ম্যাকনেমার টেস্ট

November 2012 ম্যাকনেমার টেস্ট (McNemar's test) হলো একটি পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা যা জোড়বদ্ধ নামমাত্র ডেটা (paired nominal data)-এর ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। এটি ২ × ২ কন্টিনজেন্সি টেবিল-এর ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়, যেখানে একটি দ্বিবিভাজক (dichotomous) বৈশিষ্ট্য এবং বিষয়ের জোড়বদ্ধ মিল থাকে। এর উদ্দেশ্য হলো সারি এবং কলামের প্রান্তিক কম্পাঙ্কগুলো সমান কি না তা নির্ধারণ করা (অর্থাৎ, সেখানে "প্রান্তিক সমজাতীয়তা" বা "marginal homogeneity" আছে কি না)। এটি কুইন ম্যাকনেমার-এর নামানুসারে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি ১৯৪৭ সালে এটি প্রবর্তন করেন।^[1] জেনেটিক্সে এই পরীক্ষার একটি প্রয়োগ হলো লিংকেজ ডিসইকুইলিব্রিয়াম শনাক্ত করার জন্য ট্রান্সমিশন ডিসইকুইলিব্রিয়াম টেস্ট।^[2]

চিকিৎসা বিজ্ঞানে একটি ডায়াগনস্টিক টেস্ট বা রোগ নির্ণয় পরীক্ষার মূল্যায়ন করার জন্য সাধারণত সংবেদনশীলতা এবং নির্দিষ্টতা (sensitivity and specificity) প্যারামিটারগুলো ব্যবহৃত হয়। সংবেদনশীলতা (বা রিকল) হলো কোনো পরীক্ষার রোগাক্রান্ত ব্যক্তিদের সঠিকভাবে শনাক্ত করার ক্ষমতা। নির্দিষ্টতা হলো রোগ নেই এমন ব্যক্তিদের সঠিকভাবে শনাক্ত করার ক্ষমতা।

এখন ধরে নেওয়া যাক, একই রোগীর দলের ওপর দুটি পরীক্ষা করা হয়েছে। আরও ধরে নেওয়া যাক যে, এই পরীক্ষাগুলোর সংবেদনশীলতা এবং নির্দিষ্টতা অভিন্ন। এই পরিস্থিতিতে কেউ এই ফলাফলগুলো দেখে বিভ্রান্ত হতে পারেন এবং ধরে নিতে পারেন যে উভয় পরীক্ষাই সমতুল্য। তবে বাস্তবে এমনটা নাও হতে পারে। এর জন্য আমাদের রোগাক্রান্ত এবং রোগমুক্ত রোগীদের (একটি রেফারেন্স টেস্টের মাধ্যমে) পরীক্ষা করতে হবে। আমাদের আরও খুঁজে বের করতে হবে যে এই দুটি পরীক্ষা কোথায় একে অপরের সাথে দ্বিমত পোষণ করে। এটিই মূলত ম্যাকনেমার টেস্টের ভিত্তি। এই পরীক্ষাটি একই রোগীর দলের ওপর দুটি ডায়াগনস্টিক টেস্টের সংবেদনশীলতা এবং নির্দিষ্টতার তুলনা করে।^[3]

সংজ্ঞা

এই পরীক্ষাটি একটি ২ × ২ কন্টিনজেন্সি টেবিলে প্রয়োগ করা হয়, যা N সংখ্যক বিষয়ের নমুনার ওপর দুটি পরীক্ষার ফলাফলকে নিম্নোক্তভাবে সারণীবদ্ধ করে।

	টেস্ট ২ পজিটিভ	টেস্ট ২ নেগেটিভ	সারির মোট
টেস্ট ১ পজিটিভ	a	b	a + b
টেস্ট ১ নেগেটিভ	c	d	c + d
কলামের মোট	a + c	b + d	N

প্রান্তিক সমজাতীয়তার নাল হাইপোথিসিস বা শূন্য প্রকল্প অনুযায়ী, প্রতিটি ফলাফলের জন্য দুটি প্রান্তিক সম্ভাবনা একই, অর্থাৎ p_a + p_b = p_a + p_c এবং p_c + p_d = p_b + p_d।

