Large numbers

January 2026 Large numbers (বৃহৎ সংখ্যা) হলো এমন সংখ্যা যা দৈনন্দিন জীবনে ব্যবহৃত সংখ্যার তুলনায় অনেক বড়, যেমন সাধারণ গণনা বা আর্থিক লেনদেনের ক্ষেত্রে ব্যবহৃত সংখ্যা। এই পরিমাণগুলো গণিত, বিশ্বতত্ত্ব, ক্রিপ্টোগ্রাফি এবং পরিসংখ্যান বলবিদ্যায় বিশেষভাবে দেখা যায়। গুগোলজি (Googology) এই বিশাল সংখ্যাগুলোর নামকরণের রীতি এবং বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করে।

যেহেতু বৃহৎ সংখ্যার প্রচলিত দশমিক বিন্যাস অনেক দীর্ঘ হতে পারে, তাই সেগুলোকে সংক্ষিপ্ত আকারে প্রকাশের জন্য অন্যান্য পদ্ধতি উদ্ভাবন করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, একটি বিলিয়ন দশমিক বিন্যাসে ১০টি অক্ষর (১,০০০,০০০,০০০) দ্বারা প্রকাশ করা হয়, কিন্তু এক্সপোনেনশিয়াল ফরম্যাটে এটি মাত্র ৩টি অক্ষর (১০^৯) দ্বারা প্রকাশ করা যায়। একটি ট্রিলিয়ন দশমিক বিন্যাসে ১৩টি অক্ষর, কিন্তু সায়েন্টিফিক নোটেশনে মাত্র চারটি (১০^১২) অক্ষর। ব্যাপকভাবে পরিবর্তনশীল মানগুলোকে লগারিদমিক স্কেল-এর মাধ্যমে গ্রাফিক্যালি উপস্থাপন ও তুলনা করা যায়।

প্রাকৃতিক ভাষায় সংখ্যা লিখন

মূল নিবন্ধ: Names of large numbers

একটি প্রাকৃতিক ভাষা ভিত্তিক সংখ্যা পদ্ধতি সংখ্যাগুলোকে অংকের পরিবর্তে নামের মাধ্যমে প্রকাশ করে। উদাহরণস্বরূপ, কিছু পাঠকের জন্য "১,০০০,০০০,০০০" এর চেয়ে "বিলিয়ন" বোঝা সহজ হতে পারে। কখনও কখনও প্রত্যয় ব্যবহার করে একে সংক্ষিপ্ত করা হয়, যেমন ২,৩৪০,০০০,০০০ = ২.৩৪বি (B = বিলিয়ন)। কথায় প্রকাশ করলে একটি সংখ্যা অনেক দীর্ঘ হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, "২,৩৪৭,৭৮৯" হলো "দুই মিলিয়ন, তিনশ পঁয়তাল্লিশ হাজার, সাতশ উননব্বই"।

বৈজ্ঞানিক নোটেশন

বৈজ্ঞানিক নোটেশন উদ্ভাবন করা হয়েছিল বৈজ্ঞানিক গবেষণায় প্রাপ্ত বিশাল পরিসরের মানগুলোকে এমন একটি বিন্যাসে প্রকাশ করার জন্য যা প্রচলিত বিন্যাসের চেয়ে বেশি সংক্ষিপ্ত, তবুও প্রয়োজনে উচ্চ নির্ভুলতা বজায় রাখে। একটি মানকে দশমিক ভগ্নাংশ গুণ ১০-এর ঘাত হিসেবে প্রকাশ করা হয়। এই গুণকটির উদ্দেশ্য হলো দীর্ঘ শূন্যের সারি পড়ার চেয়ে পাঠযোগ্যতা সহজ করা। উদাহরণস্বরূপ, ১.০9 এক বিলিয়ন প্রকাশ করে ১-এর পরে নয়টি শূন্য। এর বিপরীতক, এক বিলিয়ন-এর এক ভাগ, হলো ১.০-9। কখনও কখনও 'e' অক্ষরটি সূচকের পরিবর্তে ব্যবহৃত হয়, উদাহরণস্বরূপ ১ বিলিয়নকে ১.০9-এর পরিবর্তে ১e৯ হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে।

উদাহরণ

• গুগোল (googol) = $10^{100}$
• সেন্টিলিয়ন (centillion) = $10^{303}$ বা $10^{600}$, সংখ্যা নামকরণের পদ্ধতির উপর নির্ভর করে
• মিলিনিলিয়ন (millinillion) = $10^{3003}$ বা $10^{6000}$, সংখ্যা নামকরণের পদ্ধতির উপর নির্ভর করে
• বৃহত্তম পরিচিত স্মিথ সংখ্যা = (১০^১০৩১−১) × (১০^৪৫৯৪ + ৩2297 + ১)^১৪৭৬ 3913210
• বৃহত্তম পরিচিত মার্সেন প্রাইম = $2^{136,279,841}-1$
• গুগোলপ্লেক্স (googolplex) = $10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}$
• স্কিউসের সংখ্যা (Skewes's numbers): প্রথমটি প্রায় $10^{10^{10^{34}}}$, দ্বিতীয়টি $10^{10^{10^{964}}}$
• গ্রাহামের সংখ্যা (Graham's number), যা পাওয়ার টাওয়ার (টেট্রেশন) ব্যবহার করেও প্রকাশ করা সম্ভব নয় তার চেয়েও বড়। তবে, এটি নথ-এর আপ-অ্যারো নোটেশন-এর স্তর ব্যবহার করে প্রকাশ করা যায়।
• ক্রুসকালের ট্রি থিওরেম হলো গ্রাফ সম্পর্কিত একটি অনুক্রম। TREE(3) গ্রাহামের সংখ্যার চেয়েও বড়।
• রেয়োর সংখ্যা (Rayo's number) হলো অগাস্টিন রেয়োর নামে নামকরণ করা একটি বিশাল সংখ্যা, যাকে বৃহত্তম নামযুক্ত সংখ্যা হিসেবে দাবি করা হয়। এটি মূলত ২০০৭ সালের ২৬ জানুয়ারি এমআইটি-তে একটি "বিগ নাম্বার ডুয়েল"-এ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল।

বাস্তব জগতের জিনিস বর্ণনা করে এমন বৃহৎ সংখ্যার উদাহরণ:

• মানবদেহে কোষের সংখ্যা, আনুমানিক ৩.৭২13, বা ৩৭.২ ট্রিলিয়ন
• কম্পিউটারের হার্ড ডিস্ক-এ বিট-এর সংখ্যা (২০২৪ সালের হিসাব অনুযায়ী সাধারণত ১–২ টিবি), প্রায় ১০^১৩, বা ১০ ট্রিলিয়ন
• মানব মস্তিষ্কে নিউরোনাল সংযোগের সংখ্যা, আনুমানিক ১০^১৪, বা ১০০ ট্রিলিয়ন
• অ্যাভোগাড্রো ধ্রুবক হলো এক মোল-এ "মৌলিক সত্তার" (সাধারণত পরমাণু বা অণু) সংখ্যা; ১২ গ্রাম কার্বন-১২-এ পরমাণুর সংখ্যা – প্রায় 6.022×10^23, বা ৬০২.২ সেক্সটিলিয়ন।
• পৃথিবীর সমগ্র জীবভর-এর মধ্যে ডিএনএ বেস পেয়ার-এর মোট সংখ্যা, বৈশ্বিক জীববৈচিত্র্য-এর একটি সম্ভাব্য অনুমান হিসেবে, 5.3 ± 3.6×10^37, বা ৫৩±৩৬ আনডেসিলিয়ন হিসেবে অনুমান করা হয়
• পৃথিবী প্রায় ৪ × ১০^৫১, বা ৪ সেক্সডেসিলিয়ন নিউক্লিয়ন নিয়ে গঠিত
• পর্যবেক্ষণযোগ্য মহাবিশ্ব-এ পরমাণুর আনুমানিক সংখ্যা (১০^৮০), বা ১০০ কুইনভিজেন্টিলিয়ন
• দাবা-র গেম-ট্রি জটিলতার নিম্ন সীমা, যা "শ্যানন সংখ্যা" নামেও পরিচিত (আনুমানিক ১০^১২০), বা ১ নভেমেট্রিজেন্টিলিয়ন। লক্ষ্য করুন যে শ্যানন সংখ্যার এই মানটি স্ট্যান্ডার্ড দাবার জন্য। গ্রান্ট অ্যাসেড্রেক্স, তাই শোগি এবং তাইকিওকু শোগির মতো বড় বোর্ডের দাবা ভেরিয়েন্টগুলোর জন্য এর মান আরও অনেক বেশি।

জ্যোতির্বিজ্ঞান সংক্রান্ত

জ্যোতির্বিজ্ঞান এবং বিশ্বতত্ত্ব-এ দৈর্ঘ্য ও সময়ের পরিমাপের ক্ষেত্রে বৃহৎ সংখ্যা দেখা যায়। উদাহরণস্বরূপ, প্রচলিত বিগ ব্যাং মডেল অনুযায়ী, মহাবিশ্বের বয়স প্রায় ১৩.৮ বিলিয়ন বছর (যা 4.355×10^17 সেকেন্ডের সমান)। পর্যবেক্ষণযোগ্য মহাবিশ্ব ৯৩ বিলিয়ন আলোকবর্ষ (প্রায় 8.8×10^26 মিটার) জুড়ে বিস্তৃত এবং এতে প্রায় 5×10^22টি নক্ষত্র রয়েছে, যা প্রায় ১২৫ বিলিয়ন গ্যালাক্সিতে সংগঠিত (হাবল স্পেস টেলিস্কোপ দ্বারা পর্যবেক্ষণ অনুযায়ী)। একটি মোটামুটি অনুমান হিসেবে, পর্যবেক্ষণযোগ্য মহাবিশ্বের মধ্যে প্রায় ×10^80টি পরমাণু রয়েছে।

কানাডার আলবার্টা বিশ্ববিদ্যালয়ের পদার্থবিজ্ঞানী ডন পেজ-এর মতে, এখন পর্যন্ত কোনো পদার্থবিজ্ঞানী কর্তৃক স্পষ্টভাবে গণনা করা দীর্ঘতম সসীম সময় হলো

$10^{10^{10^{10^{10^{1.1}}}}}\text{ বছর}$

(যা একটি কাল্পনিক বাক্সের কোয়ান্টাম অবস্থার জন্য আনুমানিক পোইনকেয়ার রিকারেন্স টাইম-এর স্কেলের সাথে মিলে যায়, যাতে পুরো মহাবিশ্বের আনুমানিক ভরের একটি ব্ল্যাক হোল রয়েছে, পর্যবেক্ষণযোগ্য হোক বা না হোক, একটি নির্দিষ্ট স্ফীতি মডেল ধরে নিয়ে যার ইনফ্ল্যাটন-এর ভর ১০^−৬ প্ল্যাঙ্ক ভর), মোটামুটি ১০^১০^১.২৮৮*১০^৩.৮৮৪ টি এই সময়টি পোইনকেয়ার রিকারেন্সের সাপেক্ষে একটি পরিসংখ্যানগত মডেল ধরে নেয়। এই সময় সম্পর্কে চিন্তা করার একটি অনেক সহজ উপায় হলো এমন একটি মডেলে যেখানে মহাবিশ্বের ইতিহাস নিজেকে পুনরাবৃত্তি করে পরিসংখ্যানগত বলবিদ্যার বৈশিষ্ট্যের কারণে; এটি সেই সময়কাল যখন এটি আবার তার বর্তমান অবস্থার সাথে কিছুটা অনুরূপ ( "অনুরূপ"-এর একটি যুক্তিসঙ্গত পছন্দের জন্য) হবে।

কম্বিনেটোরিয়াল প্রক্রিয়াগুলো আশ্চর্যজনকভাবে বড় সংখ্যার জন্ম দেয়। ফ্যাক্টোরিয়াল ফাংশন, যা বস্তুর একটি নির্দিষ্ট সেটের পারমুটেশন পরিমাপ করে, বস্তুর সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে সাথে সুপার-এক্সপোনেনশিয়ালভাবে বৃদ্ধি পায়। স্টার্লিং-এর সূত্র এই দ্রুত বৃদ্ধির জন্য একটি সুনির্দিষ্ট অ্যাসিপটোটিক প্রকাশ প্রদান করে।

পরিসংখ্যানগত বলবিদ্যায়, কম্বিনেটোরিয়াল সংখ্যাগুলো এত বিশাল মাত্রায় পৌঁছায় যে সেগুলো প্রায়শই লগারিদম ব্যবহার করে প্রকাশ করা হয়।

গডেল সংখ্যা, অ্যালগরিদমিক ইনফরমেশন থিওরি-তে বিট-স্ট্রিংয়ের অনুরূপ উপস্থাপনাগুলোর সাথে, বিশাল—এমনকি মাঝারি দৈর্ঘ্যের গাণিতিক বিবৃতির জন্যও। উল্লেখযোগ্যভাবে, কিছু প্যাথলজিক্যাল সংখ্যা সাধারণ গাণিতিক প্রস্তাবনার সাথে যুক্ত গডেল সংখ্যাকেও ছাড়িয়ে যায়।

লজিশিয়ান হার্ভে ফ্রিডম্যান খুব বড় সংখ্যার গবেষণায় গুরুত্বপূর্ণ অবদান রেখেছেন, যার মধ্যে ক্রুসকালের ট্রি থিওরেম এবং রবার্টসন-সিমুর থিওরেম সম্পর্কিত কাজ অন্তর্ভুক্ত।

"মিলিয়ন এবং বিলিয়ন"

