গণিতের ভিত্তি

May 2024

গণিতের ভিত্তি (Foundations of mathematics) হলো সেই যৌক্তিক এবং গাণিতিক কাঠামো যা স্ববিরোধী তত্ত্ব তৈরি না করেই গণিতের বিকাশ ঘটাতে সাহায্য করে এবং বিশেষত উপপাদ্য, প্রমাণ, অ্যালগরিদম ইত্যাদির নির্ভরযোগ্য ধারণা প্রদান করে। এর মধ্যে গণিতের দার্শনিক দিক এবং বাস্তবতার সাথে এই কাঠামোর সম্পর্কও অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে।

গণিতের ভিত্তির একটি চিত্ররূপ। উপপাদ্যগুলো হয় পূর্বের প্রমাণিত ফলাফল থেকে অথবা সত্য বলে গৃহীত স্বীকার্য থেকে প্রমাণ করা হয়

"গণিতের ভিত্তি" শব্দটি ১৯শ শতাব্দীর শেষের আগে প্রচলিত ছিল না, যদিও প্রাচীন গ্রিক দার্শনিকরা এরিস্টটলের যুক্তিশাস্ত্রের নামে এবং ইউক্লিডের এলিমেন্টস-এ পদ্ধতিগতভাবে প্রয়োগের মাধ্যমে প্রথম ভিত্তি স্থাপন করেছিলেন। একটি গাণিতিক দাবিকে তখনই সত্য হিসেবে গণ্য করা হয় যদি তা এমন একটি উপপাদ্য হয় যা সত্য অনুমান (premise) থেকে সিলোজিসম (যুক্তিবিদ্যা) বা অনুমান বিধি (inference rules) ব্যবহার করে প্রমাণ করা যায়, যেখানে অনুমানগুলো হয় আগে প্রমাণিত উপপাদ্য অথবা স্বতঃসিদ্ধ সত্য, যাকে স্বীকার্য (axiom) বা পোস্টুলেট বলা হয়।

১৭শ শতাব্দীতে আইজ্যাক নিউটন এবং গটফ্রিড ভিলহেল্ম লাইবনিজ কর্তৃক ইনফিনিটেসিমাল ক্যালকুলাস প্রবর্তনের আগ পর্যন্ত এই ভিত্তিগুলোকে নিশ্চিত বলে ধরে নেওয়া হতো। গণিতের এই নতুন ক্ষেত্রটিতে যুক্তির নতুন পদ্ধতি এবং নতুন মৌলিক ধারণা (অবিচ্ছিন্ন ফাংশন, অন্তরজ, লিমিট) অন্তর্ভুক্ত ছিল, যা সুপ্রতিষ্ঠিত ছিল না, কিন্তু এর ফলাফল ছিল বিস্ময়কর। যেমন, নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র থেকে গ্রহের কক্ষপথ যে উপবৃত্তাকার, তা নির্ণয় করা।

১৯শ শতাব্দীতে ইনফিনিটেসিমাল ক্যালকুলাসের মৌলিক ধারণাগুলোর, বিশেষ করে স্বাভাবিক এবং বাস্তব সংখ্যার সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা তৈরির দিকে অগ্রগতি সাধিত হয়। এটি ১৯শ শতাব্দীর শেষের দিকে আপাতদৃষ্টিতে প্যারাডক্সিক্যাল বা স্ববিরোধী গাণিতিক ফলাফলের একটি ধারার জন্ম দেয়, যা গাণিতিক ফলাফলের নির্ভরযোগ্যতা ও সত্যতার ওপর সাধারণ আস্থাকে চ্যালেঞ্জ করে। একে গণিতের ভিত্তিসংক্রান্ত সংকট (foundational crisis of mathematics) বলা হয়।

এই সংকটের সমাধানে গাণিতিক যুক্তি নামক একটি নতুন গাণিতিক শাখার উত্থান ঘটে, যার মধ্যে সেট তত্ত্ব, মডেল তত্ত্ব, প্রমাণ তত্ত্ব, গণনাযোগ্যতা এবং কম্পিউটেশনাল কমপ্লেক্সিটি তত্ত্ব অন্তর্ভুক্ত, এবং অতি সম্প্রতি, কম্পিউটার বিজ্ঞান-এর কিছু অংশও এর অন্তর্ভুক্ত হয়েছে। ২০শ শতাব্দীতে পরবর্তী আবিষ্কারগুলো গণিতের ভিত্তিকে একটি সুসংগত কাঠামোতে স্থিতিশীল করে, যা সমস্ত গণিতের জন্য বৈধ। এই কাঠামোটি স্বীকার্য পদ্ধতি (axiomatic method) এবং সেট তত্ত্বের পদ্ধতিগত ব্যবহারের ওপর ভিত্তি করে প্রতিষ্ঠিত, বিশেষত জারমেলো-ফ্র্যাঙ্কেল সেট তত্ত্ব এবং নির্বাচন স্বীকার্য (axiom of choice) সহ। টাইপ তত্ত্ব-এর ওপর ভিত্তি করে তৈরি ভিত্তিগুলোও জনপ্রিয়তা পেয়েছে এবং কম্পিউটারের প্রুফ অ্যাসিস্ট্যান্ট-এ ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

এর ফলে এটি প্রমাণিত হয় যে, মৌলিক গাণিতিক ধারণাগুলো, যেমন সংখ্যা, বিন্দু, রেখা এবং জ্যামিতিক স্থান, বাস্তবতা থেকে বিমূর্ত হিসেবে সংজ্ঞায়িত নয়, বরং মৌলিক বৈশিষ্ট্য (স্বীকার্য) থেকে সংজ্ঞায়িত। তাদের ভৌত উৎসের সাথে তাদের সামঞ্জস্য এখন আর গণিতের অংশ নয়, যদিও বাস্তবতার সাথে তাদের সম্পর্ক এখনও গাণিতিক অন্তর্দৃষ্টিকে নির্দেশিত করতে ব্যবহৃত হয়: গণিতবিদরা স্বীকার্য নির্বাচন করতে, কোন উপপাদ্যগুলো প্রমাণ করা আকর্ষণীয় তা খুঁজে বের করতে এবং সম্ভাব্য প্রমাণের ইঙ্গিত পেতে এখনও ভৌত বাস্তবতাকে ব্যবহার করেন।

প্রাচীন গ্রিস

আরও দেখুন: গ্রিক গণিত, গ্রিক দর্শন

অধিকাংশ সভ্যতা প্রধানত ব্যবহারিক প্রয়োজনে কিছু গণিত তৈরি করেছিল, যেমন গণনা (বণিকদের জন্য), জরিপ (জমির সীমানা নির্ধারণ), ছন্দশাস্ত্র, জ্যোতির্বিজ্ঞান এবং জ্যোতিষশাস্ত্র। মনে হয় যে, প্রাচীন গ্রিক দার্শনিকরাই প্রথম গণিতের প্রকৃতি এবং বাস্তব জগতের সাথে এর সম্পর্ক নিয়ে অধ্যয়ন করেছিলেন।

এলিয়ার জেনো (430 BC) বেশ কিছু প্যারাডক্স তৈরি করেছিলেন যা তিনি তার এই থিসিসকে সমর্থন করার জন্য ব্যবহার করেছিলেন যে গতি বলে কিছু নেই। এই প্যারাডক্সগুলোতে গাণিতিক অসীম জড়িত, যা সেই সময়ের গাণিতিক ভিত্তির বাইরের একটি ধারণা ছিল এবং ১৯শ শতাব্দীর শেষের আগে এটি ভালোভাবে বোঝা যায়নি।

পিথাগোরীয় গণিত স্কুল মূলত জোর দিয়েছিল যে একমাত্র সংখ্যা হলো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং স্বাভাবিক সংখ্যার অনুপাত। এই আবিষ্কার (5th century BC) যে একটি বর্গের কর্ণের সাথে তার বাহুর অনুপাত দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার অনুপাত নয়, তাদের জন্য একটি ধাক্কা ছিল যা তারা অনিচ্ছাসত্ত্বেও মেনে নিয়েছিল। এর একটি প্রমাণ হলো অমূলদ সংখ্যা-র আধুনিক পরিভাষা, যা এমন একটি সংখ্যাকে বোঝায় যা দুটি পূর্ণসংখ্যার ভাগফল নয়, কারণ "অমূলদ" (irrational) শব্দের মূল অর্থ ছিল "যুক্তিহীন" বা "যুক্তি দ্বারা প্রবেশযোগ্য নয়"।

দৈর্ঘ্যের অনুপাতগুলো মূলদ সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা যায় না—এই সত্যটি সমাধান করেছিলেন নিডাসের ইউডক্সাস (৪০৮–৩৫৫ খ্রিস্টপূর্বাব্দ), যিনি প্লেটো-র ছাত্র ছিলেন। তিনি দুটি অমূলদ অনুপাতের তুলনাকে সংশ্লিষ্ট পরিমাণের পূর্ণসংখ্যার গুণিতকের তুলনায় হ্রাস করেছিলেন। তার পদ্ধতিটি রিচার্ড ডেডকাইন্ড (১৮৩১–১৯১৬) কর্তৃক বাস্তব সংখ্যার আধুনিক সংজ্ঞায় ডেডকাইন্ড কাট-এর পদ্ধতির পূর্বাভাস দিয়েছিল; দেখুন Eudoxus of Cnidus#Eudoxus' proportions।

পোস্টেরিয়র অ্যানালিটিক্স-এ, এরিস্টটল (৩৮৪–৩২২ খ্রিস্টপূর্বাব্দ) আদি ধারণা, স্বীকার্য, পোস্টুলেট, সংজ্ঞা এবং উপপাদ্যের মাধ্যমে জ্ঞানের একটি ক্ষেত্রকে সংগঠিত করার জন্য যুক্তি নির্ধারণ করেছিলেন। এরিস্টটল এর জন্য তার অধিকাংশ উদাহরণ পাটিগণিত এবং জ্যামিতি থেকে নিয়েছিলেন এবং তার যুক্তি শতাব্দীর পর শতাব্দী ধরে গণিতের ভিত্তি হিসেবে কাজ করেছে। এই পদ্ধতিটি আধুনিক স্বীকার্য পদ্ধতি-র সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, কিন্তু একটি বড় দার্শনিক পার্থক্য রয়েছে: স্বীকার্য এবং পোস্টুলেটগুলোকে সত্য বলে ধরে নেওয়া হতো, হয় স্বতঃসিদ্ধ হিসেবে অথবা পরীক্ষা থেকে প্রাপ্ত হিসেবে, যেখানে স্বীকার্য পদ্ধতিতে প্রমাণের সঠিকতা ছাড়া অন্য কোনো সত্যতা জড়িত থাকে না। সুতরাং, এরিস্টটলের জন্য, একটি প্রমাণিত উপপাদ্য সত্য, যেখানে স্বীকার্য পদ্ধতিতে প্রমাণ কেবল বলে যে স্বীকার্যগুলো উপপাদ্যের বিবৃতিকে নির্দেশ করে।

