স্তরীভূত নমুনায়ন

December 2020 পরিসংখ্যানশাস্ত্রে, স্তরীভূত নমুনায়ন (stratified sampling) হলো এমন একটি নমুনায়ন পদ্ধতি, যেখানে একটি জনসংখ্যাকে বিভিন্ন উপ-জনসংখ্যায় বিভক্ত করা যায়।

স্তরীভূত নমুনায়নের উদাহরণ

পরিসংখ্যানগত জরিপে, যখন সামগ্রিক জনসংখ্যার মধ্যকার উপ-জনসংখ্যাগুলো ভিন্ন ভিন্ন প্রকৃতির হয়, তখন প্রতিটি উপ-জনসংখ্যাকে (স্তর বা stratum) স্বাধীনভাবে নমুনাভুক্ত করা সুবিধাজনক হতে পারে।

স্তরীভবন (Stratification) হলো নমুনায়ন করার আগে জনসংখ্যার সদস্যদের সমজাতীয় উপদলে বিভক্ত করার প্রক্রিয়া। স্তরগুলো এমন হওয়া উচিত যাতে তা জনসংখ্যার একটি বিভাজন তৈরি করে। অর্থাৎ, এটি সামগ্রিকভাবে সম্পূর্ণ (collectively exhaustive) এবং পরস্পর বর্জনশীল (mutually exclusive) হতে হবে: জনসংখ্যার প্রতিটি উপাদানকে অবশ্যই একটি এবং কেবল একটি স্তরেই অন্তর্ভুক্ত করতে হবে। এরপর প্রতিটি স্তরে নমুনায়ন করা হয়, উদাহরণস্বরূপ: সরল দৈব নমুনায়নের মাধ্যমে। এর উদ্দেশ্য হলো নমুনায়ন ত্রুটি কমিয়ে নমুনার নির্ভুলতা বৃদ্ধি করা। এটি এমন একটি ভারযুক্ত গড় তৈরি করতে পারে, যার পরিবর্তনশীলতা জনসংখ্যার একটি সরল দৈব নমুনার গাণিতিক গড়ের চেয়ে কম।

কম্পিউটেশনাল পরিসংখ্যানে, স্তরীভূত নমুনায়ন হলো ভেদাঙ্ক হ্রাসের একটি পদ্ধতি, যখন কোনো জানা জনসংখ্যা থেকে জনসংখ্যার পরিসংখ্যান অনুমান করার জন্য মন্টে কার্লো পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।

কৌশলসমূহ

1. সমানুপাতিক বরাদ্দ (Proportionate allocation): প্রতিটি স্তরে এমন একটি নমুনায়ন ভগ্নাংশ ব্যবহার করা হয় যা মোট জনসংখ্যার অনুপাতে থাকে। উদাহরণস্বরূপ, যদি জনসংখ্যা n সংখ্যক ব্যক্তি নিয়ে গঠিত হয়, যার মধ্যে m জন পুরুষ এবং f জন নারী (যেখানে m + f = n), তবে দুটি নমুনার আপেক্ষিক আকার (x₁ = m/n পুরুষ, x₂ = f/n নারী) এই অনুপাতকে প্রতিফলিত করবে।
2. সর্বোত্তম বরাদ্দ (Optimum allocation) (বা অসমানুপাতিক বরাদ্দ): প্রতিটি স্তরের নমুনায়ন ভগ্নাংশটি উপরের মতো অনুপাত এবং চলকের বিন্যাসের আদর্শ বিচ্যুতির সাথে সমানুপাতিক হয়। সবচেয়ে কম সম্ভাব্য সামগ্রিক নমুনায়ন ভেদাঙ্ক তৈরির জন্য যে স্তরগুলোতে পরিবর্তনশীলতা সবচেয়ে বেশি, সেখানে বৃহত্তর নমুনা নেওয়া হয়। নেইম্যান বরাদ্দ (Neyman allocation) এই ধরনের একটি কৌশল।

