Coefficient of variation

সম্ভাবনা তত্ত্ব (probability theory) এবং পরিসংখ্যান-এ (statistics), Coefficient of variation (CV), যা নরমালাইজড root-mean-square deviation (NRMSD) এবং relative standard deviation (RSD) নামেও পরিচিত, হলো একটি সম্ভাবনা বিন্যাস (probability distribution) বা কম্পাঙ্ক বিন্যাস-এর (frequency distribution) পরিসংখ্যানগত বিচ্ছুরণ-এর (statistical dispersion) একটি মানক (standardized) পরিমাপ। এটি মানক বিচ্যুতি (standard deviation) $\sigma$ এবং গড় (mean) $\mu$-এর (অথবা এর পরম মান, Failed to parse (syntax error): {\displaystyle ) অনুপাত হিসেবে সংজ্ঞায়িত এবং প্রায়শই শতাংশে ("%RSD") প্রকাশ করা হয়। CV বা RSD [[বিশ্লেষণমূলক রসায়ন]]-এ (analytical chemistry) কোনো [[অ্যাসে]]-এর (assay) নির্ভুলতা এবং পুনরাবৃত্তিযোগ্যতা প্রকাশ করতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। এটি [[প্রকৌশল]] (engineering) বা [[পদার্থবিজ্ঞান]]-এর (physics) মতো ক্ষেত্রে গুণমান নিশ্চিতকরণ অধ্যয়ন এবং [[ANOVA gauge R&R]]-এর সময়, [[অর্থনৈতিক মডেল]]-এ অর্থনীতিবিদ এবং বিনিয়োগকারীদের দ্বারা, [[মহামারীবিদ্যা]] (epidemiology) এবং [[মনোবিজ্ঞান]]/[[স্নায়ুবিজ্ঞান]]-এও (neuroscience) সাধারণত ব্যবহৃত হয়। ==সংজ্ঞা== Coefficient of variation (CV)-কে সংজ্ঞায়িত করা হয়<ref>Everitt, Brian. (1998). [https://archive.org/details/cambridgediction00ever_0 The Cambridge Dictionary of Statistics]. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59346-5.</ref> মানক বিচ্যুতি <math>\sigma} এবং গড় $\mu$-এর অনুপাত হিসেবে,

$CV=\frac{\sigma }{\mu }.$

এটি পপুলেশনের গড়ের সাপেক্ষে পরিবর্তনশীলতার মাত্রা নির্দেশ করে। Coefficient of variation শুধুমাত্র সেই সব স্কেলে পরিমাপ করা ডেটার জন্য গণনা করা উচিত যেগুলোর একটি অর্থপূর্ণ শূন্য (zero) আছে (অনুপাত স্কেল বা ratio scale) এবং তাই দুটি পরিমাপের আপেক্ষিক তুলনা (অর্থাৎ, একটি পরিমাপকে অন্যটি দিয়ে ভাগ করা) সম্ভব। ইন্টারভাল স্কেল-এ (interval scale) থাকা ডেটার জন্য Coefficient of variation-এর কোনো অর্থ নাও থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, বেশিরভাগ তাপমাত্রা স্কেল (যেমন: সেলসিয়াস, ফারেনহাইট ইত্যাদি) হলো ইন্টারভাল স্কেল, যেগুলোর শূন্য মান ইচ্ছামাফিক নির্ধারিত, তাই ব্যবহৃত স্কেলের ওপর ভিত্তি করে গণনাকৃত Coefficient of variation ভিন্ন হবে। অন্যদিকে, কেলভিন তাপমাত্রার একটি অর্থপূর্ণ শূন্য আছে, যা তাপীয় শক্তির সম্পূর্ণ অনুপস্থিতি নির্দেশ করে এবং তাই এটি একটি অনুপাত স্কেল। সহজ ভাষায়, ২০ কেলভিন ১০ কেলভিনের দ্বিগুণ গরম—এটি বলা অর্থপূর্ণ, কিন্তু শুধুমাত্র এই স্কেলেই যেখানে একটি প্রকৃত পরম শূন্য আছে। যদিও একটি মানক বিচ্যুতি (SD) কেলভিন, সেলসিয়াস বা ফারেনহাইটে পরিমাপ করা যায়, তবে গণনাকৃত মান শুধুমাত্র সেই স্কেলের জন্যই প্রযোজ্য। শুধুমাত্র কেলভিন স্কেল ব্যবহার করেই একটি বৈধ Coefficient of variation গণনা করা সম্ভব।