এরিস্টটলের যুক্তি ইউক্লিড-এর এলিমেন্টস-এ (৩০০ খ্রিস্টপূর্বাব্দ) তার সর্বোচ্চ শিখরে পৌঁছায়, যা উচ্চমানের কঠোরতা সম্পন্ন একটি গাণিতিক গ্রন্থ: ইউক্লিড প্রতিটি প্রস্তাবনাকে সিলোজিসম-এর শৃঙ্খল আকারে প্রদর্শন করে ন্যায্যতা প্রদান করেন (যদিও সেগুলো সবসময় কঠোরভাবে এরিস্টটলের টেমপ্লেট মেনে চলে না)। এরিস্টটলের সিলোজিস্টিক যুক্তি, ইউক্লিডের এলিমেন্টস-এর উদাহরণের সাথে, প্রাচীন গ্রিসের বৈজ্ঞানিক অর্জন হিসেবে স্বীকৃত এবং শতাব্দীর পর শতাব্দী ধরে গণিতের ভিত্তি হিসেবে রয়ে গেছে।

ইনফিনিটেসিমাল ক্যালকুলাসের আগে

মধ্যযুগ-এ, ইউক্লিডের এলিমেন্টস গণিতের জন্য একটি নিখুঁতভাবে শক্ত ভিত্তি হিসেবে দাঁড়িয়ে ছিল এবং গণিতের দর্শন গাণিতিক ধারণাগুলোর অন্টোলজিক্যাল অবস্থার ওপর মনোনিবেশ করেছিল; প্রশ্নটি ছিল যে, এগুলো কি উপলব্ধির বাইরে স্বাধীনভাবে বিদ্যমান (বাস্তববাদ) নাকি কেবল মনের মধ্যে (কনসেপচুয়ালিজম); অথবা এগুলো কি কেবল পৃথক বস্তুর সংগ্রহের নাম (নামবাদ)।

এলিমেন্টস-এ, একমাত্র যে সংখ্যাগুলো বিবেচনা করা হয় তা হলো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং দৈর্ঘ্যের অনুপাত। অ-পূর্ণসংখ্যার এই জ্যামিতিক দৃষ্টিভঙ্গি মধ্যযুগের শেষ পর্যন্ত প্রভাবশালী ছিল, যদিও বীজগণিত-এর উত্থান জ্যামিতি থেকে স্বাধীনভাবে তাদের বিবেচনা করতে পরিচালিত করেছিল, যা পরোক্ষভাবে বোঝায় যে গণিতের মৌলিক ভিত্তি রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, আল-খাওয়ারিজমি কর্তৃক প্রবর্তিত সমীকরণের রূপান্তর এবং ১৬শ শতাব্দীতে আবিষ্কৃত কিউবিক ও কোয়ার্টিক সূত্রগুলো এমন বীজগাণিতিক ম্যানিপুলেশন থেকে উদ্ভূত যার কোনো জ্যামিতিক প্রতিরূপ নেই।

তবুও, এটি গণিতের ধ্রুপদী ভিত্তিকে চ্যালেঞ্জ করেনি কারণ ব্যবহৃত সংখ্যার সমস্ত বৈশিষ্ট্য তাদের জ্যামিতিক সংজ্ঞা থেকে অনুমান করা যেতে পারে।

১৬৩৭ সালে, রেনে দেকার্ত লা জিওমেট্রি প্রকাশ করেন, যেখানে তিনি দেখান যে স্থানাঙ্ক-এর মাধ্যমে জ্যামিতিকে বীজগণিতে হ্রাস করা যায়, যা একটি বিন্দুর অবস্থান নির্ধারণকারী সংখ্যা। এটি তার বলা বাস্তব সংখ্যা-গুলোকে আরও মৌলিক ভূমিকা দেয় (তার আগে, সংখ্যাগুলোকে দুটি দৈর্ঘ্যের অনুপাত হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হতো)। দেকার্তের বইটি ১৬৪৯ সালের পর বিখ্যাত হয়ে ওঠে এবং ইনফিনিটেসিমাল ক্যালকুলাস-এর পথ প্রশস্ত করে।

ইনফিনিটেসিমাল ক্যালকুলাস

ইংল্যান্ডে আইজ্যাক নিউটন (১৬৪২–১৭২৭) এবং জার্মানিতে লাইবনিজ (১৬৪৬–১৭১৬) স্বাধীনভাবে গতিশীল বিন্দু (যেমন আকাশে গ্রহ) এবং পরিবর্তনশীল পরিমাণের সাথে কাজ করার জন্য ইনফিনিটেসিমাল ক্যালকুলাস তৈরি করেন।

এর জন্য অবিচ্ছিন্ন ফাংশন, অন্তরজ এবং লিমিট-এর মতো নতুন ধারণার প্রবর্তন প্রয়োজন ছিল। যৌক্তিক উপায়ে এই ধারণাগুলোর সাথে কাজ করার জন্য, সেগুলোকে ইনফিনিটেসিমাল-এর মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল, যা হলো কাল্পনিক সংখ্যা যা শূন্যের অসীম কাছাকাছি। গণিতের ভিত্তির ওপর ইনফিনিটেসিমাল ক্যালকুলাসের শক্তিশালী প্রভাব প্রোটেস্ট্যান্ট দার্শনিক জর্জ বার্কলি (১৬৮৫–১৭৫৩)-এর একটি প্যামফ্লেট দ্বারা চিত্রিত হয়েছে, যিনি লিখেছিলেন "[ইনফিনিটেসিমাল]গুলো সসীম পরিমাণও নয়, অসীম ক্ষুদ্র পরিমাণও নয়, আবার কিছুই নয়। আমরা কি এদের মৃত পরিমাণের ভূত বলতে পারি না?"

এছাড়াও, কঠোরতার অভাব প্রায়শই উত্থাপিত হয়েছে, কারণ ইনফিনিটেসিমাল এবং সংশ্লিষ্ট ধারণাগুলো আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত ছিল না (রেখা এবং তল-ও আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত ছিল না, কিন্তু মানুষ সেগুলোর সাথে বেশি অভ্যস্ত ছিল)। বাস্তব সংখ্যা, অবিচ্ছিন্ন ফাংশন, অন্তরজ ১৯শ শতাব্দীর আগে আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত ছিল না, যেমনটা ছিল না ইউক্লিডীয় জ্যামিতি। কেবল ২০শ শতাব্দীতে ইনফিনিটেসিমালের একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে, এই প্রমাণসহ যে সম্পূর্ণ ইনফিনিটেসিমাল তাদের থেকে অনুমান করা যেতে পারে।

দৃঢ় যৌক্তিক ভিত্তির অভাব সত্ত্বেও, ইনফিনিটেসিমাল ক্যালকুলাস দ্রুত গণিতবিদদের দ্বারা গৃহীত হয় এবং এর অসংখ্য প্রয়োগ দ্বারা বৈধতা পায়; বিশেষ করে এই সত্য যে গ্রহের গতিপথ নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র থেকে অনুমান করা যায়।

১৯শ শতাব্দী

১৯শ শতাব্দীতে, গণিত অনেক দিকে দ্রুত বিকশিত হয়। যে সমস্যাগুলো বিবেচনা করা হয়েছিল তার বেশ কয়েকটি গণিতের ভিত্তির ওপর প্রশ্ন তোলে। প্রায়শই, প্রস্তাবিত সমাধানগুলো আরও প্রশ্নের দিকে পরিচালিত করে যা প্রায়শই একই সাথে দার্শনিক এবং গাণিতিক প্রকৃতির ছিল। এই সমস্ত প্রশ্ন ১৯শ শতাব্দীর শেষে এবং ২০শ শতাব্দীর শুরুতে বিতর্কের দিকে পরিচালিত করে, যাকে গণিতের ভিত্তিসংক্রান্ত সংকট বলা হয়। নিচের উপবিভাগগুলো ১৯শ শতাব্দীতে প্রকাশিত প্রধান ভিত্তিসংক্রান্ত সমস্যাগুলো বর্ণনা করে।

বাস্তব বিশ্লেষণ

আরও দেখুন: গাণিতিক বিশ্লেষণ#ইতিহাস

কোশি (১৭৮৯–১৮৫৭) ইনফিনিটেসিমাল ক্যালকুলাস-কে কঠোর ভিত্তি দেওয়ার প্রকল্প শুরু করেন। বিশেষ করে, তিনি হিউরিস্টিক নীতি প্রত্যাখ্যান করেন যাকে তিনি বীজগণিতের সাধারণতা (generality of algebra) বলতেন, যা যথাযথ প্রমাণ ছাড়াই অসীম ধারা-র ওপর বীজগাণিতিক অপারেশন-এর বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করার সমন্বয়ে গঠিত ছিল। তার কোর্স ডি'অ্যানালাইজ (১৮২১)-এ, তিনি 'খুব ছোট পরিমাণ' বিবেচনা করেছিলেন, যা বর্তমানে 'পর্যাপ্ত ছোট পরিমাণ' বলা যেতে পারে; অর্থাৎ, এমন একটি বাক্য যে "যদি x খুব ছোট হয় তবে ..." তা এভাবে বোঝা উচিত যে "এমন একটি (পর্যাপ্ত বড়) স্বাভাবিক সংখ্যা n আছে যাতে x < 1/n"। প্রমাণগুলোতে তিনি এটি এমনভাবে ব্যবহার করেছিলেন যা আধুনিক লিমিটের (ε, δ)-সংজ্ঞা-র পূর্বাভাস দিয়েছিল।

আধুনিক লিমিটের (ε, δ)-সংজ্ঞা এবং অবিচ্ছিন্ন ফাংশন প্রথম ১৮১৭ সালে বলজানো দ্বারা বিকশিত হয়েছিল, কিন্তু তা তুলনামূলকভাবে অজানা ছিল এবং কোশি সম্ভবত বলজানোর কাজ জানতেন না।

কার্ল ওয়েয়ারস্ট্রাস (১৮১৫–১৮৯৭) লিমিটের (ε, δ)-সংজ্ঞাকে আনুষ্ঠানিক রূপ দেন এবং জনপ্রিয় করেন, এবং কিছু প্যাথলজিক্যাল ফাংশন আবিষ্কার করেন যা সেই সময়ে প্যারাডক্সিক্যাল মনে হয়েছিল, যেমন অবিচ্ছিন্ন, কোথাও অন্তরীকরণযোগ্য নয় এমন ফাংশন। প্রকৃতপক্ষে, এই ধরনের ফাংশন গণনার নিয়ম বা মসৃণ গ্রাফ হিসেবে ফাংশনের পূর্ববর্তী ধারণাগুলোর সাথে সাংঘর্ষিক।

এই পর্যায়ে, ওয়েয়ারস্ট্রাস কর্তৃক সমর্থিত বিশ্লেষণের পাটিগণিতায়ন (গাণিতিক বিশ্লেষণকে পাটিগণিত এবং বীজগাণিতিক অপারেশনে হ্রাস করা) কর্মসূচিটি দুটি পয়েন্ট ছাড়া মূলত সম্পন্ন হয়েছিল।

প্রথমত, বাস্তব সংখ্যার একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞার অভাব ছিল। প্রকৃতপক্ষে, ১৮৫৮ সালে রিচার্ড ডেডকাইন্ড থেকে শুরু করে, বেশ কয়েকজন গণিতবিদ বাস্তব সংখ্যার সংজ্ঞার ওপর কাজ করেছিলেন, যার মধ্যে হারমান হ্যাঙ্কেল, চার্লস মেরায় এবং এডুয়ার্ড হেইন অন্তর্ভুক্ত, কিন্তু ১৮৭২ সালে বাস্তব সংখ্যার দুটি স্বাধীন সম্পূর্ণ সংজ্ঞা প্রকাশিত হয়: একটি ডেডকাইন্ডের দ্বারা, ডেডকাইন্ড কাট-এর মাধ্যমে; অন্যটি জর্জ ক্যান্টর-এর দ্বারা কোশি ধারা-র সমতুল্য শ্রেণী হিসেবে।

