ইউ-পরিসংখ্যান

পরিসংখ্যান তত্ত্বে, একটি ইউ-পরিসংখ্যান (U-statistic) হলো পরিসংখ্যানের এমন একটি শ্রেণি যা একটি নির্দিষ্ট আকারের সকল টুপল (tuples)-এর ওপর প্রদত্ত একটি ফাংশন প্রয়োগ করে তার গড় হিসেবে সংজ্ঞায়িত হয়। "U" অক্ষরটি 'unbiased' (পক্ষপাতহীন) শব্দটিকে নির্দেশ করে। প্রাথমিক পরিসংখ্যানে, ন্যূনতম-ভেদাঙ্ক পক্ষপাতহীন প্রাক্কলক (minimum-variance unbiased estimator) তৈরির ক্ষেত্রে ইউ-পরিসংখ্যান প্রাকৃতিকভাবেই উদ্ভূত হয়।

ইউ-পরিসংখ্যানের তত্ত্বটি সম্ভাবনা বিন্যাসের বৃহৎ শ্রেণির জন্য প্রতিটি প্রাক্কলনযোগ্য পরামিতি (estimable parameter) (বিকল্পভাবে, পরিসংখ্যানগত ফাংশনাল) থেকে একটি ন্যূনতম-ভেদাঙ্ক পক্ষপাতহীন প্রাক্কলক আহরণের সুযোগ দেয়। একটি প্রাক্কলনযোগ্য পরামিতি হলো জনসংখ্যার ক্রমযোজিত সম্ভাবনা বিন্যাসের একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন: উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি সম্ভাবনা বিন্যাসের জন্য, জনসংখ্যার মধ্যমা (median) একটি প্রাক্কলনযোগ্য পরামিতি। ইউ-পরিসংখ্যানের তত্ত্বটি সম্ভাবনা বিন্যাসের সাধারণ শ্রেণির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

ইতিহাস

মূলত নির্দিষ্ট প্যারামেট্রিক পরিবারের জন্য উদ্ভূত অনেক পরিসংখ্যানই সাধারণ বিন্যাসের ক্ষেত্রে ইউ-পরিসংখ্যান হিসেবে স্বীকৃত হয়েছে। অ-প্যারামেট্রিক পরিসংখ্যানে, ইউ-পরিসংখ্যানের তত্ত্বটি পরিসংখ্যানগত পদ্ধতির (যেমন প্রাক্কলক এবং পরীক্ষা) জন্য এবং এই জাতীয় পরিমাণের অ্যাসিম্পটোটিক নর্মালিটি (asymptotic normality) ও ভেদাঙ্ক (সসীম নমুনার ক্ষেত্রে) সম্পর্কিত প্রাক্কলক প্রতিষ্ঠার জন্য ব্যবহৃত হয়। এই তত্ত্বটি আরও সাধারণ পরিসংখ্যান এবং স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার (যেমন র‍্যান্ডম গ্রাফ) অধ্যয়নেও ব্যবহৃত হয়েছে।

ধরা যাক, একটি সমস্যায় স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল জড়িত এবং একটি নির্দিষ্ট পরামিতির প্রাক্কলন প্রয়োজন। ধরা যাক, মাত্র কয়েকটি পর্যবেক্ষণের ওপর ভিত্তি করে একটি সহজ পক্ষপাতহীন প্রাক্কলন তৈরি করা যেতে পারে: এটি প্রদত্ত সংখ্যক পর্যবেক্ষণের ওপর ভিত্তি করে মৌলিক প্রাক্কলককে সংজ্ঞায়িত করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি একক পর্যবেক্ষণ নিজেই গড়ের একটি পক্ষপাতহীন প্রাক্কলন এবং এক জোড়া পর্যবেক্ষণ ভেদাঙ্কের একটি পক্ষপাতহীন প্রাক্কলন আহরণে ব্যবহার করা যেতে পারে। এই প্রাক্কলকের ওপর ভিত্তি করে ইউ-পরিসংখ্যানকে সংজ্ঞায়িত করা হয় উপ-নমুনাগুলোর ওপর প্রয়োগকৃত মৌলিক প্রাক্কলকের গড় (পর্যবেক্ষণের সম্পূর্ণ সেট থেকে প্রদত্ত আকারের সকল কম্বিনেটোরিয়াল নির্বাচনের মাধ্যমে) হিসেবে।

