হারমোনিক গড়

গণিতে, হারমোনিক গড় (harmonic mean) হলো এক ধরনের গড়, যা পিথাগোরিয়ান গড়গুলোর একটি।

এটি মাঝে মাঝে অনুপাত এবং হারের (যেমন গতিবেগ) ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়,^[1]^[2] এবং সাধারণত কেবল ধনাত্মক মানের ক্ষেত্রেই ব্যবহৃত হয়।^[3]

হারমোনিক গড় হলো সংখ্যাগুলোর বিপরীতকের গাণিতিক গড়ের বিপরীতক, অর্থাৎ এটি $f (x) = \frac{1}{x}$ ফাংশন বিশিষ্ট সাধারণীকৃত f-গড়। উদাহরণস্বরূপ, 1, 4 এবং 4-এর হারমোনিক গড় হলো:

{(\frac{1^{- 1} + 4^{- 1} + 4^{- 1}}{3})}^{- 1} = \frac{3}{\frac{1}{1} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{3}{1.5} = 2 .

সংজ্ঞা

ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ -এর হারমোনিক গড় H হলো^[4] $H (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \dots + \frac{1}{x_{n}}} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}} .$ এটি বিপরীতকগুলোর গাণিতিক গড়ের বিপরীতক এবং এর বিপরীতটিও সত্য: $\begin{aligned} H (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \frac{1}{A (\frac{1}{x_{1}}, \frac{1}{x_{2}}, \dots \frac{1}{x_{n}})}, \\ A (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \frac{1}{H (\frac{1}{x_{1}}, \frac{1}{x_{2}}, \dots \frac{1}{x_{n}})}, \end{aligned}$ যেখানে গাণিতিক গড় হলো $A (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} .$

হারমোনিক গড় একটি Schur-concave ফাংশন।^[5]^[6] এটি তার আর্গুমেন্টগুলোর সর্বনিম্ন মানের চেয়ে বড় বা সমান: ধনাত্মক আর্গুমেন্টের জন্য, $\min (x_{1}, \dots, x_{n}) \leq H (x_{1}, \dots, x_{n}) \leq n \min (x_{1}, \dots, x_{n})$ । প্রকৃতপক্ষে, যদি $m = \min (x_{1}, \dots, x_{n})$ হয়, তবে $\sum_{i = 1}^{n} 1 / x_{i} \leq n / m$ , এবং $\sum_{i = 1}^{n} 1 / x_{i} \geq 1 / m$ , যা উপরের সংজ্ঞা থেকে দুটি অসমতা প্রদান করে। সুতরাং, অন্তত একটি মান অপরিবর্তিত রেখে অন্য কিছু মান পরিবর্তন করে হারমোনিক গড়কে ইচ্ছামতো বড় করা যায় না।

হারমোনিক গড় ধনাত্মক আর্গুমেন্টের জন্য একটি অবতল (concave) ফাংশনও, যা Schur-concavity-এর চেয়েও শক্তিশালী একটি বৈশিষ্ট্য।^[5]

অন্যান্য গড়ের সাথে সম্পর্ক

সমস্ত ধনাত্মক ডেটাসেট যাতে অন্তত এক জোড়া অসমান মান থাকে, তার জন্য হারমোনিক গড় সর্বদা তিনটি পিথাগোরিয়ান গড়ের মধ্যে ক্ষুদ্রতম,^[7] যেখানে গাণিতিক গড় সর্বদা বৃহত্তম এবং জ্যামিতিক গড় সর্বদা মাঝখানে থাকে। (যদি একটি অশূন্য ডেটাসেটের সমস্ত মান সমান হয়, তবে তিনটি গড়ই সমান হয়।)

এটি পাওয়ার গড়ের একটি বিশেষ ক্ষেত্র M₋₁: $H (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = M_{- 1} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \frac{n}{x_{1}^{- 1} + x_{2}^{- 1} + \dots + x_{n}^{- 1}}$ যেহেতু সংখ্যার তালিকার হারমোনিক গড় তালিকার ক্ষুদ্রতম উপাদানগুলোর দিকে প্রবলভাবে ঝুঁকে থাকে, তাই এটি (গাণিতিক গড়ের তুলনায়) বড় আউটলায়ারের প্রভাব হ্রাস করে এবং ছোটগুলোর প্রভাব বাড়িয়ে তোলে।

গাণিতিক গড় প্রায়শই ভুলবশত এমন জায়গায় ব্যবহৃত হয় যেখানে হারমোনিক গড় প্রয়োজন।^[8] উদাহরণস্বরূপ, গতির ক্ষেত্রে নিচে দেখুন, সমান দূরত্বের ভিত্তিতে গড় গতিবেগ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে 40-এর গাণিতিক গড় ভুল। যেহেতু গাণিতিক গড় সর্বদা হারমোনিক গড়ের চেয়ে বড় বা সমান, তাই এর অর্থ হলো 40 সঠিক উত্তরের চেয়ে বড়।

হারমোনিক গড় অন্যান্য পিথাগোরিয়ান গড়ের সাথে সম্পর্কিত, যা নিচের সমীকরণে দেখা যায়। এটি বোঝা যায় হরটিকে n বার সংখ্যার গুণফলের গাণিতিক গড় হিসেবে ব্যাখ্যা করে, কিন্তু প্রতিবার j-তম পদটি বাদ দিয়ে। অর্থাৎ, প্রথম পদের জন্য, আমরা প্রথমটি ছাড়া বাকি nটি সংখ্যা গুণ করি; দ্বিতীয়টির জন্য, দ্বিতীয়টি ছাড়া বাকি nটি সংখ্যা গুণ করি; এবং এভাবেই চলতে থাকে। লবটি, n বাদ দিয়ে, যা গাণিতিক গড়ের সাথে যায়, তা হলো জ্যামিতিক গড়ের n ঘাত। সুতরাং n-তম হারমোনিক গড় n-তম জ্যামিতিক এবং গাণিতিক গড়ের সাথে সম্পর্কিত। সাধারণ সূত্রটি হলো: $H (x_{1}, \dots, x_{n}) = \frac{{(G (x_{1}, \dots, x_{n}))}^{n}}{A (x_{2} x_{3} \dots x_{n}, x_{1} x_{3} \dots x_{n}, \dots, x_{1} x_{2} \dots x_{n - 1})} = \frac{{(G (x_{1}, \dots, x_{n}))}^{n}}{A (\frac{1}{x_{1}} \prod_{i = 1}^{n} x_{i}, \frac{1}{x_{2}} \prod_{i = 1}^{n} x_{i}, \dots, \frac{1}{x_{n}} \prod_{i = 1}^{n} x_{i})} .$ যদি অভিন্ন নয় এমন সংখ্যার একটি সেটকে mean-preserving spread-এর সাপেক্ষে রাখা হয় — অর্থাৎ, সেটের দুই বা ততোধিক উপাদানকে গাণিতিক গড় অপরিবর্তিত রেখে একে অপরের থেকে "ছড়িয়ে দেওয়া" হয় — তবে হারমোনিক গড় সর্বদা হ্রাস পায়।^[9]

দুই বা তিনটি সংখ্যার হারমোনিক গড়

দুইটি সংখ্যা

কেবল দুইটি সংখ্যা, $x_{1}$ এবং $x_{2}$ -এর বিশেষ ক্ষেত্রের জন্য, হারমোনিক গড়কে এভাবে লেখা যায়:^[4]

H = \frac{2 x_{1} x_{2}}{x_{1} + x_{2}}

অথবা

\frac{1}{H} = \frac{(1 / x_{1}) + (1 / x_{2})}{2} .

