সসীম সেট

cs2

একটি অয়লার ডায়াগ্রাম-এ বহুভুজের একটি সসীম সেট

গণিতে, একটি সসীম সেট (finite set) হলো সসীম সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তুর একটি সংগ্রহ; এই বস্তুগুলোকে সেটের উপাদান (elements) বা সদস্য বলা হয় এবং এগুলো সাধারণত গাণিতিক বস্তু, যেমন—সংখ্যা, প্রতীক, স্থানের বিন্দু, রেখা, অন্যান্য জ্যামিতিক আকৃতি, চলক বা অন্য কোনো সেট হতে পারে।

সাধারণভাবে বলতে গেলে, একটি সসীম সেট হলো এমন একটি সেট যা নীতিগতভাবে গণনা করা সম্ভব এবং গণনা শেষ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, $$\{2,4,6,8,10\}$$ হলো পাঁচটি উপাদানবিশিষ্ট একটি সসীম সেট। একটি সসীম সেটের উপাদানের সংখ্যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা (শূন্য হতে পারে) এবং একে সেটের কার্ডিনালিটি (বা কার্ডিনাল সংখ্যা) বলা হয়। যে সেট সসীম নয়, তাকে অসীম সেট (infinite set) বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট $$\{1,2,3,\dots \}$$ একটি অসীম সেট।

সসীম সেটগুলো গণনা সংক্রান্ত গাণিতিক অধ্যয়ন, অর্থাৎ কম্বিনেটরিক্স-এ বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ। সসীম সেট সম্পর্কিত অনেক যুক্তি পিজনহোল নীতি (pigeonhole principle)-এর ওপর নির্ভর করে, যা বলে যে একটি বৃহত্তর সসীম সেট থেকে একটি ক্ষুদ্রতর সসীম সেটে কোনো ইনজেক্টিভ ফাংশন থাকতে পারে না।

সংজ্ঞা এবং পরিভাষা

স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোকে পিয়ানো স্বতঃসিদ্ধ (Peano axioms) দ্বারা বিমূর্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং সেট-তাত্ত্বিকভাবে (উদাহরণস্বরূপ, ভন নিউম্যান অর্ডিনাল দ্বারা) গঠন করা যায়। সুতরাং, আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি সেট $S$-কে সসীম বলা হয় যদি কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা $n$-এর জন্য একটি বাইজেকশন (bijection) বিদ্যমান থাকে: $$f:S\to \{1,2,\cdots ,n\}$$ যা এর উপাদানগুলো গণনার অনুরূপ। যদি $S$ একটি ফাঁকা সেট হয়, তবে $n=0$-এর জন্য শূন্য ফাংশন (empty function)-এর মাধ্যমে এটি শূন্যভাবে (vacuously) সন্তুষ্ট হয়। সংখ্যা $n$ হলো সেটের কার্ডিনালিটি, যাকে $|S|$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

যদি একটি অশূন্য সেট সসীম হয়, তবে এর উপাদানগুলোকে একটি অনুক্রম (sequence)-এ লেখা যেতে পারে: $$x_1,x_2,\dots ,x_n(x_i\in S,1\le i\le n).$$ যদি n ≥ 2 হয়, তবে এমন একাধিক অনুক্রম থাকতে পারে। কম্বিনেটরিক্স-এ, $n$ সংখ্যক উপাদানবিশিষ্ট একটি সসীম সেটকে কখনও কখনও $n$-সেট এবং $k$ সংখ্যক উপাদানবিশিষ্ট একটি উপসেট-কে $k$-উপসেট বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, $\{5,6,7\}$ সেটটি একটি 3-সেট—তিনটি উপাদানবিশিষ্ট একটি সসীম সেট—এবং $\{6,7\}$ হলো এর একটি 2-উপসেট।

এই নোটেশন $\{1,\cdots ,n\}$-কে পুনরাবৃত্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এভাবে:

$$\{1,\cdots ,n\}=\{\begin{array}{lll}\varnothing \text{ (শূন্য সেট)}& \text{যদি}& n=0\\ \{1,\cdots ,n-1\}\cup \{n\}& \text{যদি}& n\ge 1\\ \end{array}$$