প্রণব কে. সেন (১৯৯২) ওয়াসিলি হোয়েফডিং (১৯৪৮)-এর গবেষণাপত্রের একটি পর্যালোচনা প্রদান করেছেন, যা ইউ-পরিসংখ্যানের প্রবর্তন করে এবং তাদের সম্পর্কিত তত্ত্ব স্থাপন করে। এর মাধ্যমে সেন পরিসংখ্যান তত্ত্বে ইউ-পরিসংখ্যানের গুরুত্ব তুলে ধরেন। সেন বলেন, “বর্তমানে হোয়েফডিং (১৯৪৮)-এর প্রভাব অপরিসীম এবং আগামী বছরগুলোতেও তা অব্যাহত থাকার সম্ভাবনা প্রবল।” উল্লেখ্য যে, ইউ-পরিসংখ্যানের তত্ত্বটি কেবল স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল বা স্কেলার র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রেই সীমাবদ্ধ নয়।

সংজ্ঞা

হোয়েফডিং (১৯৪৮) কর্তৃক প্রদত্ত ইউ-পরিসংখ্যানের শব্দটি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত।

ধরা যাক $K$ হলো বাস্তব বা জটিল সংখ্যা এবং $f:(K^d{)}^r\to K$ হলো $r$ সংখ্যক $d$-মাত্রিক ভেরিয়েবলের একটি $K$-মান বিশিষ্ট ফাংশন। প্রতিটি $n\ge r$-এর জন্য সংশ্লিষ্ট ইউ-পরিসংখ্যান $f_n:(K^d{)}^n\to K$-কে $\{1,2,\dots ,n\}$ থেকে স্বতন্ত্র এন্ট্রিযুক্ত $r$-টুপলগুলোর সেট $I_{r,n}$-এর ওপর $f(x_{i_1},\dots ,x_{i_r})$ মানগুলোর গড় হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। আনুষ্ঠানিকভাবে,

$f_n(x_1,\dots ,x_n)=\frac{1}{\prod _{i=0}^{r-1}(n-i)}\sum _{(i_1,\dots ,i_r)\in I_{r,n}}f(x_{i_1},\dots ,x_{i_r})$।

বিশেষভাবে, যদি $f$ প্রতিসম (symmetric) হয়, তবে উপরের সমীকরণটি সরলীকৃত হয়ে দাঁড়ায়

$f_n(x_1,\dots ,x_n)=\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})}\sum _{(i_1,\dots ,i_r)\in J_{r,n}}f(x_{i_1},\dots ,x_{i_r})$,

যেখানে $J_{r,n}$ হলো ক্রমবর্ধমান টুপলগুলোর $I_{r,n}$-এর উপসেট।

প্রতিটি ইউ-পরিসংখ্যান $f_n$ অবশ্যই একটি প্রতিসম ফাংশন।

ইউ-পরিসংখ্যান পরিসংখ্যানগত কাজে অত্যন্ত স্বাভাবিক, বিশেষ করে হোয়েফডিং-এর স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল-এর প্রেক্ষাপটে, অথবা আরও সাধারণভাবে বিনিময়যোগ্য অনুক্রম-এর (exchangeable sequences) জন্য, যেমন সসীম জনসংখ্যা থেকে সরল র‍্যান্ডম স্যাম্পলিং-এর ক্ষেত্রে, যেখানে সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্যটিকে 'গড়ে উত্তরাধিকার' (inheritance on the average) বলা হয়।

ফিশারের k-পরিসংখ্যান এবং টুকির পলিকি (polykay) হলো সমজাতীয় বহুপদী (homogeneous polynomial) ইউ-পরিসংখ্যানের উদাহরণ (ফিশার, ১৯২৯; টুকি, ১৯৫০)।

N আকারের জনসংখ্যা থেকে গৃহীত n আকারের একটি সরল র‍্যান্ডম নমুনা φ-এর জন্য, ইউ-পরিসংখ্যানের বৈশিষ্ট্য হলো নমুনা মানগুলোর গড় ƒ_n(xφ) ঠিক জনসংখ্যার মান ƒ_N(x)-এর সমান।