(লক্ষ্য করুন যে হারমোনিক গড় অসংজ্ঞায়িত যদি $x_{1} + x_{2} = 0$ হয়, অর্থাৎ $x_{1} = - x_{2}$ ।)

এই বিশেষ ক্ষেত্রে, হারমোনিক গড় গাণিতিক গড় $A = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ এবং জ্যামিতিক গড় $G = \sqrt{x_{1} x_{2}}$ -এর সাথে সম্পর্কিত:^[4]

H = \frac{G^{2}}{A} = G (\frac{G}{A}) .

যেহেতু গাণিতিক ও জ্যামিতিক গড়ের অসমতা অনুযায়ী $\frac{G}{A} \leq 1$ , এটি n = 2 ক্ষেত্রের জন্য দেখায় যে H ≤ G (একটি বৈশিষ্ট্য যা প্রকৃতপক্ষে সমস্ত n-এর জন্য সত্য)। এটি থেকে আরও বোঝা যায় যে $G = \sqrt{A H}$ , যার অর্থ হলো দুইটি সংখ্যার জ্যামিতিক গড় তাদের গাণিতিক এবং হারমোনিক গড়ের জ্যামিতিক গড়ের সমান।

তিনটি সংখ্যা

তিনটি সংখ্যা, $x_{1}$ , $x_{2}$ এবং $x_{3}$ -এর বিশেষ ক্ষেত্রের জন্য, হারমোনিক গড়কে এভাবে লেখা যায়:^[4]

H = \frac{3 x_{1} x_{2} x_{3}}{x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}} .

তিনটি ধনাত্মক সংখ্যা H, G, এবং A যথাক্রমে তিনটি ধনাত্মক সংখ্যার হারমোনিক, জ্যামিতিক এবং গাণিতিক গড় হবে যদি এবং কেবল যদি^[10]p.74,#1834 নিচের অসমতাটি সত্য হয়:

\frac{A^{3}}{G^{3}} + \frac{G^{3}}{H^{3}} + 1 \leq \frac{3}{4} {(1 + \frac{A}{H})}^{2} .

ভারযুক্ত হারমোনিক গড়

যদি ডেটাসেট $x_{1}$ , ..., $x_{n}$ -এর সাথে ওজন $w_{1}$ , ..., $w_{n}$ যুক্ত থাকে, তবে ভারযুক্ত হারমোনিক গড় সংজ্ঞায়িত হয় এভাবে:^[11]

H = \frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{w_{i}}{x_{i}}} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{- 1}}{\sum_{i = 1}^{n} w_{i}})}^{- 1} .

অভারযুক্ত হারমোনিক গড়কে বিশেষ ক্ষেত্র হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে যেখানে সমস্ত ওজন সমান।

উদাহরণ

বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্বে

মৌলিক সংখ্যা তত্ত্ব

মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য বলে যে $n$ -এর সমান বা তার চেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার হারমোনিক গড়ের অ্যাসিম্পটোটিক্যালি সমান।^[12]

পদার্থবিজ্ঞানে

গড় গতিবেগ

হার এবং অনুপাত জড়িত অনেক পরিস্থিতিতে, হারমোনিক গড় সঠিক গড় প্রদান করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি যানবাহন একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব s outbound গতি $v_{1}$ (যেমন 60 কিমি/ঘণ্টা) এ অতিক্রম করে এবং একই দূরত্ব $v_{2}$ (যেমন 20 কিমি/ঘণ্টা) গতিতে ফিরে আসে, তবে তার গড় গতিবেগ হলো $v_{1}$ এবং $v_{2}$ -এর হারমোনিক গড় (30 কিমি/ঘণ্টা), গাণিতিক গড় (40 কিমি/ঘণ্টা) নয়। মোট ভ্রমণের সময় একই থাকে যেন সে পুরো দূরত্ব সেই গড় গতিবেগে অতিক্রম করেছে। এটি নিম্নরূপ প্রমাণ করা যেতে পারে:^[13]

$Average speed for the entire journey = \frac{Total distance traveled}{Sum of time for each segment} = \frac{2 s}{t_{1} + t_{2}} = \frac{2 s}{\frac{s}{v_{1}} + \frac{s}{v_{2}}} = \frac{2 v_{1} v_{2}}{v_{1} + v_{2}} = 30$

যাইহোক, যদি যানবাহনটি একটি নির্দিষ্ট সময় $v_{1}$ গতিতে এবং তারপর একই পরিমাণ সময় $v_{2}$ গতিতে চলে, তবে তার গড় গতিবেগ হলো $v_{1}$ এবং $v_{2}$ -এর গাণিতিক গড়, যা উপরের উদাহরণে 40 কিমি/ঘণ্টা।

$Average speed for the entire journey = \frac{Total distance traveled}{Sum of time for each segment} = \frac{s_{1} + s_{2}}{2 t} = \frac{v_{1} t + v_{2} t}{2 t} = \frac{v_{1} + v_{2}}{2} = 40$

একই নীতি দুইটির বেশি অংশের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য: বিভিন্ন গতিতে উপ-ভ্রমণের একটি সিরিজের ক্ষেত্রে, যদি প্রতিটি উপ-ভ্রমণ একই দূরত্ব অতিক্রম করে, তবে গড় গতিবেগ হলো সমস্ত উপ-ভ্রমণের গতির হারমোনিক গড়, এবং যদি প্রতিটি উপ-ভ্রমণ একই পরিমাণ সময় নেয়, তবে গড় গতিবেগ হলো সমস্ত উপ-ভ্রমণের গতির গাণিতিক গড়। যদি কোনটিই না হয়, তবে একটি ভারযুক্ত হারমোনিক গড় বা ভারযুক্ত গাণিতিক গড় প্রয়োজন। গাণিতিক গড়ের জন্য, ভ্রমণের প্রতিটি অংশের গতি সেই অংশের সময়কাল দ্বারা ভারযুক্ত হয়, যেখানে হারমোনিক গড়ের জন্য, সংশ্লিষ্ট ওজন হলো দূরত্ব। উভয় ক্ষেত্রেই, প্রাপ্ত সূত্রটি মোট দূরত্বকে মোট সময় দ্বারা ভাগ করার সমান।

