মিশ্র মডেল

একটি মিশ্র মডেল (mixed model), মিশ্র-প্রভাব মডেল (mixed-effects model) বা মিশ্র ত্রুটি-উপাদান মডেল (mixed error-component model) হলো এমন একটি পরিসংখ্যানগত মডেল (statistical model) যাতে স্থির প্রভাব (fixed effect) এবং দৈব প্রভাব (random effect) উভয়ই বিদ্যমান থাকে। এই মডেলগুলো ভৌত, জৈবিক এবং সামাজিক বিজ্ঞানের বিভিন্ন শাখায় অত্যন্ত কার্যকর। এগুলো বিশেষ করে সেইসব ক্ষেত্রে উপযোগী যেখানে একই পরিসংখ্যানগত একক (statistical unit)-এর ওপর পুনরাবৃত্ত পরিমাপ (repeated measurements) নেওয়া হয় (আরও দেখুন অনুদৈর্ঘ্য অধ্যয়ন বা longitudinal study), অথবা যেখানে সম্পর্কিত পরিসংখ্যানগত এককের গুচ্ছের ওপর পরিমাপ করা হয়। মিশ্র মডেলগুলো প্রায়শই প্রথাগত ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণ (analysis of variance) রিগ্রেশন মডেলের চেয়ে বেশি পছন্দ করা হয়, কারণ এগুলো স্বাধীন পর্যবেক্ষণের অনুমানের ওপর নির্ভর করে না। অধিকন্তু, অনুপস্থিত মান এবং পুনরাবৃত্ত পরিমাপের অসম ব্যবধানের ক্ষেত্রে এগুলো নমনীয়তা প্রদান করে। মিশ্র মডেল বিশ্লেষণ পরিমাপগুলোকে সহসম্পর্ক (correlation) এবং ভেদাঙ্ক-সহভেদাঙ্ক (variance-covariance) কাঠামোর বিস্তৃত পরিসরে স্পষ্টভাবে মডেল করার সুযোগ দেয়।

এই নিবন্ধে মূলত সাধারণীকৃত রৈখিক মিশ্র মডেল (generalized linear mixed model) বা অরৈখিক মিশ্র-প্রভাব মডেল (nonlinear mixed-effects model)-এর পরিবর্তে রৈখিক মিশ্র-প্রভাব মডেল (linear mixed-effects models) নিয়ে আলোচনা করা হবে।

গুণগত বর্ণনা

রৈখিক মিশ্র মডেল (LMMs) হলো এমন পরিসংখ্যানগত মডেল যা অ-স্বাধীন ডেটা কাঠামোকে সঠিকভাবে উপস্থাপন করার জন্য স্থির প্রভাব এবং দৈব প্রভাব অন্তর্ভুক্ত করে। LMM হলো ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণ (ANOVA)-এর একটি বিকল্প। প্রায়শই, ANOVA প্রতিটি গ্রুপের মধ্যে পর্যবেক্ষণের পরিসংখ্যানগত স্বাধীনতা (statistical independence) ধরে নেয়, তবে অ-স্বাধীন ডেটা, যেমন—বহুস্তরীয়/শ্রেণীবদ্ধ (hierarchical), অনুদৈর্ঘ্য, বা সহসম্পর্কিত ডেটাসেটের ক্ষেত্রে এই অনুমানটি সঠিক নাও হতে পারে।