যেসব পরিমাপ লগ-নরমাল (log-normal) বিন্যাস অনুসরণ করে, সেগুলো স্থির CV প্রদর্শন করে; বিপরীতে, পরিমাপের প্রত্যাশিত মানের ওপর ভিত্তি করে SD পরিবর্তিত হয়।

একটি আরও শক্তিশালী সম্ভাবনা হলো কোয়ার্টাইল কোফিসিয়েন্ট অফ ডিসপারসন (quartile coefficient of dispersion), যা ইন্টারকোয়ার্টাইল রেঞ্জ-এর অর্ধেক $(Q_3-Q_1)/2$-কে কোয়ার্টাইলগুলোর গড় (মিডহিঞ্জ) $(Q_1+Q_3)/2$ দিয়ে ভাগ করে পাওয়া যায়।

বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, একটি একক স্বাধীন চলকের (যেমন: একটি একক কারখানার পণ্য) জন্য CV গণনা করা হয়, যেখানে নির্ভরশীল চলকের অসংখ্য পুনরাবৃত্তিমূলক পরিমাপ থাকে (যেমন: উৎপাদন প্রক্রিয়ায় ত্রুটি)। তবে, যেসব ডেটা রৈখিক বা এমনকি লগারিদমিকভাবে অ-রৈখিক এবং প্রতিটি মানের বিপরীতে বিক্ষিপ্ত পরিমাপসহ স্বাধীন চলকের জন্য একটি ধারাবাহিক পরিসর অন্তর্ভুক্ত করে (যেমন: স্ক্যাটার-প্লট), সেগুলো ম্যাক্সিমাম লাইকলিহুড এস্টিমেশন (maximum-likelihood estimation) পদ্ধতি ব্যবহার করে একক CV গণনার জন্য উপযুক্ত হতে পারে।

উদাহরণ

নিচের উদাহরণগুলোতে, আমরা প্রদত্ত মানগুলোকে একটি বৃহত্তর পপুলেশন থেকে দৈবচয়নভাবে নির্বাচিত হিসেবে ধরব।

• [100, 100, 100] ডেটা সেটের মানগুলো ধ্রুবক। এর মানক বিচ্যুতি হলো ০ এবং গড় হলো ১০০, ফলে Coefficient of variation হয় ০ / ১০০ = ০।
• [90, 100, 110] ডেটা সেটে পরিবর্তনশীলতা বেশি। এর মানক বিচ্যুতি হলো ১০ এবং গড় হলো ১০০, ফলে Coefficient of variation হয় ১০ / ১০০ = ০.১।
• [1, 5, 6, 8, 10, 40, 65, 88] ডেটা সেটে পরিবর্তনশীলতা আরও বেশি। এর মানক বিচ্যুতি হলো ৩২.৯ এবং গড় হলো ২৭.৯, ফলে Coefficient of variation হয় ৩২.৯ / ২৭.৯ = ১.১৮।