সুতরাং নাল এবং বিকল্প হাইপোথিসিসগুলো হলো^[1]

\begin{aligned} H_{0} & : p_{b} = p_{c} \\ H_{1} & : p_{b} \neq p_{c} \end{aligned}

এখানে p_a, ইত্যাদি সংশ্লিষ্ট লেবেলযুক্ত সেলে ঘটনার তাত্ত্বিক সম্ভাবনা নির্দেশ করে।

ম্যাকনেমার টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক হলো:

χ^{2} = \frac{(b - c)^{2}}{b + c} .

নাল হাইপোথিসিসের অধীনে, পর্যাপ্ত সংখ্যক ডিসকর্ড্যান্ট (সেল b এবং c) থাকলে, $χ^{2}$ -এর ১ স্বাধীনতার মাত্রা (degrees of freedom) বিশিষ্ট একটি কাই-স্কয়ার ডিস্ট্রিবিউশন থাকে। যদি $χ^{2}$ -এর ফলাফল তাৎপর্যপূর্ণ হয়, তবে এটি নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করার জন্য পর্যাপ্ত প্রমাণ প্রদান করে এবং বিকল্প হাইপোথিসিস অর্থাৎ p_b ≠ p_c-এর পক্ষে সমর্থন দেয়, যার অর্থ হলো প্রান্তিক অনুপাতগুলো একে অপরের থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা।

বিভিন্ন রূপ

যদি b বা c ছোট হয় (b + c < 25), তবে $χ^{2}$ -কে কাই-স্কয়ার ডিস্ট্রিবিউশন দ্বারা সঠিকভাবে অনুমান করা যায় না। সেক্ষেত্রে একটি সঠিক দ্বিপদী পরীক্ষা (exact binomial test) ব্যবহার করা যেতে পারে, যেখানে b-কে n = b + c সাইজ প্যারামিটার এবং p = 0.5 বিশিষ্ট একটি দ্বিপদী বিন্যাস-এর সাথে তুলনা করা হয়। কার্যকরভাবে, সঠিক দ্বিপদী পরীক্ষাটি ডিসকর্ড্যান্ট b এবং c-এর ভারসাম্যহীনতা মূল্যায়ন করে। দ্বিপাক্ষিক পি-ভ্যালু (two-sided P-value) পাওয়ার জন্য, প্রান্তিক লেজের পি-ভ্যালুকে ২ দিয়ে গুণ করতে হবে। b ≥ c-এর জন্য:

exact-P-value = 2 \sum_{i = b}^{n} (\binom{n}{i}) 0 . 5^{i} (1 - 0.5)^{n - i},

যা মূলত p = 0.5 এবং n = b + c বিশিষ্ট দ্বিপদী বিন্যাসের কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন-এর দ্বিগুণ।

এডওয়ার্ডস^[4] দ্বিপদী সঠিক-পি-ভ্যালু অনুমান করার জন্য ম্যাকনেমার টেস্টের নিম্নোক্ত কন্টিনিউটি কারেক্টেড সংস্করণ প্রস্তাব করেছেন:

χ^{2} = \frac{(| b - c | - 1)^{2}}{b + c} .

মিড-পি ম্যাকনেমার টেস্ট (mid-p binomial test) গণনা করা হয় সঠিক এক-পার্শ্বীয় পি-ভ্যালু থেকে পর্যবেক্ষণকৃত b-এর সম্ভাবনার অর্ধেক বিয়োগ করে, তারপর দ্বিপাক্ষিক মিড-পি-ভ্যালু পাওয়ার জন্য তাকে দ্বিগুণ করে:^[5]^[6]

mid-p-value = 2 (\sum_{i = b}^{n} (\binom{n}{i}) 0 . 5^{i} (1 - 0.5)^{n - i} - 0.5 (\binom{n}{b}) 0 . 5^{b} (1 - 0.5)^{n - b})

