অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক

December 2010

একটি এক্সপোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন থেকে নেওয়া n = 5 আকারের নমুনার জন্য অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকগুলোর প্রোবাবিলিটি ডেনসিটি ফাংশন (সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন)

পরিসংখ্যানে, একটি পরিসংখ্যানগত নমুনা-র k-তম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক হলো সেই নমুনার k-তম ক্ষুদ্রতম মান। n আকারের একটি নমুনার ক্ষেত্রে, k-তম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিককে $x_{(k)}$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেখানে $1\le k\le n$। র‍্যাঙ্ক স্ট্যাটিস্টিক-এর পাশাপাশি, অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকগুলো নন-প্যারামেট্রিক পরিসংখ্যান এবং ইনফারেন্স-এর অন্যতম মৌলিক হাতিয়ার।

অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রগুলো হলো নমুনার সর্বনিম্ন (minimum) এবং সর্বোচ্চ (maximum) মান, এবং (নিচে আলোচিত কিছু শর্তসাপেক্ষে) নমুনা মিডিয়ান (sample median) ও অন্যান্য নমুনা কোয়ান্টাইল।

সম্ভাবনা তত্ত্ব ব্যবহার করে যখন কোনো কন্টিনিউয়াস ডিস্ট্রিবিউশন থেকে নেওয়া র‍্যান্ডম স্যাম্পল-এর অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক বিশ্লেষণ করা হয়, তখন কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন ব্যবহার করে বিশ্লেষণটিকে ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন-এর অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের ক্ষেত্রে রূপান্তর করা হয়।

নোটেশন এবং উদাহরণ

উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক চারটি সংখ্যা পর্যবেক্ষণ বা রেকর্ড করা হয়েছে, যার ফলে ৪ আকারের একটি নমুনা পাওয়া গেছে। যদি নমুনার মানগুলো হয়:

৬, ৯, ৩, ৭

তবে অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকগুলো হবে:

$$\begin{array}{rl}{x}_{(1)}& =3\\ x_{(2)}& =6\\ x_{(3)}& =7\\ x_{(4)}& =9\end{array}$$

প্রথম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক (বা ক্ষুদ্রতম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক) সর্বদা নমুনার সর্বনিম্ন মান, অর্থাৎ:

$$X_{(1)}=\min \{X_1,\dots ,X_n\}$$

যেখানে, একটি সাধারণ রীতি অনুসরণ করে, আমরা র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল বোঝাতে বড় হাতের অক্ষর এবং তাদের প্রকৃত পর্যবেক্ষণকৃত মান বোঝাতে ছোট হাতের অক্ষর (উপরের মতো) ব্যবহার করি।

একইভাবে, n আকারের একটি নমুনার জন্য, n-তম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক (বা বৃহত্তম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক) হলো সর্বোচ্চ মান, অর্থাৎ:

$$X_{(n)}=\max \{X_1,\dots ,X_n\}.$$

নমুনা রেঞ্জ (sample range) হলো সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মানের পার্থক্য। এটি অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকগুলোর একটি ফাংশন:

$$\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\{X_1,\dots ,X_n\}=X_{(n)}-X_{(1)}.$$

এক্সপ্লোরেটরি ডেটা অ্যানালাইসিস-এ একটি অনুরূপ গুরুত্বপূর্ণ স্ট্যাটিস্টিক যা অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের সাথে সহজভাবে সম্পর্কিত, তা হলো নমুনা ইন্টারকোয়ার্টাইল রেঞ্জ।

নমুনা মিডিয়ান একটি অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক হতেও পারে, আবার নাও হতে পারে, কারণ শুধুমাত্র যখন পর্যবেক্ষণের সংখ্যা n বিজোড় হয়, তখনই একটি একক মধ্যবর্তী মান থাকে। আরও স্পষ্টভাবে, যদি কোনো পূর্ণসংখ্যা m-এর জন্য n = 2m+1 হয়, তবে নমুনা মিডিয়ান হলো $X_{(m+1)}$ এবং তাই এটি একটি অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক। অন্যদিকে, যখন n জোড় হয়, অর্থাৎ n = 2m, তখন দুটি মধ্যবর্তী মান থাকে, $X_{(m)}$ এবং $X_{(m+1)}$, এবং নমুনা মিডিয়ান হলো এই দুটির একটি ফাংশন (সাধারণত গড়), তাই এটি একটি অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক নয়। একই কথা সব নমুনা কোয়ান্টাইলের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

সম্ভাব্যতামূলক বিশ্লেষণ

যেকোনো র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল $X_1,X_2,\dots ,X_n$ দেওয়া থাকলে, র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল $X_{(1)},X_{(2)},\dots ,X_{(n)}$ গুলোকে $X_1,X_2,\dots ,X_n$-কে ক্রমবর্ধমান ক্রমে সাজিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