এই উদাহরণগুলোতে, আমরা প্রদত্ত মানগুলোকে মানগুলোর সম্পূর্ণ পপুলেশন হিসেবে ধরব।

• [100, 100, 100] ডেটা সেটের একটি পপুলেশন মানক বিচ্যুতি ০ এবং Coefficient of variation ০ / ১০০ = ০।
• [90, 100, 110] ডেটা সেটের পপুলেশন মানক বিচ্যুতি ৮.১৬ এবং Coefficient of variation ৮.১৬ / ১০০ = ০.০৮১৬।
• [1, 5, 6, 8, 10, 40, 65, 88] ডেটা সেটের পপুলেশন মানক বিচ্যুতি ৩০.৮ এবং Coefficient of variation ৩০.৮ / ২৭.৯ = ১.১০।

প্রাক্কলন (Estimation)

যখন পপুলেশন থেকে শুধুমাত্র ডেটার একটি নমুনা (sample) পাওয়া যায়, তখন পপুলেশন CV-কে নমুনা মানক বিচ্যুতি (sample standard deviation) $s$ এবং নমুনা গড় $\overline{x}$-এর অনুপাত ব্যবহার করে প্রাক্কলন করা যায়:

$\widehat{c_{\mathrm{v}}}=\frac{s}{\overline{x}}$

কিন্তু এই প্রাক্কলকটি (estimator), যখন ছোট বা মাঝারি আকারের নমুনার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়, তখন খুব কম মান দেওয়ার প্রবণতা দেখায়: এটি একটি পক্ষপাতদুষ্ট প্রাক্কলক (biased estimator)। নরমাল বিন্যাস-এর (normally distributed) ডেটার জন্য, n আকারের নমুনার একটি নিরপেক্ষ প্রাক্কলক হলো:

${\widehat{c_{\mathrm{v}}}}^{*}=(1+\frac{1}{4n})\widehat{c_{\mathrm{v}}}$

লগ-নরমাল ডেটা

অনেক ডেটাসেট প্রায় লগ-নরমাল বিন্যাস অনুসরণ করে। এমন ক্ষেত্রে, লগ-নরমাল বিন্যাস-এর বৈশিষ্ট্য থেকে প্রাপ্ত একটি আরও সঠিক প্রাক্কলন হলো:

${\widehat{cv}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{w}}=\sqrt{{\mathrm{e}}^{s_{\ln }^2}-1}$

যেখানে $s_{\ln }$ হলো প্রাকৃতিক লগ (natural log) রূপান্তরের পর ডেটার নমুনা মানক বিচ্যুতি। (যদি পরিমাপগুলো অন্য কোনো লগারিদমিক ভিত্তি, b ব্যবহার করে রেকর্ড করা হয়, তবে তাদের মানক বিচ্যুতি $s_b$-কে $s_{\ln }=s_b\ln (b)$ ব্যবহার করে ভিত্তি e-তে রূপান্তর করা হয় এবং ${\widehat{cv}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{w}}$-এর সূত্র একই থাকে।) এই প্রাক্কলনটিকে কখনও কখনও "জ্যামিতিক CV" (GCV) বলা হয় যাতে উপরের সাধারণ প্রাক্কলন থেকে একে আলাদা করা যায়। তবে, কার্কউড (Kirkwood) কর্তৃক "জ্যামিতিক কোফিসিয়েন্ট অফ ভেরিয়েশন"-কে এভাবেও সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

$\mathrm{G}\mathrm{C}{\mathrm{V}}_{\mathrm{K}}={\mathrm{e}}^{s_{\ln }}-1$

এই শব্দটি লগ-নরমাল ডেটাতে গুণিতক পরিবর্তনশীলতা বর্ণনা করার জন্য Coefficient of variation-এর অনুরূপ হিসেবে উদ্দিষ্ট ছিল, কিন্তু GCV-এর এই সংজ্ঞার $c_{\mathrm{v}}$-এর প্রাক্কলন হিসেবে কোনো তাত্ত্বিক ভিত্তি নেই।

