এল-মোমেন্ট

পরিসংখ্যান-এ, এল-মোমেন্ট (L-moments) হলো একগুচ্ছ পরিসংখ্যান, যা কোনো সম্ভাব্যতা বিন্যাস-এর আকৃতি সারসংক্ষেপ করতে ব্যবহৃত হয়। এগুলো হলো অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকস-এর (এল-স্ট্যাটিস্টিকস) রৈখিক সমাবেশ, যা প্রচলিত মোমেন্ট-এর অনুরূপ। এগুলোকে মানক বিচ্যুতি, স্কিউনেস এবং কার্টোসিস-এর অনুরূপ রাশি গণনার জন্য ব্যবহার করা যায়, যেগুলোকে যথাক্রমে এল-স্কেল, এল-স্কিউনেস এবং এল-কার্টোসিস বলা হয় (এল-মিন প্রচলিত গড়-এর সমান)। মানককৃত এল-মোমেন্টগুলোকে এল-মোমেন্ট অনুপাত বলা হয় এবং এগুলো মানককৃত মোমেন্ট-এর অনুরূপ। প্রচলিত মোমেন্টের মতোই, একটি তাত্ত্বিক বিন্যাসের পপুলেশন এল-মোমেন্টের একটি সেট থাকে। পপুলেশন থেকে নেওয়া নমুনার জন্য স্যাম্পল এল-মোমেন্ট সংজ্ঞায়িত করা যায় এবং এগুলোকে পপুলেশন এল-মোমেন্টের প্রাক্কলক হিসেবে ব্যবহার করা যায়।

পপুলেশন এল-মোমেন্ট

একটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল X-এর জন্য, r-তম পপুলেশন এল-মোমেন্ট হলো

$${\lambda }_r=\frac{1}{r}\sum _{k=0}^{r-1}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{r-1}{k})\mathbb{𝔼}[X_{r-k:r}],$$

যেখানে X_k:n দ্বারা X-এর বিন্যাস থেকে নেওয়া n আকারের একটি স্বাধীন নমুনা-র k-তম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকস (k-তম ক্ষুদ্রতম মান) বোঝায় এবং $\mathbb{𝔼}$ দ্বারা প্রত্যাশিত মান অপারেটর বোঝায়। বিশেষত, প্রথম চারটি পপুলেশন এল-মোমেন্ট হলো:

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_1& =\mathbb{𝔼}[X]\\ {\lambda }_2& =\frac{1}{2}(\mathbb{𝔼}[X_{2:2}]-\mathbb{𝔼}[X_{1:2}])\\ {\lambda }_3& =\frac{1}{3}(\mathbb{𝔼}[X_{3:3}]-2\mathbb{𝔼}[X_{2:3}]+\mathbb{𝔼}[X_{1:3}])\\ {\lambda }_4& =\frac{1}{4}(\mathbb{𝔼}[X_{4:4}]-3\mathbb{𝔼}[X_{3:4}]+3\mathbb{𝔼}[X_{2:4}]-\mathbb{𝔼}[X_{1:4}]).\end{array}$$

লক্ষ্য করুন যে, r-তম এল-মোমেন্টের সহগগুলো দ্বিপদী রূপান্তর-এর r-তম পদের মতোই, যা r-ক্রমের সসীম পার্থক্য-এ (অন্তরকলনের সসীম প্রতিরূপ) ব্যবহৃত হয়।

এই এল-মোমেন্টগুলোর প্রথম দুটির প্রচলিত নাম রয়েছে:

• ${\lambda }_1$ হলো "গড়", "এল-মিন" বা "এল-লোকেশন",
• ${\lambda }_2$ হলো "এল-স্কেল"।

এল-স্কেল হলো গড় পরম পার্থক্য-এর অর্ধেক।

বিশ্লেষণাত্মক গণনা

প্রত্যাশিত মানগুলো প্রায়শই সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন-এর মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়, কিন্তু অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকস $X_{r:n}$ এবং তাদের অন্তর্নিহিত র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$-এর মধ্যে সম্পর্কটি বেশ দূরবর্তী। কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন (CDF)-এর মাধ্যমে একটি ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক পাওয়া যেতে পারে, কারণ এগুলো (দেখুন এই অনুচ্ছেদ) সন্তুষ্ট করে: $$F_{X_{r:n}}(x)=\sum _{j=r}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})F_X(x{)}^j(1-F_X(x){)}^{n-j}.$$ বিশেষত, কেউ $b_{r:n}(y)=\sum _{j=r}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})y^j(1-y{)}^{n-j}$ বহুপদী সংজ্ঞায়িত করতে পারে এবং $F_{X_{r:n}}=b_{r:n}\circ F_X$ হিসেবে প্রকাশ করতে পারে।

