেন p-মানগুলোর গড়।

নাল বিন্যাস গণনা

p-মান গণনার জন্য নাল হাইপোথিসিসের অধীনে $T$-এর বিন্যাস জানা প্রয়োজন। এই বিন্যাসের জন্য কোনো ক্লোজড ফর্মুলা নেই। তবে, n-এর ছোট মানগুলোর জন্য, বিন্যাসটি সঠিকভাবে গণনা করা যেতে পারে। নাল হাইপোথিসিসের অধীনে যে ডেটা শূন্যের চারপাশে প্রতিসম, প্রতিটি $X_i$-এর পজিটিভ হওয়ার সম্ভাবনা নেগেটিভ হওয়ার মতোই। তাই নাল হাইপোথিসিসের অধীনে $T=t$ হওয়ার সম্ভাবনা হলো সেই সাইন কম্বিনেশনগুলোর সংখ্যা যা $T=t$ প্রদান করে, তাকে সম্ভাব্য সাইন কম্বিনেশন $2^n$-এর সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা। এটি নাল হাইপোথিসিসের অধীনে $T$-এর সঠিক বিন্যাস গণনা করতে ব্যবহৃত হতে পারে।

সমস্ত সম্ভাবনা বিবেচনা করে $T$-এর বিন্যাস গণনা করার জন্য $2^n$ যোগফল গণনা করা প্রয়োজন, যা সবচেয়ে ছোট n ছাড়া সবকিছুর জন্য অসাধ্য। তবে, $T^{+}$-এর বিন্যাসের জন্য একটি দক্ষ রিকার্সন রয়েছে। $u_n(t^{+})$-কে সেই সাইন কম্বিনেশনগুলোর সংখ্যা হিসেবে সংজ্ঞায়িত করুন যার জন্য $T^{+}=t^{+}$। এটি $\{1,\dots ,n\}$-এর সেই সাবসেটগুলোর সংখ্যার সমান যা $t^{+}$-এর যোগফল প্রদান করে। রিকার্সনের বেস কেসগুলো হলো $u_0(0)=1$, সব $t^{+}\ne 0$-এর জন্য $u_0(t^{+})=0$, এবং সব $t<0$ বা $t>n(n+1)/2$-এর জন্য $u_n(t^{+})=0$। রিকার্সিভ ফর্মুলাটি হলো $$u_n(t^{+})=u_{n-1}(t^{+})+u_{n-1}(t^{+}-n).$$ ফর্মুলাটি সত্য কারণ $\{1,\dots ,n\}$-এর প্রতিটি সাবসেট যা $t^{+}$-এর যোগফল প্রদান করে তা হয় $n$ ধারণ করে না, সেক্ষেত্রে এটি $\{1,\dots ,n-1\}$-এরও একটি সাবসেট, অথবা এটি $n$ ধারণ করে, সেক্ষেত্রে সাবসেট থেকে $n$ সরিয়ে ফেললে $\{1,\dots ,n-1\}$-এর একটি সাবসেট তৈরি হয় যা $t^{+}-n$-এর যোগফল প্রদান করে। নাল হাইপোথিসিসের অধীনে, $T^{+}$-এর প্রোবাবিলিটি মাস ফাংশন $\mathrm{Pr}(T^{+}=t^{+})=u_n(t^{+})/2^n$ সন্তুষ্ট করে। ফাংশন $u_n$ পূর্ণসংখ্যা পার্টিশন ফাংশনের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত।

যদি $p_n(t^{+})$ নাল হাইপোথিসিসের অধীনে $T^{+}=t^{+}$ হওয়ার সম্ভাবনা হয় যখন নমুনায় n পর্যবেক্ষণ থাকে, তবে $p_n(t^{+})$ একটি অনুরূপ রিকার্সন সন্তুষ্ট করে: $$2p_n(t^{+})=p_{n-1}(t^{+})+p_{n-1}(t^{+}-n)$$ অনুরূপ বাউন্ডারি কন্ডিশন সহ। কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন $\mathrm{Pr}(T^{+}\le t^{+})$-এর জন্যও একটি রিকার্সিভ ফর্মুলা রয়েছে।

খুব বড় n-এর জন্য, উপরের রিকার্সনটিও খুব ধীর। এই ক্ষেত্রে, নাল বিন্যাসটি অনুমান করা যেতে পারে। $T$, $T^{+}$, এবং $T^{-}$-এর নাল বিন্যাসগুলো অসিম্পটোটিক্যালি নরমাল, যার গড় এবং ভ্যারিয়েন্স হলো: $$\begin{array}{rl}\mathbf{𝐄}[T^{+}]& =\mathbf{𝐄}[T^{-}]=\frac{n(n+1)}{4},\\ \mathbf{𝐄}[T]& =0,\\ \mathrm{Var}(T^{+})& =\mathrm{Var}(T^{-})=\frac{n(n+1)(2n+1)}{24},\\ \mathrm{Var}(T)& =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\end{array}$$