অনেক ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে (যেমন নমুনার আকার নির্ধারণ এবং কনফিডেন্স ইন্টারভাল গণনা) লগ-নরমাল বিন্যাসযুক্ত ডেটার প্রেক্ষাপটে $s_{ln}$ সবচেয়ে বেশি কার্যকর। প্রয়োজনে, সংশ্লিষ্ট সূত্রটি উল্টে এটি $c_{\mathrm{v}}$ বা GCV-এর প্রাক্কলন থেকে বের করা যেতে পারে।

মানক বিচ্যুতির সাথে তুলনা

সুবিধাসমূহ

Coefficient of variation কার্যকর কারণ ডেটার মানক বিচ্যুতি সর্বদা ডেটার গড়ের প্রেক্ষাপটে বোঝা প্রয়োজন। বিপরীতে, CV-এর প্রকৃত মান পরিমাপের এককের ওপর নির্ভর করে না, তাই এটি একটি মাত্রাহীন সংখ্যা (dimensionless number)। ভিন্ন একক বা ব্যাপকভাবে ভিন্ন গড়যুক্ত ডেটাসেটগুলোর মধ্যে তুলনার জন্য, মানক বিচ্যুতির পরিবর্তে Coefficient of variation ব্যবহার করা উচিত।

অসুবিধাসমূহ

• যখন গড় মান শূন্যের কাছাকাছি থাকে, তখন Coefficient of variation অসীমের দিকে ধাবিত হয় এবং তাই গড়ের ছোট পরিবর্তনের প্রতি সংবেদনশীল হয়। যদি মানগুলো অনুপাত স্কেল থেকে না আসে তবে এটি প্রায়শই ঘটে।
• মানক বিচ্যুতির বিপরীতে, এটি সরাসরি গড়ের জন্য কনফিডেন্স ইন্টারভাল তৈরিতে ব্যবহার করা যায় না।

প্রয়োগ

Coefficient of variation ফলিত সম্ভাবনা ক্ষেত্র যেমন রিনিউয়াল থিওরি, কিউইং থিওরি এবং রিলায়েবিলিটি থিওরি-তে সাধারণ। এই ক্ষেত্রগুলোতে, এক্সপোনেনশিয়াল বিন্যাস (exponential distribution) প্রায়শই নরমাল বিন্যাস-এর চেয়ে বেশি গুরুত্বপূর্ণ। একটি এক্সপোনেনশিয়াল বিন্যাসের মানক বিচ্যুতি তার গড়ের সমান, তাই এর Coefficient of variation ১-এর সমান। CV < ১ বিশিষ্ট বিন্যাসগুলোকে (যেমন এরল্যাং বিন্যাস) কম-পরিবর্তনশীল এবং CV > ১ বিশিষ্ট বিন্যাসগুলোকে (যেমন হাইপার-এক্সপোনেনশিয়াল বিন্যাস) উচ্চ-পরিবর্তনশীল হিসেবে বিবেচনা করা হয়। এই ক্ষেত্রগুলোর কিছু সূত্র স্কয়ারড কোফিসিয়েন্ট অফ ভেরিয়েশন (squared coefficient of variation) ব্যবহার করে প্রকাশ করা হয়, যা প্রায়শই SCV হিসেবে সংক্ষেপিত হয়। মডেলিংয়ে, CV-এর একটি রূপ হলো CV(RMSD)। মূলত CV(RMSD) মানক বিচ্যুতি পদটিকে রুট মিন স্কয়ার ডেভিয়েশন (RMSD) দিয়ে প্রতিস্থাপন করে। যদিও অনেক প্রাকৃতিক প্রক্রিয়া প্রকৃতপক্ষে গড় মান এবং এর চারপাশের পরিবর্তনের পরিমাণের মধ্যে একটি সম্পর্ক প্রদর্শন করে, তবুও সঠিক সেন্সর ডিভাইসগুলোকে এমনভাবে ডিজাইন করা প্রয়োজন যাতে Coefficient of variation শূন্যের কাছাকাছি থাকে, অর্থাৎ তাদের কাজের পরিসরে একটি ধ্রুবক পরম ত্রুটি (absolute error) প্রদান করে।