এই সংজ্ঞাগুলো দ্বারা বেশ কিছু সমস্যা অমীমাংসিত থেকে যায়, যা গণিতের ভিত্তিসংক্রান্ত সংকট-এ অবদান রাখে। প্রথমত, উভয় সংজ্ঞাই ধরে নেয় যে মূলদ সংখ্যা এবং তাই স্বাভাবিক সংখ্যা কঠোরভাবে সংজ্ঞায়িত; এটি কয়েক বছর পরে পিয়ানো স্বীকার্য-এর মাধ্যমে করা হয়েছিল। দ্বিতীয়ত, উভয় সংজ্ঞাতেই অসীম সেট জড়িত (ডেডকাইন্ড কাট এবং কোশি ধারার উপাদানের সেট), এবং ক্যান্টরের সেট তত্ত্ব কয়েক বছর পরে প্রকাশিত হয়েছিল।

তৃতীয় সমস্যাটি আরও সূক্ষ্ম: এবং এটি যুক্তির ভিত্তির সাথে সম্পর্কিত: ধ্রুপদী যুক্তি হলো একটি প্রথম-ক্রমের যুক্তি; অর্থাৎ, কোয়ান্টিফায়ারগুলো পৃথক উপাদান উপস্থাপনকারী চলকের ওপর প্রয়োগ হয়, উপাদানের (অসীম) সেট উপস্থাপনকারী চলকের ওপর নয়। বাস্তব সংখ্যা সংজ্ঞায়িত এবং ব্যবহারের জন্য প্রয়োজনীয় বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণতা-র মৌলিক বৈশিষ্ট্যটিতে অসীম সেটের ওপর একটি কোয়ান্টিফিকেশন জড়িত। প্রকৃতপক্ষে, এই বৈশিষ্ট্যটি হয় 'বাস্তব সংখ্যার প্রতিটি অসীম ধারার জন্য, যদি এটি একটি কোশি ধারা হয়, তবে এর একটি লিমিট আছে যা একটি বাস্তব সংখ্যা', অথবা 'বাস্তব সংখ্যার প্রতিটি উপসেট যা সীমাবদ্ধ, তার একটি লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা আছে যা একটি বাস্তব সংখ্যা' হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে। অসীম সেটের ওপর কোয়ান্টিফিকেশনের এই প্রয়োজনীয়তা ২০শ শতাব্দীর প্রথমার্ধে উচ্চ-ক্রমের যুক্তি-র বিকাশের অন্যতম প্রেরণা।

অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি

আরও দেখুন: অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি#ইতিহাস

১৯শ শতাব্দীর আগে, জ্যামিতির অন্যান্য স্বীকার্য থেকে সমান্তরাল স্বীকার্য (parallel postulate) আহরণের অনেক ব্যর্থ প্রচেষ্টা ছিল। এর নেতিবাচকতা একটি বিরোধের দিকে নিয়ে যায়—এটি প্রমাণ করার প্রচেষ্টায়, ইয়োহান হাইনরিখ ল্যাম্বার্ট (১৭২৮–১৭৭৭) হাইপারবোলিক জ্যামিতি তৈরি করতে শুরু করেন এবং হাইপারবোলিক ফাংশন প্রবর্তন করেন এবং একটি হাইপারবোলিক ত্রিভুজ-এর ক্ষেত্রফল গণনা করেন (যেখানে কোণের সমষ্টি ১৮০° এর কম)।

এই নতুন জ্যামিতির নির্মাণ অব্যাহত রেখে, বেশ কয়েকজন গণিতবিদ স্বাধীনভাবে প্রমাণ করেন যে যদি এটি অসংগত (inconsistent) হয়, তবে ইউক্লিডীয় জ্যামিতি-ও অসংগত এবং তাই সমান্তরাল স্বীকার্য প্রমাণ করা সম্ভব নয়। এটি ১৮২৬ সালে নিকোলাই লোবাচেভস্কি, ১৮৩২ সালে ইয়ানোস বলয়াই (১৮০২–১৮৬০) এবং কার্ল ফ্রিডরিশ গাউস (অপ্রকাশিত) দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল।

১৯শ শতাব্দীর শেষের দিকে, জার্মান গণিতবিদ বের্নহার্ড রিমান উপবৃত্তীয় জ্যামিতি তৈরি করেন, আরেকটি অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি যেখানে কোনো সমান্তরাল রেখা পাওয়া যায় না এবং ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি ১৮০° এর বেশি। এটি একটি গোলকের (বা হাইপারস্ফিয়ার) ওপর প্রতিপাদ বিন্দু-র জোড়াকে বিন্দু হিসেবে এবং গোলকের ওপর বৃহৎ বৃত্ত-কে রেখা হিসেবে সংজ্ঞায়িত করে সংগত বলে প্রমাণিত হয়েছিল।

সমান্তরাল স্বীকার্য প্রমাণযোগ্য নয়—এই প্রমাণগুলো বেশ কিছু দার্শনিক সমস্যার দিকে নিয়ে যায়, যার প্রধানটি হলো এই আবিষ্কারের আগে, সমান্তরাল স্বীকার্য এবং এর সমস্ত ফলাফলকে 'সত্য' বলে গণ্য করা হতো। সুতরাং, অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি গাণিতিক সত্য-র ধারণাকে চ্যালেঞ্জ করেছিল।

সিন্থেটিক বনাম অ্যানালিটিক জ্যামিতি

১৭শ শতাব্দীতে রেনে দেকার্ত কর্তৃক অ্যানালিটিক জ্যামিতি প্রবর্তনের পর থেকে, জ্যামিতির দুটি দৃষ্টিভঙ্গি ছিল, পুরনোটিকে বলা হতো সিন্থেটিক জ্যামিতি, এবং নতুনটিকে, যেখানে সবকিছু স্থানাঙ্ক নামক বাস্তব সংখ্যার মাধ্যমে নির্দিষ্ট করা হয়।

ঊনবিংশ শতাব্দীর মাঝামাঝি পর্যন্ত গণিতবিদরা এই দুটি দৃষ্টিভঙ্গির মধ্যে বিরোধ নিয়ে খুব একটা চিন্তিত ছিলেন না, যখন "প্রজেক্টিভ জ্যামিতিতে সিন্থেটিক এবং অ্যানালিটিক পদ্ধতির প্রবক্তাদের মধ্যে একটি তিক্ত বিতর্ক ছিল, উভয় পক্ষই একে অপরের বিরুদ্ধে প্রজেক্টিভ এবং মেট্রিক ধারণা মিশ্রিত করার অভিযোগ তুলছিল"। প্রকৃতপক্ষে, একটি প্রজেক্টিভ স্পেস-এ দূরত্বের কোনো ধারণা নেই, এবং ক্রস-রেশিও, যা একটি সংখ্যা, তা সিন্থেটিক প্রজেক্টিভ জ্যামিতির একটি মৌলিক ধারণা।

কার্ল ফন স্টাউড্ট এই সমস্যার একটি বিশুদ্ধ জ্যামিতিক দৃষ্টিভঙ্গি তৈরি করেছিলেন "থ্রো" (throws) প্রবর্তনের মাধ্যমে যা বর্তমানে ফিল্ড নামে পরিচিত, যার মধ্যে ক্রস রেশিও প্রকাশ করা যেতে পারে।

দৃশ্যত, অ্যানালিটিক এবং সিন্থেটিক দৃষ্টিভঙ্গির মধ্যে সমতুল্যতার সমস্যাটি কেবল ১৯৫৭ সালে প্রকাশিত এমিল আর্টিন-এর বই জিওমেট্রিক অ্যালজেব্রা-এর মাধ্যমে সম্পূর্ণ সমাধান হয়েছিল। এটি সুপরিচিত ছিল যে, একটি ফিল্ড k দেওয়া থাকলে, k-ভেক্টর স্পেস-এর মাধ্যমে k-এর ওপর অ্যাফাইন এবং প্রজেক্টিভ স্পেস সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এই স্পেসগুলোতে, প্যাপাস হেক্সাগন উপপাদ্য সত্য। বিপরীতভাবে, যদি প্যাপাস হেক্সাগন উপপাদ্য একটি সমতল জ্যামিতির স্বীকার্যে অন্তর্ভুক্ত থাকে, তবে একটি ফিল্ড k সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যাতে জ্যামিতিটি k-এর ওপর অ্যাফাইন বা প্রজেক্টিভ জ্যামিতির মতোই হয়।

স্বাভাবিক সংখ্যা

মূল নিবন্ধ: পিয়ানো পাটিগণিত

বাস্তব বিশ্লেষণকে কঠোর করা এবং বাস্তব সংখ্যার সংজ্ঞা-র কাজটিতে সবকিছুকে মূলদ সংখ্যা এবং তাই স্বাভাবিক সংখ্যা-তে হ্রাস করা অন্তর্ভুক্ত ছিল, কারণ ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা হলো স্বাভাবিক সংখ্যার ভগ্নাংশ। তাই স্বাভাবিক সংখ্যার একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞার প্রয়োজন ছিল, যা পাটিগণিত-এর একটি স্বীকার্য তত্ত্ব নির্দেশ করে। এটি ১৮৮১ সালে চার্লস স্যান্ডার্স পার্স এবং ১৮৮৮ সালে রিচার্ড ডেডকাইন্ড-এর সাথে শুরু হয়েছিল, যারা স্বাভাবিক সংখ্যাকে একটি সসীম সেট-এর কার্ডিনালিটি হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন। যাইহোক, এতে সেট তত্ত্ব জড়িত, যা সেই সময়ে আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত ছিল না।

জুসেপ্পে পিয়ানো ১৮৮৮ সালে স্বাভাবিক সংখ্যার অর্ডিনাল বৈশিষ্ট্যের ওপর ভিত্তি করে একটি সম্পূর্ণ স্বীকার্য প্রদান করেন। পিয়ানোর শেষ স্বীকার্যটিই একমাত্র যা যৌক্তিক অসুবিধার সৃষ্টি করে, কারণ এটি হয় "যদি S একটি সেট হয় তবে" অথবা "যদি $\phi$ একটি প্রেডিকেট হয় তবে" দিয়ে শুরু হয়। সুতরাং, পিয়ানোর স্বীকার্যগুলো অসীম সেটের ওপর একটি কোয়ান্টিফিকেশন নির্দেশ করে, এবং এর অর্থ হলো পিয়ানো পাটিগণিত বর্তমানে যা দ্বিতীয়-ক্রমের যুক্তি নামে পরিচিত।

