क्वांटम यांत्रिकी

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क्वांटम यांत्रिकी (Quantum mechanics), जिसे क्वांटम भौतिकी के रूप में भी जाना जाता है, वह मौलिक भौतिक सिद्धांत है जो पदार्थ और प्रकाश के व्यवहार का वर्णन करता है; जिन व्यवहारों का यह प्रतिरूपण (मॉडलिंग) करता है, वे आमतौर पर परमाणु के स्तर पर और उससे नीचे होते हैं, और अक्सर इन्हें सहज-ज्ञान के विपरीत (counterintuitive) बताया गया है।1.1 इसकी अवधारणाओं और विधियों को कई विषयों में लागू किया गया है, जिनमें क्वांटम रसायन विज्ञान, क्वांटम जीव विज्ञान, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत, क्वांटम प्रौद्योगिकी और क्वांटम सूचना विज्ञान शामिल हैं।

क्वांटम यांत्रिकी उन कई प्रणालियों का वर्णन कर सकती है जिन्हें शास्त्रीय भौतिकी (classical physics) नहीं कर सकती। शास्त्रीय भौतिकी प्रकृति के कई पहलुओं का वर्णन सामान्य (स्थूल और सूक्ष्मदर्शीय) स्तर पर कर सकती है; हालाँकि, यह बहुत छोटे उप-सूक्ष्मदर्शीय (परमाणु और उप-परमाणु) स्तरों पर उनका वर्णन करने के लिए अपर्याप्त है। शास्त्रीय यांत्रिकी को क्वांटम यांत्रिकी से एक सन्निकटन (approximation) के रूप में प्राप्त किया जा सकता है जो सामान्य स्तरों पर मान्य है।

क्वांटम प्रणालियों में बद्ध अवस्थाएँ होती हैं जो ऊर्जा, संवेग, कोणीय संवेग और अन्य राशियों के विविक्त (discrete) मानों के लिए क्वांटमीकृत होती हैं, जो शास्त्रीय प्रणालियों के विपरीत है जहाँ इन राशियों को निरंतर मापा जा सकता है। क्वांटम प्रणालियों के मापन कण और तरंग दोनों की विशेषताएं दिखाते हैं (तरंग-कण द्वैत), और प्रारंभिक स्थितियों के एक पूर्ण सेट को देखते हुए, मापन से पहले किसी भौतिक राशि के मान की कितनी सटीकता से भविष्यवाणी की जा सकती है, इसकी सीमाएँ होती हैं (अनिश्चितता का सिद्धांत)।

क्वांटम यांत्रिकी धीरे-धीरे उन अवलोकनों को समझाने के सिद्धांतों से उत्पन्न हुई जिन्हें शास्त्रीय भौतिकी के साथ सुसंगत नहीं किया जा सका, जैसे कि 1900 में कृष्णिका विकिरण (black-body radiation) समस्या का मैक्स प्लैंक द्वारा समाधान, और अल्बर्ट आइंस्टीन के 1905 के पेपर में ऊर्जा और आवृत्ति के बीच पत्राचार, जिसने प्रकाश-विद्युत प्रभाव की व्याख्या की। सूक्ष्म घटनाओं को समझने के इन शुरुआती प्रयासों ने, जिन्हें अब "पुरानी क्वांटम सिद्धांत" के रूप में जाना जाता है, 1920 के दशक के मध्य में नील्स बोर, इरविन श्रोडिंगर, वर्नर हाइजेनबर्ग, मैक्स बॉर्न, पॉल डिराक और अन्य द्वारा क्वांटम यांत्रिकी के पूर्ण विकास को जन्म दिया। आधुनिक सिद्धांत को विभिन्न विशेष रूप से विकसित गणितीय औपचारिकताओं में तैयार किया गया है। उनमें से एक में, तरंग फलन नामक एक गणितीय इकाई, संभाव्यता आयाम (probability amplitudes) के रूप में जानकारी प्रदान करती है कि किसी कण की ऊर्जा, संवेग और अन्य भौतिक गुणों के मापन से क्या परिणाम मिल सकते हैं।

अवलोकन और मौलिक अवधारणाएँ

क्वांटम यांत्रिकी भौतिक प्रणालियों के गुणों और व्यवहार की गणना की अनुमति देती है। इसे आमतौर पर सूक्ष्म प्रणालियों पर लागू किया जाता है: अणु, परमाणु और उप-परमाणु कण। यह हजारों परमाणुओं वाले जटिल अणुओं के लिए भी मान्य सिद्ध हुई है, लेकिन मनुष्यों पर इसका अनुप्रयोग दार्शनिक समस्याओं को जन्म देता है, जैसे कि विग्नर का मित्र, और संपूर्ण ब्रह्मांड पर इसका अनुप्रयोग अभी भी काल्पनिक बना हुआ है। क्वांटम यांत्रिकी की भविष्यवाणियों को अत्यधिक उच्च सटीकता के साथ प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित किया गया है। उदाहरण के लिए, प्रकाश और पदार्थ की परस्पर क्रिया के लिए क्वांटम यांत्रिकी का परिशोधन, जिसे क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स (QED) के रूप में जाना जाता है, इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय गुणों की भविष्यवाणी करते समय 10¹² में 1 भाग तक प्रयोग के साथ सहमत पाया गया है।

सिद्धांत की एक मौलिक विशेषता यह है कि यह आमतौर पर निश्चितता के साथ भविष्यवाणी नहीं कर सकता कि क्या होगा, बल्कि केवल संभावनाएँ देता है। गणितीय रूप से, एक संभावना सम्मिश्र संख्या के निरपेक्ष मान का वर्ग लेकर पाई जाती है, जिसे संभाव्यता आयाम के रूप में जाना जाता है। इसे भौतिक विज्ञानी मैक्स बॉर्न के नाम पर बॉर्न नियम कहा जाता है। उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉन जैसे क्वांटम कण को एक तरंग फलन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को एक संभाव्यता आयाम से जोड़ता है। इन आयामों पर बॉर्न नियम लागू करने से उस स्थिति के लिए एक संभाव्यता घनत्व फलन मिलता है जहाँ इलेक्ट्रॉन को मापा जाएगा। यह सिद्धांत द्वारा किया जा सकने वाला सर्वोत्तम कार्य है; यह निश्चित रूप से नहीं कह सकता कि इलेक्ट्रॉन कहाँ पाया जाएगा। श्रोडिंगर समीकरण समय के एक क्षण से संबंधित संभाव्यता आयामों के संग्रह को दूसरे क्षण से संबंधित संभाव्यता आयामों के संग्रह से जोड़ता है।67–87

क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय नियमों का एक परिणाम मापने योग्य राशियों के बीच पूर्वानुमान में एक व्यापार-बंद (tradeoff) है। इस अनिश्चितता का सिद्धांत का सबसे प्रसिद्ध रूप कहता है कि चाहे किसी क्वांटम कण को कैसे भी तैयार किया जाए या उस पर प्रयोगों की व्यवस्था कितनी भी सावधानी से की जाए, उसकी स्थिति के मापन के लिए और साथ ही उसके संवेग के मापन के लिए एक सटीक भविष्यवाणी करना असंभव है।427–435

क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय नियमों का एक और परिणाम क्वांटम व्यतिकरण (quantum interference) की घटना है, जिसे अक्सर द्वि-झिरी प्रयोग (double-slit experiment) के साथ चित्रित किया जाता है। इस प्रयोग के मूल संस्करण में, एक सुसंगत प्रकाश स्रोत, जैसे कि लेजर बीम, दो समानांतर झिरियों (slits) वाली एक प्लेट को प्रकाशित करता है, और झिरियों से गुजरने वाले प्रकाश को प्लेट के पीछे एक स्क्रीन पर देखा जाता है।102–1111.1–1.8 प्रकाश की तरंग प्रकृति के कारण दो झिरियों से गुजरने वाली प्रकाश तरंगें व्यतिकरण करती हैं, जिससे स्क्रीन पर चमकीली और काली पट्टियाँ बनती हैं - एक ऐसा परिणाम जिसकी उम्मीद नहीं की जाती यदि प्रकाश शास्त्रीय कणों से बना होता। हालाँकि, प्रकाश हमेशा स्क्रीन पर विविक्त बिंदुओं पर अवशोषित होता पाया जाता है, तरंगों के बजाय व्यक्तिगत कणों के रूप में; व्यतिकरण पैटर्न स्क्रीन पर इन कणों के टकराने के बदलते घनत्व के माध्यम से दिखाई देता है। इसके अलावा, प्रयोग के उन संस्करणों में जिनमें झिरियों पर डिटेक्टर शामिल होते हैं, यह पाया जाता है कि प्रत्येक पता लगाया गया फोटॉन एक झिरी से गुजरता है (जैसा कि एक शास्त्रीय कण करेगा), और दोनों झिरियों से नहीं (जैसा कि एक तरंग करेगी)।109 हालाँकि, ऐसे प्रयोग प्रदर्शित करते हैं कि यदि कोई यह पता लगाता है कि कण किस झिरी से गुजरते हैं, तो वे व्यतिकरण पैटर्न नहीं बनाते हैं। इस व्यवहार को तरंग-कण द्वैत के रूप में जाना जाता है। प्रकाश के अलावा, इलेक्ट्रॉन, परमाणु और अणु भी द्वि-झिरी की ओर फायर किए जाने पर समान द्वैत व्यवहार प्रदर्शित करते पाए जाते हैं।