অ্যাকচুয়ারিয়াল সায়েন্স-এ (actuarial science), CV-কে ইউনিটাইজড রিস্ক (unitized risk) বলা হয়।

শিল্পজাত কঠিন পদার্থ প্রক্রিয়াকরণে, পাউডার মিশ্রণের সমজাতীয়তার মাত্রা পরিমাপের জন্য CV বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ। গণনাকৃত CV-কে একটি স্পেসিফিকেশনের সাথে তুলনা করলে মিশ্রণের পর্যাপ্ত মাত্রা অর্জিত হয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করা সম্ভব হয়।

ইন্ট্রা-অ্যাসে এবং ইন্টার-অ্যাসে CV-এর ল্যাবরেটরি পরিমাপ

CV পরিমাপগুলো প্রায়শই পরিমাণগত ল্যাবরেটরি অ্যাসে-এর জন্য গুণমান নিয়ন্ত্রণ হিসেবে ব্যবহৃত হয়। যদিও ইন্ট্রা-অ্যাসে এবং ইন্টার-অ্যাসে CV-গুলোকে একটি অ্যাসের মধ্যে একাধিক নমুনার CV মানগুলোর গড় করে বা একাধিক ইন্টার-অ্যাসে CV প্রাক্কলনের গড় করে গণনা করা হয়েছে বলে ধরে নেওয়া হতে পারে, তবে এটি পরামর্শ দেওয়া হয়েছে যে এই অনুশীলনগুলো ভুল এবং একটি আরও জটিল গণনা প্রক্রিয়া প্রয়োজন। এটিও উল্লেখ করা হয়েছে যে যখন নমুনার মধ্যে প্রতিলিপি (replicates)-এর সংখ্যা পরিবর্তিত হয় তখন CV মানগুলো পরিমাপের নিশ্চিততার একটি আদর্শ সূচক নয় − এই ক্ষেত্রে শতাংশে মানক ত্রুটিকে (standard error) শ্রেয় বলে মনে করা হয়। যদি পরিমাপের কোনো প্রাকৃতিক শূন্য বিন্দু না থাকে তবে CV একটি বৈধ পরিমাপ নয় এবং ইন্ট্রাক্লাস কোরিলেশন কোফিসিয়েন্টের মতো বিকল্প পরিমাপের সুপারিশ করা হয়।

অর্থনৈতিক বৈষম্যের পরিমাপ হিসেবে

Coefficient of variation অর্থনৈতিক বৈষম্যের পরিমাপের প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে। যদি x (এন্ট্রি x_i সহ) একটি অর্থনৈতিক সূচকের (যেমন সম্পদ) মানগুলোর তালিকা হয়, যেখানে x_i হলো এজেন্ট i-এর সম্পদ, তবে নিম্নলিখিত প্রয়োজনীয়তাগুলো পূরণ হয়:

• নামহীনতা (Anonymity) – c_v তালিকা x-এর ক্রম থেকে স্বাধীন। এটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে ভেদাঙ্ক (variance) এবং গড় x-এর ক্রম থেকে স্বাধীন।
• স্কেল ইনভ্যারিয়েন্স (Scale invariance): c_v(x) = c_v(αx) যেখানে α একটি বাস্তব সংখ্যা।
• পপুলেশন ইন্ডিপেন্ডেন্স (Population independence) – যদি {x,x} তালিকা x-কে নিজের সাথে যুক্ত করা হয়, তবে c_v({x,x}) = c_v(x)। এটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে ভেদাঙ্ক এবং গড় উভয়ই এই নীতি মেনে চলে।
• পিগু-ডাল্টন ট্রান্সফার প্রিন্সিপল (Pigou–Dalton transfer principle): যখন সম্পদ একজন ধনী এজেন্ট i থেকে একজন দরিদ্র এজেন্ট j-এর কাছে স্থানান্তরিত হয় (অর্থাৎ x_i > x_j) তাদের র‍্যাঙ্ক পরিবর্তন না করে, তখন c_v হ্রাস পায় এবং বিপরীতটি ঘটে।

