পয়সন রিগ্রেশন

পরিসংখ্যানে, পয়সন রিগ্রেশন (Poisson regression) হলো রিগ্রেশন বিশ্লেষণের একটি জেনারালাইজড লিনিয়ার মডেল রূপ, যা গণনা তথ্য (count data) এবং কন্টিনজেন্সি টেবিল মডেল করার জন্য ব্যবহৃত হয়। পয়সন রিগ্রেশন ধরে নেয় যে রেসপন্স ভেরিয়েবল Y-এর একটি পয়সন বিন্যাস (Poisson distribution) রয়েছে এবং এর প্রত্যাশিত মানের লগারিদম অজানা প্যারামিটারগুলোর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ দ্বারা মডেল করা যেতে পারে। একটি পয়সন রিগ্রেশন মডেলকে কখনও কখনও লগ-লিনিয়ার মডেল হিসেবেও অভিহিত করা হয়, বিশেষ করে যখন এটি কন্টিনজেন্সি টেবিল মডেল করার জন্য ব্যবহৃত হয়।

নেগেটিভ বাইনোমিয়াল রিগ্রেশন (Negative binomial regression) হলো পয়সন রিগ্রেশনের একটি জনপ্রিয় সাধারণ রূপ, কারণ এটি পয়সন মডেলের সেই অত্যন্ত কঠোর অনুমানকে শিথিল করে যেখানে ভ্যারিয়েন্স (variance) এবং গড় (mean) সমান ধরা হয়। প্রথাগত নেগেটিভ বাইনোমিয়াল রিগ্রেশন মডেলটি পয়সন-গামা মিশ্রণ বিন্যাসের উপর ভিত্তি করে তৈরি। এই মডেলটি জনপ্রিয় কারণ এটি গামা বিন্যাসের মাধ্যমে পয়সন হেটেরোজেনিটি (heterogeneity) মডেল করে।

পয়সন রিগ্রেশন মডেলগুলো হলো জেনারালাইজড লিনিয়ার মডেল, যেখানে লগারিদমকে (ক্যানোনিকাল) লিঙ্ক ফাংশন হিসেবে এবং পয়সন বিন্যাস ফাংশনকে রেসপন্স ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য বিন্যাস হিসেবে ধরা হয়।

রিগ্রেশন মডেল

যদি $\mathbf{𝐱}\in {\mathbb{ℝ}}^n$ একটি স্বাধীন চলকের ভেক্টর হয়, তবে মডেলটি নিম্নোক্ত রূপ ধারণ করে:

$\log (\mathrm{E}(Y\mid \mathbf{𝐱}))=\alpha +{\mathit{\beta }}^{\prime }\mathbf{𝐱},$

যেখানে $\alpha \in \mathbb{ℝ}$ এবং $\mathit{\beta }\in {\mathbb{ℝ}}^n$। কখনও কখনও এটিকে আরও সংক্ষেপে এভাবে লেখা হয়:

$\log (\mathrm{E}(Y\mid \mathbf{𝐱}))={\mathit{\theta }}^{\prime }\mathbf{𝐱},$

যেখানে $\mathbf{𝐱}$ এখন একটি (n + 1)-মাত্রিক ভেক্টর, যা n সংখ্যক স্বাধীন চলক এবং ১-এর সমন্বয়ে গঠিত। এখানে $\theta$ হলো মূলত $\beta$ এবং $\alpha$-এর সমন্বয়।

সুতরাং, একটি পয়সন রিগ্রেশন মডেল $\theta$ এবং একটি ইনপুট ভেক্টর $\mathbf{𝐱}$ দেওয়া থাকলে, সংশ্লিষ্ট পয়সন বিন্যাসের পূর্বাভাসিত গড় হবে:

$\mathrm{E}(Y\mid \mathbf{𝐱})=e^{{\mathit{\theta }}^{\prime }\mathbf{𝐱}}.$

যদি $Y_i$ গুলো সংশ্লিষ্ট প্রেডিক্টর ভেরিয়েবল ${\mathbf{𝐱}}_i$ সহ স্বাধীন পর্যবেক্ষণ হয়, তবে $\theta$-কে ম্যাক্সিমাম লাইকলিহুড (maximum likelihood) পদ্ধতির মাধ্যমে অনুমান করা যায়। ম্যাক্সিমাম-লাইকলিহুড অনুমানের কোনো ক্লোজড-ফর্ম এক্সপ্রেশন নেই এবং এগুলোকে সংখ্যাসূচক পদ্ধতির মাধ্যমে খুঁজে বের করতে হয়। ম্যাক্সিমাম-লাইকলিহুড পয়সন রিগ্রেশনের জন্য সম্ভাব্যতা তল (probability surface) সর্বদা অবতল (concave) হয়, যা নিউটন-র‍্যাফসন বা অন্যান্য গ্রেডিয়েন্ট-ভিত্তিক পদ্ধতিগুলোকে উপযুক্ত অনুমানের কৌশল হিসেবে প্রতিষ্ঠিত করে।

সহগগুলোর ব্যাখ্যা

ধরা যাক, আমাদের একটি মডেল আছে যেখানে একটি মাত্র প্রেডিক্টর রয়েছে, অর্থাৎ $n=1$:

$\log (\mathrm{E}(Y\mid \mathbf{𝐱}))=\alpha +\beta x$

ধরা যাক, আমরা $(Y_2,x_2)$ এবং $(Y_1,x_1)$ বিন্দুতে পূর্বাভাসিত মান গণনা করি:

$\log (\mathrm{E}(Y_2\mid x_2))=\alpha +\beta x_2$

$\log (\mathrm{E}(Y_1\mid x_1))=\alpha +\beta x_1$

দ্বিতীয়টি থেকে প্রথমটি বিয়োগ করে পাই:

$\log (\mathrm{E}(Y_2\mid x_2))-\log (\mathrm{E}(Y_1\mid x_1))=\beta (x_2-x_1)$

এখন ধরা যাক $x_2=x_1+1$। আমরা পাই:

$\log (\mathrm{E}(Y_2\mid x_2))-\log (\mathrm{E}(Y_1\mid x_1))=\beta$

সুতরাং, মডেলের সহগটিকে স্বাধীন চলক ১ একক বৃদ্ধি পেলে আউটকাম ভেরিয়েবলের গণনার লগারিদমের বৃদ্ধি হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয়।

লগারিদমের নিয়ম প্রয়োগ করে:

$\log \left(\frac{\mathrm{E}(Y_2\mid x_2)}{\mathrm{E}(Y_1\mid x_1)}\right)=\beta$

$\frac{\mathrm{E}(Y_2\mid x_2)}{\mathrm{E}(Y_1\mid x_1)}=e^{\beta }$

$\mathrm{E}(Y_2\mid x_2)=e^{\beta }\mathrm{E}(Y_1\mid x_1)$

অর্থাৎ, যখন স্বাধীন চলক ১ একক বৃদ্ধি পায়, তখন আউটকাম ভেরিয়েবলটি এক্সপোনেনশিয়েটেড সহগ দ্বারা গুণিত হয়।

এক্সপোনেনশিয়েটেড সহগটিকে ইনসিডেন্স রেশিও (incidence ratio)-ও বলা হয়।

গড় আংশিক প্রভাব

প্রায়শই, আগ্রহের বিষয়টি হলো গড় আংশিক প্রভাব বা গড় প্রান্তিক প্রভাব $\frac{\partial E(Y|x)}{\partial x}$, যা স্বাধীন চলক $x$-এর এক একক পরিবর্তনের জন্য আউটকাম $Y$-এর পরিবর্তন হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয়। একটি অবিচ্ছিন্ন $x$-এর জন্য পয়সন মডেলে গড় আংশিক প্রভাব নিম্নরূপ দেখানো যেতে পারে:

$\frac{\partial E(Y|x)}{\partial x}=\exp ({\theta }^{\prime }\mathbb{𝕩})\beta$

এটি পয়সন মডেল থেকে প্রাপ্ত সহগ অনুমান $\hat{\theta }=(\hat{\alpha },\hat{\beta })$ এবং $\mathbb{𝕩}$-এর পর্যবেক্ষিত মান ব্যবহার করে অনুমান করা যেতে পারে।

ম্যাক্সিমাম লাইকলিহুড-ভিত্তিক প্যারামিটার অনুমান

প্যারামিটার θ এবং ইনপুট ভেক্টর x দেওয়া থাকলে, পূর্বাভাসিত পয়সন বিন্যাসের গড়, যেমনটি উপরে বলা হয়েছে, হলো:

$\lambda :=\mathrm{E}(Y\mid x)=e^{{\theta }^{\prime }x},$

এবং সুতরাং, পয়সন বিন্যাসের প্রোবাবিলিটি মাস ফাংশন হলো:

$p(y\mid x;\theta )=\frac{{\lambda }^y}{y!}{e}^{-\lambda }=\frac{e^{y{\theta }^{\prime }x}{e}^{-e^{{\theta }^{\prime }x}}}{y!}$

এখন ধরা যাক, আমাদের কাছে m সংখ্যক ভেক্টর $x_i\in {\mathbb{ℝ}}^{n+1},i=1,\dots ,m$ এবং m সংখ্যক মান $y_1,\dots ,y_m\in \mathbb{\mathbb{N}}$ সম্বলিত একটি ডেটাসেট আছে। তাহলে, প্যারামিটার θ-এর একটি নির্দিষ্ট সেটের জন্য, এই নির্দিষ্ট ডেটাসেটটি পাওয়ার সম্ভাবনা হলো:

$p(y_1,\dots ,y_m\mid x_1,\dots ,x_m;\theta )=\prod _{i=1}^m\frac{e^{y_i{\theta }^{\prime }{x}_i}{e}^{-e^{{\theta }^{\prime }{x}_i}}}{y_i!}.$

ম্যাক্সিমাম লাইকলিহুড পদ্ধতির মাধ্যমে, আমরা প্যারামিটার θ-এর এমন একটি সেট খুঁজে বের করতে চাই যা এই সম্ভাবনাকে সর্বোচ্চ করে। এটি করার জন্য, সমীকরণটিকে প্রথমে θ-এর সাপেক্ষে একটি লাইকলিহুড ফাংশন হিসেবে পুনর্লিখন করা হয়:

$L(\theta \mid X,Y)=\prod _{i=1}^m\frac{e^{y_i{\theta }^{\prime }{x}_i}{e}^{-e^{{\theta }^{\prime }{x}_i}}}{y_i!}.$

লক্ষ্য করুন যে, সমীকরণের ডানদিকের রাশিটি আসলে পরিবর্তিত হয়নি। এই আকারের একটি সূত্র নিয়ে কাজ করা সাধারণত কঠিন; পরিবর্তে, 'লগ-লাইকলিহুড' ব্যবহার করা হয়:

$\ell (\theta \mid X,Y)=\log L(\theta \mid X,Y)=\sum _{i=1}^m(y_i{\theta }^{\prime }{x}_i-e^{{\theta }^{\prime }{x}_i}-\log (y_i!)).$

লক্ষ্য করুন যে, প্যারামিটার θ শুধুমাত্র সামেশনের প্রতিটি পদের প্রথম দুটি অংশে উপস্থিত থাকে। অতএব, যেহেতু আমরা শুধুমাত্র θ-এর সর্বোত্তম মান খুঁজে বের করতে আগ্রহী, তাই আমরা y_i!-কে বাদ দিয়ে সহজভাবে লিখতে পারি:

$\ell (\theta \mid X,Y)=\sum _{i=1}^m(y_i{\theta }^{\prime }{x}_i-e^{{\theta }^{\prime }{x}_i}).$

সর্বোচ্চ মান খুঁজে বের করার জন্য, আমাদের $\frac{\partial \ell (\theta \mid X,Y)}{\partial \theta }=0$ সমীকরণটি সমাধান করতে হবে, যার কোনো ক্লোজড-ফর্ম সমাধান নেই। তবে, নেগেটিভ লগ-লাইকলিহুড, $-\ell (\theta \mid X,Y)$, একটি উত্তল ফাংশন (convex function), তাই θ-এর সর্বোত্তম মান খুঁজে বের করার জন্য গ্রেডিয়েন্ট ডিসেন্ট-এর মতো স্ট্যান্ডার্ড কনভেক্স অপ্টিমাইজেশন কৌশল প্রয়োগ করা যেতে পারে।

বাস্তব ক্ষেত্রে পয়সন রিগ্রেশন

পয়সন রিগ্রেশন তখন উপযুক্ত হতে পারে যখন ডিপেন্ডেন্ট ভেরিয়েবলটি একটি গণনা হয়, উদাহরণস্বরূপ কল সেন্টারে টেলিফোন কল আসার মতো ঘটনাগুলোর ক্ষেত্রে। ঘটনাগুলো স্বাধীন হতে হবে, অর্থাৎ একটি কল আসার ফলে অন্য কল আসার সম্ভাবনা বাড়বে বা কমবে না, তবে প্রতি একক সময়ে ঘটনার সম্ভাবনা দিনের সময়ের মতো কোভ্যারিয়েটগুলোর সাথে সম্পর্কিত বলে ধরে নেওয়া হয়।

"এক্সপোজার" এবং অফসেট

পয়সন রিগ্রেশন রেট ডেটার জন্যও উপযুক্ত হতে পারে, যেখানে রেট হলো ঘটনার গণনাকে সেই ইউনিটের এক্সপোজার (পর্যবেক্ষণের একটি নির্দিষ্ট একক) দ্বারা ভাগ করা। উদাহরণস্বরূপ, জীববিজ্ঞানীরা একটি বনে গাছের প্রজাতির সংখ্যা গণনা করতে পারেন: ঘটনা হবে গাছের পর্যবেক্ষণ, এক্সপোজার হবে একক এলাকা এবং রেট হবে প্রতি একক এলাকায় প্রজাতির সংখ্যা। ডেমোগ্রাফাররা ভৌগোলিক এলাকায় মৃত্যুর হারকে মৃত্যুর সংখ্যাকে পার্সন-ইয়ার (person-years) দ্বারা ভাগ করে মডেল করতে পারেন। আরও সাধারণভাবে, ঘটনার হার প্রতি একক সময়ে ঘটনা হিসেবে গণনা করা যেতে পারে, যা প্রতিটি ইউনিটের জন্য পর্যবেক্ষণের সময়কাল পরিবর্তন করতে দেয়। এই উদাহরণগুলোতে, এক্সপোজার হলো যথাক্রমে একক এলাকা, পার্সন-ইয়ার এবং একক সময়। পয়সন রিগ্রেশনে এটিকে একটি অফসেট হিসেবে পরিচালনা করা হয়। যদি রেট = গণনা/এক্সপোজার হয়, তবে সমীকরণের উভয় পক্ষকে এক্সপোজার দ্বারা গুণ করলে এটি সমীকরণের ডানদিকে চলে আসে। যখন সমীকরণের উভয় পক্ষ লগ করা হয়, তখন চূড়ান্ত মডেলে লগ(এক্সপোজার) একটি পদ হিসেবে থাকে যা রিগ্রেশন সহগের সাথে যোগ করা হয়। এই লগ করা ভেরিয়েবল, লগ(এক্সপোজার)-কে অফসেট ভেরিয়েবল বলা হয় এবং এটি সমীকরণের ডানদিকে একটি প্যারামিটার অনুমান (লগ(এক্সপোজার)-এর জন্য) ১-এ সীমাবদ্ধ রেখে প্রবেশ করে।