যাইহোক, "দূরত্ব দ্বারা ভারযুক্ত" করার ক্ষেত্রে হারমোনিক গড়ের ব্যবহার এড়ানো যেতে পারে। সমস্যাটিকে ভ্রমণের গতি (pace) নির্ণয় হিসেবে উপস্থাপন করুন, যেখানে গতি (ঘণ্টা প্রতি কিলোমিটারে) হলো গতির বিপরীতক। যখন ভ্রমণের গতি পাওয়া যায়, তখন এটিকে উল্টে দিন যাতে "প্রকৃত" গড় ভ্রমণের গতি পাওয়া যায়। প্রতিটি ভ্রমণ অংশ $i$ -এর জন্য, গতি $p_{i} = \frac{1}{s p e e d_{i}}$ । তারপর তাদের নিজ নিজ দূরত্ব দ্বারা ভারযুক্ত $p_{i} s$ -এর ভারযুক্ত গাণিতিক গড় নিন (ঐচ্ছিকভাবে ওজনগুলোকে ভ্রমণের দৈর্ঘ্য দ্বারা ভাগ করে 1-এ স্বাভাবিক করা যেতে পারে)। এটি প্রকৃত গড় গতি (সময় প্রতি কিলোমিটারে) দেয়। দেখা যায় যে এই পদ্ধতিটি, যা হারমোনিক গড়ের জ্ঞান ছাড়াই করা যেতে পারে, হারমোনিক গড় ব্যবহার করে এই সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহৃত একই গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের সমান। সুতরাং এটি ব্যাখ্যা করে কেন এই ক্ষেত্রে হারমোনিক গড় কাজ করে।

ঘনত্ব

December 2019 একইভাবে, যদি কেউ তার উপাদানগুলোর ঘনত্ব এবং তাদের ভরের ভগ্নাংশ (বা, সমতুল্যভাবে, ভর দ্বারা শতাংশ) দেওয়া থাকলে একটি সংকর ধাতুর ঘনত্ব অনুমান করতে চায়, তবে সংকর ধাতুর পূর্বাভাসিত ঘনত্ব (পরমাণু প্যাকিং প্রভাবের কারণে সাধারণত ছোট আয়তনের পরিবর্তন বাদ দিয়ে) হলো পৃথক ঘনত্বের ভারযুক্ত হারমোনিক গড়, যা ভর দ্বারা ভারযুক্ত, ভারযুক্ত গাণিতিক গড়ের পরিবর্তে যেমনটি কেউ প্রথমে আশা করতে পারে। ভারযুক্ত গাণিতিক গড় ব্যবহার করার জন্য, ঘনত্বগুলোকে আয়তন দ্বারা ভারযুক্ত করতে হবে। সমস্যাটিতে মাত্রিক বিশ্লেষণ প্রয়োগ করা এবং উপাদান দ্বারা ভরের এককগুলোকে লেবেল করা এবং নিশ্চিত করা যে কেবল একই উপাদান-ভর বাতিল হয়, এটি পরিষ্কার করে।

বিদ্যুৎ

আরও দেখুন: Parallel (operator) যদি কেউ দুইটি বৈদ্যুতিক রোধক সমান্তরালে সংযুক্ত করে, যার একটির রোধ R₁ (যেমন, 60 Ω) এবং অন্যটির রোধ R₂ (যেমন, 40 Ω), তবে এর প্রভাব একই হবে যেন কেউ দুইটি রোধক ব্যবহার করেছে যাদের রোধ সমান, উভয়ই R₁ এবং R₂-এর হারমোনিক গড়ের সমান (48 Ω); সমতুল্য রোধ, উভয় ক্ষেত্রেই, 24 Ω (হারমোনিক গড়ের অর্ধেক)। এই একই নীতি ধারক সিরিজে বা আবেশক সমান্তরালে সংযুক্ত করার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

সমান্তরালে উভয় রোধকের জন্য গড় রোধ = Total voltage/Sum of current for each resistor = 2V/I₁ + I₂ = 2V/V/R₁ + V/R₂ = 2R₁R₂/R₁ + R₂ = 48

যাইহোক, যদি কেউ রোধকগুলোকে সিরিজে সংযুক্ত করে, তবে গড় রোধ হলো R₁ এবং R₂-এর গাণিতিক গড় (50 Ω), যেখানে মোট রোধ এর দ্বিগুণ, R₁ এবং R₂-এর যোগফলের সমান (100 Ω)। এই নীতি ধারক সমান্তরালে বা আবেশক সিরিজে সংযুক্ত করার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

সিরিজে উভয় রোধকের জন্য গড় রোধ = Total voltage/Sum of current for each resistor = V₁ + V₂/2I = R₁I + R₂I/2I = R₁ + R₂/2 = 50

পূর্ববর্তী উদাহরণের মতো, একই নীতি প্রযোজ্য যখন দুইটির বেশি রোধক, ধারক বা আবেশক সংযুক্ত থাকে, যদি সবাই সমান্তরালে বা সবাই সিরিজে থাকে।

একটি সেমিকন্ডাক্টরের "পরিবাহিতা কার্যকর ভর" (conductivity effective mass) তিনটি স্ফটিকোগ্রাফিক দিক বরাবর কার্যকর ভরের হারমোনিক গড় হিসেবেও সংজ্ঞায়িত করা হয়।^[14]

অপটিক্স

অন্যান্য অপটিক সমীকরণের ক্ষেত্রে, পাতলা লেন্স সমীকরণ f = u + v কে এমনভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে যে ফোকাল দৈর্ঘ্য f হলো লেন্স থেকে বিষয় u এবং বস্তু v-এর দূরত্বের হারমোনিক গড়ের অর্ধেক।^[15]

সিরিজে f₁ এবং f₂ ফোকাল দৈর্ঘ্যের দুইটি পাতলা লেন্স f_hm ফোকাল দৈর্ঘ্যের দুইটি পাতলা লেন্সের সমতুল্য, যা তাদের হারমোনিক গড়। অপটিক্যাল পাওয়ার হিসেবে প্রকাশ করলে, সিরিজে P₁ এবং P₂ অপটিক্যাল পাওয়ারের দুইটি পাতলা লেন্স P_am অপটিক্যাল পাওয়ারের দুইটি পাতলা লেন্সের সমতুল্য, যা তাদের গাণিতিক গড়।

