ডিসপারশন সূচক

পরিসংখ্যানগত বিচ্ছুরণ সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যান-এ, ডিসপারশন সূচক (index of dispersion), ডিসপারশন ইনডেক্স, সহগ বিচ্ছুরণ (coefficient of dispersion), আপেক্ষিক ভেদাঙ্ক (relative variance), বা ভেদাঙ্ক-গড় অনুপাত (variance-to-mean ratio বা VMR), ভেদাঙ্কের সহগ (coefficient of variation)-এর মতো, একটি সম্ভাব্যতা বিন্যাস-এর বিচ্ছুরণের একটি স্বাভাবিকীকৃত পরিমাপ: এটি একটি পরিমাপ যা কোনো আদর্শ পরিসংখ্যানগত মডেলের তুলনায় পর্যবেক্ষণকৃত ঘটনাগুলো গুচ্ছবদ্ধ নাকি বিচ্ছুরিত তা নির্ণয় করতে ব্যবহৃত হয়।

এটি ভেদাঙ্ক ${\sigma }^2$ এবং গড় $\mu$-এর অনুপাত হিসেবে সংজ্ঞায়িত,

$D=\frac{{\sigma }^2}{\mu }.$

এটি ফ্যানো ফ্যাক্টর (Fano factor) নামেও পরিচিত, যদিও এই শব্দটি কখনও কখনও 'উইন্ডোড' (windowed) ডেটার জন্য সংরক্ষিত থাকে (যেখানে গড় এবং ভেদাঙ্ক একটি উপ-জনসংখ্যার উপর গণনা করা হয়), যেখানে ডিসপারশন সূচকটি বিশেষ ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয় যখন উইন্ডোটি অসীম হয়। ডেটা উইন্ডোয়িং প্রায়শই করা হয়: VMR প্রায়শই সময় বা স্থানের ছোট অঞ্চলে বিভিন্ন বিরতিতে গণনা করা হয়, যেগুলোকে "উইন্ডো" বলা হতে পারে এবং প্রাপ্ত পরিসংখ্যানকে ফ্যানো ফ্যাক্টর বলা হয়।

এটি শুধুমাত্র তখনই সংজ্ঞায়িত হয় যখন গড় $\mu$ শূন্য নয় এবং সাধারণত এটি শুধুমাত্র ধনাত্মক পরিসংখ্যানের জন্য ব্যবহৃত হয়, যেমন গণনা ডেটা (count data) বা ঘটনার মধ্যবর্তী সময়, অথবা যেখানে অন্তর্নিহিত বিন্যাসটিকে সূচকীয় বিন্যাস (exponential distribution) বা পয়সন বিন্যাস (Poisson distribution) হিসেবে ধরে নেওয়া হয়।

পরিভাষা

এই প্রেক্ষাপটে, পর্যবেক্ষণকৃত ডেটাসেটটি পূর্বনির্ধারিত ঘটনার সংঘটনের সময় নিয়ে গঠিত হতে পারে, যেমন একটি নির্দিষ্ট অঞ্চলে নির্দিষ্ট মাত্রার ভূমিকম্প, অথবা ভৌগোলিক স্থানে কোনো নির্দিষ্ট প্রজাতির উদ্ভিদের অবস্থান। এই ধরনের ঘটনার বিবরণ প্রথমে সময় বা স্থানের সমান আকারের প্রতিটি অঞ্চলে ঘটনা বা সংঘটনের সংখ্যার গণনায় রূপান্তরিত হয়।

উপরের অংশটি গণনার জন্য ডিসপারশন সূচক সংজ্ঞায়িত করে। বিরতির জন্য ডিসপারশন সূচক-এর ক্ষেত্রে একটি ভিন্ন সংজ্ঞা প্রযোজ্য, যেখানে ঘটনাগুলোর মধ্যবর্তী সময়ের দৈর্ঘ্যের পরিমাণগুলো বিবেচনা করা হয়। সাধারণ ব্যবহার হলো "ডিসপারশন সূচক" বলতে গণনার জন্য ডিসপারশন সূচক বোঝায়।

