लॉजिस्टिक फलन

एक लॉजिस्टिक फलन (logistic function) या लॉजिस्टिक वक्र (logistic curve) एक सामान्य S-आकार का वक्र (सिग्मॉइड वक्र) है, जिसका समीकरण है:

$f (x) = \frac{L}{1 + e^{- k (x - x_{0})}}$

जहाँ

$L$ वहन क्षमता (carrying capacity) है, जो फलन के मानों का उच्चतमक (supremum) है;
$k$ लॉजिस्टिक वृद्धि दर है, जो वक्र की ढलान को दर्शाता है; और
$x_{0}$ फलन के मध्यबिंदु का $x$ मान है।^[1]

लॉजिस्टिक फलन का प्रांत (domain) वास्तविक संख्याएँ हैं, $x$ के $- \infty$ की ओर अग्रसर होने पर सीमा 0 है, और $x$ के $+ \infty$ की ओर अग्रसर होने पर सीमा $L$ है।

ऋणात्मक तर्क वाले चरघातांकी फलन ( $e^{- x}$ ) का उपयोग मानक लॉजिस्टिक फलन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है जहाँ $L = 1, k = 1, x_{0} = 0$ है, जिसका समीकरण है: $f (x) = \frac{1}{1 + e^{- x}}$ और इसे कभी-कभी केवल सिग्मॉइड फलन कहा जाता है।^[2] इसे कभी-कभी एक्सपिट (expit) भी कहा जाता है, क्योंकि यह लॉगिट (logit) का व्युत्क्रम फलन है।

लॉजिस्टिक फलन का अनुप्रयोग कई क्षेत्रों में होता है, जिनमें जीव विज्ञान (विशेष रूप से पारिस्थितिकी), जैव गणित, रसायन विज्ञान, जनसांख्यिकी, अर्थशास्त्र, भूविज्ञान, गणितीय मनोविज्ञान, प्रायिकता, समाजशास्त्र, राजनीति विज्ञान, भाषाविज्ञान, सांख्यिकी और कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क शामिल हैं। क्षेत्र के आधार पर इसके विभिन्न सामान्यीकरण मौजूद हैं।

इतिहास

लॉजिस्टिक फलन को पियरे फ्रांस्वा वर्हल्स्ट (Pierre François Verhulst) द्वारा 1838 और 1847 के बीच तीन शोध पत्रों की एक श्रृंखला में प्रस्तुत किया गया था। उन्होंने इसे एडोल्फ क्वेटलेट के मार्गदर्शन में चरघातांकी वृद्धि मॉडल को समायोजित करके जनसंख्या वृद्धि के एक मॉडल के रूप में तैयार किया था।(Cramer, 2002, pp. 3–5) वर्हल्स्ट ने पहली बार 1830 के दशक के मध्य में इस फलन को तैयार किया, 1838 में एक संक्षिप्त नोट प्रकाशित किया,^[1] फिर 1844 में (1845 में प्रकाशित) एक विस्तृत विश्लेषण प्रस्तुत किया और फलन का नामकरण किया;^{[note 1]} तीसरे शोध पत्र ने बेल्जियम की जनसंख्या वृद्धि के उनके मॉडल में सुधार पद (correction term) को समायोजित किया।

वृद्धि का प्रारंभिक चरण लगभग चरघातांकी (ज्यामितीय) होता है; फिर, जैसे ही संतृप्ति शुरू होती है, वृद्धि धीमी होकर रैखिक (अंकगणितीय) हो जाती है, और परिपक्वता पर, वृद्धि एक चरघातांकी रूप से घटते अंतराल के साथ सीमा के करीब पहुंच जाती है, जैसे कि प्रारंभिक चरण का उल्टा।

वर्हल्स्ट ने "लॉजिस्टिक" (logistique) शब्द के चयन की व्याख्या नहीं की, लेकिन संभवतः यह लॉगरिदमिक वक्र के विपरीत है,^[3]^{[note 2]} और अंकगणितीय तथा ज्यामितीय के सादृश्य पर आधारित है। उनके वृद्धि मॉडल से पहले अंकगणितीय वृद्धि और ज्यामितीय वृद्धि (जिसके वक्र को वे लॉगरिदमिक वक्र कहते हैं, न कि आधुनिक शब्द चरघातांकी वक्र) की चर्चा की गई है, और इस प्रकार "लॉजिस्टिक वृद्धि" का नाम संभवतः सादृश्य द्वारा रखा गया है, लॉजिस्टिक शब्द logistikós से आया है, जो यूनानी गणित का एक पारंपरिक विभाजन है।^{[note 3]}

प्राचीन यूनानी गणितीय शब्दों से व्युत्पन्न एक शब्द के रूप में,^[4] इस फलन का नाम सैन्य और प्रबंधन शब्द लॉजिस्टिक्स (logistics) से संबंधित नहीं है, जो इसके बजाय logis "आवास" से आया है, हालांकि कुछ का मानना है कि यूनानी शब्द ने भी लॉजिस्टिक्स को प्रभावित किया है; विवरण के लिए Origin देखें।

गणितीय गुण

मानक लॉजिस्टिक फलन वह लॉजिस्टिक फलन है जिसमें पैरामीटर $k = 1$ , $x_{0} = 0$ , $L = 1$ होते हैं, जो देता है:

$f (x) = \frac{1}{1 + e^{- x}} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} = \frac{e^{x / 2}}{e^{x / 2} + e^{- x / 2}} .$

व्यवहार में, चरघातांकी फलन $e^{- x}$ की प्रकृति के कारण, अक्सर $x$ के वास्तविक संख्याओं की एक छोटी सीमा, जैसे [−6, +6] में निहित सीमा, के लिए मानक लॉजिस्टिक फलन की गणना करना पर्याप्त होता है, क्योंकि यह तेजी से अपने संतृप्ति मानों 0 और 1 के बहुत करीब पहुंच जाता है।

समरूपता

लॉजिस्टिक फलन में समरूपता का गुण होता है कि

$1 - f (x) = f (- x) .$

यह दर्शाता है कि जब $x$ छोटा होता है तो 0 से वृद्धि, जब $x$ बड़ा होता है तो सीमा (1) तक के अंतराल के क्षय के साथ सममित होती है।

इसके अलावा, $x \mapsto f (x) - 1 / 2$ एक विषम फलन (odd function) है।

लॉजिस्टिक फलन और ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में इसके प्रतिबिंब, $f (- x)$ , का योग है:

$\frac{1}{1 + e^{- x}} + \frac{1}{1 + e^{- (- x)}} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} + \frac{1}{e^{x} + 1} = 1 .$

इस प्रकार लॉजिस्टिक फलन बिंदु (0, 1/2) के बारे में घूर्णी रूप से सममित है।^[5]

व्युत्क्रम फलन

लॉजिस्टिक फलन प्राकृतिक लॉगिट (logit) फलन का व्युत्क्रम है:

$logit p = \log \frac{p}{1 - p} for 0 < p < 1$

और इसलिए यह ऑड्स (odds) के लघुगणक को प्रायिकता में परिवर्तित करता है।

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \operatorname{logistic}(\operatorname{logit}(p)) = \dfrac{1}{1+e^{-\log\left(\frac{p}{1-p}\right) = \dfrac{1}{1+e^{\log\left(\left(\frac{p}{1-p}\right)^{-1}\right)}} = \dfrac{1}{1+\frac{1-p}{p}} = \dfrac{p}{p+1-p} = p } }}