যে ক্ষেত্রে র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল $X_1,X_2,\dots ,X_n$ গুলো ইন্ডিপেন্ডেন্ট অ্যান্ড আইডেন্টিক্যালি ডিস্ট্রিবিউটেড (i.i.d.), তা নিচে আলোচনা করা হয়েছে। সাধারণভাবে, $X_1,X_2,\dots ,X_n$ একাধিক পপুলেশন থেকে নমুনা গ্রহণের মাধ্যমে আসতে পারে। সেক্ষেত্রে আমরা এমন একটি ক্ষেত্র বিবেচনা করি যেখানে তারা স্বাধীন, কিন্তু অপরিহার্যভাবে অভিন্নভাবে ডিস্ট্রিবিউটেড নয়, এবং তাদের জয়েন্ট প্রোবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন বাপাত-বেগ উপপাদ্য (Bapat–Beg theorem) দ্বারা প্রদত্ত।

এখন থেকে, আমরা ধরে নেব যে বিবেচ্য র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলো কন্টিনিউয়াস এবং যেখানে সুবিধাজনক, সেখানে আমরা আরও ধরে নেব যে তাদের একটি প্রোবাবিলিটি ডেনসিটি ফাংশন (PDF) আছে, অর্থাৎ তারা অ্যাবসোলিউটলি কন্টিনিউয়াস। পয়েন্টগুলোতে ভর প্রদানকারী ডিস্ট্রিবিউশনগুলোর (বিশেষ করে, ডিসক্রিট ডিস্ট্রিবিউশন) বিশ্লেষণের বিশেষত্বগুলো শেষে আলোচনা করা হয়েছে।

অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন

উপরের মতো একটি র‍্যান্ডম নমুনার জন্য, যার কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন $F_X(x)$, সেই নমুনার অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকগুলোর কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন নিম্নরূপ (যেখানে r নির্দিষ্ট করে কোন অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক):

$$F_{X_{(r)}}(x)=\sum _{j=r}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}){[F_X(x)]}^j{[1-F_X(x)]}^{n-j}$$

এই সূত্রের প্রমাণটি বিশুদ্ধ কম্বিনেটরিক্স: r-তম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক $\le x$ হওয়ার জন্য, যে নমুনাগুলোর মান $>x$ তাদের সংখ্যা $0$ থেকে $n-r$-এর মধ্যে হতে হবে। যে ক্ষেত্রে $X_{(j)}$ হলো বৃহত্তম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক $\le x$, সেখানে অবশ্যই $j$ সংখ্যক নমুনা $\le x$ হতে হবে (প্রতিটির স্বাধীন সম্ভাবনা $F_X(x)$) এবং $n-j$ সংখ্যক নমুনা $>x$ হতে হবে (প্রতিটির স্বাধীন সম্ভাবনা $1-F_X(x)$)। পরিশেষে, n সংখ্যক নমুনার মধ্যে কোনটি $\le x$ ধরনের হবে তা বেছে নেওয়ার $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})$ টি ভিন্ন উপায় রয়েছে।

সংশ্লিষ্ট প্রোবাবিলিটি ডেনসিটি ফাংশনটি এই ফলাফল থেকে উদ্ভূত হতে পারে এবং তা হলো:

$$f_{X_{(r)}}(x)=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}{f}_X(x){[F_X(x)]}^{r-1}{[1-F_X(x)]}^{n-r}.$$

তাছাড়া, দুটি বিশেষ ক্ষেত্র রয়েছে, যাদের CDF গণনা করা সহজ।

$$F_{X_{(n)}}(x)=\mathrm{Pr}(\max \{X_1,\dots ,X_n\}\le x)=[F_X(x){]}^n$$

$$F_{X_{(1)}}(x)=\mathrm{Pr}(\min \{X_1,\dots ,X_n\}\le x)=1-[1-F_X(x){]}^n$$

যা সম্ভাবনার সতর্ক বিবেচনার মাধ্যমে উদ্ভূত হতে পারে।

অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের সম্ভাবনা ডিস্ট্রিবিউশন

ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন থেকে নমুনাভুক্ত অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক

এই বিভাগে আমরা দেখাব যে ইউনিট ইন্টারভাল-এ ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন-এর অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকগুলোর মার্জিনাল ডিস্ট্রিবিউশন বিটা ডিস্ট্রিবিউশন পরিবারের অন্তর্ভুক্ত। আমরা যেকোনো সংখ্যক অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের জয়েন্ট ডিস্ট্রিবিউশন বের করার একটি সহজ পদ্ধতিও দেব এবং পরিশেষে cdf ব্যবহার করে এই ফলাফলগুলোকে যেকোনো কন্টিনিউয়াস ডিস্ট্রিবিউশনে অনুবাদ করব।

