সম্ভাবনা তত্ত্ব

September 2009

সম্ভাবনা তত্ত্ব (Probability theory) বা সম্ভাবনা ক্যালকুলাস হলো গণিতের একটি শাখা যা সম্ভাবনা নিয়ে কাজ করে। যদিও সম্ভাবনার বিভিন্ন ব্যাখ্যা রয়েছে, সম্ভাবনা তত্ত্ব এই ধারণাটিকে একগুচ্ছ স্বতঃসিদ্ধের মাধ্যমে কঠোর গাণিতিক পদ্ধতিতে প্রকাশ করে। সাধারণত এই স্বতঃসিদ্ধগুলো একটি সম্ভাবনা স্থানের মাধ্যমে সম্ভাবনাকে বিধিবদ্ধ করে, যা নমুনা স্থান নামক ফলাফলের একটি সেটের ওপর ০ থেকে ১-এর মধ্যে মান গ্রহণকারী একটি পরিমাপ প্রদান করে, যাকে সম্ভাবনা পরিমাপ বলা হয়। নমুনা স্থানের যেকোনো নির্দিষ্ট উপসেটকে একটি ঘটনা বলা হয়।

সম্ভাবনা তত্ত্বের কেন্দ্রীয় বিষয়গুলোর মধ্যে রয়েছে বিচ্ছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক, সম্ভাবনা বিন্যাস এবং স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া (যা অ-নির্ধারণবাদী বা অনিশ্চিত প্রক্রিয়া অথবা পরিমাপকৃত পরিমাণের গাণিতিক বিমূর্ত রূপ প্রদান করে, যা একক ঘটনা হতে পারে অথবা সময়ের সাথে দৈবভাবে পরিবর্তিত হতে পারে)। যদিও দৈব ঘটনাগুলোকে নিখুঁতভাবে পূর্বাভাস দেওয়া সম্ভব নয়, তবুও তাদের আচরণ সম্পর্কে অনেক কিছু বলা সম্ভব। এই ধরনের আচরণ বর্ণনা করে এমন সম্ভাবনা তত্ত্বের দুটি প্রধান ফলাফল হলো বৃহৎ সংখ্যার সূত্র এবং কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য।

পরিসংখ্যানের গাণিতিক ভিত্তি হিসেবে, সম্ভাবনা তত্ত্ব এমন অনেক মানবিক কর্মকাণ্ডের জন্য অপরিহার্য যা তথ্যের পরিমাণগত বিশ্লেষণের সাথে জড়িত। সম্ভাবনা তত্ত্বের পদ্ধতিগুলো জটিল সিস্টেমের বর্ণনার ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা হয়, যেখানে তাদের অবস্থার আংশিক জ্ঞান থাকে, যেমন পরিসংখ্যানিক বলবিদ্যা বা ধারাবাহিক প্রাক্কলনে। বিংশ শতাব্দীর পদার্থবিজ্ঞানের একটি বড় আবিষ্কার ছিল পারমাণবিক স্কেলে ভৌত ঘটনাগুলোর সম্ভাব্য প্রকৃতি, যা কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় বর্ণিত হয়েছে। তবে পরবর্তীটি সম্ভাবনার একটি ভিন্ন তত্ত্বের ওপর নির্ভর করে।

সম্ভাবনার ইতিহাস

মূল নিবন্ধ: History of probability

সম্ভাবনার আধুনিক গাণিতিক তত্ত্বের শিকড় রয়েছে ষোড়শ শতাব্দীতে জেরোলামো কার্দানো এবং সপ্তদশ শতাব্দীতে পিয়ের দ্য ফের্মা ও ব্লেইজ পাস্কাল কর্তৃক দৈব খেলা বিশ্লেষণের প্রচেষ্টায় (উদাহরণস্বরূপ "পয়েন্টের সমস্যা")। ক্রিশ্চিয়ান হাইগেনস ১৬৫৭ সালে এই বিষয়ে একটি বই প্রকাশ করেন। ঊনবিংশ শতাব্দীতে, যাকে সম্ভাবনার ধ্রুপদী সংজ্ঞা হিসেবে বিবেচনা করা হয়, তা পিয়ের লাপ্লাস কর্তৃক সম্পন্ন হয়।