दो विकल्पों के लॉग-संभाव्यता अनुपात (log-likelihood ratio) से रूपांतरण भी लॉजिस्टिक वक्र का रूप लेता है।

हाइपरबोलिक टेंजेंट

लॉजिस्टिक फलन एक ऑफसेट और स्केल्ड हाइपरबोलिक टेंजेंट फलन है: $f (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \tanh (\frac{x}{2}),$ या $\tanh (x) = 2 f (2 x) - 1 .$

यह इससे अनुसरण करता है: $\begin{aligned} \tanh (x) & = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} \\ = \frac{e^{x} \cdot (1 - e^{- 2 x})}{e^{x} \cdot (1 + e^{- 2 x})} \\ = f (2 x) - \frac{e^{- 2 x}}{1 + e^{- 2 x}} \\ = f (2 x) - \frac{e^{- 2 x} + 1 - 1}{1 + e^{- 2 x}} \\ = 2 f (2 x) - 1 . \end{aligned}$

हाइपरबोलिक-टेंजेंट संबंध लॉजिस्टिक फलन के अवकलज (derivative) के लिए एक और रूप की ओर ले जाता है:

$\frac{d}{d x} f (x) = \frac{1}{4} {sech}^{2} (\frac{x}{2}),$

जो लॉजिस्टिक फलन को लॉजिस्टिक वितरण से जोड़ता है।

ज्यामितीय रूप से, हाइपरबोलिक टेंजेंट फलन इकाई हाइपरबोला $x^{2} - y^{2} = 1$ पर हाइपरबोलिक कोण है, जिसका गुणनखंड $(x + y) (x - y) = 1$ होता है, और इस प्रकार इसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाएं हैं जिनकी ढाल -1 और 1 है, तथा शीर्ष (1, 0) पर है जो tanh के परास और मध्यबिंदु (0/1 = 0) के अनुरूप है। इसी प्रकार, लॉजिस्टिक फलन को हाइपरबोला $x y - y^{2} = 1$ पर हाइपरबोलिक कोण के रूप में देखा जा सकता है, जिसका गुणनखंड $y (x - y) = 1$ है, और इस प्रकार इसके अनंतस्पर्शी मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाएं हैं जिनकी ढाल 0 और 1 है, तथा शीर्ष (2, 1) पर है, जो लॉजिस्टिक फलन के परास और मध्यबिंदु (1/2) के अनुरूप है।

पैरामीट्रिक रूप से, हाइपरबोलिक कोसाइन और हाइपरबोलिक साइन इकाई हाइपरबोला पर निर्देशांक देते हैं:^{[note 4]} $((e^{t} + e^{- t}) / 2, (e^{t} - e^{- t}) / 2)$ , जिसका भागफल हाइपरबोलिक टेंजेंट है। इसी तरह, $(e^{t / 2} + e^{- t / 2}, e^{t / 2})$ हाइपरबोला $x y - y^{2} = 1$ का पैरामीट्रिक निरूपण करता है, जिसका भागफल लॉजिस्टिक फलन है। ये रैखिक रूपांतरणों (और पैरामीट्रिक निरूपण को पुन: स्केल करने) के अनुरूप हैं हाइपरबोला $x y = 1$ , जिसका पैरामीट्रिक निरूपण $(e^{- t}, e^{t})$ है: लॉजिस्टिक फलन के लिए हाइपरबोला का पैरामीट्रिक निरूपण $t / 2$ और रैखिक रूपांतरण $(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ के अनुरूप है, जबकि इकाई हाइपरबोला का पैरामीट्रिक निरूपण (हाइपरबोलिक टेंजेंट के लिए) रैखिक रूपांतरण $\frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix})$ के अनुरूप है।

अवकलज

मानक लॉजिस्टिक फलन का एक आसानी से गणना किया जाने वाला अवकलज होता है। अवकलज को लॉजिस्टिक वितरण के घनत्व के रूप में जाना जाता है:

$f (x) = \frac{1}{1 + e^{- x}} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}},$

Failed to parse (unknown function "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx} f(x) &= \frac{e^x \cdot (1 + e^x) - e^x \cdot e^x} }

इसलिए बिंदु $a$ के परितः इसकी टेलर श्रेणी है

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle f(x) = f(a) + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{i=1}^n \frac{\left(\sum_{j=1}^n {\left(-1\right)}^{i+j} \binom{i}{j} j^n\right) e^{-ia}} \frac.}

अधिक मात्रात्मक रूप से, जैसा कि विश्लेषणात्मक समाधान से देखा जा सकता है, लॉजिस्टिक वक्र ऋणात्मक तर्क (argument) के लिए प्रारंभिक घातांकीय वृद्धि दिखाता है, जो 0 के निकट तर्क के लिए 1/4 ढाल की रैखिक वृद्धि तक पहुँचता है, फिर घातांकीय रूप से घटते अंतराल के साथ 1 के करीब पहुँचता है।

ऊपर व्युत्पन्न अवकल समीकरण एक सामान्य अवकल समीकरण का एक विशेष मामला है जो केवल $x > 0$ के लिए सिग्मॉइड फलन को मॉडल करता है। कई मॉडलिंग अनुप्रयोगों में, अधिक सामान्य रूप $\frac{d f (x)}{d x} = \frac{k}{L} f (x) (L - f (x)), f (0) = \frac{L}{1 + e^{k x_{0}}}$ वांछनीय हो सकता है। इसका समाधान स्थानांतरित और स्केल किया गया सिग्मॉइड फलन $L σ (k (x - x_{0})) = \frac{L}{1 + e^{- k (x - x_{0})}}$ है।

संभाव्यता व्याख्या

আরও দেখুন: लॉजिस्टिक रिग्रेशन

जब क्षमता $L = 1$ होती है, तो लॉजिस्टिक फलन का मान (0, 1) परास में होता है और इसे संभाव्यता p के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है।^{[note 5]} अधिक विस्तार में, p को दो विकल्पों में से एक की संभाव्यता (एक बर्नौली वितरण का पैरामीटर) के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है;^{[note 6]} दो विकल्प पूरक हैं, इसलिए दूसरे विकल्प की संभाव्यता $q = 1 - p$ है और $p + q = 1$ है। दो विकल्पों को 1 और 0 के रूप में कोडित किया गया है, जो $x \to \pm \infty$ के रूप में सीमा मानों के अनुरूप हैं।

इस व्याख्या में इनपुट x पहले विकल्प के लिए लॉग-ऑड्स है (दूसरे के सापेक्ष, "लॉजिस्टिक इकाइयों" या लॉगिट में मापा गया), और इसलिए e^x पहले विकल्प के लिए ऑड्स है (दूसरे के सापेक्ष)। किसी घटना के लिए $O = O : 1$ (1 के विरुद्ध O) ऑड्स दिए जाने पर, संभाव्यता "पक्ष" का "पक्ष प्लस विपक्ष" के अनुपात के बराबर होती है, $O / (O + 1)$ । हम देखते हैं कि लॉजिस्टिक फलन, $e^{x} / (e^{x} + 1) = 1 / (1 + e^{- x}) = p$ , पहले विकल्प की संभाव्यता है।

