ইন্টারকোয়ার্টাইল রেঞ্জ

From LTRC
বক্সপ্লট (একটি ইন্টারকোয়ার্টাইল রেঞ্জ সহ) এবং একটি সাধারণ N(0,σ2) পপুলেশনের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন (pdf)

বর্ণনামূলক পরিসংখ্যান-এ, ইন্টারকোয়ার্টাইল রেঞ্জ (IQR) হলো পরিসংখ্যানগত বিচ্ছুরণ-এর একটি পরিমাপ, যা তথ্যের বিস্তৃতি নির্দেশ করে।[1] IQR-কে মিডস্প্রেড, মিডল ৫০%, ফোর্থ স্প্রেড বা এইচ-স্প্রেড (H-spread) নামেও ডাকা হতে পারে। এটি তথ্যের ৭৫তম এবং ২৫তম পার্সেন্টাইল-এর মধ্যবর্তী পার্থক্য হিসেবে সংজ্ঞায়িত।[2][3][4] IQR গণনা করার জন্য, ডেটাসেটটিকে রৈখিক ইন্টারপোলেশনের মাধ্যমে কোয়ার্টাইল বা চারটি র‍্যাঙ্ক-অর্ডার্ড সমান অংশে বিভক্ত করা হয়।[1] এই কোয়ার্টাইলগুলোকে Q1 (নিম্ন কোয়ার্টাইল), Q2 (মধ্যমা), এবং Q3 (উচ্চ কোয়ার্টাইল) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। নিম্ন কোয়ার্টাইল ২৫তম পার্সেন্টাইলের সাথে এবং উচ্চ কোয়ার্টাইল ৭৫তম পার্সেন্টাইলের সাথে মিলে যায়, তাই IQR = Q3 − Q1।[1]

IQR হলো ট্রিমড এস্টিমেটর-এর একটি উদাহরণ, যা ২৫% ট্রিমড রেঞ্জ হিসেবে সংজ্ঞায়িত। এটি নিম্ন অবদানকারী বা আউটলায়ার পয়েন্টগুলোকে বাদ দিয়ে ডেটাসেট পরিসংখ্যানের নির্ভুলতা বৃদ্ধি করে।[5] এটি স্কেলের শক্তিশালী পরিমাপ (Robust measures of scale) হিসেবেও ব্যবহৃত হয়।[5] এটি বক্স প্লট-এর বক্সের মাধ্যমে স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান করা যায়।[1]

ব্যবহার

মোট রেঞ্জ-এর বিপরীতে, ইন্টারকোয়ার্টাইল রেঞ্জের ব্রেকডাউন পয়েন্ট ২৫%[6] এবং তাই এটি প্রায়শই মোট রেঞ্জের চেয়ে বেশি পছন্দনীয়।

IQR বক্স প্লট তৈরির জন্য ব্যবহৃত হয়, যা একটি সম্ভাব্যতা বিন্যাস-এর সহজ গ্রাফিক্যাল উপস্থাপনা।

ব্যবসায়িক ক্ষেত্রে আয়ের হার নির্দেশক হিসেবে IQR ব্যবহৃত হয়।

একটি প্রতিসম বিন্যাসের জন্য (যেখানে মধ্যমা এবং মিডহিঞ্জ—প্রথম ও তৃতীয় কোয়ার্টাইলের গড়—সমান), IQR-এর অর্ধেক হলো মধ্যমা পরম বিচ্যুতি (MAD)।

মধ্যমা হলো কেন্দ্রীয় প্রবণতা-এর সংশ্লিষ্ট পরিমাপ।

IQR আউটলায়ার শনাক্ত করতে ব্যবহৃত হতে পারে (নিচে দেখুন)। IQR ডেটাসেটের স্কিউনেস বা বঙ্কিমতাও নির্দেশ করতে পারে।[1]

Quartile deviation কোয়ার্টাইল ডেভিয়েশন বা সেমি-ইন্টারকোয়ার্টাইল রেঞ্জ হলো IQR-এর অর্ধেক।[7]

অ্যালগরিদম

মানগুলোর একটি সেটের IQR উচ্চ এবং নিম্ন কোয়ার্টাইল, Q3 এবং Q1-এর পার্থক্য হিসেবে গণনা করা হয়। প্রতিটি কোয়ার্টাইল হলো একটি মধ্যমা[8] যা নিম্নরূপভাবে গণনা করা হয়।

যদি মানগুলোর সংখ্যা জোড় 2n বা বিজোড় 2n+1 হয়:

প্রথম কোয়ার্টাইল Q1 = n সংখ্যক ক্ষুদ্রতম মানের মধ্যমা
তৃতীয় কোয়ার্টাইল Q3 = n সংখ্যক বৃহত্তম মানের মধ্যমা[8]

দ্বিতীয় কোয়ার্টাইল Q2 সাধারণ মধ্যমার সমান।[8]

উদাহরণ

টেবিলে ডেটাসেট

নিচের টেবিলে ১৩টি সারি রয়েছে এবং এটি বিজোড় সংখ্যক এন্ট্রির নিয়ম অনুসরণ করে।

i x[i] মধ্যমা কোয়ার্টাইল
1 7 Q2=87
(পুরো টেবিলের মধ্যমা) 		Q1=31
(নিম্ন অর্ধাংশের মধ্যমা, সারি ১ থেকে ৬)
2 7
3 31
4 31
5 47
6 75
7 87
8 115 Q3=119
(উচ্চ অর্ধাংশের মধ্যমা, সারি ৮ থেকে ১৩)
9 116
10 119
11 119
12 155
13 177

এই টেবিলের ডেটার জন্য ইন্টারকোয়ার্টাইল রেঞ্জ হলো IQR = Q3 − Q1 = 119 - 31 = 88।

প্লেইন-টেক্সট বক্স প্লটে ডেটাসেট

                             +−−−−−+−+
               * |−−−−−−−−−−−|     | |−−−−−−−−−−−|
                             +−−−−−+−+

 +−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+   সংখ্যা রেখা
 0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10  11  12

এই বক্স প্লট-এর ডেটাসেটের জন্য:

  • নিম্ন (প্রথম) কোয়ার্টাইল Q1 = 7
  • মধ্যমা (দ্বিতীয় কোয়ার্টাইল) Q2 = 8.5
  • উচ্চ (তৃতীয়) কোয়ার্টাইল Q3 = 9
  • ইন্টারকোয়ার্টাইল রেঞ্জ, IQR = Q3 - Q1 = 2
  • নিম্ন 1.5*IQR হুইস্কার = Q1 - 1.5 * IQR = 7 - 3 = 4। (যদি ৪-এ কোনো ডেটা পয়েন্ট না থাকে, তবে ৪-এর চেয়ে বড় নিকটতম মানটি নিন।)
  • উচ্চ 1.5*IQR হুইস্কার = Q3 + 1.5 * IQR = 9 + 3 = 12। (যদি ১২-তে কোনো ডেটা পয়েন্ট না থাকে, তবে ১২-এর চেয়ে ছোট নিকটতম মানটি নিন।)
  • শেষের দুটি বুলেট পয়েন্টের প্যাটার্ন: যদি প্রকৃত কোয়ার্টাইলে কোনো ডেটা পয়েন্ট না থাকে, তবে প্রকৃত কোয়ার্টাইল থেকে কিছুটা "ভেতরের দিকে" (মধ্যমার কাছাকাছি) ডেটা পয়েন্ট ব্যবহার করুন।

এর মানে হলো 1.5*IQR হুইস্কারের দৈর্ঘ্য অসমান হতে পারে। মধ্যমা, সর্বনিম্ন, সর্বোচ্চ এবং প্রথম ও তৃতীয় কোয়ার্টাইল মিলে ফাইভ-নাম্বার সামারি গঠন করে।[9]

বিন্যাস

একটি অবিচ্ছিন্ন বিন্যাসের ইন্টারকোয়ার্টাইল রেঞ্জ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন (PDF) ইন্টিগ্রেট করে গণনা করা যায় (যা কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন বা CDF প্রদান করে)। নিম্ন কোয়ার্টাইল, Q1, হলো এমন একটি সংখ্যা যার জন্য -∞ থেকে Q1 পর্যন্ত PDF-এর ইন্টিগ্রাল ০.২৫ হয়, অন্যদিকে উচ্চ কোয়ার্টাইল, Q3, হলো এমন একটি সংখ্যা যার জন্য -∞ থেকে Q3 পর্যন্ত ইন্টিগ্রাল ০.৭৫ হয়; CDF-এর পরিপ্রেক্ষিতে, কোয়ার্টাইলগুলোকে নিম্নরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়:

Q1=CDF−1(0.25),
Q3=CDF−1(0.75),

যেখানে CDF−1 হলো কোয়ান্টাইল ফাংশন।

কিছু সাধারণ বিন্যাসের ইন্টারকোয়ার্টাইল রেঞ্জ এবং মধ্যমা নিচে দেখানো হলো:

বিন্যাস মধ্যমা IQR
নরমাল μ 2 Φ−1(0.75)σ ≈ 1.349σ ≈ (27/20)σ
ল্যাপলাস μ 2b ln(2) ≈ 1.386b
কশি μ 2γ