সেই সময়ে এটি ভালোভাবে বোঝা যায়নি, কিন্তু স্বাভাবিক সংখ্যার সংজ্ঞায় অসীম-এর উপস্থিতি সেই সময়ের অনেক গণিতবিদের জন্য একটি সমস্যা ছিল। উদাহরণস্বরূপ, অঁরি পোয়াঁকারে বলেছিলেন যে স্বীকার্যগুলো কেবল তাদের সসীম প্রয়োগেই প্রদর্শিত হতে পারে, এবং উপসংহারে বলেছিলেন যে এটি হলো "মনের শক্তি" যা একই কাজের অনির্দিষ্ট পুনরাবৃত্তি কল্পনা করতে দেয়। এটি বিশেষ করে পিয়ানোর শেষ স্বীকার্যটি দেখানোর জন্য প্রযোজ্য যে সাকসেসর ফাংশন সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যা তৈরি করে। এছাড়াও, লিওপোল্ড ক্রনেকার বলেছিলেন "ঈশ্বর পূর্ণসংখ্যা তৈরি করেছেন, বাকি সব মানুষের কাজ"।</ref> এটিকে এভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যে "পূর্ণসংখ্যাগুলো গাণিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় না"।

অসীম সেট

১৯শ শতাব্দীর দ্বিতীয়ার্ধের আগে, অসীম ছিল একটি দার্শনিক ধারণা যা গণিতের অন্তর্ভুক্ত ছিল না। যাইহোক, ইনফিনিটেসিমাল ক্যালকুলাস-এর উত্থানের সাথে, গণিতবিদরা অসীম-এর সাথে অভ্যস্ত হয়ে ওঠেন, প্রধানত সম্ভাব্য অসীম (potential infinity)-এর মাধ্যমে, অর্থাৎ, একটি অন্তহীন প্রক্রিয়ার ফলাফল হিসেবে, যেমন একটি অসীম ধারা, একটি অসীম শ্রেণী বা একটি লিমিট-এর সংজ্ঞা। একটি প্রকৃত অসীম (actual infinity)-এর সম্ভাবনা অনেক দার্শনিক বিতর্কের বিষয় ছিল।

সেট, এবং বিশেষ করে অসীম সেট-গুলোকে গাণিতিক ধারণা হিসেবে বিবেচনা করা হতো না; বিশেষ করে, তাদের জন্য কোনো নির্দিষ্ট শব্দ ছিল না। জর্জ ক্যান্টর-এর কাজের সাথে একটি নাটকীয় পরিবর্তন আসে, যিনি প্রথম গণিতবিদ হিসেবে পদ্ধতিগতভাবে অসীম সেট নিয়ে অধ্যয়ন করেছিলেন। বিশেষ করে, তিনি কার্ডিনাল সংখ্যা প্রবর্তন করেন যা অসীম সেটের আকার পরিমাপ করে, এবং অর্ডিনাল সংখ্যা যা, মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, অসীম পর্যন্ত পৌঁছানোর পরেও গণনা চালিয়ে যাওয়ার অনুমতি দেয়। তার অন্যতম প্রধান ফলাফল হলো এই আবিষ্কার যে স্বাভাবিক সংখ্যার চেয়ে বাস্তব সংখ্যা কঠোরভাবে বেশি (বাস্তব সংখ্যার কন্টিনিউয়াম-এর কার্ডিনাল স্বাভাবিক সংখ্যার চেয়ে বড়)।

এই ফলাফলগুলো অনেক গণিতবিদ এবং দার্শনিক দ্বারা প্রত্যাখ্যাত হয়েছিল, এবং এমন বিতর্কের দিকে পরিচালিত করেছিল যা গণিতের ভিত্তিসংক্রান্ত সংকট-এর একটি অংশ।

রাসেলের প্যারাডক্স-এর সাথে সংকটটি আরও ঘনীভূত হয়, যা দাবি করে যে "সমস্ত সেটের সেট" কথাটি স্ববিরোধী। এই বিরোধ সমস্ত গণিতের সংগতি (consistency)-র ওপর একটি সন্দেহের সৃষ্টি করে।

জারমেলো-ফ্র্যাঙ্কেল সেট তত্ত্ব (1925) প্রবর্তন এবং গাণিতিক সম্প্রদায় কর্তৃক এর গ্রহণের সাথে, সংগতি সম্পর্কে সন্দেহ মূলত দূর হয়ে যায়, যদিও গডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য-এর কারণে সেট তত্ত্বের সংগতি প্রমাণ করা যায় না।

গাণিতিক যুক্তি

১৮৪৭ সালে, অগাস্টাস ডি মর্গান তার সূত্রগুলো প্রকাশ করেন এবং জর্জ বুল একটি বীজগণিত তৈরি করেন, যা এখন বুলিয়ান বীজগণিত নামে পরিচিত, যা এরিস্টটলের যুক্তিকে সূত্র এবং বীজগাণিতিক অপারেশন-এর মাধ্যমে প্রকাশ করার অনুমতি দেয়। বুলিয়ান বীজগণিত হলো গাণিতিক যুক্তি-র শুরুর বিন্দু এবং প্রপোজিশনাল ক্যালকুলাস-এর ভিত্তি। স্বাধীনভাবে, ১৮৭০-এর দশকে, চার্লস স্যান্ডার্স পার্স এবং গটলব ফ্রেগে কোয়ান্টিফায়ার প্রবর্তনের মাধ্যমে প্রপোজিশনাল ক্যালকুলাসকে প্রসারিত করেন প্রেডিকেট লজিক তৈরির জন্য।

ফ্রেগে একটি যৌক্তিক তত্ত্বের তিনটি কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য উল্লেখ করেছেন: সংগতি (পরস্পরবিরোধী বিবৃতি প্রমাণ করার অসম্ভবতা), সম্পূর্ণতা (যেকোনো বিবৃতি হয় প্রমাণযোগ্য অথবা খণ্ডনযোগ্য; অর্থাৎ, এর নেতিবাচকতা প্রমাণযোগ্য), এবং সিদ্ধান্তযোগ্যতা (প্রতিটি বিবৃতি পরীক্ষা করার জন্য একটি সিদ্ধান্ত পদ্ধতি আছে)।

শতাব্দীর শেষের দিকে, বার্ট্রান্ড রাসেল ফ্রেগের কাজকে জনপ্রিয় করেন এবং রাসেলের প্যারাডক্স আবিষ্কার করেন, যা বোঝায় যে "সমস্ত সেটের সেট" কথাটি স্ববিরোধী। এই প্যারাডক্সটি পুরো গণিতকে অসংগত করে তোলে বলে মনে হয়েছিল এবং এটি গণিতের ভিত্তিসংক্রান্ত সংকটের অন্যতম প্রধান কারণ।

ভিত্তিসংক্রান্ত সংকট

গণিতের ভিত্তিসংক্রান্ত সংকট ১৯শ শতাব্দীর শেষে এবং ২০শ শতাব্দীর শুরুতে বেশ কিছু প্যারাডক্স বা স্বজ্ঞাতবিরোধী ফলাফল আবিষ্কারের সাথে উদ্ভূত হয়েছিল।

প্রথমটি ছিল এই প্রমাণ যে সমান্তরাল স্বীকার্য প্রমাণ করা সম্ভব নয়। এটি ইউক্লিডীয় জ্যামিতি-র ভেতরে একটি অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি নির্মাণের ফলাফল, যার অসংগতি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির অসংগতি নির্দেশ করবে। একটি সুপরিচিত প্যারাডক্স হলো রাসেলের প্যারাডক্স, যা দেখায় যে "যেসব সেট নিজেদের ধারণ করে না, তাদের সেট" কথাটি স্ববিরোধী। অন্যান্য দার্শনিক সমস্যা ছিল এমন গাণিতিক বস্তু-র অস্তিত্বের প্রমাণ যা গণনা বা স্পষ্টভাবে বর্ণনা করা যায় না, এবং স্বাভাবিক সংখ্যা-র ওপর এমন উপপাদ্যের অস্তিত্বের প্রমাণ যা পিয়ানো পাটিগণিত দিয়ে প্রমাণ করা যায় না (দেখুন গডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য)।

গণিতের দর্শন-এর বেশ কয়েকটি স্কুল ২০শ শতাব্দীতে এই সমস্যাগুলোর দ্বারা চ্যালেঞ্জের সম্মুখীন হয়েছিল, এবং নিচে বর্ণনা করা হয়েছে।

এই সমস্যাগুলো গণিতবিদদের দ্বারাও অধ্যয়ন করা হয়েছিল, এবং এটি গাণিতিক যুক্তি-কে গণিতের একটি নতুন ক্ষেত্র হিসেবে প্রতিষ্ঠা করতে পরিচালিত করে, যা যুক্তি (অনুমান বিধির সেট), গাণিতিক এবং যৌক্তিক তত্ত্ব, উপপাদ্য এবং প্রমাণের গাণিতিক সংজ্ঞা প্রদান করে এবং এই ধারণাগুলো সম্পর্কে উপপাদ্য প্রমাণ করতে গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে। প্রিন্সিপিয়া ম্যাথমেটিকা হলো গাণিতিক যুক্তি এবং ভিত্তির ওপর একটি ল্যান্ডমার্ক ফলাফল যা ১৯১৩ সালে রাসেল এবং আলফ্রেড নর্থ হোয়াইটহেড প্রকাশ করেছিলেন।

গাণিতিক যুক্তি অপ্রত্যাশিত ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে, যেমন গডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য, যা মোটামুটিভাবে দাবি করে যে, যদি একটি তত্ত্বে আদর্শ পাটিগণিত থাকে, তবে এটি প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হতে পারে না যে এটি নিজেই স্ববিরোধী নয়; এবং, যদি এটি স্ববিরোধী না হয়, তবে এমন উপপাদ্য আছে যা তত্ত্বের ভেতরে প্রমাণ করা যায় না, কিন্তু তবুও কিছু প্রযুক্তিগত অর্থে সত্য।

নির্বাচন স্বীকার্য (ZFC) সহ জারমেলো-ফ্র্যাঙ্কেল সেট তত্ত্ব হলো আর্নেস্ট জারমেলো এবং আব্রাহাম ফ্র্যাঙ্কেল কর্তৃক প্রতিষ্ঠিত একটি যৌক্তিক তত্ত্ব। এটি আধুনিক গণিতের আদর্শ ভিত্তি হয়ে ওঠে, এবং, যদি স্পষ্টভাবে বিপরীত কিছু নির্দিষ্ট না করা থাকে, তবে এটি সমস্ত আধুনিক গাণিতিক পাঠ্যে ব্যবহৃত হয়, সাধারণত পরোক্ষভাবে। ZFC এবং অন্যান্য ভিত্তিগুলো শক্তি অর্জন করে কারণ তারা সেটের ভাষার মধ্যে অধিকাংশ গাণিতিক বস্তু (যেমন সংখ্যা, ফাংশন, অপারেশন) এনকোড করতে পারে, অনেকটা যেভাবে কম্পিউটার বিভিন্ন ধরণের ফাইল-কে বাইনারি ডেটা হিসেবে এনকোড করে।

একই সাথে, স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতি (axiomatic method) একটি কার্যত মানদণ্ড হয়ে ওঠে: একটি উপপাদ্যের প্রমাণ অবশ্যই স্পষ্ট স্বতঃসিদ্ধ (axioms) এবং স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত অনুমান বিধি (inference rules) প্রয়োগের মাধ্যমে পূর্বে প্রমাণিত উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত হতে হবে। স্বতঃসিদ্ধগুলোর কোনো বাস্তবতার সাথে মিল থাকার প্রয়োজন নেই। তবুও, এটি একটি উন্মুক্ত দার্শনিক সমস্যা যে, কেন সেই স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থাগুলোই সমৃদ্ধ এবং দরকারী তত্ত্বের দিকে নিয়ে যায়, যেগুলো ভৌত বাস্তবতা বা অন্যান্য গাণিতিক তত্ত্ব থেকে বিমূর্তকরণের মাধ্যমে পাওয়া যায়।