কসমস-এর দর্শকদের "মিলিয়ন" এবং "বিলিয়ন"-এর মধ্যে পার্থক্য করতে সাহায্য করার জন্য, জ্যোতির্বিজ্ঞানী কার্ল সেগান "b"-এর ওপর জোর দিতেন। তবে, সেগান কখনও "বিলিয়নস অ্যান্ড বিলিয়নস" বলেননি। এই বাক্যাংশ এবং সেগানের সাথে জনসাধারণের সংযোগ একটি দ্য টুনাইট শো স্কেচ থেকে এসেছিল। সেগানের প্রভাবের প্যারোডি করে, জনি কারসন কৌতুক করে বলেছিলেন "বিলিয়নস অ্যান্ড বিলিয়নস"। তবে, এই বাক্যাংশটি এখন একটি হাস্যকর কাল্পনিক সংখ্যায় পরিণত হয়েছে—সেগান। Cf., সেগান ইউনিট।

লিখন পদ্ধতি

December 2022 January 2026 খুব বড় সংখ্যা লেখার একটি মানসম্মত উপায় সেগুলোকে ক্রমবর্ধমান ক্রমে সহজে সাজাতে সাহায্য করে, এবং একটি সংখ্যা অন্যটির চেয়ে কতটা বড় সে সম্পর্কে একটি ভালো ধারণা পাওয়া যায়।

সায়েন্টিফিক নোটেশনে সংখ্যা তুলনা করতে, ধরা যাক ৫×১০^৪ এবং ২×১০^৫, প্রথমে সূচকগুলো তুলনা করুন, এই ক্ষেত্রে ৫ > ৪, তাই ২×১০^৫ > ৫×১০^৪। যদি সূচকগুলো সমান হয়, তবে মেন্টিসা (বা সহগ) তুলনা করা উচিত, সুতরাং ৫×১০^৪ > ২×১০^৪ কারণ ৫ > ২।

১০ ভিত্তিক টেট্রেশন অনুক্রমটি দেয় $10\uparrow \uparrow n=10\to n\to 2=(10\uparrow {)}^{n}1$, ১০-এর সংখ্যার পাওয়ার টাওয়ার, যেখানে $(10\uparrow {)}^n$ হলো ফাংশন $f(n)=10^n$-এর একটি ফাংশনাল পাওয়ার (ফাংশনটি "-plex" প্রত্যয় দ্বারাও প্রকাশ করা হয় যেমন গুগোলপ্লেক্স, দেখুন গুগোল পরিবার)।

এগুলো খুব গোল সংখ্যা, প্রতিটি একটি সাধারণ অর্থে অর্ডার অফ ম্যাগনিটিউড প্রকাশ করে। একটি সংখ্যা কতটা বড় তা নির্দিষ্ট করার একটি স্থূল উপায় হলো এই অনুক্রমের কোন দুটি সংখ্যার মধ্যে তা নির্দিষ্ট করা।

আরও স্পষ্টভাবে, মধ্যবর্তী সংখ্যাগুলোকে $(10\uparrow {)}^{n}a$ আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে, অর্থাৎ ১০-এর একটি পাওয়ার টাওয়ার এবং শীর্ষে একটি সংখ্যা, সম্ভবত সায়েন্টিফিক নোটেশনে, যেমন $10^{10^{10^{10^{10^{4.829}}}}}=(10\uparrow {)}^{5}4.829$, একটি সংখ্যা যা $10\uparrow \uparrow 5$ এবং $10\uparrow \uparrow 6$-এর মধ্যে (লক্ষ্য করুন যে $10\uparrow \uparrow n<(10\uparrow {)}^{n}a<10\uparrow \uparrow (n+1)$ যদি $1<a<10$ হয়)। (দেখুন টেট্রেশনের বাস্তব উচ্চতায় সম্প্রসারণ)।

সুতরাং গুগোলপ্লেক্স হলো $10^{10^{100}}=(10\uparrow {)}^{2}100=(10\uparrow {)}^{3}2$।

আরেকটি উদাহরণ:

Failed to parse (unknown function "\begin{matrix}"): {\displaystyle 2 \uparrow\uparrow\uparrow 4 = \begin{matrix} \underbrace{2_{}^{2^}}}}\\ \qquad\quad\ \ \ 65,536\mbox{ টি }2\mbox{-এর কপি} \end{matrix} \approx (10\uparrow)^{65,531}(6 \times 10^{19,728}) \approx (10\uparrow)^{65,533} 4.3 } (যা $10\uparrow \uparrow 65,533$ এবং $10\uparrow \uparrow 65,534$-এর মধ্যে)

সুতরাং একটি সংখ্যার "অর্ডার অফ ম্যাগনিটিউড" (সাধারণত যা বোঝানো হয় তার চেয়ে বড় স্কেলে), ১ এবং ১০-এর মধ্যে একটি সংখ্যা পেতে কতবার (n) $lo{g}_{10}$ নিতে হয় তা দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে। সুতরাং, সংখ্যাটি $10\uparrow \uparrow n$ এবং $10\uparrow \uparrow (n+1)$-এর মধ্যে। যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে, একটি সংখ্যার আরও সুনির্দিষ্ট বর্ণনায় ১ এবং ১০-এর মধ্যে এই সংখ্যার মান, অথবা ১০ এবং ১০^১০-এর মধ্যে পূর্ববর্তী সংখ্যা (একবার কম লগারিদম নিয়ে), অথবা ০ এবং ১-এর মধ্যে পরবর্তী সংখ্যাটিও নির্দিষ্ট করে।

লক্ষ্য করুন যে

$10^{(10\uparrow {)}^{n}x}=(10\uparrow {)}^{n}10^x$

অর্থাৎ, যদি একটি সংখ্যা x একটি উপস্থাপনা $(10\uparrow {)}^{n}x$-এর জন্য খুব বড় হয়, তবে পাওয়ার টাওয়ারটি আরও একটি বড় করা যেতে পারে, x-কে log₁₀x দ্বারা প্রতিস্থাপন করে, অথবা পুরো সংখ্যার log₁₀-এর নিম্ন-টাওয়ার উপস্থাপনা থেকে x খুঁজে বের করে। যদি পাওয়ার টাওয়ারে ১০ থেকে ভিন্ন এক বা একাধিক সংখ্যা থাকে, তবে দুটি পদ্ধতি ভিন্ন ভিন্ন ফলাফলের দিকে নিয়ে যাবে, যা এই সত্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যে পাওয়ার টাওয়ারটিকে নিচে ১০ দিয়ে প্রসারিত করা এবং উপরে ১০ দিয়ে প্রসারিত করা একই নয় (তবে, অবশ্যই, একই মন্তব্য প্রযোজ্য যদি পুরো পাওয়ার টাওয়ারটি ১০ থেকে ভিন্ন একই সংখ্যার কপি নিয়ে গঠিত হয়)।