অ-স্বাধীন সেট হলো এমন সেট যেখানে ফলাফলের মধ্যে পরিবর্তনশীলতা গ্রুপগুলোর ভেতরে বা গ্রুপগুলোর মধ্যে সহসম্পর্কের কারণে ঘটে। মিশ্র মডেলগুলো সঠিকভাবে নেস্টেড কাঠামো/শ্রেণীবদ্ধ ডেটা কাঠামোকে হিসাব করে, যেখানে পর্যবেক্ষণগুলো তাদের নেস্টেড সম্পর্কের দ্বারা প্রভাবিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, একাধিক স্কুল জড়িত এমন শিক্ষা পদ্ধতি অধ্যয়নের সময়, বিবেচনা করার মতো ভেরিয়েবলের একাধিক স্তর থাকে। ব্যক্তিগত স্তর/নিম্ন স্তরে স্কুলের মধ্যে স্বতন্ত্র শিক্ষার্থী বা শিক্ষক অন্তর্ভুক্ত থাকে। এই শিক্ষার্থী/শিক্ষকের কাছ থেকে প্রাপ্ত পর্যবেক্ষণগুলো তাদের স্কুলের মধ্যে নেস্টেড থাকে। উদাহরণস্বরূপ, শিক্ষার্থী ক হলো স্কুল ক-এর একটি একক। পরবর্তী উচ্চতর স্তর হলো স্কুল। উচ্চতর স্তরে, স্কুলটিতে একাধিক স্বতন্ত্র শিক্ষার্থী এবং শিক্ষক থাকে। স্কুল স্তরটি শিক্ষার্থী এবং শিক্ষকদের কাছ থেকে প্রাপ্ত পর্যবেক্ষণগুলোকে প্রভাবিত করে। উদাহরণস্বরূপ, স্কুল ক এবং স্কুল খ হলো উচ্চতর স্তর, যার প্রতিটিতে যথাক্রমে শিক্ষার্থী ক এবং শিক্ষার্থী খ-এর সেট রয়েছে। এটি একটি শ্রেণীবদ্ধ ডেটা স্কিম উপস্থাপন করে। শ্রেণীবদ্ধ ডেটা মডেল করার একটি সমাধান হলো রৈখিক মিশ্র মডেল ব্যবহার করা।

শিক্ষা ব্যবস্থার সাথে সম্পর্কিত ডেটা কীভাবে অ-স্বাধীন এবং নেস্টেড/শ্রেণীবদ্ধ স্তরে গঠিত তার উপস্থাপনা।

LMM-গুলো ডেটা কাঠামোতে এমবেড করা অ-স্বাধীনতার জন্য স্ট্যান্ডার্ড এরর সংশোধন অন্তর্ভুক্ত করার সময় স্তরগুলোর মধ্যে এবং স্তরের ভেতরের গুরুত্বপূর্ণ প্রভাবগুলো বুঝতে সাহায্য করে। সামাজিক মনোবিজ্ঞান, সাইকোলিঙ্গুইস্টিকস, জ্ঞানীয় মনোবিজ্ঞান (এবং নিউরোসায়েন্স)-এর মতো পরীক্ষামূলক ক্ষেত্রগুলোতে, যেখানে গবেষণায় প্রায়শই একাধিক গ্রুপিং ভেরিয়েবল জড়িত থাকে, দৈব প্রভাবের হিসাব করতে ব্যর্থ হলে টাইপ ১ ত্রুটির হার বৃদ্ধি পেতে পারে এবং অবিশ্বস্ত সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যখন অংশগ্রহণকারীদের নমুনা এবং উদ্দীপকের নমুনা (যেমন—ছবি, দৃশ্যপট ইত্যাদি) উভয়ই জড়িত এমন পরীক্ষা থেকে ডেটা বিশ্লেষণ করা হয়, তখন এই গ্রুপিং ভেরিয়েবলগুলোর কোনো একটির পরিবর্তন উপেক্ষা করা (যেমন—উদ্দীপকের ওপর গড় করে) বিভ্রান্তিকর সিদ্ধান্তের দিকে নিয়ে যেতে পারে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, গবেষকরা LMM-এর সাথে অংশগ্রহণকারী এবং উদ্দীপক উভয়কেই দৈব প্রভাব হিসেবে বিবেচনা করতে পারেন এবং এর মাধ্যমে একাধিক গ্রুপিং ভেরিয়েবল জুড়ে তাদের ডেটার পরিবর্তন সঠিকভাবে হিসাব করতে পারেন। একইভাবে, তুলনামূলক অনুদৈর্ঘ্য জরিপ থেকে ডেটা বিশ্লেষণ করার সময়, দেশ এবং দেশ-বছর—এই ধরনের সমস্ত প্রাসঙ্গিক স্তরে দৈব প্রভাব অন্তর্ভুক্ত করতে ব্যর্থ হলে ফলাফল উল্লেখযোগ্যভাবে বিকৃত হতে পারে।

স্থির প্রভাব (The Fixed Effect)

স্থির প্রভাবগুলো এমন প্রবণতা বা ধারাকে ধারণ করে যা প্রাথমিক আগ্রহের স্তরগুলোতে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এই প্রভাবগুলোকে স্থির বলা হয় কারণ এগুলো দৈব নয় এবং অধ্যয়নরত জনসংখ্যার জন্য ধ্রুবক বলে ধরে নেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, শিক্ষা অধ্যয়নের সময় একটি স্থির প্রভাব এমন সামগ্রিক স্কুল স্তরের প্রভাবকে উপস্থাপন করতে পারে যা সমস্ত স্কুলে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

