ভি-পরিসংখ্যান

ভি-পরিসংখ্যান (V-statistics) হলো পরিসংখ্যানের একটি শ্রেণি, যার নামকরণ করা হয়েছে রিচার্ড ভন মিসেস-এর নামানুসারে, যিনি ১৯৪৭ সালে একটি মৌলিক গবেষণাপত্রে এদের অ্যাসিম্পটোটিক ডিস্ট্রিবিউশন থিওরি বা অসীমতটীয় বিন্যাস তত্ত্ব উদ্ভাবন করেছিলেন। ভি-পরিসংখ্যানগুলো ইউ-পরিসংখ্যান (U-statistic)-এর সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত (যেখানে U বলতে "আনবায়াসড" বা পক্ষপাতহীন বোঝায়), যা ১৯৪৮ সালে ওয়াসিলি হোয়েফডিং প্রবর্তন করেছিলেন। একটি ভি-পরিসংখ্যান হলো একটি পরিসংখ্যানগত ফাংশন (একটি নমুনার), যা একটি সম্ভাব্যতা বিন্যাসের একটি নির্দিষ্ট পরিসংখ্যানগত ফাংশনাল (statistical functional) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

পরিসংখ্যানগত ফাংশন

যেসব পরিসংখ্যানকে এমপিরিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন $(F_n)$-এর ফাংশনাল $T(F_n)$ হিসেবে উপস্থাপন করা যায়, তাদের পরিসংখ্যানগত ফাংশনাল বলা হয়। ফাংশনাল T-এর অন্তরকলনযোগ্যতা ভন মিসেসের পদ্ধতিতে একটি মূল ভূমিকা পালন করে; তাই ভন মিসেস অন্তরকলনযোগ্য পরিসংখ্যানগত ফাংশনাল বিবেচনা করেন।

পরিসংখ্যানগত ফাংশনের উদাহরণ

1. k-তম সেন্ট্রাল মোমেন্ট হলো সেই ফাংশনাল $T(F)=\int (x-\mu {)}^{k}dF(x)$, যেখানে $\mu =E[X]$ হলো X-এর এক্সপেক্টেড ভ্যালু বা প্রত্যাশিত মান। সংশ্লিষ্ট পরিসংখ্যানগত ফাংশন হলো নমুনার k-তম সেন্ট্রাল মোমেন্ট,

   $T_n=m_k=T(F_n)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^k.$

2. কাই-স্কয়ার গুডনেস-অফ-ফিট পরিসংখ্যান হলো একটি পরিসংখ্যানগত ফাংশন T(F_n), যা নিচের পরিসংখ্যানগত ফাংশনালের সাথে সম্পর্কিত:

   $T(F)=\sum _{i=1}^k\frac{(\underset{A_i}{\int }dF-p_i{)}^2}{p_i},$

   যেখানে A_i হলো k সংখ্যক সেল এবং p_i হলো নাল হাইপোথিসিসের অধীনে সেলগুলোর নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতা।
3. ক্র্যামার-ভন মিসেস এবং অ্যান্ডারসন-ডার্লিং গুডনেস-অফ-ফিট পরিসংখ্যানগুলো নিচের ফাংশনালের ওপর ভিত্তি করে তৈরি:

   $T(F)=\int (F(x)-F_0(x){)}^{2}w(x;F_0)d{F}_0(x),$

   যেখানে w(x; F₀) একটি নির্দিষ্ট ওয়েট ফাংশন এবং F₀ একটি নির্দিষ্ট নাল ডিস্ট্রিবিউশন। যদি w একটি আইডেন্টিটি ফাংশন হয়, তবে T(F_n) হলো সুপরিচিত ক্র্যামার-ভন মিসেস গুডনেস-অফ-ফিট পরিসংখ্যান; যদি $w(x;F_0)=[F_0(x)(1-F_0(x)){]}^{-1}$ হয়, তবে T(F_n) হলো অ্যান্ডারসন-ডার্লিং পরিসংখ্যান।

