প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেল

প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেল (Proportional hazards models) হলো পরিসংখ্যানের সারভাইভাল মডেলের একটি শ্রেণি। সারভাইভাল মডেলগুলো কোনো ঘটনা ঘটার পূর্ব পর্যন্ত অতিবাহিত হওয়া সময়ের সাথে এক বা একাধিক কোভ্যারিয়েট (covariate)-এর সম্পর্ক স্থাপন করে, যা সেই সময়ের পরিমাণের সাথে সম্পর্কিত হতে পারে। একটি প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেলে, কোনো কোভ্যারিয়েটের একক বৃদ্ধির অনন্য প্রভাব হ্যাজার্ড রেট (hazard rate)-এর সাপেক্ষে গুণিতক হিসেবে কাজ করে। $t$ সময়ে হ্যাজার্ড রেট হলো একটি ক্ষুদ্র সময় dt-এর মধ্যে কোনো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, যেখানে শর্ত থাকে যে $t$ সময় পর্যন্ত কোনো ঘটনা ঘটেনি। উদাহরণস্বরূপ, কোনো ওষুধ সেবনের ফলে স্ট্রোক হওয়ার হ্যাজার্ড রেট অর্ধেক হয়ে যেতে পারে, অথবা কোনো উৎপাদিত যন্ত্রাংশ তৈরির উপাদান পরিবর্তনের ফলে সেটির অকার্যকর হওয়ার হ্যাজার্ড রেট দ্বিগুণ হতে পারে। অন্যান্য ধরনের সারভাইভাল মডেল, যেমন অ্যাক্সিলারেটেড ফেইলর টাইম মডেল (accelerated failure time model)-এ প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস প্রদর্শিত হয় না। অ্যাক্সিলারেটেড ফেইলর টাইম মডেল এমন একটি পরিস্থিতি বর্ণনা করে যেখানে কোনো ঘটনার জৈবিক বা যান্ত্রিক জীবন ইতিহাস ত্বরান্বিত (বা মন্থর) হয়।

প্রেক্ষাপট

সারভাইভাল মডেলগুলোকে দুটি অংশে বিভক্ত হিসেবে দেখা যেতে পারে: অন্তর্নিহিত বেসলাইন হ্যাজার্ড ফাংশন, যা সাধারণত ${\lambda }_0(t)$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং কোভ্যারিয়েটের 'বেসলাইন' স্তরে সময়ের সাথে প্রতি একক সময়ে ঘটনার ঝুঁকি কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা বর্ণনা করে; এবং প্রভাব প্যারামিটার, যা ব্যাখ্যামূলক কোভ্যারিয়েটের প্রতিক্রিয়ায় হ্যাজার্ড কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা বর্ণনা করে। একটি সাধারণ চিকিৎসা সংক্রান্ত উদাহরণে কোভ্যারিয়েট হিসেবে চিকিৎসার ধরন, সেইসাথে গবেষণার শুরুতে রোগীর বয়স, লিঙ্গ এবং অন্যান্য রোগের উপস্থিতির মতো বৈশিষ্ট্য অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে, যাতে পরিবর্তনশীলতা হ্রাস করা যায় এবং/অথবা বিভ্রান্তিকর প্রভাব (confounding) নিয়ন্ত্রণ করা যায়।

প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস কন্ডিশন অনুযায়ী, কোভ্যারিয়েটগুলো হ্যাজার্ডের সাথে গুণিতকভাবে সম্পর্কিত। স্থির সহগের (stationary coefficients) সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, কোনো ওষুধের চিকিৎসা যেকোনো নির্দিষ্ট সময়ে $t$-এ একজন রোগীর হ্যাজার্ড অর্ধেক করে দিতে পারে, যদিও বেসলাইন হ্যাজার্ড পরিবর্তিত হতে পারে। তবে মনে রাখতে হবে যে, এটি রোগীর আয়ু দ্বিগুণ করে না; আয়ুর ওপর কোভ্যারিয়েটের সুনির্দিষ্ট প্রভাব ${\lambda }_0(t)$-এর ধরনের ওপর নির্ভর করে। কোভ্যারিয়েট শুধুমাত্র বাইনারি প্রেডিক্টরের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়; একটি অবিচ্ছিন্ন কোভ্যারিয়েট $x$-এর ক্ষেত্রে, সাধারণত ধরে নেওয়া হয় যে হ্যাজার্ড সূচকীয়ভাবে (exponentially) সাড়া দেয়; $x$-এর প্রতিটি একক বৃদ্ধি হ্যাজার্ডের আনুপাতিক স্কেলিং ঘটায়।

কক্স মডেল

ভূমিকা

স্যার ডেভিড কক্স পর্যবেক্ষণ করেন যে, যদি প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস অনুমানটি সত্য হয় (বা সত্য বলে ধরে নেওয়া হয়), তবে সম্পূর্ণ হ্যাজার্ড ফাংশন বিবেচনা না করেই প্রভাব প্যারামিটার(সমূহ), যা নিচে ${\beta }_i$ দ্বারা চিহ্নিত, অনুমান করা সম্ভব। সারভাইভাল ডেটার প্রতি এই পদ্ধতিকে কক্স প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেল প্রয়োগ বলা হয়, যা সংক্ষেপে কক্স মডেল বা প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেল নামে পরিচিত। তবে, কক্স এও উল্লেখ করেছেন যে প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস অনুমানের জৈবিক ব্যাখ্যা বেশ জটিল হতে পারে।