অর্থনীতিতে

ভারযুক্ত হারমোনিক গড় হলো মাল্টিপল গড় করার জন্য পছন্দের পদ্ধতি, যেমন মূল্য-আয় অনুপাত (P/E)। যদি এই অনুপাতগুলো ভারযুক্ত গাণিতিক গড় ব্যবহার করে গড় করা হয়, তবে উচ্চ ডেটা পয়েন্টগুলোকে নিম্ন ডেটা পয়েন্টের চেয়ে বেশি ওজন দেওয়া হয়। অন্যদিকে, ভারযুক্ত হারমোনিক গড় প্রতিটি ডেটা পয়েন্টকে সঠিকভাবে ওজন দেয়।^[16] অ-মূল্য স্বাভাবিকীকৃত অনুপাত যেমন P/E-এর ক্ষেত্রে সাধারণ ভারযুক্ত গাণিতিক গড় উপরের দিকে পক্ষপাতদুষ্ট এবং সংখ্যাগতভাবে ন্যায়সঙ্গত হতে পারে না, কারণ এটি সমান আয়ের উপর ভিত্তি করে; ঠিক যেমন রাউন্ডট্রিপ ভ্রমণের জন্য যানবাহনের গতি গড় করা যায় না (উপরে দেখুন)।^[17]

জ্যামিতিতে

যেকোনো ত্রিভুজে, অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো উচ্চতাগুলোর হারমোনিক গড়ের এক-তৃতীয়াংশ।

একটি সমবাহু ত্রিভুজ ABC-এর পরিবৃত্তের ক্ষুদ্র চাপে BC-এর যেকোনো বিন্দু P-এর জন্য, B এবং C থেকে যথাক্রমে q এবং t দূরত্বে, এবং PA এবং BC-এর ছেদবিন্দু বিন্দু P থেকে y দূরত্বে থাকলে, আমরা পাই যে y হলো q এবং t-এর হারমোনিক গড়ের অর্ধেক।^[18]

একটি সমকোণী ত্রিভুজে যার বাহু a এবং b এবং অতিভুজ থেকে সমকোণে উচ্চতা h হলে, h² হলো a² এবং b²-এর হারমোনিক গড়ের অর্ধেক।^[19]^[20]

ধরা যাক t এবং s (t > s) হলো অতিভুজ c বিশিষ্ট একটি সমকোণী ত্রিভুজে খোদাই করা দুইটি বর্গক্ষেত্রের বাহু। তাহলে s² হলো c² এবং t²-এর হারমোনিক গড়ের অর্ধেক।

একটি ট্রাপিজয়েডের শীর্ষবিন্দু A, B, C, এবং D ক্রমানুসারে এবং সমান্তরাল বাহু AB এবং CD থাকুক। E হোক কর্ণের ছেদবিন্দু, এবং F হোক বাহু DA-তে এবং G হোক বাহু BC-তে এমনভাবে যে FEG, AB এবং CD-এর সমান্তরাল। তাহলে FG হলো AB এবং DC-এর হারমোনিক গড়। (এটি সদৃশ ত্রিভুজ ব্যবহার করে প্রমাণযোগ্য।)

এই ট্রাপিজয়েড ফলাফলের একটি প্রয়োগ হলো ক্রসড ল্যাডারস সমস্যায়, যেখানে দুইটি মই একটি গলির আড়াআড়ি বিপরীতভাবে শুয়ে আছে, প্রতিটি এক পাশের দেয়ালের গোড়ায় পা রেখে, একটি দেয়ালের বিপরীতে A উচ্চতায় এবং অন্যটি বিপরীত দেয়ালের বিপরীতে B উচ্চতায় হেলান দিয়ে আছে, যেমনটি দেখানো হয়েছে। মইগুলো গলি মেঝে থেকে h উচ্চতায় অতিক্রম করে। তাহলে h হলো A এবং B-এর হারমোনিক গড়ের অর্ধেক। এই ফলাফলটি এখনও সত্য যদি দেয়ালগুলো হেলানো থাকে কিন্তু তবুও সমান্তরাল হয় এবং "উচ্চতা" A, B, এবং h দেয়ালের সমান্তরাল রেখা বরাবর মেঝে থেকে দূরত্ব হিসেবে পরিমাপ করা হয়। এটি ট্রাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল সূত্র এবং ক্ষেত্রফল যোগফল সূত্র ব্যবহার করে সহজেই প্রমাণ করা যায়।

একটি উপবৃত্তে, সেমি-ল্যাটারাস রেকটাম (উপবৃত্তের ক্ষুদ্র অক্ষের সমান্তরাল রেখা বরাবর একটি ফোকাস থেকে উপবৃত্তের দূরত্ব) হলো একটি ফোকাস থেকে উপবৃত্তের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন দূরত্বের হারমোনিক গড়।

অন্যান্য বিজ্ঞানে

কম্পিউটার বিজ্ঞানে, বিশেষ করে তথ্য পুনরুদ্ধার এবং মেশিন লার্নিংয়ে, নির্ভুলতা (পূর্বাভাসিত ধনাত্মকের প্রতি প্রকৃত ধনাত্মক) এবং রিকল (প্রকৃত ধনাত্মকের প্রতি প্রকৃত ধনাত্মক)-এর হারমোনিক গড় প্রায়শই অ্যালগরিদম এবং সিস্টেমের মূল্যায়নের জন্য একটি সামগ্রিক কর্মক্ষমতা স্কোর হিসেবে ব্যবহৃত হয়: F-স্কোর (বা F-পরিমাপ)। এটি তথ্য পুনরুদ্ধারে ব্যবহৃত হয় কারণ কেবল ধনাত্মক শ্রেণীটি প্রাসঙ্গিকতার হয়, যেখানে ঋণাত্মকের সংখ্যা সাধারণত বড় এবং অজানা।^[21] এটি একটি ট্রেড-অফ যে সঠিক ধনাত্মক পূর্বাভাসগুলো পূর্বাভাসিত ধনাত্মকের সংখ্যার সাথে নাকি প্রকৃত ধনাত্মকের সংখ্যার সাথে পরিমাপ করা উচিত, তাই এটি দুইটি সম্ভাব্য হরের গাণিতিক গড় এমন একটি অনুমিত ধনাত্মক সংখ্যার বিপরীতে পরিমাপ করা হয়।

মৌলিক বীজগণিত থেকে একটি পরিণতি উদ্ভূত হয় যেখানে মানুষ বা সিস্টেম একসাথে কাজ করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি গ্যাস-চালিত পাম্প 4 ঘণ্টায় একটি পুল খালি করতে পারে এবং একটি ব্যাটারি-চালিত পাম্প একই পুল 6 ঘণ্টায় খালি করতে পারে, তবে উভয় পাম্পের একসাথে পুলটি খালি করতে 6·4/6 + 4, যা 2.4 ঘণ্টার সমান, সময় লাগবে। এটি 6 এবং 4-এর হারমোনিক গড়ের অর্ধেক: 2·6·4/6 + 4 = 4.8। অর্থাৎ, দুই ধরনের পাম্পের জন্য উপযুক্ত গড় হলো হারমোনিক গড়, এবং পাম্পের এক জোড়ার সাথে (দুইটি পাম্প), এই হারমোনিক গড়ের অর্ধেক সময় লাগে, যেখানে পাম্পের দুই জোড়ার সাথে (চারটি পাম্প) এই হারমোনিক গড়ের এক-চতুর্থাংশ সময় লাগবে।

