ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণ

ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণ (ANOVA বা Analysis of variance) হলো পরিসংখ্যানগত পদ্ধতির একটি পরিবার, যা ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণের মাধ্যমে দুই বা ততোধিক দলের গড় তুলনা করতে ব্যবহৃত হয়। সুনির্দিষ্টভাবে, ANOVA প্রতিটি দলের ভেতরে থাকা ভেদাঙ্কের পরিমাণের সাথে দলগুলোর মাঝের ভেদাঙ্কের পরিমাণের তুলনা করে। যদি দলগুলোর মাঝের ভেদাঙ্ক, দলগুলোর ভেতরের ভেদাঙ্কের তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে বেশি হয়, তবে এটি নির্দেশ করে যে দলগুলোর গড় সম্ভবত ভিন্ন। এই তুলনাটি একটি F-পরীক্ষা ব্যবহার করে করা হয়। ANOVA-এর অন্তর্নিহিত নীতিটি মোট ভেদাঙ্কের সূত্রের ওপর ভিত্তি করে প্রতিষ্ঠিত, যা বলে যে একটি ডেটাসেটের মোট ভেদাঙ্ককে বিভিন্ন উৎসের কারণে সৃষ্ট উপাদানগুলোতে বিভক্ত করা যায়। ANOVA-এর ক্ষেত্রে, এই উৎসগুলো হলো দলগুলোর মধ্যবর্তী ভেদাঙ্ক এবং দলগুলোর অভ্যন্তরীণ ভেদাঙ্ক।

ANOVA-এর উদ্ভাবন করেছিলেন পরিসংখ্যানবিদ রোনাল্ড ফিশার। এর সবচেয়ে সহজ রূপে, এটি দুই বা ততোধিক পপুলেশন গড় সমান কি না, তার একটি পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা প্রদান করে এবং তাই এটি দুইটির বেশি গড়ের ক্ষেত্রে t-পরীক্ষার একটি সাধারণীকরণ।

ইতিহাস

যদিও ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণ বিংশ শতাব্দীতে পূর্ণতা লাভ করে, স্টিগলারের মতে এর পূর্বসূরিরা কয়েক শতাব্দী আগে থেকেই বিদ্যমান ছিল। এর মধ্যে রয়েছে হাইপোথিসিস টেস্টিং, বর্গের সমষ্টির বিভাজন (partitioning of sums of squares), পরীক্ষামূলক কৌশল এবং অ্যাডিটিভ মডেল। লাপ্লাস ১৭৭০-এর দশকে হাইপোথিসিস টেস্টিং করছিলেন। ১৮০০ সালের দিকে, লাপ্লাস এবং গাউস পর্যবেক্ষণগুলো একত্রিত করার জন্য লিস্ট-স্কয়ার পদ্ধতি (least-squares method) তৈরি করেছিলেন, যা জ্যোতির্বিদ্যা এবং জিওডেসি-তে ব্যবহৃত তৎকালীন পদ্ধতিগুলোর উন্নতি ঘটিয়েছিল। এটি বর্গের সমষ্টিতে অবদানের ওপর অনেক গবেষণার সূচনাও করেছিল। লাপ্লাস জানতেন কীভাবে একটি রেসিডুয়াল (মোটের পরিবর্তে) বর্গের সমষ্টি থেকে ভেদাঙ্ক অনুমান করতে হয়। ১৮২৭ সালের মধ্যে, লাপ্লাস বায়ুমণ্ডলীয় জোয়ার-ভাটা পরিমাপ সংক্রান্ত ANOVA সমস্যাগুলো সমাধানের জন্য লিস্ট স্কয়ার পদ্ধতি ব্যবহার করছিলেন। ১৮০০ সালের আগে, জ্যোতির্বিজ্ঞানীরা প্রতিক্রিয়া সময়ের ("personal equation") ফলে সৃষ্ট পর্যবেক্ষণমূলক ত্রুটিগুলো আলাদা করেছিলেন এবং ত্রুটি কমানোর পদ্ধতি তৈরি করেছিলেন। ব্যক্তিগত সমীকরণের গবেষণায় ব্যবহৃত পরীক্ষামূলক পদ্ধতিগুলো পরবর্তীতে মনোবিজ্ঞানের উদীয়মান ক্ষেত্রে গৃহীত হয়, যা শক্তিশালী (ফুল ফ্যাক্টোরিয়াল) পরীক্ষামূলক পদ্ধতি তৈরি করে, যার সাথে শীঘ্রই র‍্যান্ডমাইজেশন এবং ব্লাইন্ডিং যুক্ত করা হয়। ১৮৮৫ সালে অ্যাডিটিভ ইফেক্টস মডেলের একটি চমৎকার গাণিতিক-বহির্ভূত ব্যাখ্যা উপলব্ধ ছিল।

রোনাল্ড ফিশার ১৯১৮ সালে তাত্ত্বিক পপুলেশন জেনেটিক্সের ওপর একটি নিবন্ধে ভেদাঙ্ক শব্দটি প্রবর্তন করেন এবং এর আনুষ্ঠানিক বিশ্লেষণের প্রস্তাব দেন, যার শিরোনাম ছিল The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance। ডেটা বিশ্লেষণে ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণের তার প্রথম প্রয়োগ ১৯২১ সালে প্রকাশিত হয়, যার শিরোনাম ছিল Studies in Crop Variation I। এটি একটি টাইম সিরিজের ভেদাঙ্ককে বার্ষিক কারণ এবং ধীর অবনতি নির্দেশকারী উপাদানগুলোতে বিভক্ত করেছিল। ফিশারের পরবর্তী কাজ, Studies in Crop Variation II, যা উইনিফ্রেড ম্যাকেঞ্জির সাথে লেখা এবং ১৯২৩ সালে প্রকাশিত হয়েছিল, বিভিন্ন জাতের বপন করা এবং বিভিন্ন সার প্রয়োগ করা প্লটগুলোর ফলনের ভেদাঙ্ক অধ্যয়ন করেছিল। ফিশারের ১৯২৫ সালের বই Statistical Methods for Research Workers-এ অন্তর্ভুক্ত হওয়ার পর ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণ ব্যাপকভাবে পরিচিতি পায়।

র‍্যান্ডমাইজেশন মডেলগুলো বেশ কয়েকজন গবেষক তৈরি করেছিলেন। প্রথমটি ১৯২৩ সালে জেরি নেইম্যান পোলিশ ভাষায় প্রকাশ করেছিলেন।

উদাহরণ

কোনো মিল নেই: তরুণ বনাম বৃদ্ধ, এবং ছোট চুল বনাম লম্বা চুল

মোটামুটি মিল: পোষা প্রাণী বনাম কর্মক্ষম জাত এবং কম অ্যাথলেটিক বনাম বেশি অ্যাথলেটিক

খুব ভালো মিল: জাত অনুযায়ী ওজন

ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণ চলকগুলোর মধ্যে জটিল সম্পর্ক বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হতে পারে। একটি ডগ শো এর একটি উদাহরণ প্রদান করে। একটি ডগ শো জাতের র‍্যান্ডম স্যাম্পলিং নয়: এটি সাধারণত প্রাপ্তবয়স্ক, বিশুদ্ধ জাতের এবং আদর্শ কুকুরগুলোর মধ্যে সীমাবদ্ধ। একটি শো থেকে কুকুরের ওজনের হিস্টোগ্রাম বেশ জটিল হওয়ার সম্ভাবনা থাকে, যেমনটি চিত্রে হলুদ-কমলা বিন্যাসে দেখানো হয়েছে। ধরুন আমরা প্রতিটি কুকুরের নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের ওপর ভিত্তি করে কুকুরের ওজন অনুমান করতে চাই। এটি করার একটি উপায় হলো সেই বৈশিষ্ট্যগুলোর ওপর ভিত্তি করে কুকুরের পপুলেশনকে দলে বিভক্ত করে ওজনের বিন্যাসকে 'ব্যাখ্যা' করা। একটি সফল গ্রুপিং কুকুরগুলোকে এমনভাবে বিভক্ত করবে যে (ক) প্রতিটি দলের কুকুরের ওজনের ভেদাঙ্ক কম (অর্থাৎ দলটি তুলনামূলকভাবে সমজাতীয়) এবং (খ) প্রতিটি দলের গড় আলাদা (যদি দুটি দলের গড় একই হয়, তবে এটি উপসংহারে আসা যুক্তিসঙ্গত নয় যে দলগুলো প্রকৃতপক্ষে আলাদা)।

ডানদিকের চিত্রগুলোতে, দলগুলোকে X₁, X₂ ইত্যাদি হিসেবে চিহ্নিত করা হয়েছে। প্রথম চিত্রে, কুকুরগুলোকে দুটি বাইনারি গ্রুপিংয়ের গুণফল (ইন্টারঅ্যাকশন) অনুযায়ী বিভক্ত করা হয়েছে: তরুণ বনাম বৃদ্ধ, এবং ছোট চুল বনাম লম্বা চুল (যেমন, গ্রুপ ১ হলো তরুণ, ছোট চুলের কুকুর, গ্রুপ ২ হলো তরুণ, লম্বা চুলের কুকুর ইত্যাদি)। যেহেতু প্রতিটি দলের মধ্যে কুকুরের ওজনের বিন্যাসের (নীল রঙে দেখানো) ভেদাঙ্ক তুলনামূলকভাবে বেশি, এবং যেহেতু দলগুলোর মধ্যে গড় খুব একই রকম, তাই এই বৈশিষ্ট্যগুলো দ্বারা কুকুরগুলোকে গ্রুপিং করা কুকুরের ওজনের ভেদাঙ্ক ব্যাখ্যা করার কার্যকর উপায় তৈরি করে না: একটি কুকুর কোন দলে আছে তা জানা আমাদের তার ওজন অনুমান করতে সাহায্য করে না, কেবল এটি জানার চেয়ে যে কুকুরটি একটি ডগ শো-তে আছে। সুতরাং, এই গ্রুপিং সামগ্রিক বিন্যাসের (হলুদ-কমলা) ভেদাঙ্ক ব্যাখ্যা করতে ব্যর্থ হয়।