এজওয়ার্থ এক্সপ্যানশন ব্যবহার করে আরও ভালো অনুমান তৈরি করা যেতে পারে। চতুর্থ-ক্রমের এজওয়ার্থ এক্সপ্যানশন দেখায় যে: $$\mathrm{Pr}(T^{+}\le k)\approx \mathrm{\Phi }(t)+\varphi (t)\left(\frac{3n^2+3n-1}{10n(n+1)(2n+1)}\right)(t^3-3t),$$ যেখানে $$t=\frac{k+\frac{1}{2}-\frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}}.$$ এই এক্সপ্যানশনগুলোর প্রযুক্তিগত ভিত্তি বেশ জটিল, কারণ প্রচলিত এজওয়ার্থ এক্সপ্যানশনগুলো IID অবিচ্ছিন্ন র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যখন $T^{+}$ হলো নন-আইডেন্টিক্যালি বিন্যস্ত ডিসক্রিট র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল। তবে, চূড়ান্ত ফলাফল হলো যে উপরের এক্সপ্যানশনটির ত্রুটি $O(n^{-3/2})$, ঠিক একটি প্রচলিত চতুর্থ-ক্রমের এজওয়ার্থ এক্সপ্যানশনের মতো।

$T$-এর মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশনের সঠিক ফর্মুলাটি হলো: $$M(t)=\frac{1}{2^n}\prod _{j=1}^n(1+e^{jt}).$$

যখন শূন্যের উপস্থিতি থাকে এবং সাইনড-র‍্যাঙ্ক জিরো পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, অথবা যখন টাই (ties) থাকে এবং গড় র‍্যাঙ্ক পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, তখন $T$-এর নাল ডিস্ট্রিবিউশন পরিবর্তিত হয়। কিউরেটন (Cureton) এই পরিস্থিতির জন্য একটি স্বাভাবিক আসন্ন মান (normal approximation) নির্ণয় করেছেন। মনে করুন, পর্যবেক্ষণের মূল সংখ্যা ছিল $n$ এবং শূন্যের সংখ্যা ছিল $z$। টাই সংশোধনী (tie correction) হলো: $$c=\sum t^3-t,$$ যেখানে সমষ্টিটি প্রতিটি টাই হওয়া পর্যবেক্ষণের দলের আকার $t$-এর ওপর নেওয়া হয়েছে। $T$-এর প্রত্যাশা এখনও শূন্য, যেখানে $T^{+}$-এর প্রত্যাশা হলো: $$\mathbf{𝐄}[T^{+}]=\frac{n(n+1)}{4}-\frac{z(z+1)}{4}.$$ যদি $${\sigma }^2=\frac{n(n+1)(2n+1)-z(z+1)(2z+1)-c/2}{6},$$ হয়, তবে $$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}(T)& ={\sigma }^2,\\ \mathrm{Var}(T^{+})& ={\sigma }^2/4.\end{array}$$

বিকল্প পরিসংখ্যান

উইলকক্সন মূলত উইলকক্সন র‍্যাঙ্ক-সাম পরিসংখ্যানকে $\min (T^{+},T^{-})$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন। সিগেলের মতো প্রাথমিক লেখকরা উইলকক্সনকে অনুসরণ করেছিলেন। এটি দ্বিমুখী (two-sided) হাইপোথিসিস টেস্টের জন্য উপযুক্ত, কিন্তু এটি একমুখী (one-sided) টেস্টের জন্য ব্যবহার করা যায় না।

১ থেকে $n$-এর মধ্যে র‍্যাঙ্ক নির্ধারণ করার পরিবর্তে, ০ থেকে $n-1$-এর মধ্যে র‍্যাঙ্ক নির্ধারণ করাও সম্ভব। এগুলোকে মডিফাইড র‍্যাঙ্ক (modified ranks) বলা হয়। মডিফাইড সাইনড-র‍্যাঙ্ক সাম $T_0$, মডিফাইড পজিটিভ-র‍্যাঙ্ক সাম $T_0^{+}$, এবং মডিফাইড নেগেটিভ-র‍্যাঙ্ক সাম $T_0^{-}$-কে $T$, $T^{+}$, এবং $T^{-}$-এর অনুরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে সাধারণ র‍্যাঙ্কের পরিবর্তে মডিফাইড র‍্যাঙ্ক ব্যবহার করা হয়। দুটি স্বাধীন $F$-ডিস্ট্রিবিউটেড র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমষ্টি ধনাত্মক হওয়ার সম্ভাবনাকে $2T_0^{+}/(n(n-1))$ হিসেবে অনুমান করা যেতে পারে। যখন বিবেচনাটি অবিচ্ছিন্ন ডিস্ট্রিবিউশনের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে, তখন এটি $p_2$-এর একটি মিনিমাম ভ্যারিয়েন্স আনবায়াসড এস্টিমেটর (minimum variance unbiased estimator) হিসেবে কাজ করে।

