অ্যাক্সিলারেটেড ফেইলর টাইম মডেল

পরিসংখ্যানের সারভাইভাল অ্যানালাইসিস বা টিকে থাকার বিশ্লেষণ ক্ষেত্রে, একটি অ্যাক্সিলারেটেড ফেইলর টাইম মডেল (AFT মডেল) হলো একটি প্যারামেট্রিক মডেল যা বহুল ব্যবহৃত প্রোপোরশনাল হ্যাজার্ডস মডেল-এর একটি বিকল্প প্রদান করে। যেখানে একটি প্রোপোরশনাল হ্যাজার্ডস মডেল ধরে নেয় যে একটি কোভ্যারিয়েট-এর প্রভাব হলো হ্যাজার্ডকে কোনো ধ্রুবক দ্বারা গুণ করা, সেখানে একটি AFT মডেল ধরে নেয় যে একটি কোভ্যারিয়েটের প্রভাব হলো কোনো রোগের জীবনকালকে কোনো ধ্রুবক দ্বারা ত্বরান্বিত বা মন্থর করা। স্ট্রাউস্ট্রাপ এবং অন্যান্যদের দ্বারা পরিচালিত সি. এলিগানস পরীক্ষার শক্তিশালী মৌলিক বৈজ্ঞানিক প্রমাণ রয়েছে^[1] যা নির্দেশ করে যে জৈবিক টিকে থাকার প্রক্রিয়ার জন্য AFT মডেলগুলোই সঠিক মডেল।

মডেল স্পেসিফিকেশন

সম্পূর্ণ সাধারণীকরণে, অ্যাক্সিলারেটেড ফেইলর টাইম মডেলটিকে এভাবে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে^[2]

λ (t | θ) = θ λ_{0} (θ t)

যেখানে $λ$ হলো শর্তাধীন হ্যাজার্ড রেট, এবং $θ$ কোভ্যারিয়েটগুলোর যৌথ প্রভাব নির্দেশ করে, সাধারণত $θ = \exp (- [β_{1} X_{1} + \dots + β_{p} X_{p}])$ । (ঋণাত্মক চিহ্নসহ রিগ্রেশন সহগ নির্দিষ্ট করার অর্থ হলো কোভ্যারিয়েটগুলোর উচ্চ মান টিকে থাকার সময়কে বৃদ্ধি করে, তবে এটি কেবল একটি চিহ্নের প্রথা; ঋণাত্মক চিহ্ন ছাড়া, সেগুলো হ্যাজার্ড বৃদ্ধি করে।)

এটি সন্তুষ্ট হয় যদি ঘটনার প্রোবাবিলিটি ডেনসিটি ফাংশন-কে $f (t | θ) = θ f_{0} (θ t)$ হিসেবে ধরা হয়; তখন সারভাইভাল ফাংশন-এর জন্য এটি অনুসরণ করে যে $S (t | θ) = S_{0} (θ t)$ । এখান থেকে সহজেই দেখা যায় যে মডারেটেড জীবনকাল $T$ এমনভাবে বিন্যস্ত যে $T θ$ এবং আনমডারেটেড জীবনকাল $T_{0}$ -এর একই বিন্যাস রয়েছে। ফলস্বরূপ, $\log (T)$ -কে এভাবে লেখা যেতে পারে

\log (T) = - \log (θ) + \log (T θ) : = - \log (θ) + ϵ

যেখানে শেষ পদটি $\log (T_{0})$ হিসেবে বিন্যস্ত, অর্থাৎ $θ$ থেকে স্বাধীন। এটি অ্যাক্সিলারেটেড ফেইলর টাইম মডেলকে রিগ্রেশন অ্যানালাইসিস-এ (সাধারণত একটি লিনিয়ার মডেল) হ্রাস করে যেখানে $- \log (θ)$ স্থির প্রভাবগুলোকে উপস্থাপন করে এবং $ϵ$ নয়েজ বা গোলযোগকে উপস্থাপন করে। $ϵ$ -এর বিভিন্ন বিন্যাস $T_{0}$ -এর বিভিন্ন বিন্যাসকে বোঝায়, অর্থাৎ টিকে থাকার সময়ের বিভিন্ন বেসলাইন বিন্যাস। সাধারণত, সারভাইভাল-অ্যানালিটিক প্রেক্ষাপটে, অনেক পর্যবেক্ষণ সেন্সরড (censored) থাকে: আমরা কেবল জানি যে $T_{i} > t_{i}$ , $T_{i} = t_{i}$ নয়। প্রকৃতপক্ষে, প্রথম ক্ষেত্রটি টিকে থাকাকে উপস্থাপন করে, যখন পরবর্তী ক্ষেত্রটি ফলো-আপের সময় কোনো ঘটনা/মৃত্যু/সেন্সরিংকে উপস্থাপন করে। যদি $T_{0}$ -এর বিন্যাস অস্বাভাবিক হয়, তবে এই রাইট-সেন্সরড পর্যবেক্ষণগুলো মডেলটি অনুমান করার জন্য প্রযুক্তিগত চ্যালেঞ্জ তৈরি করতে পারে।