इसके विपरीत, x दूसरे विकल्प के विरुद्ध लॉग-ऑड्स है, -x दूसरे विकल्प के पक्ष में लॉग-ऑड्स है, $e^{- x}$ दूसरे विकल्प के लिए ऑड्स है, और $e^{- x} / (e^{- x} + 1) = 1 / (1 + e^{x}) = q = 1 - p$ दूसरे विकल्प की संभाव्यता है।

इसे दो इनपुट, x_0 और x_1 के संदर्भ में अधिक सममित रूप से तैयार किया जा सकता है, जो फिर स्वाभाविक रूप से दो से अधिक विकल्पों के लिए सामान्यीकृत हो जाता है। दो वास्तविक संख्या इनपुट, x_0 और x_1 दिए गए हैं, जिन्हें लॉजिट (logits) के रूप में व्याख्यायित किया जाता है, उनका 'अंतर' $x_{1} - x_{0}$ विकल्प 1 के लिए लॉग-ऑड्स (विकल्प 0 के 'विरुद्ध' लॉग-ऑड्स) है, $e^{x_{1} - x_{0}}$ ऑड्स है, $e^{x_{1} - x_{0}} / (e^{x_{1} - x_{0}} + 1) = 1 / (1 + e^{- (x_{1} - x_{0})}) = e^{x_{1}} / (e^{x_{0}} + e^{x_{1}})$ विकल्प 1 की प्रायिकता है, और इसी प्रकार $e^{x_{0}} / (e^{x_{0}} + e^{x_{1}})$ विकल्प 0 की प्रायिकता है।

यह रूप तुरंत सॉफ्टमैक्स फंक्शन (softmax function) के रूप में अधिक विकल्पों के लिए सामान्यीकृत हो जाता है, जो एक वेक्टर-वैल्यूड फंक्शन (vector-valued function) है जिसका i-वां निर्देशांक $e^{x_{i}} / \sum_{i = 0}^{n} e^{x_{i}}$ है।

अधिक सूक्ष्म रूप से, सममित रूप इनपुट x को $x_{1} - x_{0}$ के रूप में और इस प्रकार किसी संदर्भ बिंदु के 'सापेक्ष', अंतर्निहित रूप से $x_{0} = 0$ के सापेक्ष व्याख्या करने पर जोर देता है। विशेष रूप से, सॉफ्टमैक्स फंक्शन सभी लॉजिट्स $x_{i}$ में एक स्थिरांक जोड़ने पर अपरिवर्तनीय रहता है, जो इस अंतर $x_{j} - x_{i}$ के अनुरूप है कि यह विकल्प j के लिए विकल्प i के विरुद्ध लॉग-ऑड्स है, लेकिन व्यक्तिगत लॉजिट्स $x_{i}$ अपने आप में लॉग-ऑड्स नहीं हैं। अक्सर विकल्पों में से एक का उपयोग संदर्भ ("पिवट") के रूप में किया जाता है, और इसका मान 0 पर स्थिर किया जाता है, इसलिए अन्य लॉजिट्स की व्याख्या इस संदर्भ के विरुद्ध ऑड्स के रूप में की जाती है। यह आमतौर पर पहले विकल्प के साथ किया जाता है, इसलिए अंकन का चुनाव इस प्रकार है: $x_{0} = 0$ , और फिर $x_{i} = x_{i} - x_{0}$ विकल्प i के लिए विकल्प 0 के विरुद्ध लॉग-ऑड्स है। चूंकि $e^{0} = 1$ होता है, इसलिए यह लॉजिस्टिक फंक्शन और सामान्यीकरणों के लिए कई अभिव्यक्तियों में $+ 1$ पद प्रदान करता है।^{[note 7]}

सामान्यीकरण

विकास मॉडलिंग में, कई सामान्यीकरण मौजूद हैं, जिनमें सामान्यीकृत लॉजिस्टिक वक्र, गोम्पर्ट्ज़ फंक्शन, शिफ्टेड गोम्पर्ट्ज़ डिस्ट्रीब्यूशन का संचयी वितरण फंक्शन, और टाइप I का हाइपरबोलास्टिक फंक्शन शामिल हैं।

सांख्यिकी में, जहाँ लॉजिस्टिक फंक्शन की व्याख्या दो विकल्पों में से एक की प्रायिकता के रूप में की जाती है, तीन या अधिक विकल्पों के लिए सामान्यीकरण सॉफ्टमैक्स फंक्शन है, जो वेक्टर-वैल्यूड होता है, क्योंकि यह प्रत्येक विकल्प की प्रायिकता देता है।

अनुप्रयोग

पारिस्थितिकी में: जनसंख्या वृद्धि का मॉडलिंग

लॉजिस्टिक समीकरण का एक विशिष्ट अनुप्रयोग जनसंख्या वृद्धि (देखें जनसंख्या गतिकी) का एक सामान्य मॉडल है, जो मूल रूप से 1838 में पियरे-फ्रांस्वा वेरहल्स्ट द्वारा दिया गया था, जहाँ प्रजनन की दर मौजूदा जनसंख्या और उपलब्ध संसाधनों की मात्रा दोनों के समानुपाती होती है, बशर्ते अन्य सभी स्थितियाँ समान हों। वेरहल्स्ट समीकरण तब प्रकाशित हुआ था जब वेरहल्स्ट ने थॉमस माल्थस का एन एसे ऑन द प्रिंसिपल ऑफ पॉपुलेशन पढ़ा था, जो सरल (अप्रतिबंधित) घातीय वृद्धि के माल्थुसियन विकास मॉडल का वर्णन करता है। वेरहल्स्ट ने एक जैविक जनसंख्या की स्व-सीमित वृद्धि का वर्णन करने के लिए अपना लॉजिस्टिक समीकरण व्युत्पन्न किया। यह समीकरण 1911 में ए. जी. मैकेंड्रिक द्वारा शोरबे में बैक्टीरिया की वृद्धि के लिए फिर से खोजा गया था और गैर-रेखीय पैरामीटर अनुमान के लिए एक तकनीक का उपयोग करके प्रयोगात्मक रूप से परीक्षण किया गया था।^[6] इस समीकरण को कभी-कभी 1920 में जॉन्स हॉपकिन्स विश्वविद्यालय के रेमंड पर्ल (1879–1940) और लोवेल रीड (1888–1966) द्वारा इसकी पुनर्खोज के बाद वेरहल्स्ट-पर्ल समीकरण भी कहा जाता है। एक अन्य वैज्ञानिक, अल्फ्रेड जे. लोटका ने 1925 में समीकरण को फिर से व्युत्पन्न किया और इसे जनसंख्या वृद्धि का नियम कहा।

यदि $P$ जनसंख्या के आकार को दर्शाता है (पारिस्थितिकी में अक्सर $N$ का उपयोग किया जाता है) और $t$ समय को दर्शाता है, तो इस मॉडल को अवकल समीकरण द्वारा औपचारिक रूप दिया जाता है:

$\frac{d P}{d t} = r P (1 - \frac{P}{K}),$

जहाँ स्थिरांक $r$ वृद्धि दर को परिभाषित करता है और $K$ वहन क्षमता (carrying capacity) है।