জলবিজ্ঞানে, হারমোনিক গড় একইভাবে স্তরগুলোর (যেমন ভূতাত্ত্বিক বা মাটি) লম্ব প্রবাহের জন্য জলবাহী পরিবাহিতা (hydraulic conductivity) মানগুলোর গড় করতে ব্যবহৃত হয় - স্তরগুলোর সমান্তরাল প্রবাহ গাণিতিক গড় ব্যবহার করে। গড়ের এই আপাত পার্থক্যটি এই সত্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয় যে জলবিজ্ঞান পরিবাহিতা ব্যবহার করে, যা রোধের বিপরীতক।

সেবারমেট্রিক্সে, একজন বেসবল খেলোয়াড়ের পাওয়ার-স্পিড নম্বর হলো তাদের হোম রান এবং স্টোলেন বেস মোট সংখ্যার হারমোনিক গড়।

জনসংখ্যা জেনেটিক্সে, হারমোনিক গড় ব্যবহৃত হয় যখন কার্যকর জনসংখ্যার আকারের উপর আদমশুমারি জনসংখ্যার আকারের ওঠানামার প্রভাব গণনা করা হয়। হারমোনিক গড় এই সত্যটিকে বিবেচনা করে যে জনসংখ্যার বটলনেক-এর মতো ঘটনা জেনেটিক ড্রিফটের হার বাড়ায় এবং জনসংখ্যার জেনেটিক বৈচিত্র্যের পরিমাণ হ্রাস করে। এটি এই সত্যের ফলাফল যে বটলনেকের পরে খুব কম ব্যক্তি জিন পুল-এ অবদান রাখে, যা অনেক প্রজন্মের জন্য জনসংখ্যার মধ্যে উপস্থিত জেনেটিক বৈচিত্র্যকে সীমাবদ্ধ করে।

অটোমোবাইলের জ্বালানি অর্থনীতি বিবেচনা করার সময় দুইটি পরিমাপ সাধারণত ব্যবহৃত হয় - মাইল প্রতি গ্যালন (mpg), এবং প্রতি 100 কিমি লিটার। যেহেতু এই পরিমাণগুলোর মাত্রা একে অপরের বিপরীতক (একটি হলো আয়তন প্রতি দূরত্ব, অন্যটি দূরত্ব প্রতি আয়তন), গাড়ির পরিসরের জ্বালানি অর্থনীতির গড় মান নেওয়ার সময় একটি পরিমাপ অন্যটির হারমোনিক গড় তৈরি করবে - অর্থাৎ, প্রতি 100 কিমি লিটারে প্রকাশিত জ্বালানি অর্থনীতির গড় মানকে মাইল প্রতি গ্যালনে রূপান্তর করলে মাইল প্রতি গ্যালনে প্রকাশিত জ্বালানি অর্থনীতির হারমোনিক গড় তৈরি হবে। যানবাহনের বহরের গড় জ্বালানি খরচ গণনা করার জন্য, যদি বহরটি মাইল প্রতি গ্যালন ব্যবহার করে তবে হারমোনিক গড় ব্যবহার করা উচিত, যেখানে বহরটি প্রতি 100 কিমি লিটার ব্যবহার করলে গাণিতিক গড় ব্যবহার করা উচিত। মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে CAFE স্ট্যান্ডার্ডস (ফেডারেল অটোমোবাইল জ্বালানি খরচ স্ট্যান্ডার্ডস) হারমোনিক গড় ব্যবহার করে।

রসায়ন এবং পারমাণবিক পদার্থবিজ্ঞানে বিভিন্ন প্রজাতির (যেমন অণু বা আইসোটোপ) মিশ্রণের প্রতি কণা গড় ভর তাদের নিজ নিজ ভরের ভগ্নাংশ দ্বারা ভারযুক্ত পৃথক প্রজাতির ভরের হারমোনিক গড় দ্বারা দেওয়া হয়।

বিটা ডিস্ট্রিবিউশন

December 2019

0 থেকে 2 পর্যন্ত α এবং β-এর জন্য বিটা ডিস্ট্রিবিউশনের (গড় - হারমোনিক গড়)

শেপ প্যারামিটার α এবং β বিশিষ্ট একটি বিটা ডিস্ট্রিবিউশনের হারমোনিক গড় হলো:

H = \frac{α - 1}{α + β - 1} conditional on α > 1 & β > 0

α < 1 সহ হারমোনিক গড় অসংজ্ঞায়িত কারণ এর সংজ্ঞায়িত অভিব্যক্তি [0, 1]-এ সীমাবদ্ধ নয়।

α = β ধরে

H = \frac{α - 1}{2 α - 1}

যা দেখায় যে α = β-এর জন্য হারমোনিক গড় α = β = 1-এর জন্য 0 থেকে, α = β → ∞-এর জন্য 1/2 পর্যন্ত বিস্তৃত।

নিচের সীমাগুলো একটি প্যারামিটার সসীম (অশূন্য) এবং অন্য প্যারামিটার এই সীমাগুলোর দিকে অগ্রসর হওয়ার সাথে:

\begin{aligned} \lim_{α \to 0} H & = undefined \\ \lim_{α \to 1} H & = \lim_{β \to \infty} H = 0 \\ \lim_{β \to 0} H & = \lim_{α \to \infty} H = 1 \end{aligned}

জ্যামিতিক গড়ের সাথে হারমোনিক গড় চার প্যারামিটার ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ সম্ভাবনা অনুমানে (maximum likelihood estimation) কার্যকর হতে পারে।

এই ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য একটি দ্বিতীয় হারমোনিক গড় (H_{1 − X}) বিদ্যমান

H_{1 - X} = \frac{β - 1}{α + β - 1} conditional on β > 1 & α > 0

β < 1 সহ এই হারমোনিক গড় অসংজ্ঞায়িত কারণ এর সংজ্ঞায়িত অভিব্যক্তি [ 0, 1 ]-এ সীমাবদ্ধ নয়।

উপরের অভিব্যক্তিতে α = β ধরে

H_{1 - X} = \frac{β - 1}{2 β - 1}

যা দেখায় যে α = β-এর জন্য হারমোনিক গড় α = β = 1-এর জন্য 0 থেকে, α = β → ∞-এর জন্য 1/2 পর্যন্ত বিস্তৃত।

নিচের সীমাগুলো একটি প্যারামিটার সসীম (অশূন্য) এবং অন্য প্যারামিটার এই সীমাগুলোর দিকে অগ্রসর হওয়ার সাথে:

\begin{aligned} \lim_{β \to 0} H_{1 - X} & = undefined \\ \lim_{β \to 1} H_{1 - X} & = \lim_{α \to \infty} H_{1 - X} = 0 \\ \lim_{α \to 0} H_{1 - X} & = \lim_{β \to \infty} H_{1 - X} = 1 \end{aligned}