যদিও ডেটা সেটের শ্রেণিবিন্যাস সাধারণত স্পষ্ট, তবে সমস্ত বিষয়ের জন্য গড় প্রতিক্রিয়াকে প্রভাবিত করে এমন নির্দিষ্ট স্থির প্রভাবগুলো অবশ্যই উল্লেখ করতে হবে। কিছু স্থির প্রভাব সহগ সংশ্লিষ্ট দৈব প্রভাব ছাড়াই যথেষ্ট, যেখানে অন্যান্য স্থির সহগ শুধুমাত্র একটি গড় উপস্থাপন করে যেখানে স্বতন্ত্র এককগুলো দৈব। এগুলো দৈব ইন্টারসেপ্ট এবং ঢাল (slopes) অন্তর্ভুক্ত করে নির্ধারণ করা যেতে পারে।

বেশিরভাগ পরিস্থিতিতে, বেশ কয়েকটি সম্পর্কিত মডেল বিবেচনা করা হয় এবং যে মডেলটি একটি সর্বজনীন মডেলকে সর্বোত্তমভাবে উপস্থাপন করে তা গ্রহণ করা হয়।

দৈব প্রভাব, ε (The Random Effect, ε)

মিশ্র মডেলের একটি মূল উপাদান হলো স্থির প্রভাবের সাথে দৈব প্রভাবের অন্তর্ভুক্তি। স্থির প্রভাবগুলো প্রায়শই অন্তর্নিহিত মডেলকে উপস্থাপন করার জন্য ফিট করা হয়। রৈখিক মিশ্র মডেলে, জনসংখ্যার প্রকৃত রিগ্রেশন হলো রৈখিক, β। স্থির ডেটা সর্বোচ্চ স্তরে ফিট করা হয়। দৈব প্রভাবগুলো ডেটার শ্রেণিবিন্যাসের বিভিন্ন স্তরে পরিসংখ্যানগত পরিবর্তনশীলতা (statistical variability) প্রবর্তন করে। এগুলো ডেটার নির্দিষ্ট গ্রুপকে প্রভাবিত করে এমন পরিমাপহীন উৎসের ভেদাঙ্ককে হিসাব করে। উদাহরণস্বরূপ, একই ক্লাসে শিক্ষার্থী ১ এবং শিক্ষার্থী ২-এর মধ্যে পার্থক্য, অথবা একই স্কুলে ক্লাস ১ এবং ক্লাস ২-এর মধ্যে পার্থক্য।

ইতিহাস এবং বর্তমান অবস্থা

পক্ষপাতদুষ্ট বনাম নিরপেক্ষ ডেটা এবং লিস্ট স্কোয়ার রিগ্রেশন (LSR) ও রৈখিক মিশ্র মডেল (LMM) ব্যবহার করে ফিট করা অনুমানের মধ্যে পার্থক্যের উপস্থাপনা।

রোনাল্ড ফিশার আত্মীয়দের মধ্যে বৈশিষ্ট্যের মানের সহসম্পর্ক অধ্যয়নের জন্য দৈব প্রভাব মডেল (random effects model) প্রবর্তন করেন। ১৯৫০-এর দশকে, চার্লস রয় হেন্ডারসন স্থির প্রভাব-এর সেরা রৈখিক নিরপেক্ষ অনুমান (best linear unbiased estimates) এবং দৈব প্রভাবের সেরা রৈখিক নিরপেক্ষ পূর্বাভাস (best linear unbiased predictions) প্রদান করেন। পরবর্তীতে, মিশ্র মডেলিং পরিসংখ্যানগত গবেষণার একটি প্রধান ক্ষেত্র হয়ে উঠেছে, যার মধ্যে সর্বোচ্চ সম্ভাবনা অনুমানের গণনা, অরৈখিক মিশ্র প্রভাব মডেল, মিশ্র প্রভাব মডেলে অনুপস্থিত ডেটা এবং মিশ্র প্রভাব মডেলের বায়েসিয়ান অনুমান অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। মিশ্র মডেলগুলো অনেক শাখায় প্রয়োগ করা হয় যেখানে আগ্রহের প্রতিটি এককের ওপর একাধিক সহসম্পর্কিত পরিমাপ নেওয়া হয়। এগুলো জেনেটিক্স থেকে মার্কেটিং পর্যন্ত বিভিন্ন ক্ষেত্রে মানব ও প্রাণী বিষয়ক গবেষণায় ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় এবং বেসবল ও শিল্প পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রেও ব্যবহৃত হয়েছে। মিশ্র রৈখিক মডেল অ্যাসোসিয়েশন মিথ্যা ইতিবাচক অ্যাসোসিয়েশন প্রতিরোধে উন্নতি করেছে। জনসংখ্যাগুলো গভীরভাবে আন্তঃসংযুক্ত এবং মিশ্র মডেল ব্যবহার না করে জনসংখ্যার গতিশীলতার সম্পর্কিত কাঠামো মডেল করা অত্যন্ত কঠিন। তবে, রৈখিক মিশ্র মডেলই একমাত্র সমাধান নাও হতে পারে। LMM-এর একটি ধ্রুবক-অবশিষ্টাংশ (residual) ভেদাঙ্ক অনুমান রয়েছে যা কখনও কখনও গভীরভাবে সম্পর্কিত অবিচ্ছিন্ন এবং বাইনারি বৈশিষ্ট্যগুলোর হিসাব করার সময় লঙ্ঘিত হয়।