ব্যাখ্যা

কিছু বিন্যাস, বিশেষ করে পয়সন বিন্যাস-এর ভেদাঙ্ক এবং গড় সমান হয়, যার ফলে তাদের VMR = 1 হয়। জ্যামিতিক বিন্যাস (geometric distribution) এবং ঋণাত্মক দ্বিপদী বিন্যাস (negative binomial distribution)-এর VMR > 1 হয়, যেখানে দ্বিপদী বিন্যাস (binomial distribution)-এর VMR < 1 হয় এবং ধ্রুবক দৈব চলক (constant random variable)-এর VMR = 0 হয়। এটি নিচের সারণীটি প্রদান করে:

বিন্যাস	VMR
ধ্রুবক দৈব চলক	VMR = 0	বিচ্ছুরিত নয়
দ্বিপদী বিন্যাস	0 < VMR < 1	স্বল্প-বিচ্ছুরিত (under-dispersed)
পয়সন বিন্যাস	VMR = 1
ঋণাত্মক দ্বিপদী বিন্যাস	VMR > 1	অতি-বিচ্ছুরিত (over-dispersed)

এটিকে উৎকেন্দ্রিকতা দ্বারা শঙ্কুজ (conic sections)-এর শ্রেণিবিন্যাসের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে; বিস্তারিত জানার জন্য নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতা বিন্যাসের কিউমুলাণ্ট দেখুন।

ডিসপারশন সূচকের প্রাসঙ্গিকতা হলো যে, যখন কোনো বিরতিতে ঘটনার সংখ্যার সম্ভাব্যতা বিন্যাস একটি পয়সন বিন্যাস হয়, তখন এর মান ১ হয়। সুতরাং, পর্যবেক্ষণকৃত ডেটা একটি পয়সন প্রক্রিয়া ব্যবহার করে মডেল করা যায় কিনা তা মূল্যায়ন করতে এই পরিমাপটি ব্যবহার করা যেতে পারে। যখন ডিসপারশন সহগ ১-এর কম হয়, তখন একটি ডেটাসেটকে "স্বল্প-বিচ্ছুরিত" বলা হয়: এই অবস্থাটি এমন ঘটনার প্যাটার্নের সাথে সম্পর্কিত হতে পারে যা পয়সন প্রক্রিয়ার সাথে যুক্ত দৈবতার চেয়ে বেশি নিয়মিত। উদাহরণস্বরূপ, নিয়মিত, পর্যায়ক্রমিক ঘটনাগুলো স্বল্প-বিচ্ছুরিত হবে। যদি ডিসপারশন সূচক ১-এর চেয়ে বড় হয়, তবে একটি ডেটাসেটকে অতি-বিচ্ছুরিত বলা হয়।

ডিসপারশন সূচকের একটি নমুনা-ভিত্তিক প্রাক্কলন একটি আনুষ্ঠানিক পরিসংখ্যানগত অনুমিতি যাচাই (statistical hypothesis test) তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যে, গণনার একটি ধারা পয়সন বিন্যাস অনুসরণ করে কিনা। বিরতি-গণনার পরিপ্রেক্ষিতে, অতি-বিচ্ছুরণ বলতে বোঝায় যে পয়সন বিন্যাসের তুলনায় কম গণনার বিরতি এবং বেশি গণনার বিরতি বেশি থাকে: বিপরীতে, স্বল্প-বিচ্ছুরণ পয়সন বিন্যাসের তুলনায় গড়ের কাছাকাছি গণনা থাকা বিরতির সংখ্যা বেশি থাকার দ্বারা চিহ্নিত হয়।

VMR কোনো নির্দিষ্ট ঘটনার দৈবতার মাত্রা পরিমাপের জন্যও একটি ভালো পরিমাপক। উদাহরণস্বরূপ, এই কৌশলটি সাধারণত মুদ্রা ব্যবস্থাপনায় ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণ

দৈবভাবে বিচ্ছুরিত কণার (ব্রাউনীয় গতি) জন্য, একটি নির্দিষ্ট আয়তনের ভেতরে কণার সংখ্যার বিন্যাস পয়সনীয়, অর্থাৎ VMR=1। অতএব, একটি নির্দিষ্ট স্থানিক প্যাটার্ন (যদি আপনার এটি পরিমাপ করার উপায় থাকে) শুধুমাত্র ব্যাপনের কারণে নাকি কোনো কণা-কণা মিথস্ক্রিয়া জড়িত তা মূল্যায়ন করতে: স্থানটিকে প্যাচ, কোয়াড্রাট বা স্যাম্পল ইউনিট (SU)-এ ভাগ করুন, প্রতিটি প্যাচ বা SU-তে কণার সংখ্যা গণনা করুন এবং VMR গণনা করুন। ১-এর চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে বেশি VMR একটি গুচ্ছবদ্ধ বিন্যাস নির্দেশ করে, যেখানে র‍্যান্ডম ওয়াক আকর্ষণকারী আন্তঃ-কণা বিভবকে প্রশমিত করার জন্য যথেষ্ট নয়।