क्वांटम यांत्रिकी द्वारा भविष्यवाणी की गई एक और गैर-शास्त्रीय घटना क्वांटम टनलिंग है: एक कण जो एक विभव बाधा (potential barrier) के खिलाफ जाता है, वह इसे पार कर सकता है, भले ही उसकी गतिज ऊर्जा विभव के अधिकतम से कम हो। शास्त्रीय यांत्रिकी में यह कण फंस जाएगा। क्वांटम टनलिंग के कई महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जो रेडियोधर्मी क्षय, तारों में नाभिकीय संलयन, और स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोपी, टनल डायोड और टनल फील्ड-इफेक्ट ट्रांजिस्टर जैसे अनुप्रयोगों को सक्षम बनाते हैं।

जब क्वांटम प्रणालियाँ परस्पर क्रिया करती हैं, तो इसका परिणाम क्वांटम उलझाव (quantum entanglement) का निर्माण हो सकता है: उनके गुण इतने आपस में जुड़ जाते हैं कि पूरे निकाय का वर्णन केवल व्यक्तिगत भागों के संदर्भ में करना अब संभव नहीं रह जाता। इरविन श्रोडिंगर ने उलझाव को "...क्वांटम यांत्रिकी का विशिष्ट लक्षण, वह जो विचार की शास्त्रीय धाराओं से इसके पूर्ण प्रस्थान को लागू करता है" कहा था। क्वांटम उलझाव क्वांटम कंप्यूटिंग को सक्षम बनाता है और यह क्वांटम संचार प्रोटोकॉल का हिस्सा है, जैसे कि क्वांटम की डिस्ट्रीब्यूशन (quantum key distribution) और सुपरडेंस कोडिंग (superdense coding)। लोकप्रिय गलतफहमी के विपरीत, उलझाव प्रकाश से तेज संकेत भेजने की अनुमति नहीं देता है, जैसा कि नो-कम्युनिकेशन प्रमेय (no-communication theorem) द्वारा प्रदर्शित किया गया है।

उलझाव द्वारा खोली गई एक और संभावना "हिडन वेरिएबल्स" (छिपे हुए चर) के लिए परीक्षण करना है, जो क्वांटम सिद्धांत में संबोधित मात्राओं से अधिक मौलिक काल्पनिक गुण हैं, जिनका ज्ञान क्वांटम सिद्धांत द्वारा प्रदान किए गए अनुमानों की तुलना में अधिक सटीक भविष्यवाणियां करने की अनुमति देगा। परिणामों के एक संग्रह ने, जिनमें सबसे महत्वपूर्ण बेल का प्रमेय (Bell's theorem) है, यह प्रदर्शित किया है कि ऐसे हिडन-वेरिएबल सिद्धांतों के व्यापक वर्ग वास्तव में क्वांटम भौतिकी के साथ असंगत हैं। बेल के प्रमेय के अनुसार, यदि प्रकृति वास्तव में स्थानीय (local) हिडन वेरिएबल्स के किसी भी सिद्धांत के अनुसार कार्य करती है, तो बेल परीक्षण (Bell test) के परिणाम एक विशेष, परिमाणनीय तरीके से बाधित होंगे। कई बेल परीक्षण किए गए हैं और उन्होंने स्थानीय हिडन वेरिएबल्स द्वारा लगाए गए बाधाओं के साथ असंगत परिणाम दिखाए हैं।

इसमें शामिल गणित को प्रस्तुत किए बिना इन अवधारणाओं को सतही तरीके से अधिक प्रस्तुत करना संभव नहीं है; क्वांटम यांत्रिकी को समझने के लिए न केवल सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) में हेरफेर करने की आवश्यकता है, बल्कि रैखिक बीजगणित (linear algebra), अवकल समीकरण (differential equations), समूह सिद्धांत (group theory), और अन्य अधिक उन्नत विषयों की भी आवश्यकता है। तदनुसार, यह लेख क्वांटम यांत्रिकी का एक गणितीय सूत्रीकरण प्रस्तुत करेगा और कुछ उपयोगी और अक्सर अध्ययन किए गए उदाहरणों पर इसके अनुप्रयोग का सर्वेक्षण करेगा।

गणितीय सूत्रीकरण

মূল নিবন্ধ: Mathematical formulation of quantum mechanics

क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय रूप से कठोर सूत्रीकरण में, एक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली की स्थिति एक सदिश $\psi$ है जो एक (पृथक्करणीय) सम्मिश्र हिल्बर्ट स्पेस ${\mathscr{H}}$ से संबंधित है। इस सदिश को हिल्बर्ट स्पेस इनर प्रोडक्ट के तहत सामान्यीकृत (normalized) माना जाता है, अर्थात, यह $⟨\psi ,\psi ⟩=1$ का पालन करता है, और यह 1 के मापांक (global phase) की सम्मिश्र संख्या तक अच्छी तरह से परिभाषित है, अर्थात, $\psi$ और $e^{i\alpha }\psi$ एक ही भौतिक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं। दूसरे शब्दों में, संभावित स्थितियाँ हिल्बर्ट स्पेस के प्रोजेक्टिव स्पेस में बिंदु हैं, जिसे आमतौर पर सम्मिश्र प्रोजेक्टिव स्पेस कहा जाता है। इस हिल्बर्ट स्पेस की सटीक प्रकृति प्रणाली पर निर्भर करती है – उदाहरण के लिए, स्थिति और संवेग का वर्णन करने के लिए हिल्बर्ट स्पेस सम्मिश्र वर्ग-समाकलनीय (square-integrable) फलनों $L^2(\mathbb{ℂ})$ का स्थान है,13 जबकि एक एकल प्रोटॉन के स्पिन के लिए हिल्बर्ट स्पेस सामान्य इनर प्रोडक्ट के साथ द्वि-आयामी सम्मिश्र सदिशों ${\mathbb{ℂ}}^2$ का स्थान है।20

रुचि की भौतिक मात्राएँ – स्थिति, संवेग, ऊर्जा, स्पिन – अवलोकनीय (observables) द्वारा दर्शाई जाती हैं, जो हिल्बर्ट स्पेस पर कार्य करने वाले हर्मिटी (अधिक सटीक रूप से, स्व-संलग्न) रैखिक ऑपरेटर हैं।17 एक क्वांटम स्थिति एक अवलोकनीय का आइगेनवेक्टर हो सकती है, जिस स्थिति में इसे आइगेनस्टेट कहा जाता है, और संबंधित आइगेनवैल्यू उस आइगेनस्टेट में अवलोकनीय के मान के अनुरूप होती है। अधिक सामान्यतः, एक क्वांटम स्थिति आइगेनस्टेट्स का एक रैखिक संयोजन होगी, जिसे क्वांटम सुपरपोजिशन के रूप में जाना जाता है। जब किसी अवलोकनीय को मापा जाता है, तो परिणाम बॉर्न नियम (Born rule) द्वारा दी गई प्रायिकता के साथ इसके आइगेनवैल्यू में से एक होगा: सबसे सरल मामले में आइगेनवैल्यू $\lambda$ गैर-अपभ्रष्ट (non-degenerate) है और प्रायिकता $|⟨\overrightarrow{\lambda },\psi ⟩{|}^2$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\overrightarrow{\lambda }$ इसका संबंधित इकाई-लंबाई आइगेनवेक्टर है। अधिक सामान्यतः, आइगेनवैल्यू अपभ्रष्ट (degenerate) होता है और प्रायिकता $⟨\psi ,P_{\lambda }\psi ⟩$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $P_{\lambda }$ इसके संबंधित आइगेनस्पेस पर प्रोजेक्टर है। निरंतर मामले में, ये सूत्र इसके बजाय प्रायिकता घनत्व (probability density) देते हैं।

मापन के बाद, यदि परिणाम $\lambda$ प्राप्त हुआ था, तो क्वांटम स्थिति को गैर-अपभ्रष्ट मामले में $\overrightarrow{\lambda }$ पर, या सामान्य मामले में $P_{\lambda }\psi /\sqrt{⟨\psi ,P_{\lambda }\psi ⟩}$ पर पतन (collapse) होने के लिए माना जाता है। इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी की प्रायिकता प्रकृति मापन के कार्य से उत्पन्न होती है। यह क्वांटम सिद्धांत के सबसे अधिक बहस वाले पहलुओं में से एक है, जिसमें क्वांटम यांत्रिकी की व्याख्या के विभिन्न रूप क्वांटम-स्थिति पतन के संबंध में प्रश्नों के मौलिक रूप से भिन्न उत्तर देते हैं, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।

क्वांटम स्थिति का समय विकास

एक क्वांटम स्थिति का समय विकास श्रोडिंगर समीकरण द्वारा वर्णित है: $$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (t)=H\psi (t).$$ यहाँ $H$ हैमिल्टोनियन को दर्शाता है, जो प्रणाली की कुल ऊर्जा के अनुरूप अवलोकनीय है, और $\hslash$ कम किया हुआ प्लांक नियतांक है। स्थिरांक $i\hslash$ को इसलिए पेश किया गया है ताकि उन मामलों में जहाँ क्वांटम प्रणाली को एक शास्त्रीय प्रणाली द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, हैमिल्टोनियन को शास्त्रीय हैमिल्टोनियन में कम किया जा सके; कुछ सीमाओं में ऐसा अनुमान लगाने की क्षमता को पत्राचार सिद्धांत (correspondence principle) कहा जाता है।

इस अवकल समीकरण का समाधान निम्न द्वारा दिया गया है: $$\psi (t)=e^{-iHt/\hslash }\psi (0).$$ ऑपरेटर $U(t)=e^{-iHt/\hslash }$ को समय-विकास ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है, और इसका महत्वपूर्ण गुण यह है कि यह एकात्मक (unitary) है। यह समय विकास इस अर्थ में नियतात्मक (deterministic) है कि – एक प्रारंभिक क्वांटम स्थिति $\psi (0)$ दिए जाने पर – यह एक निश्चित भविष्यवाणी करता है कि किसी भी बाद के समय में क्वांटम स्थिति $\psi (t)$ क्या होगी। fig1