অ্যাক্সিলারেটেড ফেইলর টাইম মডেলে $θ$ -এর ব্যাখ্যা সহজবোধ্য: $θ = 2$ মানে হলো একজন ব্যক্তির প্রাসঙ্গিক জীবন ইতিহাসের সবকিছু দ্বিগুণ দ্রুত ঘটছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি মডেলটি টিউমারের বিকাশের সাথে সম্পর্কিত হয়, তবে এর অর্থ হলো সমস্ত প্রাক-পর্যায়গুলো অনাবৃত ব্যক্তির তুলনায় দ্বিগুণ দ্রুত অগ্রসর হচ্ছে, যার অর্থ ক্লিনিকাল রোগের প্রত্যাশিত সময় বেসলাইন সময়ের ০.৫ গুণ। তবে, এর অর্থ এই নয় যে হ্যাজার্ড ফাংশন $λ (t | θ)$ সর্বদা দ্বিগুণ বেশি—সেটি হবে প্রোপোরশনাল হ্যাজার্ডস মডেল।

পরিসংখ্যানগত সমস্যা

প্রোপোরশনাল হ্যাজার্ডস মডেলের বিপরীতে, যেখানে কক্স-এর সেমি-প্যারামেট্রিক প্রোপোরশনাল হ্যাজার্ডস মডেল প্যারামেট্রিক মডেলের চেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয়, AFT মডেলগুলো মূলত সম্পূর্ণ প্যারামেট্রিক, অর্থাৎ $\log (T_{0})$ -এর জন্য একটি প্রোবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন নির্দিষ্ট করা থাকে। (বাকলি এবং জেমস^[3] একটি সেমি-প্যারামেট্রিক AFT প্রস্তাব করেছিলেন কিন্তু ফলিত গবেষণায় এর ব্যবহার তুলনামূলকভাবে বিরল; ১৯৯২ সালের একটি গবেষণাপত্রে, ওয়েই^[4] উল্লেখ করেছেন যে বাকলি-জেমস মডেলের কোনো তাত্ত্বিক যৌক্তিকতা নেই এবং এতে দৃঢ়তার অভাব রয়েছে, এবং তিনি বিকল্পগুলো পর্যালোচনা করেছেন।) যদি বেসলাইন জীবনকালের বিন্যাস মডেলিং করার জন্য বাস্তবসম্মত বিশদ বিবরণের প্রয়োজন হয়, তবে এটি একটি সমস্যা হতে পারে। তাই, এই দিকে প্রযুক্তিগত উন্নয়ন অত্যন্ত বাঞ্ছনীয়।

যখন সারভাইভাল মডেলে একটি ফ্রেইলটি (frailty) টার্ম অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তখন AFT মডেল থেকে প্রাপ্ত রিগ্রেশন প্যারামিটার অনুমানগুলো বাদ দেওয়া কোভ্যারিয়েট-এর ক্ষেত্রে প্রোপোরশনাল হ্যাজার্ডস মডেলের বিপরীতে শক্তিশালী (robust) থাকে। সেগুলো ফ্রেইলটি টার্মের জন্য প্রোবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন নির্বাচনের দ্বারাও কম প্রভাবিত হয়।^[5]^[6]

AFT মডেলের ফলাফলগুলো সহজেই ব্যাখ্যা করা যায়।^[7] উদাহরণস্বরূপ, এন্ডপয়েন্ট হিসেবে মৃত্যুহারসহ একটি ক্লিনিকাল ট্রায়াল-এর ফলাফলকে কন্ট্রোলের তুলনায় নতুন চিকিৎসায় ভবিষ্যতের জীবন প্রত্যাশা-র একটি নির্দিষ্ট শতাংশ বৃদ্ধি হিসেবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। সুতরাং একজন রোগীকে জানানো যেতে পারে যে নতুন চিকিৎসা নিলে তিনি (ধরা যাক) ১৫% বেশি সময় বেঁচে থাকবেন বলে আশা করা যায়। হ্যাজার্ড রেশিও সাধারণ মানুষের ভাষায় ব্যাখ্যা করা কঠিন হতে পারে।