উদাহরণ

নিচের সারণীটি বিবেচনা করুন যাতে $(x_{1,1},x_{2,1}),\dots ,(x_{1,n},x_{2,n})$ জোড়াগুলো রয়েছে:

$i$ $x_{2,i}$ $x_{1,i}$ $x_{2,i}-x_{1,i}$ মান $\mathrm{sgn}$ $\mathrm{abs}$ 1 125 110 15 1 15 2 115 122 -7  –1 7 3 130 125 -5 1 5 4 140 120 20 1 20 5 140 140 0   0 6 115 124 -9  –1 9 7 140 123 17 1 17 8 125 137 -12  –1 12 9 140 135 5 1 5 10 135 145 -10  –1 10

সারণীটি পার্থক্যের মান $x_{2,1}-x_{1,1},\dots ,x_{2,n}-x_{1,n}$, পার্থক্যের চিহ্ন অর্থাৎ $\mathrm{sgn}(x_{2,1}-x_{1,1}),\dots ,\mathrm{sgn}(x_{2,n}-x_{1,n})$ (যেখানে $\mathrm{sgn}$ হলো sign function), এবং পার্থক্যের পরম মান অর্থাৎ $\mathrm{abs}(x_{2,1}-x_{1,1}),\dots ,\mathrm{abs}(x_{2,n}-x_{1,n})$ (যেখানে Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \operatorname{abs} হলো absolute value) প্রদর্শন করে।

এখন, আমরা পরম পার্থক্যের ক্রমবর্ধমান ক্রমে ডেটা সাজাই এবং নিচের সারণীটি পাই:

$i$ $x_{2,i}$ $x_{1,i}$ $x_{2,i}-x_{1,i}$ মান $\mathrm{sgn}$ $\text{abs}$ $R_i$ $\mathrm{sgn}\cdot R_i$ 5 140 140 0   0     3 130 125 5 1 5 1.5 (টাই) 1.5 9 140 135 5 1 5 1.5 (টাই) 1.5 2 115 122 -7  –1 7 3  –3 6 115 124 -9  –1 9 4  –4 10 135 145 -10  –1 10 5  –5 8 125 137 -12  –1 12 6  –6 1 125 110 15 1 15 7 7 7 140 123 17 1 17 8 8 4 140 120 20 1 20 9 9

$R_i$ কলামটি র‍্যাঙ্ক নির্দেশ করে। লক্ষ্য করুন যে ৩ এবং ৯ নম্বর জোড়া পরম মানে টাই হয়েছে। তাদের র‍্যাঙ্ক হওয়ার কথা ছিল ১ এবং ২, তাই প্রত্যেকে সেই র‍্যাঙ্কগুলোর গড়, অর্থাৎ ১.৫ পেয়েছে।

$W=1.5+1.5-3-4-5-6+7+8+9=9$

$|W|<W_{\mathrm{crit}(\alpha =0.05,9\text{, দ্বিমুখী})}=15$

$\therefore H_0\text{ প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থ}$ যে জোড়াবদ্ধ পার্থক্যের মধ্যক শূন্য থেকে ভিন্ন।

এই ফলাফলের জন্য $p$-মান হলো $0.6113$

প্রভাবের আকার (Effect size)

মূল নিবন্ধ: Mann–Whitney_U_test#Rank-biserial_correlation

সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্টের জন্য একটি effect size গণনা করতে, কেউ র‍্যাঙ্ক-বাইসিরিয়াল কোরিলেশন ব্যবহার করতে পারে।

যদি টেস্ট পরিসংখ্যান T রিপোর্ট করা হয়, তবে র‍্যাঙ্ক কোরিলেশন r হবে টেস্ট পরিসংখ্যান T-কে মোট র‍্যাঙ্ক সাম S দ্বারা ভাগ করলে যা পাওয়া যায়, অর্থাৎ r = T/S। উপরের উদাহরণটি ব্যবহার করলে, টেস্ট পরিসংখ্যান T = 9। ৯-এর নমুনা আকারের মোট র‍্যাঙ্ক সাম S = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 45। সুতরাং, র‍্যাঙ্ক কোরিলেশন হলো 9/45, অর্থাৎ r = 0.20।

