ডিকি-ফুলার টেস্ট

পরিসংখ্যান-এ, ডিকি-ফুলার টেস্ট (Dickey–Fuller test) একটি অটোরেগ্রেসিভ (AR) টাইম সিরিজ মডেলে ইউনিট রুট (unit root) বিদ্যমান কি না, তা যাচাই করার জন্য নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষা করে। ব্যবহৃত পরীক্ষার সংস্করণের উপর ভিত্তি করে অল্টারনেটিভ হাইপোথিসিস ভিন্ন হতে পারে, তবে সাধারণত এটি স্টেশনারিটি বা ট্রেন্ড-স্টেশনারিটি হয়ে থাকে। এই পরীক্ষাটির নামকরণ করা হয়েছে পরিসংখ্যানবিদ ডেভিড ডিকি এবং ওয়েইন ফুলার-এর নামানুসারে, যারা ১৯৭৯ সালে এটি উদ্ভাবন করেন।

ব্যাখ্যা

একটি সাধারণ AR মডেল হলো:

$y_t=\rho y_{t-1}+u_t$

যেখানে $y_t$ হলো আগ্রহের চলক, $t$ হলো সময়ের সূচক, $\rho$ হলো একটি সহগ এবং $u_t$ হলো ত্রুটি পদ (যাকে হোয়াইট নয়েজ হিসেবে ধরা হয়)। যদি $\rho =1$ হয়, তবে একটি ইউনিট রুট বিদ্যমান। এই ক্ষেত্রে মডেলটি নন-স্টেশনারি হবে।

রিগ্রেশন মডেলটিকে এভাবে লেখা যায়:

$\mathrm{\Delta }{y}_t=(\rho -1)y_{t-1}+u_t=\delta y_{t-1}+u_t$

যেখানে $\mathrm{\Delta }$ হলো ফার্স্ট ডিফারেন্স অপারেটর এবং $\delta \equiv \rho -1$। এই মডেলটির প্রাক্কলন করা সম্ভব এবং ইউনিট রুটের জন্য পরীক্ষা করা মানেই হলো $\delta =0$ পরীক্ষা করা। যেহেতু পরীক্ষাটি মূল তথ্যের পরিবর্তে অবশিষ্টাংশ পদের উপর করা হয়, তাই ক্রিটিক্যাল ভ্যালু প্রদানের জন্য স্ট্যান্ডার্ড টি-ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহার করা সম্ভব নয়। অতএব, এই পরিসংখ্যানিক $t$-এর একটি নির্দিষ্ট বিন্যাস রয়েছে যা কেবল ডিকি-ফুলার টেবিল নামে পরিচিত।

এই পরীক্ষার তিনটি প্রধান সংস্করণ রয়েছে:

১. ইউনিট রুটের জন্য পরীক্ষা:

$\mathrm{\Delta }{y}_t=\delta y_{t-1}+u_t$

২. ধ্রুবকসহ ইউনিট রুটের জন্য পরীক্ষা:

$\mathrm{\Delta }{y}_t=a_0+\delta y_{t-1}+u_t$

৩. ধ্রুবক এবং ডিটারমিনিস্টিক টাইম ট্রেন্ডসহ ইউনিট রুটের জন্য পরীক্ষা:

$\mathrm{\Delta }{y}_t=a_0+a_{1}t+\delta y_{t-1}+u_t$

পরীক্ষার প্রতিটি সংস্করণের নিজস্ব ক্রিটিক্যাল ভ্যালু রয়েছে যা নমুনার আকারের উপর নির্ভর করে। প্রতিটি ক্ষেত্রে, নাল হাইপোথিসিস হলো যে একটি ইউনিট রুট বিদ্যমান, অর্থাৎ $\delta =0$। এই পরীক্ষাগুলোর পরিসংখ্যানগত ক্ষমতা (statistical power) কম, কারণ এগুলো প্রায়শই প্রকৃত ইউনিট-রুট প্রসেস ($\delta =0$) এবং নিয়ার ইউনিট-রুট প্রসেস ($\delta$ শূন্যের কাছাকাছি)-এর মধ্যে পার্থক্য করতে পারে না। একে "নিয়ার অবজারভেশন ইকুইভ্যালেন্স" সমস্যা বলা হয়।