একটি CDF $F_X$ থাকলে, প্রত্যাশিত মান $\mathbb{𝔼}\{X\}$-কে একটি স্টিলজেস ইন্টিগ্রাল হিসেবে প্রকাশ করা যায়: $$\mathbb{𝔼}\{X\}=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }xd{F}_X(x),$$ সুতরাং $$\mathbb{𝔼}\{X_{r:n}\}=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }xd(b_{r:n}\circ F_X)(x)=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }x{b}_{r^{\prime }:n}(F_X(x))d{F}_X(x)$$ যেখানে $b_{r^{\prime }:n}$ হলো $b_{r:n}$-এর অন্তরজ। এই ইন্টিগ্রালটিকে প্রায়শই কোয়ান্টাইল ফাংশন $Q_X$ প্রবর্তনের মাধ্যমে আরও সহজ করা যায়, চলক পরিবর্তন $y=F_X(x),x=Q_X(y)$ ব্যবহার করে: $$\mathbb{𝔼}\{X_{r:n}\}=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }x{b}_{r^{\prime }:n}(F_X(x))d{F}_X(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{Q}_X(y)b_{r^{\prime }:n}(y)dy.$$ যেহেতু এল-মোমেন্টগুলো এই ধরনের প্রত্যাশিত মানের রৈখিক সমাবেশ, তাই সংশ্লিষ্ট ইন্টিগ্রালগুলোকে প্রতিটি মোমেন্টের জন্য একটিতে একত্রিত করা যায়, যেখানে ইন্টিগ্র্যান্ড হলো $Q_X(y)$ এবং একটি বহুপদীর গুণফল। আমাদের আছে $${\lambda }_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{Q}_X(y){\tilde{P}}_{n-1}(y)dy$$ যেখানে $${\tilde{P}}_m(y)=\sum _{k=0}^m(-1{)}^{m-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+k}{k})y^k$$ হলো শিফটেড লেজেন্ডার পলিনোমিয়াল, যা 0,1 ব্যবধিতে অর্থোগোনাল।

বিশেষত $$\begin{array}{rl}{\lambda }_1& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}{Q}_X(y)dy,\\ {\lambda }_2& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}{Q}_X(y)(2y-1)dy,\\ {\lambda }_3& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}{Q}_X(y)(6y^2-6y+1)dy,\\ {\lambda }_4& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}{Q}_X(y)(20y^3-30y^2+12y-1)dy.\end{array}$$

সিলিটোর উপপাদ্য

${\lambda }_n$-এর জন্য উপরের ইন্টিগ্রাল সূত্রটি একটি সাধারণীকৃত ফুরিয়ার সহগ-এর রূপ ধারণ করে এবং মোমেন্ট হিসেবে নামকরণ করার কয়েক বছর আগে থেকেই সাহিত্যে এগুলো এভাবে উপস্থিত ছিল। এই নিবন্ধের নোটেশনে, সিলিটো প্রমাণ করেছেন:

ধরি $X$ একটি বাস্তব-মান বিশিষ্ট অবিচ্ছিন্ন র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল যার সসীম ভেদাঙ্ক, কোয়ান্টাইল ফাংশন $Q_X(y)$ এবং এল-মোমেন্ট $\{{\lambda }_r{\}}_{r=1}^{\mathrm{\infty }}$ রয়েছে। তাহলে $$Q_X(y)=\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}(2r-1){\lambda }_r{\tilde{P}}_{r-1}(y)\text{for }0<y<1$$ উপস্থাপনাটি $L^2$ নর্মে অভিসারী।

যাইহোক, হোসকিং সতর্ক করেছেন যে এই সিরিজের আংশিক সমষ্টি বিন্যাসের প্রান্তগুলোর (tails) জন্য দুর্বল আসন্ন মান প্রদান করে এবং এগুলো একঘেয়ে (monotonic) হওয়ার প্রয়োজন নেই। $X$-এর কিউমুলে্যান্ট-এর পরিপ্রেক্ষিতে $Q_X$-এর কর্নিশ-ফিশার এক্সপ্যানশন-এর ক্ষেত্রেও একই ধরনের সমস্যা দেখা দেয়।