এটি নিম্নোক্ত সমীকরণের সমতুল্য:

mid-p-value = exact-p-value - (\binom{n}{b}) 0 . 5^{b} (1 - 0.5)^{n - b}

যেখানে দ্বিতীয় পদটি হলো দ্বিপদী বিন্যাসের প্রোবাবিলিটি মাস ফাংশন এবং n = b + c। দ্বিপদী বিন্যাস ফাংশনগুলো সাধারণ সফটওয়্যার প্যাকেজগুলোতে সহজেই পাওয়া যায় এবং ম্যাকনেমার মিড-পি টেস্ট সহজেই গণনা করা যায়।^[6]

ঐতিহ্যগত পরামর্শ হলো, যখন b + c < 25 হয়, তখন সঠিক দ্বিপদী পরীক্ষা ব্যবহার করা। তবে সিমুলেশনগুলো দেখিয়েছে যে সঠিক দ্বিপদী পরীক্ষা এবং কন্টিনিউটি কারেকশনসহ ম্যাকনেমার টেস্ট উভয়ই অতিরিক্ত রক্ষণশীল।^[6] যখন b + c < 6 হয়, তখন সঠিক-পি-ভ্যালু সর্বদা সাধারণ তাৎপর্য স্তর 0.05 অতিক্রম করে। মূল ম্যাকনেমার টেস্টটি সবচেয়ে শক্তিশালী ছিল, কিন্তু প্রায়শই কিছুটা উদার (liberal) ছিল। মিড-পি সংস্করণটি অ্যাসিম্পটোটিক ম্যাকনেমার টেস্টের মতোই শক্তিশালী ছিল এবং এটি নামমাত্র তাৎপর্য স্তর অতিক্রম করে না।

উদাহরণ

প্রথম উদাহরণে, একজন গবেষক নির্ধারণ করার চেষ্টা করেন যে একটি ওষুধের কোনো নির্দিষ্ট রোগের ওপর প্রভাব আছে কি না। ৩১৪ জন রোগী আছেন এবং ওষুধ ব্যবহারের আগে ও পরে তাদের রোগ নির্ণয় করা হয় (রোগ: উপস্থিত বা অনুপস্থিত), যার অর্থ প্রতিটি নমুনাকে ৪টি সংমিশ্রণের মধ্যে ১টি ব্যবহার করে বর্ণনা করা যেতে পারে। ব্যক্তিদের সংখ্যা সারণীতে দেওয়া হয়েছে, যেখানে চিকিৎসার আগে রোগ নির্ণয় সারিগুলোতে এবং চিকিৎসার পরে রোগ নির্ণয় কলামগুলোতে দেওয়া হয়েছে। এই পরীক্ষার জন্য একই রোগীদের আগে-পরের পরিমাপে অন্তর্ভুক্ত করা প্রয়োজন (জোড়বদ্ধ জোড়া)।

	পরে: উপস্থিত	পরে: অনুপস্থিত	সারির মোট
আগে: উপস্থিত	101	121	222
আগে: অনুপস্থিত	59	33	92
কলামের মোট	160	154	314

এই উদাহরণে, "প্রান্তিক সমজাতীয়তা"-র নাল হাইপোথিসিসের অর্থ হবে চিকিৎসার কোনো প্রভাব নেই। উপরের ডেটা থেকে, ম্যাকনেমার টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক:

χ^{2} = \frac{(121 - 59)^{2}}{121 + 59}

এর মান ২১.৩৫, যা নাল হাইপোথিসিস দ্বারা নির্দেশিত বিন্যাস গঠনের সম্ভাবনা অত্যন্ত কম (p < 0.001)। সুতরাং, এই পরীক্ষাটি চিকিৎসার কোনো প্রভাব নেই এমন নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করার জন্য শক্তিশালী প্রমাণ প্রদান করে।

দ্বিতীয় উদাহরণটি অ্যাসিম্পটোটিক ম্যাকনেমার টেস্ট এবং বিকল্পগুলোর মধ্যে পার্থক্য তুলে ধরে।^[6] ডেটা টেবিলটি আগের মতোই ফরম্যাট করা হয়েছে, তবে সেলে ভিন্ন সংখ্যা রয়েছে:

	পরে: উপস্থিত	পরে: অনুপস্থিত	সারির মোট
আগে: উপস্থিত	59	6	65
আগে: অনুপস্থিত	16	80	96
কলামের মোট	75	86	161

এই ডেটার সাথে, নমুনার আকার (১৬১ জন রোগী) ছোট নয়, তবে ম্যাকনেমার টেস্ট এবং অন্যান্য সংস্করণের ফলাফল ভিন্ন। সঠিক দ্বিপদী পরীক্ষা p = 0.053 দেয় এবং কন্টিনিউটি কারেকশনসহ ম্যাকনেমার টেস্ট $χ^{2}$ = 3.68 এবং p = 0.055 দেয়। অ্যাসিম্পটোটিক ম্যাকনেমার টেস্ট $χ^{2}$ = 4.55 এবং p = 0.033 দেয় এবং মিড-পি ম্যাকনেমার টেস্ট p = 0.035 দেয়। ম্যাকনেমার টেস্ট এবং মিড-পি সংস্করণ উভয়ই এই দ্বিতীয় উদাহরণে পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ চিকিৎসার প্রভাবের জন্য শক্তিশালী প্রমাণ প্রদান করে।

পাইথনে উদাহরণ বাস্তবায়ন

নিচে SciPy প্যাকেজ দ্বারা প্রদত্ত সম্ভাবনা বিন্যাস ব্যবহার করে একটি বাস্তবায়নের উদাহরণ দেওয়া হলো। বাস্তবায়নটি মিড-পি সংস্করণ ব্যবহার করে যদি b + c < 25 হয়। অন্যথায়, এটি অ্যাসিম্পটোটিক সংস্করণ ব্যবহার করে, যা নিয়মিত ফর্ম এবং কন্টিনিউটি কারেক্টেড ফর্ম উভয়ের জন্যই অনুমতি দেয়।

from scipy.stats import binom, chi2

def mcnemar(b: int, c: int, continuity_correction: bool = False) -> float:
    check_valid = lambda n: isinstance(n, int) or (isinstance(n, float) and n.is_integer())
    if not all(map(check_valid, [b, c])):
        raise ValueError("b and c must be integers!")
    n_min, n_max = sorted([b, c])
    corr = int(continuity_correction)
    if (n_min + n_max) < 25:
        pvalue = 2 * binom.cdf(n_min, n_min+n_max, 0.5) - binom.pmf(n_min, n_min+n_max, 0.5)
    else:
        chi2_statistic = (abs(n_min - n_max) - corr) ** 2 / (n_min + n_max)
        pvalue = chi2.sf(chi2_statistic, 1)
    return pvalue

এটি উল্লেখ করাও গুরুত্বপূর্ণ যে উপরের বাস্তবায়নটি নিশ্চিত করে যে b এবং c-এর মধ্যে ছোটটি দ্বিপদী সম্ভাবনা বিন্যাসের প্রথম আর্গুমেন্ট হিসেবে পাস করা হয়েছে। আরও পড়ার জন্য সম্পূরক উপকরণের অধীনে "অতিরিক্ত ফাইল ১" দেখুন।^[6]

আলোচনা

ম্যাকনেমার টেস্ট ব্যাখ্যা করার সময় একটি আকর্ষণীয় পর্যবেক্ষণ হলো যে, প্রধান কর্ণের উপাদানগুলো (উপরের উদাহরণে) চিকিৎসা-পূর্ব বা চিকিৎসা-পরবর্তী অবস্থা বেশি অনুকূল কি না, সে বিষয়ে সিদ্ধান্তে অবদান রাখে না। সুতরাং, b + c-এর যোগফল ছোট হতে পারে এবং বর্ণিত পরীক্ষাগুলোর পরিসংখ্যানগত ক্ষমতা কম হতে পারে, যদিও জোড়ার সংখ্যা a + b + c + d বড় (উপরের দ্বিতীয় উদাহরণ দেখুন)।