এই পরীক্ষার অন্তর্নিহিত ধারণাটি নিম্নরূপ: যদি সিরিজ $y$ স্টেশনারি (বা ট্রেন্ড-স্টেশনারি) হয়, তবে এটি একটি ধ্রুবক (বা ডিটারমিনিস্টিক ট্রেন্ডিং) গড়ের দিকে ফিরে আসার প্রবণতা দেখায়। অতএব, বড় মানগুলোর পরে ছোট মান (ঋণাত্মক পরিবর্তন) এবং ছোট মানগুলোর পরে বড় মান (ধনাত্মক পরিবর্তন) আসার প্রবণতা থাকে। সেই অনুযায়ী, সিরিজের স্তরটি পরবর্তী সময়ের পরিবর্তনের একটি গুরুত্বপূর্ণ পূর্বাভাসক হবে এবং এর একটি ঋণাত্মক সহগ থাকবে। অন্যদিকে, যদি সিরিজটি ইন্টিগ্রেটেড হয়, তবে ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক পরিবর্তনগুলো এমন সম্ভাবনার সাথে ঘটবে যা সিরিজের বর্তমান স্তরের উপর নির্ভর করে না; একটি র‍্যান্ডম ওয়াক-এ, আপনি বর্তমানে কোথায় আছেন তা পরবর্তী গন্তব্যকে প্রভাবিত করে না।

এটি উল্লেখযোগ্য যে:

$\mathrm{\Delta }{y}_t=a_0+u_t$

একে এভাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারে:

$y_t=y_0+\sum _{i=1}^t{u}_i+a_{0}t$

যেখানে $a_{0}t$ থেকে একটি ডিটারমিনিস্টিক ট্রেন্ড এবং $y_0+\sum _{i=1}^t{u}_i$ থেকে একটি স্টোকাস্টিক ইন্টারসেপ্ট পদ আসে, যার ফলে একে স্টোকাস্টিক ট্রেন্ড বলা হয়।

ডিকি-ফুলার (DF) টেস্টের একটি বর্ধিত সংস্করণও রয়েছে যাকে অগমেন্টেড ডিকি-ফুলার টেস্ট (ADF) বলা হয়, যা টাইম সিরিজের সমস্ত কাঠামোগত প্রভাব (অটো কোরিলেশন) দূর করে এবং তারপর একই পদ্ধতি ব্যবহার করে পরীক্ষা চালায়।

ইন্টারসেপ্ট এবং ডিটারমিনিস্টিক টাইম ট্রেন্ড পদ অন্তর্ভুক্ত করার অনিশ্চয়তা মোকাবেলা

পরীক্ষার তিনটি প্রধান সংস্করণের মধ্যে কোনটি ব্যবহার করা উচিত তা একটি ছোটখাটো বিষয় নয়। ইউনিট রুট টেস্টের আকার (যখন ইউনিট রুট থাকে তখন নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করার সম্ভাবনা) এবং ইউনিট রুট টেস্টের ক্ষমতার (যখন ইউনিট রুট থাকে না তখন নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করার সম্ভাবনা) জন্য এই সিদ্ধান্তটি গুরুত্বপূর্ণ। ইন্টারসেপ্ট বা ডিটারমিনিস্টিক টাইম ট্রেন্ড পদটি অনুপযুক্তভাবে বাদ দিলে δ-এর সহগ প্রাক্কলনে পক্ষপাত তৈরি হয়, যার ফলে ইউনিট রুট টেস্টের প্রকৃত আকার রিপোর্ট করা আকারের সাথে মেলে না। যদি $a_0$ পদটি প্রাক্কলন করার সময় টাইম ট্রেন্ড পদটি অনুপযুক্তভাবে বাদ দেওয়া হয়, তবে ইউনিট রুট টেস্টের ক্ষমতা উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস পেতে পারে কারণ ট্রেন্ডটি র‍্যান্ডম ওয়াক উইথ ড্রিফট মডেলের মাধ্যমে ধরা পড়তে পারে। অন্যদিকে, ইন্টারসেপ্ট বা টাইম ট্রেন্ড পদটি অনুপযুক্তভাবে অন্তর্ভুক্ত করলে ইউনিট রুট টেস্টের ক্ষমতা হ্রাস পায় এবং কখনও কখনও সেই হ্রাস উল্লেখযোগ্য হতে পারে।