যদিও উভয় হারমোনিক গড়ই অপ্রতিসম, যখন α = β হয় তখন দুইটি গড়ই সমান হয়।

লগনরমাল ডিস্ট্রিবিউশন

একটি দৈব চলক X-এর লগনরমাল বিন্যাস (lognormal distribution)-এর হারমোনিক গড় (H) হলো^[22]

H = \exp (μ - \frac{1}{2} σ^{2}),

যেখানে μ এবং σ² হলো বিন্যাসটির পরামিতি, অর্থাৎ X-এর স্বাভাবিক লগারিদমের বিন্যাসের গড় এবং ভেদাঙ্ক।

বিন্যাসটির হারমোনিক এবং গাণিতিক গড় নিম্নোক্তভাবে সম্পর্কিত:

\frac{μ^{*}}{H} = 1 + C_{v}^{2},

যেখানে C_v এবং μ^* যথাক্রমে ভেদাঙ্ক গুণাঙ্ক (coefficient of variation) এবং বিন্যাসটির গড়।

বিন্যাসটির জ্যামিতিক (G), গাণিতিক এবং হারমোনিক গড় নিম্নোক্তভাবে সম্পর্কিত^[23]

H μ^{*} = G^{2} .

প্যারেটো বিন্যাস

টাইপ ১ প্যারেটো বিন্যাস (Pareto distribution)-এর হারমোনিক গড় হলো^[24]

H = k (1 + \frac{1}{α})

যেখানে k হলো স্কেল পরামিতি এবং α হলো আকৃতি পরামিতি।

পরিসংখ্যান

একটি দৈব নমুনার ক্ষেত্রে, হারমোনিক গড় উপরের নিয়মেই গণনা করা হয়। গড় এবং ভেদাঙ্ক উভয়ই অসীম হতে পারে (যদি এতে 1/0 আকারের অন্তত একটি পদ থাকে)।

গড় এবং ভেদাঙ্কের নমুনা বিন্যাস

নমুনার গড় m অসীমতটীয়ভাবে s² ভেদাঙ্কসহ স্বাভাবিকভাবে বিন্যস্ত।

s^{2} = \frac{m [E (\frac{1}{x} - 1)]}{m^{2} n}

গড়ের নিজস্ব ভেদাঙ্ক হলো^[25]

Var (\frac{1}{x}) = \frac{m [E (\frac{1}{x} - 1)]}{n m^{2}}

যেখানে m হলো অনন্যকের (reciprocals) গাণিতিক গড়, x হলো চলকসমূহ, n হলো পপুলেশনের আকার এবং E হলো প্রত্যাশা অপারেটর।

ডেল্টা পদ্ধতি

ডিসেম্বর ২০১৯

ভেদাঙ্ক অসীম নয় এবং নমুনার ক্ষেত্রে কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য (central limit theorem) প্রযোজ্য—এই অনুমান করে ডেল্টা পদ্ধতি (delta method) ব্যবহার করলে, ভেদাঙ্ক হয়

Var (H) = \frac{1}{n} \frac{s^{2}}{m^{4}}

যেখানে H হলো হারমোনিক গড়, m হলো অনন্যকের গাণিতিক গড়

m = \frac{1}{n} \sum \frac{1}{x} .

s² হলো ডেটার অনন্যকের ভেদাঙ্ক

s^{2} = Var (\frac{1}{x})

এবং n হলো নমুনার ডেটা পয়েন্টের সংখ্যা।

জ্যাকনাইফ পদ্ধতি

যদি গড় জানা থাকে, তবে ভেদাঙ্ক প্রাক্কলনের জন্য একটি জ্যাকনাইফ (jackknife) পদ্ধতি ব্যবহার করা সম্ভব।^[26] এই পদ্ধতিটি 'delete m' সংস্করণের পরিবর্তে প্রচলিত 'delete 1' সংস্করণ।

এই পদ্ধতির জন্য প্রথমে নমুনার গড় (m) গণনা করতে হয়:

m = \frac{n}{\sum \frac{1}{x}}

যেখানে x হলো নমুনার মান।

এরপর w_i মানের একটি ধারা গণনা করা হয়, যেখানে

w_{i} = \frac{n - 1}{\sum_{j \neq i} \frac{1}{x}} .

এরপর w_i-এর গড় (h) নেওয়া হয়:

h = \frac{1}{n} \sum w_{i}

গড়ের ভেদাঙ্ক হলো

\frac{n - 1}{n} \sum {(m - w_{i})}^{2} .

গড়ের জন্য তাৎপর্য পরীক্ষা এবং বিশ্বাসযোগ্যতা ব্যবধি (confidence intervals) এরপর t-test ব্যবহার করে প্রাক্কলন করা যায়।

আকার পক্ষপাতদুষ্ট নমুনা (Size biased sampling)

ধরা যাক, একটি দৈব চলকের বিন্যাস f( x )। আরও ধরা যাক, একটি চলক নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা তার মানের সমানুপাতিক। একে দৈর্ঘ্য-ভিত্তিক বা আকার পক্ষপাতদুষ্ট নমুনা বলা হয়।

ধরা যাক μ হলো পপুলেশনের গড়। তাহলে আকার পক্ষপাতদুষ্ট পপুলেশনের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন (probability density function) f*( x ) হলো

f^{*} (x) = \frac{x f (x)}{μ}

এই দৈর্ঘ্য পক্ষপাতদুষ্ট বিন্যাসের প্রত্যাশা E^*( x ) হলো^[25]

E^{*} (x) = μ [1 + \frac{σ^{2}}{μ^{2}}]

যেখানে σ² হলো ভেদাঙ্ক।

হারমোনিক গড়ের প্রত্যাশা দৈর্ঘ্য পক্ষপাতহীন সংস্করণের E( x ) এর সমান

E^{*} (x^{- 1}) = E (x)^{- 1}

দৈর্ঘ্য পক্ষপাতদুষ্ট নমুনার সমস্যাটি বস্ত্র উৎপাদন^[27], পেডিগ্রি বিশ্লেষণ^[28] এবং সারভাইভাল অ্যানালাইসিস^[29]-সহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে দেখা দেয়।

আকমান এবং অন্যান্যরা নমুনায় দৈর্ঘ্য-ভিত্তিক পক্ষপাত শনাক্তকরণের জন্য একটি পরীক্ষা উদ্ভাবন করেছেন।^[30]

স্থানান্তরিত চলক (Shifted variables)

যদি X একটি ধনাত্মক দৈব চলক হয় এবং q > 0 হয়, তবে সকল ε > 0-এর জন্য^[31]

Var [\frac{1}{(X + ϵ)^{q}}] < Var (\frac{1}{X^{q}}) .

মোমেন্টস (Moments)

ধরা যাক X এবং E(X) > 0, তাহলে^[31]

E [\frac{1}{X}] \geq \frac{1}{E (X)}

এটি জেনসেনের অসমতা (Jensen's inequality) থেকে পাওয়া যায়।

গুরল্যান্ড দেখিয়েছেন যে^[32] এমন একটি বিন্যাসের জন্য যা কেবল ধনাত্মক মান গ্রহণ করে, যেকোনো n > 0-এর জন্য

E (X^{- 1}) \geq \frac{E (X^{n - 1})}{E (X^{n})} .