আমরা এই পুরো বিভাগে ধরে নিচ্ছি যে $X_1,X_2,\dots ,X_n$ হলো cdf $F_X$ বিশিষ্ট একটি কন্টিনিউয়াস ডিস্ট্রিবিউশন থেকে নেওয়া র‍্যান্ডম স্যাম্পল। $U_i=F_X(X_i)$ চিহ্নিত করে আমরা স্ট্যান্ডার্ড ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন থেকে সংশ্লিষ্ট র‍্যান্ডম স্যাম্পল $U_1,\dots ,U_n$ পাই। লক্ষ্য করুন যে অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকগুলোও $U_{(i)}=F_X(X_{(i)})$ শর্ত পূরণ করে।

অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক $U_{(k)}$-এর প্রোবাবিলিটি ডেনসিটি ফাংশন হলো

$$f_{U_{(k)}}(u)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}{u}^{k-1}(1-u{)}^{n-k}$$

অর্থাৎ, ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশনের k-তম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক হলো একটি বিটা-ডিস্ট্রিবিউটেড র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল।

$$U_{(k)}\sim \mathrm{Beta}(k,n+1\mathbf{-}k).$$

এই বিবৃতিগুলোর প্রমাণ নিম্নরূপ। $U_{(k)}$-কে u এবং u + du-এর মধ্যে থাকার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় যে নমুনার ঠিক k − 1 টি উপাদান u-এর চেয়ে ছোট এবং অন্তত একটি u এবং u + du-এর মধ্যে থাকে। এই পরবর্তী ইন্টারভালে একাধিক উপাদান থাকার সম্ভাবনা ইতিমধ্যেই $O(d{u}^2)$, তাই আমাদের সেই সম্ভাবনা গণনা করতে হবে যেখানে ঠিক k − 1, 1 এবং n − k টি পর্যবেক্ষণ যথাক্রমে $(0,u)$, $(u,u+du)$ এবং $(u+du,1)$ ইন্টারভালে পড়ে। এটি সমান (বিস্তারিত জানার জন্য মাল্টিনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন দেখুন)

$$\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}{u}^{k-1}\cdot du\cdot (1-u-du{)}^{n-k}$$

এবং ফলাফলটি পাওয়া যায়।

এই ডিস্ট্রিবিউশনের গড় হলো k / (n + 1)।

ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশনের অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের জয়েন্ট ডিস্ট্রিবিউশন

একইভাবে, i < j-এর জন্য, দুটি অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক U_(i) < U_(j)-এর জয়েন্ট প্রোবাবিলিটি ডেনসিটি ফাংশন দেখানো যেতে পারে:

$$f_{U_{(i)},U_{(j)}}(u,v)=n!\frac{u^{i-1}}{(i-1)!}\frac{(v-u{)}^{j-i-1}}{(j-i-1)!}\frac{(1-v{)}^{n-j}}{(n-j)!}$$

যা হলো ( $O(dudv)$-এর চেয়ে উচ্চতর ক্রমের পদগুলো বাদে) সেই সম্ভাবনা যে i − 1, 1, j − 1 − i, 1 এবং n − j সংখ্যক নমুনার উপাদানগুলো যথাক্রমে $(0,u)$, $(u,u+du)$, $(u+du,v)$, $(v,v+dv)$, $(v+dv,1)$ ইন্টারভালে পড়ে।

উচ্চ-ক্রমের জয়েন্ট ডিস্ট্রিবিউশনগুলো বের করার জন্য সম্পূর্ণ একই যুক্তি ব্যবহার করা হয়। সম্ভবত আশ্চর্যজনকভাবে, n সংখ্যক অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের জয়েন্ট ডেনসিটি 'ধ্রুবক' হিসেবে দেখা দেয়:

$$f_{U_{(1)},U_{(2)},\dots ,U_{(n)}}(u_1,u_2,\dots ,u_n)=n!.$$

এটি বোঝার একটি উপায় হলো যে আনঅর্ডারড নমুনার ডেনসিটি ধ্রুবক ১ এবং অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের একই ক্রমের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নমুনার n! টি ভিন্ন পারমুটেশন রয়েছে। এটি এই সত্যের সাথে সম্পর্কিত যে 1/n! হলো $0<u_1<\cdots <u_n<1$ অঞ্চলের আয়তন। এটি ইউনিফর্ম র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের আরেকটি বিশেষত্বের সাথেও সম্পর্কিত: BRS-inequality থেকে এটি অনুসরণ করে যে, n আকারের একটি নমুনা থেকে একজন সর্বোচ্চ যে সংখ্যক ইউনিফর্ম U(0,1] র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল বেছে নিতে পারে যাদের যোগফল $0<s<n/2$ অতিক্রম করে না, তা $\sqrt{2sn}$ দ্বারা সীমাবদ্ধ, যা এইভাবে ধ্রুবক গুণফল $sn$ বিশিষ্ট সমস্ত $s,n$-এর সেটে ইনভ্যারিয়েন্ট।