সংক্ষেপে, ভিত্তিগত সংকট মূলত সমাধান হয়েছে, এবং এটি নতুন দার্শনিক সমস্যার উন্মোচন করেছে। বিশেষ করে, এটি প্রমাণ করা সম্ভব নয় যে নতুন ভিত্তি (ZFC) স্ব-বিরোধী নয়। এটি একটি সাধারণ ঐকমত্য যে, যদি এমনটি ঘটেও, তবে ZFC-এর সামান্য পরিবর্তনের মাধ্যমে সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে।

দার্শনিক দৃষ্টিভঙ্গি

মূল নিবন্ধ: গণিতের দর্শন

যখন ভিত্তিগত সংকট দেখা দেয়, তখন গণিতবিদ এবং যুক্তিবিদদের মধ্যে গণিতের প্রতি আস্থা পুনরুদ্ধারের জন্য কী করা উচিত তা নিয়ে অনেক বিতর্ক হয়েছিল। এর মধ্যে গাণিতিক সত্য, গণিতের সাথে বাস্তবতা-এর সম্পর্ক, গাণিতিক বস্তু-এর বাস্তবতা এবং গণিতের প্রকৃতি সম্পর্কিত দার্শনিক প্রশ্নগুলো অন্তর্ভুক্ত ছিল।

ভিত্তির সমস্যার জন্য, প্যারাডক্স বা কূটাভাস এড়ানোর জন্য দুটি প্রধান বিকল্প ছিল। প্রথমটি অন্তঃপ্রজ্ঞাবাদ (intuitionism) এবং গঠনবাদ (constructivism)-এর দিকে নিয়ে যায়, এবং এর মূল কথা ছিল অন্তঃপ্রজ্ঞার কাছাকাছি থাকার জন্য যৌক্তিক নিয়মগুলোকে সীমাবদ্ধ করা। অন্যদিকে দ্বিতীয়টি, যাকে রূপবাদ (formalism) বলা হয়, তা বিবেচনা করে যে একটি উপপাদ্য সত্য যদি তা স্বতঃসিদ্ধ থেকে অনুমান বিধি প্রয়োগের মাধ্যমে (যৌক্তিক প্রমাণ) পাওয়া যায়, এবং একটি উপপাদ্যের বৈধতার জন্য স্বতঃসিদ্ধগুলোর কোনো "সত্যতা"র প্রয়োজন নেই।

রূপবাদ

মূল নিবন্ধ: রূপবাদ (গণিত)

এটি দাবি করা হয়েছেJune 2024 যে রূপবাদীরা, যেমন ডেভিড হিলবার্ট (১৮৬২–১৯৪৩), মনে করেন যে গণিত কেবল একটি ভাষা এবং খেলার একটি ধারা মাত্র। হিলবার্ট জোর দিয়ে বলেছিলেন যে রূপবাদ, যাকে তিনি "সূত্র খেলা" (formula game) বলতেন, তা গণিতের একটি মৌলিক অংশ, কিন্তু গণিতকে কেবল রূপবাদে সীমাবদ্ধ করা উচিত নয়। প্রকৃতপক্ষে, তিনি এল. ই. জে. ব্রাউয়ার-এর সমালোচনার জবাবে ১৯২৭ সালে "সূত্র খেলা" শব্দগুলো ব্যবহার করেছিলেন:

এবং এই সূত্র খেলাটি কতটা সফল হয়েছে? এই সূত্র খেলা আমাদের গণিত বিজ্ঞানের সম্পূর্ণ চিন্তাধারাকে একটি অভিন্ন উপায়ে প্রকাশ করতে এবং এমনভাবে বিকাশ করতে সক্ষম করে যে, একই সাথে, পৃথক প্রস্তাবনা এবং তথ্যের মধ্যে পারস্পরিক সংযোগ স্পষ্ট হয়ে ওঠে... ব্রাউয়ার যে সূত্র খেলাকে এত অবজ্ঞা করেন, তার গাণিতিক মূল্যের পাশাপাশি একটি গুরুত্বপূর্ণ সাধারণ দার্শনিক তাৎপর্যও রয়েছে। কারণ এই সূত্র খেলাটি নির্দিষ্ট কিছু নিয়ম অনুযায়ী পরিচালিত হয়, যার মধ্যে আমাদের চিন্তার কৌশল (technique of our thinking) প্রকাশিত হয়। এই নিয়মগুলো একটি বদ্ধ ব্যবস্থা গঠন করে যা আবিষ্কার করা এবং নিশ্চিতভাবে বর্ণনা করা সম্ভব।

সুতরাং হিলবার্ট জোর দিয়ে বলছেন যে গণিত কোনো স্বেচ্ছাধীন নিয়মসহ স্বেচ্ছাধীন খেলা নয়; বরং, এটি আমাদের চিন্তা, এবং তারপর আমাদের কথা বলা ও লেখার পদ্ধতির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে হবে।

আমরা এখানে কোনো অর্থে স্বেচ্ছাচারিতার কথা বলছি না। গণিত এমন কোনো খেলা নয় যার কাজগুলো ইচ্ছামতো নির্ধারিত নিয়ম দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়। বরং, এটি একটি ধারণাগত ব্যবস্থা যার অভ্যন্তরীণ প্রয়োজনীয়তা রয়েছে যা কেবল এভাবেই হতে পারে এবং অন্য কোনোভাবে নয়।

ডেভিড হিলবার্ট দ্বারা প্রদর্শিত রূপবাদের ভিত্তিগত দর্শন হলো সেট তত্ত্ব-এর কূটাভাসগুলোর একটি প্রতিক্রিয়া, এবং এটি প্রথাগত যুক্তিবিদ্যা (formal logic)-এর ওপর ভিত্তি করে প্রতিষ্ঠিত। বর্তমানে কার্যত সমস্ত গাণিতিক উপপাদ্য সেট তত্ত্বের উপপাদ্য হিসেবে প্রণয়ন করা যেতে পারে। এই দৃষ্টিভঙ্গিতে, একটি গাণিতিক বিবৃতির সত্যতা এই তথ্যের দ্বারা উপস্থাপিত হয় যে, বিবৃতিটি প্রথাগত যুক্তিবিদ্যার নিয়ম ব্যবহার করে সেট তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধ থেকে উদ্ভূত হতে পারে।

কেবল রূপবাদের ব্যবহারই বেশ কিছু সমস্যার ব্যাখ্যা দেয় না: কেন আমাদের সেই স্বতঃসিদ্ধগুলোই ব্যবহার করা উচিত এবং অন্যগুলো নয়, কেন আমাদের সেই যৌক্তিক নিয়মগুলোই ব্যবহার করা উচিত এবং অন্যগুলো নয়, কেন "সত্য" গাণিতিক বিবৃতিগুলো (যেমন, পাটিগণিতের নিয়ম) সত্য বলে মনে হয়, ইত্যাদি। হারমান ওয়েল হিলবার্টকে ঠিক এই প্রশ্নগুলোই করেছিলেন:

বিশ্বের এই তাত্ত্বিক নির্মাণের প্রতি কী "সত্য" বা বস্তুনিষ্ঠতা আরোপ করা যেতে পারে, যা প্রদত্ত তথ্যের অনেক দূর পর্যন্ত বিস্তৃত, তা একটি গভীর দার্শনিক সমস্যা। এটি পরবর্তী প্রশ্নের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত: হিলবার্ট কর্তৃক বিকশিত নির্দিষ্ট স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থাকে ভিত্তি হিসেবে নিতে আমাদের কী অনুপ্রাণিত করে? সঙ্গতি (Consistency) অবশ্যই একটি প্রয়োজনীয় শর্ত, কিন্তু পর্যাপ্ত নয়। আপাতত আমরা সম্ভবত এই প্রশ্নের উত্তর দিতে পারব না...

কিছু ক্ষেত্রে এই প্রশ্নগুলোর উত্তর বিপরীত গণিত (reverse mathematics) এবং কম্পিউটেশনাল কমপ্লেক্সিটি থিওরি-এর মতো শাখায় প্রথাগত তত্ত্বগুলোর অধ্যয়নের মাধ্যমে পর্যাপ্তভাবে পাওয়া যেতে পারে। ওয়েল যেমন উল্লেখ করেছেন, প্রথাগত যৌক্তিক ব্যবস্থা-গুলো অসঙ্গতি-র ঝুঁকির মধ্যেও থাকে; পিয়ানো পাটিগণিতে, এটি সম্ভবত সঙ্গতির বেশ কয়েকটি প্রমাণের মাধ্যমে নিষ্পত্তি হয়েছে, তবে সেগুলো কতটা ফিনিটারি বা সসীম তা নিয়ে বিতর্ক রয়েছে। গডেলের দ্বিতীয় অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য প্রতিষ্ঠা করে যে পাটিগণিতের যৌক্তিক ব্যবস্থাগুলো কখনোই তাদের নিজস্ব সঙ্গতির বৈধ প্রমাণ ধারণ করতে পারে না। হিলবার্ট যা করতে চেয়েছিলেন তা হলো, এমন কিছু নীতি P-এর ওপর ভিত্তি করে একটি যৌক্তিক ব্যবস্থা S-এর সঙ্গতি প্রমাণ করা, যা S-এর একটি ছোট অংশ মাত্র। কিন্তু গডেল প্রমাণ করেছিলেন যে নীতি P নিজেই P-এর সঙ্গতি প্রমাণ করতে পারে না, S-এর কথা তো বাদই দিলাম।

অন্তঃপ্রজ্ঞাবাদ

মূল নিবন্ধ: অন্তঃপ্রজ্ঞাবাদ, গঠনবাদ (গণিত)

এল. ই. জে. ব্রাউয়ার (১৮৮২–১৯৬৬)-এর মতো অন্তঃপ্রজ্ঞাবাদীরা মনে করেন যে গণিত হলো মানুষের মনের একটি সৃষ্টি। সংখ্যাগুলো, রূপকথার চরিত্রের মতো, কেবল মানসিক সত্তা, যা মানুষের মন না থাকলে অস্তিত্বশীল হতো না।

অন্তঃপ্রজ্ঞাবাদ বা গঠনবাদ-এর ভিত্তিগত দর্শন, যা ব্রাউয়ার এবং স্টিফেন ক্লিন-এর চরম উদাহরণে দেখা যায়, প্রমাণের প্রকৃতিকে "গঠনমূলক" হতে বলে – একটি বস্তুর অস্তিত্ব অবশ্যই প্রদর্শন করতে হবে, কেবল তার অনস্তিত্বের অসম্ভবতা থেকে অনুমান করা যাবে না। উদাহরণস্বরূপ, এর ফলে রিডাক্টিও অ্যাড অ্যাবসারডাম (reductio ad absurdum) নামক প্রমাণের ধরনটি সন্দেহজনক হয়ে পড়ে।