c_v সম্পূর্ণ সমতার জন্য (সব x_i সমান) তার সর্বনিম্ন মান শূন্য গ্রহণ করে। এর সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য অসুবিধা হলো এটি ওপরের দিক থেকে সীমাবদ্ধ নয়, তাই একে একটি নির্দিষ্ট পরিসরের মধ্যে নরমালাইজ করা যায় না (যেমন জিনি কোফিসিয়েন্ট, যা ০ থেকে ১-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ)। তবে, এটি জিনি কোফিসিয়েন্টের চেয়ে গাণিতিকভাবে বেশি সহজসাধ্য।

প্রত্নতাত্ত্বিক শিল্পকর্মের মানককরণের পরিমাপ হিসেবে

প্রত্নতাত্ত্বিকরা প্রায়শই প্রাচীন শিল্পকর্মের মানককরণের মাত্রা তুলনা করতে CV মান ব্যবহার করেন। CV-এর পরিবর্তনকে নতুন প্রযুক্তি গ্রহণের জন্য বিভিন্ন সাংস্কৃতিক সংক্রমণের প্রেক্ষাপট নির্দেশক হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। Coefficient of variation-কে সামাজিক সংগঠনের পরিবর্তনের সাথে সম্পর্কিত মৃৎশিল্পের মানককরণ তদন্ত করতেও ব্যবহার করা হয়েছে। প্রত্নতাত্ত্বিকরা CV মান তুলনা করার জন্য বেশ কয়েকটি পদ্ধতিও ব্যবহার করেন, উদাহরণস্বরূপ CV-এর সমতার জন্য মডিফাইড সাইনড-লাইকলিহুড রেশিও (MSLR) পরীক্ষা।

অপব্যবহারের উদাহরণ

আপেক্ষিক একক ব্যবহার করে প্যারামিটারগুলোর মধ্যে Coefficient of variation তুলনা করলে এমন পার্থক্য দেখা দিতে পারে যা বাস্তব নয়। যদি আমরা সেলসিয়াস এবং ফারেনহাইট-এ (উভয়ই আপেক্ষিক একক, যেখানে কেলভিন এবং র‍্যাঙ্কিন স্কেল তাদের সংশ্লিষ্ট পরম মান) তাপমাত্রার একই সেট তুলনা করি:

সেলসিয়াস: [0, 10, 20, 30, 40]

ফারেনহাইট: [32, 50, 68, 86, 104]

নমুনা মানক বিচ্যুতি যথাক্রমে ১৫.৮১ এবং ২৮.৪৬। প্রথম সেটের CV হলো ১৫.৮১/২০ = ৭৯%। দ্বিতীয় সেটের জন্য (যা একই তাপমাত্রা) এটি হলো ২৮.৪৬/৬৮ = ৪২%।

যদি, উদাহরণস্বরূপ, ডেটাসেটগুলো দুটি ভিন্ন সেন্সর (একটি সেলসিয়াস সেন্সর এবং একটি ফারেনহাইট সেন্সর) থেকে তাপমাত্রার রিডিং হয় এবং আপনি জানতে চান যে কোন সেন্সরটি ভালো (সবচেয়ে কম ভেদাঙ্কযুক্তটি বেছে নিয়ে), তবে আপনি CV ব্যবহার করলে বিভ্রান্ত হবেন। এখানে সমস্যা হলো আপনি পরম মানের পরিবর্তে একটি আপেক্ষিক মান দিয়ে ভাগ করেছেন।

একই ডেটাসেট তুলনা করলে, এখন পরম এককে:

কেলভিন: [273.15, 283.15, 293.15, 303.15, 313.15]