AFT মডেলে ব্যবহৃত বিন্যাসসমূহ

লগ-লজিস্টিক ডিস্ট্রিবিউশন সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত AFT মডেল প্রদান করে। ওয়েইবুল ডিস্ট্রিবিউশন-এর বিপরীতে, এটি একটি নন-মনোটোনিক হ্যাজার্ড ফাংশন প্রদর্শন করতে পারে যা শুরুর দিকে বৃদ্ধি পায় এবং পরবর্তী সময়ে হ্রাস পায়। এটি আকৃতির দিক থেকে লগ-নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন-এর সাথে কিছুটা সাদৃশ্যপূর্ণ কিন্তু এর লেজগুলো ভারী। লগ-লজিস্টিক কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন-এর একটি সহজ ক্লোজড-ফর্ম এক্সপ্রেশন রয়েছে, যা সেন্সরিং-এর সাথে ডেটা ফিট করার সময় কম্পিউটেশনাল দিক থেকে গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে। সেন্সরড পর্যবেক্ষণের জন্য সারভাইভাল ফাংশনের প্রয়োজন হয়, যা কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের পরিপূরক, অর্থাৎ $S (t | θ) = 1 - F (t | θ)$ মূল্যায়ন করতে সক্ষম হতে হবে।

ওয়েইবুল ডিস্ট্রিবিউশন (বিশেষ ক্ষেত্র হিসেবে এক্সপোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন সহ) প্রোপোরশনাল হ্যাজার্ডস মডেল বা AFT মডেল হিসেবে প্যারামিটারাইজ করা যেতে পারে এবং এটিই একমাত্র বিন্যাসের পরিবার যার এই বৈশিষ্ট্য রয়েছে। তাই একটি ওয়েইবুল মডেল ফিট করার ফলাফল উভয় কাঠামোতেই ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। তবে, এই মডেলের জৈবিক প্রয়োগ সীমিত হতে পারে কারণ হ্যাজার্ড ফাংশনটি মনোটোনিক, অর্থাৎ হয় হ্রাসমান অথবা ক্রমবর্ধমান।

পজিটিভ রিয়েল নাম্বারস-এর মতো কোনো মাল্টিপ্লিকেটিভলি ক্লোজড গ্রুপ-এর যেকোনো বিন্যাস AFT মডেলের জন্য উপযুক্ত। অন্যান্য বিন্যাসের মধ্যে রয়েছে লগ-নরমাল, গামা, হাইপারটাবাসটিক, গম্পার্টজ ডিস্ট্রিবিউশন, এবং ইনভার্স গসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশন, যদিও এগুলো লগ-লজিস্টিকের চেয়ে কম জনপ্রিয়, আংশিকভাবে কারণ তাদের কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনগুলোর কোনো ক্লোজড ফর্ম নেই। পরিশেষে, জেনারালাইজড গামা ডিস্ট্রিবিউশন হলো একটি তিন-প্যারামিটার বিন্যাস যার মধ্যে ওয়েইবুল, লগ-নরমাল এবং গামা বিন্যাসগুলো বিশেষ ক্ষেত্র হিসেবে অন্তর্ভুক্ত।

তথ্যসূত্র

↑ (16 January 2016). "The temporal scaling of Caenorhabditis elegans ageing". Nature. 530 (7588) 103–107. doi:10.1038/nature16550.
↑ Kalbfleisch & Prentice. (2002). "The Statistical Analysis of Failure Time Data (2nd ed.)". Wiley Series in Probability and Statistics.
↑ (1979). "Linear regression with censored data". Biometrika. 66 (3) 429–436. doi:10.1093/biomet/66.3.429.
↑ (1992). "The accelerated failure time model: A useful alternative to the cox regression model in survival analysis". Statistics in Medicine. 11 (14–15) 1871–1879. doi:10.1002/sim.4780111409.
↑ (2004). Parametric accelerated failure time models with random effects and an application to kidney transplant survival. Statistics in Medicine. 23 (20) 3177–3192. doi:10.1002/sim.1876.
↑ (1997). "The Role of Frailty Models and Accelerated Failure Time Models in Describing Heterogeneity Due to Omitted Covariates". Statistics in Medicine. 16 (1–3) 215–224. doi:<215::AID-SIM481>3.0.CO;2-J 10.1002/(SICI)1097-0258(19970130)16:2<215::AID-SIM481>3.0.CO;2-J.
↑ (2002). On the use of the accelerated failure time model as an alternative to the proportional hazards model in the treatment of time to event data: A case study in influenza. Drug Information Journal. 36 (3) 571–579. doi:10.1177/009286150203600312.

Anonymous

Search

অ্যাক্সিলারেটেড ফেইলর টাইম মডেল

Namespaces

More

Page actions

Contents

মডেল স্পেসিফিকেশন

পরিসংখ্যানগত সমস্যা

AFT মডেলে ব্যবহৃত বিন্যাসসমূহ

তথ্যসূত্র

আরও পড়ুন

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Anonymous

Search

অ্যাক্সিলারেটেড ফেইলর টাইম মডেল

মডেল স্পেসিফিকেশন

পরিসংখ্যানগত সমস্যা

AFT মডেলে ব্যবহৃত বিন্যাসসমূহ

তথ্যসূত্র

আরও পড়ুন

Navigation

Wiki tools

Page tools

Categories