ইন্টারসেপ্ট এবং ডিটারমিনিস্টিক টাইম ট্রেন্ড অন্তর্ভুক্ত করা উচিত কি না সে সম্পর্কে পূর্ববর্তী জ্ঞান থাকা আদর্শ, তবে তা সবসময় সম্ভব নয়। যখন এই ধরনের পূর্ববর্তী জ্ঞান থাকে না, তখন বিভিন্ন পরীক্ষার কৌশল (পর্যায়ক্রমিক পরীক্ষার সিরিজ) প্রস্তাব করা হয়েছে, যেমন দোলাদো, জেনকিনসন এবং সোসভিলা-রিভেরা (১৯৯০) এবং এন্ডারস (২০০৪) দ্বারা, প্রায়শই অটো কোরিলেশন দূর করার জন্য ADF এক্সটেনশনসহ। এল্ডার এবং কেনেডি (২০০১) একটি সহজ পরীক্ষার কৌশল উপস্থাপন করেছেন যা ইউনিট রুটের জন্য দ্বিগুণ এবং তিনগুণ পরীক্ষা এড়ায় এবং y-তে দীর্ঘমেয়াদী প্রবৃদ্ধি (বা সংকোচন) বিদ্যমান কি না সে সম্পর্কে পূর্ববর্তী জ্ঞান কীভাবে ব্যবহার করা যায় তা আলোচনা করেছেন। হ্যাকার এবং হাতেনি-জে (২০১০) এই বিষয়গুলোর উপর সিমুলেশন ফলাফল প্রদান করেছেন, যার মধ্যে এন্ডারস (২০০৪) এবং এল্ডার ও কেনেডি (২০০১)-এর ইউনিট-রুট পরীক্ষার কৌশলগুলো অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। হ্যাকার (২০১০)-এ সিমুলেশন ফলাফল উপস্থাপন করা হয়েছে যা নির্দেশ করে যে ডিকি-ফুলার কাঠামোর মধ্যে ইউনিট রুট এবং ট্রেন্ডের অবস্থা নির্ধারণে শোয়ার্জ ইনফরমেশন ক্রাইটেরিয়া-এর মতো একটি বেসিয়ান ইনফরমেশন ক্রাইটেরিয়া ব্যবহার করা কার্যকর হতে পারে।

আরও দেখুন

• KPSS টেস্ট
• ফিলিপস-পেরন টেস্ট

আরও পড়ুন

• Enders, Walter. (2010). "Applied Econometric Time Series". 206–215. Wiley. ISBN 978-0470-50539-7.
• Hatanaka, Michio. (1996). [yes Time-Series-Based Econometrics: Unit Roots and Cointegration]. 48–49. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-877353-5.

বহিঃসংযোগ

• ইউনিট-রুট পরীক্ষার জন্য পরিসংখ্যানগত টেবিল – ডিকি-ফুলার টেবিল
• এক্সেল ব্যবহার করে কীভাবে ডিকি-ফুলার টেস্ট করবেন

analysis

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Dickey–Fuller test” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Dickey–Fuller_test এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।