ভি-পরিসংখ্যান হিসেবে উপস্থাপন

ধরা যাক, x₁, ..., x_n একটি নমুনা। সাধারণ প্রয়োগে, পরিসংখ্যানগত ফাংশনটিকে ভি-পরিসংখ্যান হিসেবে এভাবে উপস্থাপন করা যায়:

$V_{mn}=\frac{1}{n^m}\sum _{i_1=1}^n\cdots \sum _{i_m=1}^{n}h(x_{i_1},x_{i_2},\dots ,x_{i_m}),$

যেখানে h একটি প্রতিসম কার্নেল ফাংশন। সারফ্লিং বাস্তবে কীভাবে কার্নেল খুঁজে বের করতে হয় তা আলোচনা করেছেন। V_mn-কে m মাত্রার একটি ভি-পরিসংখ্যান বলা হয়।

২ মাত্রার একটি প্রতিসম কার্নেল হলো এমন একটি ফাংশন h(x, y), যাতে h-এর ডোমেইনের সকল x এবং y-এর জন্য h(x, y) = h(y, x) হয়। নমুনা x₁, ..., x_n-এর জন্য, সংশ্লিষ্ট ভি-পরিসংখ্যানটি এভাবে সংজ্ঞায়িত:

$V_{2,n}=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}h(x_i,x_j).$

ভি-পরিসংখ্যানের উদাহরণ

4. ২ মাত্রার ভি-পরিসংখ্যানের একটি উদাহরণ হলো দ্বিতীয় সেন্ট্রাল মোমেন্ট m₂। যদি h(x, y) = (x − y)²/2 হয়, তবে সংশ্লিষ্ট ভি-পরিসংখ্যানটি হবে:

   $V_{2,n}=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{1}{2}(x_i-x_j{)}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2,$

   যা ভেদাঙ্ক-এর সর্বোচ্চ সম্ভাবনা প্রাক্কলক (maximum likelihood estimator)। একই কার্নেল ব্যবহার করলে, সংশ্লিষ্ট ইউ-পরিসংখ্যান হবে (পক্ষপাতহীন) নমুনা ভেদাঙ্ক:

   $s^2={(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}^{-1}\sum _{i<j}\frac{1}{2}(x_i-x_j{)}^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$।

অসীমতটীয় বিন্যাস (Asymptotic distribution)

১-৩ উদাহরণগুলোতে, পরিসংখ্যানের অসীমতটীয় বিন্যাস ভিন্ন ভিন্ন: (১)-এ এটি নরমাল, (২)-এ এটি কাই-স্কয়ার, এবং (৩)-এ এটি কাই-স্কয়ার চলকগুলোর একটি ওয়েটেড সাম বা ভারযুক্ত সমষ্টি।

ভন মিসেসের পদ্ধতি একটি সমন্বিত তত্ত্ব যা উপরের সব ক্ষেত্রকে অন্তর্ভুক্ত করে। অনানুষ্ঠানিকভাবে, একটি পরিসংখ্যানগত ফাংশনের অসীমতটীয় বিন্যাস-এর ধরন নির্ভর করে "ডিজেনারেসি"-এর ক্রমের ওপর, যা নির্ধারিত হয় ফাংশনাল T-এর টেইলর বিস্তৃতি-এর কোন পদটি প্রথম অশূন্য পদ তার ওপর। যদি এটি রৈখিক পদ হয়, তবে সীমা বিন্যাসটি নরমাল হয়; অন্যথায় উচ্চতর ক্রমের বিন্যাস দেখা দেয় (উপযুক্ত শর্ত সাপেক্ষে যাতে একটি সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম কার্যকর থাকে)।

ইউ-পরিসংখ্যান-এর অসীমতটীয় তত্ত্বের সমান্তরালে এখানেও বিভিন্ন ক্ষেত্রের একটি অনুক্রম রয়েছে। ধরা যাক A(m) হলো একটি বৈশিষ্ট্য যা নিম্নরূপ:

A(m):