কুকুরগুলোকে 'পোষা প্রাণী বনাম কর্মক্ষম জাত' এবং 'কম অ্যাথলেটিক বনাম বেশি অ্যাথলেটিক' হিসেবে গ্রুপিং করে ওজনের বিন্যাস ব্যাখ্যা করার চেষ্টা সম্ভবত কিছুটা বেশি সফল হবে (মোটামুটি মিল)। সবচেয়ে ভারী শো কুকুরগুলো সম্ভবত বড়, শক্তিশালী, কর্মক্ষম জাতের হবে, যেখানে পোষা প্রাণী হিসেবে রাখা জাতগুলো ছোট এবং তাই হালকা হওয়ার প্রবণতা থাকে। দ্বিতীয় চিত্র দ্বারা দেখানো হয়েছে, বিন্যাসগুলোর ভেদাঙ্ক প্রথম ক্ষেত্রের তুলনায় অনেক কম এবং গড়গুলো আরও আলাদা করা যায়। যাইহোক, বিন্যাসগুলোর উল্লেখযোগ্য ওভারল্যাপের অর্থ হলো, উদাহরণস্বরূপ, আমরা X₁ এবং X₂-কে নির্ভরযোগ্যভাবে আলাদা করতে পারি না। কয়েন ফ্লিপ অনুযায়ী কুকুরদের গ্রুপিং করলে এমন বিন্যাস তৈরি হতে পারে যা দেখতে একই রকম।

জাত অনুযায়ী ওজন ব্যাখ্যা করার চেষ্টা খুব ভালো মিল তৈরি করার সম্ভাবনা রাখে। সব চিহুয়াহুয়া হালকা এবং সব সেন্ট বার্নার্ড ভারী। সেটার এবং পয়েন্টারের ওজনের পার্থক্য আলাদা জাতের দাবি রাখে না। ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণ এই স্বজ্ঞাত বিচারগুলোকে সমর্থন করার জন্য আনুষ্ঠানিক সরঞ্জাম সরবরাহ করে। পদ্ধতির একটি সাধারণ ব্যবহার হলো পরীক্ষামূলক ডেটা বিশ্লেষণ বা মডেল তৈরি করা। কোরিলেশনের তুলনায় এই পদ্ধতির কিছু সুবিধা রয়েছে: সব ডেটা সংখ্যাসূচক হতে হবে এমন নয় এবং পদ্ধতির একটি ফলাফল হলো একটি ব্যাখ্যামূলক সম্পর্কের আত্মবিশ্বাসের বিচার।

মডেলের শ্রেণিবিভাগ

ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণে ব্যবহৃত মডেলের তিনটি শ্রেণি রয়েছে এবং সেগুলো এখানে উল্লেখ করা হলো।

ফিক্সড-ইফেক্টস মডেল

মূল নিবন্ধ: Fixed effects model ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণের ফিক্সড-ইফেক্টস মডেল (শ্রেণি I) এমন পরিস্থিতিতে প্রযোজ্য যেখানে পরীক্ষক পরীক্ষার বিষয়গুলোর ওপর এক বা একাধিক চিকিৎসা (treatments) প্রয়োগ করেন এটা দেখার জন্য যে রেসপন্স ভেরিয়েবলের মান পরিবর্তিত হয় কি না। এটি পরীক্ষককে রেসপন্স ভেরিয়েবলের মানের পরিসীমা অনুমান করতে দেয় যা চিকিৎসাটি সামগ্রিকভাবে পপুলেশনে তৈরি করবে।

ফিক্সড ইফেক্টস বনাম র‍্যান্ডম ইফেক্টস

র‍্যান্ডম-ইফেক্টস মডেল

মূল নিবন্ধ: Random effects model র‍্যান্ডম-ইফেক্টস মডেল (শ্রেণি II) তখন ব্যবহৃত হয় যখন চিকিৎসাগুলো নির্দিষ্ট (fixed) নয়। এটি ঘটে যখন বিভিন্ন ফ্যাক্টর লেভেল একটি বৃহত্তর পপুলেশন থেকে নমুনা হিসেবে নেওয়া হয়। যেহেতু লেভেলগুলো নিজেরাই র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল, তাই কিছু অনুমান এবং চিকিৎসাগুলোর বৈপরীত্যের পদ্ধতি (সাধারণ পার্থক্যের একটি বহু-চলকীয় সাধারণীকরণ) ফিক্সড-ইফেক্টস মডেল থেকে আলাদা।

মিক্সড-ইফেক্টস মডেল

মূল নিবন্ধ: Mixed model একটি মিক্সড-ইফেক্টস মডেলে (শ্রেণি III) ফিক্সড এবং র‍্যান্ডম-ইফেক্টস উভয় ধরনের পরীক্ষামূলক ফ্যাক্টর থাকে, যার দুটি ধরনের জন্য যথাযথভাবে ভিন্ন ব্যাখ্যা এবং বিশ্লেষণ থাকে।

উদাহরণ

একটি কলেজ বা বিশ্ববিদ্যালয়ের বিভাগ একটি ভালো প্রাথমিক পাঠ্যপুস্তক খুঁজে বের করার জন্য শিক্ষণ পরীক্ষা চালাতে পারে, যেখানে প্রতিটি পাঠ্যকে একটি চিকিৎসা হিসেবে বিবেচনা করা হয়। ফিক্সড-ইফেক্টস মডেল সম্ভাব্য পাঠ্যগুলোর একটি তালিকার তুলনা করবে। র‍্যান্ডম-ইফেক্টস মডেল নির্ধারণ করবে যে র‍্যান্ডমভাবে নির্বাচিত পাঠ্যগুলোর তালিকার মধ্যে গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য বিদ্যমান কি না। মিক্সড-ইফেক্টস মডেল (ফিক্সড) বর্তমান পাঠ্যগুলোর সাথে র‍্যান্ডমভাবে নির্বাচিত বিকল্পগুলোর তুলনা করবে।

ফিক্সড এবং র‍্যান্ডম ইফেক্টস সংজ্ঞায়িত করা কঠিন প্রমাণিত হয়েছে, যার একাধিক প্রতিদ্বন্দ্বী সংজ্ঞা রয়েছে।

অনুমানসমূহ

ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণ বেশ কয়েকটি দৃষ্টিভঙ্গি থেকে অধ্যয়ন করা হয়েছে, যার মধ্যে সবচেয়ে সাধারণটি একটি লিনিয়ার মডেল ব্যবহার করে যা রেসপন্সকে চিকিৎসা এবং ব্লকের সাথে সম্পর্কিত করে। মনে রাখবেন যে মডেলটি প্যারামিটারে লিনিয়ার কিন্তু ফ্যাক্টর লেভেল জুড়ে নন-লিনিয়ার হতে পারে। ডেটা ফ্যাক্টর জুড়ে ভারসাম্যপূর্ণ হলে ব্যাখ্যা সহজ হয় তবে ভারসাম্যহীন ডেটার জন্য অনেক গভীর বোঝার প্রয়োজন।

নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহার করে পাঠ্যপুস্তক বিশ্লেষণ

ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণকে একটি লিনিয়ার মডেলের পরিপ্রেক্ষিতে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যা রেসপন্সের সম্ভাব্যতা বিন্যাস সম্পর্কে নিম্নলিখিত অনুমানগুলো করে:

• পর্যবেক্ষণের স্বাধীনতা – এটি মডেলের একটি অনুমান যা পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণকে সহজ করে।
• নরমালিটি – রেসিডুয়ালগুলোর বিন্যাস নরমাল।
• ভেদাঙ্কের সমতা (বা "সমজাতীয়তা"), যাকে হোমোসেডাস্টিসিটি বলা হয়—দলগুলোর ডেটার ভেদাঙ্ক একই হওয়া উচিত।

পাঠ্যপুস্তক মডেলের পৃথক অনুমানগুলো বোঝায় যে ফিক্সড ইফেক্টস মডেলের জন্য ত্রুটিগুলো স্বাধীনভাবে, একইভাবে এবং নরমালভাবে বিন্যস্ত, অর্থাৎ, ত্রুটিগুলো ($\epsilon$) স্বাধীন এবং Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \varepsilon \thicksim N(0, \sigma^2)।}