ধরা যাক 1=X_i = (X_i1, … , X_ip) হলো বিষয় i-এর জন্য p সংখ্যক কোভ্যারিয়েটের বাস্তব মান। কক্স প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেলের জন্য হ্যাজার্ড ফাংশনটি নিম্নরূপ: $$\begin{array}{rl}\lambda (t|X_i)& ={\lambda }_0(t)\exp ({\beta }_1{X}_{i1}+\cdots +{\beta }_p{X}_{ip})\\ & ={\lambda }_0(t)\exp (X_i\cdot \beta )\end{array}$$ এই রাশিটি কোভ্যারিয়েট ভেক্টর (ব্যাখ্যামূলক চলক) X_i সহ বিষয় i-এর জন্য t সময়ে হ্যাজার্ড ফাংশন প্রদান করে। লক্ষ্য করুন যে বিষয়গুলোর মধ্যে বেসলাইন হ্যাজার্ড ${\lambda }_0(t)$ অভিন্ন (এর কোনো i-এর ওপর নির্ভরতা নেই)। বিষয়গুলোর হ্যাজার্ডের মধ্যে একমাত্র পার্থক্য আসে বেসলাইন স্কেলিং ফ্যাক্টর $\exp (X_i\cdot \beta )$ থেকে।

কেন একে "প্রপোশনাল" বলা হয়

শুরুতে, ধরে নেওয়া যাক আমাদের কেবল একটি কোভ্যারিয়েট $x$ আছে এবং তাই একটি মাত্র সহগ ${\beta }_1$ রয়েছে। আমাদের মডেলটি দেখতে এমন:

$$\lambda (t|x)={\lambda }_0(t)\exp ({\beta }_{1}x)$$

$x$-কে 1 দ্বারা বৃদ্ধি করার প্রভাব বিবেচনা করুন: $$\begin{array}{rl}\lambda (t|x+1)& ={\lambda }_0(t)\exp ({\beta }_1(x+1))\\ & ={\lambda }_0(t)\exp ({\beta }_{1}x+{\beta }_1)\\ & =({\lambda }_0(t)\exp ({\beta }_{1}x))\exp ({\beta }_1)\\ & =\lambda (t|x)\exp ({\beta }_1)\end{array}$$

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে একটি কোভ্যারিয়েটকে 1 দ্বারা বৃদ্ধি করলে তা মূল হ্যাজার্ডকে ধ্রুবক $\exp ({\beta }_1)$ দ্বারা স্কেল করে। বিষয়গুলোকে সামান্য পুনর্বিন্যাস করলে আমরা দেখি: $$\frac{\lambda (t|x+1)}{\lambda (t|x)}=\exp ({\beta }_1)$$

ডানদিকের অংশটি সময়ের সাথে ধ্রুবক (কোনো পদে $t$ নেই)। এই সম্পর্ক, $x/y=\text{constant}$-কে বলা হয় আনুপাতিক সম্পর্ক।

আরও সাধারণভাবে, দুটি বিষয় i এবং j বিবেচনা করুন, যাদের কোভ্যারিয়েট যথাক্রমে $X_i$ এবং $X_j$। তাদের হ্যাজার্ডের অনুপাত বিবেচনা করুন: $$\begin{array}{rl}\frac{\lambda (t|X_i)}{\lambda (t|X_j)}& =\frac{{\lambda }_0(t)\exp (X_i\cdot \beta )}{{\lambda }_0(t)\exp (X_j\cdot \beta )}\\ & =\frac{\cancel{{\lambda }_0(t)}\exp (X_i\cdot \beta )}{\cancel{{\lambda }_0(t)}\exp (X_j\cdot \beta )}\\ & =\exp ((X_i-X_j)\cdot \beta )\end{array}$$

ডানদিকের অংশটি সময়ের ওপর নির্ভরশীল নয়, কারণ একমাত্র সময়-নির্ভর ফ্যাক্টর ${\lambda }_0(t)$ বাতিল হয়ে গেছে। সুতরাং দুটি বিষয়ের হ্যাজার্ডের অনুপাত একটি ধ্রুবক, অর্থাৎ হ্যাজার্ডগুলো আনুপাতিক।

ইন্টারসেপ্ট পদের অনুপস্থিতি

রিগ্রেশন মডেলে প্রায়শই একটি ইন্টারসেপ্ট পদ (যাকে ধ্রুবক পদ বা বায়াস পদও বলা হয়) ব্যবহৃত হয়। কক্স মডেলে এটি নেই কারণ বেসলাইন হ্যাজার্ড ${\lambda }_0(t)$ এর স্থান দখল করে। দেখা যাক যদি আমরা একটি ইন্টারসেপ্ট পদ অন্তর্ভুক্ত করতাম, যাকে ${\beta }_0$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তবে কী হতো: $$\begin{array}{rl}\lambda (t|X_i)& ={\lambda }_0(t)\exp ({\beta }_1{X}_{i1}+\cdots +{\beta }_p{X}_{ip}+{\beta }_0)\\ & ={\lambda }_0(t)\exp (X_i\cdot \beta )\exp ({\beta }_0)\\ & =(\exp ({\beta }_0){\lambda }_0(t))\exp (X_i\cdot \beta )\\ & ={\lambda }_0^{*}(t)\exp (X_i\cdot \beta )\end{array}$$ যেখানে আমরা $\exp ({\beta }_0){\lambda }_0(t)$-কে একটি নতুন বেসলাইন হ্যাজার্ড ${\lambda }_0^{*}(t)$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছি। সুতরাং, বেসলাইন হ্যাজার্ড হ্যাজার্ডের সেই 'সমস্ত' অংশকে অন্তর্ভুক্ত করে যা বিষয়ের কোভ্যারিয়েটের ওপর নির্ভরশীল নয়, যার মধ্যে যেকোনো ইন্টারসেপ্ট পদও অন্তর্ভুক্ত (যা সংজ্ঞানুসারে সমস্ত বিষয়ের জন্য ধ্রুবক)। অন্য কথায়, একটি ইন্টারসেপ্ট পদ যোগ করলে মডেলটি অনির্ণেয় হয়ে যেত।