গণিতের দর্শনের কিছু আধুনিক তত্ত্ব মূল অর্থে ভিত্তির অস্তিত্বকে অস্বীকার করে। কিছু তত্ত্ব গাণিতিক অনুশীলন-এর ওপর মনোযোগ দেয় এবং গণিতবিদদের একটি সামাজিক গোষ্ঠী হিসেবে তাদের প্রকৃত কাজ বর্ণনা ও বিশ্লেষণ করার লক্ষ্য রাখে। অন্যরা গণিতের একটি জ্ঞানীয় বিজ্ঞান (cognitive science of mathematics) তৈরি করার চেষ্টা করে, যা বাস্তব জগতে গণিত প্রয়োগের ক্ষেত্রে গণিতের নির্ভরযোগ্যতার উৎস হিসেবে মানুষের জ্ঞান বা চিন্তার ওপর আলোকপাত করে। এই তত্ত্বগুলো কেবল মানুষের চিন্তার মধ্যেই ভিত্তি খুঁজে পাওয়ার প্রস্তাব দেয়, কোনো বস্তুনিষ্ঠ বাইরের কাঠামোতে নয়। বিষয়টি এখনো বিতর্কিত।

যুক্তিবিদ্যা

মূল নিবন্ধ: যুক্তিবিদ্যা (Logicism)

যুক্তিবিদ্যা (Logicism) হলো গণিতের দর্শনের একটি চিন্তাধারা এবং গবেষণা কর্মসূচি, যা এই থিসিসের ওপর ভিত্তি করে প্রতিষ্ঠিত যে গণিত হলো যুক্তিবিদ্যার একটি সম্প্রসারণ অথবা গণিতের কিছু বা সমস্ত অংশ এমন একটি উপযুক্ত প্রথাগত ব্যবস্থায় উদ্ভূত হতে পারে যার স্বতঃসিদ্ধ এবং অনুমান বিধিগুলো প্রকৃতিগতভাবে 'যৌক্তিক'। বারট্রান্ড রাসেল এবং আলফ্রেড নর্থ হোয়াইটহেড এই তত্ত্বের পক্ষে ছিলেন, যা গটলব ফ্রেগে দ্বারা শুরু হয়েছিল এবং রিচার্ড ডেডকাইন্ড দ্বারা প্রভাবিত হয়েছিল।

সেট-তাত্ত্বিক প্লেটোবাদ

মূল নিবন্ধ: সেট-তাত্ত্বিক প্লেটোবাদ স্বতঃসিদ্ধ সেট তত্ত্ব-এর অনেক গবেষক সেট-তাত্ত্বিক প্লেটোবাদ-এর অনুসারী, যার উদাহরণ হলেন কার্ট গডেল।

বেশ কয়েকজন সেট তাত্ত্বিক এই পদ্ধতি অনুসরণ করেছেন এবং সক্রিয়ভাবে এমন স্বতঃসিদ্ধ খুঁজেছেন যা হিউরিস্টিক কারণে সত্য বলে বিবেচিত হতে পারে এবং যা কন্টিনুয়াম হাইপোথিসিস-এর সমাধান করতে পারে। অনেক বৃহৎ কার্ডিনাল (large cardinal) স্বতঃসিদ্ধ নিয়ে গবেষণা করা হয়েছে, কিন্তু হাইপোথিসিসটি সবসময়ই তাদের থেকে স্বাধীন থেকে গেছে এবং এখন এটি মনে করা হয় যে নতুন কোনো বৃহৎ কার্ডিনাল স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা CH-এর সমাধান হওয়া অসম্ভব। অন্যান্য ধরনের স্বতঃসিদ্ধ বিবেচনা করা হয়েছে, কিন্তু কন্টিনুয়াম হাইপোথিসিসের ওপর কোনোটিই ঐকমত্যে পৌঁছাতে পারেনি। জোয়েল ডেভিড হ্যামকিনস-এর সাম্প্রতিক কাজ একটি আরও নমনীয় বিকল্প প্রস্তাব করে: একটি সেট-তাত্ত্বিক মাল্টিভার্স (multiverse), যা এমন সেট-তাত্ত্বিক মহাবিশ্বের মধ্যে অবাধ যাতায়াতের অনুমতি দেয় যা কন্টিনুয়াম হাইপোথিসিসকে সন্তুষ্ট করে এবং অন্যগুলো যা করে না।

বাস্তববাদের জন্য অপরিহার্যতা যুক্তি

মূল নিবন্ধ: কুয়াইন-পুটনাম অপরিহার্যতা যুক্তি উইলার্ড কুয়াইন এবং হিলারি পুটনাম-এর এই যুক্তিটি বলে (পুটনামের সংক্ষিপ্ত কথায়),

... গাণিতিক সত্তার ওপর পরিমাপক (quantification) বিজ্ঞানের জন্য অপরিহার্য ... তাই আমাদের এই ধরনের পরিমাপক গ্রহণ করা উচিত; কিন্তু এটি আমাদের প্রশ্নবিদ্ধ গাণিতিক সত্তার অস্তিত্ব স্বীকার করতে বাধ্য করে।

যাইহোক, পুটনাম প্লেটোবাদী ছিলেন না।

সাধারণ বাস্তববাদ

খুব কম গণিতবিদই সাধারণত দৈনন্দিন কাজের ভিত্তিতে যুক্তিবিদ্যা, রূপবাদ বা অন্য কোনো দার্শনিক অবস্থান নিয়ে উদ্বিগ্ন থাকেন। পরিবর্তে, তাদের প্রাথমিক উদ্বেগ হলো গাণিতিক উদ্যোগটি সামগ্রিকভাবে যেন সবসময় উৎপাদনশীল থাকে। সাধারণত, তারা এটিকে খোলা মনের, ব্যবহারিক এবং কর্মব্যস্ত থাকার মাধ্যমে নিশ্চিত বলে মনে করেন; এবং অতিরিক্ত আদর্শবাদী, গোঁড়াভাবে হ্রাসবাদী বা অলস হয়ে পড়লে তা হুমকির মুখে পড়তে পারে বলে মনে করেন।

এই ধরনের দৃষ্টিভঙ্গি কিছু বিখ্যাত পদার্থবিদও প্রকাশ করেছেন।

উদাহরণস্বরূপ, রিচার্ড ফেইনম্যান বলেছিলেন

লোকেরা আমাকে বলে, "আপনি কি পদার্থবিজ্ঞানের চূড়ান্ত নিয়মগুলো খুঁজছেন?" না, আমি তা করছি না ... যদি দেখা যায় যে একটি সহজ চূড়ান্ত নিয়ম আছে যা সবকিছু ব্যাখ্যা করে, তবে তাই হোক – তা আবিষ্কার করা খুব ভালো হবে। যদি দেখা যায় এটি লক্ষ লক্ষ স্তরের একটি পেঁয়াজের মতো ... তবে এটি এমনই। কিন্তু উভয় ক্ষেত্রেই প্রকৃতি আছে এবং সে তার নিজের মতোই প্রকাশিত হবে। তাই যখন আমরা তদন্ত করতে যাই, তখন আমাদের আগে থেকে সিদ্ধান্ত নেওয়া উচিত নয় যে আমরা কী খুঁজছি, কেবল তা সম্পর্কে আরও জানার জন্য ছাড়া।

এবং স্টিভেন ওয়াইনবার্গ:

দার্শনিকদের অন্তর্দৃষ্টি মাঝে মাঝে পদার্থবিদদের উপকৃত করেছে, কিন্তু সাধারণত নেতিবাচকভাবে – অন্যান্য দার্শনিকদের পূর্বধারণা থেকে তাদের রক্ষা করে। ... আমাদের পূর্বধারণা থেকে কিছু নির্দেশনা ছাড়া কেউ কিছুই করতে পারত না। বিষয়টি হলো, দার্শনিক নীতিগুলো সাধারণত আমাদের সঠিক পূর্বধারণা প্রদান করেনি।

ওয়াইনবার্গ বিশ্বাস করতেন যে গণিতের যেকোনো অনির্ণেয়তা, যেমন কন্টিনুয়াম হাইপোথিসিস, অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য সত্ত্বেও সেট তত্ত্বে যোগ করার জন্য উপযুক্ত আরও স্বতঃসিদ্ধ খুঁজে বের করার মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে।

গডেলের সম্পূর্ণতা উপপাদ্যের দার্শনিক পরিণতি

মূল নিবন্ধ: গডেলের সম্পূর্ণতা উপপাদ্য

গডেলের সম্পূর্ণতা উপপাদ্য প্রথম-ক্রমের যুক্তিবিদ্যায় (first-order logic) একটি সূত্রের প্রথাগত প্রমাণযোগ্যতা এবং সমস্ত সম্ভাব্য মডেলে তার সত্যতার মধ্যে সমতা প্রতিষ্ঠা করে। সুনির্দিষ্টভাবে, যেকোনো সঙ্গতিপূর্ণ প্রথম-ক্রমের তত্ত্বের জন্য এটি তত্ত্ব দ্বারা বর্ণিত একটি মডেলের "স্পষ্ট নির্মাণ" প্রদান করে; যদি তত্ত্বের ভাষা গণনাযোগ্য হয় তবে এই মডেলটিও গণনাযোগ্য হবে। তবে এই "স্পষ্ট নির্মাণ" অ্যালগরিদমিক নয়। এটি তত্ত্বটি সম্পূর্ণ করার একটি পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়ার ওপর ভিত্তি করে, যেখানে পুনরাবৃত্তির প্রতিটি ধাপে স্বতঃসিদ্ধগুলোতে একটি সূত্র যোগ করা হয় যদি তা তত্ত্বটিকে সঙ্গতিপূর্ণ রাখে; কিন্তু এই সঙ্গতির প্রশ্নটি কেবল আধা-সিদ্ধ (semi-decidable) (যেকোনো কূটাভাস খুঁজে বের করার জন্য একটি অ্যালগরিদম উপলব্ধ, কিন্তু যদি কোনোটি না থাকে তবে এই সঙ্গতির বিষয়টি প্রমাণহীন থেকে যেতে পারে)।

আরও কূটাভাস

আরও দেখুন: ZFC থেকে স্বাধীন বিবৃতিগুলোর তালিকা, কূটাভাসগুলোর তালিকা

নিচে মেটা-গণিতের কিছু উল্লেখযোগ্য ফলাফল তালিকাভুক্ত করা হলো। জার্মেলো-ফ্র্যাঙ্কেল সেট তত্ত্ব হলো সেট তত্ত্বের সর্বাধিক পঠিত স্বতঃসিদ্ধকরণ। যখন এতে নির্বাচন স্বতঃসিদ্ধ (axiom of choice) অন্তর্ভুক্ত থাকে তখন একে ZFC এবং যখন নির্বাচন স্বতঃসিদ্ধ বাদ দেওয়া হয় তখন একে ZF হিসেবে সংক্ষেপিত করা হয়।