র‍্যান্ডমাইজেশন-ভিত্তিক বিশ্লেষণ

আরও দেখুন: Random assignment, Randomization test একটি র‍্যান্ডমাইজড কন্ট্রোলড পরীক্ষায়, পরীক্ষামূলক প্রোটোকল অনুসরণ করে চিকিৎসাগুলো পরীক্ষামূলক ইউনিটগুলোতে র‍্যান্ডমভাবে বরাদ্দ করা হয়। এই র‍্যান্ডমাইজেশন বস্তুনিষ্ঠ এবং পরীক্ষাটি সম্পন্ন হওয়ার আগেই ঘোষণা করা হয়। বস্তুনিষ্ঠ র‍্যান্ডম-অ্যাসাইনমেন্ট নাল হাইপোথিসিসের তাৎপর্য পরীক্ষা করতে ব্যবহৃত হয়, যা সি. এস. পিয়ার্স এবং রোনাল্ড ফিশারের ধারণাকে অনুসরণ করে। এই ডিজাইন-ভিত্তিক বিশ্লেষণটি রথামস্টেড এক্সপেরিমেন্টাল স্টেশনে ফ্রান্সিস জে. অ্যান্সকোম্ব এবং আইওয়া স্টেট ইউনিভার্সিটিতে অস্কার কেম্পথর্ন দ্বারা আলোচিত ও বিকশিত হয়েছিল। কেম্পথর্ন এবং তার ছাত্ররা 'ইউনিট ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটি'-এর একটি অনুমান করেন, যা কেম্পথর্ন এবং ডেভিড আর. কক্সের বইগুলোতে আলোচিত হয়েছে।

ইউনিট-ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটি

এর সবচেয়ে সহজ রূপে, ইউনিট-ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটির অনুমান বলে যে চিকিৎসা $j$ গ্রহণ করার সময় পরীক্ষামূলক ইউনিট $i$ থেকে প্রাপ্ত পর্যবেক্ষণকৃত রেসপন্স $y_{i,j}$-কে ইউনিটের রেসপন্স $y_i$ এবং চিকিৎসা-প্রভাব $t_j$-এর যোগফল হিসেবে লেখা যেতে পারে, অর্থাৎ Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y_{i,j}=y_i+t_j।} ইউনিট-ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটির অনুমান বোঝায় যে, প্রতিটি চিকিৎসা $j$-এর জন্য, $j$-তম চিকিৎসার প্রতিটি পরীক্ষামূলক ইউনিটে ঠিক একই প্রভাব $t_j$ থাকে।

কক্স এবং কেম্পথর্নের মতে, ইউনিট ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটির অনুমান সাধারণত সরাসরি মিথ্যা প্রমাণ করা যায় না। যাইহোক, চিকিৎসা-ইউনিট অ্যাডিটিভিটির অনেক 'ফলাফল' মিথ্যা প্রমাণ করা যেতে পারে। একটি র‍্যান্ডমাইজড পরীক্ষার জন্য, ইউনিট-ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটির অনুমান 'বোঝায়' যে ভেদাঙ্ক সব চিকিৎসার জন্য ধ্রুবক। অতএব, কনট্রাপোজিশন দ্বারা, ইউনিট-ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটির একটি প্রয়োজনীয় শর্ত হলো ভেদাঙ্ক ধ্রুবক।

ইউনিট ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটি এবং র‍্যান্ডমাইজেশনের ব্যবহার ডিজাইন-ভিত্তিক ইনফারেন্সের অনুরূপ যা সসীম-পপুলেশন সার্ভে স্যাম্পলিংয়ে আদর্শ।

ডিরাইভড লিনিয়ার মডেল

কেম্পথর্ন একটি 'ডিরাইভড লিনিয়ার মডেল' তৈরি করতে র‍্যান্ডমাইজেশন-ডিস্ট্রিবিউশন এবং 'ইউনিট ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটি'-এর অনুমান ব্যবহার করেন, যা পূর্বে আলোচিত পাঠ্যপুস্তক মডেলের খুব অনুরূপ। এই ডিরাইভড লিনিয়ার মডেলের টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকগুলো যথাযথ নরমাল লিনিয়ার মডেলের টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক দ্বারা ঘনিষ্ঠভাবে আনুমানিক হয়, যা অ্যাপ্রক্সিমেশন থিওরেম এবং সিমুলেশন স্টাডি অনুযায়ী। যাইহোক, পার্থক্য আছে। উদাহরণস্বরূপ, র‍্যান্ডমাইজেশন-ভিত্তিক বিশ্লেষণের ফলে পর্যবেক্ষণগুলোর মধ্যে একটি ছোট কিন্তু (কঠোরভাবে) নেতিবাচক কোরিলেশন দেখা দেয়। র‍্যান্ডমাইজেশন-ভিত্তিক বিশ্লেষণে 'নরমাল' বিন্যাসের 'কোনো অনুমান' নেই এবং অবশ্যই 'স্বাধীনতার' 'কোনো অনুমান' নেই। বিপরীতে, 'পর্যবেক্ষণগুলো নির্ভরশীল'!

র‍্যান্ডমাইজেশন-ভিত্তিক বিশ্লেষণের অসুবিধা হলো এর ব্যাখ্যায় ক্লান্তিকর বীজগণিত এবং প্রচুর সময় জড়িত। যেহেতু র‍্যান্ডমাইজেশন-ভিত্তিক বিশ্লেষণ জটিল এবং নরমাল লিনিয়ার মডেল ব্যবহার করে পদ্ধতির দ্বারা ঘনিষ্ঠভাবে আনুমানিক হয়, তাই বেশিরভাগ শিক্ষক নরমাল লিনিয়ার মডেলের পদ্ধতির ওপর জোর দেন। খুব কম পরিসংখ্যানবিদ ভারসাম্যপূর্ণ র‍্যান্ডমাইজড পরীক্ষার মডেল-ভিত্তিক বিশ্লেষণের বিরোধিতা করেন।

পর্যবেক্ষণমূলক ডেটার জন্য পরিসংখ্যানগত মডেল

যাইহোক, যখন র‍্যান্ডমাইজড নয় এমন পরীক্ষা বা পর্যবেক্ষণমূলক অধ্যয়ন থেকে ডেটার ওপর প্রয়োগ করা হয়, তখন মডেল-ভিত্তিক বিশ্লেষণে র‍্যান্ডমাইজেশনের ওয়ারেন্ট থাকে না। পর্যবেক্ষণমূলক ডেটার জন্য, কনফিডেন্স ইন্টারভ্যালগুলোর ডেরিভেশনে 'বিষয়ী' (subjective) মডেল ব্যবহার করতে হবে, যেমনটি রোনাল্ড ফিশার এবং তার অনুসারীরা জোর দিয়েছিলেন। বাস্তবে, পর্যবেক্ষণমূলক অধ্যয়ন থেকে চিকিৎসা-প্রভাবের অনুমানগুলো সাধারণত প্রায়শই অসামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। বাস্তবে, "পরিসংখ্যানগত মডেল" এবং পর্যবেক্ষণমূলক ডেটা এমন হাইপোথিসিস প্রস্তাব করার জন্য দরকারী যা জনসাধারণের দ্বারা খুব সতর্কতার সাথে বিবেচনা করা উচিত।

অনুমানগুলোর সারাংশ

আরও দেখুন: Shapiro–Wilk test, Bartlett's test, Levene's test নরমাল-মডেল ভিত্তিক ANOVA বিশ্লেষণ রেসিডুয়ালগুলোর স্বাধীনতা, নরমালিটি এবং ভেদাঙ্কের সমজাতীয়তা অনুমান করে। র‍্যান্ডমাইজেশন-ভিত্তিক বিশ্লেষণ কেবল রেসিডুয়ালগুলোর ভেদাঙ্কের সমজাতীয়তা অনুমান করে (ইউনিট-ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটির ফলাফল হিসেবে) এবং পরীক্ষার র‍্যান্ডমাইজেশন পদ্ধতি ব্যবহার করে। এই উভয় বিশ্লেষণের জন্যই হোমোসেডাস্টিসিটি প্রয়োজন, নরমাল-মডেল বিশ্লেষণের জন্য একটি অনুমান হিসেবে এবং র‍্যান্ডমাইজেশন-ভিত্তিক বিশ্লেষণের জন্য র‍্যান্ডমাইজেশন ও অ্যাডিটিভিটির ফলাফল হিসেবে।

যাইহোক, যে প্রক্রিয়াগুলো গড় নয় বরং ভেদাঙ্ক পরিবর্তন করে (যাকে ডিসপারশন ইফেক্ট বলা হয়), সেগুলোর অধ্যয়ন ANOVA ব্যবহার করে সফলভাবে পরিচালিত হয়েছে। ANOVA-এর পূর্ণ সাধারণত্বে এর জন্য 'কোনো' প্রয়োজনীয় অনুমান নেই, তবে ANOVA হাইপোথিসিস টেস্টিংয়ের জন্য ব্যবহৃত 'F'-পরীক্ষার অনুমান এবং ব্যবহারিক সীমাবদ্ধতা রয়েছে যা ক্রমাগত আগ্রহের বিষয়।

যে সমস্যাগুলো ANOVA-এর অনুমানগুলো পূরণ করে না, সেগুলো প্রায়শই অনুমানগুলো পূরণ করার জন্য রূপান্তরিত করা যেতে পারে। ইউনিট-ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটির বৈশিষ্ট্য "স্কেল পরিবর্তন"-এর অধীনে ইনভ্যারিয়েন্ট নয়, তাই পরিসংখ্যানবিদরা প্রায়শই ইউনিট-ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটি অর্জনের জন্য রূপান্তর ব্যবহার করেন। যদি রেসপন্স ভেরিয়েবলটি সম্ভাব্যতা বিন্যাসের একটি প্যারামেট্রিক পরিবার অনুসরণ করবে বলে আশা করা হয়, তবে পরিসংখ্যানবিদ (পরীক্ষা বা পর্যবেক্ষণমূলক অধ্যয়নের প্রোটোকলে) নির্দিষ্ট করতে পারেন যে রেসপন্সগুলোকে ভেদাঙ্ক স্থিতিশীল করার জন্য রূপান্তরিত করা হবে। এছাড়াও, একজন পরিসংখ্যানবিদ নির্দিষ্ট করতে পারেন যে লগারিদমিক রূপান্তরগুলো সেই রেসপন্সগুলোর ওপর প্রয়োগ করা হবে যা একটি মাল্টিপ্লিকেটিভ মডেল অনুসরণ করে বলে মনে করা হয়। কোশির ফাংশনাল ইকুয়েশন উপপাদ্য অনুযায়ী, লগারিদম হলো একমাত্র অবিচ্ছিন্ন রূপান্তর যা বাস্তব সংখ্যার ওপর গুণন অপারেশনগুলোকে যোগ অপারেশনগুলোর সাথে সম্পর্কিত করে।