স্তরীভূত নমুনায়ন ব্যবহারের একটি বাস্তব উদাহরণ হলো রাজনৈতিক পরিসংখ্যানগত জরিপ। যদি উত্তরদাতাদের জনসংখ্যার বৈচিত্র্য প্রতিফলিত করার প্রয়োজন হয়, তবে গবেষক বিশেষভাবে বিভিন্ন সংখ্যালঘু গোষ্ঠীর (যেমন জাতি বা ধর্ম) অংশগ্রহণকারীদের অন্তর্ভুক্ত করার চেষ্টা করবেন, যা উপরে উল্লিখিত মোট জনসংখ্যার সাথে তাদের সমানুপাতিকতার ওপর ভিত্তি করে করা হয়। সুতরাং, একটি স্তরীভূত জরিপ দাবি করতে পারে যে এটি সরল দৈব নমুনায়ন বা পদ্ধতিগত নমুনায়নের জরিপের চেয়ে জনসংখ্যার বেশি প্রতিনিধিত্বমূলক। স্তরীভূত নমুনার আকার ব্যবহার করে অসমানুপাতিক নমুনায়ন খরচের জন্য গড় এবং ভেদাঙ্ক উভয়ই সংশোধন করা যেতে পারে।

উদাহরণ

ধরা যাক, আমাদের একটি নির্বাচনে প্রতিটি প্রার্থীর জন্য ভোটের গড় সংখ্যা অনুমান করতে হবে। ধরে নিই, একটি দেশে ৩টি শহর আছে: শহর ক-তে ১ মিলিয়ন কারখানা শ্রমিক, শহর খ-তে ২ মিলিয়ন অফিস কর্মী এবং শহর গ-তে ৩ মিলিয়ন অবসরপ্রাপ্ত ব্যক্তি আছেন। আমরা পুরো জনসংখ্যা থেকে ৬০ আকারের একটি দৈব নমুনা নিতে পারি, কিন্তু এতে কিছু সম্ভাবনা থাকে যে প্রাপ্ত দৈব নমুনাটি শহরগুলোর মধ্যে ভারসাম্যহীন হতে পারে এবং এর ফলে অনুমানে উল্লেখযোগ্য ত্রুটি দেখা দিতে পারে (যখন আগ্রহের ফলাফলের ক্ষেত্রে শহরগুলোর মধ্যে আগ্রহের প্যারামিটারের ভিন্ন ভিন্ন বিন্যাস থাকে)। এর পরিবর্তে, যদি আমরা শহর ক, খ এবং গ থেকে যথাক্রমে ১০, ২০ এবং ৩০ আকারের দৈব নমুনা নিই, তবে আমরা একই মোট নমুনার আকারের জন্য অনুমানে কম ত্রুটি তৈরি করতে পারি। এই পদ্ধতিটি সাধারণত তখন ব্যবহৃত হয় যখন জনসংখ্যা একটি সমজাতীয় গোষ্ঠী নয়।

সুবিধাসমূহ

সরল দৈব নমুনায়নের পরিবর্তে স্তরীভূত নমুনায়ন ব্যবহারের কারণগুলোর মধ্যে রয়েছে

1. যদি স্তরগুলোর মধ্যকার পরিমাপের আদর্শ বিচ্যুতি কম হয় (জনসংখ্যার সামগ্রিক আদর্শ বিচ্যুতির তুলনায়), তবে স্তরীভবন অনুমানে কম ত্রুটি দেয়।
2. অনেক অ্যাপ্লিকেশনের ক্ষেত্রে, জনসংখ্যাকে স্তরে বিভক্ত করলে পরিমাপগুলো আরও পরিচালনাযোগ্য এবং/অথবা সাশ্রয়ী হয়।
3. যখন জনসংখ্যার মধ্যকার গোষ্ঠীগুলোর জন্য জনসংখ্যার প্যারামিটারের অনুমান পাওয়ার আকাঙ্ক্ষা থাকে – স্তরীভূত নমুনায়ন নিশ্চিত করে যে আমাদের আগ্রহের স্তরগুলো থেকে পর্যাপ্ত নমুনা রয়েছে।