कुछ वेवफंक्शन ऐसी प्रायिकता वितरण उत्पन्न करते हैं जो समय से स्वतंत्र होते हैं, जैसे कि हैमिल्टोनियन के आइगेनस्टेट।133–137 कई प्रणालियाँ जिन्हें शास्त्रीय यांत्रिकी में गतिशील रूप से माना जाता है, उन्हें ऐसे "स्थिर" वेवफंक्शन द्वारा वर्णित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक उत्तेजित न हुए परमाणु में एक एकल इलेक्ट्रॉन को शास्त्रीय रूप से परमाणु नाभिक के चारों ओर एक गोलाकार प्रक्षेपवक्र में घूमते हुए कण के रूप में चित्रित किया जाता है, जबकि क्वांटम यांत्रिकी में, इसे नाभिक के चारों ओर एक स्थिर वेवफंक्शन द्वारा वर्णित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक उत्तेजित न हुए हाइड्रोजन परमाणु के लिए इलेक्ट्रॉन वेवफंक्शन एक गोलाकार सममित फलन है जिसे s कक्षक (चित्र 1) के रूप में जाना जाता है।

श्रोडिंगर समीकरण के विश्लेषणात्मक समाधान क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर, पार्टिकल इन अ बॉक्स, डाईहाइड्रोजन धनायन और हाइड्रोजन परमाणु सहित बहुत कम अपेक्षाकृत सरल मॉडल हैमिल्टनियन के लिए ज्ञात हैं। यहाँ तक कि हीलियम परमाणु – जिसमें केवल दो इलेक्ट्रॉन होते हैं – ने भी पूर्ण विश्लेषणात्मक उपचार के सभी प्रयासों को विफल कर दिया है, और इसका बंद रूप में कोई समाधान नहीं निकलता है।

हालाँकि, अनुमानित समाधान खोजने की तकनीकें मौजूद हैं। एक विधि, जिसे परटर्बेशन थ्योरी (विक्षोभ सिद्धांत) कहा जाता है, एक सरल क्वांटम यांत्रिक मॉडल के विश्लेषणात्मक परिणाम का उपयोग करके एक संबंधित लेकिन अधिक जटिल मॉडल के लिए परिणाम बनाती है, उदाहरण के लिए, एक कमजोर स्थितिज ऊर्जा को जोड़कर।793 एक अन्य सन्निकटन विधि उन प्रणालियों पर लागू होती है जिनके लिए क्वांटम यांत्रिकी शास्त्रीय व्यवहार से केवल छोटे विचलन उत्पन्न करती है। इन विचलनों की गणना तब शास्त्रीय गति के आधार पर की जा सकती है।849

अनिश्चितता का सिद्धांत

बुनियादी क्वांटम औपचारिकता का एक परिणाम अनिश्चितता का सिद्धांत है। अपने सबसे परिचित रूप में, यह बताता है कि किसी क्वांटम कण की कोई भी तैयारी एक साथ उसकी स्थिति और उसके संवेग के मापन के लिए सटीक भविष्यवाणियों का संकेत नहीं दे सकती है। स्थिति और संवेग दोनों ही ऑब्जर्वेबल्स (अवलोकनीय) हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें हर्मिटियन ऑपरेटर्स द्वारा दर्शाया जाता है। पोजीशन ऑपरेटर $\hat{X}$ और मोमेंटम ऑपरेटर $\hat{P}$ कम्यूट (क्रमविनिमेय) नहीं करते हैं, बल्कि कैनोनिकल कम्यूटेशन रिलेशन को संतुष्ट करते हैं: $$[\hat{X},\hat{P}]=i\hslash .$$ एक क्वांटम अवस्था को देखते हुए, बॉर्न नियम हमें $X$ और $P$ दोनों के लिए, और इसके अलावा उनकी घातों के लिए भी प्रत्याशा मान (expectation values) की गणना करने देता है। एक ऑब्जर्वेबल के लिए अनिश्चितता को मानक विचलन द्वारा परिभाषित करते हुए, हमारे पास है $${\sigma }_X=\sqrt{⟨X^2⟩-{⟨X⟩}^2},$$ और इसी तरह संवेग के लिए: $${\sigma }_P=\sqrt{⟨P^2⟩-{⟨P⟩}^2}.$$ अनिश्चितता का सिद्धांत बताता है कि $${\sigma }_X{\sigma }_P\ge \frac{\hslash }{2}.$$ सिद्धांत रूप में किसी भी मानक विचलन को मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है, लेकिन दोनों को एक साथ नहीं। यह असमानता स्व-संलग्न ऑपरेटरों $A$ और $B$ के मनमाने जोड़ों के लिए सामान्यीकृत होती है। इन दो ऑपरेटरों का कम्यूटेटर है $$[A,B]=AB-BA,$$ और यह मानक विचलन के गुणनफल पर निचली सीमा प्रदान करता है: $${\sigma }_A{\sigma }_B\ge \frac{1}{2}|⟨[A,B]⟩|.$$

कैनोनिकल कम्यूटेशन रिलेशन का एक अन्य परिणाम यह है कि स्थिति और संवेग ऑपरेटर एक-दूसरे के फूरियर रूपांतरण हैं, इसलिए किसी वस्तु का उसके संवेग के अनुसार विवरण उसकी स्थिति के अनुसार विवरण का फूरियर रूपांतरण होता है। यह तथ्य कि संवेग में निर्भरता स्थिति में निर्भरता का फूरियर रूपांतरण है, इसका अर्थ है कि संवेग ऑपरेटर स्थिति के अनुसार अवकलन लेने के समतुल्य ($i/\hslash$ कारक तक) है, क्योंकि फूरियर विश्लेषण में अवकलन द्वैत स्थान (dual space) में गुणन के अनुरूप होता है। यही कारण है कि स्थिति स्थान में क्वांटम समीकरणों में, संवेग $p_i$ को $-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और विशेष रूप से स्थिति स्थान में गैर-सापेक्षवादी श्रोडिंगर समीकरण में संवेग-वर्ग पद को $-{\hslash }^2$ गुना लाप्लासियन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

संयुक्त प्रणालियाँ और एंटैंगलमेंट

जब दो अलग-अलग क्वांटम प्रणालियों पर एक साथ विचार किया जाता है, तो संयुक्त प्रणाली का हिल्बर्ट स्थान दो घटकों के हिल्बर्ट स्थानों का टेंसर उत्पाद होता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि A और B दो क्वांटम प्रणालियाँ हैं, जिनके हिल्बर्ट स्थान क्रमशः ${{\mathscr{H}}}_A$ और ${{\mathscr{H}}}_B$ हैं। तब संयुक्त प्रणाली का हिल्बर्ट स्थान है $${{\mathscr{H}}}_{AB}={{\mathscr{H}}}_A\otimes {{\mathscr{H}}}_B.$$ यदि पहली प्रणाली के लिए अवस्था सदिश ${\psi }_A$ है और दूसरी प्रणाली के लिए अवस्था ${\psi }_B$ है, तो संयुक्त प्रणाली की अवस्था है $${\psi }_A\otimes {\psi }_B.$$ हालाँकि, संयुक्त हिल्बर्ट स्थान ${{\mathscr{H}}}_{AB}$ में सभी अवस्थाओं को इस रूप में नहीं लिखा जा सकता है, क्योंकि सुपरपोजिशन सिद्धांत का अर्थ है कि इन "विभाज्य" या "उत्पाद अवस्थाओं" के रैखिक संयोजन भी मान्य हैं। उदाहरण के लिए, यदि ${\psi }_A$ और ${\varphi }_A$ दोनों प्रणाली $A$ के लिए संभावित अवस्थाएँ हैं, और इसी तरह ${\psi }_B$ और ${\varphi }_B$ दोनों प्रणाली $B$ के लिए संभावित अवस्थाएँ हैं, तो $$\frac{1}{\sqrt{2}}({\psi }_A\otimes {\psi }_B+{\varphi }_A\otimes {\varphi }_B)$$ एक मान्य संयुक्त अवस्था है जो विभाज्य नहीं है। जो अवस्थाएँ विभाज्य नहीं होती हैं उन्हें एंटैंगल्ड (उलझा हुआ) कहा जाता है।

यदि किसी संयुक्त प्रणाली की अवस्था एंटैंगल्ड है, तो किसी भी घटक प्रणाली A या प्रणाली B का वर्णन अवस्था सदिश द्वारा करना असंभव है। इसके बजाय, कोई रिड्यूस्ड डेंसिटी मैट्रिसेस को परिभाषित कर सकता है जो उन आँकड़ों का वर्णन करते हैं जिन्हें केवल किसी एक घटक प्रणाली पर मापन करके प्राप्त किया जा सकता है। हालाँकि, यह अनिवार्य रूप से सूचना की हानि का कारण बनता है: व्यक्तिगत प्रणालियों के रिड्यूस्ड डेंसिटी मैट्रिसेस को जानना संयुक्त प्रणाली की अवस्था को पुनर्गठित करने के लिए पर्याप्त नहीं है। जिस तरह डेंसिटी मैट्रिसेस एक बड़ी प्रणाली के उप-प्रणाली की अवस्था को निर्दिष्ट करते हैं, उसी तरह, पॉजिटिव ऑपरेटर-वैल्यूड मेजर्स (POVMs) एक बड़ी प्रणाली पर किए गए मापन के उप-प्रणाली पर प्रभाव का वर्णन करते हैं। POVMs का क्वांटम सूचना सिद्धांत में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