বৈশিষ্ট্যাবলী

ANOVA তুলনামূলক পরীক্ষার বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়, যেখানে কেবল ফলাফলের পার্থক্যই আগ্রহের বিষয়। পরীক্ষার পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য দুটি ভেদাঙ্কের অনুপাত দ্বারা নির্ধারিত হয়। এই অনুপাতটি পরীক্ষামূলক পর্যবেক্ষণগুলোর বেশ কয়েকটি সম্ভাব্য পরিবর্তনের থেকে স্বাধীন: সব পর্যবেক্ষণে একটি ধ্রুবক যোগ করলে তাৎপর্য পরিবর্তিত হয় না। সব পর্যবেক্ষণকে একটি ধ্রুবক দ্বারা গুণ করলে তাৎপর্য পরিবর্তিত হয় না। তাই ANOVA পরিসংখ্যানগত তাৎপর্যের ফলাফল ধ্রুবক পক্ষপাত এবং স্কেলিং ত্রুটির পাশাপাশি পর্যবেক্ষণ প্রকাশের জন্য ব্যবহৃত একক থেকে স্বাধীন। যান্ত্রিক গণনার যুগে ডেটা এন্ট্রি সহজ করার জন্য সব পর্যবেক্ষণ থেকে একটি ধ্রুবক বিয়োগ করা (যখন এটি লিডিং ডিজিট বাদ দেওয়ার সমতুল্য হয়) সাধারণ ছিল। এটি ডেটা কোডিংয়ের একটি উদাহরণ।

অ্যালগরিদম

ANOVA-এর গণনাগুলোকে বেশ কয়েকটি গড় এবং ভেদাঙ্ক গণনা করা, দুটি ভেদাঙ্ক ভাগ করা এবং পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য নির্ধারণের জন্য অনুপাতটিকে একটি হ্যান্ডবুক মানের সাথে তুলনা করা হিসেবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। একটি চিকিৎসা প্রভাব গণনা করা তখন তুচ্ছ: "যেকোনো চিকিৎসার প্রভাব অনুমান করা হয় সেই পর্যবেক্ষণগুলোর গড়ের পার্থক্য নিয়ে যা চিকিৎসাটি গ্রহণ করে এবং সাধারণ গড়"।

বর্গের সমষ্টির বিভাজন

মূল নিবন্ধ: Partition of sums of squares

এক-ফ্যাক্টর ANOVA টেবিল উদাহরণ আউটপুট ডেটা দেখাচ্ছে

আরও দেখুন: Lack-of-fit sum of squares ANOVA ঐতিহ্যগত মানসম্মত পরিভাষা ব্যবহার করে। নমুনা ভেদাঙ্কের সংজ্ঞামূলক সমীকরণ হলো $s^2=\frac{1}{n-1}\sum _i(y_i-\overline{y}{)}^2$, যেখানে ভাজককে ডিগ্রিস অফ ফ্রিডম (DF) বলা হয়, যোগফলকে বর্গের সমষ্টি (SS) বলা হয়, ফলাফলকে মিন স্কয়ার (MS) বলা হয় এবং বর্গকৃত পদগুলো নমুনা গড় থেকে বিচ্যুতি। ANOVA ৩টি নমুনা ভেদাঙ্ক অনুমান করে: গ্র্যান্ড গড় থেকে সব পর্যবেক্ষণ বিচ্যুতির ওপর ভিত্তি করে একটি মোট ভেদাঙ্ক, তাদের উপযুক্ত চিকিৎসা গড় থেকে সব পর্যবেক্ষণ বিচ্যুতির ওপর ভিত্তি করে একটি ত্রুটি ভেদাঙ্ক, এবং একটি চিকিৎসা ভেদাঙ্ক। চিকিৎসা ভেদাঙ্ক গ্র্যান্ড গড় থেকে চিকিৎসা গড়গুলোর বিচ্যুতির ওপর ভিত্তি করে, ফলাফলটি প্রতিটি চিকিৎসায় পর্যবেক্ষণের সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয় যাতে পর্যবেক্ষণের ভেদাঙ্ক এবং গড়ের ভেদাঙ্কের মধ্যে পার্থক্য হিসাব করা যায়।

মৌলিক কৌশল হলো মোট বর্গের সমষ্টি SS-কে মডেলে ব্যবহৃত প্রভাবগুলোর সাথে সম্পর্কিত উপাদানগুলোতে বিভক্ত করা। উদাহরণস্বরূপ, বিভিন্ন লেভেলে এক ধরনের চিকিৎসা সহ একটি সরলীকৃত ANOVA-এর জন্য মডেল।

$$S{S}_{\text{Total}}=S{S}_{\text{Error}}+S{S}_{\text{Treatments}}$$

ডিগ্রিস অফ ফ্রিডম DF-এর সংখ্যা একইভাবে বিভক্ত করা যেতে পারে: এই উপাদানগুলোর মধ্যে একটি (ত্রুটির জন্য) একটি কাই-স্কয়ার বিন্যাস নির্দিষ্ট করে যা সংশ্লিষ্ট বর্গের সমষ্টি বর্ণনা করে, যখন "চিকিৎসা"-এর ক্ষেত্রেও একই কথা সত্য যদি কোনো চিকিৎসা প্রভাব না থাকে।

$$D{F}_{\text{Total}}=D{F}_{\text{Error}}+D{F}_{\text{Treatments}}$$

F-পরীক্ষা

মূল নিবন্ধ: F-test

এক-মুখী ANOVA-এর পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য পরীক্ষা করার জন্য, আমরা 0.05 আলফা লেভেলে ডিগ্রিস অফ ফ্রিডম ব্যবহার করে F-সম্ভাব্যতা টেবিল দেখি। F-স্ট্যাটিস্টিক গণনা করার পর, আমরা প্রতিটি ডিগ্রিস অফ ফ্রিডমের ছেদবিন্দুতে মানটি তুলনা করি, যা ক্রিটিক্যাল ভ্যালু হিসেবেও পরিচিত। যদি কারো F-স্ট্যাটিস্টিক তাদের ক্রিটিক্যাল ভ্যালুর চেয়ে বড় হয়, তবে আমরা বলতে পারি যে 0.05 আলফা লেভেলে পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য রয়েছে।

F-পরীক্ষা মোট বিচ্যুতির ফ্যাক্টরগুলোর তুলনা করার জন্য ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, এক-মুখী, বা একক-ফ্যাক্টর ANOVA-তে, পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য পরীক্ষা করা হয় F টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক তুলনা করে

$$F=\frac{\text{চিকিৎসার মধ্যবর্তী ভেদাঙ্ক}}{\text{চিকিৎসার অভ্যন্তরীণ ভেদাঙ্ক}}$$ $$F=\frac{M{S}_{\text{Treatments}}}{M{S}_{\text{Error}}}=$$

যেখানে MS হলো মিন স্কয়ার, $I$ হলো চিকিৎসার সংখ্যা এবং $n_T$ হলো F-বিন্যাসের ক্ষেত্রে মোট কেসের সংখ্যা, যেখানে $I-1$ হলো লব ডিগ্রিস অফ ফ্রিডম এবং $n_T-I$ হলো হর ডিগ্রিস অফ ফ্রিডম। F-বিন্যাস ব্যবহার করা একটি স্বাভাবিক প্রার্থী কারণ টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক হলো দুটি স্কেল করা বর্গের সমষ্টির অনুপাত, যার প্রতিটি একটি স্কেল করা কাই-স্কয়ার বিন্যাস অনুসরণ করে।

F-এর প্রত্যাশিত মান হলো $1+n{\sigma }_{\text{Treatment}}^2/{\sigma }_{\text{Error}}^2$ (যেখানে $n$ হলো চিকিৎসা নমুনার আকার) যা কোনো চিকিৎসা প্রভাব না থাকলে ১ হয়। F-এর মান ১-এর উপরে বাড়ার সাথে সাথে, প্রমাণগুলো নাল হাইপোথিসিসের সাথে ক্রমবর্ধমানভাবে অসামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। F বাড়ানোর দুটি আপাত পরীক্ষামূলক পদ্ধতি হলো নমুনার আকার বাড়ানো এবং কঠোর পরীক্ষামূলক নিয়ন্ত্রণ দ্বারা ত্রুটি ভেদাঙ্ক কমানো।

ANOVA হাইপোথিসিস পরীক্ষা শেষ করার দুটি পদ্ধতি রয়েছে, যার উভয়ই একই ফলাফল তৈরি করে:

• পাঠ্যপুস্তক পদ্ধতি হলো F-এর পর্যবেক্ষণকৃত মানকে টেবিল থেকে নির্ধারিত F-এর ক্রিটিক্যাল মানের সাথে তুলনা করা। F-এর ক্রিটিক্যাল মান হলো লব এবং হরের ডিগ্রিস অফ ফ্রিডম এবং তাৎপর্য লেভেলের (α) একটি ফাংশন। যদি F ≥ F_Critical হয়, তবে নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করা হয়।
• কম্পিউটার পদ্ধতি F-এর পর্যবেক্ষণকৃত মানের চেয়ে বড় বা সমান মানের সম্ভাবনা (p-value) গণনা করে। যদি এই সম্ভাবনা তাৎপর্য লেভেলের (α) চেয়ে কম বা সমান হয়, তবে নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করা হয়।

ANOVA F-পরীক্ষাটি মিথ্যা ইতিবাচক ত্রুটির একটি নির্দিষ্ট হারের জন্য মিথ্যা নেতিবাচক ত্রুটি কমানোর অর্থে (অর্থাৎ একটি নির্দিষ্ট তাৎপর্য লেভেলের জন্য শক্তি সর্বাধিক করা) প্রায় সর্বোত্তম হিসেবে পরিচিত। উদাহরণস্বরূপ, এই হাইপোথিসিস পরীক্ষা করার জন্য যে বিভিন্ন চিকিৎসা ঠিক একই প্রভাব ফেলে, F-পরীক্ষার p-মানগুলো পারমুটেশন পরীক্ষার p-মানগুলোর খুব কাছাকাছি: ডিজাইনটি ভারসাম্যপূর্ণ হলে এই আনুমানিকতা বিশেষভাবে কাছাকাছি হয়। এই ধরনের পারমুটেশন পরীক্ষাগুলো সমস্ত বিকল্প হাইপোথিসিসের বিরুদ্ধে সর্বাধিক শক্তির পরীক্ষা চিহ্নিত করে, যেমনটি রোজেনবাউম পর্যবেক্ষণ করেছেন। ANOVA F-পরীক্ষা (নাল-হাইপোথিসিসের যে সব চিকিৎসা ঠিক একই প্রভাব ফেলে) একটি ব্যবহারিক পরীক্ষা হিসেবে সুপারিশ করা হয়, কারণ অনেক বিকল্প বিন্যাসের বিরুদ্ধে এর দৃঢ়তা (robustness) রয়েছে।

প্রসারিত অ্যালগরিদম

ANOVA পৃথকযোগ্য অংশ নিয়ে গঠিত; ভেদাঙ্কের উৎস বিভাজন এবং হাইপোথিসিস টেস্টিং পৃথকভাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। অন্যান্য পরিসংখ্যানগত সরঞ্জামকে সমর্থন করার জন্য ANOVA ব্যবহৃত হয়। ডেটার সাথে আরও জটিল মডেল ফিট করার জন্য প্রথমে রিগ্রেশন ব্যবহার করা হয়, তারপর ডেটাকে পর্যাপ্তভাবে বর্ণনা করে এমন সহজ মডেল নির্বাচনের উদ্দেশ্যে মডেলগুলোর তুলনা করার জন্য ANOVA ব্যবহার করা হয়। "এই ধরনের মডেলগুলো ANOVA-এর কোনো উল্লেখ ছাড়াই ফিট করা যেতে পারে, কিন্তু ফিট করা মডেলগুলোকে বোঝার জন্য এবং সহগগুলোর ব্যাচের ওপর হাইপোথিসিস পরীক্ষা করার জন্য ANOVA সরঞ্জামগুলো ব্যবহার করা যেতে পারে।" "[আ]মরা ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণকে মাল্টিলেভেল মডেলগুলো বোঝার এবং গঠন করার একটি উপায় হিসেবে দেখি—রিগ্রেশনের বিকল্প হিসেবে নয়, বরং জটিল উচ্চ-মাত্রিক অনুমানগুলোকে সংক্ষিপ্ত করার একটি সরঞ্জাম হিসেবে..."

একটি একক ফ্যাক্টরের জন্য

মূল নিবন্ধ: One-way analysis of variance ANOVA বিশ্লেষণের জন্য উপযুক্ত সবচেয়ে সহজ পরীক্ষা হলো একটি একক ফ্যাক্টরসহ সম্পূর্ণ র‍্যান্ডমাইজড পরীক্ষা। একটি একক ফ্যাক্টরসহ আরও জটিল পরীক্ষাগুলোর মধ্যে র‍্যান্ডমাইজেশনের সীমাবদ্ধতা থাকে এবং এর অন্তর্ভুক্ত হলো সম্পূর্ণ র‍্যান্ডমাইজড ব্লক এবং ল্যাটিন স্কোয়ার (এবং এর রূপভেদ: গ্রেকো-ল্যাটিন স্কোয়ার ইত্যাদি)। জটিল পরীক্ষাগুলো একাধিক ফ্যাক্টরের অনেক জটিলতা শেয়ার করে।

প্রথাগত ওয়ান-ওয়ে অ্যানালাইসিস অফ ভ্যারিয়েন্সের কিছু বিকল্প রয়েছে, যেমন: ওয়েলচের হেটেরোস্কেডাসটিক এফ টেস্ট, ট্রিমড মিন এবং উইনসরাইজড ভ্যারিয়েন্সসহ ওয়েলচের হেটেরোস্কেডাসটিক এফ টেস্ট, ব্রাউন-ফরসাইথ টেস্ট, আলেকজান্ডার-গভর্ন টেস্ট, জেমস সেকেন্ড অর্ডার টেস্ট এবং ক্রুস্কাল-ওয়ালিস টেস্ট, যা onewaytests R-এ উপলব্ধ।

প্রতিটি ডেটা পয়েন্টকে নিম্নলিখিত আকারে উপস্থাপন করা দরকারী, যাকে পরিসংখ্যানগত মডেল বলা হয়: $$Y_{ij}=\mu +{\tau }_j+{\epsilon }_{ij}$$ যেখানে

• i = 1, 2, 3, ..., R
• j = 1, 2, 3, ..., C
• μ = সামগ্রিক গড় (mean)
• τ_j = X-এর j স্তরের সাথে যুক্ত ডিফারেনশিয়াল ইফেক্ট (প্রতিক্রিয়া); এটি ধরে নেয় যে সামগ্রিকভাবে τ_j-এর মানগুলোর যোগফল শূন্য (অর্থাৎ, ${\sum }_{j=1}^C{\tau }_j=0$)
• ε_ij = নির্দিষ্ট ij ডেটা মানের সাথে যুক্ত নয়েজ বা ত্রুটি

অর্থাৎ, আমরা একটি অ্যাডিটিভ মডেল কল্পনা করি যা বলে যে প্রতিটি ডেটা পয়েন্টকে তিনটি পরিমাণের যোগফল হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে: প্রকৃত গড়, যা তদন্তাধীন সমস্ত ফ্যাক্টর স্তর জুড়ে গড় করা হয়েছে, তার সাথে নির্দিষ্ট কলামের (ফ্যাক্টর স্তর) সাথে যুক্ত একটি ইনক্রিমেন্টাল উপাদান এবং সেই নির্দিষ্ট ডেটা মানকে প্রভাবিত করে এমন অন্য সবকিছুর সাথে যুক্ত একটি চূড়ান্ত উপাদান।

একাধিক ফ্যাক্টরের জন্য

মূল নিবন্ধ: Two-way analysis of variance ANOVA একাধিক ফ্যাক্টরের প্রভাব অধ্যয়নের ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা হয়। যখন পরীক্ষায় প্রতিটি ফ্যাক্টরের স্তরের সমস্ত সংমিশ্রণে পর্যবেক্ষণ অন্তর্ভুক্ত থাকে, তখন একে ফ্যাক্টোরিয়াল বলা হয়। ফ্যাক্টোরিয়াল পরীক্ষাগুলো একক ফ্যাক্টর পরীক্ষার সিরিজের চেয়ে বেশি দক্ষ এবং ফ্যাক্টরের সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে এই দক্ষতা বৃদ্ধি পায়। ফলস্বরূপ, ফ্যাক্টোরিয়াল ডিজাইন ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

একাধিক ফ্যাক্টরের প্রভাব অধ্যয়নের জন্য ANOVA-এর ব্যবহারে একটি জটিলতা রয়েছে। x, y এবং z ফ্যাক্টরসহ একটি 3-ওয়ে ANOVA-তে, ANOVA মডেলে প্রধান প্রভাবগুলোর (x, y, z) জন্য টার্ম এবং ইন্টারঅ্যাকশনগুলোর (xy, xz, yz, xyz) জন্য টার্ম অন্তর্ভুক্ত থাকে। সমস্ত টার্মের জন্য হাইপোথিসিস টেস্ট প্রয়োজন। ইন্টারঅ্যাকশন টার্মগুলোর আধিক্য এই ঝুঁকি বাড়ায় যে কিছু হাইপোথিসিস টেস্ট দৈবক্রমে ফলস পজিটিভ তৈরি করতে পারে। সৌভাগ্যবশত, অভিজ্ঞতা বলে যে উচ্চতর অর্ডারের ইন্টারঅ্যাকশন বিরল। December 2014 ইন্টারঅ্যাকশন শনাক্ত করার ক্ষমতা একাধিক ফ্যাক্টর ANOVA-এর একটি বড় সুবিধা। একবারে একটি ফ্যাক্টর পরীক্ষা করলে ইন্টারঅ্যাকশনগুলো লুকিয়ে থাকে, কিন্তু আপাতদৃষ্টিতে অসামঞ্জস্যপূর্ণ পরীক্ষামূলক ফলাফল তৈরি করে।