ম্যাকনেমার টেস্টের একটি সম্প্রসারণ এমন পরিস্থিতিতে বিদ্যমান যেখানে জোড়াগুলোর মধ্যে স্বাধীনতা সর্বদা বজায় থাকে না; পরিবর্তে, জোড়বদ্ধ ডেটার ক্লাস্টার থাকে যেখানে একটি ক্লাস্টারের জোড়াগুলো স্বাধীন নাও হতে পারে, কিন্তু বিভিন্ন ক্লাস্টারের মধ্যে স্বাধীনতা বজায় থাকে।^[7] একটি উদাহরণ হলো দাঁতের চিকিৎসার কার্যকারিতা বিশ্লেষণ করা; এক্ষেত্রে, একটি জোড়া এমন রোগীদের দাঁতের চিকিৎসার সাথে সম্পর্কিত যাদের একাধিক দাঁতের চিকিৎসা করা হতে পারে; একই রোগীর দুটি দাঁতের চিকিৎসার কার্যকারিতা স্বাধীন হওয়ার সম্ভাবনা কম, কিন্তু বিভিন্ন রোগীর দুটি দাঁতের চিকিৎসার কার্যকারিতা স্বাধীন হওয়ার সম্ভাবনা বেশি।^[8]

জোড়বদ্ধ তথ্যের তথ্য

১৯৭০-এর দশকে, ধারণা করা হয়েছিল যে টনসিল রেখে দেওয়া হজকিন্স লিম্ফোমা থেকে রক্ষা করতে পারে। জন রাইস লিখেছেন:^[9]

৮৫ জন হজকিন্স রোগী [...] একই লিঙ্গের একজন ভাই বা বোন ছিল যারা রোগমুক্ত ছিল এবং যাদের বয়স রোগীর বয়সের ৫ বছরের মধ্যে ছিল। এই গবেষকরা নিম্নোক্ত সারণীটি উপস্থাপন করেছেন:

$\begin{array}{ccc} টনসিলেক্টমি & টনসিলেক্টমি নয় \\ হজকিন্স & 41 & 44 \\ নিয়ন্ত্রণ & 33 & 52 \end{array}$

তারা একটি কাই-স্কয়ার স্ট্যাটিস্টিক গণনা করেছেন [...] [তারা] জোড়াগুলোকে উপেক্ষা করে তাদের বিশ্লেষণে একটি ভুল করেছিলেন। [...] [তাদের] নমুনাগুলো স্বাধীন ছিল না, কারণ ভাইবোনদের জোড়া করা হয়েছিল [...] আমরা একটি সারণী তৈরি করেছি যা জোড়াগুলোকে প্রদর্শন করে:

$\begin{array}{cc} ভাইবোন \\ রোগী & \begin{array}{ccc} টনসিলেক্টমি নয় & টনসিলেক্টমি \\ টনসিলেক্টমি নয় & 37 & 7 \\ টনসিলেক্টমি & 15 & 26 \end{array} \end{array}$

দ্বিতীয় সারণীতেই ম্যাকনেমার টেস্ট প্রয়োগ করা যেতে পারে। লক্ষ্য করুন যে দ্বিতীয় সারণীর সংখ্যাগুলোর যোগফল ৮৫—ভাইবোনদের জোড়ার সংখ্যা—যেখানে প্রথম সারণীর সংখ্যাগুলোর যোগফল দ্বিগুণ, ১৭০—ব্যক্তিদের সংখ্যা। দ্বিতীয় সারণীটি প্রথমটির চেয়ে বেশি তথ্য দেয়। প্রথম সারণীর সংখ্যাগুলো দ্বিতীয় সারণীর সংখ্যা ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে, কিন্তু বিপরীতটি সম্ভব নয়। প্রথম সারণীর সংখ্যাগুলো কেবল দ্বিতীয় সারণীর সংখ্যাগুলোর প্রান্তিক মোট দেয়। ম্যাকনেমার টেস্ট ১৫ এবং ৭ জোড়াকে তুলনা করার সুযোগ দেয় যেখানে ভাইবোনদের টনসিলের চিকিৎসা ভিন্ন ছিল, যা হাইপোথিসিসের সাথে প্রাসঙ্গিক, অন্যদিকে কম তথ্যপূর্ণ ৩৭ এবং ২৬ জোড়াকে উপেক্ষা করে যেখানে ভাইবোনদের উভয়েরই চিকিৎসা হয়েছিল বা উভয়েরই হয়নি।