র‍্যাঙ্কিন: [491.67, 509.67, 527.67, 545.67, 563.67]

নমুনা মানক বিচ্যুতি এখনও যথাক্রমে ১৫.৮১ এবং ২৮.৪৬, কারণ মানক বিচ্যুতি একটি ধ্রুবক অফসেট দ্বারা প্রভাবিত হয় না। তবে, Coefficient of variation এখন উভয়ই ৫.৩৯%-এর সমান।

গাণিতিকভাবে বলতে গেলে, Coefficient of variation সম্পূর্ণ রৈখিক নয়। অর্থাৎ, একটি দৈব চলক $X$-এর জন্য, $aX+b$-এর Coefficient of variation শুধুমাত্র তখনই $X$-এর Coefficient of variation-এর সমান হয় যখন $b=0$। উপরের উদাহরণে, সেলসিয়াসকে শুধুমাত্র $b\ne 0$ সহ $ax+b$ আকারের রৈখিক রূপান্তরের মাধ্যমে ফারেনহাইটে রূপান্তর করা যায়, যেখানে কেলভিনকে $ax$ আকারের রূপান্তরের মাধ্যমে র‍্যাঙ্কিনে রূপান্তর করা যায়।

বিন্যাস

যদি নমুনা গড়ের ঋণাত্মক এবং ছোট ধনাত্মক মান নগণ্য কম্পাঙ্কে ঘটে, তবে n আকারের নমুনার i.i.d. নরমাল দৈব চলকের জন্য Coefficient of variation-এর সম্ভাবনা বিন্যাস হেন্ড্রিক্স এবং রোবি (Hendricks and Robey) দ্বারা দেখানো হয়েছে:

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \mathrm{d}F_{c_{\rm v}} = \frac{2}{\pi^{1/2} \Gamma {\left(\frac{n-1}{2}\right)}} \exp \left( -\frac{n}{2\left(\frac{\sigma}{\mu}\right)^2} \cdot \frac^2}{1+{c_{\rm v}}^2} \right) \frac^{n-2}}{(1+{c_{\rm v}}^2)^{n/2}}\sideset{}{^\prime}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{(n-1)! \, \Gamma \left(\frac{n-i}{2}\right)}{(n-1-i)! \, i! \,} \cdot \frac{n^{i/2}}{2^{i/2} \cdot \left(\frac{\sigma}{\mu}\right)^i} \cdot \frac{1}{(1+{c_{\rm v}}^2)^{i/2}} \, \mathrm{d}c_{\rm v} ,}

যেখানে $\sum _{{}^{\prime }}$ প্রতীকটি নির্দেশ করে যে সমষ্টি শুধুমাত্র $n-1-i$-এর জোড় মানের ওপর, অর্থাৎ, যদি $n$ বিজোড় হয়, তবে $i$-এর জোড় মানের ওপর যোগ করুন এবং যদি $n$ জোড় হয়, তবে শুধুমাত্র $i$-এর বিজোড় মানের ওপর যোগ করুন।

এটি কার্যকর, উদাহরণস্বরূপ, হাইপোথিসিস টেস্ট বা কনফিডেন্স ইন্টারভাল তৈরিতে। নরমাল বিন্যাসযুক্ত ডেটাতে Coefficient of variation-এর জন্য পরিসংখ্যানগত অনুমান প্রায়শই Coefficient of variation-এর জন্য ম্যাককে-এর কাই-স্কয়ার প্রাক্কলন (McKay's chi-square approximation)-এর ওপর ভিত্তি করে হয়।

বিকল্প

লিউ (২০১২) Coefficient of variation-এর জন্য কনফিডেন্স ইন্টারভাল তৈরির পদ্ধতিগুলো পর্যালোচনা করেছেন। উল্লেখযোগ্যভাবে, লেহম্যান (১৯৮৬) CI তৈরির একটি সঠিক পদ্ধতি দেওয়ার জন্য নন-সেন্ট্রাল টি-বিন্যাস (non-central t-distribution) ব্যবহার করে Coefficient of variation-এর নমুনা বিন্যাস উদ্ভূত করেছেন।