समीकरण में, प्रारंभिक, अबाधित वृद्धि दर को पहले पद $+ r P$ द्वारा मॉडल किया गया है। दर $r$ का मान समय की एक इकाई में जनसंख्या $P$ की आनुपातिक वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता है। बाद में, जैसे-जैसे जनसंख्या बढ़ती है, दूसरे पद का मापांक (जिसे गुणा करने पर $- r P^{2} / K$ प्राप्त होता है) लगभग पहले पद जितना बड़ा हो जाता है, क्योंकि जनसंख्या $P$ के कुछ सदस्य भोजन या रहने की जगह जैसे किसी महत्वपूर्ण संसाधन के लिए प्रतिस्पर्धा करके एक-दूसरे में हस्तक्षेप करते हैं। इस विरोधी प्रभाव को 'बाधा' (bottleneck) कहा जाता है, और इसे पैरामीटर $K$ के मान द्वारा मॉडल किया जाता है। प्रतिस्पर्धा संयुक्त वृद्धि दर को कम कर देती है, जब तक कि $P$ का मान बढ़ना बंद न हो जाए (इसे जनसंख्या की 'परिपक्वता' कहा जाता है)। समीकरण का समाधान ( $P_{0}$ प्रारंभिक जनसंख्या होने पर) है

$P (t) = \frac{K P_{0} e^{r t}}{K + P_{0} (e^{r t} - 1)} = \frac{K}{1 + (\frac{K - P_{0}}{P_{0}}) e^{- r t}},$

जहाँ

$\lim_{t \to \infty} P (t) = K,$

जहाँ $K$ , $P$ का सीमा मान है, वह उच्चतम मान जिसे जनसंख्या अनंत समय दिए जाने पर प्राप्त कर सकती है (या सीमित समय में प्राप्त करने के करीब आ सकती है)। वहन क्षमता प्रारंभिक मान $P (0) > 0$ से स्वतंत्र रूप से और $P (0) > K$ के मामले में भी स्पर्शोन्मुख रूप से प्राप्त की जाती है।

पारिस्थितिकी में, प्रजातियों को कभी-कभी उनकी जीवन इतिहास रणनीतियों को आकार देने वाली चयनात्मक प्रक्रियाओं के आधार पर $r$ -रणनीतिकार या $K$ -रणनीतिकार के रूप में संदर्भित किया जाता है। चर आयामों को चुनना ताकि $n$ वहन क्षमता की इकाइयों में जनसंख्या को मापे, और $τ$ समय को $1 / r$ की इकाइयों में मापे, तो आयामहीन अवकल समीकरण प्राप्त होता है

$\frac{d n}{d τ} = n (1 - n) .$

समाकल

लॉजिस्टिक फंक्शन के पारिस्थितिक रूप के प्रतिअवकलज (antiderivative) की गणना $u = K + P_{0} (e^{r t} - 1)$ के प्रतिस्थापन द्वारा की जा सकती है, क्योंकि $d u = r P_{0} e^{r t} d t$

$\int \frac{K P_{0} e^{r t}}{K + P_{0} (e^{r t} - 1)} d t = \int \frac{K}{r} \frac{1}{u} d u = \frac{K}{r} \ln u + C = \frac{K}{r} \ln (K + P_{0} (e^{r t} - 1)) + C$

समय-परिवर्ती वहन क्षमता

चूंकि पर्यावरणीय स्थितियां वहन क्षमता को प्रभावित करती हैं, परिणामस्वरूप यह समय-परिवर्ती हो सकती है, जहाँ $K (t) > 0$ हो, जो निम्नलिखित गणितीय मॉडल की ओर ले जाता है:

$\frac{d P}{d t} = r P \cdot (1 - \frac{P}{K (t)}) .$

एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण मामला वहन क्षमता का है जो अवधि $T$ के साथ समय-समय पर बदलती रहती है:

$K (t + T) = K (t) .$

यह दिखाया जा सकता है^[7] कि ऐसे मामले में, प्रारंभिक मान $P (0) > 0$ से स्वतंत्र रूप से, $P (t)$ एक अद्वितीय आवधिक समाधान $P_{*} (t)$ की ओर प्रवृत्त होगा, जिसकी अवधि $T$ है।

$T$ का एक विशिष्ट मान एक वर्ष है: ऐसे मामले में $K (t)$ मौसम की स्थितियों के आवधिक परिवर्तनों को प्रतिबिंबित कर सकता है।

एक और दिलचस्प सामान्यीकरण यह विचार करना है कि वहन क्षमता $K (t)$ पहले के समय में जनसंख्या का एक फंक्शन है, जो जनसंख्या द्वारा अपने पर्यावरण को संशोधित करने के तरीके में देरी को दर्शाता है। यह एक लॉजिस्टिक विलंब समीकरण की ओर ले जाता है,^[8] जिसका व्यवहार बहुत समृद्ध है, जिसमें कुछ पैरामीटर रेंज में द्विस्थिरता (bistability), साथ ही शून्य तक एकदिष्ट क्षय, सुचारू घातीय वृद्धि, रुक-रुक कर असीमित वृद्धि (अर्थात, कई S-आकार), रुक-रुक कर वृद्धि या स्थिर स्तर पर परिवर्तन, स्थिर स्तर तक दोलनी दृष्टिकोण, स्थायी दोलन, सीमित-समय विलक्षणताएँ (singularities) और साथ ही सीमित-समय मृत्यु शामिल हैं।

सांख्यिकी और मशीन लर्निंग में

लॉजिस्टिक फलनों का उपयोग सांख्यिकी में कई भूमिकाओं में किया जाता है। उदाहरण के लिए, वे लॉजिस्टिक वितरण परिवार के संचयी वितरण फलन (cumulative distribution function) हैं, और इनका उपयोग, थोड़ा सरल रूप में, एलो रेटिंग प्रणाली (Elo rating system) में शतरंज खिलाड़ी के अपने प्रतिद्वंद्वी को हराने की संभावना को मॉडल करने के लिए किया जाता है। अब अधिक विशिष्ट उदाहरण दिए गए हैं।

लॉजिस्टिक रिग्रेशन

মূল নিবন্ধ: Logistic regression

लॉजिस्टिक फलनों का उपयोग लॉजिस्टिक रिग्रेशन में यह मॉडल करने के लिए किया जाता है कि किसी घटना की संभावना $p$ एक या अधिक व्याख्यात्मक चर (explanatory variables) से कैसे प्रभावित हो सकती है: एक उदाहरण के रूप में मॉडल इस प्रकार होगा

$p = f (a + b x),$

जहाँ $x$ व्याख्यात्मक चर है, $a$ और $b$ फिट किए जाने वाले मॉडल पैरामीटर हैं, और $f$ मानक लॉजिस्टिक फलन है।

लॉजिस्टिक रिग्रेशन और अन्य लॉग-लीनियर मॉडल का उपयोग मशीन लर्निंग में भी सामान्यतः किया जाता है। कई इनपुट के लिए लॉजिस्टिक फलन का एक सामान्यीकरण सॉफ्टमैक्स सक्रियण फलन (softmax activation function) है, जिसका उपयोग मल्टीनोमियल लॉजिस्टिक रिग्रेशन में किया जाता है।

लॉजिस्टिक फलन का एक अन्य अनुप्रयोग राश मॉडल (Rasch model) में है, जिसका उपयोग आइटम रिस्पॉन्स थ्योरी में किया जाता है। विशेष रूप से, राश मॉडल श्रेणीबद्ध डेटा (categorical data) के संग्रह के आधार पर, सातत्य (continuum) पर वस्तुओं या व्यक्तियों के स्थानों के अधिकतम संभावना (maximum likelihood) अनुमान के लिए एक आधार बनाता है, उदाहरण के लिए सही और गलत के रूप में वर्गीकृत प्रतिक्रियाओं के आधार पर सातत्य पर व्यक्तियों की क्षमताएं।