ইন্টারঅ্যাকশনের মুখোমুখি হওয়ার সময় সতর্কতা অবলম্বন করা উচিত; প্রথমে ইন্টারঅ্যাকশন টার্মগুলো পরীক্ষা করুন এবং যদি ইন্টারঅ্যাকশন পাওয়া যায় তবে ANOVA-এর বাইরে বিশ্লেষণ প্রসারিত করুন। ইন্টারঅ্যাকশনের মুখোমুখি হওয়ার পর ANOVA পদ্ধতি চালিয়ে যাওয়ার বিষয়ে সুপারিশের ক্ষেত্রে পাঠ্যগুলো ভিন্ন হয়। ইন্টারঅ্যাকশনগুলো পরীক্ষামূলক ডেটার ব্যাখ্যাকে জটিল করে তোলে। তাৎপর্য গণনা বা আনুমানিক ট্রিটমেন্ট ইফেক্ট—কোনোটিই সরাসরি গ্রহণ করা যায় না। "একটি তাৎপর্যপূর্ণ ইন্টারঅ্যাকশন প্রায়শই প্রধান প্রভাবগুলোর তাৎপর্যকে আড়াল করে ফেলে।" বোঝাপড়া বাড়ানোর জন্য গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি সুপারিশ করা হয়। রিগ্রেশন প্রায়শই দরকারী। ইন্টারঅ্যাকশনগুলোর একটি দীর্ঘ আলোচনা কক্স (1958)-এ উপলব্ধ। কিছু ইন্টারঅ্যাকশন অপসারণ করা যেতে পারে (ট্রান্সফরমেশনের মাধ্যমে) কিন্তু অন্যগুলো করা যায় না।

একাধিক ফ্যাক্টর ANOVA-এর সাথে খরচ কমানোর জন্য বিভিন্ন কৌশল ব্যবহৃত হয়। ফ্যাক্টোরিয়াল ডিজাইনে ব্যবহৃত একটি কৌশল হলো রেপ্লিকেশন কমানো (সম্ভবত অ্যানালিটিক্যাল ট্রিকারি-এর সমর্থনে কোনো রেপ্লিকেশন না থাকা) এবং যখন প্রভাবগুলো পরিসংখ্যানগতভাবে (বা ব্যবহারিকভাবে) তাৎপর্যহীন বলে মনে হয় তখন গ্রুপগুলোকে একত্রিত করা। অনেক তাৎপর্যহীন ফ্যাক্টরসহ একটি পরীক্ষা অনেক রেপ্লিকেশন দ্বারা সমর্থিত কয়েকটি ফ্যাক্টরের পরীক্ষায় পরিণত হতে পারে।

সম্পর্কিত বিশ্লেষণ

পরীক্ষার ডিজাইন-কে সমর্থন করার জন্য কিছু বিশ্লেষণ প্রয়োজন, অন্যদিকে ফ্যাক্টরগুলোর পরিবর্তনগুলো আনুষ্ঠানিকভাবে প্রতিক্রিয়ার ওপর পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ পরিবর্তন তৈরি করেছে বলে পাওয়ার পর অন্যান্য বিশ্লেষণ করা হয়। যেহেতু পরীক্ষা-নিরীক্ষা পুনরাবৃত্তিমূলক, তাই একটি পরীক্ষার ফলাফল পরবর্তী পরীক্ষার পরিকল্পনা পরিবর্তন করে।

প্রস্তুতিমূলক বিশ্লেষণ

পরীক্ষামূলক ইউনিটের সংখ্যা

একটি পরীক্ষার ডিজাইনে, পরীক্ষার লক্ষ্য পূরণের জন্য পরীক্ষামূলক ইউনিটের সংখ্যা পরিকল্পনা করা হয়। পরীক্ষা-নিরীক্ষা প্রায়শই ধারাবাহিক হয়।

প্রাথমিক পরীক্ষাগুলো প্রায়শই ট্রিটমেন্ট ইফেক্ট এবং পরীক্ষামূলক ত্রুটির মিন-আনবায়াসড অনুমান প্রদানের জন্য ডিজাইন করা হয়। পরবর্তী পরীক্ষাগুলো প্রায়শই একটি হাইপোথিসিস পরীক্ষা করার জন্য ডিজাইন করা হয় যে একটি ট্রিটমেন্ট ইফেক্টের একটি গুরুত্বপূর্ণ মাত্রা রয়েছে; এই ক্ষেত্রে, পরীক্ষামূলক ইউনিটের সংখ্যা এমনভাবে নির্বাচন করা হয় যাতে পরীক্ষাটি বাজেটের মধ্যে থাকে এবং অন্যান্য লক্ষ্যের পাশাপাশি পর্যাপ্ত পাওয়ার থাকে।

মনোবিজ্ঞানে সাধারণত নমুনার আকারের বিশ্লেষণ রিপোর্ট করা প্রয়োজন। "নমুনার আকার এবং নমুনার আকারের সিদ্ধান্তের দিকে নিয়ে যাওয়া প্রক্রিয়া সম্পর্কে তথ্য প্রদান করুন।" পরীক্ষাটি পরিচালনার আগে পরীক্ষামূলক প্রোটোকলে লেখা বিশ্লেষণটি অনুদান আবেদন এবং প্রশাসনিক পর্যালোচনা বোর্ডে পরীক্ষা করা হয়।

পাওয়ার অ্যানালাইসিস ছাড়াও, পরীক্ষামূলক ইউনিটের সংখ্যা নির্বাচনের জন্য কম আনুষ্ঠানিক পদ্ধতি রয়েছে। এর মধ্যে রয়েছে ফলস নেগেটিভ ত্রুটির সম্ভাবনা সীমিত করার ওপর ভিত্তি করে গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি, প্রত্যাশিত ভেদাঙ্ক বৃদ্ধির (রেসিডুয়ালের ওপরে) ওপর ভিত্তি করে গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি এবং কাঙ্ক্ষিত কনফিডেন্স ইন্টারভাল অর্জনের ওপর ভিত্তি করে পদ্ধতি।

পাওয়ার অ্যানালাইসিস

পাওয়ার অ্যানালাইসিস প্রায়শই ANOVA-এর প্রেক্ষাপটে প্রয়োগ করা হয় যাতে আমরা যদি একটি নির্দিষ্ট ANOVA ডিজাইন, পপুলেশনে ইফেক্ট সাইজ, নমুনার আকার এবং তাৎপর্যের স্তর ধরে নিই, তবে নাল হাইপোথিসিস সফলভাবে প্রত্যাখ্যান করার সম্ভাবনা মূল্যায়ন করা যায়। পাওয়ার অ্যানালাইসিস অধ্যয়নের ডিজাইনে সহায়তা করতে পারে, এটি নির্ধারণ করে যে অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস সত্য হলে নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করার যুক্তিসঙ্গত সুযোগ পাওয়ার জন্য কী নমুনার আকার প্রয়োজন।

ইফেক্ট সাইজ

ইফেক্ট সাইজ

মূল নিবন্ধ: Effect size ANOVA-এর জন্য ইফেক্টের বেশ কয়েকটি স্ট্যান্ডার্ডাইজড পরিমাপ প্রস্তাব করা হয়েছে যাতে একটি প্রেডিক্টর(সমূহ) এবং ডিপেন্ডেন্ট ভ্যারিয়েবলের মধ্যে সম্পর্কের শক্তি বা সম্পূর্ণ মডেলের সামগ্রিক স্ট্যান্ডার্ডাইজড পার্থক্য সংক্ষিপ্ত করা যায়। স্ট্যান্ডার্ডাইজড ইফেক্ট-সাইজ অনুমানগুলো বিভিন্ন গবেষণা এবং ডিসিপ্লিন জুড়ে ফলাফলের তুলনা সহজতর করে। যাইহোক, যদিও স্ট্যান্ডার্ডাইজড ইফেক্ট সাইজগুলো পেশাদার সাহিত্যের অনেক অংশে সাধারণত ব্যবহৃত হয়, রিপোর্টিংয়ের উদ্দেশ্যে ইফেক্ট সাইজের একটি নন-স্ট্যান্ডার্ডাইজড পরিমাপ যার তাৎক্ষণিক "অর্থপূর্ণ" একক রয়েছে তা পছন্দনীয় হতে পারে।

মডেল নিশ্চিতকরণ

কখনও কখনও ANOVA-এর অনুমানগুলো লঙ্ঘিত হয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য পরীক্ষা করা হয়। homoscedasticity এবং গ্রস নরমালিটি নিশ্চিত করার জন্য রেসিডুয়ালগুলো পরীক্ষা বা বিশ্লেষণ করা হয়। সময় এবং মডেল করা ডেটা মানসহ যেকোনো কিছুর ফাংশন হিসেবে প্লট করার সময় রেসিডুয়ালগুলোর (শূন্য গড় নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন) নয়েজের মতো চেহারা থাকা উচিত। ট্রেন্ডগুলো ফ্যাক্টরগুলোর মধ্যে বা পর্যবেক্ষণের মধ্যে ইন্টারঅ্যাকশনের ইঙ্গিত দেয়।