जैसा कि ऊपर वर्णित है, एंटैंगलमेंट मापन प्रक्रियाओं के मॉडलों की एक प्रमुख विशेषता है जिसमें एक उपकरण मापी जा रही प्रणाली के साथ एंटैंगल्ड हो जाता है। वे प्रणालियाँ जो उस वातावरण के साथ परस्पर क्रिया करती हैं जिसमें वे रहती हैं, वे आम तौर पर उस वातावरण के साथ एंटैंगल्ड हो जाती हैं, जिसे क्वांटम डिकोहेरेंस के रूप में जाना जाता है। यह समझा सकता है कि व्यवहार में, सूक्ष्म प्रणालियों से बड़ी प्रणालियों में क्वांटम प्रभावों का निरीक्षण करना कठिन क्यों है।

फॉर्मूलेशन के बीच समानता

क्वांटम यांत्रिकी के कई गणितीय रूप से समतुल्य फॉर्मूलेशन हैं। सबसे पुराने और सबसे सामान्य फॉर्मूलेशन में से एक पॉल डिराक द्वारा प्रस्तावित "ट्रांसफॉर्मेशन थ्योरी" है, जो क्वांटम यांत्रिकी के दो सबसे शुरुआती फॉर्मूलेशन – मैट्रिक्स मैकेनिक्स (जो वर्नर हाइजेनबर्ग द्वारा आविष्कृत) और वेव मैकेनिक्स (जो इरविन श्रोडिंगर द्वारा आविष्कृत) को एकीकृत और सामान्यीकृत करती है। क्वांटम यांत्रिकी का एक वैकल्पिक फॉर्मूलेशन फेनमैन का पाथ इंटीग्रल फॉर्मूलेशन है, जिसमें क्वांटम-यांत्रिक आयाम को प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं के बीच सभी संभावित शास्त्रीय और गैर-शास्त्रीय पथों के योग के रूप में माना जाता है। यह शास्त्रीय यांत्रिकी में एक्शन प्रिंसिपल का क्वांटम-यांत्रिक समकक्ष है।

समरूपता और संरक्षण नियम

মূল নিবন্ধ: नोएदर का प्रमेय

हैमिल्टोनियन $H$ को समय विकास (time evolution) का जनक (generator) कहा जाता है, क्योंकि यह $t$ के प्रत्येक मान के लिए एक एकात्मक समय-विकास ऑपरेटर $U(t)=e^{-iHt/\hslash }$ को परिभाषित करता है। $U(t)$ और $H$ के बीच इस संबंध से यह निष्कर्ष निकलता है कि कोई भी प्रेक्षणीय (observable) $A$ जो $H$ के साथ क्रमविनिमेय (commute) है, वह *संरक्षित* रहेगा: इसका प्रत्याशा मान (expectation value) समय के साथ नहीं बदलेगा।471 यह कथन सामान्यीकृत होता है, क्योंकि गणितीय रूप से, कोई भी हर्मिटी ऑपरेटर $A$ एक चर $t$ द्वारा पैरामीट्रिज्ड एकात्मक ऑपरेटरों के एक परिवार को उत्पन्न कर सकता है। $A$ द्वारा उत्पन्न विकास के तहत, कोई भी प्रेक्षणीय $B$ जो $A$ के साथ क्रमविनिमेय है, संरक्षित रहेगा। इसके अलावा, यदि $B$, $A$ के तहत विकास द्वारा संरक्षित है, तो $A$ भी $B$ द्वारा उत्पन्न विकास के तहत संरक्षित रहता है। यह एमी न्योथर (Emmy Noether) द्वारा शास्त्रीय (लैग्रेंजियन यांत्रिकी) में सिद्ध किए गए परिणाम का एक क्वांटम संस्करण है: हैमिल्टोनियन की प्रत्येक अवकलनीय सममिति के लिए, एक संबंधित संरक्षण नियम (conservation law) मौजूद होता है।

उदाहरण

मुक्त कण

মূল নিবন্ধ: Free particle

स्थिति स्वातंत्र्य की कोटि (position degree of freedom) वाले क्वांटम निकाय का सबसे सरल उदाहरण एक आयाम में मुक्त कण है। मुक्त कण वह है जिस पर कोई बाहरी प्रभाव नहीं होता, इसलिए इसका हैमिल्टोनियन केवल इसकी गतिज ऊर्जा से बना होता है: $$H=\frac{1}{2m}{P}^2=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}.$$ श्रोडिंगर समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार दिया गया है: $$\psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{\psi }(k,0)e^{i(kx-\frac{\hslash k^2}{2m}t)}\mathrm{d}k,$$ जो सभी संभावित समतल तरंगों (plane waves) $e^{i(kx-\frac{\hslash k^2}{2m}t)}$ का अध्यारोपण (superposition) है, जो संवेग $p=\hslash k$ के साथ संवेग ऑपरेटर के आइगेनस्टेट हैं। अध्यारोपण के गुणांक $\hat{\psi }(k,0)$ हैं, जो प्रारंभिक क्वांटम अवस्था $\psi (x,0)$ का फूरियर रूपांतरण (Fourier transform) है।

समाधान के लिए एकल संवेग आइगेनस्टेट या एकल स्थिति आइगेनस्टेट होना संभव नहीं है, क्योंकि ये सामान्यीकरण योग्य (normalizable) क्वांटम अवस्थाएं नहीं हैं। इसके बजाय, हम एक गाऊसी तरंग पैकेट (wave packet) पर विचार कर सकते हैं: $$\psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt[4]{\pi a}}{e}^{-\frac{x^2}{2a}}$$ जिसका फूरियर रूपांतरण, और इसलिए संवेग वितरण है: $$\hat{\psi }(k,0)=\sqrt[4]{\frac{a}{\pi }}{e}^{-\frac{a{k}^2}{2}}.$$ हम देखते हैं कि जैसे-जैसे हम $a$ को छोटा करते हैं, स्थिति का प्रसार (spread) छोटा हो जाता है, लेकिन संवेग का प्रसार बड़ा हो जाता है। इसके विपरीत, $a$ को बड़ा करने से संवेग का प्रसार छोटा हो जाता है, लेकिन स्थिति का प्रसार बड़ा हो जाता है। यह अनिश्चितता सिद्धांत (uncertainty principle) को दर्शाता है।

जैसे-जैसे हम गाऊसी तरंग पैकेट को समय के साथ विकसित होने देते हैं, हम देखते हैं कि इसका केंद्र एक स्थिर वेग से अंतरिक्ष में चलता है (जैसे कि कोई शास्त्रीय कण जिस पर कोई बल कार्य नहीं कर रहा हो)। हालाँकि, समय बीतने के साथ तरंग पैकेट फैलता भी जाएगा, जिसका अर्थ है कि स्थिति अधिक से अधिक अनिश्चित होती जाती है। हालाँकि, संवेग में अनिश्चितता स्थिर रहती है।

बॉक्स में कण

মূল নিবন্ধ: Particle in a box

एक-आयामी स्थितिज ऊर्जा बॉक्स में कण सबसे सरल गणितीय उदाहरण है जहाँ प्रतिबंध ऊर्जा स्तरों के क्वांटमीकरण (quantization) की ओर ले जाते हैं। बॉक्स को एक निश्चित क्षेत्र के *भीतर* हर जगह शून्य स्थितिज ऊर्जा और उस क्षेत्र के *बाहर* हर जगह अनंत स्थितिज ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया है।77–78 $x$ दिशा में एक-आयामी मामले के लिए, समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=E\psi .$$

अवकल ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित करने पर: $${\hat{p}}_x=-i\hslash \frac{d}{dx}$$पिछला समीकरण शास्त्रीय गतिज ऊर्जा सादृश्य की याद दिलाता है, $$\frac{1}{2m}{\hat{p}}_x^2=E,$$ जहाँ इस मामले में अवस्था $\psi$ की ऊर्जा $E$ कण की गतिज ऊर्जा के साथ संपाती (coincident) है।

बॉक्स में कण के लिए श्रोडिंगर समीकरण के सामान्य समाधान हैं: $$\psi (x)=A{e}^{ikx}+B{e}^{-ikx}E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$$ या, यूलर सूत्र (Euler's formula) से, $$\psi (x)=C\sin (kx)+D\cos (kx).$$

बॉक्स की अनंत स्थितिज दीवारें $x=0$ और $x=L$ पर $C,D,$ और $k$ के मान निर्धारित करती हैं जहाँ $\psi$ शून्य होना चाहिए। अतः, $x=0$ पर, $$\psi (0)=0=C\sin (0)+D\cos (0)=D$$ और $D=0$। $x=L$ पर, $$\psi (L)=0=C\sin (kL),$$ जिसमें $C$ शून्य नहीं हो सकता क्योंकि यह इस अभिधारणा के साथ संघर्ष करेगा कि $\psi$ का मान (norm) 1 है। इसलिए, चूंकि $\sin (kL)=0$, $kL$ को $\pi$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए, $$k=\frac{n\pi }{L}n=1,2,3,\dots .$$

$k$ पर यह बाधा ऊर्जा स्तरों पर एक बाधा उत्पन्न करती है, जिससे प्राप्त होता है: $$E_n=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2{n}^2}{2m{L}^2}=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}.$$

एक परिमित स्थितिज कूप (finite potential well) अनंत स्थितिज कूप समस्या का परिमित गहराई वाले स्थितिज कूपों के लिए सामान्यीकरण है। परिमित स्थितिज कूप समस्या गणितीय रूप से अनंत बॉक्स-में-कण समस्या की तुलना में अधिक जटिल है क्योंकि तरंग फलन कूप की दीवारों पर शून्य पर पिन नहीं होता है। इसके बजाय, तरंग फलन को अधिक जटिल गणितीय सीमा स्थितियों (boundary conditions) को संतुष्ट करना होगा क्योंकि यह कूप के बाहर के क्षेत्रों में शून्य नहीं है। एक अन्य संबंधित समस्या आयताकार स्थितिज अवरोध (rectangular potential barrier) की है, जो क्वांटम टनलिंग प्रभाव के लिए एक मॉडल प्रदान करती है, जो फ्लैश मेमोरी और स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोपी जैसी आधुनिक तकनीकों के प्रदर्शन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