সংজ্ঞা

ম্যাট্রিক্স নোটেশন-এ একটি রৈখিক মিশ্র মডেলকে এভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

$\mathit{y}=X\mathit{\beta }+Z\mathit{u}+\mathit{ϵ}$

যেখানে

• $\mathit{y}$ হলো পর্যবেক্ষণের একটি পরিচিত ভেক্টর, যার গড় $E(\mathit{y})=X\mathit{\beta }$;
• $\mathit{\beta }$ হলো স্থির প্রভাবের একটি অজানা ভেক্টর;
• $\mathit{u}$ হলো দৈব প্রভাবের একটি অজানা ভেক্টর, যার গড় $E(\mathit{u})=\mathit{0}$ এবং সহভেদাঙ্ক ম্যাট্রিক্স $\mathrm{var}(\mathit{u})=G$;
• $\mathit{ϵ}$ হলো দৈব ত্রুটির একটি অজানা ভেক্টর, যার গড় $E(\mathit{ϵ})=\mathit{0}$ এবং ভেদাঙ্ক $\mathrm{var}(\mathit{ϵ})=R$;
• $X$ হলো স্থির প্রভাবের জন্য পরিচিত ডিজাইন ম্যাট্রিক্স, যা পর্যবেক্ষণ $\mathit{y}$-কে যথাক্রমে $\mathit{\beta }$-এর সাথে সম্পর্কিত করে;
• $Z$ হলো দৈব প্রভাবের জন্য পরিচিত ডিজাইন ম্যাট্রিক্স, যা পর্যবেক্ষণ $\mathit{y}$-কে যথাক্রমে $\mathit{u}$-এর সাথে সম্পর্কিত করে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি প্রতিটি পর্যবেক্ষণ k বিভাগের যেকোনো শূন্য বা তার বেশি বিভাগের অন্তর্গত হতে পারে, তবে Z, যার প্রতি পর্যবেক্ষণে একটি সারি থাকে, তাকে k কলাম বিশিষ্ট হিসেবে নির্বাচন করা যেতে পারে, যেখানে Z-এর একটি ম্যাট্রিক্স উপাদানের জন্য 1 মান নির্দেশ করে যে একটি পর্যবেক্ষণ একটি বিভাগের অন্তর্গত এবং 0 মান নির্দেশ করে যে একটি পর্যবেক্ষণ সেই বিভাগের অন্তর্গত নয়। একটি বিভাগের জন্য u-এর অনুমানকৃত মান তখন একটি বিভাগ-নির্দিষ্ট ইন্টারসেপ্ট। যদি Z-এর অতিরিক্ত কলাম থাকে, যেখানে অ-শূন্য মানগুলো পরিবর্তে একটি পর্যবেক্ষণের জন্য একটি স্বাধীন ভেরিয়েবলের মান হয়, তবে u-এর সংশ্লিষ্ট অনুমানকৃত মানটি সেই স্বাধীন ভেরিয়েবলের জন্য একটি বিভাগ-নির্দিষ্ট ঢাল। বিভাগ ইন্টারসেপ্ট এবং ঢালগুলোর জন্য পূর্ববর্তী বিন্যাস (prior distribution) সহভেদাঙ্ক ম্যাট্রিক্স G দ্বারা বর্ণিত হয়।

অনুমান (Estimation)