উপরের সূত্রগুলো ব্যবহার করে, কেউ অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের রেঞ্জের ডিস্ট্রিবিউশন বের করতে পারে, অর্থাৎ $U_{(n)}-U_{(1)}$-এর ডিস্ট্রিবিউশন, অর্থাৎ সর্বোচ্চ থেকে সর্বনিম্ন বিয়োগ। আরও সাধারণভাবে, $n\ge k>j\ge 1$-এর জন্য, $U_{(k)}-U_{(j)}$-এরও একটি বিটা ডিস্ট্রিবিউশন থাকে: $$U_{(k)}-U_{(j)}\sim \mathrm{Beta}(k-j,n-(k-j)+1)$$ এই সূত্রগুলো থেকে আমরা দুটি অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের মধ্যে কোভ্যারিয়েন্স বের করতে পারি:$$\mathrm{Cov}(U_{(k)},U_{(j)})=\frac{j(n-k+1)}{(n+1{)}^2(n+2)}$$ সূত্রটি এই পর্যবেক্ষণ থেকে আসে যে $$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}(U_{(k)}-U_{(j)})& =\mathrm{Var}(U_{(k)})+\mathrm{Var}(U_{(j)})-2\cdot \mathrm{Cov}(U_{(k)},U_{(j)})\\ & =\frac{k(n-k+1)}{(n+1{)}^2(n+2)}+\frac{j(n-j+1)}{(n+1{)}^2(n+2)}-2\cdot \mathrm{Cov}(U_{(k)},U_{(j)})\end{array}$$ এবং এটিকে $$\mathrm{Var}(U)=\frac{(k-j)(n-(k-j)+1)}{(n+1{)}^2(n+2)}$$-এর সাথে তুলনা করা, যেখানে $U\sim \mathrm{Beta}(k-j,n-(k-j)+1)$, যা পার্থক্যের প্রকৃত ডিস্ট্রিবিউশন।

এক্সপোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন থেকে নমুনাভুক্ত অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক

λ প্যারামিটার বিশিষ্ট একটি এক্সপোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন থেকে n আকারের র‍্যান্ডম স্যাম্পল $X_1,X_2,..,X_n$-এর জন্য, i = 1,2,3, ..., n-এর জন্য অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক X_(i)-এর ডিস্ট্রিবিউশন হলো:

$$X_{(i)}\stackrel{d}{=}\frac{1}{\lambda }\left(\sum _{j=1}^i\frac{Z_j}{n-j+1}\right)$$

যেখানে Z_j গুলো হলো i.i.d. স্ট্যান্ডার্ড এক্সপোনেনশিয়াল র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল (অর্থাৎ রেট প্যারামিটার 1 সহ)। এই ফলাফলটি প্রথম আলফ্রেড রেনি (Alfréd Rényi) প্রকাশ করেছিলেন।

এরলাং ডিস্ট্রিবিউশন থেকে নমুনাভুক্ত অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক

অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের ল্যাপলাস ট্রান্সফর্ম একটি পাথ কাউন্টিং পদ্ধতির মাধ্যমে এরলাং ডিস্ট্রিবিউশন থেকে নমুনাভুক্ত করা যেতে পারে ।

একটি অ্যাবসোলিউটলি কন্টিনিউয়াস ডিস্ট্রিবিউশনের অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের জয়েন্ট ডিস্ট্রিবিউশন

যদি F_X অ্যাবসোলিউটলি কন্টিনিউয়াস হয়, তবে এর একটি ডেনসিটি থাকে যাতে $d{F}_X(x)=f_X(x)dx$, এবং আমরা সাবস্টিটিউশনগুলো ব্যবহার করতে পারি:

$$u=F_X(x)$$

এবং

$$du=f_X(x)dx$$

X-এর ডিস্ট্রিবিউশন থেকে নেওয়া n আকারের নমুনার অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকগুলোর জন্য নিম্নলিখিত প্রোবাবিলিটি ডেনসিটি ফাংশনগুলো বের করতে:

$$f_{X_{(k)}}(x)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F_X(x){]}^{k-1}[1-F_X(x){]}^{n-k}{f}_X(x)$$

$$f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x,y)=\frac{n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}[F_X(x){]}^{j-1}[F_X(y)-F_X(x){]}^{k-1-j}[1-F_X(y){]}^{n-k}{f}_X(x)f_X(y)$$ যেখানে $x\le y$

$$f_{X_{(1)},\dots ,X_{(n)}}(x_1,\dots ,x_n)=n!f_X(x_1)\cdots f_X(x_n)$$ যেখানে $x_1\le x_2\le \dots \le x_n.$