যদি টাওয়ারের উচ্চতা বড় হয়, তবে বৃহৎ সংখ্যার জন্য বিভিন্ন উপস্থাপনা উচ্চতার ক্ষেত্রেই প্রয়োগ করা যেতে পারে। যদি উচ্চতা কেবল আনুমানিকভাবে দেওয়া থাকে, তবে শীর্ষে একটি মান দেওয়া অর্থহীন, তাই ডাবল-অ্যারো নোটেশন (যেমন $10\uparrow \uparrow (7.21\times 10^8)$) ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি ডাবল অ্যারোর পরের মানটি নিজেই একটি খুব বড় সংখ্যা হয়, তবে উপরেরটি সেই মানের ক্ষেত্রে পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে প্রয়োগ করা যেতে পারে।

উদাহরণ:

$10\uparrow \uparrow 10^{10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}$ (যা $10\uparrow \uparrow \uparrow 2$ এবং $10\uparrow \uparrow \uparrow 3$-এর মধ্যে)

$10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow (10\uparrow {)}^{497}(9.73\times 10^{32})=(10\uparrow \uparrow {)}^2(10\uparrow {)}^{497}(9.73\times 10^{32})$ (যা $10\uparrow \uparrow \uparrow 4$ এবং $10\uparrow \uparrow \uparrow 5$-এর মধ্যে)

উপরের অনুরূপ, যদি $(10\uparrow )$-এর সূচকটি সঠিকভাবে দেওয়া না থাকে তবে ডানে একটি মান দেওয়া অর্থহীন, এবং $(10\uparrow )$-এর পাওয়ার নোটেশন ব্যবহার করার পরিবর্তে, $(10\uparrow \uparrow )$-এর সূচকে ১ যোগ করা সম্ভব, যেমন $(10\uparrow \uparrow {)}^3(2.8\times 10^{12})$ পাওয়ার জন্য।

যদি $(10\uparrow \uparrow )$-এর সূচকটি বড় হয়, তবে বৃহৎ সংখ্যার জন্য বিভিন্ন উপস্থাপনা এই সূচকের ক্ষেত্রেই প্রয়োগ করা যেতে পারে। যদি এই সূচকটি সঠিকভাবে দেওয়া না থাকে তবে, আবারও, ডানে একটি মান দেওয়া অর্থহীন, এবং $(10\uparrow \uparrow )$-এর পাওয়ার নোটেশন ব্যবহার করার পরিবর্তে ট্রিপল অ্যারো অপারেটর ব্যবহার করা সম্ভব, যেমন $10\uparrow \uparrow \uparrow (7.3\times 10^6)$।

যদি ট্রিপল অ্যারো অপারেটরের ডানদিকের আর্গুমেন্টটি বড় হয় তবে উপরেরটি তার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যেমন $10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow {)}^2(10\uparrow {)}^{497}(9.73\times 10^{32})$ (যা $10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 4$ এবং $10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 5$-এর মধ্যে) পাওয়া যায়। এটি পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে করা যেতে পারে, তাই ট্রিপল অ্যারো অপারেটরের একটি পাওয়ার থাকা সম্ভব।

তারপর উচ্চতর সংখ্যক অ্যারো বিশিষ্ট অপারেটরগুলোর সাথে এগিয়ে যাওয়া সম্ভব, যা ${\uparrow }^n$ হিসেবে লেখা হয়।

এই নোটেশনটিকে হাইপার অপারেটর এবং কনওয়ে চেইনড অ্যারো নোটেশন-এর সাথে তুলনা করুন:

$a{\uparrow }^{n}b$ = ( a → b → n ) = hyper(a, n + 2, b)

প্রথমটির একটি সুবিধা হলো যখন b-এর ফাংশন হিসেবে বিবেচনা করা হয়, তখন এই ফাংশনের পাওয়ারের জন্য একটি স্বাভাবিক নোটেশন থাকে (ঠিক যেমন n অ্যারো লেখার সময়): $(a{\uparrow }^n{)}^{k}b$। উদাহরণস্বরূপ:

$(10{\uparrow }^2{)}^{3}b$ = ( 10 → ( 10 → ( 10 → b → 2 ) → 2 ) → 2 )

এবং শুধুমাত্র বিশেষ ক্ষেত্রে দীর্ঘ নেস্টেড চেইন নোটেশন হ্রাস করা হয়; $b^{″}=1$-এর জন্য পাওয়া যায়:

$10{\uparrow }^{3}3=(10{\uparrow }^2{)}^{3}1$ = ( 10 → 3 → 3 )

যেহেতু b খুব বড় হতে পারে, সাধারণভাবে এটি একটি সাধারণ সায়েন্টিফিক নোটেশনের সংখ্যার শেষে $(10{\uparrow }^n{)}^{k_n}$ পাওয়ারের অনুক্রম (সঠিকভাবে দেওয়া পূর্ণসংখ্যা সূচক $k_n$ সহ) দিয়ে লেখা যেতে পারে। যখনই একটি $k_n$ সঠিকভাবে দেওয়ার জন্য খুব বড় হয়, তখন $k_{n+1}$-এর মান ১ বৃদ্ধি করা হয় এবং $(n+1{)}^{k_{n+1}}$-এর ডানদিকের সবকিছু পুনরায় লেখা হয়।

সংখ্যাগুলোকে আনুমানিকভাবে বর্ণনা করার জন্য, n-এর মানের ক্রমহ্রাসমান ক্রম থেকে বিচ্যুতি প্রয়োজন হয় না। উদাহরণস্বরূপ, $10\uparrow (10\uparrow \uparrow {)}^{5}a=(10\uparrow \uparrow {)}^{6}a$, এবং $10\uparrow (10\uparrow \uparrow \uparrow 3)=10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 10+1)\approx 10\uparrow \uparrow \uparrow 3$। সুতরাং কিছুটা বিপরীতমুখী ফলাফল পাওয়া যায় যে একটি সংখ্যা x এত বড় হতে পারে যে, এক অর্থে, x এবং ১০^x "প্রায় সমান" (বৃহৎ সংখ্যার পাটিগণিতের জন্য নিচেও দেখুন)।

যদি ঊর্ধ্বমুখী অ্যারোর সুপারস্ক্রিপ্ট বড় হয়, তবে বৃহৎ সংখ্যার জন্য বিভিন্ন উপস্থাপনা এই সুপারস্ক্রিপ্টের ক্ষেত্রেই প্রয়োগ করা যেতে পারে। যদি এই সুপারস্ক্রিপ্টটি সঠিকভাবে দেওয়া না থাকে তবে অপারেটরটিকে একটি নির্দিষ্ট পাওয়ারে উন্নীত করার বা যে মানের ওপর এটি কাজ করে তা সমন্বয় করার কোনো মানে নেই, পরিবর্তে ডানে একটি মানক মান, ধরা যাক ১০, ব্যবহার করা সহজ এবং রাশিটি একটি আনুমানিক n সহ $10{\uparrow }^{n}10=(10\to 10\to n)$-এ হ্রাস পায়। এই ধরনের সংখ্যার জন্য ঊর্ধ্বমুখী অ্যারো নোটেশন ব্যবহারের সুবিধা আর থাকে না, তাই পরিবর্তে চেইন নোটেশন ব্যবহার করা যেতে পারে।