ইতিহাস

পয়সন বা দ্বিপদী বিন্যাস থেকে বিচ্যুতি শনাক্ত করার জন্য একটি পরীক্ষার ব্যবহার সম্পর্কে প্রথম আলোচনা করেছিলেন লেক্সিস (Lexis) ১৮৭৭ সালে। তিনি যে পরীক্ষাগুলো তৈরি করেছিলেন তার মধ্যে একটি ছিল লেক্সিস অনুপাত (Lexis ratio)।

এই সূচকটি উদ্ভিদবিদ্যায় প্রথম ব্যবহার করেছিলেন ক্ল্যাপহ্যাম ১৯৩৬ সালে।

হোয়েল এর বিন্যাসের প্রথম চারটি মোমেন্ট অধ্যয়ন করেছিলেন। তিনি দেখেছিলেন যে χ² পরিসংখ্যানের আসন্ন মানটি যুক্তিসঙ্গত যদি μ > 5 হয়।

স্কিউড বিন্যাস

অত্যন্ত স্কিউড (skewed) বিন্যাসের জন্য, দ্বিঘাত লস ফাংশনের পরিবর্তে একটি রৈখিক লস ফাংশন ব্যবহার করা আরও উপযুক্ত হতে পারে। এই ক্ষেত্রে অনুরূপ ডিসপারশন সহগ হলো মধ্যমা থেকে গড় পরম বিচ্যুতির সাথে ডেটার মধ্যমার অনুপাত, অথবা, প্রতীকের মাধ্যমে:

$CD=\frac{1}{n}\frac{\sum _j|m-x_j|}{m}$

যেখানে n হলো নমুনার আকার, m হলো নমুনার মধ্যমা এবং যোগফলটি পুরো নমুনার উপর নেওয়া হয়েছে। আইওয়া, নিউ ইয়র্ক এবং সাউথ ডাকোটা বকেয়া কর নির্ধারণের জন্য এই রৈখিক ডিসপারশন সহগ ব্যবহার করে।

একটি দুই-নমুনা পরীক্ষার জন্য যেখানে নমুনার আকার বড়, উভয় নমুনার মধ্যমা একই এবং তাদের চারপাশের বিচ্ছুরণে পার্থক্য রয়েছে, রৈখিক ডিসপারশন সহগের জন্য একটি কনফিডেন্স ইন্টারভ্যাল নিম্নমুখীভাবে সীমাবদ্ধ থাকে

$\frac{t_a}{t_b}\exp (-\sqrt{z_{\alpha }(\mathrm{var}[\log \left(\frac{t_a}{t_b}\right)])})$

যেখানে t_j হলো j^তম নমুনার গড় পরম বিচ্যুতি এবং z_α হলো কনফিডেন্স α-এর একটি স্বাভাবিক বিন্যাসের জন্য কনফিডেন্স ইন্টারভ্যালের দৈর্ঘ্য (যেমন, α = 0.05-এর জন্য, z_α = 1.96)।

আরও দেখুন

• গণনা ডেটা
• হারমোনিক গড়

অনুরূপ অনুপাত

• ভেদাঙ্কের সহগ, $\sigma /\mu$
• স্ট্যান্ডার্ডাইজড মোমেন্ট, ${\mu }_k/{\sigma }^k$
• ফ্যানো ফ্যাক্টর, ${\sigma }_W^2/{\mu }_W$ (উইন্ডোড VMR)
• সিগন্যাল-টু-নয়েজ অনুপাত, $\mu /\sigma$ (সিগন্যাল প্রসেসিং-এ)

তথ্যসূত্র

• (1966). "The Statistical Analysis of Series of Events". Methuen.
• (2006). "Oxford Dictionary of Statistics". Oxford University Press. ISBN 978-0-19-954145-4.

descriptive

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Index of dispersion” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Index_of_dispersion এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।