অনন্য সময়ের জন্য লাইকলিহুড

কক্স পার্শিয়াল লাইকলিহুড, নিচে দেখানো হয়েছে, বেসলাইন হ্যাজার্ড ফাংশনের ব্রেসলোর অনুমান ব্যবহার করে, এটিকে সম্পূর্ণ লাইকলিহুডে বসিয়ে এবং তারপর পর্যবেক্ষণ করে যে ফলাফলটি দুটি ফ্যাক্টরের গুণফল। প্রথম ফ্যাক্টরটি হলো নিচে দেখানো পার্শিয়াল লাইকলিহুড, যেখানে বেসলাইন হ্যাজার্ড "বাতিল" হয়ে গেছে। এটি কেবল বিষয়গুলোর ঘটনা ঘটার 'ক্রম' অনুযায়ী ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, যেখানে ঘটনার সময় এবং বিষয়গুলোর কোভ্যারিয়েট দেওয়া আছে। দ্বিতীয় ফ্যাক্টরটি রিগ্রেশন সহগ থেকে মুক্ত এবং ডেটার ওপর শুধুমাত্র সেন্সরিং প্যাটার্ন-এর মাধ্যমে নির্ভর করে। যেকোনো প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেল দ্বারা অনুমান করা কোভ্যারিয়েটের প্রভাব এভাবে হ্যাজার্ড রেশিও হিসেবে রিপোর্ট করা যেতে পারে।

পার্শিয়াল লাইকলিহুড গণনা করার জন্য, ঘটনার ক্রমের সম্ভাবনা, আসুন M নমুনাগুলোকে সূচিত করি যাদের জন্য ঘটনা ইতিমধ্যে ঘটেছে, ঘটনার ক্রমবর্ধমান সময় Y₁ < Y₂ < ... < Y_M অনুযায়ী। অন্য সমস্ত বিষয় যাদের জন্য কোনো ঘটনা ঘটেনি তাদের কোভ্যারিয়েটগুলো M+1,.., N সূচক পায়। পার্শিয়াল লাইকলিহুডকে প্রতিটি ঘটা ঘটনার জন্য একটি ফ্যাক্টরে গুণিতক করা যেতে পারে। i-তম ফ্যাক্টরটি হলো সেই সম্ভাবনা যে, Y_i সময়ের আগে কোনো ঘটনা ঘটেনি এমন সমস্ত বিষয় (i,i+1,..., N) থেকে, যে বিষয়টি আসলে Y_i সময়ে ঘটেছে তা বিষয় i-এর ঘটনা: $$L_i(\beta )=\frac{\lambda (Y_i\mid X_i)}{\sum _{j=i}^N\lambda (Y_i\mid X_j)}=\frac{{\lambda }_0(Y_i){\theta }_i}{\sum _{j=i}^N{\lambda }_0(Y_i){\theta }_j}=\frac{{\theta }_i}{\sum _{j=i}^N{\theta }_j},$$ যেখানে 1=θ_i = exp(X_i ⋅ β) এবং সমষ্টিটি সেই বিষয় j-এর সেটের ওপর যাদের জন্য Y_i সময়ের আগে ঘটনা ঘটেনি (বিষয় i সহ)। স্পষ্টতই 0 < L_i(β) ≤ 1।

বিষয়গুলোকে একে অপরের থেকে পরিসংখ্যানগতভাবে স্বাধীন বিবেচনা করে, ঘটনার ক্রমের জন্য পার্শিয়াল লাইকলিহুড হলো $$L(\beta )=\prod _{i=1}^M{L}_i(\beta )=\prod _{i:C_i=1}{L}_i(\beta ),$$ যেখানে যে বিষয়গুলোর জন্য ঘটনা ঘটেছে তাদের C_i = 1 এবং অন্যদের C_i = 0 দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে। সংশ্লিষ্ট লগ পার্শিয়াল লাইকলিহুড হলো $$\ell (\beta )=\sum _{i:C_i=1}(X_i\cdot \beta -\log \sum _{j:Y_j\ge Y_i}{\theta }_j),$$ যেখানে আমরা $\sum _{j=i}^N$-কে উপরে প্রবর্তিত সূচীকরণ ব্যবহার করে আরও সাধারণ উপায়ে $\sum _{j:Y_j\ge Y_i}$ হিসেবে লিখেছি। গুরুত্বপূর্ণভাবে, সময়ের সাথে হ্যাজার্ড ফাংশন ${\lambda }_0(t)$ নির্দিষ্ট করার প্রয়োজন ছাড়াই কোভ্যারিয়েটের প্রভাব অনুমান করা যেতে পারে। মডেল প্যারামিটারগুলোর সর্বোচ্চ পার্শিয়াল লাইকলিহুড অনুমান তৈরি করতে পার্শিয়াল লাইকলিহুডকে β-এর ওপর সর্বোচ্চ করা যেতে পারে।

পার্শিয়াল স্কোর ফাংশন হলো $${\ell }^{\prime }(\beta )=\sum _{i:C_i=1}(X_i-\frac{\sum _{j:Y_j\ge Y_i}{\theta }_j{X}_j}{\sum _{j:Y_j\ge Y_i}{\theta }_j}),$$

এবং পার্শিয়াল লগ লাইকলিহুডের হেসিয়ান ম্যাট্রিক্স হলো $${\ell }^{\prime \prime }(\beta )=-\sum _{i:C_i=1}(\frac{\sum _{j:Y_j\ge Y_i}{\theta }_j{X}_j{X}_j^{\prime }}{\sum _{j:Y_j\ge Y_i}{\theta }_j}-\frac{\left[\sum _{j:Y_j\ge Y_i}{\theta }_j{X}_j\right]\left[\sum _{j:Y_j\ge Y_i}{\theta }_j{X}_j^{\prime }\right]}{{\left[\sum _{j:Y_j\ge Y_i}{\theta }_j\right]}^2}).$$

এই স্কোর ফাংশন এবং হেসিয়ান ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে, নিউটন-র‍্যাফসন অ্যালগরিদম ব্যবহার করে পার্শিয়াল লাইকলিহুড সর্বোচ্চ করা যেতে পারে। β-এর অনুমানের ওপর মূল্যায়ন করা হেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি অনুমানের জন্য একটি আনুমানিক ভ্যারিয়েন্স-কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে এবং রিগ্রেশন সহগগুলোর জন্য আনুমানিক স্ট্যান্ডার্ড এরর তৈরি করতে ব্যবহৃত হতে পারে।