আরও দেখুন

তথ্যসূত্র

↑ ^1.0 ^1.1 McNemar, Quinn. (June 18, 1947). "Note on the sampling error of the difference between correlated proportions or percentages". Psychometrika. 12 (2) 153–157. doi:10.1007/BF02295996.
↑ (Mar 1993). "Transmission test for linkage disequilibrium: the insulin gene region and insulin-dependent diabetes mellitus (IDDM)". Am J Hum Genet. 52 (3) 506–16.
↑ Hawass, N E. (April 1997). "Comparing the sensitivities and specificities of two diagnostic procedures performed on the same group of patients.". The British Journal of Radiology. 70 (832) 360–366. doi:10.1259/bjr.70.832.9166071.
↑ Edwards, A. (1948). "Note on the "correction for continuity" in testing the significance of the difference between correlated proportions". Psychometrika. 13 (3) 185–187. doi:10.1007/bf02289261.
↑ Lancaster, H.O.. (1961). "Significance tests in discrete distributions.". J Am Stat Assoc. 56 (294) 223–234. doi:10.1080/01621459.1961.10482105.
↑ ^6.0 ^6.1 ^6.2 ^6.3 ^6.4 (2013). "The McNemar test for binary matched-pairs data: mid-p and asymptotic are better than exact conditional". BMC Medical Research Methodology. 13 91. doi:10.1186/1471-2288-13-91.
↑ (2010). "A note on the tests for clustered matched-pair binary data". Biometrical Journal. 52 (5) 638–652. doi:10.1002/bimj.201000035.
↑ (2003). Analysis of clustered matched-pair data. Statistics in Medicine. 22 (15) 2417–28. doi:10.1002/sim.1438.
↑ Rice, John. (1995). Mathematical Statistics and Data Analysis. 492–494. Duxbury Press. ISBN 978-0-534-20934-6.
↑ (1976). "Practical Tests of 2 × 2 Contingency Tables". Journal of the Royal Statistical Society. 25 (4) 295–304. doi:10.2307/2988087.
↑ Maxwell's test, McNemar's test, Kappa test. Rimarcik.com.
↑ (2008). Generalized McNemar's Test for Homogeneity of the Marginal Distributions. SAS Global Forum.
↑ (1955). "A Test for Homogeneity of the Marginal Distributions in a Two-Way Classification". Biometrika. 42 (3/4) 412–416. doi:10.1093/biomet/42.3-4.412.
↑ (1970). "Comparing the Classification of Subjects by Two Independent Judges". The British Journal of Psychiatry. 116 (535) 651–655. doi:10.1192/bjp.116.535.651.
↑ (2006-08-30). McNemar Tests of Marginal Homogeneity. John-uebersax.com.
↑ (1966). "A Note on the Equivalence of Two Test Criteria for Hypotheses in Categorical Data". Journal of the American Statistical Association. 61 (313) 228–235. doi:10.1080/01621459.1966.10502021.
↑ (2012). "Testing Marginal Homogeneity in Matched-Pair Polytomous Data". Therapeutic Innovation & Regulatory Science. 46 (4) 434–438. doi:10.1177/0092861512442021.
↑ Agresti, Alan. (2002). Categorical Data Analysis. 413. John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 978-0-471-36093-3.

বহিঃসংযোগ

analysis

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “McNemar's test” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/McNemar's_test এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।

[McNemar1947-1] 1.0 ^1.1 McNemar, Quinn. (June 18, 1947). "Note on the sampling error of the difference between correlated proportions or percentages". Psychometrika. 12 (2) 153–157. doi:10.1007/BF02295996.