न्यूरल नेटवर्क

लॉजिस्टिक फलनों का उपयोग अक्सर कृत्रिम न्यूरल नेटवर्क में मॉडल में अरेखीयता (nonlinearity) लाने या संकेतों को एक निर्दिष्ट अंतराल (गणित) के भीतर सीमित करने के लिए किया जाता है। एक लोकप्रिय न्यूरल नेट तत्व अपने इनपुट संकेतों का एक रैखिक संयोजन (linear combination) संगणित करता है, और परिणाम पर सक्रियण फलन (activation function) के रूप में एक परिबद्ध लॉजिस्टिक फलन लागू करता है; इस मॉडल को शास्त्रीय थ्रेशोल्ड न्यूरॉन के एक "सुचारू" संस्करण के रूप में देखा जा सकता है।

न्यूरल नेटवर्क में इसकी लोकप्रियता का एक कारण यह है कि लॉजिस्टिक फलन अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है

$y^{'} = y (1 - y) .$

दायां पक्ष एक निम्न-डिग्री बहुपद है। इसके अलावा, बहुपद में $y$ और Failed to parse (syntax error): {\displaystyle 1 − y} गुणनखंड हैं, जो दोनों संगणना करने में सरल हैं। किसी विशेष $t$ पर $y = s i g (t)$ दिए जाने पर, उस $t$ पर लॉजिस्टिक फलन का अवकलज दोनों गुणनखंडों को एक साथ गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है।

सक्रियण या "स्क्वैशिंग" फलनों के लिए एक सामान्य विकल्प, जिसका उपयोग न्यूरल नेटवर्क की प्रतिक्रिया को परिबद्ध रखने के लिए बड़े परिमाणों को क्लिप करने के लिए किया जाता है,^[9] है

$g (h) = \frac{1}{1 + e^{- 2 β h}},$

जो एक लॉजिस्टिक फलन है।

ये संबंध कृत्रिम न्यूरॉन वाले कृत्रिम न्यूरल नेटवर्क के सरलीकृत कार्यान्वयन का परिणाम देते हैं। चिकित्सक सावधानी बरतते हैं कि सिगमॉइड फलन जो मूल के बारे में विषम फलन (antisymmetric) होते हैं (जैसे हाइपरबोलिक टेंजेंट), बैकप्रोपैगेशन के साथ नेटवर्क को प्रशिक्षित करते समय तेजी से अभिसरण (convergence) की ओर ले जाते हैं।^[10]

लॉजिस्टिक फलन स्वयं एक अन्य प्रस्तावित सक्रियण फलन, सॉफ्टप्लस का अवकलज है।

चिकित्सा में: ट्यूमर की वृद्धि का मॉडलिंग

আরও দেখুন: Gompertz curve#Growth of tumors लॉजिस्टिक वक्र का एक अन्य अनुप्रयोग चिकित्सा में है, जहाँ लॉजिस्टिक अवकल समीकरण का उपयोग ट्यूमर की वृद्धि को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है। इस अनुप्रयोग को पारिस्थितिकी के ढांचे में ऊपर उल्लिखित उपयोग का विस्तार माना जा सकता है (देखें सामान्यीकृत लॉजिस्टिक वक्र, जो अधिक पैरामीटर की अनुमति देता है)। समय $t$ पर ट्यूमर के आकार को $X (t)$ से दर्शाते हुए, इसकी गतिशीलता इसके द्वारा नियंत्रित होती है

$X^{'} = r (1 - \frac{X}{K}) X,$

जो इस प्रकार का है

$X^{'} = F (X) X, F^{'} (X) \leq 0,$

जहाँ $F (X)$ ट्यूमर की प्रसार दर है।

यदि लॉग-किल प्रभाव के साथ कीमोथेरेपी का एक कोर्स शुरू किया जाता है, तो समीकरण को संशोधित करके यह किया जा सकता है

$X^{'} = r (1 - \frac{X}{K}) X - c (t) X,$

जहाँ $c (t)$ चिकित्सा-प्रेरित मृत्यु दर है। बहुत लंबी चिकित्सा के आदर्श मामले में, $c (t)$ को एक आवर्ती फलन (period $T$ का) या (निरंतर इन्फ्यूजन चिकित्सा के मामले में) एक स्थिर फलन के रूप में मॉडल किया जा सकता है, और किसी के पास यह है कि

$\frac{1}{T} \int_{0}^{T} c (t) d t > r \to \lim_{t \to + \infty} x (t) = 0,$

अर्थात, यदि औसत चिकित्सा-प्रेरित मृत्यु दर आधारभूत प्रसार दर से अधिक है, तो बीमारी का उन्मूलन हो जाता है। बेशक, यह वृद्धि और चिकित्सा दोनों का एक अति-सरलीकृत मॉडल है। उदाहरण के लिए, यह क्लोनल प्रतिरोध के विकास, या रोगी पर चिकित्सा के दुष्प्रभावों को ध्यान में नहीं रखता है। ये कारक कीमोथेरेपी की अंतिम विफलता, या इसके बंद होने का कारण बन सकते हैं।

चिकित्सा में: महामारी का मॉडलिंग

মূল নিবন্ধ: Compartmental models in epidemiology

एक नया संक्रामक रोगजनक जिसके प्रति आबादी में कोई प्रतिरक्षा नहीं है, वह आम तौर पर शुरुआती चरणों में तेजी से फैलेगा, जबकि अतिसंवेदनशील व्यक्तियों की आपूर्ति प्रचुर मात्रा में होती है। COVID-19 का कारण बनने वाले SARS-CoV-2 वायरस ने 2020 की शुरुआत में कई देशों में संक्रमण के शुरुआती दौर में घातीय वृद्धि प्रदर्शित की।^[11] अतिसंवेदनशील मेजबानों की कमी (संक्रमण के निरंतर प्रसार के माध्यम से जब तक कि यह हर्ड इम्युनिटी के लिए सीमा को पार नहीं कर लेता) या शारीरिक दूरी के उपायों के माध्यम से संभावित मेजबानों की पहुंच में कमी जैसे कारक, घातीय दिखने वाले महामारी वक्रों के पहले रैखिक होने (जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, पियरे-फ्रांस्वा वेरहल्स्ट द्वारा नोट किए गए "लॉगरिदमिक" से "लॉजिस्टिक" संक्रमण को दोहराते हुए) और फिर अधिकतम सीमा तक पहुंचने का परिणाम हो सकते हैं।

एक लॉजिस्टिक फलन, या संबंधित फलनों (जैसे गोम्पर्ट्ज़ फलन) का उपयोग आमतौर पर वर्णनात्मक या घटनात्मक तरीके से किया जाता है क्योंकि वे न केवल शुरुआती घातीय वृद्धि के लिए, बल्कि महामारी के अंतिम स्तर तक पहुंचने के लिए भी अच्छी तरह से फिट होते हैं। यह महामारी के वास्तविक मॉडलों के विपरीत है जो महामारी की गतिशीलता (जैसे संपर्क दर, ऊष्मायन समय, सामाजिक दूरी, आदि) के आधार पर विवरण तैयार करने का प्रयास करते हैं। हालाँकि, कुछ सरल मॉडल विकसित किए गए हैं, जो एक लॉजिस्टिक समाधान प्रदान करते हैं।^[12]