উপরেরটি এই n-এর জন্য পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে প্রয়োগ করা যেতে পারে, তাই প্রথম অ্যারোর সুপারস্ক্রিপ্টে ${\uparrow }^n$ নোটেশন পাওয়া যায়, ইত্যাদি, অথবা একটি নেস্টেড চেইন নোটেশন, যেমন:

(10 → 10 → (10 → 10 → $3\times 10^5$) ) = $10{\uparrow }^{10{\uparrow }^{3\times 10^5}10}10$

যদি স্তরের সংখ্যা খুব বড় হয়ে যায়, তবে একটি নোটেশন ব্যবহার করা হয় যেখানে এই স্তরের সংখ্যাটিকে একটি সংখ্যা হিসেবে লেখা হয় (যেমন অনেক অ্যারো লেখার পরিবর্তে অ্যারোর সুপারস্ক্রিপ্ট ব্যবহার করা)। একটি ফাংশন $f(n)=10{\uparrow }^{n}10$ = (10 → 10 → n) প্রবর্তন করলে, এই স্তরগুলো f-এর ফাংশনাল পাওয়ারে পরিণত হয়, যা আমাদের একটি সংখ্যাকে $f^m(n)$ আকারে লিখতে দেয় যেখানে m সঠিকভাবে দেওয়া থাকে এবং n একটি পূর্ণসংখ্যা যা সঠিকভাবে দেওয়া থাকতেও পারে বা নাও থাকতে পারে (উদাহরণস্বরূপ: $f^2(3\times 10^5)$)। যদি n বড় হয়, তবে এটি প্রকাশ করার জন্য উপরের যেকোনোটি ব্যবহার করা যেতে পারে। এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে সবচেয়ে "গোল" হলো f^m(1) = (10→10→m→2) আকারেরগুলো। উদাহরণস্বরূপ, $(10\to 10\to 3\to 2)=10{\uparrow }^{10{\uparrow }^{10^{10}}10}10$

গ্রাহামের সংখ্যার সংজ্ঞা তুলনা করুন: এটি ১০-এর পরিবর্তে ৩ সংখ্যাটি ব্যবহার করে এবং ৬৪টি অ্যারো স্তর এবং শীর্ষে ৪ সংখ্যাটি রয়েছে; সুতরাং $G<3\to 3\to 65\to 2<(10\to 10\to 65\to 2)=f^{65}(1)$, কিন্তু $G<f^{64}(4)<f^{65}(1)$-ও।

যদি $f^m(n)$-এ m সঠিকভাবে দেওয়ার জন্য খুব বড় হয়, তবে একটি নির্দিষ্ট n ব্যবহার করা সম্ভব, যেমন n = ১, এবং উপরেরটি m-এর ক্ষেত্রে পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে প্রয়োগ করা, অর্থাৎ ঊর্ধ্বমুখী অ্যারোর স্তরের সংখ্যাটি নিজেই সুপারস্ক্রিপ্ট করা ঊর্ধ্বমুখী-অ্যারো নোটেশনে উপস্থাপিত হয়, ইত্যাদি। f-এর ফাংশনাল পাওয়ার নোটেশন ব্যবহার করলে এটি f-এর একাধিক স্তর দেয়। একটি ফাংশন g(n)=f^{n}(1) প্রবর্তন করলে এই স্তরগুলো g-এর ফাংশনাল পাওয়ারে পরিণত হয়, যা আমাদের একটি সংখ্যাকে $g^m(n)$ আকারে লিখতে দেয় যেখানে m সঠিকভাবে দেওয়া থাকে এবং n একটি পূর্ণসংখ্যা যা সঠিকভাবে দেওয়া থাকতেও পারে বা নাও থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি (10→10→m→3) = g^m(1) হয়। যদি n বড় হয় তবে এটি প্রকাশ করার জন্য উপরের যেকোনোটি ব্যবহার করা যেতে পারে। একইভাবে একটি ফাংশন h, ইত্যাদি প্রবর্তন করা যেতে পারে। যদি এই ধরনের অনেক ফাংশনের প্রয়োজন হয়, তবে প্রতিবার নতুন অক্ষর ব্যবহার করার পরিবর্তে সেগুলোকে সংখ্যায়িত করা যেতে পারে, যেমন সাবস্ক্রিপ্ট হিসেবে, যাতে $f_k^m(n)$ আকারের সংখ্যা থাকে যেখানে k এবং m সঠিকভাবে দেওয়া থাকে এবং n একটি পূর্ণসংখ্যা যা সঠিকভাবে দেওয়া থাকতেও পারে বা নাও থাকতে পারে। উপরের f-এর জন্য k=১, g-এর জন্য k=২, ইত্যাদি ব্যবহার করলে পাওয়া যায় (10→10→n→k) = $f_k(n)=f_{k-1}^n(1)$। যদি n বড় হয় তবে এটি প্রকাশ করার জন্য উপরের যেকোনোটি ব্যবহার করা যেতে পারে। সুতরাং ${f_k}^{m_k}$ আকারের একটি নেস্টিং পাওয়া যায় যেখানে ভিতরের দিকে k হ্রাস পায়, এবং অভ্যন্তরীণ আর্গুমেন্ট হিসেবে পাওয়ারের একটি অনুক্রম $(10{\uparrow }^n{)}^{p_n}$ থাকে n-এর হ্রাসমান মানসহ (যেখানে এই সব সংখ্যাই সঠিকভাবে দেওয়া পূর্ণসংখ্যা) এবং শেষে সাধারণ সায়েন্টিফিক নোটেশনে একটি সংখ্যা থাকে।

যখন k সঠিকভাবে দেওয়ার জন্য খুব বড় হয়, তখন সংশ্লিষ্ট সংখ্যাটিকে একটি আনুমানিক n সহ $f_n(10)$=(10→10→10→n) হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে। লক্ষ্য করুন যে অনুক্রম $10^n$=(10→n) থেকে অনুক্রম $10{\uparrow }^{n}10$=(10→10→n)-এ যাওয়ার প্রক্রিয়াটি পরেরটি থেকে অনুক্রম $f_n(10)$=(10→10→10→n)-এ যাওয়ার প্রক্রিয়ার সাথে খুব মিল: এটি চেইন নোটেশনে চেইনে ১০ উপাদান যোগ করার সাধারণ প্রক্রিয়া; এই প্রক্রিয়াটি আবারও পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে (পূর্ববর্তী বিভাগটিও দেখুন)। এই ফাংশনের পরবর্তী সংস্করণগুলোকে সংখ্যায়িত করলে একটি সংখ্যা ফাংশন ${f_{qk}}^{m_{qk}}$ ব্যবহার করে বর্ণনা করা যেতে পারে, যা লেক্সিকোগ্রাফিক্যাল অর্ডার-এ নেস্ট করা থাকে, q সবচেয়ে তাৎপর্যপূর্ণ সংখ্যা, কিন্তু q এবং k-এর জন্য হ্রাসমান ক্রমসহ; অভ্যন্তরীণ আর্গুমেন্ট হিসেবে পাওয়ারের একটি অনুক্রম $(10{\uparrow }^n{)}^{p_n}$ দেয় n-এর হ্রাসমান মানসহ (যেখানে এই সব সংখ্যাই সঠিকভাবে দেওয়া পূর্ণসংখ্যা) এবং শেষে সাধারণ সায়েন্টিফিক নোটেশনে একটি সংখ্যা থাকে।