প্রয়োগ: কোয়ান্টাইলের জন্য কনফিডেন্স ইন্টারভাল

একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন হলো, অন্তর্নিহিত ডিস্ট্রিবিউশনের কোয়ান্টাইল-এর এস্টিমেটর হিসেবে অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকগুলো কতটা ভালো কাজ করে।

একটি ছোট নমুনার আকারের উদাহরণ

বিবেচনা করার সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্র হলো নমুনা মিডিয়ান পপুলেশন মিডিয়ানকে কতটা ভালোভাবে অনুমান করে।

উদাহরণ হিসেবে, ৬ আকারের একটি র‍্যান্ডম স্যাম্পল বিবেচনা করুন। সেক্ষেত্রে, নমুনা মিডিয়ানকে সাধারণত ৩য় এবং ৪র্থ অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক দ্বারা সীমাবদ্ধ ইন্টারভালের মধ্যবিন্দু হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যাইহোক, আমরা পূর্ববর্তী আলোচনা থেকে জানি যে এই ইন্টারভালে প্রকৃতপক্ষে পপুলেশন মিডিয়ান থাকার সম্ভাবনা

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})(1/2{)}^6=\frac{5}{16}\approx 31\mathrm{\%}.$$

যদিও নমুনা মিডিয়ান সম্ভবত পপুলেশন মিডিয়ানের সেরা ডিস্ট্রিবিউশন-নিরপেক্ষ পয়েন্ট এস্টিমেটগুলোর মধ্যে একটি, এই উদাহরণটি যা চিত্রিত করে তা হলো এটি পরম অর্থে খুব ভালো নয়। এই বিশেষ ক্ষেত্রে, মিডিয়ানের জন্য একটি ভালো কনফিডেন্স ইন্টারভাল হলো ২য় এবং ৫ম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক দ্বারা সীমাবদ্ধ ইন্টারভাল, যা পপুলেশন মিডিয়ানকে ধারণ করে এই সম্ভাবনার সাথে:

$$[(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})](1/2{)}^6=\frac{25}{32}\approx 78\mathrm{\%}.$$

এত ছোট নমুনার আকারের সাথে, যদি কেউ অন্তত ৯৫% কনফিডেন্স চায়, তবে তাকে বলতে হয় যে মিডিয়ানটি ৬টি পর্যবেক্ষণের সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চের মধ্যে ৩১/৩২ বা প্রায় ৯৭% সম্ভাবনার সাথে থাকে। ৬ আকারটি আসলে সবচেয়ে ছোট নমুনার আকার যার জন্য সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ দ্বারা নির্ধারিত ইন্টারভালটি পপুলেশন মিডিয়ানের জন্য অন্তত একটি ৯৫% কনফিডেন্স ইন্টারভাল।

বড় নমুনার আকার

ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য, n অসীমের দিকে অগ্রসর হওয়ার সাথে সাথে, p^th নমুনা কোয়ান্টাইল অ্যাসিপটোটিক্যালি নরমালি ডিস্ট্রিবিউটেড, কারণ এটি আনুমানিক:

$$U_{(\lceil np\rceil )}\sim AN(p,\frac{p(1-p)}{n}).$$

একটি সাধারণ ডিস্ট্রিবিউশন F-এর জন্য যার F ⁻¹(p)-এ একটি কন্টিনিউয়াস অ-শূন্য ডেনসিটি আছে, একটি অনুরূপ অ্যাসিপটোটিক নরমালিটি প্রযোজ্য:

$$X_{(\lceil np\rceil )}\sim AN(F^{-1}(p),\frac{p(1-p)}{n[f(F^{-1}(p)){]}^2})$$

যেখানে f হলো ডেনসিটি ফাংশন, এবং F ⁻¹ হলো F-এর সাথে সম্পর্কিত কোয়ান্টাইল ফাংশন। এই ফলাফলটি উল্লেখ এবং প্রমাণ করা প্রথম ব্যক্তিদের মধ্যে একজন ছিলেন ফ্রেডরিক মোস্টেলার (Frederick Mosteller) ১৯৪৬ সালের তার মৌলিক গবেষণাপত্রে। পরবর্তী গবেষণা ১৯৬০-এর দশকে বাহাদুর রিপ্রেজেন্টেশনের দিকে পরিচালিত করে যা ত্রুটির সীমা সম্পর্কে তথ্য প্রদান করে। নরমাল ডিস্ট্রিবিউশনে রূপান্তর একটি শক্তিশালী অর্থেও ধরে রাখে, যেমন রিলেটিভ এন্ট্রপি বা KL ডাইভারজেন্স-এ রূপান্তর।