কিছু শর্তাধীনে^[33]

E (a + X)^{- n} \sim E (a + X^{- n})

যেখানে ~ চিহ্নটি প্রায় সমান বোঝায়।

নমুনা বৈশিষ্ট্য

ধরা যাক চলকসমূহ (x) একটি লগনরমাল বিন্যাস থেকে নেওয়া হয়েছে, সেক্ষেত্রে H-এর জন্য বেশ কয়েকটি সম্ভাব্য প্রাক্কলক (estimators) রয়েছে:

\begin{aligned} H_{1} & = \frac{n}{\sum (\frac{1}{x})} \\ H_{2} & = \frac{{(\exp [\frac{1}{n} \sum \log_{e} (x)])}^{2}}{\frac{1}{n} \sum (x)} \\ H_{3} & = \exp (m - \frac{1}{2} s^{2}) \end{aligned}

যেখানে

m = \frac{1}{n} \sum \log_{e} (x)

s^{2} = \frac{1}{n} \sum {(\log_{e} (x) - m)}^{2}

এগুলোর মধ্যে H₃ সম্ভবত ২৫ বা তার বেশি নমুনার জন্য সেরা প্রাক্কলক।^[34]

পক্ষপাত এবং ভেদাঙ্ক প্রাক্কলক

H₁-এর পক্ষপাত এবং ভেদাঙ্কের প্রথম ক্রমের আসন্ন মান হলো^[35]

\begin{aligned} bias [H_{1}] & = \frac{H C_{v}}{n} \\ Var [H_{1}] & = \frac{H^{2} C_{v}}{n} \end{aligned}

যেখানে C_v হলো ভেদাঙ্ক গুণাঙ্ক।

একইভাবে, H₃-এর পক্ষপাত এবং ভেদাঙ্কের প্রথম ক্রমের আসন্ন মান হলো^[35]

\begin{aligned} \frac{H \log_{e} (1 + C_{v})}{2 n} [1 + \frac{1 + C_{v}^{2}}{2}] \\ \frac{H \log_{e} (1 + C_{v})}{n} [1 + \frac{1 + C_{v}^{2}}{4}] \end{aligned}

সাংখ্যিক পরীক্ষায় H₃ সাধারণত H₁-এর চেয়ে হারমোনিক গড়ের একটি উন্নত প্রাক্কলক।^[35] H₂ এমন প্রাক্কলন তৈরি করে যা অনেকাংশে H₁-এর অনুরূপ।

নোট

এনভায়রনমেন্টাল প্রোটেকশন এজেন্সি পানিতে বিষাক্ত পদার্থের সর্বোচ্চ মাত্রা নির্ধারণে হারমোনিক গড় ব্যবহারের সুপারিশ করে।^[36]

জিওফিজিক্যাল রিজার্ভার ইঞ্জিনিয়ারিং গবেষণায় হারমোনিক গড় ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।^[37]

আরও দেখুন

হার (গণিত)
কন্ট্রাহারমোনিক গড়
সাধারণীকৃত গড়
ভারিত গড়
ভারিত জ্যামিতিক গড়
HM-GM-AM-QM অসমতা
হারমোনিক গড় পি-ভ্যালু
হারমোনিক সংখ্যা
সমান্তরাল (অপারেটর), যার ফলাফল হারমোনিক গড়ের অর্ধেক
মিডিয়ান্ট (গণিত), একটি ভগ্নাংশ যা দুটি ভগ্নাংশের মধ্যে থাকে

নোট

তথ্যসূত্র

↑ Course সংরক্ষিত সংস্করণ
↑ (1989). Quantitative Techniques for Managerial Decisions. 63. New Age International. ISBN 978-81-224-0189-9.
↑ Jones, Alan. (2018-10-09). Probability, Statistics and Other Frightening Stuff. 42. Routledge. ISBN 978-1-351-66138-6.
↑ ^4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 Weisstein, Eric W.. Harmonic Mean. mathworld.wolfram.com.
↑ ^5.0 ^5.1 (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. doi:10.1017/CBO9780511804441.
↑ (2011). "Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications". 96–98. Springer. ISBN 978-0387400877.
↑ Da-Feng Xia, Sen-Lin Xu, and Feng Qi, "A proof of the arithmetic mean-geometric mean-harmonic mean inequalities", RGMIA Research Report Collection, vol. 2, no. 1, 1999, http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v2n1/v2n1-10.pdf সংরক্ষিত সংস্করণ
↑ *Statistical Analysis, Ya-lun Chou, Holt International, 1969, 0030730953
↑ Mitchell, Douglas W., "More on spreads and non-arithmetic means," The Mathematical Gazette 88, March 2004, 142–144.
↑ Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum", Archived copy..
↑ Ferger F (1931) The nature and use of the harmonic mean. Journal of the American Statistical Association 26(173) 36-40
↑ Deveci, Sinan. (2022). "On a Double Series Representation of the Natural Logarithm, the Asymptotic Behavior of Hölder Means, and an Elementary Estimate for the Prime Counting Function". 2.
↑ Average: How to calculate Average, Formula, Weighted average. learningpundits.com.
↑ Effective mass in semiconductors. ecee.colorado.edu.
↑ Hecht, Eugene. (2002). "Optics". 168. Addison Wesley. ISBN 978-0805385663.
↑ (2004). "The Handbook of Business Valuation and Intellectual Property Analysis". McGraw Hill. ISBN 0-07-142967-0.
↑ (2010). "Using the Price-to-Earnings Harmonic Mean to Improve Firm Valuation Estimates". Journal of Financial Education. 36 (3–4) 98–110.
↑ (1996). Challenging Problems in Geometry. 172. Dover. ISBN 0-486-69154-3.
↑ Voles, Roger, "Integer solutions of $a^{- 2} + b^{- 2} = d^{- 2}$ ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.
↑ Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–;317.
↑ Van Rijsbergen, C. J.. (1979). Information Retrieval. Butterworth.
↑ Aitchison J, Brown JAC (1969). The lognormal distribution with special reference to its uses in economics. Cambridge University Press, New York
↑ Rossman LA (1990) Design stream flows based on harmonic means. J Hydr Eng ASCE 116(7) 946–950
↑ Johnson NL, Kotz S, Balakrishnan N (1994) Continuous univariate distributions Vol 1. Wiley Series in Probability and Statistics.
↑ ^25.0 ^25.1 Zelen M (1972) Length-biased sampling and biomedical problems. In: Biometric Society Meeting, Dallas, Texas
↑ Lam FC (1985) Estimate of variance for harmonic mean half lives. J Pharm Sci 74(2) 229-231
↑ Cox DR (1969) Some sampling problems in technology. In: New developments in survey sampling. U.L. Johnson, H Smith eds. New York: Wiley Interscience
↑ Davidov O, Zelen M (2001) Referent sampling, family history and relative risk: the role of length-biased sampling. Biostat 2(2): 173-181 10.1093/biostatistics/2.2.173
↑ Zelen M, Feinleib M (1969) On the theory of screening for chronic diseases. Biometrika 56: 601-614
↑ Akman O, Gamage J, Jannot J, Juliano S, Thurman A, Whitman D (2007) A simple test for detection of length-biased sampling. J Biostats 1 (2) 189-195
↑ ^31.0 ^31.1 Chuen-Teck See, Chen J (2008) Convex functions of random variables. J Inequal Pure Appl Math 9 (3) Art 80
↑ Gurland J (1967) An inequality satisfied by the expectation of the reciprocal of a random variable. The American Statistician. 21 (2) 24
↑ Sung SH (2010) On inverse moments for a class of nonnegative random variables. J Inequal Applic 10.1155/2010/823767
↑ Stedinger JR (1980) Fitting lognormal distributions to hydrologic data. Water Resour Res 16(3) 481–490
↑ ^35.0 ^35.1 ^35.2 Limbrunner JF, Vogel RM, Brown LC (2000) Estimation of harmonic mean of a lognormal variable. J Hydrol Eng 5(1) 59-66 Archived copy.
↑ EPA (1991) Technical support document for water quality-based toxics control. EPA/505/2-90-001. Office of Water
↑ Muskat M (1937) The flow of homogeneous fluids through porous media. McGraw-Hill, New York