কনওয়ে চেইনড অ্যারো নোটেশনে লেখার জন্য খুব বড় সংখ্যার ক্ষেত্রে এর আকার সেই চেইনের দৈর্ঘ্য দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ চেইনে শুধুমাত্র ১০ উপাদান ব্যবহার করে; অন্য কথায়, কেউ ১০, ১০→১০, ১০→১০→১০, .. অনুক্রমে এর অবস্থান নির্দিষ্ট করতে পারে। যদি অনুক্রমে অবস্থানটিও একটি বড় সংখ্যা হয় তবে একই কৌশল আবারও প্রয়োগ করা যেতে পারে।

অন্যান্য নোটেশন

অত্যন্ত বড় সংখ্যার জন্য কিছু নোটেশন:

• নথ-এর আপ-অ্যারো নোটেশন, হাইপারঅপারেটর, অ্যাকারম্যান ফাংশন, টেট্রেশন সহ
• কনওয়ে চেইনড অ্যারো নোটেশন
• স্টেইনহাউস-মোসার নোটেশন; বৃহৎ সংখ্যা নির্মাণের পদ্ধতি ছাড়াও, এতে বহুভুজ সহ একটি গ্রাফিক্যাল নোটেশন অন্তর্ভুক্ত। আরও প্রচলিত ফাংশন নোটেশনের মতো বিকল্প নোটেশনগুলোও একই ফাংশনের সাথে ব্যবহার করা যেতে পারে।
• ফাস্ট-গ্রোয়িং হায়ারার্কি

এই নোটেশনগুলো মূলত পূর্ণসংখ্যা ভেরিয়েবলের ফাংশন, যা সেই পূর্ণসংখ্যাগুলোর সাথে খুব দ্রুত বৃদ্ধি পায়। আর্গুমেন্ট হিসেবে বড় পূর্ণসংখ্যাসহ এই ফাংশনগুলো প্রয়োগ করে পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে আরও দ্রুত-বর্ধমান ফাংশন সহজেই তৈরি করা যেতে পারে।

একটি উল্লম্ব অ্যাসিপটোট বিশিষ্ট ফাংশন খুব বড় সংখ্যা সংজ্ঞায়িত করার ক্ষেত্রে সহায়ক নয়, যদিও ফাংশনটি খুব দ্রুত বৃদ্ধি পায়: একজনকে অ্যাসিপটোটের খুব কাছাকাছি একটি আর্গুমেন্ট সংজ্ঞায়িত করতে হয়, অর্থাৎ একটি খুব ছোট সংখ্যা ব্যবহার করতে হয়, এবং তা নির্মাণ করা একটি খুব বড় সংখ্যা নির্মাণের সমতুল্য, যেমন বিপরীতক।

বেস মানের তুলনা

নিচে ১০ থেকে ভিন্ন একটি বেস, বেস ১০০-এর প্রভাব চিত্রিত করা হলো। এটি সংখ্যার উপস্থাপনা এবং পাটিগণিতও চিত্রিত করে।

$100^{12}=10^{24}$, বেস ১০-এর সাথে সূচকটি দ্বিগুণ হয়।

$100^{100^{12}}=10^{2*10^{24}}$, একই।

$100^{100^{100^{12}}}\approx 10^{10^{2*10^{24}+0.30103}}$, সর্বোচ্চ সূচকটি দ্বিগুণ হওয়ার চেয়ে সামান্য বেশি (log₁₀2 দ্বারা বৃদ্ধি)।

• $100\uparrow \uparrow 2=10^{200}$
• $100\uparrow \uparrow 3=10^{2\times 10^{200}}$
• $100\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow {)}^2(2\times 10^{200}+0.3)=(10\uparrow {)}^2(2\times 10^{200})=(10\uparrow {)}^{3}200.3=(10\uparrow {)}^{4}2.3$
• $100\uparrow \uparrow n=(10\uparrow {)}^{n-2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow {)}^{n-1}200.3=(10\uparrow {)}^{n}2.3<10\uparrow \uparrow (n+1)$ (সুতরাং যদি n বড় হয় তবে এটি বলা যুক্তিসঙ্গত যে $100\uparrow \uparrow n$ হলো $10\uparrow \uparrow n$-এর "প্রায় সমান")
• $100\uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow {)}^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow {)}^{100}2.3$
• $100\uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow (10\uparrow {)}^{98}(2\times 10^{200})=10\uparrow \uparrow (10\uparrow {)}^{100}2.3$
• $100\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow {)}^{n-2}(10\uparrow {)}^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow \uparrow {)}^{n-2}(10\uparrow {)}^{100}2.3<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)$ (তুলনা করুন $10\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow {)}^{n-2}(10\uparrow {)}^{10}1<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)$; সুতরাং যদি n বড় হয় তবে এটি বলা যুক্তিসঙ্গত যে $100\uparrow \uparrow \uparrow n$ হলো $10\uparrow \uparrow \uparrow n$-এর "প্রায় সমান")
• $100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow {)}^{98}(10\uparrow {)}^{100}2.3$ (তুলনা করুন $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow {)}^8(10\uparrow {)}^{10}1$)
• $100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow {)}^{98}(10\uparrow {)}^{100}2.3$ (তুলনা করুন $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow {)}^8(10\uparrow {)}^{10}1$)
• $100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow {)}^{n-2}(10\uparrow \uparrow {)}^{98}(10\uparrow {)}^{100}2.3$ (তুলনা করুন $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow {)}^{n-2}(10\uparrow \uparrow {)}^8(10\uparrow {)}^{10}1$; যদি n বড় হয় তবে এটি "প্রায়" সমান)