একটি আকর্ষণীয় পর্যবেক্ষণ করা যেতে পারে যখন ডিস্ট্রিবিউশনটি সিমেট্রিক হয় এবং পপুলেশন মিডিয়ান পপুলেশন গড়ের সমান হয়। এই ক্ষেত্রে, নমুনা গড়, সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম দ্বারা, অ্যাসিপটোটিক্যালি নরমালি ডিস্ট্রিবিউটেড, কিন্তু σ²/n ভ্যারিয়েন্স সহ। এই অ্যাসিপটোটিক বিশ্লেষণটি পরামর্শ দেয় যে কম কার্টোসিস-এর ক্ষেত্রে গড় মিডিয়ানের চেয়ে ভালো কাজ করে এবং এর বিপরীতটিও সত্য। উদাহরণস্বরূপ, মিডিয়ান ল্যাপলাস ডিস্ট্রিবিউশন-এর জন্য ভালো কনফিডেন্স ইন্টারভাল অর্জন করে, যেখানে গড় X-এর জন্য ভালো কাজ করে যা নরমালি ডিস্ট্রিবিউটেড।

প্রমাণ

এটি দেখানো যেতে পারে যে

$$B(k,n+1-k)\stackrel{\mathrm{d}}{=}\frac{X}{X+Y},$$

যেখানে

$$X=\sum _{i=1}^k{Z}_i,Y=\sum _{i=k+1}^{n+1}{Z}_i,$$

যেখানে Z_i গুলো হলো রেট 1 বিশিষ্ট ইন্ডিপেন্ডেন্ট আইডেন্টিক্যালি ডিস্ট্রিবিউটেড এক্সপোনেনশিয়াল র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল। যেহেতু X/n এবং Y/n সিএলটি (CLT) দ্বারা অ্যাসিপটোটিক্যালি নরমালি ডিস্ট্রিবিউটেড, তাই আমাদের ফলাফলগুলো ডেল্টা মেথড প্রয়োগের মাধ্যমে পাওয়া যায়।

অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের মিউচুয়াল ইনফরমেশন

অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের মধ্যে মিউচুয়াল ইনফরমেশন এবং f-ডাইভারজেন্স-ও বিবেচনা করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি প্যারেন্ট ডিস্ট্রিবিউশন কন্টিনিউয়াস হয়, তবে সমস্ত $1\le r,m\le n$-এর জন্য $$I(X_{(r)};X_{(m)})=I(U_{(r)};U_{(m)}),$$ অন্য কথায়, মিউচুয়াল ইনফরমেশন প্যারেন্ট ডিস্ট্রিবিউশন থেকে স্বাধীন। ডিসক্রিট র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, সমতাটি ধরে রাখার প্রয়োজন নেই এবং আমাদের কেবল আছে $$I(X_{(r)};X_{(m)})\le I(U_{(r)};U_{(m)}),$$

ইউনিফর্ম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের মধ্যে মিউচুয়াল ইনফরমেশন হলো $$I(U_{(r)};U_{(m)})=T_{m-1}+T_{n-r}-T_{m-r+1}-T_n$$ যেখানে $$T_k=\log (k!)-k{H}_k$$ যেখানে $H_k$ হলো k-তম হারমোনিক সংখ্যা।

প্রয়োগ: নন-প্যারামেট্রিক ডেনসিটি এস্টিমেশন

প্রথম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের ডিস্ট্রিবিউশনের মোমেন্টগুলো একটি নন-প্যারামেট্রিক ডেনসিটি এস্টিমেটর তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ধরা যাক, আমরা $x^{*}$ বিন্দুতে ডেনসিটি $f_X$ অনুমান করতে চাই। র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল $Y_i=|X_i-x^{*}|$ বিবেচনা করুন, যা ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন $$g_Y(y)=f_X(y+x^{*})+f_X(x^{*}-y)$$ সহ i.i.d.। বিশেষ করে, $f_X(x^{*})=\frac{g_Y(0)}{2}$।

N মোট পর্যবেক্ষণের একটি নমুনা দেওয়া থাকলে প্রথম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক $Y_{(1)}$-এর প্রত্যাশিত মান হলো,

$$E(Y_{(1)})=\frac{1}{(N+1)g(0)}+\frac{1}{(N+1)(N+2)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{Q}^{″}(z){\delta }_{N+1}(z)dz$$