$\log (\mathrm{E}(Y\mid x))={\theta }^{\prime }x$

যা নির্দেশ করে

$\log \left(\frac{\mathrm{E}(Y\mid x)}{\text{exposure}}\right)=\log (\mathrm{E}(Y\mid x))-\log (\text{exposure})={\theta }^{\prime }x$

$\log (\mathrm{E}(Y\mid x))={\theta }^{\prime }x+\log (\text{exposure})$

R-এ GLM-এর ক্ষেত্রে অফসেট offset() ফাংশন ব্যবহার করে অর্জন করা যায়:

glm(y ~ offset(log(exposure)) + x, family=poisson(link=log) )

ওভারডিসপারসন এবং জিরো ইনফ্লেশন

পয়সন বিন্যাসের একটি বৈশিষ্ট্য হলো এর গড় এবং ভ্যারিয়েন্স সমান। নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে, দেখা যায় যে পর্যবেক্ষিত ভ্যারিয়েন্স গড়ের চেয়ে বেশি; একে ওভারডিসপারসন (overdispersion) বলা হয় এবং এটি নির্দেশ করে যে মডেলটি উপযুক্ত নয়। এর একটি সাধারণ কারণ হলো প্রাসঙ্গিক ব্যাখ্যামূলক চলক বাদ দেওয়া বা নির্ভরশীল পর্যবেক্ষণ। কিছু পরিস্থিতিতে, ওভারডিসপারসনের সমস্যা কোয়াসি-লাইকলিহুড (quasi-likelihood) অনুমান বা নেগেটিভ বাইনোমিয়াল বিন্যাস ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে।

ভার হোয়েফ এবং বোভেং কোয়াসি-পয়সন (যাকে কোয়াসি-লাইকলিহুড সহ ওভারডিসপারসনও বলা হয়) এবং নেগেটিভ বাইনোমিয়াল (গামা-পয়সনের সমতুল্য)-এর মধ্যে পার্থক্য বর্ণনা করেছেন এভাবে: যদি E(Y) = μ হয়, তবে কোয়াসি-পয়সন মডেল ধরে নেয় var(Y) = θμ, যেখানে গামা-পয়সন ধরে নেয় var(Y) = μ(1 + κμ), যেখানে θ হলো কোয়াসি-পয়সন ওভারডিসপারসন প্যারামিটার এবং κ হলো নেগেটিভ বাইনোমিয়াল বিন্যাসের শেপ প্যারামিটার। উভয় মডেলের জন্যই প্যারামিটারগুলো ইটারেটিভলি রিওয়েটেড লিস্ট স্কোয়ারস (iteratively reweighted least squares) ব্যবহার করে অনুমান করা হয়। কোয়াসি-পয়সনের জন্য, ওজন হলো μ/θ। নেগেটিভ বাইনোমিয়ালের জন্য, ওজন হলো μ/(1 + κμ)। বড় μ এবং উল্লেখযোগ্য অতিরিক্ত-পয়সন পরিবর্তনের সাথে, নেগেটিভ বাইনোমিয়াল ওজনগুলো 1/κ-এ সীমাবদ্ধ থাকে। ভার হোয়েফ এবং বোভেং একটি উদাহরণ আলোচনা করেছেন যেখানে তারা গড় বনাম গড় স্কয়ারড রেসিডুয়াল প্লট করে দুটির মধ্যে নির্বাচন করেছিলেন।