[Spielman93-2] (Mar 1993). "Transmission test for linkage disequilibrium: the insulin gene region and insulin-dependent diabetes mellitus (IDDM)". Am J Hum Genet. 52 (3) 506–16.

[3] Hawass, N E. (April 1997). "Comparing the sensitivities and specificities of two diagnostic procedures performed on the same group of patients.". The British Journal of Radiology. 70 (832) 360–366. doi:10.1259/bjr.70.832.9166071.

[Edwards1948-4] Edwards, A. (1948). "Note on the "correction for continuity" in testing the significance of the difference between correlated proportions". Psychometrika. 13 (3) 185–187. doi:10.1007/bf02289261.

[Lancaster1961-5] Lancaster, H.O.. (1961). "Significance tests in discrete distributions.". J Am Stat Assoc. 56 (294) 223–234. doi:10.1080/01621459.1961.10482105.

[Fagerland2013-6] 6.0 ^6.1 ^6.2 ^6.3 ^6.4 (2013). "The McNemar test for binary matched-pairs data: mid-p and asymptotic are better than exact conditional". BMC Medical Research Methodology. 13 91. doi:10.1186/1471-2288-13-91.

[7] (2010). "A note on the tests for clustered matched-pair binary data". Biometrical Journal. 52 (5) 638–652. doi:10.1002/bimj.201000035.

[8] (2003). Analysis of clustered matched-pair data. Statistics in Medicine. 22 (15) 2417–28. doi:10.1002/sim.1438.

[Rice1995-9] Rice, John. (1995). Mathematical Statistics and Data Analysis. 492–494. Duxbury Press. ISBN 978-0-534-20934-6.

[10] (1976). "Practical Tests of 2 × 2 Contingency Tables". Journal of the Royal Statistical Society. 25 (4) 295–304. doi:10.2307/2988087.

[11] Maxwell's test, McNemar's test, Kappa test. Rimarcik.com.

[12] (2008). Generalized McNemar's Test for Homogeneity of the Marginal Distributions. SAS Global Forum.

[13] (1955). "A Test for Homogeneity of the Marginal Distributions in a Two-Way Classification". Biometrika. 42 (3/4) 412–416. doi:10.1093/biomet/42.3-4.412.

[14] (1970). "Comparing the Classification of Subjects by Two Independent Judges". The British Journal of Psychiatry. 116 (535) 651–655. doi:10.1192/bjp.116.535.651.

[15] (2006-08-30). McNemar Tests of Marginal Homogeneity. John-uebersax.com.

[16] (1966). "A Note on the Equivalence of Two Test Criteria for Hypotheses in Categorical Data". Journal of the American Statistical Association. 61 (313) 228–235. doi:10.1080/01621459.1966.10502021.

[17] (2012). "Testing Marginal Homogeneity in Matched-Pair Polytomous Data". Therapeutic Innovation & Regulatory Science. 46 (4) 434–438. doi:10.1177/0092861512442021.

[18] Agresti, Alan. (2002). Categorical Data Analysis. 413. John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 978-0-471-36093-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

Anonymous

Search

ম্যাকনেমার টেস্ট

Namespaces

More

Page actions

Contents

সংজ্ঞা

বিভিন্ন রূপ

উদাহরণ

পাইথনে উদাহরণ বাস্তবায়ন

আলোচনা

জোড়বদ্ধ তথ্যের তথ্য

সম্পর্কিত পরীক্ষা এবং পদ্ধতি

আরও দেখুন

তথ্যসূত্র

বহিঃসংযোগ

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Anonymous

Search

ম্যাকনেমার টেস্ট

সংজ্ঞা

বিভিন্ন রূপ

উদাহরণ

পাইথনে উদাহরণ বাস্তবায়ন

আলোচনা

জোড়বদ্ধ তথ্যের তথ্য

সম্পর্কিত পরীক্ষা এবং পদ্ধতি

আরও দেখুন

তথ্যসূত্র

বহিঃসংযোগ

Navigation

Wiki tools

Page tools

Categories