মৌলিক বৈশিষ্ট্য

একটি সসীম সেট $S$-এর যেকোনো প্রকৃত উপসেট (proper subset) সসীম এবং এর উপাদান সংখ্যা S-এর চেয়ে কম। ফলস্বরূপ, একটি সসীম সেট S এবং S-এর কোনো প্রকৃত উপসেটের মধ্যে কোনো বাইজেকশন থাকতে পারে না। এই বৈশিষ্ট্যযুক্ত যেকোনো সেটকে ডেডকাইন্ড-সসীম (Dedekind-finite) বলা হয়। সেট তত্ত্ব-এর জন্য আদর্শ ZFC স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করলে, প্রতিটি ডেডকাইন্ড-সসীম সেটও সসীম হয়, কিন্তু এই সিদ্ধান্তটি শুধুমাত্র ZF (পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ বা axiom of choice ছাড়া জারমেলো-ফ্র্যাঙ্কেল স্বতঃসিদ্ধ) দ্বারা প্রমাণ করা যায় না। পছন্দের স্বতঃসিদ্ধের একটি দুর্বল সংস্করণ, গণনাযোগ্য পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ (axiom of countable choice), এই সমতা প্রমাণের জন্য যথেষ্ট।

একই কার্ডিনালিটির দুটি সসীম সেটের মধ্যে যেকোনো ইনজেক্টিভ ফাংশন একটি সারজেক্টিভ ফাংশন (সারজেকশন)-ও হয়। একইভাবে, একই কার্ডিনালিটির দুটি সসীম সেটের মধ্যে যেকোনো সারজেকশন একটি ইনজেকশনও হয়।

দুটি সসীম সেটের ইউনিয়ন সসীম, যেখানে: $$|S\cup T|\le |S|+|T|.$$

প্রকৃতপক্ষে, অন্তর্ভুক্তি-বর্জন নীতি (inclusion–exclusion principle) অনুযায়ী: $$|S\cup T|=|S|+|T|-|S\cap T|.$$ আরও সাধারণভাবে, যেকোনো সসীম সংখ্যক সসীম সেটের ইউনিয়ন সসীম। সসীম সেটের কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian product)-ও সসীম, যেখানে: $$|S\times T|=|S|\times |T|.$$ একইভাবে, সসীম সংখ্যক সসীম সেটের কার্তেসীয় গুণজ সসীম। $n$ সংখ্যক উপাদানবিশিষ্ট একটি সসীম সেটের $2^n$ সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন উপসেট থাকে। অর্থাৎ, একটি সসীম সেট S-এর পাওয়ার সেট $\mathrm{\wp }(S)$ সসীম, যার কার্ডিনালিটি $2^{|S|}$।

একটি সসীম সেটের যেকোনো উপসেট সসীম। একটি সসীম সেটের উপাদানগুলোর ওপর প্রয়োগ করা ফাংশনের মানগুলোর সেটও সসীম।

সকল সসীম সেট গণনাযোগ্য (countable), কিন্তু সকল গণনাযোগ্য সেট সসীম নয়। (তবে কিছু লেখক "গণনাযোগ্য" বলতে "গণনাযোগ্য অসীম" বোঝেন, তাই তারা সসীম সেটকে গণনাযোগ্য হিসেবে গণ্য করেন না।)

একটি সসীম সেটের ওপর মুক্ত সেমিলাটিস (free semilattice) হলো এর অশূন্য উপসেটগুলোর সেট, যেখানে সংযোগ অপারেশন (join operation) সেট ইউনিয়নের মাধ্যমে দেওয়া হয়।

সসীমতার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্তাবলী

Tarski finite

পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ ছাড়া জারমেলো-ফ্র্যাঙ্কেল সেট তত্ত্ব (ZF)-এ, নিচের শর্তগুলো সমতুল্য:

1. $S$ একটি সসীম সেট। অর্থাৎ, $S$-কে একটি নির্দিষ্ট স্বাভাবিক সংখ্যার চেয়ে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যার সেটের সাথে এক-এক চিঠিপত্রে (one-to-one correspondence) স্থাপন করা যায়।
2. (কাজিমিয়ের্জ কুরাতোভস্কি) $S$-এর এমন সব বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা শূন্য সেট থেকে শুরু করে প্রতিবার একটি করে নতুন উপাদান যোগ করার মাধ্যমে গাণিতিক আরোহী পদ্ধতি (mathematical induction) দ্বারা প্রমাণ করা যায়।
3. (পল স্ট্যাকেল) $S$-কে একটি সম্পূর্ণ ক্রম (total ordering) দেওয়া যেতে পারে যা সামনে এবং পেছনে উভয় দিকেই সু-বিন্যস্ত (well-ordered)। অর্থাৎ, $S$-এর প্রতিটি অশূন্য উপসেটের উপসেটটিতে একটি ক্ষুদ্রতম এবং একটি বৃহত্তম উপাদান থাকে।
4. $\mathrm{\wp }(\mathrm{\wp }(S))$ থেকে নিজের মধ্যে প্রতিটি এক-এক ফাংশন অনটু (onto) বা উপরিচিত্রণ। অর্থাৎ, $S$-এর পাওয়ার সেটের পাওয়ার সেটটি ডেডকাইন্ড-সসীম (নিচে দেখুন)।
5. $\mathrm{\wp }(\mathrm{\wp }(S))$ থেকে নিজের ওপর প্রতিটি সারজেক্টিভ ফাংশন এক-এক।
6. (আলফ্রেড টারস্কি) $S$-এর উপসেটগুলোর প্রতিটি অশূন্য পরিবারের অন্তর্ভুক্তির সাপেক্ষে একটি ন্যূনতম উপাদান (minimal element) থাকে। (একইভাবে, $S$-এর উপসেটগুলোর প্রতিটি অশূন্য পরিবারের অন্তর্ভুক্তির সাপেক্ষে একটি সর্বোচ্চ উপাদান (maximal element) থাকে।)
7. $S$-কে সু-বিন্যস্ত করা যায় এবং এর ওপর যেকোনো দুটি সু-বিন্যাস অর্ডার আইসোমরফিক (order isomorphic)। অন্য কথায়, $S$-এর সু-বিন্যাসগুলোর ঠিক একটি অর্ডার টাইপ (order type) থাকে।

যদি পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ (axiom of choice) ধরে নেওয়া হয় (এক্ষেত্রে গণনাযোগ্য পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ যথেষ্ট), তবে নিচের শর্তগুলো সমতুল্য:

1. $S$ একটি সসীম সেট।
2. (রিচার্ড ডেডকাইন্ড) $S$ থেকে নিজের মধ্যে প্রতিটি এক-এক ফাংশন অনটু। এই বৈশিষ্ট্যযুক্ত একটি সেটকে ডেডকাইন্ড-সসীম বলা হয়।
3. $S$ থেকে নিজের ওপর প্রতিটি সারজেক্টিভ ফাংশন এক-এক।
4. $S$ ফাঁকা অথবা $S$-এর প্রতিটি আংশিক ক্রম (partial ordering)-এ একটি সর্বোচ্চ উপাদান থাকে।

সসীমতার অন্যান্য ধারণা

পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ ছাড়া ZF সেট তত্ত্বে, একটি সেট $S$-এর জন্য সসীমতার নিচের ধারণাগুলো স্বতন্ত্র। এগুলো শক্তির ক্রমানুসারে সাজানো হয়েছে, অর্থাৎ যদি একটি সেট $S$ তালিকার কোনো মানদণ্ড পূরণ করে, তবে তা পরবর্তী সকল মানদণ্ড পূরণ করে। পছন্দের স্বতঃসিদ্ধের অনুপস্থিতিতে বিপরীতমুখী প্রভাবগুলো প্রমাণযোগ্য নয়, কিন্তু যদি পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ ধরে নেওয়া হয়, তবে এই ধারণাগুলো সমতুল্য। (লক্ষ্য করুন যে এই সংজ্ঞাগুলোর কোনোটির জন্যই সসীম অর্ডিনাল সংখ্যা-এর সেটকে আগে সংজ্ঞায়িত করার প্রয়োজন নেই; এগুলো সবই সমতা এবং সদস্যপদ সম্পর্কের ভিত্তিতে বিশুদ্ধ "সেট-তাত্ত্বিক" সংজ্ঞা, যেখানে ω জড়িত নয়।)