ফলো-আপ টেস্ট

ANOVA-তে একটি পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ প্রভাবের পর প্রায়শই অতিরিক্ত পরীক্ষা করা হয়। এটি কোন গ্রুপগুলো অন্য কোন গ্রুপ থেকে আলাদা তা মূল্যায়ন করার জন্য বা বিভিন্ন অন্যান্য ফোকাসড হাইপোথিসিস পরীক্ষা করার জন্য করা যেতে পারে। ফলো-আপ টেস্টগুলো প্রায়শই "পরিকল্পিত" (a priori) নাকি "পোস্ট হক" (post hoc) তার ভিত্তিতে আলাদা করা হয়। পরিকল্পিত পরীক্ষাগুলো ডেটা দেখার আগেই নির্ধারণ করা হয় এবং পোস্ট হক পরীক্ষাগুলো শুধুমাত্র ডেটা দেখার পরেই ধারণা করা হয় (যদিও "পোস্ট হক" শব্দটি অসামঞ্জস্যপূর্ণভাবে ব্যবহৃত হয়)।

ফলো-আপ টেস্টগুলো পৃথক গ্রুপের গড়ের "সহজ" পেয়ারওয়াইজ তুলনা হতে পারে অথবা "যৌগিক" তুলনা হতে পারে (যেমন, গ্রুপ A, B এবং C জুড়ে গড় পুলিংয়ের সাথে গ্রুপ D-এর গড়ের তুলনা)। যখন ইন্ডিপেন্ডেন্ট ভ্যারিয়েবলটি ক্রমানুসারে স্তর অন্তর্ভুক্ত করে, তখন তুলনাগুলো লিনিয়ার এবং কোয়াড্রাটিক সম্পর্কের মতো ট্রেন্ডের পরীক্ষাও দেখতে পারে। প্রায়শই ফলো-আপ টেস্টগুলো multiple comparisons problem-এর জন্য সমন্বয় করার একটি পদ্ধতি অন্তর্ভুক্ত করে।

কোন নির্দিষ্ট গ্রুপ, ভ্যারিয়েবল বা ফ্যাক্টরগুলোর পরিসংখ্যানগতভাবে ভিন্ন গড় রয়েছে তা শনাক্ত করার জন্য ফলো-আপ টেস্টগুলোর মধ্যে রয়েছে Tukey's range test এবং Duncan's new multiple range test। পরিবর্তে, এই পরীক্ষাগুলোর পর প্রায়শই একটি Compact Letter Display (CLD) পদ্ধতি অনুসরণ করা হয় যাতে উল্লিখিত পরীক্ষাগুলোর আউটপুট পরিসংখ্যানবিদ নন এমন দর্শকদের কাছে আরও স্বচ্ছ করা যায়।

অধ্যয়নের ডিজাইন

ANOVA-এর বেশ কয়েকটি ধরন রয়েছে। অনেক পরিসংখ্যানবিদ ANOVA-কে পরীক্ষার ডিজাইনের ওপর ভিত্তি করে তৈরি করেন, বিশেষ করে সেই প্রোটোকলের ওপর যা বিষয়গুলোর প্রতি ট্রিটমেন্টের random assignment নির্দিষ্ট করে; অ্যাসাইনমেন্ট মেকানিজমের প্রোটোকলের বর্ণনায় ট্রিটমেন্টের কাঠামো এবং যেকোনো ব্লকিং-এর স্পেসিফিকেশন অন্তর্ভুক্ত থাকা উচিত। একটি উপযুক্ত পরিসংখ্যানগত মডেল ব্যবহার করে পর্যবেক্ষণমূলক ডেটাতে ANOVA প্রয়োগ করাও সাধারণ।

কিছু জনপ্রিয় ডিজাইন ANOVA-এর নিম্নলিখিত ধরনগুলো ব্যবহার করে:

• One-way ANOVA দুই বা ততোধিক ইন্ডিপেন্ডেন্ট গ্রুপের (গড়) মধ্যে পার্থক্য পরীক্ষা করার জন্য ব্যবহৃত হয়, যেমন ফসলে ইউরিয়া প্রয়োগের বিভিন্ন স্তর, বা বিভিন্ন ব্যাকটেরিয়া প্রজাতির ওপর অ্যান্টিবায়োটিকের বিভিন্ন মাত্রার ক্রিয়া, বা রোগীদের গ্রুপের ওপর কোনো ওষুধের প্রভাবের বিভিন্ন স্তর। যাইহোক, যদি এই গ্রুপগুলো ইন্ডিপেন্ডেন্ট না হয় এবং গ্রুপগুলোতে কোনো ক্রম থাকে (যেমন মৃদু, মাঝারি এবং গুরুতর রোগ), অথবা একই গ্রুপের রোগীদের দেওয়া ওষুধের ডোজে (যেমন 5 mg/mL, 10 mg/mL, 20 mg/mL), তবে একটি linear trend estimation ব্যবহার করা উচিত। সাধারণত, ওয়ান-ওয়ে ANOVA অন্তত তিনটি গ্রুপের মধ্যে পার্থক্য পরীক্ষা করার জন্য ব্যবহৃত হয়, কারণ দুই-গ্রুপের ক্ষেত্রে একটি t-test দিয়ে কভার করা যায়। যখন তুলনা করার জন্য মাত্র দুটি গড় থাকে, তখন t-test এবং ANOVA F-test সমতুল্য; ANOVA এবং t-এর মধ্যে সম্পর্কটি 1=F = t² দ্বারা দেওয়া হয়।
• ফ্যাক্টোরিয়াল ANOVA ব্যবহৃত হয় যখন একাধিক ফ্যাক্টর থাকে।
• Repeated measures ANOVA ব্যবহৃত হয় যখন প্রতিটি ফ্যাক্টরের জন্য একই বিষয়গুলো ব্যবহৃত হয় (যেমন, একটি longitudinal study-তে)।
• Multivariate analysis of variance (MANOVA) ব্যবহৃত হয় যখন একাধিক রেসপন্স ভ্যারিয়েবল থাকে।

সতর্কতা

ব্যালেন্সড পরীক্ষাগুলো (প্রতিটি ট্রিটমেন্টের জন্য সমান নমুনার আকারসহ) ব্যাখ্যা করা তুলনামূলকভাবে সহজ; আনব্যালেন্সড পরীক্ষাগুলো আরও জটিলতা প্রদান করে। একক-ফ্যাক্টর (ওয়ান-ওয়ে) ANOVA-এর জন্য, আনব্যালেন্সড ডেটার সমন্বয় সহজ, কিন্তু আনব্যালেন্সড বিশ্লেষণে রোবাস্টনেস এবং পাওয়ার উভয়ই কম থাকে। আরও জটিল ডিজাইনের জন্য ব্যালেন্সের অভাব আরও জটিলতার দিকে নিয়ে যায়। "ব্যালেন্সড ডেটাতে উপস্থিত প্রধান প্রভাব এবং ইন্টারঅ্যাকশনের অর্থোগোনালিটি বৈশিষ্ট্য আনব্যালেন্সড ক্ষেত্রে বজায় থাকে না। এর মানে হলো সাধারণ ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণের কৌশলগুলো এখানে প্রযোজ্য নয়। ফলস্বরূপ, আনব্যালেন্সড ফ্যাক্টোরিয়ালের বিশ্লেষণ ব্যালেন্সড ডিজাইনের চেয়ে অনেক বেশি কঠিন।" সাধারণ ক্ষেত্রে, "ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণ আনব্যালেন্সড ডেটাতেও প্রয়োগ করা যেতে পারে, কিন্তু তখন সাম অফ স্কয়ার, মিন স্কয়ার এবং F-রেশিওগুলো ভেদাঙ্কের উৎসগুলো যে ক্রমে বিবেচনা করা হয় তার ওপর নির্ভর করবে।"

ANOVA (আংশিকভাবে) পরিসংখ্যানগত তাৎপর্যের একটি পরীক্ষা। আমেরিকান সাইকোলজিক্যাল অ্যাসোসিয়েশন (এবং অন্যান্য অনেক সংস্থা) এই মত পোষণ করে যে শুধুমাত্র পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য রিপোর্ট করা অপর্যাপ্ত এবং কনফিডেন্স বাউন্ড রিপোর্ট করা বেশি পছন্দনীয়।

সাধারণীকরণ

ANOVA-কে linear regression-এর একটি বিশেষ ক্ষেত্র হিসেবে বিবেচনা করা হয় যা আবার general linear model-এর একটি বিশেষ ক্ষেত্র। সবাই পর্যবেক্ষণগুলোকে একটি মডেল (ফিট) এবং একটি রেসিডুয়াল (ত্রুটি)-এর যোগফল হিসেবে বিবেচনা করে যা মিনিমাইজ করতে হয়।

Kruskal-Wallis test এবং Friedman test হলো nonparametric পরীক্ষা যা নরমালিটির অনুমানের ওপর নির্ভর করে না।

লিনিয়ার রিগ্রেশনের সাথে সংযোগ

নিচে আমরা মাল্টি-ওয়ে ANOVA এবং লিনিয়ার রিগ্রেশনের মধ্যে সংযোগ স্পষ্ট করছি।

ডেটাগুলোকে লিনিয়ারভাবে পুনরায় সাজান যাতে $k$-তম পর্যবেক্ষণ একটি রেসপন্স $y_k$ এবং ফ্যাক্টর $Z_{k,b}$-এর সাথে যুক্ত থাকে যেখানে $b\in \{1,2,\dots ,B\}$ বিভিন্ন ফ্যাক্টর নির্দেশ করে এবং $B$ হলো ফ্যাক্টরের মোট সংখ্যা। ওয়ান-ওয়ে ANOVA-তে $B=1$ এবং টু-ওয়ে ANOVA-তে $B=2$। এছাড়া, আমরা ধরে নিই যে $b$-তম ফ্যাক্টরের $I_b$ স্তর রয়েছে, অর্থাৎ $\{1,2,\dots ,I_b\}$। এখন, আমরা ফ্যাক্টরগুলোকে ${\sum }_{b=1}^B{I}_b$ মাত্রার ভেক্টর $v_k$-এ one-hot এনকোড করতে পারি।