টাইড সময়ের ক্ষেত্রে লাইকলিহুড

সময় ডেটাতে টাই (ties) থাকলে সেই পরিস্থিতিগুলো পরিচালনা করার জন্য বেশ কয়েকটি পদ্ধতি প্রস্তাব করা হয়েছে। ব্রেসলোর পদ্ধতি সেই পদ্ধতি বর্ণনা করে যেখানে টাই উপস্থিত থাকলেও উপরে বর্ণিত পদ্ধতিটি অপরিবর্তিতভাবে ব্যবহৃত হয়। একটি বিকল্প পদ্ধতি যা আরও ভালো ফলাফল দেয় বলে বিবেচিত হয় তা হলো এফ্রনের পদ্ধতি। ধরা যাক t_j অনন্য সময়গুলোকে নির্দেশ করে, H_j সেই সূচক i-এর সেট নির্দেশ করে যার জন্য Y_i = t_j এবং C_i = 1, এবং m_j = |H_j|। এফ্রনের পদ্ধতি নিম্নলিখিত পার্শিয়াল লাইকলিহুড সর্বোচ্চ করে। $$L(\beta )=\prod _j\frac{\prod _{i\in H_j}{\theta }_i}{\prod _{\ell =0}^{m_j-1}[\sum _{i:Y_i\ge t_j}{\theta }_i-\frac{\ell }{m_j}\sum _{i\in H_j}{\theta }_i]}.$$

সংশ্লিষ্ট লগ পার্শিয়াল লাইকলিহুড হলো $$\ell (\beta )=\sum _j(\sum _{i\in H_j}{X}_i\cdot \beta -\sum _{\ell =0}^{m_j-1}\log (\sum _{i:Y_i\ge t_j}{\theta }_i-\frac{\ell }{m_j}\sum _{i\in H_j}{\theta }_i)),$$ স্কোর ফাংশন হলো $${\ell }^{\prime }(\beta )=\sum _j(\sum _{i\in H_j}{X}_i-\sum _{\ell =0}^{m_j-1}\frac{\sum _{i:Y_i\ge t_j}{\theta }_i{X}_i-\frac{\ell }{m_j}\sum _{i\in H_j}{\theta }_i{X}_i}{\sum _{i:Y_i\ge t_j}{\theta }_i-\frac{\ell }{m_j}\sum _{i\in H_j}{\theta }_i}),$$ এবং হেসিয়ান ম্যাট্রিক্স হলো $${\ell }^{\prime \prime }(\beta )=-\sum _j\sum _{\ell =0}^{m_j-1}(\frac{\sum _{i:Y_i\ge t_j}{\theta }_i{X}_i{X}_i^{\prime }-\frac{\ell }{m_j}\sum _{i\in H_j}{\theta }_i{X}_i{X}_i^{\prime }}{{\varphi }_{j,\ell ,m_j}}-\frac{Z_{j,\ell ,m_j}{Z}_{j,\ell ,m_j}^{\prime }}{{\varphi }_{j,\ell ,m_j}^2}),$$ যেখানে $${\varphi }_{j,\ell ,m_j}=\sum _{i:Y_i\ge t_j}{\theta }_i-\frac{\ell }{m_j}\sum _{i\in H_j}{\theta }_i$$ $$Z_{j,\ell ,m_j}=\sum _{i:Y_i\ge t_j}{\theta }_i{X}_i-\frac{\ell }{m_j}\sum _{i\in H_j}{\theta }_i{X}_i.$$

লক্ষ্য করুন যে যখন H_j খালি থাকে (সময় t_j সহ সমস্ত পর্যবেক্ষণ সেন্সর করা হয়), তখন এই রাশিগুলোর সমষ্টি শূন্য হিসেবে গণ্য হয়।

উদাহরণ

নিচে অনুশীলনে কক্স মডেলের কিছু কাজ করা উদাহরণ দেওয়া হলো।

একটি একক বাইনারি কোভ্যারিয়েট

ধরা যাক আমরা যে এন্ডপয়েন্টটি নিয়ে আগ্রহী তা হলো অস্ত্রোপচারের পর ৫ বছরের পর্যবেক্ষণ সময়কালে রোগীর বেঁচে থাকা। রোগীরা ৫ বছরের মধ্যে মারা যেতে পারে, এবং আমরা রেকর্ড করি কখন তারা মারা গেছে, অথবা রোগীরা ৫ বছরের বেশি বেঁচে থাকতে পারে, এবং আমরা কেবল রেকর্ড করি যে তারা ৫ বছরের বেশি বেঁচে ছিল। অস্ত্রোপচারটি দুটি হাসপাতালের একটিতে, A বা B-তে করা হয়েছিল, এবং আমরা জানতে চাই হাসপাতালের অবস্থানের সাথে ৫ বছরের বেঁচে থাকার কোনো সম্পর্ক আছে কিনা। সুনির্দিষ্টভাবে, আমরা জানতে চাই হাসপাতাল B-এর তুলনায় হাসপাতাল A-তে করা অস্ত্রোপচারের হ্যাজার্ডের 'আপেক্ষিক' বৃদ্ধি (বা হ্রাস)। কিছু (নকল) ডেটা দেওয়া হলো, যেখানে প্রতিটি সারি একজন রোগীকে প্রতিনিধিত্ব করে: T হলো মৃত্যুর আগে বা ৫ বছর পর্যন্ত রোগীকে কতক্ষণ পর্যবেক্ষণ করা হয়েছিল (মাসে পরিমাপ করা), এবং C নির্দেশ করে রোগী ৫ বছরের মধ্যে মারা গেছে কিনা। আমরা হাসপাতালকে একটি বাইনারি চলক X হিসেবে এনকোড করেছি: 1 যদি হাসপাতাল A থেকে হয়, 0 যদি হাসপাতাল B থেকে হয়।

হাসপাতাল	X	T	C
B	0	60	False
B	0	32	True
B	0	60	False
B	0	60	False
B	0	60	False
A	1	4	True
A	1	18	True
A	1	60	False
A	1	9	True
A	1	31	True
A	1	53	True
A	1	17	True