অনুরূপ অনুপাত

স্ট্যান্ডার্ডাইজড মোমেন্ট-গুলো হলো অনুরূপ অনুপাত, ${\mu }_k/{\sigma }^k$ যেখানে ${\mu }_k$ হলো গড়ের সাপেক্ষে k-তম মোমেন্ট, যা মাত্রাহীন এবং স্কেল ইনভ্যারিয়েন্ট। ভেদাঙ্ক-থেকে-গড় অনুপাত (variance-to-mean ratio), ${\sigma }^2/\mu$, আরেকটি অনুরূপ অনুপাত, কিন্তু এটি মাত্রাহীন নয় এবং তাই স্কেল ইনভ্যারিয়েন্ট নয়। আরও অনুপাতের জন্য নরমালাইজেশন (পরিসংখ্যান) দেখুন।

সিগন্যাল প্রসেসিং-এ, বিশেষ করে ইমেজ প্রসেসিং-এ, মাল্টিপ্লিকেটিভ ইনভার্স অনুপাত $\mu /\sigma$ (বা এর বর্গ)-কে সাধারণভাবে সিগন্যাল-টু-নয়েজ রেশিও এবং বিশেষভাবে সিগন্যাল-টু-নয়েজ রেশিও (ইমেজিং) বলা হয়।

অন্যান্য সম্পর্কিত অনুপাতগুলোর মধ্যে রয়েছে:

• দক্ষতা (Efficiency), ${\sigma }^2/{\mu }^2$
• স্ট্যান্ডার্ডাইজড মোমেন্ট, ${\mu }_k/{\sigma }^k$
• ভেদাঙ্ক-থেকে-গড় অনুপাত (বা আপেক্ষিক ভেদাঙ্ক), ${\sigma }^2/\mu$
• ফ্যানো ফ্যাক্টর, ${\sigma }_W^2/{\mu }_W$ (উইন্ডোড VMR)
• দ্বিতীয়-ক্রমের কোফিসিয়েন্ট অফ ভেরিয়েশন $V_2=\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2+{\mu }^2}}$ যা ০ (কোনো ভেদাঙ্ক নেই) এবং ১ (সর্বোচ্চ আপেক্ষিক ভেদাঙ্ক, অর্থাৎ $\sigma \gg \mu$)-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ।
• জিনি কোফিসিয়েন্ট, $\frac{1}{2\mu N^2}\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N|x_i-x_j|$, যা গাণিতিকভাবে Coefficient of variation-এর পরম-পার্থক্য প্রতিপক্ষ হিসেবে বোঝা যায়। যদিও Coefficient of variation বর্গাকার জোড় পার্থক্যের ওপর নির্ভর করে (যা একে চরম আউটলায়ারের প্রতি অত্যন্ত সংবেদনশীল করে তোলে), জিনি কোফিসিয়েন্ট পরম জোড় পার্থক্যের ওপর নির্ভর করে, যা একে সম্পদের মতো ভারী-লেজযুক্ত বিন্যাসের জন্য আপেক্ষিক বিস্তৃতির একটি আরও স্থিতিশীল পরিমাপ করে তোলে।

আরও দেখুন

• স্ট্যান্ডার্ড স্কোর
• ইনফরমেশন রেশিও
• ওমেগা রেশিও
• স্যাম্পলিং (পরিসংখ্যান)
• ভেদাঙ্ক ফাংশন
• জিনি কোফিসিয়েন্ট

বহিঃসংযোগ

• cvequality: একাধিক বিভাজনের সহগের (coefficients of variation) মধ্যে তাৎপর্যপূর্ণ পার্থক্য পরীক্ষার জন্য R প্যাকেজ

descriptive

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Coefficient of variation” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_variation এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।