हार्मोनिक ऑसीलेटर

মূল নিবন্ধ: Quantum harmonic oscillator

शास्त्रीय मामले की तरह, क्वांटम हार्मोनिक ऑसीलेटर के लिए स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार दी गई है:234 $$V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2.$$

इस समस्या को या तो सीधे श्रोडिंगर समीकरण को हल करके निपटाया जा सकता है, जो आसान नहीं है, या पॉल डिराक द्वारा प्रस्तावित अधिक सुरुचिपूर्ण "सीढ़ी विधि" (ladder method) का उपयोग करके। आइगेनस्टेट्स इस प्रकार दिए गए हैं: $${\psi }_n(x)=\sqrt{\frac{1}{2^{n}n!}}\cdot {\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash }\right)}^{1/4}\cdot e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hslash }}\cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}x\right),$$ $$n=0,1,2,\dots .$$ जहाँ H_n हर्माइट बहुपद (Hermite polynomials) हैं $$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-x^2}\right),$$ और संबंधित ऊर्जा स्तर हैं $$E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2}).$$

यह बद्ध अवस्थाओं (bound states) के लिए ऊर्जा के विविक्तकरण (discretization) को दर्शाने वाला एक और उदाहरण है।

माक-ज़ेंडर इंटरफेरोमीटर

मैक-ज़ेंडर इंटरफेरोमीटर (MZI) अवकल समीकरणों (differential equations) के बजाय 2 आयामों में रैखिक बीजगणित (linear algebra) के साथ अध्यारोपण (superposition) और व्यतिकरण (interference) की अवधारणाओं को स्पष्ट करता है। इसे द्वि-झिरी प्रयोग (double-slit experiment) के एक सरलीकृत संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, लेकिन यह अपने आप में भी महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए विलंबित चयन क्वांटम इरेज़र (delayed choice quantum eraser), एलिट्ज़र-वैडमैन बम टेस्टर (Elitzur–Vaidman bomb tester), और क्वांटम उलझाव (quantum entanglement) के अध्ययनों में।

हम इंटरफेरोमीटर से गुजरने वाले एक फोटॉन को यह मानकर मॉडल कर सकते हैं कि प्रत्येक बिंदु पर वह केवल दो पथों के अध्यारोपण में हो सकता है: "निचला" पथ जो बाईं ओर से शुरू होता है, दोनों बीम स्प्लिटर से सीधे गुजरता है, और शीर्ष पर समाप्त होता है, और "ऊपरी" पथ जो नीचे से शुरू होता है, दोनों बीम स्प्लिटर से सीधे गुजरता है, और दाईं ओर समाप्त होता है। इसलिए फोटॉन की क्वांटम अवस्था एक सदिश $\psi \in {\mathbb{ℂ}}^2$ है जो "निचले" पथ ${\psi }_l=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ और "ऊपरी" पथ ${\psi }_u=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ का अध्यारोपण है, अर्थात, सम्मिश्र $\alpha ,\beta$ के लिए $\psi =\alpha {\psi }_l+\beta {\psi }_u$ है। इस अभिधारणा का सम्मान करने के लिए कि $⟨\psi ,\psi ⟩=1$ है, हमें यह आवश्यक है कि $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$ हो।

दोनों बीम स्प्लिटर (beam splitter) को यूनिटरी मैट्रिक्स $B=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& i\\ i& 1\end{array}\right)$ के रूप में मॉडल किया गया है, जिसका अर्थ है कि जब कोई फोटॉन बीम स्प्लिटर से मिलता है तो वह या तो $1/\sqrt{2}$ के प्रायिकता आयाम (probability amplitude) के साथ उसी पथ पर रहेगा, या $i/\sqrt{2}$ के प्रायिकता आयाम के साथ दूसरे पथ पर परावर्तित हो जाएगा। ऊपरी भुजा पर स्थित फेज शिफ्टर (phase shifter) को यूनिटरी मैट्रिक्स $P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}\end{array}\right)$ के रूप में मॉडल किया गया है, जिसका अर्थ है कि यदि फोटॉन "ऊपरी" पथ पर है तो वह $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }$ का सापेक्ष चरण (relative phase) प्राप्त करेगा, और यदि वह निचले पथ पर है तो वह अपरिवर्तित रहेगा।

बाईं ओर से इंटरफेरोमीटर में प्रवेश करने वाला फोटॉन तब एक बीम स्प्लिटर $B$, एक फेज शिफ्टर $P$, और एक अन्य बीम स्प्लिटर $B$ द्वारा प्रभावित होगा, और अंततः इस अवस्था में होगा $$BPB{\psi }_l=i{e}^{i\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }/2}\left(\begin{array}{c}-\sin (\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }/2)\\ \cos (\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }/2)\end{array}\right),$$ और दाईं ओर या शीर्ष पर इसके पता लगाए जाने की प्रायिकताएं क्रमशः इस प्रकार हैं $$p(u)=|⟨{\psi }_u,BPB{\psi }_l⟩{|}^2={\cos }^2\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{2},$$ $$p(l)=|⟨{\psi }_l,BPB{\psi }_l⟩{|}^2={\sin }^2\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{2}.$$ इसलिए कोई भी इन प्रायिकताओं का अनुमान लगाकर फेज शिफ्ट (phase shift) का आकलन करने के लिए मैक-ज़ेंडर इंटरफेरोमीटर का उपयोग कर सकता है।

यह विचार करना दिलचस्प है कि यदि फोटॉन बीम स्प्लिटर के बीच निश्चित रूप से "निचले" या "ऊपरी" पथ में होता तो क्या होता। इसे पथों में से एक को अवरुद्ध करके, या समान रूप से पहले बीम स्प्लिटर को हटाकर (और फोटॉन को बाईं या नीचे से, इच्छानुसार फीड करके) पूरा किया जा सकता है। दोनों ही मामलों में, पथों के बीच कोई व्यतिकरण नहीं होगा, और प्रायिकताएं $p(u)=p(l)=1/2$ होंगी, जो फेज $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }$ से स्वतंत्र होंगी। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि फोटॉन पहले बीम स्प्लिटर के बाद एक या दूसरे पथ को नहीं अपनाता है, बल्कि यह कि वह दोनों पथों के एक वास्तविक क्वांटम अध्यारोपण में होता है।

अनुप्रयोग

মূল নিবন্ধ: Applications of quantum mechanics

क्वांटम यांत्रिकी को हमारे ब्रह्मांड की कई विशेषताओं को समझाने में भारी सफलता मिली है, जो छोटे पैमाने और असतत मात्राओं और अंतःक्रियाओं के संबंध में है जिन्हें शास्त्रीय विधियों द्वारा नहीं समझाया जा सकता है। क्वांटम यांत्रिकी अक्सर एकमात्र सिद्धांत है जो पदार्थ के सभी रूपों (इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन, फोटॉन, और अन्य) को बनाने वाले उप-परमाणु कणों के व्यक्तिगत व्यवहार को प्रकट कर सकता है। ठोस-अवस्था भौतिकी (Solid-state physics) और पदार्थ विज्ञान (materials science) क्वांटम यांत्रिकी पर निर्भर हैं।

कई पहलुओं में, आधुनिक तकनीक उस पैमाने पर काम करती है जहां क्वांटम प्रभाव महत्वपूर्ण होते हैं। क्वांटम सिद्धांत के महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में क्वांटम रसायन विज्ञान, क्वांटम प्रकाशिकी, क्वांटम कंप्यूटिंग, सुपरकंडक्टिंग मैग्नेट, प्रकाश उत्सर्जक डायोड (LED), ऑप्टिकल एम्पलीफायर और लेज़र, ट्रांजिस्टर और सेमीकंडक्टर जैसे माइक्रोप्रोसेसर, चिकित्सा और अनुसंधान इमेजिंग जैसे मैग्नेटिक रेजोनेंस इमेजिंग (MRI) और इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी शामिल हैं। कई जैविक और भौतिक घटनाओं की व्याख्या रासायनिक बंधन की प्रकृति में निहित है, विशेष रूप से मैक्रो-मॉलिक्यूल DNA में।

अन्य वैज्ञानिक सिद्धांतों से संबंध

शास्त्रीय यांत्रिकी

क्वांटम यांत्रिकी के नियम यह दावा करते हैं कि किसी प्रणाली की अवस्था का स्थान (state space) एक हिल्बर्ट स्पेस (Hilbert space) है और प्रणाली के प्रेक्षणीय (observables) उस स्थान में सदिशों पर कार्य करने वाले हर्मिटियन ऑपरेटर (Hermitian operators) हैं - हालाँकि वे हमें यह नहीं बताते कि कौन सा हिल्बर्ट स्पेस या कौन से ऑपरेटर। क्वांटम प्रणाली का मात्रात्मक विवरण प्राप्त करने के लिए इन्हें उपयुक्त रूप से चुना जा सकता है, जो भौतिक भविष्यवाणियां करने में एक आवश्यक कदम है। इन विकल्पों को चुनने के लिए एक महत्वपूर्ण मार्गदर्शिका पत्राचार सिद्धांत (correspondence principle) है, एक अनुभवजन्य नियम जो बताता है कि क्वांटम यांत्रिकी की भविष्यवाणियां बड़ी क्वांटम संख्याओं (quantum numbers) के शासन में शास्त्रीय यांत्रिकी की भविष्यवाणियों में कम हो जाती हैं। कोई भी किसी विशेष प्रणाली के एक स्थापित शास्त्रीय मॉडल से शुरू कर सकता है, और फिर अंतर्निहित क्वांटम मॉडल का अनुमान लगाने की कोशिश कर सकता है जो पत्राचार सीमा में शास्त्रीय मॉडल को जन्म देगा। इस दृष्टिकोण को विहित परिमाणीकरण (Canonical quantization) के रूप में जाना जाता है।299