আমাদের একক-কোভ্যারিয়েট কক্স প্রপোশনাল মডেলটি নিম্নরূপ, যেখানে ${\beta }_1$ হাসপাতালের প্রভাবকে প্রতিনিধিত্ব করে এবং i প্রতিটি রোগীকে সূচিত করে: $$\stackrel{\text{i-এর জন্য হ্যাজার্ড}}{\overbrace{\lambda (t|X_i)}}=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{বেসলাইন}}{\text{হ্যাজার্ড}}}{\underbrace{{\lambda }_0(t)}}\cdot \stackrel{\text{i-এর জন্য স্কেলিং ফ্যাক্টর}}{\overbrace{\exp ({\beta }_1{X}_i)}}$$

পরিসংখ্যানগত সফটওয়্যার ব্যবহার করে, আমরা ${\beta }_1$-কে 2.12 হিসেবে অনুমান করতে পারি। হ্যাজার্ড রেশিও হলো এই মানের 'এক্সপোনেনশিয়াল', $\exp ({\beta }_1)=\exp (2.12)$। কেন, তা দেখার জন্য হ্যাজার্ডের অনুপাত বিবেচনা করুন, সুনির্দিষ্টভাবে: $$\frac{\lambda (t|X=1)}{\lambda (t|X=0)}=\frac{\cancel{{\lambda }_0(t)}\exp ({\beta }_1\cdot 1)}{\cancel{{\lambda }_0(t)}\exp ({\beta }_1\cdot 0)}=\exp ({\beta }_1)$$

সুতরাং, হাসপাতাল B-এর তুলনায় হাসপাতাল A-এর হ্যাজার্ড রেশিও হলো $\exp (2.12)=8.32$। পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য একপাশে রেখে, আমরা বলতে পারি যে হাসপাতাল A-এর রোগীদের হাসপাতাল B-এর তুলনায় যেকোনো অল্প সময়ে মৃত্যুর ঝুঁকি 8.3 গুণ বেশি।

ব্যাখ্যার ক্ষেত্রে কিছু গুরুত্বপূর্ণ সতর্কতা উল্লেখ করা প্রয়োজন:

1. 8.3 গুণ বেশি মৃত্যুর ঝুঁকি মানে এই নয় যে হাসপাতাল A-তে 8.3 গুণ বেশি রোগী মারা যাবে: সারভাইভাল অ্যানালাইসিস পরীক্ষা করে ঘটনাগুলো কত দ্রুত ঘটে, কেবল সেগুলো ঘটে কিনা তা নয়।
2. আরও সুনির্দিষ্টভাবে, "মৃত্যুর ঝুঁকি" হলো একটি হারের পরিমাপ। একটি হারের একক থাকে, যেমন মিটার প্রতি সেকেন্ড। তবে, একটি 'আপেক্ষিক' হারের তা থাকে না: একটি সাইকেল অন্য সাইকেলের (রেফারেন্স সাইকেল) চেয়ে দুই গুণ দ্রুত চলতে পারে, কোনো একক নির্দিষ্ট না করেই। একইভাবে, হাসপাতাল A-তে মৃত্যুর ঝুঁকি (বাইকের গতির সাথে তুলনীয়) হাসপাতাল B-এর (রেফারেন্স গ্রুপ) তুলনায় 8.3 গুণ বেশি (দ্রুত)।
3. বিপরীত রাশি, $1/8.32=\frac{1}{\exp (2.12)}=\exp (-2.12)=0.12$ হলো হাসপাতাল A-এর সাপেক্ষে হাসপাতাল B-এর হ্যাজার্ড রেশিও।
4. আমরা হাসপাতালগুলোর মধ্যে বেঁচে থাকার 'সম্ভাবনা' সম্পর্কে কোনো অনুমান করিনি। এর কারণ হলো আমাদের বেসলাইন হ্যাজার্ড রেট ${\lambda }_0(t)$-এর একটি অনুমানের পাশাপাশি আমাদের ${\beta }_1$ অনুমানের প্রয়োজন হতো। তবে, কক্স প্রপোশনাল হ্যাজার্ড মডেলের স্ট্যান্ডার্ড অনুমান সরাসরি বেসলাইন হ্যাজার্ড রেট অনুমান করে না।
5. যেহেতু আমরা মডেলের একমাত্র সময়-পরিবর্তনশীল উপাদান, বেসলাইন হ্যাজার্ড রেট উপেক্ষা করেছি, তাই আমাদের অনুমানটি টাইমস্কেল-ইনভ্যারিয়েন্ট। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা সময় মাসের পরিবর্তে বছরে পরিমাপ করতাম, তবে আমরা একই অনুমান পেতাম।
6. এটি বলা লোভনীয় যে হাসপাতালটি দুটি গ্রুপের মধ্যে হ্যাজার্ডের পার্থক্যের 'কারণ' হয়েছে, কিন্তু যেহেতু আমাদের গবেষণাটি কারণমূলক নয় (অর্থাৎ, আমরা জানি না ডেটা কীভাবে তৈরি হয়েছে), তাই আমরা "সম্পর্কিত" (associated)-এর মতো পরিভাষা ব্যবহার করি।

একটি একক অবিচ্ছিন্ন কোভ্যারিয়েট

সারভাইভাল অ্যানালাইসিসের একটি কম প্রচলিত ব্যবহারের উদাহরণ দেওয়ার জন্য, পরবর্তী উদাহরণটি হবে একটি অর্থনীতির প্রশ্ন: একটি কোম্পানির প্রথম আইপিও বার্ষিকীতে তাদের প্রাইস-টু-আর্নিংস রেশিও (P/E) এবং তাদের ভবিষ্যতের বেঁচে থাকার মধ্যে সম্পর্ক কী? আরও সুনির্দিষ্টভাবে, যদি আমরা একটি কোম্পানির "জন্মের ঘটনা" হিসেবে তাদের প্রথম আইপিও বার্ষিকী বিবেচনা করি, এবং যেকোনো দেউলিয়া হওয়া, বিক্রি, ব্যক্তিগত হওয়া ইত্যাদি কোম্পানিটির "মৃত্যুর" ঘটনা হিসেবে ধরি, তবে আমরা তাদের "জন্মের" (প্রথম আইপিও বার্ষিকী) সময় কোম্পানিগুলোর P/E রেশিও-এর প্রভাব তাদের বেঁচে থাকার ওপর জানতে চাই।