প্রাথমিকভাবে, সম্ভাবনা তত্ত্ব মূলত বিচ্ছিন্ন ঘটনাগুলো বিবেচনা করত এবং এর পদ্ধতিগুলো ছিল মূলত সমাবেশমূলক। শেষ পর্যন্ত, বিশ্লেষণাত্মক বিবেচনার কারণে তত্ত্বটিতে অবিচ্ছিন্ন চলক অন্তর্ভুক্ত করা অপরিহার্য হয়ে পড়ে।

এটি আধুনিক সম্ভাবনা তত্ত্বে চূড়ান্ত রূপ লাভ করে, যার ভিত্তি স্থাপন করেছিলেন আন্দ্রে কোলমোগোরভ। কোলমোগোরভ রিচার্ড ফন মিসেস কর্তৃক প্রবর্তিত নমুনা স্থান এবং পরিমাপ তত্ত্বের ধারণা একত্রিত করেন এবং ১৯৩৩ সালে সম্ভাবনা তত্ত্বের জন্য তার স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থা উপস্থাপন করেন। এটি আধুনিক সম্ভাবনা তত্ত্বের অধিকাংশের কাছে স্বীকৃত স্বতঃসিদ্ধ ভিত্তি হয়ে ওঠে; তবে, বিকল্প ব্যবস্থাও বিদ্যমান, যেমন ব্রুনো দে ফিনেত্তি কর্তৃক গণনযোগ্য নয় এমন সসীম সংযোজনশীলতার গ্রহণ।

প্রক্রিয়া

সম্ভাবনা তত্ত্বের অধিকাংশ পরিচিতি বিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিন্যাস এবং অবিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিন্যাসকে আলাদাভাবে আলোচনা করে। সম্ভাবনা তত্ত্বের পরিমাপ-তাত্ত্বিক আলোচনা বিচ্ছিন্ন, অবিচ্ছিন্ন, উভয়ের মিশ্রণ এবং আরও অনেক কিছুকে অন্তর্ভুক্ত করে।

প্রেরণা

এমন একটি পরীক্ষা বিবেচনা করুন যা বেশ কিছু ফলাফল তৈরি করতে পারে। সমস্ত ফলাফলের সেটকে পরীক্ষার নমুনা স্থান বলা হয়। নমুনা স্থানের পাওয়ার সেট (বা সমতুল্যভাবে, ঘটনার স্থান) সম্ভাব্য ফলাফলের সমস্ত ভিন্ন ভিন্ন সংগ্রহ বিবেচনা করে গঠিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করলে ছয়টি সম্ভাব্য ফলাফলের একটি পাওয়া যায়। সম্ভাব্য ফলাফলের একটি সংগ্রহ বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার সাথে সম্পর্কিত। সুতরাং, উপসেট {১,৩,৫} হলো ছক্কা নিক্ষেপের নমুনা স্থানের পাওয়ার সেটের একটি উপাদান। এই সংগ্রহগুলোকে ঘটনা বলা হয়। এই ক্ষেত্রে, {১,৩,৫} হলো সেই ঘটনা যে ছক্কাটি কোনো বিজোড় সংখ্যায় পড়বে। যদি প্রকৃতপক্ষে ঘটে যাওয়া ফলাফলগুলো কোনো নির্দিষ্ট ঘটনার মধ্যে পড়ে, তবে বলা হয় যে সেই ঘটনাটি ঘটেছে।

সম্ভাবনা হলো প্রতিটি "ঘটনা"-কে শূন্য থেকে এক-এর মধ্যে একটি মান প্রদান করার একটি উপায়, যেখানে শর্ত থাকে যে সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফল নিয়ে গঠিত ঘটনাকে (আমাদের উদাহরণে, {১,২,৩,৪,৫,৬} ঘটনাটি) এক মান প্রদান করতে হবে। একটি সম্ভাবনা বিন্যাস হিসেবে গণ্য হওয়ার জন্য, মান প্রদানের ক্ষেত্রে এই শর্ত পূরণ করতে হবে যে, যদি আপনি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনাগুলোর (যে ঘটনাগুলোতে কোনো সাধারণ ফলাফল নেই, যেমন {১,৬}, {৩}, এবং {২,৪} ঘটনাগুলো সবই পরস্পর বর্জনশীল) একটি সংগ্রহ দেখেন, তবে এই ঘটনাগুলোর যেকোনো একটি ঘটার সম্ভাবনা হবে ঘটনাগুলোর সম্ভাবনার যোগফলের সমান।