উদাহরণ

কিছু উদাহরণ: যদি $f(x)=x$ হয়, তবে ইউ-পরিসংখ্যান $f_n(x)={\overline{x}}_n=(x_1+\cdots +x_n)/n$ হলো নমুনার গড়।

যদি $f(x_1,x_2)=|x_1-x_2|$ হয়, তবে ইউ-পরিসংখ্যান হলো গড় জোড় বিচ্যুতি $f_n(x_1,\dots ,x_n)=2/(n(n-1))\sum _{i>j}|x_i-x_j|$, যা $n\ge 2$-এর জন্য সংজ্ঞায়িত।

যদি $f(x_1,x_2)=(x_1-x_2{)}^2/2$ হয়, তবে ইউ-পরিসংখ্যান হলো নমুনা ভেদাঙ্ক $f_n(x)=\sum (x_i-{\overline{x}}_n{)}^2/(n-1)$ যা $n-1$ ভাজকসহ $n\ge 2$-এর জন্য সংজ্ঞায়িত।

তৃতীয় $k$-পরিসংখ্যান $k_{3,n}(x)=\sum (x_i-{\overline{x}}_n{)}^{3}n/((n-1)(n-2))$, যা $n\ge 3$-এর জন্য সংজ্ঞায়িত নমুনার স্কিউনেস (skewness), একটি ইউ-পরিসংখ্যান।

নিম্নলিখিত ক্ষেত্রটি একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় তুলে ধরে। যদি $f(x_1,x_2,x_3)$ তিনটি মানের মধ্যমা হয়, তবে $f_n(x_1,\dots ,x_n)$ হলো $n$ সংখ্যক মানের মধ্যমা নয়। তবে, এটি তিনটি মানের মধ্যমার প্রত্যাশিত মানের একটি ন্যূনতম ভেদাঙ্ক পক্ষপাতহীন প্রাক্কলন, জনসংখ্যার মধ্যমা নয়। অনুরূপ প্রাক্কলনগুলো সেখানে কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে যেখানে সম্ভাবনা বিন্যাসের একটি পরিবারের পরামিতিগুলো সম্ভাবনা ভারিত মোমেন্ট বা L-মোমেন্ট দ্বারা প্রাক্কলন করা হচ্ছে।

আরও দেখুন

• ভি-পরিসংখ্যান

তথ্যসূত্র

• Borovskikh, Yu. V.. (1996). "U-statistics in Banach spaces". xii+420. VSP. ISBN 90-6764-200-2.
• Cox, D. R., Hinkley, D. V. (1974) Theoretical statistics. Chapman and Hall. 0-412-12420-3
• ফিশার, আর. এ. (১৯২৯) Moments and product moments of sampling distributions. Proceedings of the London Mathematical Society, 2, 30:199–238.
• হোয়েফডিং, ডব্লিউ. (১৯৪৮) A class of statistics with asymptotically normal distributions. Annals of Statistics, 19:293–325. (আংশিকভাবে পুনর্মুদ্রিত: Kotz, S., Johnson, N. L. (1992) Breakthroughs in Statistics, Vol I, pp 308–334. Springer-Verlag. 0-387-94037-5)
• (1994). "Theory of U-statistics". 273 x+552. Kluwer Academic Publishers Group. ISBN 0-7923-2608-3.
• Lee, A. J. (1990) U-Statistics: Theory and Practice. Marcel Dekker, New York. pp320 0-8247-8253-4
• সেন, পি. কে. (১৯৯২) Introduction to Hoeffding (1948) A Class of Statistics with Asymptotically Normal Distribution. In: Kotz, S., Johnson, N. L. Breakthroughs in Statistics, Vol I, pp 299–307. Springer-Verlag. 0-387-94037-5.
• Serfling, Robert J.. (1980). Approximation theorems of mathematical statistics. John Wiley and Sons. ISBN 0-471-02403-1.
• Tukey, J. W.. (1950). "Some Sampling Simplified". Journal of the American Statistical Association. 45 (252) 501–519. doi:10.1080/01621459.1950.10501142.
• Halmos, P.. (1946). "The Theory of Unbiased Estimation". Annals of Mathematical Statistics. 1 (17) 34–43. doi:10.1214/aoms/1177731020.

inference

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “U-statistic” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/U-statistic এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।