যদি কোনো অঞ্চলে জনসংখ্যার ঘনত্ব ব্যাপকভাবে পরিবর্তিত হয়, তবে স্তরীভূত নমুনায়ন নিশ্চিত করে যে অঞ্চলের বিভিন্ন অংশে সমান নির্ভুলতার সাথে অনুমান করা সম্ভব এবং উপ-অঞ্চলগুলোর তুলনা সমান পরিসংখ্যানগত ক্ষমতার সাথে করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, অন্টারিওতে প্রদেশজুড়ে পরিচালিত একটি জরিপে কম জনবহুল উত্তরে বৃহত্তর নমুনায়ন ভগ্নাংশ ব্যবহার করা হতে পারে, কারণ উত্তর ও দক্ষিণের জনসংখ্যার মধ্যে বৈষম্য এত বেশি যে পুরো প্রদেশের নমুনার ওপর ভিত্তি করে নমুনায়ন ভগ্নাংশ ব্যবহার করলে উত্তর থেকে খুব সামান্য তথ্য সংগ্রহ হতে পারে।

অসুবিধাসমূহ

উপদলের নমুনার আকারকে উপদলের আকারের (বা যদি উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তিত হয় তবে তাদের ভেদাঙ্কের—যেমন এফ টেস্ট ব্যবহার করে) সাথে স্কেল না করে, প্রাপ্ত তথ্যের পরিমাণের সাথে সমানুপাতিক করা এই কৌশলের একটি অপপ্রয়োগ হবে। যদি তাদের মধ্যে সন্দেহজনক পরিবর্তন স্তরীভূত নমুনায়নকে সমর্থন করে, তবে প্রতিটি উপদলকে প্রতিনিধিত্বকারী তথ্যকে সমান গুরুত্বের বলে গণ্য করা হয়। যদি উপদলের ভেদাঙ্ক উল্লেখযোগ্যভাবে ভিন্ন হয় এবং তথ্যকে ভেদাঙ্ক অনুযায়ী স্তরীভূত করার প্রয়োজন হয়, তবে প্রতিটি উপদলের নমুনার আকারকে মোট জনসংখ্যার মধ্যে উপদলের আকারের সাথে সমানুপাতিক করা সম্ভব নয়। যে গোষ্ঠীগুলোর গড়, ভেদাঙ্ক এবং খরচে ভিন্নতা রয়েছে তাদের মধ্যে নমুনায়ন সম্পদ বণ্টনের একটি কার্যকর উপায়ের জন্য, "সর্বোত্তম বরাদ্দ" দেখুন। অজানা ক্লাস প্রায়োর (পুরো জনসংখ্যায় উপ-জনসংখ্যার অনুপাত) এর ক্ষেত্রে স্তরীভূত নমুনায়নের সমস্যাটি ডেটাসেটের যেকোনো বিশ্লেষণের কর্মক্ষমতার ওপর ক্ষতিকর প্রভাব ফেলতে পারে, যেমন শ্রেণিবিন্যাস। সেই ক্ষেত্রে, ডেটাসেটটিকে অন্তর্নিহিত ডেটা তৈরির প্রক্রিয়ার অনিশ্চয়তার সাপেক্ষে শক্তিশালী করার জন্য মিনিম্যাক্স নমুনায়ন অনুপাত ব্যবহার করা যেতে পারে।

পর্যাপ্ত সংখ্যা নিশ্চিত করার জন্য উপ-স্তরগুলোকে একত্রিত করা সিম্পসনের প্যারাডক্সের দিকে নিয়ে যেতে পারে, যেখানে তথ্যের বিভিন্ন গ্রুপে বিদ্যমান প্রবণতাগুলো গ্রুপগুলোকে একত্রিত করার সময় অদৃশ্য হয়ে যায় বা এমনকি বিপরীত হয়ে যায়।

গড় এবং আদর্শ ত্রুটি

স্তরীভূত দৈব নমুনায়নের গড় এবং ভেদাঙ্ক নিচে দেওয়া হলো:

$\overline{x}=\frac{1}{N}\sum _{h=1}^L{N}_h{\overline{x}}_h$

$s_{\overline{x}}^2=\sum _{h=1}^L{\left(\frac{N_h}{N}\right)}^2\left(\frac{N_h-n_h}{N_h-1}\right)\frac{s_h^2}{n_h}$