जब क्वांटम यांत्रिकी को मूल रूप से तैयार किया गया था, तो इसे उन मॉडलों पर लागू किया गया था जिनकी पत्राचार सीमा गैर-सापेक्षतावादी शास्त्रीय यांत्रिकी थी। उदाहरण के लिए, क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर का प्रसिद्ध मॉडल ऑसिलेटर की गतिज ऊर्जा के लिए स्पष्ट रूप से गैर-सापेक्षतावादी अभिव्यक्ति का उपयोग करता है, और इस प्रकार यह शास्त्रीय हार्मोनिक ऑसिलेटर का एक क्वांटम संस्करण है।234

अराजक प्रणालियों (chaotic systems) के साथ जटिलताएं उत्पन्न होती हैं, जिनमें अच्छी क्वांटम संख्याएं नहीं होती हैं, और क्वांटम अराजकता (quantum chaos) इन प्रणालियों में शास्त्रीय और क्वांटम विवरणों के बीच संबंधों का अध्ययन करती है।353

क्वांटम डिकोहेरेंस (Quantum decoherence) वह तंत्र है जिसके माध्यम से क्वांटम प्रणालियां क्वांटम सुसंगतता (quantum coherence) खो देती हैं, और इस प्रकार कई विशिष्ट क्वांटम प्रभावों को प्रदर्शित करने में असमर्थ हो जाती हैं: क्वांटम अध्यारोपण केवल प्रायिकता मिश्रण बन जाते हैं, और क्वांटम उलझाव केवल शास्त्रीय सहसंबंध बन जाते हैं।687–730 क्वांटम सुसंगतता आमतौर पर मैक्रोस्कोपिक स्तरों पर स्पष्ट नहीं होती है, हालांकि परम शून्य (absolute zero) के करीब के तापमान पर क्वांटम व्यवहार मैक्रोस्कोपिक रूप से प्रकट हो सकता है।

एक शास्त्रीय प्रणाली के कई मैक्रोस्कोपिक गुण इसके भागों के क्वांटम व्यवहार का सीधा परिणाम हैं। उदाहरण के लिए, थोक पदार्थ की स्थिरता (परमाणुओं और अणुओं से मिलकर बनी जो केवल विद्युत बलों के तहत जल्दी से ढह जाएंगे), ठोस पदार्थों की कठोरता, और पदार्थ के यांत्रिक, तापीय, रासायनिक, ऑप्टिकल और चुंबकीय गुण सभी क्वांटम यांत्रिकी के नियमों के तहत विद्युत आवेशों की अंतःक्रिया के परिणाम हैं।

विशेष सापेक्षता और विद्युतगतिकी

क्वांटम यांत्रिकी को विशेष सापेक्षता (special relativity) के साथ विलय करने के शुरुआती प्रयासों में श्रोडिंगर समीकरण को क्लेन-गॉर्डन समीकरण (Klein–Gordon equation) या डिराक समीकरण (Dirac equation) जैसे सहप्रसरण (covariant) समीकरणों से प्रतिस्थापित करना शामिल था। हालाँकि ये सिद्धांत कई प्रायोगिक परिणामों की व्याख्या करने में सफल रहे, लेकिन इनमें कुछ असंतोषजनक गुण थे जो कणों के सापेक्षवादी सृजन और विनाश की उपेक्षा करने के कारण उत्पन्न हुए थे। एक पूर्ण सापेक्षवादी क्वांटम सिद्धांत के लिए क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (quantum field theory) के विकास की आवश्यकता थी, जो (कणों के एक निश्चित समूह के बजाय) एक क्षेत्र पर क्वांटाइजेशन लागू करता है। पहला पूर्ण क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत, क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स (quantum electrodynamics), विद्युतचुंबकीय अन्योन्यक्रिया (electromagnetic interaction) का पूर्ण क्वांटम विवरण प्रदान करता है। क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स, सामान्य सापेक्षता (general relativity) के साथ, अब तक तैयार किए गए सबसे सटीक भौतिक सिद्धांतों में से एक है।

इलेक्ट्रोडायनामिक प्रणालियों का वर्णन करने के लिए क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पूर्ण तंत्र की अक्सर आवश्यकता नहीं होती है। एक सरल दृष्टिकोण, जिसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी की शुरुआत से ही किया जा रहा है, वह है आवेशित कणों को क्वांटम यांत्रिक वस्तुओं के रूप में मानना जिन पर एक शास्त्रीय विद्युतचुंबकीय क्षेत्र (electromagnetic field) कार्य कर रहा है। उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन परमाणु का प्रारंभिक क्वांटम मॉडल एक शास्त्रीय $-e^2/(4\pi {ϵ}_{{}_0}r)$ कूलम्ब विभव (Coulomb potential) का उपयोग करके हाइड्रोजन परमाणु के विद्युत क्षेत्र का वर्णन करता है।285 इसी तरह, एक स्टर्न-गेरलाच प्रयोग (Stern–Gerlach experiment) में, एक आवेशित कण को एक क्वांटम प्रणाली के रूप में मॉडल किया जाता है, जबकि पृष्ठभूमि चुंबकीय क्षेत्र को शास्त्रीय रूप से वर्णित किया जाता है।26 यह "अर्ध-शास्त्रीय" (semi-classical) दृष्टिकोण विफल हो जाता है यदि विद्युतचुंबकीय क्षेत्र में क्वांटम उतार-चढ़ाव एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जैसे कि आवेशित कण द्वारा फोटॉन के उत्सर्जन में।

प्रबल नाभिकीय बल (strong nuclear force) और दुर्बल नाभिकीय बल (weak nuclear force) के लिए भी क्वांटम क्षेत्र (quantum field) सिद्धांत विकसित किए गए हैं। प्रबल नाभिकीय बल के क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स (quantum chromodynamics) कहा जाता है, और यह क्वार्क (quarks) और ग्लूऑन (gluons) जैसे उप-नाभिकीय कणों की अन्योन्यक्रियाओं का वर्णन करता है। भौतिकविदों अब्दुस सलाम, शेल्डन ग्लाशो और स्टीवन वेनबर्ग द्वारा दुर्बल नाभिकीय बल और विद्युतचुंबकीय बल को उनके क्वांटाइज्ड रूपों में एक एकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (जिसे इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत (electroweak theory) के रूप में जाना जाता है) में एकीकृत किया गया था।

सामान्य सापेक्षता से संबंध

भले ही क्वांटम सिद्धांत और सामान्य सापेक्षता दोनों के पूर्वानुमानों को कठोर और बार-बार प्राप्त अनुभवजन्य साक्ष्य (empirical evidence) द्वारा समर्थित किया गया है, लेकिन उनके अमूर्त औपचारिकवाद (formalisms) एक-दूसरे का खंडन करते हैं और उन्हें एक सुसंगत, ठोस मॉडल में शामिल करना अत्यंत कठिन साबित हुआ है। कण भौतिकी के कई क्षेत्रों में गुरुत्वाकर्षण नगण्य है, इसलिए सामान्य सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी के बीच एकीकरण उन विशिष्ट अनुप्रयोगों में कोई तत्काल मुद्दा नहीं है। हालाँकि, क्वांटम गुरुत्वाकर्षण (quantum gravity) के एक सही सिद्धांत का अभाव भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान (physical cosmology) और भौतिकविदों द्वारा एक सुंदर "थ्योरी ऑफ एवरीथिंग" (TOE) की खोज में एक महत्वपूर्ण मुद्दा है। परिणामस्वरूप, दोनों सिद्धांतों के बीच विसंगतियों को हल करना 20वीं और 21वीं सदी की भौतिकी का एक प्रमुख लक्ष्य रहा है। यह TOE न केवल उप-परमाणु भौतिकी के मॉडलों को संयोजित करेगा, बल्कि प्रकृति के चार मूलभूत बलों को एक एकल बल या घटना से व्युत्पन्न भी करेगा।

ऐसा करने के लिए एक प्रस्ताव स्ट्रिंग सिद्धांत (string theory) है, जो यह मानता है कि कण भौतिकी के बिंदु-समान कण (point-like particles) को स्ट्रिंग (strings) नामक एक-आयामी (one-dimensional) वस्तुओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। स्ट्रिंग सिद्धांत वर्णन करता है कि ये स्ट्रिंग अंतरिक्ष के माध्यम से कैसे प्रसारित होती हैं और एक-दूसरे के साथ कैसे अन्योन्यक्रिया करती हैं। स्ट्रिंग पैमाने से बड़ी दूरी के पैमानों पर, एक स्ट्रिंग बिल्कुल एक सामान्य कण की तरह दिखती है, जिसका द्रव्यमान, आवेश, और अन्य गुण स्ट्रिंग की कंपन (vibrational) अवस्था द्वारा निर्धारित होते हैं। स्ट्रिंग सिद्धांत में, स्ट्रिंग की कई कंपन अवस्थाओं में से एक ग्रेविटॉन (graviton) के अनुरूप है, जो एक क्वांटम यांत्रिक कण है जो गुरुत्वाकर्षण बल को वहन करता है।