शुरुआती COVID-19 मामलों का मॉडलिंग

एक सामान्यीकृत लॉजिस्टिक फलन, जिसे रिचर्ड्स ग्रोथ कर्व भी कहा जाता है, को COVID-19 प्रकोप के शुरुआती चरण को मॉडल करने के लिए लागू किया गया है।^[13] लेखकों ने सामान्यीकृत लॉजिस्टिक फलन को संक्रमित मामलों की संचयी संख्या के साथ फिट किया, जिसे यहाँ संक्रमण प्रक्षेपवक्र (infection trajectory) कहा गया है। साहित्य में सामान्यीकृत लॉजिस्टिक फलन के विभिन्न पैरामीटराइजेशन हैं। एक अक्सर उपयोग किया जाने वाला रूप है

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle f(t ; \theta_1,\theta_2,\theta_3, \xi) = \frac{\theta_1}}

जहाँ $θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और $ξ$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है। वक्र $f$ का लचीलापन पैरामीटर $ξ$ के कारण है: (i) यदि $ξ = 1$ तो वक्र लॉजिस्टिक फलन में कम हो जाता है, और (ii) जैसे-जैसे $ξ$ शून्य के करीब पहुंचता है, वक्र गोम्पर्ट्ज़ फलन में अभिसरण करता है। महामारी विज्ञान मॉडलिंग में, $θ_{1}$ , $θ_{2}$ , और $θ_{3}$ क्रमशः अंतिम महामारी आकार, संक्रमण दर और अंतराल चरण (lag phase) का प्रतिनिधित्व करते हैं। जब $(θ_{1}, θ_{2}, θ_{3})$ को $(10000, 0.2, 40)$ पर सेट किया जाता है, तो संक्रमण प्रक्षेपवक्र के उदाहरण के लिए दायां पैनल देखें।

महामारी विज्ञान मॉडलिंग में सामान्यीकृत लॉजिस्टिक फलन जैसे विकास फलन का उपयोग करने के लाभों में से एक बहुस्तरीय मॉडल (multilevel model) ढांचे के लिए इसका अपेक्षाकृत आसान अनुप्रयोग है, जहाँ विभिन्न भौगोलिक क्षेत्रों से जानकारी को एक साथ जोड़ा जा सकता है।

रसायन विज्ञान में: अभिक्रिया मॉडल

स्व-उत्प्रेरक अभिक्रियाओं में अभिकारकों और उत्पादों की सांद्रता लॉजिस्टिक फलन (logistic function) का पालन करती है। ईंधन सेल कैथोड में प्लैटिनम समूह धातु-मुक्त (PGM-free) ऑक्सीजन अपचयन अभिक्रिया (ORR) उत्प्रेरक का क्षरण लॉजिस्टिक क्षय फलन का पालन करता है,^[14] जो एक स्व-उत्प्रेरक क्षरण तंत्र का संकेत देता है।

भौतिकी में: फर्मी-डिराक वितरण

लॉजिस्टिक फलन तापीय साम्यावस्था में एक प्रणाली की ऊर्जा अवस्थाओं पर फर्मिऑनों के सांख्यिकीय वितरण को निर्धारित करता है। विशेष रूप से, यह उन प्रायिकताओं का वितरण है कि प्रत्येक संभावित ऊर्जा स्तर एक फर्मिऑन द्वारा अधिकृत है, जो फर्मी-डिराक सांख्यिकी के अनुसार होता है।

प्रकाशिकी में: मरीचिका

लॉजिस्टिक फलन प्रकाशिकी में भी अनुप्रयोग पाता है, विशेष रूप से मरीचिकाओं जैसी घटनाओं के मॉडलिंग में। कुछ स्थितियों में, जैसे कि विसरण और गुरुत्वाकर्षण के साथ संतुलन के कारण तापमान या सांद्रता प्रवणता की उपस्थिति में, लॉजिस्टिक वक्र व्यवहार उभर सकते हैं।^[15]

एक मरीचिका, जो तापमान प्रवणता के परिणामस्वरूप होती है और दूरी के साथ सामग्री के घनत्व/सांद्रता से संबंधित अपवर्तनांक को संशोधित करती है, को सांद्रता प्रवणता के कारण अपवर्तनांक प्रवणता वाले तरल का उपयोग करके मॉडल किया जा सकता है। इस तंत्र को एक सीमित जनसंख्या वृद्धि मॉडल के बराबर माना जा सकता है, जहाँ सांद्रित क्षेत्र कम सांद्रता वाले क्षेत्र में विसरित होने का प्रयास करता है, जबकि गुरुत्वाकर्षण के साथ संतुलन की तलाश करता है, इस प्रकार एक लॉजिस्टिक फलन वक्र प्राप्त होता है।^[15]

पदार्थ विज्ञान में: प्रावस्था आरेख

देखें विसरण बंधन (Diffusion bonding)।

भाषाविज्ञान में: भाषा परिवर्तन

भाषाविज्ञान में, लॉजिस्टिक फलन का उपयोग भाषा परिवर्तन को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है:^[16] एक नवाचार जो शुरुआत में मामूली होता है, समय के साथ अधिक तेज़ी से फैलना शुरू होता है, और फिर जैसे-जैसे इसे अधिक सार्वभौमिक रूप से अपनाया जाता है, यह धीमा हो जाता है।

कृषि में: फसल प्रतिक्रिया का मॉडलिंग

लॉजिस्टिक S-वक्र का उपयोग विकास कारकों में परिवर्तन के प्रति फसल की प्रतिक्रिया को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है। प्रतिक्रिया फलनों के दो प्रकार होते हैं: धनात्मक और ऋणात्मक विकास वक्र। उदाहरण के लिए, फसल की उपज एक निश्चित स्तर तक विकास कारक के बढ़ते मान के साथ बढ़ सकती है (धनात्मक फलन), या यह बढ़ते विकास कारक मानों के साथ घट सकती है (ऋणात्मक विकास कारक के कारण ऋणात्मक फलन), जिस स्थिति के लिए एक उल्टा S-वक्र आवश्यक होता है।

अर्थशास्त्र और समाजशास्त्र में: नवाचारों का प्रसार

लॉजिस्टिक फलन का उपयोग इसके जीवन चक्र के माध्यम से नवाचारों के प्रसार की प्रगति को दर्शाने के लिए किया जा सकता है।

द लॉज़ ऑफ़ इमिटेशन (1890) में, गेब्रियल टार्डे अनुकरणकारी श्रृंखलाओं के माध्यम से नए विचारों के उदय और प्रसार का वर्णन करते हैं। विशेष रूप से, टार्डे तीन मुख्य चरणों की पहचान करते हैं जिनसे नवाचार फैलते हैं: पहला चरण कठिन शुरुआत के अनुरूप है, जिसके दौरान विचार को विरोधी आदतों और विश्वासों से भरे शत्रुतापूर्ण वातावरण में संघर्ष करना पड़ता है; दूसरा चरण विचार के उचित घातीय टेक-ऑफ (exponential take-off) के अनुरूप है, जिसमें $f (x) = 2^{x}$ होता है; अंत में, तीसरा चरण लघुगणकीय (logarithmic) है, जिसमें $f (x) = \log (x)$ होता है, और यह उस समय के अनुरूप है जब विचार का आवेग धीरे-धीरे धीमा हो जाता है जबकि, साथ ही नए विरोधी विचार दिखाई देते हैं। परिणामी स्थिति नवाचार की प्रगति को रोकती या स्थिर करती है, जो एक अनंतस्पर्शी (asymptote) के करीब पहुंच जाती है।