১২টি কোম্পানির সারভাইভাল ডেটা সহ একটি (নকল) ডেটাসেট দেওয়া হলো: T প্রথম আইপিও বার্ষিকী এবং মৃত্যুর (বা যদি মারা না যায় তবে 2022-01-01 তারিখ) মধ্যবর্তী দিনের সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে। C প্রতিনিধিত্ব করে কোম্পানিটি 2022-01-01-এর আগে মারা গেছে কিনা। P/E কোম্পানিটির ১ম আইপিও বার্ষিকীতে প্রাইস-টু-আর্নিংস রেশিও প্রতিনিধিত্ব করে।

কোং	১ বছরের আইপিও তারিখ	মৃত্যুর তারিখ*	C	T	P/E
0	2000-11-05	2011-01-22	True	3730	9.7
1	2000-12-01	2003-03-30	True	849	12.0
2	2011-01-05	2012-03-30	True	450	3.0
3	2010-05-29	2011-02-22	True	269	5.3
4	2005-06-23	2022-01-01	False	6036	10.8
5	2000-06-10	2002-07-24	True	774	6.3
6	2011-07-11	2014-05-01	True	1025	11.6
7	2007-09-27	2022-01-01	False	5210	10.3
8	2006-07-30	2010-06-03	True	1404	8.0
9	2000-07-13	2001-07-19	True	371	4.0
10	2013-06-10	2018-10-10	True	1948	5.9
11	2011-07-16	2014-08-15	True	1126	8.3

পূর্বের উদাহরণের মতো যেখানে একটি বাইনারি চলক ছিল, এই ডেটাসেটে একটি অবিচ্ছিন্ন চলক, P/E রয়েছে; তবে, মডেলটি দেখতে একই রকম: $$\lambda (t|P_i)={\lambda }_0(t)\cdot \exp ({\beta }_1{P}_i)$$ যেখানে $P_i$ একটি কোম্পানির P/E রেশিও প্রতিনিধিত্ব করে। এই ডেটাসেটটি একটি কক্স মডেলের মাধ্যমে চালালে অজানা ${\beta }_1$-এর মানের একটি 'অনুমান' পাওয়া যায়, যা হলো -0.34। সুতরাং, সম্পূর্ণ হ্যাজার্ডের একটি অনুমান হলো: $$\lambda (t|P_i)={\lambda }_0(t)\cdot \exp (-0.34P_i)$$

যেহেতু বেসলাইন হ্যাজার্ড ${\lambda }_0(t)$ অনুমান করা হয়নি, তাই সম্পূর্ণ হ্যাজার্ড গণনা করা সম্ভব নয়। তবে, কোম্পানি i এবং j-এর হ্যাজার্ডের অনুপাত বিবেচনা করুন: $$\begin{array}{rl}\frac{\lambda (t|P_i)}{\lambda (t|P_j)}& =\frac{\cancel{{\lambda }_0(t)}\cdot \exp (-0.34P_i)}{\cancel{{\lambda }_0(t)}\cdot \exp (-0.34P_j)}\\ & =\exp (-0.34(P_i-P_j))\end{array}$$

ডানদিকের সমস্ত পদ জানা আছে, তাই কোম্পানিগুলোর মধ্যে হ্যাজার্ডের অনুপাত গণনা করা সম্ভব। যেহেতু ডানদিকে কোনো সময়-নির্ভর পদ নেই (সমস্ত পদ ধ্রুবক), তাই হ্যাজার্ডগুলো একে অপরের সাথে 'আনুপাতিক'। উদাহরণস্বরূপ, কোম্পানি 5 থেকে কোম্পানি 2-এর হ্যাজার্ড রেশিও হলো $\exp (-0.34(6.3-3.0))=0.33$। এর মানে হলো, গবেষণার ব্যবধানের মধ্যে, কোম্পানি 5-এর "মৃত্যুর" ঝুঁকি কোম্পানি 2-এর মৃত্যুর ঝুঁকির 0.33 ≈ 1/3 গুণ।

ব্যাখ্যার ক্ষেত্রে কিছু গুরুত্বপূর্ণ সতর্কতা উল্লেখ করা প্রয়োজন:

1. 'হ্যাজার্ড রেশিও' হলো রাশি $\exp ({\beta }_1)$, যা উপরের উদাহরণে $\exp (-0.34)=0.71$। উপরের শেষ গণনা থেকে, এর একটি ব্যাখ্যা হলো দুটি "বিষয়ের" মধ্যে হ্যাজার্ডের অনুপাত যাদের চলকগুলো এক ইউনিট দ্বারা পৃথক: যদি $P_i=P_j+1$ হয়, তবে $\exp ({\beta }_1(P_i-P_j)=\exp ({\beta }_1(1))$। "এক ইউনিট দ্বারা পৃথক" হওয়ার পছন্দটি সুবিধার জন্য, কারণ এটি ${\beta }_1$-এর মান সঠিকভাবে প্রকাশ করে।
2. বেসলাইন হ্যাজার্ড উপস্থাপন করা যেতে পারে যখন স্কেলিং ফ্যাক্টর 1 হয়, অর্থাৎ $P=0$। $$\lambda (t|P_i=0)={\lambda }_0(t)\cdot \exp (-0.34\cdot 0)={\lambda }_0(t)$$ আমরা কি বেসলাইন হ্যাজার্ডকে একটি "বেসলাইন" কোম্পানির হ্যাজার্ড হিসেবে ব্যাখ্যা করতে পারি যার P/E 0? "বেসলাইন বিষয়ের হ্যাজার্ড" হিসেবে বেসলাইন হ্যাজার্ডের এই ব্যাখ্যাটি অসম্পূর্ণ, কারণ এই অ্যাপ্লিকেশনে কোভ্যারিয়েট 0 হওয়া অসম্ভব: 0 P/E অর্থহীন (এর মানে কোম্পানির শেয়ারের দাম 0, অর্থাৎ তারা "মৃত")। আরও উপযুক্ত ব্যাখ্যা হবে "যখন সমস্ত চলক শূন্য হয় তখন হ্যাজার্ড"।
3. $\exp ({\beta }_1{P}_i)$-এর মতো মানকে কোম্পানির হ্যাজার্ড হিসেবে বোঝা এবং ব্যাখ্যা করার ইচ্ছা জাগতে পারে। তবে, বিবেচনা করুন এটি আসলে কী প্রতিনিধিত্ব করছে: $\exp ({\beta }_1{P}_i)=\exp ({\beta }_1(P_i-0))=\frac{\exp ({\beta }_1{P}_i)}{\exp ({\beta }_{1}0)}=\frac{\lambda (t|P_i)}{\lambda (t|0)}$। এখানে পরোক্ষভাবে হ্যাজার্ডের একটি অনুপাত রয়েছে, যা কোম্পানি i-এর হ্যাজার্ডকে 0 P/E সহ একটি কাল্পনিক বেসলাইন কোম্পানির সাথে তুলনা করছে। তবে, উপরে ব্যাখ্যা করা হয়েছে, এই অ্যাপ্লিকেশনে 0 P/E অসম্ভব, তাই এই উদাহরণে $\exp ({\beta }_1{P}_i)$ অর্থহীন। তবে, সম্ভাব্য হ্যাজার্ডগুলোর মধ্যে অনুপাত অর্থপূর্ণ।

সময়-পরিবর্তনশীল প্রেডিক্টর এবং সহগ

সময়-নির্ভর চলক, সময়-নির্ভর স্ট্রাটা এবং প্রতি বিষয়ে একাধিক ঘটনার এক্সটেনশনগুলো অ্যান্ডারসেন এবং গিলের কাউন্টিং প্রসেস ফর্মুলেশনের মাধ্যমে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে। সময়-পরিবর্তনশীল রিগ্রেসর সহ হ্যাজার্ড মডেল ব্যবহারের একটি উদাহরণ হলো বেকারত্ব বীমার বেকারত্বের মেয়াদের ওপর প্রভাব অনুমান করা।

সময়-পরিবর্তনশীল কোভ্যারিয়েট (অর্থাৎ, প্রেডিক্টর) অনুমোদনের পাশাপাশি, কক্স মডেল সময়-পরিবর্তনশীল সহগের ক্ষেত্রেও সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। অর্থাৎ, চিকিৎসার আনুপাতিক প্রভাব সময়ের সাথে পরিবর্তিত হতে পারে; উদাহরণস্বরূপ, একটি ওষুধ অসুস্থতা-র এক মাসের মধ্যে প্রয়োগ করলে খুব কার্যকর হতে পারে এবং সময় বাড়ার সাথে সাথে কার্যকারিতা কমতে পারে। সহগের সময়ের সাথে কোনো পরিবর্তন না হওয়ার (স্টেশনারিটি) হাইপোথিসিস তখন পরীক্ষা করা যেতে পারে। বিস্তারিত এবং সফটওয়্যার (R প্যাকেজ) মার্টিনুসেন এবং শেইকে (2006)-এ উপলব্ধ।

এই প্রেক্ষাপটে, এটিও উল্লেখ করা যেতে পারে যে অ্যাডিটিভ হ্যাজার্ড ব্যবহার করে কোভ্যারিয়েটের প্রভাব নির্দিষ্ট করা তাত্ত্বিকভাবে সম্ভব, অর্থাৎ নির্দিষ্ট করা $$\lambda (t|X_i)={\lambda }_0(t)+{\beta }_1{X}_{i1}+\cdots +{\beta }_p{X}_{ip}={\lambda }_0(t)+X_i\cdot \beta .$$ যদি এই ধরনের অ্যাডিটিভ হ্যাজার্ডস মডেল এমন পরিস্থিতিতে ব্যবহৃত হয় যেখানে (লগ-)লাইকলিহুড সর্বোচ্চকরণ উদ্দেশ্য, তবে $\lambda (t\mid X_i)$-কে অ-ঋণাত্মক মানে সীমাবদ্ধ করার জন্য যত্নবান হতে হবে। সম্ভবত এই জটিলতার ফলে, এই ধরনের মডেল খুব কমই দেখা যায়। যদি উদ্দেশ্য পরিবর্তে লিস্ট স্কয়ারস হয়, তবে অ-ঋণাত্মকতার সীমাবদ্ধতা কঠোরভাবে প্রয়োজনীয় নয়।

বেসলাইন হ্যাজার্ড ফাংশন নির্দিষ্ট করা

যদি বেসলাইন হ্যাজার্ড একটি নির্দিষ্ট রূপ অনুসরণ করে বলে ধরে নেওয়ার কোনো কারণ থাকে, তবে কক্স মডেলটি বিশেষায়িত করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, বেসলাইন হ্যাজার্ড ${\lambda }_0(t)$-কে একটি প্রদত্ত ফাংশন দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, হ্যাজার্ড ফাংশনটিকে উইবুল হ্যাজার্ড ফাংশন হিসেবে ধরে নিলে উইবুল প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেল পাওয়া যায়।

প্রসঙ্গত, উইবুল বেসলাইন হ্যাজার্ড ব্যবহার করা একমাত্র পরিস্থিতি যেখানে মডেলটি প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস এবং অ্যাক্সিলারেটেড ফেইলর টাইম উভয় মডেলই সন্তুষ্ট করে।