যদি টেস্ট পরিসংখ্যান T রিপোর্ট করা হয়, তবে র‍্যাঙ্ক কোরিলেশন গণনা করার একটি সমতুল্য উপায় হলো দুটি র‍্যাঙ্ক সামের অনুপাতের পার্থক্য ব্যবহার করা, যা কার্বি (২০১৪)-এর সাধারণ পার্থক্য সূত্র। বর্তমান উদাহরণটি চালিয়ে যেতে, নমুনা আকার ৯, তাই মোট র‍্যাঙ্ক সাম ৪৫। T হলো দুটি র‍্যাঙ্ক সামের মধ্যে ছোটটি, তাই T = 3 + 4 + 5 + 6 = 18। শুধুমাত্র এই তথ্য থেকে, অবশিষ্ট র‍্যাঙ্ক সাম গণনা করা যেতে পারে, কারণ এটি মোট সমষ্টি S থেকে T বিয়োগ করলে পাওয়া যায়, অর্থাৎ এই ক্ষেত্রে 45 − 18 = 27। পরিশেষে, দুটি র‍্যাঙ্ক-সাম অনুপাত হলো 27/45 = 60% এবং 18/45 = 40%। সবশেষে, র‍্যাঙ্ক কোরিলেশন হলো দুটি অনুপাতের পার্থক্য (.60 বিয়োগ .40), অর্থাৎ r = .20।

সফটওয়্যার ইমপ্লিমেন্টেশন

• R-এ এই টেস্টের ইমপ্লিমেন্টেশন রয়েছে 2=r হিসেবে, যেখানে x এবং y সমান দৈর্ঘ্যের ভেক্টর।
• ALGLIB-এ C++, C#, Delphi, Visual Basic ইত্যাদিতে উইলকক্সন সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্টের ইমপ্লিমেন্টেশন রয়েছে।
• GNU Octave-এ wilcoxon_test ফাংশনে টেস্টটির বিভিন্ন একমুখী এবং দ্বিমুখী সংস্করণ ইমপ্লিমেন্ট করা হয়েছে।
• SciPy-তে পাইথনে উইলকক্সন সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্টের ইমপ্লিমেন্টেশন রয়েছে।
• Accord.NET-এ .NET অ্যাপ্লিকেশনের জন্য C#-এ উইলকক্সন সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্টের ইমপ্লিমেন্টেশন রয়েছে।
• MATLAB-এ এই টেস্টটি "Wilcoxon rank sum test" হিসেবে 1=[p,h] = signrank(x,y) দ্বারা ইমপ্লিমেন্ট করা হয়েছে, যা টেস্টের সিদ্ধান্তের নির্দেশক একটি লজিক্যাল মানও প্রদান করে। h = 1 ফলাফলটি নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান নির্দেশ করে এবং h = 0 ফলাফলটি ৫% তাৎপর্য স্তরে নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থতা নির্দেশ করে।
• Julia HypothesisTests প্যাকেজে উইলকক্সন সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্টটি 1=value(SignedRankTest(x, y)) হিসেবে রয়েছে।
• SAS PROC UNIVARIATE-এ "Tests for Location" শিরোনামের ফ্রেমে "Signed Rank" হিসেবে উইলকক্সন-সাইনড র‍্যাঙ্ক টেস্ট অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। যদিও এই পদ্ধতিটি W-পরিসংখ্যানের পরিবর্তে একটি S-পরিসংখ্যান গণনা করে, তবুও প্রাপ্ত p-মানটি এই টেস্টের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। এছাড়াও PROC NPAR1WAY সহ SAS-এ অনেক নন-প্যারামেট্রিক টেস্ট রয়েছে এবং এটি একটি বেইজিয়ান MCMC পদ্ধতি ব্যবহার করে সঠিক টেস্টও প্রদান করে।
  • SAS ডকুমেন্টেশন

আরও দেখুন

• ম্যান-হুইটনি-উইলকক্সন টেস্ট
• Sign test

বহিঃসংযোগ

• R-এ উইলকক্সন সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্ট
• উইলকক্সন সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্ট ব্যবহারের উদাহরণ
• টেস্টটির একটি অনলাইন সংস্করণ
• উইলকক্সন সাইনড-র‍্যাঙ্ক টেস্টের জন্য ক্রিটিক্যাল ভ্যালুর একটি সারণী
• পরীক্ষামূলক মনোবিজ্ঞানী কার্ল এল. উইনশ-এর সংক্ষিপ্ত নির্দেশিকা সংরক্ষিত সংস্করণ – নন-প্যারামেট্রিক ইফেক্ট সাইজ এস্টিমেটর (কপিরাইট ২০১৫ কার্ল এল. উইনশ)
• Kerby, D. S. (2014). The simple difference formula: An approach to teaching nonparametric correlation. Comprehensive Psychology, volume 3, article 1. doi:10.2466/11.IT.3.1. নিবন্ধের লিঙ্ক

inference

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Wilcoxon signed-rank test” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Wilcoxon_signed-rank_test এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।