1. k < m এর জন্য Var(h(X₁, ..., X_k)) = 0, এবং k = m এর জন্য Var(h(X₁, ..., X_k)) > 0;
2. n^m/2R_mn শূন্যের দিকে ধাবিত হয় (সম্ভাবনার ক্ষেত্রে)। (R_mn হলো T-এর টেইলর সিরিজের অবশিষ্ট পদ।)

ক্ষেত্র m = 1 (নন-ডিজেনারেট কার্নেল):

যদি A(1) সত্য হয়, তবে পরিসংখ্যানটি একটি নমুনা গড় এবং সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম নির্দেশ করে যে T(F_n) হলো অ্যাসিম্পটোটিক্যালি নরমাল।

ভেদাঙ্কের উদাহরণে (৪), m₂ হলো অ্যাসিম্পটোটিক্যালি নরমাল, যার গড় ${\sigma }^2$ এবং ভেদাঙ্ক $({\mu }_4-{\sigma }^4)/n$, যেখানে ${\mu }_4=E(X-E(X){)}^4$।

ক্ষেত্র m = 2 (ডিজেনারেট কার্নেল):

ধরা যাক A(2) সত্য, এবং $E[h^2(X_1,X_2)]<\mathrm{\infty },E|h(X_1,X_1)|<\mathrm{\infty },$ এবং $E[h(x,X_1)]\equiv 0$। তাহলে nV_2,n বিন্যাসের দিক থেকে স্বাধীন কাই-স্কয়ার চলকগুলোর একটি ভারযুক্ত সমষ্টির দিকে ধাবিত হয়:

$n{V}_{2,n}\stackrel{d}{⟶}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_k{Z}_k^2,$

যেখানে $Z_k$ হলো স্বাধীন স্ট্যান্ডার্ড নরমাল চলক এবং ${\lambda }_k$ হলো ধ্রুবক যা বিন্যাস F এবং ফাংশনাল T-এর ওপর নির্ভর করে। এই ক্ষেত্রে অসীমতটীয় বিন্যাস-কে কেন্দ্রীয় গাউসীয় দৈব চলকের দ্বিঘাত রূপ (quadratic form of centered Gaussian random variables) বলা হয়। পরিসংখ্যান V_2,n-কে ডিজেনারেট কার্নেল ভি-পরিসংখ্যান বলা হয়। ক্র্যামার-ভন মিসেস ফাংশনালের সাথে সম্পর্কিত ভি-পরিসংখ্যানটি (উদাহরণ ৩) হলো ডিজেনারেট কার্নেল ভি-পরিসংখ্যানের একটি উদাহরণ।

আরও দেখুন

• ইউ-পরিসংখ্যান
• অসীমতটীয় বিন্যাস
• অসীমতটীয় তত্ত্ব (পরিসংখ্যান)

তথ্যসূত্র

• Hoeffding, W.. (1948). "A class of statistics with asymptotically normal distribution". Annals of Mathematical Statistics. 19 (3) 293–325. doi:10.1214/aoms/1177730196.
• (1994). "Theory of U-statistics". Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-2608-3.
• Lee, A.J.. (1990). "U-Statistics: theory and practice". Marcel Dekker, Inc.. ISBN 0-8247-8253-4.
• Neuhaus, G.. (1977). "Functional limit theorems for U-statistics in the degenerate case". Journal of Multivariate Analysis. 7 (3) 424–439. doi:10.1016/0047-259X(77)90083-5.
• Rosenblatt, M.. (1952). "Limit theorems associated with variants of the von Mises statistic". Annals of Mathematical Statistics. 23 (4) 617–623. doi:10.1214/aoms/1177729341.
• Serfling, R.J.. (1980). "Approximation theorems of mathematical statistics". John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02403-1.
• (1985). "Limit theorems for sums of exchangeable random variables". Rowman and Allanheld.
• von Mises, R.. (1947). "On the asymptotic distribution of differentiable statistical functions". Annals of Mathematical Statistics. 18 (2) 309–348. doi:10.1214/aoms/1177730385.

collapsed

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “V-statistic” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/V-statistic এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।