নির্ভুলতা

$10^n$ সংখ্যাটির ক্ষেত্রে, n-এর এক একক পরিবর্তন ফলাফলকে ১০ গুণ বাড়িয়ে বা কমিয়ে দেয়। $10^{6.2\times 10^3}$-এর মতো একটি সংখ্যার ক্ষেত্রে, যেখানে ৬.২ হলো তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক ব্যবহার করে যথাযথ রাউন্ডিংয়ের ফলাফল, সেখানে সূচকের প্রকৃত মান ৫০ কম বা ৫০ বেশি হতে পারে। ফলে ফলাফলটি $10^{50}$ গুণ বড় বা ছোট হতে পারে। এটি অত্যন্ত নিম্নমানের নির্ভুলতা বলে মনে হতে পারে, কিন্তু এত বড় সংখ্যার ক্ষেত্রে একে মোটামুটি গ্রহণযোগ্য হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে (একটি বড় সংখ্যার ক্ষেত্রে বড় ত্রুটি "আপেক্ষিকভাবে ছোট" হতে পারে এবং তাই তা গ্রহণযোগ্য)।

অত্যন্ত বড় সংখ্যার জন্য

অত্যন্ত বড় সংখ্যার আসন্নমানের ক্ষেত্রে, আপেক্ষিক ত্রুটি (relative error) বড় হতে পারে, তবুও এমন একটি দৃষ্টিভঙ্গি থাকতে পারে যেখানে সংখ্যাগুলোকে "মান অনুযায়ী কাছাকাছি" বিবেচনা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, বিবেচনা করুন:

$10^{10}$ এবং $10^9$

আপেক্ষিক ত্রুটি হলো:

$1-\frac{10^9}{10^{10}}=1-\frac{1}{10}=90\mathrm{\%}$

এটি একটি বড় আপেক্ষিক ত্রুটি। তবে, কেউ লগারিদমের আপেক্ষিক ত্রুটিও বিবেচনা করতে পারেন; এই ক্ষেত্রে, লগারিদমগুলো (১০ ভিত্তিক) হলো ১০ এবং ৯, তাই লগারিদমের আপেক্ষিক ত্রুটি মাত্র ১০%।

মূল বিষয়টি হলো সূচকীয় ফাংশন (exponential function) আপেক্ষিক ত্রুটিকে ব্যাপকভাবে বৃদ্ধি করে – যদি a এবং b-এর মধ্যে সামান্য আপেক্ষিক ত্রুটি থাকে, তবে:

$10^a$ এবং $10^b$

-এর আপেক্ষিক ত্রুটি আরও বড় হবে, এবং

$10^{10^a}$ এবং $10^{10^b}$

-এর আপেক্ষিক ত্রুটি আরও অনেক বেশি হবে। তখন প্রশ্ন ওঠে: দুটি সংখ্যাকে তুলনা করার জন্য কোন স্তরের ইটারেটেড লগারিদম (iterated logarithms) ব্যবহার করা উচিত? এমন একটি দৃষ্টিভঙ্গি আছে যেখানে কেউ বিবেচনা করতে চাইতে পারেন যে:

$10^{10^{10}}$ এবং $10^{10^9}$

সংখ্যা দুটি "মান অনুযায়ী কাছাকাছি"। এই দুটি সংখ্যার মধ্যে আপেক্ষিক ত্রুটি বড়, এবং তাদের লগারিদমের মধ্যে আপেক্ষিক ত্রুটিও বড়; তবে, তাদের দ্বিতীয়-স্তরের ইটারেটেড লগারিদমের আপেক্ষিক ত্রুটি ছোট:

${\log }_{10}({\log }_{10}(10^{10^{10}}))=10$ এবং ${\log }_{10}({\log }_{10}(10^{10^9}))=9$

ইটারেটেড লগারিদমের এই ধরনের তুলনা সাধারণ, যেমন বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যাতত্ত্ব (analytic number theory)-তে দেখা যায়।

শ্রেণি

বড় সংখ্যা তুলনা করার সমস্যার একটি সমাধান হলো সংখ্যার শ্রেণি নির্ধারণ করা, যেমন রবার্ট মুনাফো (Robert Munafo) কর্তৃক উদ্ভাবিত পদ্ধতি, যা একজন সাধারণ মানুষের উপলব্ধির বিভিন্ন "স্তরের" ওপর ভিত্তি করে তৈরি। শ্রেণি ০ – শূন্য থেকে ছয় পর্যন্ত সংখ্যা – এমন সংখ্যাগুলোকে ধারণ করে যা সহজেই সাবাইটাইজ (subitize) করা যায়, অর্থাৎ, যে সংখ্যাগুলো দৈনন্দিন জীবনে খুব ঘন ঘন দেখা যায় এবং তাৎক্ষণিকভাবে তুলনাযোগ্য। শ্রেণি ১ – ছয় থেকে ১,০০০,০০০=১০⁶ পর্যন্ত সংখ্যা – এমন সংখ্যাগুলোকে ধারণ করে যাদের দশমিক প্রকাশ সহজেই সাবাইটাইজ করা যায়, অর্থাৎ, যে সংখ্যাগুলো কার্ডিনালিটি (cardinality) দ্বারা নয়, বরং দশমিক বিস্তারের দিকে "এক নজরে" তাকিয়ে সহজেই তুলনা করা যায়।

এর পরের প্রতিটি শ্রেণি এই ১০-ভিত্তিক সূচকীয়করণের পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যাতে মানুষের অস্পষ্টতার আরেকটি "পুনরাবৃত্তি" প্রভাব অনুকরণ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, শ্রেণি ৫ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ১০^1010106 এবং ১০^101010106 এর মধ্যবর্তী সংখ্যাগুলোকে অন্তর্ভুক্ত করার জন্য, যেখানে X মানুষের কাছে X²-এর থেকে আলাদা করা অসম্ভব হয়ে পড়ে (এই ধরনের X-এর ইটারেটেড লগারিদম নিলে প্রথমে log(X) এবং 2log(X)-এর মধ্যে, দ্বিতীয়ত log(log(X)) এবং 1+log(log(X))-এর মধ্যে এবং পরিশেষে একটি অত্যন্ত দীর্ঘ দশমিক বিস্তারের মধ্যে অস্পষ্টতা তৈরি হয় যার দৈর্ঘ্য সাবাইটাইজ করা সম্ভব নয়)।

আসন্ন পাটিগণিত

খুব বড় সংখ্যার ওপর প্রচলিত পাটিগণিতীয় অপারেশনগুলোর ক্ষেত্রে কিছু সাধারণ নিয়ম রয়েছে:

• দুটি খুব বড় সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল উভয়ই "প্রায়" বড় সংখ্যাটির সমান।
• $(10^a{)}^{10^b}=10^{a10^b}=10^{10^{b+{\log }_{10}a}}$

অতএব:

• একটি খুব বড় সংখ্যার ওপর খুব বড় ঘাত প্রয়োগ করলে তা নিচের দুটি মানের মধ্যে বড়টির "প্রায়" সমান হয়: প্রথম মানটি এবং ১০-এর ওপর দ্বিতীয় মানটির ঘাত। উদাহরণস্বরূপ, খুব বড় $n$-এর জন্য $n^n\approx 10^n$ (দেখুন, যেমন মেগা-এর গণনা) এবং এছাড়াও $2^n\approx 10^n$। সুতরাং $2\uparrow \uparrow 65536\approx 10\uparrow \uparrow 65533$, দেখুন টেবিল।