স্যাম্পল এল-মোমেন্ট

স্যাম্পল এল-মোমেন্টগুলোকে নমুনার পপুলেশন এল-মোমেন্ট হিসেবে গণনা করা যায়, নমুনার r-উপাদান বিশিষ্ট উপসেটগুলোর ওপর যোগফল নির্ণয় করে $\{x_1<\cdots <x_j<\cdots <x_r\},$ এবং তাই দ্বিপদী সহগ দ্বারা ভাগ করে গড় নির্ণয় করা হয়: $${\lambda }_r=\frac{1}{r\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})}\sum _{x_1<\cdots <x_j<\cdots <x_r}(-1{)}^{r-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{r-1}{j})x_j.$$

এগুলোকে অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকস গণনা অনুযায়ী গ্রুপ করলে দেখা যায় যে একটি n উপাদান বিশিষ্ট নমুনার একটি উপাদান কতভাবে একটি r উপাদান বিশিষ্ট উপসেটের j-তম উপাদান হতে পারে, এবং নিচের ফর্মুলাগুলো পাওয়া যায়। n পর্যবেক্ষণের একটি সসীম নমুনার প্রথম চারটি এল-মোমেন্টের জন্য সরাসরি প্রাক্কলক হলো:

$$\begin{array}{rl}{\ell }_1& =\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})}\sum _{i=1}^n{x}_{(i)}\\ {\ell }_2& =\frac{1}{2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}\sum _{i=1}^n[(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{1})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{1})]x_{(i)}\\ {\ell }_3& =\frac{1}{3(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})}\sum _{i=1}^n[(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{2})-2(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{2})]x_{(i)}\\ {\ell }_4& =\frac{1}{4(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4})}\sum _{i=1}^n[(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{3})-3(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{1})+3(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{2})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{3})]x_{(i)}\end{array}$$

যেখানে x_(i) হলো i-তম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকস এবং $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathit{\cdot }}{\mathit{\cdot }})$ হলো একটি দ্বিপদী সহগ। স্যাম্পল এল-মোমেন্টগুলোকে সম্ভাব্যতা ওয়েটেড মোমেন্ট-এর পরিপ্রেক্ষিতে পরোক্ষভাবেও সংজ্ঞায়িত করা যায়, যা তাদের গণনার জন্য আরও দক্ষ অ্যালগরিদম প্রদান করে।

এল-মোমেন্ট অনুপাত

এক সেট 'এল-মোমেন্ট অনুপাত', বা স্কেল করা এল-মোমেন্ট, সংজ্ঞায়িত করা হয় এভাবে: $${\tau }_r={\lambda }_r/{\lambda }_2,r=3,4,\dots .$$ এগুলোর মধ্যে সবচেয়ে দরকারী হলো ${\tau }_3,$ যাকে 'এল-স্কিউনেস' বলা হয়, এবং ${\tau }_4,$ 'এল-কার্টোসিস'।

এল-মোমেন্ট অনুপাত  −1, 1 ব্যবধির মধ্যে থাকে। কিছু নির্দিষ্ট এল-মোমেন্ট অনুপাতের জন্য আরও কঠোর সীমা পাওয়া যেতে পারে; বিশেষত, এল-কার্টোসিস ${\tau }_4$ থাকে  −1 /4, 1 ব্যবধিতে, এবং $$\frac{1}{4}(5{\tau }_3^2-1)\le {\tau }_4<1.$$

ভেদাঙ্ক সহগ-এর অনুরূপ একটি রাশি, কিন্তু এল-মোমেন্টের ওপর ভিত্তি করে, তাও সংজ্ঞায়িত করা যায়: $$\tau ={\lambda }_2/{\lambda }_1,$$ যাকে "এল-ভেদাঙ্ক সহগ" বা "এল-CV" বলা হয়। একটি অ-ঋণাত্মক র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, এটি  0, 1  ব্যবধিতে থাকে এবং এটি জিনি সহগ-এর সমান।

সম্পর্কিত রাশি

এল-মোমেন্ট হলো পরিসংখ্যানগত রাশি যা সম্ভাবনা ওয়েটেড মোমেন্ট (PWM) থেকে উদ্ভূত, যা আগে (১৯৭৯ সালে) সংজ্ঞায়িত হয়েছিল। PWM ব্যবহার করা হয় বিপরীত আকারে প্রকাশযোগ্য বিন্যাসের প্যারামিটারগুলো দক্ষতার সাথে প্রাক্কলন করতে, যেমন গাম্বেল, টুকেই ল্যাম্বডা, এবং ওয়েকবি বিন্যাস।