জেনেরিক শব্দ প্যারামেট্রিক প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেল ব্যবহার করা যেতে পারে সেই প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেলগুলো বর্ণনা করতে যেখানে হ্যাজার্ড ফাংশন নির্দিষ্ট করা থাকে। কক্স প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেলকে এর বিপরীতে কখনও কখনও একটি সেমিপ্যারামেট্রিক মডেল বলা হয়।

কিছু লেখক বেসলাইন হ্যাজার্ড ফাংশন নির্দিষ্ট করার সময়ও কক্স প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেল শব্দটি ব্যবহার করেন, যা ডেভিড কক্সের প্রতি পুরো ক্ষেত্রের ঋণের স্বীকৃতি।

কক্স রিগ্রেশন মডেল শব্দটি (প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস বাদ দিয়ে) কখনও কখনও সময়-নির্ভর ফ্যাক্টর অন্তর্ভুক্ত করার জন্য কক্স মডেলের এক্সটেনশন বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়। তবে, এই ব্যবহারটি সম্ভাব্য অস্পষ্ট কারণ কক্স প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেল নিজেই একটি রিগ্রেশন মডেল হিসেবে বর্ণনা করা যেতে পারে।

পয়সন মডেলের সাথে সম্পর্ক

প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেল এবং পয়সন রিগ্রেশন (Poisson regression) মডেলের মধ্যে একটি সম্পর্ক রয়েছে, যা কখনও কখনও পয়সন রিগ্রেশনের সফটওয়্যারে আনুমানিক প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেল ফিট করার জন্য ব্যবহৃত হয়। এটি করার সাধারণ কারণ হলো এতে গণনা অনেক দ্রুত সম্পন্ন হয়। ধীরগতির কম্পিউটারের যুগে এটি আরও গুরুত্বপূর্ণ ছিল, তবে অত্যন্ত বড় ডেটাসেট বা জটিল সমস্যার ক্ষেত্রে এটি এখনও কার্যকর হতে পারে। লেয়ার্ড এবং অলিভিয়ার (১৯৮১) গাণিতিক বিবরণ প্রদান করেছেন। তারা উল্লেখ করেছেন, "আমরা ধরে নিচ্ছি না যে [পয়সন মডেল] সত্য, বরং আমরা এটিকে কেবল লাইকলিহুড বা সম্ভাবনা নির্ণয়ের একটি মাধ্যম হিসেবে ব্যবহার করছি।" ম্যাককুলাফ এবং নেলডারের জেনারালাইজড লিনিয়ার মডেল বিষয়ক বইটিতে প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেলকে জেনারালাইজড লিনিয়ার মডেল-এ রূপান্তর করার ওপর একটি অধ্যায় রয়েছে।

উচ্চ-মাত্রিক বিন্যাস (High-dimensional setup)

উচ্চ-মাত্রিক ক্ষেত্রে, যখন কোভ্যারিয়েট বা সহচরের সংখ্যা p, নমুনার আকার n-এর তুলনায় অনেক বড় হয়, তখন LASSO পদ্ধতি হলো মডেল নির্বাচনের অন্যতম ধ্রুপদী কৌশল। টিবশিরানি (১৯৯৭) প্রপোশনাল হ্যাজার্ড রিগ্রেশন প্যারামিটারের জন্য একটি ল্যাসো পদ্ধতি প্রস্তাব করেছেন। রিগ্রেশন প্যারামিটার β-এর ল্যাসো এস্টিমেটরকে একটি L¹-norm ধরনের সীমাবদ্ধতার অধীনে কক্স পার্শিয়াল লগ-লাইকলিহুডের বিপরীতের মিনিমাইজার হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। $$\ell (\beta )=\sum _j(\sum _{i\in H_j}{X}_i\cdot \beta -\sum _{\ell =0}^{m_j-1}\log (\sum _{i:Y_i\ge t_j}{\theta }_i-\frac{\ell }{m_j}\sum _{i\in H_j}{\theta }_i))+\lambda \Vert \beta {\Vert }_1,$$

সম্প্রতি এই বিষয়ে তাত্ত্বিক অগ্রগতি হয়েছে।

সফটওয়্যার ইমপ্লিমেন্টেশন

• Mathematica: CoxModelFit ফাংশন।
• R: coxph() ফাংশন, যা survival প্যাকেজে অবস্থিত।
• SAS: phreg প্রসিডিউর।
• Stata: stcox কমান্ড।
• Python: lifelines লাইব্রেরিতে অবস্থিত CoxPHFitter। statsmodels লাইব্রেরিতে phreg।
• SPSS: Cox Regression এর অধীনে উপলব্ধ।
• MATLAB: fitcox বা coxphfit ফাংশন।
• Julia: Survival.jl লাইব্রেরিতে উপলব্ধ।
• JMP: Fit Proportional Hazards প্ল্যাটফর্মে উপলব্ধ।
• Prism: সারভাইভাল অ্যানালাইসিস এবং মাল্টিপল ভ্যারিয়েবল অ্যানালাইসিসে উপলব্ধ।

আরও দেখুন

• Accelerated failure time model
• One in ten rule
• Weibull distribution
• Hypertabastic distribution

তথ্যসূত্র

• (2010). "Goodness-of-fit Criteria for the Cox model from Left Truncated and Right Censored Data". Journal of Mathematical Sciences. 167 (4) 436–443. doi:10.1007/s10958-010-9929-6.
• (1984). "Analysis of Survival Data". Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-24490-2.
• Collett, D.. (2003). "Modelling Survival Data in Medical Research". CRC. ISBN 978-1-58488-325-8.
• Gouriéroux, Christian. (2000). Econometrics of Qualitative Dependent Variables. 284–362. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58985-7.
• (2003). Applied Longitudinal Data Analysis: Modeling Change and Event Occurrence. 503–542. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-515296-8.
• (2000). "Modeling Survival Data: Extending the Cox Model". Springer. ISBN 978-0-387-98784-2.

• (2026). "Calibrating a proportional hazards model with time-correlated covariates: a case study in probability of default modelling for credit risk analysis". Quantitative Finance. doi:10.1080/14697688.2025.2601721.

analysis

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Proportional hazards model” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Proportional_hazards_model এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।