एक संप्रभु राज्य में, उप-राष्ट्रीय इकाइयां (घटक राज्य या शहर) अपनी परियोजनाओं को वित्तपोषित करने के लिए ऋण का उपयोग कर सकती हैं। हालाँकि, यह फंडिंग स्रोत आमतौर पर सख्त कानूनी नियमों के साथ-साथ अर्थव्यवस्था की दुर्लभता बाधाओं के अधीन होता है, विशेष रूप से वे संसाधन जिन्हें बैंक उधार दे सकते हैं (उनकी इक्विटी या बेसल सीमाओं के कारण)। ये प्रतिबंध, जो एक संतृप्ति स्तर का प्रतिनिधित्व करते हैं, पैसे के लिए आर्थिक प्रतिस्पर्धा में एक घातीय दौड़ के साथ मिलकर, ऋण याचिकाओं का एक सार्वजनिक वित्त प्रसार बनाते हैं और कुल राष्ट्रीय प्रतिक्रिया एक सिग्मॉइड वक्र होती है।^[17]

ऐतिहासिक रूप से, जब नए उत्पाद पेश किए जाते हैं तो अनुसंधान और विकास की एक तीव्र मात्रा होती है जो गुणवत्ता में नाटकीय सुधार और लागत में कमी लाती है। यह तीव्र उद्योग विकास की अवधि की ओर ले जाता है। कुछ अधिक प्रसिद्ध उदाहरण हैं: रेलमार्ग, तापदीप्त प्रकाश बल्ब, विद्युतीकरण, कारें और हवाई यात्रा। अंततः, नाटकीय सुधार और लागत में कमी के अवसर समाप्त हो जाते हैं, उत्पाद या प्रक्रिया व्यापक उपयोग में होते हैं और कुछ ही संभावित नए ग्राहक शेष रहते हैं, और बाजार संतृप्त हो जाते हैं।

लॉजिस्टिक विश्लेषण का उपयोग इंटरनेशनल इंस्टीट्यूट फॉर एप्लाइड सिस्टम्स एनालिसिस (IIASA) के कई शोधकर्ताओं द्वारा अपने शोध पत्रों में किया गया था। ये शोध पत्र विभिन्न नवाचारों, बुनियादी ढांचे और ऊर्जा स्रोत प्रतिस्थापनों के प्रसार और अर्थव्यवस्था में काम की भूमिका के साथ-साथ लंबे आर्थिक चक्र से संबंधित हैं। लंबे आर्थिक चक्रों की जांच रॉबर्ट आयर्स (1989) द्वारा की गई थी।^[18] सेसारे मार्चेटी ने लंबे आर्थिक चक्रों और नवाचारों के प्रसार पर प्रकाशित किया। अर्नुल्फ ग्रुब्लर की पुस्तक (1990) नहरों, रेलमार्गों, राजमार्गों और एयरलाइनों सहित बुनियादी ढांचे के प्रसार का विस्तृत विवरण देती है, जो दर्शाती है कि उनका प्रसार लॉजिस्टिक आकार के वक्रों का पालन करता है।

कार्लोटा पेरेज़ ने लंबे (कोंद्रातिएव) व्यापार चक्र को चित्रित करने के लिए एक लॉजिस्टिक वक्र का उपयोग किया, जिसमें निम्नलिखित लेबल थे: एक तकनीकी युग की शुरुआत को इरप्शन (irruption), उत्थान को फ्रेन्ज़ी (frenzy), तीव्र निर्माण को सिनर्जी (synergy) और पूर्णता को परिपक्वता (maturity) के रूप में।^[19]

लॉजिस्टिक विकास प्रतिगमन में नति परिवर्तन बिंदु (Inflection Point) का निर्धारण

लॉजिस्टिक विकास प्रतिगमन (regressions) में महत्वपूर्ण अनिश्चितता होती है जब डेटा केवल विकास प्रक्रिया के नति परिवर्तन बिंदु (inflection point) तक ही उपलब्ध होता है। इन स्थितियों के तहत, उस ऊंचाई का अनुमान लगाना जिस पर नति परिवर्तन बिंदु होगा, प्रणाली की वहन क्षमता (K) के बराबर अनिश्चितताएं हो सकती हैं।

इस अनिश्चितता को कम करने की एक विधि में संदर्भ बिंदु के रूप में एक सरोगेट लॉजिस्टिक विकास प्रक्रिया से वहन क्षमता का उपयोग करना शामिल है।^[20] इस बाधा को शामिल करके, भले ही K केवल दो के कारक के भीतर एक अनुमान हो, प्रतिगमन स्थिर हो जाता है, जो सटीकता में सुधार करता है और भविष्यवाणी मापदंडों में अनिश्चितता को कम करता है। इस दृष्टिकोण को अर्थशास्त्र और जीव विज्ञान जैसे क्षेत्रों में लागू किया जा सकता है, जहाँ विश्लेषण को सूचित करने के लिए समान सरोगेट प्रणालियाँ या आबादी उपलब्ध हैं।

अनुक्रमिक विश्लेषण

लिंक^[21] ने यादृच्छिक चरों (random variables) के वितरण-मुक्त संचय के लिए वाल्ड के अनुक्रमिक विश्लेषण सिद्धांत का विस्तार किया, जब तक कि या तो धनात्मक या ऋणात्मक सीमा पहली बार बराबर न हो जाए या उससे अधिक न हो जाए। लिंक ने धनात्मक सीमा के बराबर होने या उससे अधिक होने की प्रायिकता को $1 / (1 + e^{- θ A})$ , यानी लॉजिस्टिक फलन के रूप में व्युत्पन्न किया है। यह पहला प्रमाण है कि लॉजिस्टिक फलन का आधार एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया हो सकती है। लिंक ने "लॉजिस्टिक" प्रयोगात्मक परिणामों के एक सदी के उदाहरण और इस प्रायिकता तथा सीमाओं पर अवशोषण के समय के बीच एक नया व्युत्पन्न संबंध प्रदान किया है।