ব্যবহার

এল-মোমেন্ট ব্যবহারের দুটি সাধারণ উপায় রয়েছে, উভয় ক্ষেত্রেই প্রচলিত মোমেন্টের অনুরূপ:

1. ডেটার জন্য সারসংক্ষেপ পরিসংখ্যান হিসেবে।
2. সম্ভাব্যতা বিন্যাস-এর প্যারামিটারগুলোর প্রাক্কলক উদ্ভূত করতে, প্রচলিত মোমেন্টের পরিবর্তে এল-মোমেন্টের ওপর মোমেন্ট পদ্ধতি প্রয়োগ করে।

এগুলো ছাড়াও, পরবর্তী (প্রাক্কলন) পদ্ধতিটি সাধারণত সর্বোচ্চ সম্ভাবনা (maximum likelihood) পদ্ধতি ব্যবহার করে করা হয়; তবে এল-মোমেন্ট ব্যবহারের বেশ কিছু সুবিধা রয়েছে। বিশেষত, এল-মোমেন্ট প্রচলিত মোমেন্টের চেয়ে বেশি দৃঢ় (robust), এবং উচ্চতর এল-মোমেন্টের অস্তিত্বের জন্য শুধুমাত্র র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের সসীম গড় থাকা প্রয়োজন। প্রাক্কলনের জন্য এল-মোমেন্ট অনুপাতের একটি অসুবিধা হলো তাদের সাধারণত ছোট সংবেদনশীলতা। উদাহরণস্বরূপ, ল্যাপলাস বিন্যাসের কার্টোসিস ৬ এবং দুর্বল এক্সপোনেনশিয়াল টেইল রয়েছে, কিন্তু এর চতুর্থ এল-মোমেন্ট অনুপাত ৩ ডিগ্রি অফ ফ্রিডম বিশিষ্ট স্টুডেন্ট-টি বিন্যাসের চেয়ে বড়, যার কার্টোসিস অসীম এবং অনেক ভারী টেইল রয়েছে।

উদাহরণ হিসেবে, অল্প কিছু ডেটা পয়েন্ট এবং একটি আউটলায়ার ডেটা মান বিশিষ্ট একটি ডেটাসেট বিবেচনা করুন। যদি এই ডেটাসেটের সাধারণ মানক বিচ্যুতি নেওয়া হয়, তবে এটি এই একটি পয়েন্ট দ্বারা অত্যন্ত প্রভাবিত হবে: তবে, যদি এল-স্কেল নেওয়া হয়, তবে এটি এই ডেটা মানের প্রতি অনেক কম সংবেদনশীল হবে। ফলস্বরূপ, ডেটাতে আউটলায়ার নিয়ে কাজ করার সময় এল-মোমেন্ট প্রচলিত মোমেন্টের চেয়ে অনেক বেশি অর্থবহ। তবে, মোমেন্টকে এল-মোমেন্ট দ্বারা প্রতিস্থাপন করার চেয়ে আরও বেশি দৃঢ়তা অর্জনের জন্য অন্যান্য উপযুক্ত পদ্ধতিও রয়েছে। এর একটি উদাহরণ হলো এক্সট্রিম ভ্যালু থিওরি (EVT)-তে সারসংক্ষেপ পরিসংখ্যান হিসেবে এল-মোমেন্ট ব্যবহার করা। এই প্রয়োগটি এল-মোমেন্টের সীমিত দৃঢ়তা প্রদর্শন করে, অর্থাৎ এল-স্ট্যাটিস্টিকস প্রতিরোধী পরিসংখ্যান (resistant statistics) নয়, কারণ একটি একক চরম মান তাদের প্রভাবিত করতে পারে, কিন্তু যেহেতু তারা শুধুমাত্র রৈখিক (উচ্চ-ক্রমের পরিসংখ্যান নয়), তাই তারা প্রচলিত মোমেন্টের চেয়ে চরম মান দ্বারা কম প্রভাবিত হয়।

প্রচলিত মোমেন্টের ওপর এল-মোমেন্টের আরেকটি সুবিধা হলো যে তাদের অস্তিত্বের জন্য শুধুমাত্র র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের সসীম গড় থাকা প্রয়োজন, তাই উচ্চতর প্রচলিত মোমেন্ট বিদ্যমান না থাকলেও এল-মোমেন্ট বিদ্যমান থাকে (উদাহরণস্বরূপ, কম ডিগ্রি অফ ফ্রিডম বিশিষ্ট স্টুডেন্ট-টি বিন্যাস-এর জন্য)। এল-মোমেন্টের প্রাক্কলনের মানক ত্রুটি সসীম হওয়ার জন্য অতিরিক্ত একটি সসীম ভেদাঙ্ক প্রয়োজন।