বহিঃসংযোগ

HarmonicMean
Averages, Arithmetic and Harmonic Means at cut-the-knot

descriptive

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Harmonic mean” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।

[1] Course সংরক্ষিত সংস্করণ

[2] (1989). Quantitative Techniques for Managerial Decisions. 63. New Age International. ISBN 978-81-224-0189-9.

[3] Jones, Alan. (2018-10-09). Probability, Statistics and Other Frightening Stuff. 42. Routledge. ISBN 978-1-351-66138-6.

[wolfram-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 Weisstein, Eric W.. Harmonic Mean. mathworld.wolfram.com.

[BoydVandenberghe2004-5] 5.0 ^5.1 (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. doi:10.1017/CBO9780511804441.

[MarshallOlkin2011-6] (2011). "Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications". 96–98. Springer. ISBN 978-0387400877.

[7] Da-Feng Xia, Sen-Lin Xu, and Feng Qi, "A proof of the arithmetic mean-geometric mean-harmonic mean inequalities", RGMIA Research Report Collection, vol. 2, no. 1, 1999, http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v2n1/v2n1-10.pdf সংরক্ষিত সংস্করণ

[8] *Statistical Analysis, Ya-lun Chou, Holt International, 1969, 0030730953

[9] Mitchell, Douglas W., "More on spreads and non-arithmetic means," The Mathematical Gazette 88, March 2004, 142–144.

[Crux-10] Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum", Archived copy..

[Ferger1931-11] Ferger F (1931) The nature and use of the harmonic mean. Journal of the American Statistical Association 26(173) 36-40

[Deveci2022DoubleSeries-12] Deveci, Sinan. (2022). "On a Double Series Representation of the Natural Logarithm, the Asymptotic Behavior of Hölder Means, and an Elementary Estimate for the Prime Counting Function". 2.

[13] Average: How to calculate Average, Formula, Weighted average. learningpundits.com.

[14] Effective mass in semiconductors. ecee.colorado.edu.

[Hecht1-15] Hecht, Eugene. (2002). "Optics". 168. Addison Wesley. ISBN 978-0805385663.

[16] (2004). "The Handbook of Business Valuation and Intellectual Property Analysis". McGraw Hill. ISBN 0-07-142967-0.

[17] (2010). "Using the Price-to-Earnings Harmonic Mean to Improve Firm Valuation Estimates". Journal of Financial Education. 36 (3–4) 98–110.

[18] (1996). Challenging Problems in Geometry. 172. Dover. ISBN 0-486-69154-3.

[19] Voles, Roger, "Integer solutions of $a^{- 2} + b^{- 2} = d^{- 2}$ ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.

[20] Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–;317.

[21] Van Rijsbergen, C. J.. (1979). Information Retrieval. Butterworth.

[Aitchison1969-22] Aitchison J, Brown JAC (1969). The lognormal distribution with special reference to its uses in economics. Cambridge University Press, New York

[Rossman1990-23] Rossman LA (1990) Design stream flows based on harmonic means. J Hydr Eng ASCE 116(7) 946–950

[Johnson1994-24] Johnson NL, Kotz S, Balakrishnan N (1994) Continuous univariate distributions Vol 1. Wiley Series in Probability and Statistics.

[Zelen1972-25] 25.0 ^25.1 Zelen M (1972) Length-biased sampling and biomedical problems. In: Biometric Society Meeting, Dallas, Texas

[Lam1985-26] Lam FC (1985) Estimate of variance for harmonic mean half lives. J Pharm Sci 74(2) 229-231

[Cox1969-27] Cox DR (1969) Some sampling problems in technology. In: New developments in survey sampling. U.L. Johnson, H Smith eds. New York: Wiley Interscience

[Davidov2001-28] Davidov O, Zelen M (2001) Referent sampling, family history and relative risk: the role of length-biased sampling. Biostat 2(2): 173-181 10.1093/biostatistics/2.2.173

[Zelen1969-29] Zelen M, Feinleib M (1969) On the theory of screening for chronic diseases. Biometrika 56: 601-614

[Akman2007-30] Akman O, Gamage J, Jannot J, Juliano S, Thurman A, Whitman D (2007) A simple test for detection of length-biased sampling. J Biostats 1 (2) 189-195

[Chuen-Teck2008-31] 31.0 ^31.1 Chuen-Teck See, Chen J (2008) Convex functions of random variables. J Inequal Pure Appl Math 9 (3) Art 80

[Gurland1967-32] Gurland J (1967) An inequality satisfied by the expectation of the reciprocal of a random variable. The American Statistician. 21 (2) 24

[Sung2010-33] Sung SH (2010) On inverse moments for a class of nonnegative random variables. J Inequal Applic 10.1155/2010/823767

[Stedinger1980-34] Stedinger JR (1980) Fitting lognormal distributions to hydrologic data. Water Resour Res 16(3) 481–490

[Limbrunner2000-35] 35.0 ^35.1 ^35.2 Limbrunner JF, Vogel RM, Brown LC (2000) Estimation of harmonic mean of a lognormal variable. J Hydrol Eng 5(1) 59-66 Archived copy.

[EPA1991-36] EPA (1991) Technical support document for water quality-based toxics control. EPA/505/2-90-001. Office of Water

[Muskat1937-37] Muskat M (1937) The flow of homogeneous fluids through porous media. McGraw-Hill, New York

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

Anonymous

Search