ওয়ান-হট এনকোডিং ফাংশন $g_b:\{1,2,\dots ,I_b\}\mapsto \{0,1{\}}^{I_b}$ এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যে $g_b(Z_{k,b})$-এর $i$-তম এন্ট্রি হলো $$g_b(Z_{k,b}{)}_i=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }i=Z_{k,b}\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$ ভেক্টর $v_k$ হলো সমস্ত $b$-এর জন্য উপরের সমস্ত ভেক্টরের কনক্যাটিনেশন। সুতরাং, $v_k=[g_1(Z_{k,1}),g_2(Z_{k,2}),\dots ,g_B(Z_{k,B})]$। একটি সম্পূর্ণ সাধারণ $B$-ওয়ে ইন্টারঅ্যাকশন ANOVA পাওয়ার জন্য আমাদের অবশ্যই ভেক্টর $v_k$-এ প্রতিটি অতিরিক্ত ইন্টারঅ্যাকশন টার্ম কনক্যাটিনেট করতে হবে এবং তারপর একটি ইন্টারসেপ্ট টার্ম যোগ করতে হবে। সেই ভেক্টরটিকে $X_k$ হতে দিন।

এই নোটেশনের সাথে, এখন আমাদের লিনিয়ার রিগ্রেশনের সাথে সঠিক সংযোগ রয়েছে। আমরা কেবল ভেক্টর $X_k$-এর বিপরীতে রেসপন্স $y_k$-কে রিগ্রেস করি। যাইহোক, identifiability নিয়ে একটি উদ্বেগ রয়েছে। এই ধরনের সমস্যাগুলো কাটিয়ে ওঠার জন্য আমরা ধরে নিই যে প্রতিটি ইন্টারঅ্যাকশন সেটের মধ্যে প্যারামিটারগুলোর যোগফল শূন্য। এখান থেকে, পৃথক ফ্যাক্টরগুলোর প্রাসঙ্গিকতা নির্ধারণ করতে কেউ F-পরিসংখ্যান বা অন্যান্য পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারে।

উদাহরণ

আমরা 2-ওয়ে ইন্টারঅ্যাকশন উদাহরণটি বিবেচনা করতে পারি যেখানে আমরা ধরে নিই যে প্রথম ফ্যাক্টরের 2টি স্তর এবং দ্বিতীয় ফ্যাক্টরের 3টি স্তর রয়েছে।

$a_i=1$ সংজ্ঞায়িত করুন যদি $Z_{k,1}=i$ হয় এবং $b_i=1$ যদি $Z_{k,2}=i$ হয়, অর্থাৎ $a$ হলো প্রথম ফ্যাক্টরের ওয়ান-হট এনকোডিং এবং $b$ হলো দ্বিতীয় ফ্যাক্টরের ওয়ান-হট এনকোডিং।

এর সাথে, $$X_k=[a_1,a_2,b_1,b_2,b_3,a_1\times b_1,a_1\times b_2,a_1\times b_3,a_2\times b_1,a_2\times b_2,a_2\times b_3,1]$$ যেখানে শেষ টার্মটি একটি ইন্টারসেপ্ট টার্ম। আরও সুনির্দিষ্ট উদাহরণের জন্য ধরুন যে $$\begin{array}{rl}{Z}_{k,1}& =2\\ Z_{k,2}& =1\end{array}$$ তাহলে, $$X_k=[0,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,1]$$

আরও দেখুন

• ANOVA on ranks
• ANOVA-simultaneous component analysis
• Analysis of covariance (ANCOVA)
• Analysis of molecular variance (AMOVA)
• Analysis of rhythmic variance (ANORVA)
• Expected mean squares
• Explained variation
• Linear trend estimation
• Mixed-design analysis of variance
• Multivariate analysis of covariance (MANCOVA)
• Permutational analysis of variance
• Principal component analysis
• Variance decomposition

তথ্যসূত্র

• Anscombe, F. J.. (1948). "The Validity of Comparative Experiments". Journal of the Royal Statistical Society. Series A (General). 111 (3) 181–211. doi:10.2307/2984159.
• Bailey, R. A.. (2008). Design of Comparative Experiments. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-68357-9. Pre-publication chapters are available on-line.
• Belle, Gerald van. (2008). "Statistical rules of thumb". Wiley. ISBN 978-0-470-14448-0.
• (1992). "Experimental designs". Wiley. ISBN 978-0-471-54567-5.
• Cohen, Jacob (1988). Statistical power analysis for the behavior sciences (2nd ed.). Routledge 978-0-8058-0283-2
• Cohen, Jacob. (1992). "Statistics a power primer". Psychological Bulletin. 112 (1) 155–159. doi:10.1037/0033-2909.112.1.155.
• Cox, David R. (1958). Planning of experiments. Reprinted as 978-0-471-57429-3
• Cox, David R.. (2006). "Principles of statistical inference". Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-68567-2.
• Freedman, David A.(2005). Statistical Models: Theory and Practice, Cambridge University Press. 978-0-521-67105-7
• (2005). "Analysis of variance? Why it is more important than ever". The Annals of Statistics. 33 1–53. doi:10.1214/009053604000001048.
• Gelman, Andrew. (2008). "The new Palgrave dictionary of economics". Palgrave Macmillan. ISBN 978-0-333-78676-5.
• Hinkelmann, Klaus. (2008). "Design and Analysis of Experiments". I and II. Wiley. ISBN 978-0-470-38551-7.
• Howell, David C.. (2002). Statistical methods for psychology. Duxbury/Thomson Learning. ISBN 978-0-534-37770-0.
• Kempthorne, Oscar. (1979). "The Design and Analysis of Experiments". Robert E. Krieger. ISBN 978-0-88275-105-4.
• Lehmann, E.L. (1959) Testing Statistical Hypotheses. John Wiley & Sons.
• Montgomery, Douglas C.. (2001). "Design and Analysis of Experiments". Wiley. ISBN 978-0-471-31649-7.
• Moore, David S. & McCabe, George P. (2003). Introduction to the Practice of Statistics (4e). W H Freeman & Co. 0-7167-9657-0
• Rosenbaum, Paul R. (2002). Observational Studies (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. 978-0-387-98967-9
• Scheffé, Henry. (1959). "The Analysis of Variance". Wiley.
• Stigler, Stephen M.. (1986). The history of statistics : the measurement of uncertainty before 1900. Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 978-0-674-40340-6.
• (August 1999). "Statistical methods in psychology journals: Guidelines and explanations". American Psychologist. 54 (8) 594–604. doi:10.1037/0003-066X.54.8.594.

আরও পড়ুন

• (2007). "Statistics". W.W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-92972-0.
• (2006). "Using Multivariate Statistics". Allyn & Bacon, Inc.. ISBN 978-0-205-45938-4.

• Wichura, Michael J.. (2006). "The coordinate-free approach to linear models". xiv+199. ISBN 978-0-521-86842-6.
• Christensen, Ronald. (2002). "Plane Answers to Complex Questions: The Theory of Linear Models". Springer. ISBN 978-0-387-95361-8.
• (2000). "Block Designs: A Randomization Approach". 150. ISBN 978-0-387-98578-7. doi:10.1007/978-1-4612-1192-1.
• (2000). "The Theory of the Design of Experiments". ISBN 978-0-429-12628-4. doi:10.1201/9781420035834.
• (1998). "Robust nonparametric statistical methods". 5 xiv+467. A Hodder Arnold Publication. ISBN 978-0-340-54937-7.
• (1993). "Experimental design and analysis". Valley Book Company. ISBN 978-0-9616255-2-8.
• Phadke, Madhav S.. (1989). "Quality Engineering using Robust Design". Prentice Hall PTR. ISBN 978-0-13-745167-8.
• Box, G. E. P.. (1954). "Some Theorems on Quadratic Forms Applied in the Study of Analysis of Variance Problems, II. Effects of Inequality of Variance and of Correlation Between Errors in the Two-Way Classification". The Annals of Mathematical Statistics. 25 (3) 484. doi:10.1214/aoms/1177728717.
• Box, G. E. P.. (1954). "Some Theorems on Quadratic Forms Applied in the Study of Analysis of Variance Problems, I. Effect of Inequality of Variance in the One-Way Classification". The Annals of Mathematical Statistics. 25 (2) 290. doi:10.1214/aoms/1177728786.

• Box, G. E. P.. (1953). "Non-Normality and Tests on Variances". Biometrika. 40 (3/4) 318–335. doi:10.1093/biomet/40.3-4.318.
• (April 1921). "Studies in crop variation. I. An examination of the yield of dressed grain from Broadbalk". The Journal of Agricultural Science. 11 (2) 107–135. doi:10.1017/S0021859600003750.

বহিঃসংযোগ

• SOCR: ANOVA Activity
• Examples of all ANOVA and ANCOVA models with up to three treatment factors, including randomized block, split plot, repeated measures, and Latin squares, and their analysis in R (University of Southampton)
• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 7.4.3: "Are the means equal?"
• Analysis of variance: Introduction

correlation collapsed

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Analysis of variance” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Analysis_of_variance এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।