$\mathit{y}$ এবং $\mathit{u}$-এর যৌথ ঘনত্বকে এভাবে লেখা যেতে পারে: $f(\mathit{y},\mathit{u})=f(\mathit{y}|\mathit{u})f(\mathit{u})$। স্বাভাবিকতা ধরে নিয়ে, $\mathit{u}\sim {𝒩}(\mathit{0},G)$, $\mathit{ϵ}\sim {𝒩}(\mathit{0},R)$ এবং $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(\mathit{u},\mathit{ϵ})=\mathit{0}$, এবং $\mathit{\beta }$ ও $\mathit{u}$-এর ওপর যৌথ ঘনত্বকে সর্বোচ্চ করে, রৈখিক মিশ্র মডেলের জন্য হেন্ডারসনের "মিশ্র মডেল সমীকরণ" (MME) পাওয়া যায়:

$\left(\begin{array}{cc}{X}^{\prime }{R}^{-1}X& X^{\prime }{R}^{-1}Z\\ Z^{\prime }{R}^{-1}X& Z^{\prime }{R}^{-1}Z+G^{-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\hat{\mathit{\beta }}\\ \hat{\mathit{u}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{X}^{\prime }{R}^{-1}\mathit{y}\\ Z^{\prime }{R}^{-1}\mathit{y}\end{array}\right)$

যেখানে উদাহরণস্বরূপ X′ হলো X-এর ম্যাট্রিক্স ট্রান্সপোজ এবং R⁻¹ হলো R-এর ম্যাট্রিক্স ইনভার্স।

উপরের একটি আরও সংক্ষিপ্ত রূপ হলো

$([XZ{]}^{\prime }{R}^{-1}[XZ]+G^{-1})[\hat{\mathit{\beta }}\hat{\mathit{u}}{]}^{\prime }=[XZ{]}^{\prime }{R}^{-1}\mathit{y}$

অথবা $[XZ]=W$ হলে,

$(W^{\prime }{R}^{-1}W+G^{-1})[\hat{\mathit{\beta }}\hat{\mathit{u}}{]}^{\prime }=W^{\prime }{R}^{-1}\mathit{y}$

যেখানে G⁻¹ হয়

$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& G^{-1}\end{array}\right)$

MME-এর সমাধান, $\hat{\mathit{\beta }}$ এবং $\hat{\mathit{u}}$ হলো যথাক্রমে $\mathit{\beta }$ এবং $\mathit{u}$-এর জন্য সেরা রৈখিক নিরপেক্ষ অনুমান এবং পূর্বাভাস। এটি গাউস-মার্কভ উপপাদ্য-এর একটি ফলাফল যখন ফলাফলের শর্তাধীন ভেদাঙ্ক (conditional variance) আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের সাথে স্কেলযোগ্য হয় না। যখন শর্তাধীন ভেদাঙ্ক জানা থাকে, তখন ইনভার্স ভেদাঙ্ক ওয়েটেড লিস্ট স্কোয়ার অনুমান হলো সেরা রৈখিক নিরপেক্ষ অনুমান। তবে, শর্তাধীন ভেদাঙ্ক খুব কমই জানা থাকে। তাই MME সমাধান করার সময় ভেদাঙ্ক এবং ওয়েটেড প্যারামিটার অনুমানগুলো যৌথভাবে অনুমান করা বাঞ্ছনীয়।

দৈব প্রভাব কাঠামোর পছন্দ

মিশ্র মডেলের ক্ষেত্রে বিশ্লেষকরা যে পছন্দের মুখোমুখি হন তা হলো কোন দৈব প্রভাবগুলো (অর্থাৎ, গ্রুপিং ভেরিয়েবল, দৈব ইন্টারসেপ্ট এবং দৈব ঢাল) অন্তর্ভুক্ত করতে হবে। নিশ্চিতকরণমূলক হাইপোথিসিস পরীক্ষার প্রেক্ষাপটে একটি বিশিষ্ট সুপারিশ হলো একটি "সর্বোচ্চ" (maximal) দৈব প্রভাব কাঠামো গ্রহণ করা, যার মধ্যে পরীক্ষামূলক নকশা দ্বারা ন্যায়সঙ্গত সমস্ত সম্ভাব্য দৈব প্রভাব অন্তর্ভুক্ত থাকে, যা টাইপ ১ ত্রুটির হার নিয়ন্ত্রণ করার একটি উপায়।