পদ্ধতিগতভাবে ক্রমবর্ধমান দ্রুততর অনুক্রম তৈরি

মূল নিবন্ধ: Fast-growing hierarchy

একটি কঠোরভাবে ক্রমবর্ধমান পূর্ণসংখ্যা অনুক্রম/ফাংশন $f_0(n)$ (n≥1) দেওয়া থাকলে, একটি দ্রুততর ক্রমবর্ধমান অনুক্রম $f_1(n)=f_0^n(n)$ তৈরি করা সম্ভব (যেখানে সুপারস্ক্রিপ্ট n বলতে n-তম ফাংশনাল পাওয়ার বোঝায়)। এটি যেকোনো সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে, $f_k(n)=f_{k-1}^n(n)$ ধরে, যেখানে প্রতিটি অনুক্রম আগেরটির চেয়ে অনেক দ্রুত বৃদ্ধি পায়। সুতরাং $f_{\omega }(n)=f_n(n)$ সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব, যা যেকোনো সসীম k-এর জন্য যেকোনো $f_k$-এর চেয়ে অনেক দ্রুত বৃদ্ধি পায় (এখানে ω হলো প্রথম অসীম অর্ডিনাল সংখ্যা, যা সমস্ত সসীম সংখ্যা k-এর সীমা নির্দেশ করে)। এটি ফাংশনের দ্রুত-বর্ধমান অনুক্রমের ভিত্তি, যেখানে ইনডেক্সিং সাবস্ক্রিপ্টটিকে আরও বড় অর্ডিনাল পর্যন্ত প্রসারিত করা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, f₀(n) = n + 1 দিয়ে শুরু করলে:

• f₁(n) = f₀ⁿ(n) = n + n = 2n
• f₂(n) = f₁ⁿ(n) = 2ⁿn > (2 ↑) n যখন n ≥ 2 (ব্যবহার করে Knuth up-arrow notation)
• f₃(n) = f₂ⁿ(n) > (2 ↑)ⁿ n ≥ 2 ↑² n যখন n ≥ 2
• f_k+1(n) > 2 ↑^k n যখন n ≥ 2, k < ω
• f_ω(n) = f_n(n) > 2 ↑^{n – 1} n > 2 ↑^{n − 2} (n + 3) − 3 = A(n, n) যখন n ≥ 2, যেখানে A হলো অ্যাকারম্যান ফাংশন (যার একটি ইউনিটারি সংস্করণ হলো f_ω)
• f_ω+1(64) > f_ω⁶⁴(6) > গ্রাহাম সংখ্যা (= g₆₄ অনুক্রমে সংজ্ঞায়িত যেখানে g₀ = 4, g_k+1 = 3 ↑^g_k 3)
  • এটি লক্ষ্য করলে বোঝা যায় যে f_ω(n) > 2 ↑^{n – 1} n > 3 ↑^{n – 2} 3 + 2, এবং তাই f_ω(g_k + 2) > g_k+1 + 2
• f_ω(n) > 2 ↑^{n – 1} n = (2 → n → n-1) = (2 → n → n-1 → 1) (ব্যবহার করে Conway chained arrow notation)
• f_ω+1(n) = f_ωⁿ(n) > (2 → n → n-1 → 2) (কারণ যদি g_k(n) = X → n → k হয় তবে X → n → k+1 = g_kⁿ(1))
• f_ω+k(n) > (2 → n → n-1 → k+1) > (n → n → k)
• f_ω2(n) = f_ω+n(n) > (n → n → n) = (n → n → n→ 1)
• f_ω2+k(n) > (n → n → n → k)
• f_ω3(n) > (n → n → n → n)
• f_ωk(n) > (n → n → ... → n → n) (k+1 সংখ্যক n-এর চেইন)
• f_ω²(n) = f_ωn(n) > (n → n → ... → n → n) (n+1 সংখ্যক n-এর চেইন)

কিছু অ-গণনাযোগ্য অনুক্রমে

বিজি বিভার (busy beaver) ফাংশন Σ হলো এমন একটি ফাংশনের উদাহরণ যা যেকোনো গণনাযোগ্য ফাংশনের চেয়ে দ্রুত বৃদ্ধি পায়। তুলনামূলকভাবে ছোট ইনপুটের জন্যও এর মান বিশাল। n = ১, ২, ৩, ৪, ৫-এর জন্য Σ(n)-এর মান হলো ১, ৪, ৬, ১৩, ৪০৯৮ A028444। Σ(6)-এর মান জানা নেই তবে তা অন্তত ১০↑↑১৫।

অসীম সংখ্যা

মূল নিবন্ধ: Transfinite number

আরও দেখুন: large cardinal, Mahlo cardinal, totally indescribable cardinal যদিও উপরে আলোচিত সমস্ত সংখ্যাই খুব বড়, তবুও সেগুলো সবই সসীম। গণিতের কিছু শাখা অসীম এবং ট্রান্সফাইনাইট সংখ্যা সংজ্ঞায়িত করে। উদাহরণস্বরূপ, আলেফ-নাল (aleph-null) হলো স্বাভাবিক সংখ্যার অসীম সেট-এর কার্ডিনালিটি, এবং আলেফ-ওয়ান (aleph-one) হলো পরবর্তী বৃহত্তম কার্ডিনাল সংখ্যা। $\mathfrak{𝔠}$ হলো বাস্তব সংখ্যার কন্টিনুয়ামের কার্ডিনালিটি। এই প্রস্তাবনা যে $\mathfrak{𝔠}={\mathrm{\aleph }}_1$ তা কন্টিনুয়াম হাইপোথিসিস নামে পরিচিত, যা সেট তত্ত্বের ZFC স্বতঃসিদ্ধ থেকে সত্য বা মিথ্যা কোনোটিই প্রমাণ করা সম্ভব নয়।

আরও দেখুন

• Arbitrary-precision arithmetic
• Dirac large numbers hypothesis
• Exponential growth
• History of large numbers
• Human scale
• Indefinite and fictitious numbers
• Indian numbering system
• Infinity
• Law of large numbers
• List of arbitrary-precision arithmetic software
• Long and short scales
• Myriad
• Names of large numbers
• Orders of magnitude
• Power of 10
• Power of two
• Tetration
• Rayo's number, যা ব্যাপকভাবে সর্বকালের বৃহত্তম সৃষ্ট সংখ্যা হিসেবে স্বীকৃত

বহিঃসংযোগ

• Ridiculously Huge Numbers ডেভিড মেটজলারের লেকচার সিরিজ
• Googology wiki বড় সংখ্যার জন্য নিবেদিত একটি অনলাইন এনসাইক্লোপিডিয়া এবং কমিউনিটি।

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Large numbers” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Large_numbers এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।