• I-সসীম: $S$-এর উপসেটগুলোর প্রতিটি অশূন্য সেটের একটি $\subseteq$-সর্বোচ্চ উপাদান থাকে। (এটি একটি $\subseteq$-ন্যূনতম উপাদানের অস্তিত্বের প্রয়োজনের সমতুল্য। এটি সসীমতার আদর্শ সংখ্যাসূচক ধারণারও সমতুল্য।)
• Ia-সসীম: $S$-কে দুটি সেটে বিভক্ত করার প্রতিটি পদ্ধতির জন্য, অন্তত একটি সেট I-সসীম। (এই বৈশিষ্ট্যযুক্ত একটি সেট যা I-সসীম নয়, তাকে অমরফাস সেট (amorphous set) বলা হয়।)
• II-সসীম: $S$-এর উপসেটগুলোর প্রতিটি অশূন্য $\subseteq$-মনোটোন সেটের একটি $\subseteq$-সর্বোচ্চ উপাদান থাকে।
• III-সসীম: পাওয়ার সেট $\mathrm{\wp }(S)$ ডেডকাইন্ড সসীম।
• IV-সসীম: $S$ ডেডকাইন্ড সসীম।
• V-সসীম: $|S|=0$ অথবা $2\cdot |S|>|S|$।
• VI-সসীম: $|S|=0$ অথবা $|S|=1$ অথবা $|S{|}^2>|S|$। (দেখুন টারস্কির পছন্দের উপপাদ্য।)
• VII-সসীম: $S$ I-সসীম অথবা সু-বিন্যস্তযোগ্য নয়।

সামনের দিকের প্রভাবগুলো (শক্তিশালী থেকে দুর্বল) ZF-এর মধ্যে উপপাদ্য। ZF-এ ইউর-এলিমেন্ট (urelements) সহ বিপরীতমুখী প্রভাবগুলোর পাল্টা উদাহরণ মডেল তত্ত্ব ব্যবহার করে পাওয়া যায়।

এই সসীমতার সংজ্ঞা এবং নামগুলোর অধিকাংশ (Tarski, 1954)-কে কৃতিত্ব দেন (Howard, Rubin, 1998, p. 278)। তবে, সংজ্ঞা I, II, III, IV এবং V (Tarski, 1924, pp. 49, 93)-এ উপস্থাপিত হয়েছিল, সাথে সামনের দিকের প্রভাবগুলোর প্রমাণ (বা প্রমাণের রেফারেন্স) ছিল। সেই সময়ে, পাল্টা উদাহরণ খোঁজার জন্য মডেল তত্ত্ব যথেষ্ট উন্নত ছিল না।

I-সসীম থেকে IV-সসীম পর্যন্ত প্রতিটি বৈশিষ্ট্যই ক্ষুদ্রতার একটি ধারণা, এই অর্থে যে এই ধরনের বৈশিষ্ট্যযুক্ত সেটের যেকোনো উপসেটও একই বৈশিষ্ট্য ধারণ করবে। এটি V-সসীম থেকে VII-সসীম পর্যন্ত সত্য নয় কারণ তাদের গণনাযোগ্য অসীম উপসেট থাকতে পারে।

কার্ডিনালিটির অনন্যতা

সসীম সেটের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো, উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি সেটের কার্ডিনালিটি ৪ হয়, তবে তা ৫ হতে পারে না। স্বজ্ঞাতভাবে এর অর্থ হলো একটি সেটের উপাদান সংখ্যা একই সাথে ৪ এবং ৫ হতে পারে না। তবে এটি খুব সহজে প্রমাণিত নয়। নিচের প্রমাণটি টেরেন্স টাও-এর Analysis I থেকে নেওয়া হয়েছে।(Tao, 2022, p. 59)

লেমা: যদি একটি সেট $X$-এর কার্ডিনালিটি $n\ge 1$ হয় এবং $x_0\in X$ হয়, তবে সেট $X-\{x_0\}$ (অর্থাৎ $X$ থেকে $x_0$ উপাদানটি অপসারণ করলে)-এর কার্ডিনালিটি $n-1$ হবে।

প্রমাণ: উপরের মতো $X$ দেওয়া থাকলে, যেহেতু $X$-এর কার্ডিনালিটি $n$, তাই $X$ থেকে $\{1,2,\dots ,n\}$-এ একটি বাইজেকশন $f$ বিদ্যমান। যেহেতু $x_0\in X$, তাই $\{1,2,\dots ,n\}$-এ অবশ্যই কোনো সংখ্যা $f(x_0)$ থাকতে হবে। আমাদের $X-\{x_0\}$ থেকে $\{1,\dots n-1\}$-এ একটি বাইজেকশন খুঁজে বের করতে হবে (যা ফাঁকা হতে পারে)। একটি ফাংশন $g$ সংজ্ঞায়িত করি যেখানে $g(x)=f(x_0)$ যদি $f(x)=n$ হয়, এবং অন্যথায় $g(x)=f(x)$। তাহলে $g$ হলো $X-\{x_0\}$ থেকে $\{1,\dots n-1\}$-এ একটি বাইজেকশন।