{১,৬}, {৩}, বা {২,৪} ঘটনাগুলোর যেকোনো একটি ঘটার সম্ভাবনা হলো ৫/৬। এটি {১,২,৩,৪,৬} ঘটনার সম্ভাবনা ৫/৬ হওয়ার মতোই। এই ঘটনাটি পাঁচ ছাড়া যেকোনো সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনাকে অন্তর্ভুক্ত করে। পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা {৫}-এর সম্ভাবনা ১/৬ এবং {১,২,৩,৪,৫,৬} ঘটনার সম্ভাবনা ১, অর্থাৎ, পরম নিশ্চয়তা।

পরীক্ষার ফলাফল ব্যবহার করে গণনা করার সময়, সমস্ত মৌলিক ঘটনাগুলোর সাথে একটি সংখ্যা যুক্ত থাকা প্রয়োজন। এটি একটি দৈব চলক ব্যবহার করে করা হয়। দৈব চলক হলো এমন একটি ফাংশন যা নমুনা স্থানের প্রতিটি মৌলিক ঘটনাকে একটি বাস্তব সংখ্যা প্রদান করে। এই ফাংশনটি সাধারণত একটি বড় হাতের অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ছক্কার ক্ষেত্রে, নির্দিষ্ট মৌলিক ঘটনার সাথে একটি সংখ্যা যুক্ত করার কাজটি আইডেন্টিটি ফাংশন ব্যবহার করে করা যেতে পারে। এটি সবসময় কাজ করে না। উদাহরণস্বরূপ, মুদ্রা নিক্ষেপের সময় দুটি সম্ভাব্য ফলাফল হলো "হেডস" এবং "টেইলস"। এই উদাহরণে, দৈব চলক X ফলাফল "হেডস"-কে সংখ্যা "০" ($X(\text{heads})=0$) এবং ফলাফল "টেইলস"-কে সংখ্যা "১" ($X(\text{tails})=1$) প্রদান করতে পারে।

বিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিন্যাস

মূল নিবন্ধ: Discrete probability distribution

পয়সন বিন্যাস, একটি বিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিন্যাস

বিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা তত্ত্ব এমন ঘটনাগুলো নিয়ে কাজ করে যা গণনযোগ্য নমুনা স্থানে ঘটে।

উদাহরণ: ছক্কা নিক্ষেপ, তাসের ডেক নিয়ে পরীক্ষা, র‍্যান্ডম ওয়াক, এবং মুদ্রা নিক্ষেপ।

ধ্রুপদী সংজ্ঞা: প্রাথমিকভাবে একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনাকে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল ঘটনাটির অনুকূল ফলাফলের সংখ্যাকে একটি সম-সম্ভাব্য নমুনা স্থানে মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে: দেখুন সম্ভাবনার ধ্রুপদী সংজ্ঞা।

উদাহরণস্বরূপ, যদি ঘটনাটি হয় "ছক্কা নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা আসা", তবে সম্ভাবনা হবে $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, কারণ ৬টি তলের মধ্যে ৩টি তলে জোড় সংখ্যা আছে এবং প্রতিটি তলের আসার সম্ভাবনা সমান।

আধুনিক সংজ্ঞা: আধুনিক সংজ্ঞা শুরু হয় একটি সসীম বা গণনযোগ্য সেট দিয়ে যাকে নমুনা স্থান বলা হয়, যা ধ্রুপদী অর্থে সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সেটের সাথে সম্পর্কিত, যাকে $\mathrm{\Omega }$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এরপর ধরে নেওয়া হয় যে প্রতিটি উপাদান $x\in \mathrm{\Omega }$-এর জন্য, একটি অন্তর্নিহিত "সম্ভাবনা" মান $f(x)$ যুক্ত আছে, যা নিচের বৈশিষ্ট্যগুলো পূরণ করে:

1. $f(x)\in [0,1]\text{ for all }x\in \mathrm{\Omega };$
2. $\sum _{x\in \mathrm{\Omega }}f(x)=1.$

অর্থাৎ, সম্ভাবনা ফাংশন f(x) নমুনা স্থান Ω-এর প্রতিটি x মানের জন্য শূন্য থেকে এক-এর মধ্যে থাকে এবং নমুনা স্থান Ω-এর সমস্ত x মানের ওপর f(x)-এর যোগফল ১-এর সমান হয়। একটি ঘটনা সংজ্ঞায়িত করা হয় নমুনা স্থান $\mathrm{\Omega }$-এর যেকোনো উপসেট $E$ হিসেবে। ঘটনা $E$-এর সম্ভাবনা সংজ্ঞায়িত করা হয় এভাবে: $$\mathbb{\mathbb{P}}(E)=\sum _{x\in E}f(x).$$