• ১৯২০: থরালফ স্কোলেম লিওপোল্ড লোয়েনহেইম-এর প্রমাণের সংশোধন করেন যা এখন নিম্নমুখী লোয়েনহেইম-স্কোলেম উপপাদ্য নামে পরিচিত, যা ১৯২২ সালে আলোচিত স্কোলেমের কূটাভাস-এর দিকে নিয়ে যায়, অর্থাৎ ZF-এর গণনাযোগ্য মডেলের অস্তিত্ব, যা অসীম কার্ডিনালিটিকে একটি আপেক্ষিক বৈশিষ্ট্যে পরিণত করে।
• ১৯২২: আব্রাহাম ফ্র্যাঙ্কেল প্রমাণ করেন যে নির্বাচন স্বতঃসিদ্ধ ইউর-এলিমেন্ট (urelements) সহ জার্মেলো সেট তত্ত্ব-এর স্বতঃসিদ্ধ থেকে প্রমাণ করা যায় না।
• ১৯৩১: গডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য-এর প্রকাশ, যা দেখায় যে হিলবার্টের কর্মসূচির অপরিহার্য দিকগুলো অর্জন করা সম্ভব নয়। এটি দেখায় যে কীভাবে যেকোনো যথেষ্ট শক্তিশালী এবং সঙ্গতিপূর্ণ পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে স্বতঃসিদ্ধযোগ্য ব্যবস্থার জন্য—যেমন স্বাভাবিক সংখ্যার (অসীম) সেটের ওপর পাটিগণিতের প্রাথমিক তত্ত্বকে স্বতঃসিদ্ধ করার জন্য প্রয়োজনীয়—এমন একটি বিবৃতি তৈরি করা যায় যা প্রথাগতভাবে তার নিজস্ব প্রমাণহীনতাকে প্রকাশ করে, যা তিনি তত্ত্বের সঙ্গতির দাবির সমতুল্য প্রমাণ করেছিলেন; যাতে (সঙ্গতিকে সত্য ধরে নিলে), ব্যবস্থাটি তার নিজস্ব সঙ্গতি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট শক্তিশালী নয়, একটি সহজ ব্যবস্থা তো দূরের কথা। এটি স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে গাণিতিক সত্যের ধারণাটি হিলবার্টের কর্মসূচিতে কল্পনা করা সম্পূর্ণ প্রথাগত ব্যবস্থা-তে পুরোপুরি নির্ধারণ এবং হ্রাস করা সম্ভব নয়। এটি হিলবার্টের কর্মসূচির হৃদয়ে চূড়ান্ত আঘাত হানে, এই আশা যে সঙ্গতি সসীম উপায়ে প্রতিষ্ঠিত করা যেতে পারে (ঠিক কোন স্বতঃসিদ্ধগুলো "সসীম" ছিল তা কখনোই স্পষ্ট করা হয়নি, কিন্তু যে স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থার কথা উল্লেখ করা হচ্ছিল, তা সেই ব্যবস্থার চেয়ে 'দুর্বল' ছিল যার সঙ্গতি এটি প্রমাণ করার কথা ছিল)।
• ১৯৩৬: আলফ্রেড টারস্কি তার সত্য অনির্ণেয়তা উপপাদ্য প্রমাণ করেন।
• ১৯৩৬: অ্যালান টুরিং প্রমাণ করেন যে সমস্ত সম্ভাব্য প্রোগ্রাম-ইনপুট জোড়ার জন্য হাল্টিং প্রবলেম সমাধানের একটি সাধারণ অ্যালগরিদম থাকতে পারে না।
• ১৯৩৮: গডেল নির্বাচন স্বতঃসিদ্ধ এবং সাধারণীকৃত কন্টিনুয়াম হাইপোথিসিস-এর সঙ্গতি প্রমাণ করেন।
• ১৯৩৬–১৯৩৭: অ্যালঞ্জো চার্চ এবং অ্যালান টুরিং, যথাক্রমে, স্বাধীন গবেষণাপত্র প্রকাশ করেন যা দেখায় যে এন্টশেইডুংসপ্রবলেম (Entscheidungsproblem)-এর একটি সাধারণ সমাধান অসম্ভব: প্রথম-ক্রমের যুক্তিবিদ্যায় বিবৃতিগুলোর সর্বজনীন বৈধতা নির্ণয়যোগ্য নয় (এটি কেবল আধা-সিদ্ধ যেমনটি সম্পূর্ণতা উপপাদ্য দ্বারা দেওয়া হয়েছে)।
• ১৯৫৫: পিওতর নোভিকভ দেখান যে এমন একটি সসীমভাবে উপস্থাপিত গ্রুপ G বিদ্যমান যার জন্য G-এর ওয়ার্ড প্রবলেম অনির্ণেয়।
• ১৯৬৩: পল কোহেন দেখান যে কন্টিনুয়াম হাইপোথিসিস ZFC থেকে প্রমাণ করা অসম্ভব। কোহেনের প্রমাণ ফোর্সিং পদ্ধতিটি বিকশিত করে, যা এখন সেট তত্ত্বে স্বাধীনতা ফলাফল প্রতিষ্ঠার জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ হাতিয়ার।
• ১৯৬৪: পদার্থবিজ্ঞানের মৌলিক দৈবতার দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে, গ্রেগরি চেইটিন অ্যালগরিদমিক তথ্য তত্ত্ব (গণিতে অসম্পূর্ণতা এবং দৈবতা পরিমাপ) নিয়ে ফলাফল প্রকাশ শুরু করেন।
• ১৯৬৬: পল কোহেন দেখান যে নির্বাচন স্বতঃসিদ্ধ ZF-এ ইউর-এলিমেন্ট ছাড়াও প্রমাণ করা অসম্ভব।
• ১৯৭০: হিলবার্টের দশম সমস্যা সমাধান অযোগ্য প্রমাণিত হয়: কোনো ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ (বহুচলক বহুপদী সমীকরণ)-এর পূর্ণসংখ্যায় সমাধান আছে কিনা তা নির্ণয় করার কোনো পুনরাবৃত্তিমূলক সমাধান নেই।
• ১৯৭১: সুসলিনের সমস্যা ZFC থেকে স্বাধীন প্রমাণিত হয়।

সংকটের সমাধানের দিকে

১৯৩৫ সাল থেকে, ফরাসি গণিতবিদদের নিকোলাস বোরবাকি গোষ্ঠী সেট তত্ত্বের নতুন ভিত্তির ওপর গণিতের অনেক ক্ষেত্রকে প্রথাগত করার জন্য ধারাবাহিকভাবে বই প্রকাশ শুরু করে।

অন্তঃপ্রজ্ঞাবাদী স্কুলটি খুব বেশি অনুসারী আকর্ষণ করতে পারেনি, এবং ১৯৬৭ সালে এর‍্রেট বিশপ-এর কাজের আগ পর্যন্ত গঠনমূলক গণিত আরও সুদৃঢ় ভিত্তির ওপর প্রতিষ্ঠিত হয়নি।

কেউ বিবেচনা করতে পারেন যে হিলবার্টের কর্মসূচি আংশিকভাবে সম্পন্ন হয়েছে, তাই সংকটটি মূলত সমাধান হয়েছে, হিলবার্টের মূল উচ্চাকাঙ্ক্ষার চেয়ে নিম্নতর প্রয়োজনীয়তা নিয়ে সন্তুষ্ট থেকে। তার উচ্চাকাঙ্ক্ষা এমন এক সময়ে প্রকাশিত হয়েছিল যখন কিছুই স্পষ্ট ছিল না: এটি স্পষ্ট ছিল না যে গণিতের আদৌ কোনো কঠোর ভিত্তি থাকতে পারে কিনা।

সেট তত্ত্বের অনেক সম্ভাব্য রূপভেদ রয়েছে, যা সঙ্গতির শক্তি (consistency strength)-তে ভিন্ন, যেখানে শক্তিশালী সংস্করণগুলো (উচ্চতর ধরনের অসীমের অনুমান করে) দুর্বল সংস্করণগুলোর সঙ্গতির প্রথাগত প্রমাণ ধারণ করে, কিন্তু কোনোটিই তার নিজস্ব সঙ্গতির প্রথাগত প্রমাণ ধারণ করে না। সুতরাং একমাত্র যে জিনিসটি আমাদের কাছে নেই তা হলো সেট তত্ত্বের যেকোনো সংস্করণের সঙ্গতির প্রথাগত প্রমাণ, যেমন ZF। একটি প্রথাগত ব্যবস্থার সঙ্গতির জন্য অন্যান্য দার্শনিক যৌক্তিকতা রয়েছে, যেমন জেন্টজেনের সঙ্গতির প্রমাণ, যা পিয়ানো স্বতঃসিদ্ধের সঙ্গতিকে আদিম পুনরাবৃত্তিমূলক পাটিগণিত-এর দুর্বল ব্যবস্থার সাথে একটি নির্দিষ্ট অর্ডিনাল সংখ্যা-এর অস্তিত্ব দাবি করে এমন একটি অতিরিক্ত স্বতঃসিদ্ধের মাধ্যমে হ্রাস করে। এই প্রমাণটি অন্যান্য প্রথাগত ব্যবস্থার জন্য একই ধরনের অর্ডিনাল বিশ্লেষণ-এর একটি কর্মসূচিও শুরু করেছিল।

বাস্তবে, অধিকাংশ গণিতবিদ হয় স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থা থেকে কাজ করেন না, অথবা যদি করেনও, তবে তারা ZFC-এর সঙ্গতি নিয়ে সন্দেহ করেন না, যা সাধারণত তাদের পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থা। গণিতের অধিকাংশ অনুশীলনে, অন্তর্নিহিত প্রথাগত তত্ত্বগুলোর অসম্পূর্ণতা এবং কূটাভাস কখনোই কোনো ভূমিকা পালন করেনি, এবং যে শাখাগুলোতে এগুলো ভূমিকা রাখে বা যেগুলোর প্রথাগতকরণের প্রচেষ্টা অসঙ্গতিপূর্ণ তত্ত্ব গঠনের ঝুঁকি তৈরি করে (যেমন যুক্তিবিদ্যা এবং ক্যাটাগরি তত্ত্ব), সেগুলোতে এগুলো সতর্কতার সাথে বিবেচনা করা হতে পারে।

বিংশ শতাব্দীর মাঝামাঝি সময়ে ক্যাটাগরি তত্ত্ব-এর বিকাশ সেট তত্ত্বগুলোর উপযোগিতা দেখিয়েছে যা ZFC-এর চেয়ে বড় ক্লাসের অস্তিত্ব নিশ্চিত করে, যেমন ভন নিউম্যান-বার্নেস-গডেল সেট তত্ত্ব বা টারস্কি-গ্রোথেনডিক সেট তত্ত্ব, যদিও অনেক ক্ষেত্রে বৃহৎ কার্ডিনাল স্বতঃসিদ্ধ বা গ্রোথেনডিক মহাবিশ্বের ব্যবহার প্রথাগতভাবে বর্জনযোগ্য।

বিপরীত গণিত (Reverse Mathematics) কর্মসূচির একটি লক্ষ্য হলো এটি শনাক্ত করা যে "মূল গণিত"-এর এমন কোনো ক্ষেত্র আছে কিনা যেখানে ভিত্তিগত সমস্যাগুলো আবার সংকটের জন্ম দিতে পারে। এর মধ্যে পরীক্ষা করে দেখা অন্তর্ভুক্ত যে ZFC-এর চেয়ে দুর্বল প্রথাগত ব্যবস্থাগুলো গাণিতিক উপপাদ্য প্রমাণ করতে পারে কিনা।