উপপাদ্য: যদি একটি সেট $X$-এর কার্ডিনালিটি $n$ হয়, তবে এর অন্য কোনো কার্ডিনালিটি থাকতে পারে না। অর্থাৎ, $X$-এর কার্ডিনালিটি $m\ne n$ হতে পারে না।

প্রমাণ: যদি $X$ ফাঁকা হয় (কার্ডিনালিটি ০), তবে $X$ থেকে কোনো অশূন্য সেট $Y$-এ বাইজেকশন থাকতে পারে না, কারণ শূন্যভাবে, $y_0\in Y$-এর সাথে কিছুই ম্যাপ করতে পারে না। আরোহী পদ্ধতি দ্বারা ধরে নিই যে ফলাফলটি $n$ কার্ডিনালিটি পর্যন্ত প্রমাণিত হয়েছে। যদি $X$-এর কার্ডিনালিটি $n+1$ হয়, তবে ধরে নিই এর কার্ডিনালিটি $m$-ও। আমাদের দেখাতে হবে যে $m=n+1$। উপরের লেমা অনুযায়ী, $X-\{x_0\}$-এর কার্ডিনালিটি অবশ্যই $n$ এবং $m-1$ হতে হবে। যেহেতু আরোহী পদ্ধতি অনুযায়ী $n$ কার্ডিনালিটির সেটের জন্য কার্ডিনালিটি অনন্য, তাই অবশ্যই $m-1=n$ হবে, এবং সুতরাং $m=n+1$।

আরও দেখুন

• FinSet
• বিচ্ছিন্ন বিন্দু সেট (Discrete point set)
• অর্ডিনাল সংখ্যা
• পিয়ানো পাটিগণিত

তথ্যসূত্র

• (1974). "Mathematical Analysis". Addison-Wesley.
• (1981). "Universal Algebra". D. Reidel. ISBN 90-277-1254-9.
• Dedekind, Richard. (2012). "Was sind und was sollen die Zahlen?". Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-05038-8.
• Dedekind, Richard. (1963). Essays on the Theory of Numbers. Dover Publications Inc.. ISBN 0-486-21010-3.
• (2006). Definitions of finiteness based on order properties. Fundamenta Mathematicae. 189 (2) 155–172. doi:10.4064/fm189-2-5.
• Herrlich, Horst. (2006). "Axiom of Choice". Springer-Verlag. ISBN 3-540-30989-6.
• (1998). Consequences of the axiom of choice. American Mathematical Society. ISBN 9780821809778.
• Kuratowski, Kazimierz. (1920). Sur la notion d'ensemble fini. Fundamenta Mathematicae. 1 129–131. doi:10.4064/fm-1-1-129-131.
• (1968). "Intermediate Mathematical Analysis". Holt, Rinehart and Winston.
• Lévy, Azriel. (1958). The independence of various definitions of finiteness. Fundamenta Mathematicae. 46 1–13. doi:10.4064/fm-46-1-1-13.
• (1976). "Principles Of Mathematical Analysis". McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
• Suppes, Patrick. (1972). Axiomatic Set Theory. Dover Publications Inc.. ISBN 0-486-61630-4.
• Tao, Terence. Analysis I. Springer Science+Business Media. ISBN 978-981-19-7261-4. doi:10.1007/978-3-662-00274-2.
• Tarski, Alfred. (1924). Sur les ensembles finis. Fundamenta Mathematicae. 6 45–95. doi:10.4064/fm-6-1-45-95.
• Tarski, Alfred. (1954). "Theorems on the existence of successors of cardinals, and the axiom of choice". Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, Indagationes Math.. 16 26–32. doi:10.1016/S1385-7258(54)50005-3.
• (February 2009). "Principia Mathematica". Two. Merchant Books. ISBN 978-1-60386-183-0.

বহিঃসংযোগ

• Finite Set

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Finite set” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_set এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।