বিন্যাসের স্বাভাবিকতার জন্য ইন্টারকোয়ার্টাইল রেঞ্জ পরীক্ষা

একটি পপুলেশন P-এর IQR, গড় এবং স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন ব্যবহার করে একটি সহজ পরীক্ষা করা যায় যে P নরমাল বিন্যাস বা গাউসিয়ান কি না। যদি P নরমাল বিন্যাসে থাকে, তবে প্রথম কোয়ার্টাইলের স্ট্যান্ডার্ড স্কোর, z1, হলো −০.৬৭ এবং তৃতীয় কোয়ার্টাইলের স্ট্যান্ডার্ড স্কোর, z3, হলো +০.৬৭। যদি গড় = P¯ এবং স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন = σ হয়, তবে P নরমাল বিন্যাসে থাকলে প্রথম কোয়ার্টাইল হবে:

Q1=(σz1)+P¯

এবং তৃতীয় কোয়ার্টাইল হবে:

Q3=(σz3)+P¯

যদি প্রথম বা তৃতীয় কোয়ার্টাইলের প্রকৃত মান গণনা করা মান থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা হয়, তবে P নরমাল বিন্যাসে নেই। তবে, একটি নরমাল বিন্যাসকে সামান্য পরিবর্তন করেও Q1 এবং Q2-এর স্ট্যান্ডার্ড স্কোর ০.৬৭ এবং −০.৬৭ রাখা সম্ভব, যা নরমাল বিন্যাসে নেই (তাই উপরের পরীক্ষাটি ভুল পজিটিভ ফলাফল দিতে পারে)। এক্ষেত্রে Q–Q প্লট-এর মতো আরও ভালো পরীক্ষা নির্দেশিত।

আউটলায়ার

চারটি মৃদু আউটলায়ার এবং একটি চরম আউটলায়ার সহ বক্স-অ্যান্ড-হুইস্কার প্লট। এই চার্টে, আউটলায়ারগুলোকে Q3 + 1.5 IQR-এর উপরে মৃদু এবং Q3 + 3 IQR-এর উপরে চরম হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

ইন্টারকোয়ার্টাইল রেঞ্জ প্রায়শই ডেটাতে আউটলায়ার খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়। এখানে আউটলায়ারগুলোকে এমন পর্যবেক্ষণ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা Q1 − 1.5 IQR-এর নিচে বা Q3 + 1.5 IQR-এর উপরে থাকে। একটি বক্সপ্লটে, এই সীমার মধ্যে সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মানগুলো বক্সের হুইস্কার দ্বারা নির্দেশিত হয় (প্রায়শই হুইস্কারের শেষে একটি অতিরিক্ত বার থাকে) এবং যেকোনো আউটলায়ারকে পৃথক বিন্দু হিসেবে দেখানো হয়।

আরও দেখুন

  • Interdecile range
  • Midhinge
  • Probable error
  • Robust measures of scale

তথ্যসূত্র

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 (2005). A Modern Introduction to Probability and Statistics. Springer London. ISBN 978-1-85233-896-1. doi:10.1007/1-84628-168-7.
  2. ↑ (1996). Understanding Statistics. 55. Oxford University Press. ISBN 0-19-914391-9.
  3. ↑ Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae, CRC Press. 1-58488-059-7 page 18.
  4. ↑ Ross, Sheldon. (2010). "Introductory Statistics". 103–104. Elsevier. ISBN 978-0-12-374388-6.
  5. ↑ 5.0 5.1 Kaltenbach, Hans-Michael. (2012). "A concise guide to statistics". Springer. ISBN 978-3-642-23502-3.
  6. ↑ (1992). Explicit Scale Estimators with High Breakdown Point. L1-Statistical Analysis and Related Methods. 77–92.
  7. ↑ Yule, G. Udny. (1911). An Introduction to the Theory of Statistics. 147–148. Charles Griffin and Company.
  8. ↑ 8.0 8.1 8.2 Bertil., Westergren. (1988). "Beta [beta] mathematics handbook : concepts, theorems, methods, algorithms, formulas, graphs, tables". 348. Studentlitteratur. ISBN 9144250517.
  9. ↑ Dekking, Kraaikamp, Lopuhaä & Meester, pp. 235–237

বহিঃসংযোগ

descriptive

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Interquartile range” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Interquartile_range এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।

Retrieved from "https://ltrc.sciwiki.in/index.php?title=ইন্টারকোয়ার্টাইল_রেঞ্জ&oldid=3187"