অ-সেট তাত্ত্বিক পদ্ধতি

গণিতের ভিত্তির জন্য এমন পদ্ধতিগুলো নিয়েও গবেষণা করা হয়েছে এবং গৃহীত হয়েছে যা সেট তত্ত্বের ওপর ভিত্তি করে নয়। টাইপ তত্ত্ব (Type theory) গাণিতিক ভিত্তির ভিত্তি হিসেবে ব্যবহৃত হয়েছে, যেমন ক্যালকুলাস অফ কনস্ট্রাকশনস-এ, অথবা অন্তঃপ্রজ্ঞাবাদী টাইপ তত্ত্ব, যা প্রথম ১৯৭৫ সালে পার মার্টিন-লোফ প্রকাশ করেছিলেন। ইউনিভ্যালেন্ট ফাউন্ডেশনস (Univalent foundations) হলো গাণিতিক ভিত্তির একটি নতুন পদ্ধতি যা ২০০০-এর দশকে উদ্ভূত হয়েছে এবং এটি হোমোটাপি টাইপ তত্ত্ব থেকে তৈরি। প্রুফ অ্যাসিস্ট্যান্ট (Proof assistant)-এ ব্যবহারের জন্য সেট-তাত্ত্বিক ভিত্তির চেয়ে টাইপ তাত্ত্বিক ভিত্তি বেশি সাধারণ হয়ে উঠেছে, যা হলো কম্পিউটার প্রোগ্রাম যা প্রথাগত গাণিতিক প্রমাণের বিকাশ এবং যাচাইকরণে সহায়তা করে।

মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, টাইপ তত্ত্বের প্রথাগত অর্থে "স্বতঃসিদ্ধ"-এর প্রয়োজন নেই, বরং এর একটি আরও ব্যাপক যুক্তিবিদ্যার ব্যবস্থা রয়েছে যা একই উদ্দেশ্য পূরণ করে। এটি একটি টাইপ তত্ত্বের সঙ্গতির শক্তিকে একটি সেট তত্ত্বের সাথে তুলনা করা কঠিন করে তুলতে পারে, তবে এটি করার চেষ্টা করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, বেঞ্জামিন ওয়ার্নার দেখিয়েছেন যে ক্যালকুলাস অফ ইনডাক্টিভ কনস্ট্রাকশনস-কে একটি মেটা-তত্ত্ব হিসেবে ব্যবহার করে জার্মেলো-ফ্র্যাঙ্কেল সেট তত্ত্ব এনকোড করা সম্ভব, এবং বিপরীতভাবে অসীম অ্যাক্সেসিবল কার্ডিনাল-এর অস্তিত্ব ধরে নিলে তাও সম্ভব।

টোপোস (Topos) নামক কিছু ক্যাটাগরি তত্ত্বের বস্তুও গণিতের ভিত্তির জন্য ব্যবহৃত হয়েছে।

আরও দেখুন

• অ্যারিস্টটলীয় বাস্তববাদী গণিতের দর্শন
• গাণিতিক যুক্তিবিদ্যা
• ব্রাউয়ার-হিলবার্ট বিতর্ক
• চার্চ-টুরিং থিসিস
• ক্যান্টরের তত্ত্ব নিয়ে বিতর্ক
• জ্ঞানতত্ত্ব
• ইউক্লিডের এলিমেন্টস
• হিলবার্টের সমস্যাসমূহ
• সেট তত্ত্বে গণিতের বাস্তবায়ন
• লায়ার কূটাভাস
• নিউ ফাউন্ডেশনস
• গণিতের দর্শন
• প্রিন্সিপিয়া ম্যাথমেটিকা
• গণিতে কোয়াসি-এমপিরিসিজম
• চার্লস পিয়ার্সের গাণিতিক চিন্তা

তথ্যসূত্র

• অ্যাভিগাড, জেরেমি (২০০৩) নাম্বার থিওরি অ্যান্ড এলিমেন্টারি অ্যারিথমেটিক, ফিলোসফিয়া ম্যাথমেটিকা খণ্ড ১১, পৃষ্ঠা ২৫৭–২৮৪
• ইভস, হাওয়ার্ড (১৯৯০), ফাউন্ডেশনস অ্যান্ড ফান্ডামেন্টাল কনসেপ্টস অফ ম্যাথমেটিক্স থার্ড এডিশন, ডোভার পাবলিকেশন্স, আইএনসি, মিনেওলা এনওয়াই, 0-486-69609-X (pbk.) cf §৯.৫ ফিলোসফিস অফ ম্যাথমেটিক্স পৃষ্ঠা ২৬৬–২৭১। ইভস একটি সংক্ষিপ্ত ভূমিকার সাথে তিনটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ তালিকাভুক্ত করেছেন।
• গুডম্যান, এন.ডি. (১৯৭৯), "ম্যাথমেটিক্স অ্যাজ অ্যান অবজেক্টিভ সায়েন্স", টিমোচকো (সম্পাদিত, ১৯৮৬)-তে।
• হার্ট, ডব্লিউ.ডি. (সম্পাদিত, ১৯৯৬), দ্য ফিলোসফি অফ ম্যাথমেটিক্স, অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস, অক্সফোর্ড, ইউকে।
• হার্শ, আর. (১৯৭৯), "সাম প্রপোজালস ফর রিভাইভিং দ্য ফিলোসফি অফ ম্যাথমেটিক্স", (টিমোচকো ১৯৮৬)-তে।
• হিলবার্ট, ডি. (১৯২২), "নিউবেগ্রুন্ডুং ডের ম্যাথমেটিক। এরস্টে মিটেইলুং", হ্যামবার্গার ম্যাথমেটিশ সেমিনারআবহ্যান্ডলুঙেন ১, ১৫৭–১৭৭। অনূদিত, "দ্য নিউ গ্রাউন্ডিং অফ ম্যাথমেটিক্স। ফার্স্ট রিপোর্ট", (ম্যানকোসু ১৯৯৮)-তে।
• কাটজ, রবার্ট (১৯৬৪), অ্যাক্সিওম্যাটিক অ্যানালাইসিস, ডি. সি. হিথ অ্যান্ড কোম্পানি।
• ক্লিন, স্টিফেন সি.. (1991). "ইন্ট্রোডাকশন টু মেটা-ম্যাথমেটিক্স". নর্থ-হল্যান্ড পাব. কো. ISBN 0-7204-2103-9.

অধ্যায় III আ ক্রিটিক অফ ম্যাথমেটিক রিজনিনিং, §১১. দ্য প্যারাডক্সেস-এ, ক্লিন অন্তঃপ্রজ্ঞাবাদ এবং রূপবাদ নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করেছেন। বইয়ের বাকি অংশে তিনি প্রথাগত (ধ্রুপদী) এবং অন্তঃপ্রজ্ঞাবাদী যুক্তিবিদ্যা উভয়ই আলোচনা ও তুলনা করেছেন, প্রথমটির ওপর জোর দিয়ে। একজন অসাধারণ গণিতবিদের অসাধারণ লেখা।

• ম্যানকোসু, পি. (সম্পাদিত, ১৯৯৮), ফ্রম হিলবার্ট টু ব্রাউয়ার। দ্য ডিবেট অন দ্য ফাউন্ডেশনস অফ ম্যাথমেটিক্স ইন দ্য ১৯২০স, অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস, অক্সফোর্ড, ইউকে।
• পুটনাম, হিলারি (১৯৬৭), "ম্যাথমেটিক্স উইদাউট ফাউন্ডেশনস", জার্নাল অফ ফিলোসফি ৬৪/১, ৫–২২। পুনর্মুদ্রিত, পৃষ্ঠা ১৬৮–১৮৪, ডব্লিউ.ডি. হার্ট (সম্পাদিত, ১৯৯৬)-তে।
• —, "হোয়াট ইজ ম্যাথমেটিক্যাল ট্রুথ?", টিমোচকো (সম্পাদিত, ১৯৮৬)-তে।
• সুডাক, অলিভিয়ার. (এপ্রিল ২০০১). "দ্য প্রাইম নাম্বার থিওরেম ইজ পিআরএ-প্রুভেবল". থিওরেটিক্যাল কম্পিউটার সায়েন্স. 257 (1–2) 185–239. doi:10.1016/S0304-3975(00)00116-X.
• ট্রোয়েলস্ট্রা, এ. এস. (তারিখ নেই তবে ১৯৯০-এর পরের), "আ হিস্ট্রি অফ কনস্ট্রাক্টিভিজম ইন দ্য ২০থ সেঞ্চুরি", বিশেষজ্ঞদের জন্য একটি বিস্তারিত জরিপ: §১ ভূমিকা, §২ ফিনিটিজম ও §২.২ অ্যাকচুয়ালিজম, §৩ প্রেডিকেটিভিজম অ্যান্ড সেমি-ইনটুইশনিজম, §৪ ব্রাউয়ারিয়ান ইনটুইশনিজম, §৫ ইনটুইশনিস্টিক লজিক অ্যান্ড অ্যারিথমেটিক, §৬ ইনটুইশনিস্টিক অ্যানালাইসিস অ্যান্ড স্ট্রঙ্গার থিওরিজ, §৭ কনস্ট্রাক্টিভ রিকার্সিভ ম্যাথমেটিক্স, §৮ বিশপস কনস্ট্রাক্টিভিজম, §৯ কনক্লুডিং রিমার্কস। প্রায় ৮০টি তথ্যসূত্র।
• টিমোচকো, টি. (১৯৮৬), "চ্যালেঞ্জিং ফাউন্ডেশনস", টিমোচকো (সম্পাদিত, ১৯৮৬)-তে।
• —,(সম্পাদিত, ১৯৮৬), নিউ ডিরেকশনস ইন দ্য ফিলোসফি অফ ম্যাথমেটিক্স, ১৯৮৬। সংশোধিত সংস্করণ, ১৯৯৮।
• ভ্যান ডালেন ডি. (২০০৮), "ব্রাউয়ার, লুইটজেন এগবারটাস জান (১৮৮১–১৯৬৬)", বায়োগ্রাফিশ ওয়েরডেনবোয়েক ভ্যান নেদারল্যান্ড-এ। ইউআরএল:http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/BWN/lemmata/bwn2/brouwerle [২০০৮-০৩-১৩]
• ওয়েল, এইচ. (১৯২১), "উবার ডাই নিউ গ্রুন্ডলাজেনক্রাইস ডের ম্যাথমেটিক", ম্যাথমেটিশ জেইটশ্রিফট ১০, ৩৯–৭৯। অনূদিত, "অন দ্য নিউ ফাউন্ডেশনাল ক্রাইসিস অফ ম্যাথমেটিক্স", (ম্যানকোসু ১৯৯৮)-তে।
• ওয়াইল্ডার, রেমন্ড এল. (১৯৫২), ইন্ট্রোডাকশন টু দ্য ফাউন্ডেশনস অফ ম্যাথমেটিক্স, জন উইলি অ্যান্ড সন্স, নিউ ইয়র্ক, এনওয়াই।

বহিঃসংযোগ

• category/s-l-m/math/
• যুক্তিবিদ্যা এবং গণিত
• হার্ভে এম. ফ্রিডম্যান, ফাউন্ডেশনস অফ ম্যাথমেটিক্স: পাস্ট, প্রেজেন্ট, অ্যান্ড ফিউচার, ৩১ মে, ২০০০, ৮ পৃষ্ঠা।
• আ সেঞ্চুরি অফ কন্ট্রোভার্সি ওভার দ্য ফাউন্ডেশনস অফ ম্যাথমেটিক্স গ্রেগরি চেইটিন দ্বারা।

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Foundations of mathematics” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Foundations_of_mathematics এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।