যেখানে

$L=$স্তরের সংখ্যা

$N=$সমস্ত স্তরের আকারের সমষ্টি

$N_h=$স্তর $h$-এর আকার

${\overline{x}}_h=$স্তর $h$-এর নমুনার গড়

$n_h=$স্তর $h$-এ পর্যবেক্ষণের সংখ্যা

$s_h=$স্তর $h$-এর নমুনার আদর্শ বিচ্যুতি

লক্ষ্য করুন যে $(N_h-n_h)/(N_h-1)$ পদটি, যা $1-\frac{n_h-1}{N_h-1}$-এর সমান, তা হলো একটি সসীম জনসংখ্যা সংশোধন এবং $N_h$-কে অবশ্যই "নমুনা একক"-এ প্রকাশ করতে হবে। সসীম জনসংখ্যা সংশোধন বাদ দিলে পাওয়া যায়:

$s_{\overline{x}}^2=\sum _{h=1}^L{\left(\frac{N_h}{N}\right)}^2\frac{s_h^2}{n_h}$

যেখানে $w_h=N_h/N$ হলো স্তর $h$-এর জনসংখ্যার ওজন।

নমুনার আকার বরাদ্দ

সমানুপাতিক বরাদ্দ কৌশলের জন্য, প্রতিটি স্তরে নমুনার আকার স্তরের আকারের অনুপাতে নেওয়া হয়। ধরুন একটি কোম্পানিতে নিম্নলিখিত কর্মী রয়েছে:

• পুরুষ, পূর্ণকালীন: ৯০
• পুরুষ, খণ্ডকালীন: ১৮
• নারী, পূর্ণকালীন: ৯
• নারী, খণ্ডকালীন: ৬৩
• মোট: ১৮০

এবং আমাদের ৪০ জন কর্মীর একটি নমুনা নিতে বলা হয়েছে, যা উপরের বিভাগ অনুযায়ী স্তরীভূত।

প্রথম ধাপ হলো মোট সংখ্যার সাপেক্ষে প্রতিটি গ্রুপের শতাংশ গণনা করা।

• % পুরুষ, পূর্ণকালীন = ৯০ ÷ ১৮০ = ৫০%
• % পুরুষ, খণ্ডকালীন = ১৮ ÷ ১৮০ = ১০%
• % নারী, পূর্ণকালীন = ৯ ÷ ১৮০ = ৫%
• % নারী, খণ্ডকালীন = ৬৩ ÷ ১৮০ = ৩৫%

এটি আমাদের জানায় যে আমাদের ৪০ জনের নমুনার মধ্যে,

• ৫০% (২০ জন) পুরুষ, পূর্ণকালীন হওয়া উচিত।
• ১০% (৪ জন) পুরুষ, খণ্ডকালীন হওয়া উচিত।
• ৫% (২ জন) নারী, পূর্ণকালীন হওয়া উচিত।
• ৩৫% (১৪ জন) নারী, খণ্ডকালীন হওয়া উচিত।

শতাংশ গণনা না করে আরেকটি সহজ উপায় হলো প্রতিটি গ্রুপের আকারকে নমুনার আকার দিয়ে গুণ করা এবং মোট জনসংখ্যার আকার (পুরো কর্মীর সংখ্যা) দিয়ে ভাগ করা:

• পুরুষ, পূর্ণকালীন = ৯০ × (৪০ ÷ ১৮০) = ২০
• পুরুষ, খণ্ডকালীন = ১৮ × (৪০ ÷ ১৮০) = ৪
• নারী, পূর্ণকালীন = ৯ × (৪০ ÷ ১৮০) = ২
• নারী, খণ্ডকালীন = ৬৩ × (৪০ ÷ ১৮০) = ১৪

আরও দেখুন

• জনমত জরিপ
• মাল্টিস্টেজ নমুনায়ন
• পরিসংখ্যানগত বেঞ্চমার্কিং
• স্তরীভূত নমুনার আকার
• স্তরীভবন (ক্লিনিকাল ট্রায়াল)

আরও পড়ুন

• Särndal, Carl-Erik. (2003). "Model Assisted Survey Sampling". 100–109. Springer. ISBN 0-387-40620-4.

collection

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Stratified sampling” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Stratified_sampling এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।