इन्हें भी देखें

नोट्स

↑ 1=यह शोध पत्र 1844 में प्रस्तुत किया गया था और 1845 में प्रकाशित हुआ: "(Lu à la séance du 30 novembre 1844)." "(30 नवंबर 1844 के सत्र में पढ़ा गया।)", पृष्ठ 1.
↑ 1=वर्हल्स्ट सबसे पहले अंकगणितीय प्रगति और ज्यामितीय प्रगति का उल्लेख करते हैं, और ज्यामितीय वृद्धि वक्र को लॉगरिदमिक वक्र कहते हैं (भ्रमित करने वाली बात यह है कि आधुनिक शब्द इसके बजाय चरघातांकी वक्र है, जो इसका व्युत्क्रम है)। फिर वे अपने वक्र को लॉजिस्टिक कहते हैं, जो लॉगरिदमिक के विपरीत है, और अपने शोध पत्र के चित्र में लॉगरिदमिक वक्र और लॉजिस्टिक वक्र की तुलना करते हैं।
↑ 1=प्राचीन ग्रीस में, λογιστικός का तात्पर्य व्यावहारिक गणना और लेखांकन से था, जो ἀριθμητική (arithmētikḗ), यानी संख्याओं के सैद्धांतिक या दार्शनिक अध्ययन के विपरीत था। भ्रमित करने वाली बात यह है कि अंग्रेजी में, अंकगणित (arithmetic) का तात्पर्य व्यावहारिक गणना से है, भले ही यह ἀριθμητική से निकला है, न कि λογιστικός से। उदाहरण के लिए देखें लुई चार्ल्स कार्पिन्स्की, निकोमैकस ऑफ गेरासा: इंट्रोडक्शन टू अरिथमेटिक (1926) पृष्ठ 3: "आधुनिक पाठकों, विशेष रूप से वैज्ञानिकों और गणितज्ञों द्वारा अंकगणित को मौलिक रूप से गणना की कला से जोड़ा जाता है। हालाँकि, पाइथागोरस के बाद के प्राचीन यूनानियों के लिए, अंकगणित मुख्य रूप से एक दार्शनिक अध्ययन था, जिसका व्यावहारिक मामलों से कोई आवश्यक संबंध नहीं था। वास्तव में यूनानियों ने व्यवसाय के अंकगणित को एक अलग नाम दिया, λογιστική [लेखांकन या व्यावहारिक लॉजिस्टिक] ... सामान्य तौर पर यूनान के दार्शनिकों और गणितज्ञों ने निस्संदेह इसे अपनी गरिमा के नीचे माना कि वे इस शाखा का उपचार करें, जो संभवतः बच्चों की प्रारंभिक शिक्षा का एक हिस्सा थी।"
↑ पैरामीटर के लिए t और निर्देशांक के लिए (x, y) का उपयोग करते हुए।
↑ इसे $f (- \infty) = 0$ और $f (+ \infty) = 1$ सेट करके विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा तक विस्तारित किया जा सकता है, जो सीमा मानों से मेल खाता है।
↑ वास्तव में, लॉजिस्टिक फलन बर्नौली वितरण के प्राकृतिक पैरामीटर, अर्थात् लॉगिट फलन का व्युत्क्रम मानचित्रण है, और इस अर्थ में यह एक द्विआधारी संभाव्यता का "प्राकृतिक पैरामीट्रिक निरूपण" है।
↑ उदाहरण के लिए, सॉफ्टप्लस (softplus) फंक्शन (लॉजिस्टिक फंक्शन का समाकल) $\max (0, x)$ का एक सुचारू संस्करण है, जबकि सापेक्ष रूप $\max (x_{0}, x_{1})$ का एक सुचारू रूप है, विशेष रूप से LogSumExp। सॉफ्टप्लस इस प्रकार सामान्यीकृत होता है (संदर्भ वर्ग के लिए 0 और संबंधित 1 पर ध्यान दें) ${L S E_{0}}^{+} (x_{1}, \dots, x_{n}) : = LSE (0, x_{1}, \dots, x_{n}) = \ln (1 + e^{x_{1}} + \dots + e^{x_{n}}) .$

संदर्भ

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स्रोत: अंग्रेज़ी विकिपीडिया के “Logistic function” लेख का अनुवाद। मूल लेख: https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function यह अनुवाद स्वचालित रूप से तैयार किया गया है।

[3] 1=यह शोध पत्र 1844 में प्रस्तुत किया गया था और 1845 में प्रकाशित हुआ: "(Lu à la séance du 30 novembre 1844)." "(30 नवंबर 1844 के सत्र में पढ़ा गया।)", पृष्ठ 1.

[5] 1=वर्हल्स्ट सबसे पहले अंकगणितीय प्रगति और ज्यामितीय प्रगति का उल्लेख करते हैं, और ज्यामितीय वृद्धि वक्र को लॉगरिदमिक वक्र कहते हैं (भ्रमित करने वाली बात यह है कि आधुनिक शब्द इसके बजाय चरघातांकी वक्र है, जो इसका व्युत्क्रम है)। फिर वे अपने वक्र को लॉजिस्टिक कहते हैं, जो लॉगरिदमिक के विपरीत है, और अपने शोध पत्र के चित्र में लॉगरिदमिक वक्र और लॉजिस्टिक वक्र की तुलना करते हैं।

[6] 1=प्राचीन ग्रीस में, λογιστικός का तात्पर्य व्यावहारिक गणना और लेखांकन से था, जो ἀριθμητική (arithmētikḗ), यानी संख्याओं के सैद्धांतिक या दार्शनिक अध्ययन के विपरीत था। भ्रमित करने वाली बात यह है कि अंग्रेजी में, अंकगणित (arithmetic) का तात्पर्य व्यावहारिक गणना से है, भले ही यह ἀριθμητική से निकला है, न कि λογιστικός से। उदाहरण के लिए देखें लुई चार्ल्स कार्पिन्स्की, निकोमैकस ऑफ गेरासा: इंट्रोडक्शन टू अरिथमेटिक (1926) पृष्ठ 3: "आधुनिक पाठकों, विशेष रूप से वैज्ञानिकों और गणितज्ञों द्वारा अंकगणित को मौलिक रूप से गणना की कला से जोड़ा जाता है। हालाँकि, पाइथागोरस के बाद के प्राचीन यूनानियों के लिए, अंकगणित मुख्य रूप से एक दार्शनिक अध्ययन था, जिसका व्यावहारिक मामलों से कोई आवश्यक संबंध नहीं था। वास्तव में यूनानियों ने व्यवसाय के अंकगणित को एक अलग नाम दिया, λογιστική [लेखांकन या व्यावहारिक लॉजिस्टिक] ... सामान्य तौर पर यूनान के दार्शनिकों और गणितज्ञों ने निस्संदेह इसे अपनी गरिमा के नीचे माना कि वे इस शाखा का उपचार करें, जो संभवतः बच्चों की प्रारंभिक शिक्षा का एक हिस्सा थी।"

[9] पैरामीटर के लिए t और निर्देशांक के लिए (x, y) का उपयोग करते हुए।

[10] इसे $f (- \infty) = 0$ और $f (+ \infty) = 1$ सेट करके विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा तक विस्तारित किया जा सकता है, जो सीमा मानों से मेल खाता है।

[11] वास्तव में, लॉजिस्टिक फलन बर्नौली वितरण के प्राकृतिक पैरामीटर, अर्थात् लॉगिट फलन का व्युत्क्रम मानचित्रण है, और इस अर्थ में यह एक द्विआधारी संभाव्यता का "प्राकृतिक पैरामीट्रिक निरूपण" है।

[12] उदाहरण के लिए, सॉफ्टप्लस (softplus) फंक्शन (लॉजिस्टिक फंक्शन का समाकल) $\max (0, x)$ का एक सुचारू संस्करण है, जबकि सापेक्ष रूप $\max (x_{0}, x_{1})$ का एक सुचारू रूप है, विशेष रूप से LogSumExp। सॉफ्टप्लस इस प्रकार सामान्यीकृत होता है (संदर्भ वर्ग के लिए 0 और संबंधित 1 पर ध्यान दें) ${L S E_{0}}^{+} (x_{1}, \dots, x_{n}) : = LSE (0, x_{1}, \dots, x_{n}) = \ln (1 + e^{x_{1}} + \dots + e^{x_{n}}) .$

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[18] Worldometer: COVID-19 CORONAVIRUS PANDEMIC

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