পয়সন রিগ্রেশনের আরেকটি সাধারণ সমস্যা হলো অতিরিক্ত শূন্য (excess zeros): যদি দুটি প্রক্রিয়া কাজ করে, একটি নির্ধারণ করে যে কোনো ঘটনা ঘটবে কি না, এবং একটি পয়সন প্রক্রিয়া নির্ধারণ করে যে কয়টি ঘটনা ঘটবে, তবে পয়সন রিগ্রেশনের পূর্বাভাসের চেয়ে বেশি শূন্য থাকবে। একটি উদাহরণ হতে পারে এক ঘণ্টায় ধূমপান করা সিগারেটের বিতরণ, যেখানে কিছু ব্যক্তি অধূমপায়ী।

অন্যান্য জেনারালাইজড লিনিয়ার মডেল যেমন নেগেটিভ বাইনোমিয়াল মডেল বা জিরো-ইনফ্লেটেড মডেল এই ক্ষেত্রে আরও ভালো কাজ করতে পারে।

বিপরীতভাবে, আন্ডারডিসপারসন (underdispersion) প্যারামিটার অনুমানের জন্য সমস্যা তৈরি করতে পারে।

সার্ভাইভাল বিশ্লেষণে ব্যবহার

পয়সন রিগ্রেশন প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেল তৈরি করে, যা সার্ভাইভাল বিশ্লেষণের একটি শ্রেণি: কক্স মডেলের বর্ণনার জন্য প্রপোশনাল হ্যাজার্ডস মডেল দেখুন।

এক্সটেনশন

রেগুলারাইজড পয়সন রিগ্রেশন

পয়সন রিগ্রেশনের জন্য প্যারামিটার অনুমান করার সময়, সাধারণত এমন θ-এর মান খোঁজার চেষ্টা করা হয় যা নিম্নোক্ত আকারের অভিব্যক্তির লাইকলিহুডকে সর্বোচ্চ করে:

$\sum _{i=1}^m\log (p(y_i;e^{{\theta }^{\prime }{x}_i})),$

যেখানে m হলো ডেটাসেটের উদাহরণের সংখ্যা এবং $p(y_i;e^{{\theta }^{\prime }{x}_i})$ হলো পয়সন বিন্যাসের প্রোবাবিলিটি মাস ফাংশন, যার গড় $e^{{\theta }^{\prime }{x}_i}$-এ সেট করা হয়েছে। এই অপ্টিমাইজেশন সমস্যাটিতে রেগুলারাইজেশন যোগ করা যেতে পারে, পরিবর্তে নিম্নোক্ত মানটিকে সর্বোচ্চ করে:

$\sum _{i=1}^m\log (p(y_i;e^{{\theta }^{\prime }{x}_i}))-\lambda {\Vert \theta \Vert }_2^2,$

কিছু ধনাত্মক ধ্রুবক $\lambda$-এর জন্য। এই কৌশলটি, রিজ রিগ্রেশনের অনুরূপ, ওভারফিটিং কমাতে পারে।

আরও দেখুন

• জিরো-ইনফ্লেটেড মডেল
• পয়সন বিন্যাস
• ফিক্সড-ইফেক্ট পয়সন মডেল
• Partial likelihood methods for panel data#Pooled QMLE for Poisson models
• Control function (econometrics)#Endogeneity in Poisson regression

আরও পড়ুন

• (1998). Regression analysis of count data. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63201-0.
• Christensen, Ronald. (1997). "Log-linear models and logistic regression". Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98247-2.
• Gouriéroux, Christian. (2000). Econometrics of Qualitative Dependent Variables. 270–83. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58985-7.
• Greene, William H.. (2008). Econometric Analysis. 906–944. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-600383-0.December 2024
• Hilbe, J. M.. (2007). "Negative Binomial Regression". Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85772-7.
• Jones, Andrew M.. (2013). "Applied Health Economics". 295–341. Routledge. ISBN 978-0-415-67682-3.
• Myers, Raymond H.. (2010). "Generalized Linear Models With Applications in Engineering and the Sciences". 176–183. Wiley. ISBN 978-0-470-45463-3.

correlation

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Poisson regression” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_regression এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।