যেখানে $Q$ হলো ডিস্ট্রিবিউশন $g_Y$-এর সাথে সম্পর্কিত কোয়ান্টাইল ফাংশন, এবং ${\delta }_N(z)=(N+1)(1-z{)}^N$। এই সমীকরণটি একটি জ্যাকনাইফিং কৌশলের সাথে যুক্ত হয়ে নিম্নলিখিত ডেনসিটি এস্টিমেশন অ্যালগরিদমের ভিত্তি হয়ে ওঠে:

  ইনপুট: N পর্যবেক্ষণের একটি নমুনা। ডেনসিটি মূল্যায়নের M টি বিন্দু $\{x_{\ell }{\}}_{\ell =1}^M$। টিউনিং প্যারামিটার $a\in (0,1)$ (সাধারণত 1/3)।
  আউটপুট: মূল্যায়নের বিন্দুগুলোতে আনুমানিক ডেনসিটি $\{{\hat{f}}_{\ell }{\}}_{\ell =1}^M$।

  ১: $m_N=\mathrm{round}(N^{1-a})$ সেট করুন
  ২: $s_N=\frac{N}{m_N}$ সেট করুন
  ৩: একটি $s_N\times m_N$ ম্যাট্রিক্স $M_{ij}$ তৈরি করুন যা প্রতিটি $s_N$ পর্যবেক্ষণ সহ $m_N$ টি সাবসেট ধারণ করে।
  ৪: ডেনসিটি মূল্যায়ন ধারণ করার জন্য একটি ভেক্টর $\hat{f}$ তৈরি করুন।
  ৫: for $\ell =1\to M$ do
  ৬:     for $k=1\to m_N$ do
  ৭:         $k$-তম সাবসেটের মধ্যে বর্তমান বিন্দু $x_{\ell }$-এর নিকটতম দূরত্ব $d_{\ell k}$ খুঁজুন
  ৮:     end for
  ৯:     $x_{\ell }$-এর দূরত্বের সাবসেট গড় গণনা করুন: $d_{\ell }=\sum _{k=1}^{m_N}\frac{d_{\ell k}}{m_N}$
 ১০:     $x_{\ell }$-এ ডেনসিটি অনুমান গণনা করুন: ${\hat{f}}_{\ell }=\frac{1}{2(1+s_N)d_{\ell }}$
 ১১:  end for
 ১২: return $\hat{f}$

হিস্টোগ্রাম এবং কার্নেল ভিত্তিক পদ্ধতির জন্য ব্যান্ডউইথ/দৈর্ঘ্য ভিত্তিক টিউনিং প্যারামিটারের বিপরীতে, অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক ভিত্তিক ডেনসিটি এস্টিমেটরের জন্য টিউনিং প্যারামিটার হলো নমুনার সাবসেটের আকার। এই ধরনের এস্টিমেটর হিস্টোগ্রাম এবং কার্নেল ভিত্তিক পদ্ধতির চেয়ে বেশি শক্তিশালী, উদাহরণস্বরূপ কচি ডিস্ট্রিবিউশন (যার সসীম মোমেন্ট নেই) এর মতো ডেনসিটিগুলো IQR ভিত্তিক ব্যান্ডউইথ-এর মতো বিশেষায়িত পরিবর্তনের প্রয়োজন ছাড়াই অনুমান করা যেতে পারে। এর কারণ হলো অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের প্রথম মোমেন্ট সর্বদা বিদ্যমান থাকে যদি অন্তর্নিহিত ডিস্ট্রিবিউশনের প্রত্যাশিত মান বিদ্যমান থাকে, কিন্তু বিপরীতটি অপরিহার্যভাবে সত্য নয়।

ডিসক্রিট ভেরিয়েবলের সাথে কাজ করা

ধরা যাক $X_1,X_2,\dots ,X_n$ হলো একটি ডিসক্রিট ডিস্ট্রিবিউশন থেকে i.i.d. র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল যার কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন $F(x)$ এবং প্রোবাবিলিটি মাস ফাংশন $f(x)$। k-তম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের সম্ভাবনা বের করার জন্য, প্রথমে তিনটি মান প্রয়োজন, যথা: $$\begin{array}{rl}{p}_1& =\mathrm{Pr}(X<x)=F(x)-f(x),\\ p_2& =\mathrm{Pr}(X=x)=f(x),\text{ এবং }\\ p_3& =\mathrm{Pr}(X>x)=1-F(x).\end{array}$$

k-তম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনটি গণনা করা যেতে পারে এটি লক্ষ্য করে যে:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Pr}(X_{(k)}\le x)& =\mathrm{Pr}(\text{অন্তত }k\text{ টি পর্যবেক্ষণ }x\text{-এর সমান বা ছোট আছে}),\\ & =\mathrm{Pr}(\text{সর্বোচ্চ }n-k\text{ টি পর্যবেক্ষণ }x\text{-এর চেয়ে বড় আছে}),\\ & =\sum _{j=0}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})p_3^j(p_1+p_2{)}^{n-j}.\end{array}$$