एक अन्य लोकप्रिय सिद्धांत लूप क्वांटम ग्रेविटी (LQG) है, जो गुरुत्वाकर्षण के क्वांटम गुणों का वर्णन करता है और इस प्रकार यह क्वांटम स्पेसटाइम का एक सिद्धांत है। LQG मानक क्वांटम यांत्रिकी और मानक सामान्य सापेक्षता को विलय और अनुकूलित करने का एक प्रयास है। यह सिद्धांत अंतरिक्ष को स्पिन नेटवर्क (spin networks) नामक परिमित लूपों से "बुना" हुआ एक अत्यंत सूक्ष्म ताना-बाना बताता है। समय के साथ एक स्पिन नेटवर्क के विकास को स्पिन फोम (spin foam) कहा जाता है। स्पिन फोम का विशिष्ट लंबाई पैमाना प्लैंक लंबाई (Planck length) है, जो लगभग 1.616×10⁻³⁵ मीटर है, और इसलिए प्लैंक लंबाई से छोटी लंबाई LQG में भौतिक रूप से सार्थक नहीं है।

दार्शनिक निहितार्थ

মূল নিবন্ধ: Interpretations of quantum mechanics

क्या क्वांटम यांत्रिकी की कोई पसंदीदा व्याख्या है? वास्तविकता का क्वांटम विवरण, जिसमें "अध्यारोपण" (superposition) और "तरंग फलन पतन" (wave function collapse) जैसे तत्व शामिल हैं, उस वास्तविकता को कैसे जन्म देता है जिसे हम अनुभव करते हैं? अपनी शुरुआत से ही, क्वांटम यांत्रिकी के कई प्रति-सहज (counter-intuitive) पहलुओं और परिणामों ने मजबूत दार्शनिक बहसें और कई व्याख्याओं को जन्म दिया है। तर्क क्वांटम यांत्रिकी की संभाव्य प्रकृति, तरंग फलन पतन (wavefunction collapse) और संबंधित मापन समस्या (measurement problem), और क्वांटम गैर-स्थानीयता (quantum nonlocality) के साथ कठिनाइयों पर केंद्रित हैं। शायद इन मुद्दों के बारे में एकमात्र सहमति यह है कि कोई सहमति नहीं है। रिचर्ड फाइनमेन ने एक बार कहा था, "मुझे लगता है कि मैं सुरक्षित रूप से कह सकता हूँ कि कोई भी क्वांटम यांत्रिकी को नहीं समझता है।" स्टीवन वेनबर्ग के अनुसार, "मेरी राय में अब क्वांटम यांत्रिकी की कोई पूरी तरह से संतोषजनक व्याख्या नहीं है।"

नील्स बोर, वर्नर हाइजेनबर्ग और अन्य भौतिकविदों के विचारों को अक्सर "कोपेनहेगन व्याख्या" (Copenhagen interpretation) के रूप में समूहित किया जाता है। इन विचारों के अनुसार, क्वांटम यांत्रिकी की संभाव्य प्रकृति एक अस्थायी विशेषता नहीं है जिसे अंततः एक नियतात्मक सिद्धांत द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा, बल्कि यह "कार्य-कारण" (causality) के शास्त्रीय विचार का एक अंतिम त्याग है। विशेष रूप से बोर ने जोर दिया कि क्वांटम यांत्रिक औपचारिकवाद के किसी भी सुव्यवस्थित अनुप्रयोग को हमेशा प्रायोगिक व्यवस्था का संदर्भ देना चाहिए, जो विभिन्न प्रायोगिक स्थितियों के तहत प्राप्त साक्ष्यों की पूरकता (complementarity) प्रकृति के कारण है। कोपेनहेगन-प्रकार की व्याख्याओं को बोर, हाइजेनबर्ग, श्रोडिंगर, फाइनमेन और ज़िलिंगर सहित क्वांटम भौतिकी के नोबेल पुरस्कार विजेताओं के साथ-साथ क्वांटम नींव (quantum foundations) में 21वीं सदी के शोधकर्ताओं द्वारा अपनाया गया था।

अल्बर्ट आइंस्टीन, जो स्वयं क्वांटम सिद्धांत के संस्थापकों में से एक थे, इसके कुछ प्रिय आध्यात्मिक सिद्धांतों, जैसे कि नियतिवाद (determinism) और स्थानिकता (locality) का सम्मान करने में इसकी स्पष्ट विफलता से परेशान थे। क्वांटम यांत्रिकी के अर्थ और स्थिति के बारे में आइंस्टीन और बोहर के बीच लंबे समय तक चले आदान-प्रदान को अब बोहर-आइंस्टीन बहस के रूप में जाना जाता है। आइंस्टीन का मानना था कि क्वांटम यांत्रिकी के अंतर्निहित एक ऐसा सिद्धांत होना चाहिए जो स्पष्ट रूप से दूरस्थ क्रिया (action at a distance) को प्रतिबंधित करे। उन्होंने तर्क दिया कि क्वांटम यांत्रिकी अपूर्ण है, एक ऐसा सिद्धांत जो मान्य तो है लेकिन मौलिक नहीं है, ठीक उसी तरह जैसे ऊष्मागतिकी (thermodynamics) मान्य है, लेकिन इसके पीछे का मौलिक सिद्धांत सांख्यिकीय यांत्रिकी (statistical mechanics) है। 1935 में, आइंस्टीन और उनके सहयोगियों बोरिस पोडॉल्स्की और नाथन रोसेन ने एक तर्क प्रकाशित किया कि स्थानिकता का सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी की अपूर्णता को दर्शाता है, जिसे बाद में आइंस्टीन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास (EPR paradox) के रूप में जाना गया।</ref> 1964 में, जॉन बेल ने दिखाया कि EPR का स्थानिकता का सिद्धांत, नियतिवाद के साथ मिलकर, वास्तव में क्वांटम यांत्रिकी के साथ असंगत था: उन्होंने दूरस्थ प्रणालियों द्वारा उत्पन्न सहसंबंधों पर बाधाओं का संकेत दिया, जिन्हें अब बेल असमानताएं (Bell inequalities) के रूप में जाना जाता है, जिनका उल्लंघन उलझे हुए (entangled) कणों द्वारा किया जा सकता है। तब से इन सहसंबंधों को प्राप्त करने के लिए कई प्रयोग किए गए हैं, जिसका परिणाम यह है कि वे वास्तव में बेल असमानताओं का उल्लंघन करते हैं, और इस प्रकार स्थानिकता और नियतिवाद के संयोजन को गलत साबित करते हैं।

बोहमियन यांत्रिकी (Bohmian mechanics) दिखाती है कि क्वांटम यांत्रिकी को नियतिवादी बनाने के लिए इसे पुनर्गठित करना संभव है, जिसकी कीमत इसे स्पष्ट रूप से गैर-स्थानिक (nonlocal) बनाना है। यह एक भौतिक प्रणाली को न केवल एक तरंग फलन (wave function) का श्रेय देती है, बल्कि एक वास्तविक स्थिति का भी, जो एक गैर-स्थानिक मार्गदर्शक समीकरण के तहत नियतिवादी रूप से विकसित होती है। एक भौतिक प्रणाली का विकास हर समय श्रोडिंगर समीकरण के साथ-साथ मार्गदर्शक समीकरण द्वारा दिया जाता है; तरंग फलन का कभी भी पतन (collapse) नहीं होता है। यह मापन समस्या को हल करता है।

अनेक-विश्व व्याख्या (many-worlds interpretation), जिसे 1956 में ह्यू एवरेट द्वारा तैयार किया गया था, का मानना है कि क्वांटम सिद्धांत द्वारा वर्णित *सभी* संभावनाएं *एक साथ* एक मल्टीवर्स में घटित होती हैं जो ज्यादातर स्वतंत्र समानांतर ब्रह्मांडों से बना है। यह तरंग पैकेट के पतन के स्वयंसिद्ध को हटाने का परिणाम है। मापी गई प्रणाली और मापन उपकरण की सभी संभावित अवस्थाएं, पर्यवेक्षक के साथ, एक वास्तविक भौतिक क्वांटम अध्यारोपण में मौजूद हैं। जबकि मल्टीवर्स नियतिवादी है, हम संभावनाओं द्वारा शासित गैर-नियतिवादी व्यवहार को देखते हैं क्योंकि हम पूरे मल्टीवर्स को नहीं बल्कि एक समय में केवल एक समानांतर ब्रह्मांड को देखते हैं। यह वास्तव में कैसे काम करता है, यह बहुत बहस का विषय रहा है। इसे समझने और बॉर्न नियम (Born rule) को व्युत्पन्न करने के कई प्रयास किए गए हैं, लेकिन इस पर कोई आम सहमति नहीं है कि वे सफल रहे हैं या नहीं।

संबंधपरक क्वांटम यांत्रिकी (Relational quantum mechanics) 1990 के दशक के अंत में कोपेनहेगन-प्रकार के विचारों के आधुनिक व्युत्पन्न के रूप में उभरी, और QBism कुछ वर्षों बाद विकसित की गई।

इतिहास

মূল নিবন্ধ: History of quantum mechanics, Atomic theory

क्वांटम यांत्रिकी का विकास 20वीं सदी के शुरुआती दशकों में हुआ, जो उन घटनाओं को समझाने की आवश्यकता से प्रेरित था, जिन्हें कुछ मामलों में, पहले के समय में देखा गया था। प्रकाश की तरंग प्रकृति पर वैज्ञानिक जांच 17वीं और 18वीं शताब्दी में शुरू हुई, जब रॉबर्ट हुक, क्रिस्टियान ह्यूजेंस और लियोनहार्ड यूलर जैसे वैज्ञानिकों ने प्रयोगात्मक अवलोकनों के आधार पर प्रकाश का तरंग सिद्धांत प्रस्तावित किया। 1803 में अंग्रेजी बहुज्ञ थॉमस यंग ने प्रसिद्ध द्वि-झिरी प्रयोग (double-slit experiment) का वर्णन किया। इस प्रयोग ने प्रकाश के तरंग सिद्धांत की सामान्य स्वीकृति में एक बड़ी भूमिका निभाई।