সফটওয়্যার

এই ধরনের মিশ্র মডেল ফিট করার জন্য ব্যবহৃত একটি পদ্ধতি হলো এক্সপেক্টেশন-ম্যাক্সিমাইজেশন অ্যালগরিদম (EM), যেখানে ভেদাঙ্ক উপাদানগুলোকে যৌথ সম্ভাবনার মধ্যে অ-পর্যবেক্ষণযোগ্য নিউজেন্স প্যারামিটার হিসেবে বিবেচনা করা হয়। বর্তমানে, এটি পাইথন (statsmodels প্যাকেজ) এবং আর-এর nlme প্যাকেজ lme()-তে শুধুমাত্র প্রাথমিক ধাপ হিসেবে প্রয়োগ করা পদ্ধতি। মিশ্র মডেল সমীকরণের সমাধান হলো একটি সর্বোচ্চ সম্ভাবনা অনুমান (maximum likelihood estimate) যখন ত্রুটির বিন্যাস স্বাভাবিক হয়।

স্থির, মিশ্র এবং দৈব প্রভাব রৈখিক রিগ্রেশন মডেলকে প্রভাবিত করে।

মিশ্র মডেল ফিট করার আরও কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে প্রাথমিকভাবে একটি মিশ্র প্রভাব মডেল (MEM) ব্যবহার করা এবং তারপর নিউটন-রাফসন (যা আর প্যাকেজ nlme-এর lme(), SAS MIXED এবং SPSS MIXED দ্বারা ব্যবহৃত হয়), শুধুমাত্র $\mathit{u}$-এর (নিম্ন-মাত্রিক) ভেদাঙ্ক-সহভেদাঙ্ক প্যারামিটারগুলোর ওপর নির্ভর করে একটি প্রোফাইলড লগ লাইকলিহুড পেতে পেনাল্টিড লিস্ট স্কোয়ার, এবং তারপর সেই হ্রাসকৃত উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনের জন্য আধুনিক সরাসরি অপ্টিমাইজেশন (যা আর-এর lme4 প্যাকেজ lmer() এবং জুলিয়া প্যাকেজ MixedModels.jl দ্বারা ব্যবহৃত হয়) এবং লাইকলিহুডের সরাসরি অপ্টিমাইজেশন (যা যেমন আর-এর glmmTMB দ্বারা ব্যবহৃত হয়)। উল্লেখযোগ্যভাবে, যদিও হেন্ডারসন কর্তৃক প্রস্তাবিত ক্যানোনিকাল ফর্মটি তত্ত্বের জন্য দরকারী, অনেক জনপ্রিয় সফটওয়্যার প্যাকেজ সংখ্যাসূচক গণনার জন্য একটি ভিন্ন ফর্মুলেশন ব্যবহার করে যাতে স্পার্স ম্যাট্রিক্স পদ্ধতির সুবিধা নেওয়া যায় (যেমন—lme4 এবং MixedModels.jl)।

বায়েসিয়ান পদ্ধতির প্রেক্ষাপটে, brms প্যাকেজটি Stan ব্যবহার করে R-এ মিশ্র মডেল ফিট করার জন্য একটি ব্যবহারকারী-বান্ধব ইন্টারফেস প্রদান করে, যা পূর্ববর্তী বিন্যাস (prior distributions) অন্তর্ভুক্ত করার এবং পোস্টেরিয়র বিন্যাস অনুমান করার সুযোগ দেয়। পাইথনে, Bambi PyMC ব্যবহার করে মিশ্র প্রভাব মডেল ফিট করার জন্য একইভাবে একটি সুবিন্যস্ত পদ্ধতি প্রদান করে।

আরও দেখুন

• অরৈখিক মিশ্র-প্রভাব মডেল
• স্থির প্রভাব মডেল
• সাধারণীকৃত রৈখিক মিশ্র মডেল
• রৈখিক রিগ্রেশন
• মিশ্র-নকশা ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণ
• বহুস্তরীয় মডেল
• দৈব প্রভাব মডেল
• পুনরাবৃত্ত পরিমাপ নকশা
• অভিজ্ঞতামূলক বায়েস পদ্ধতি

আরও পড়ুন

• (2013). "Linear Mixed-Effects Models Using R: A Step-by-Step Approach". Springer. ISBN 978-1-4614-3900-4.
• (1992). "Analysis of Messy Data: Vol. I. Designed Experiments". Chapman & Hall.
• (2007). "Linear Mixed Models: A Practical Guide Using Statistical Software". Chapman & Hall/CRC.

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Mixed model” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Mixed_model এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।