একইভাবে, $P(X_{(k)}<x)$ দ্বারা প্রদত্ত:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Pr}(X_{(k)}<x)& =\mathrm{Pr}(\text{অন্তত }k\text{ টি পর্যবেক্ষণ }x\text{-এর চেয়ে ছোট আছে}),\\ & =\mathrm{Pr}(\text{সর্বোচ্চ }n-k\text{ টি পর্যবেক্ষণ }x\text{-এর সমান বা বড় আছে}),\\ & =\sum _{j=0}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(p_2+p_3{)}^j(p_1{)}^{n-j}.\end{array}$$

লক্ষ্য করুন যে $X_{(k)}$-এর প্রোবাবিলিটি মাস ফাংশন হলো এই মানগুলোর পার্থক্য, অর্থাৎ:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Pr}(X_{(k)}=x)& =\mathrm{Pr}(X_{(k)}\le x)-\mathrm{Pr}(X_{(k)}<x),\\ & =\sum _{j=0}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})[p_3^j(p_1+p_2{)}^{n-j}-(p_2+p_3{)}^j(p_1{)}^{n-j}],\\ & =\sum _{j=0}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})[{(1-F(x))}^{j}F(x{)}^{n-j}-{(1-F(x)+f(x))}^j{(F(x)-f(x))}^{n-j}].\end{array}$$

অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক গণনা

মূল নিবন্ধ: Selection algorithm, Sampling in order

একটি তালিকার k-তম ক্ষুদ্রতম (বা বৃহত্তম) উপাদান গণনা করার সমস্যাটিকে সিলেকশন প্রবলেম বলা হয় এবং এটি একটি সিলেকশন অ্যালগরিদম দ্বারা সমাধান করা হয়। যদিও খুব বড় তালিকার জন্য এই সমস্যাটি কঠিন, তবে অত্যাধুনিক সিলেকশন অ্যালগরিদম তৈরি করা হয়েছে যা তালিকার উপাদানের সংখ্যার সমানুপাতিক সময়ে এই সমস্যার সমাধান করতে পারে, এমনকি যদি তালিকাটি সম্পূর্ণ অগোছালো হয়। যদি ডেটা নির্দিষ্ট বিশেষ ডেটা স্ট্রাকচারে সংরক্ষণ করা হয়, তবে এই সময়টি O(log n)-এ নামিয়ে আনা যেতে পারে। অনেক প্রয়োগে সমস্ত অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের প্রয়োজন হয়, সেক্ষেত্রে একটি সর্টিং অ্যালগরিদম ব্যবহার করা যেতে পারে এবং সময় লাগে O(n log n)।

প্রয়োগ

অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের প্রয়োগ নির্ভরযোগ্যতা তত্ত্ব, আর্থিক গণিত, সারভাইভাল অ্যানালাইসিস, এপিডেমিওলজি, খেলাধুলা, মান নিয়ন্ত্রণ এবং অ্যাকচুয়ারিয়াল ঝুঁকির মতো ক্ষেত্রে রয়েছে। এই ক্ষেত্রগুলোতে অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের প্রয়োগের গবেষণায় নিবেদিত একটি বিস্তৃত সাহিত্য রয়েছে।

উদাহরণস্বরূপ, অ্যাকচুয়ারিয়াল ঝুঁকিতে একটি সাম্প্রতিক প্রয়োগ পাওয়া যেতে পারে, যেখানে রেকর্ড দাবি এবং k-তম রেকর্ড দাবির পরিপ্রেক্ষিতে কিছু ওয়েটেড প্রিমিয়াম নীতি প্রদান করা হয়েছে।

আরও দেখুন

• Rankit
• Box plot
• BRS-inequality
• Concomitant (statistics)
• Fisher–Tippett distribution
• Bapat–Beg theorem (ইন্ডিপেন্ডেন্ট কিন্তু অপরিহার্যভাবে অভিন্নভাবে ডিস্ট্রিবিউটেড নয় এমন র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের জন্য)
• Bernstein polynomial
• L-estimator – অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের লিনিয়ার কম্বিনেশন
• Rank-size distribution
• Selection algorithm

অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকের উদাহরণ

• Sample maximum and minimum
• কোয়ান্টাইল
• পার্সেন্টাইল
• ডেসাইল
• কোয়ার্টাইল
• মিডিয়ান
• গড়
• Sample mean and covariance

বহিঃসংযোগ

• OrderStatistics সংগৃহীত ফেব্রুয়ারি ০২, ২০০৫
• OrderStatistic সংগৃহীত ফেব্রুয়ারি ০২, ২০০৫
• C++ সোর্স Dynamic Order Statistics

inference

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Order statistic” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Order_statistic এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।