পরিসংখ্যানগত সাহিত্যে এল-মোমেন্টের কিছু উপস্থিতি ডেভিড ও নাগারাজা (২০০৩, অনুচ্ছেদ ৯.৯) বইটিতে এবং বেশ কিছু গবেষণাপত্রে দেখা যায়। এল-মোমেন্টের সাথে সাধারণ মোমেন্টের বেশ কিছু অনুকূল তুলনা রিপোর্ট করা হয়েছে।

কিছু সাধারণ বিন্যাসের মান

নিচের সারণীতে কিছু সাধারণ অবিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিন্যাস-এর প্রথম দুটি এল-মোমেন্টের রাশি এবং প্রথম দুটি এল-মোমেন্ট অনুপাতের সংখ্যাসূচক মান দেওয়া হলো। আরও জটিল বিন্যাসের জন্য জটিল রাশি উদ্ভূত হয়েছে, যার এল-মোমেন্ট অনুপাত এক বা একাধিক বিন্যাস প্যারামিটারের সাথে পরিবর্তিত হয়, যার মধ্যে রয়েছে লগ-নরমাল, গামা, সাধারণীকৃত প্যারেটো, সাধারণীকৃত চরম মান, এবং সাধারণীকৃত লজিস্টিক বিন্যাস।

বিন্যাস	প্যারামিটার	গড়, λ1	এল-স্কেল, λ2	এল-স্কিউনেস, τ3	এল-কার্টোসিস, τ4
ইউনিফর্ম	a, b	1/2(a + b)	1/6(b – a)	0	0
লজিস্টিক	μ, s	μ	s	0	1= 1/6 = 0.1667
নরমাল	μ, σ2	μ	σ/π	0	1= 30 θm/π  − 9 = 0.1226
ল্যাপলাস	μ, b	μ	3/4 b	0	1= 1/3 2 = 0.2357
স্টুডেন্ট-টি, ২ d.f.	1= ν = 2	0	1= π/2 2 = 1.111	0	1= 3/8 = 0.375
স্টুডেন্ট-টি, ৪ d.f.	1= ν = 4	0	1= 15/64 π = 0.7363	0	1= 111/512 = 0.2168
এক্সপোনেনশিয়াল	λ	1/λ	1/2 λ	1= 1/3 = 0.3333	1= 1/6 = 0.1667
গাম্বেল	μ, β	μ + γe β	β log2(3)	1= 2 log2(3) − 3 = 0.1699	1= 16 − 10 log2(3) = 0.1504

প্রতিটি বিন্যাসের প্যারামিটারের নোটেশন লিঙ্কযুক্ত নিবন্ধে ব্যবহৃত নোটেশনের মতোই। গাম্বেল বিন্যাস-এর গড়ের রাশিতে, γ_e হলো অয়লার-মাসকেরোনি ধ্রুবক 0.5772 1566 4901 ... ।

সম্প্রসারণ

'ট্রিমড এল-মোমেন্ট' (Trimmed L-moments) হলো এল-মোমেন্টের সাধারণীকরণ যা চরম পর্যবেক্ষণগুলোকে শূন্য গুরুত্ব দেয়। তাই এগুলো আউটলায়ারের উপস্থিতির প্রতি বেশি দৃঢ়, এবং এল-মোমেন্টের বিপরীতে এগুলো এমন বিন্যাসের জন্য সুসংজ্ঞায়িত হতে পারে যার গড় বিদ্যমান নেই, যেমন কশি বিন্যাস।

আরও দেখুন

• এল-এস্টিমেটর

বহিঃসংযোগ

• এল-মোমেন্ট পৃষ্ঠা জোনাথন আর.এম. হোসকিং, আইবিএম রিসার্চ
• এল মোমেন্ট। ডেটাপ্লট রেফারেন্স ম্যানুয়াল, খণ্ড ১, সহায়ক অধ্যায়। ন্যাশনাল ইনস্টিটিউট অফ স্ট্যান্ডার্ডস অ্যান্ড টেকনোলজি, ২০০৬। সংগৃহীত ২০১০-০৫-২৫।
• Lmo লাইটওয়েট পাইথন, যাতে এল-মোমেন্ট, ট্রিমড এল-মোমেন্ট এবং মাল্টিভ্যারিয়েট এল-কোমোমেন্ট দ্রুত গণনার ফাংশন অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

expanded descriptive

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “L-moment” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/L-moment এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।