19वीं सदी की शुरुआत में, जॉन डाल्टन और अमेदिओ अवोगाद्रो द्वारा किए गए रासायनिक शोध ने पदार्थ के परमाणु सिद्धांत को बल दिया, एक ऐसा विचार जिस पर जेम्स क्लर्क मैक्सवेल, लुडविग बोल्ट्ज़मैन और अन्य ने गैसों का गतिज सिद्धांत स्थापित करने के लिए निर्माण किया। गतिज सिद्धांत की सफलताओं ने इस विचार को और अधिक विश्वसनीयता दी कि पदार्थ परमाणुओं से बना है, फिर भी सिद्धांत में ऐसी कमियां थीं जिन्हें केवल क्वांटम यांत्रिकी के विकास से ही हल किया जा सकता था। जबकि ग्रीक दर्शन से परमाणुओं की प्रारंभिक अवधारणा यह थी कि वे अविभाज्य इकाइयां थीं—"एटम" शब्द ग्रीक से 'न कटने योग्य' के लिए लिया गया है—19वीं सदी में उप-परमाणु संरचना के बारे में परिकल्पनाओं का निर्माण देखा गया। उस संबंध में एक महत्वपूर्ण खोज 1838 में माइकल फैराडे द्वारा कम दबाव पर गैस युक्त कांच की नली के अंदर विद्युत निर्वहन के कारण उत्पन्न चमक का अवलोकन था। जूलियस प्लकर, जोहान विल्हेम हिटॉर्फ और यूजेन गोल्डस्टीन ने फैराडे के काम को आगे बढ़ाया और उसमें सुधार किया, जिससे कैथोड किरणों की पहचान हुई, जिसे जे. जे. थॉमसन ने उप-परमाणु कणों से बना पाया जिन्हें इलेक्ट्रॉन कहा जाएगा।

कृष्णिका विकिरण (black-body radiation) की समस्या 1859 में गुस्ताव किरचॉफ द्वारा खोजी गई थी। 1900 में, मैक्स प्लैंक ने यह परिकल्पना प्रस्तावित की कि ऊर्जा को असतत "क्वांटम" (या ऊर्जा पैकेट) में विकीर्ण और अवशोषित किया जाता है, जिससे एक ऐसी गणना प्राप्त हुई जो कृष्णिका विकिरण के देखे गए पैटर्न से सटीक रूप से मेल खाती थी। क्वांटम शब्द लैटिन से लिया गया है, जिसका अर्थ है "कितना महान" या "कितना"। प्लैंक के अनुसार, ऊर्जा की मात्रा को "तत्वों" में विभाजित माना जा सकता है जिनका आकार (E) उनकी आवृत्ति (ν) के समानुपाती होगा: $$E=h\nu$$, जहाँ h प्लैंक नियतांक है। प्लैंक ने सावधानीपूर्वक जोर दिया कि यह विकिरण के अवशोषण और उत्सर्जन की प्रक्रियाओं का केवल एक पहलू था और यह विकिरण की *भौतिक वास्तविकता* नहीं थी। वास्तव में, उन्होंने अपनी क्वांटम परिकल्पना को सही उत्तर प्राप्त करने के लिए एक गणितीय चाल माना, न कि कोई बड़ी खोज। हालाँकि, 1905 में अल्बर्ट आइंस्टीन ने प्लैंक की क्वांटम परिकल्पना की यथार्थवादी व्याख्या की और इसका उपयोग प्रकाश-विद्युत प्रभाव (photoelectric effect) को समझाने के लिए किया, जिसमें कुछ सामग्रियों पर प्रकाश डालने से सामग्री से इलेक्ट्रॉन बाहर निकल सकते हैं। नील्स बोहर ने तब विकिरण के बारे में प्लैंक के विचारों को हाइड्रोजन परमाणु के एक मॉडल में विकसित किया जिसने हाइड्रोजन की स्पेक्ट्रमी रेखाओं (spectral lines) की सफलतापूर्वक भविष्यवाणी की। आइंस्टीन ने इस विचार को और विकसित किया कि प्रकाश जैसी विद्युत चुम्बकीय तरंग को भी एक कण (जिसे बाद में फोटॉन कहा गया) के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसमें ऊर्जा की एक असतत मात्रा होती है जो उसकी आवृत्ति पर निर्भर करती है। अपने शोध पत्र "ऑन द क्वांटम थ्योरी ऑफ रेडिएशन" में, आइंस्टीन ने परमाणुओं द्वारा ऊर्जा के अवशोषण और उत्सर्जन को समझाने के लिए ऊर्जा और पदार्थ के बीच की बातचीत का विस्तार किया। हालांकि उस समय उनके सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत द्वारा इसे दबा दिया गया था, लेकिन इस पत्र ने विकिरण के उत्तेजित उत्सर्जन (stimulated emission) के अंतर्निहित तंत्र को स्पष्ट किया, जो लेजर का आधार बना।

इस चरण को पुराना क्वांटम सिद्धांत (old quantum theory) के रूप में जाना जाता है। कभी भी पूर्ण या आत्म-संगत न रहा, पुराना क्वांटम सिद्धांत वास्तव में शास्त्रीय यांत्रिकी (classical mechanics) के लिए अनुमानी (heuristic) सुधारों का एक समूह था। इस सिद्धांत को अब आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी के अर्ध-शास्त्रीय सन्निकटन (semi-classical approximation) के रूप में समझा जाता है। इस अवधि के उल्लेखनीय परिणामों में, ऊपर उल्लिखित प्लैंक, आइंस्टीन और बोहर के कार्यों के अलावा, ठोस पदार्थों की विशिष्ट ऊष्मा (specific heat) पर आइंस्टीन और पीटर डेबाय (Peter Debye) का कार्य, डायमैग्नेटिज्म (diamagnetism) को शास्त्रीय भौतिकी द्वारा स्पष्ट न कर पाने का बोहर और हेंड्रिका जोहाना वैन लीउवेन (Hendrika Johanna van Leeuwen) का प्रमाण, और बोहर मॉडल में विशेष-सापेक्षतावादी प्रभावों को शामिल करने के लिए अर्नोल्ड सोमरफेल्ड (Arnold Sommerfeld) का विस्तार शामिल है।

1920 के दशक के मध्य में, परमाणु भौतिकी के लिए मानक सूत्रीकरण बनने हेतु क्वांटम यांत्रिकी का विकास हुआ। 1923 में, फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी लुई डी ब्रोग्ली (Louis de Broglie) ने यह कहकर पदार्थ तरंगों (matter waves) का अपना सिद्धांत प्रस्तुत किया कि कण तरंग विशेषताओं को प्रदर्शित कर सकते हैं और इसके विपरीत भी। डी ब्रोग्ली के दृष्टिकोण पर निर्माण करते हुए, आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी का जन्म 1925 में हुआ, जब जर्मन भौतिकविदों वर्नर हाइजेनबर्ग, मैक्स बॉर्न और पास्कल जॉर्डन ने मैट्रिक्स यांत्रिकी (matrix mechanics) विकसित की और ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी इरविन श्रोडिंगर ने तरंग यांत्रिकी (wave mechanics) का आविष्कार किया। बॉर्न ने जुलाई 1926 में श्रोडिंगर के तरंग फलन (wave function) की प्रायिकता व्याख्या प्रस्तुत की। इस प्रकार, क्वांटम भौतिकी का संपूर्ण क्षेत्र उभरा, जिससे 1927 में पांचवें सॉल्वे सम्मेलन (Solvay Conference) में इसे व्यापक स्वीकृति मिली।

1930 तक, क्वांटम यांत्रिकी को डेविड हिल्बर्ट, पॉल डिराक और जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा और अधिक एकीकृत और औपचारिक रूप दिया गया, जिसमें मापन, वास्तविकता के हमारे ज्ञान की सांख्यिकीय प्रकृति, और 'प्रेक्षक' के बारे में दार्शनिक अटकलों पर अधिक जोर दिया गया। तब से यह क्वांटम रसायन विज्ञान, क्वांटम इलेक्ट्रॉनिक्स, क्वांटम ऑप्टिक्स और क्वांटम सूचना विज्ञान सहित कई विषयों में व्याप्त हो गया है। यह आधुनिक तत्वों की आवर्त सारणी (periodic table of elements) की कई विशेषताओं के लिए एक उपयोगी ढांचा भी प्रदान करता है, और रासायनिक बंधन (chemical bond) के दौरान परमाणुओं के व्यवहार और कंप्यूटर सेमीकंडक्टर (semiconductor) में इलेक्ट्रॉनों के प्रवाह का वर्णन करता है, और इसलिए कई आधुनिक तकनीकों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। हालांकि क्वांटम यांत्रिकी का निर्माण बहुत छोटी चीजों की दुनिया का वर्णन करने के लिए किया गया था, लेकिन यह सुपरकंडक्टर (superconductors) और सुपरफ्लुइड (superfluids) जैसी कुछ मैक्रोस्कोपिक (macroscopic) घटनाओं को समझाने के लिए भी आवश्यक है।

इन्हें भी देखें

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• ब्रा-केट संकेतन (Bra–ket notation)
• आइंस्टीन के विचार प्रयोग (Einstein's thought experiments)
• शास्त्रीय यांत्रिकी और क्वांटम यांत्रिकी पर पाठ्यपुस्तकों की सूची
• मैक्रोस्कोपिक क्वांटम घटनाएं (Macroscopic quantum phenomena)
• फेज-स्पेस सूत्रीकरण (Phase-space formulation)
• नियमितीकरण (भौतिकी) (Regularization)
• दो-अवस्था क्वांटम प्रणाली (Two-state quantum system)

संदर्भ

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स्रोत: अंग्रेज़ी विकिपीडिया के “Quantum mechanics” लेख का अनुवाद। मूल लेख: https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_mechanics यह अनुवाद स्वचालित रूप से तैयार किया गया है।