সুতরাং, সম্পূর্ণ নমুনা স্থানের সম্ভাবনা ১ এবং শূন্য ঘটনার সম্ভাবনা ০।

নমুনা স্থানের একটি বিন্দুকে "সম্ভাবনা" মানের সাথে ম্যাপ করা ফাংশন $f(x)$-কে সম্ভাবনা ভর ফাংশন বলা হয়, যা সংক্ষেপে pmf।

অবিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিন্যাস

মূল নিবন্ধ: Continuous probability distribution

নরমাল বিন্যাস, একটি অবিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিন্যাস

অবিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা তত্ত্ব এমন ঘটনাগুলো নিয়ে কাজ করে যা একটি অবিচ্ছিন্ন নমুনা স্থানে ঘটে।

ধ্রুপদী সংজ্ঞা: অবিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রের মুখোমুখি হলে ধ্রুপদী সংজ্ঞা অকার্যকর হয়ে পড়ে। দেখুন বারট্রান্ডের প্যারাডক্স।

আধুনিক সংজ্ঞা: যদি একটি দৈব চলক X-এর নমুনা স্থান বাস্তব সংখ্যার সেট ($\mathbb{ℝ}$) বা এর কোনো উপসেট হয়, তবে কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন (CDF) নামক একটি ফাংশন $F$ বিদ্যমান থাকে, যা $F(x)=\mathbb{\mathbb{P}}(X\le x)$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত। অর্থাৎ, F(x) সেই সম্ভাবনা প্রদান করে যে X-এর মান x-এর চেয়ে ছোট বা সমান হবে।

CDF অবশ্যই নিচের বৈশিষ্ট্যগুলো পূরণ করে।

1. $F$ একটি মোনোটোনিক্যালি নন-ডিক্রিজিং, রাইট-কন্টিনিউয়াস ফাংশন;
2. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0;$
3. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1.$

দৈব চলক $X$-কে অবিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিন্যাসযুক্ত বলা হয় যদি সংশ্লিষ্ট CDF $F$ অবিচ্ছিন্ন হয়। যদি $F$ অ্যাবসোলিউটলি কন্টিনিউয়াস হয়, তবে এর ডেরিভেটিভ প্রায় সর্বত্র বিদ্যমান থাকে এবং ডেরিভেটিভকে ইন্টিগ্রেট করলে আমরা পুনরায় CDF ফিরে পাই। এই ক্ষেত্রে, দৈব চলক X-এর একটি সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন (PDF) বা কেবল ঘনত্ব $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$ আছে বলে বলা হয়।

একটি সেট $E\subseteq \mathbb{ℝ}$-এর জন্য, দৈব চলক X-এর E\,-তে থাকার সম্ভাবনা হলো $$\mathbb{\mathbb{P}}(X\in E)=\underset{x\in E}{\int }dF(x).$$

যদি PDF বিদ্যমান থাকে, তবে এটিকে লেখা যায় $$\mathbb{\mathbb{P}}(X\in E)=\underset{x\in E}{\int }f(x)dx.$$

যেখানে PDF কেবল অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকের জন্য বিদ্যমান, CDF সমস্ত দৈব চলকের জন্য (বিচ্ছিন্ন দৈব চলকসহ) বিদ্যমান যা $\mathbb{ℝ}$-এ মান গ্রহণ করে।

এই ধারণাগুলো ${\mathbb{ℝ}}^n$ এবং অন্যান্য অবিচ্ছিন্ন নমুনা স্থানের ওপর বহুমাত্রিক ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে।

পরিমাপ-তাত্ত্বিক সম্ভাবনা তত্ত্ব

সম্ভাবনার পরিমাপ-তাত্ত্বিক আলোচনার উপযোগিতা হলো এটি বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রগুলোকে একত্রিত করে এবং পার্থক্যটিকে কোন পরিমাপ ব্যবহার করা হচ্ছে তার প্রশ্নে পরিণত করে। এছাড়া, এটি এমন বিন্যাসগুলোকেও কভার করে যা বিচ্ছিন্ন বা অবিচ্ছিন্ন নয়, অথবা উভয়ের মিশ্রণও নয়।

এই ধরনের বিন্যাসের একটি উদাহরণ হতে পারে বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন বিন্যাসের মিশ্রণ—উদাহরণস্বরূপ, একটি দৈব চলক যা ১/২ সম্ভাবনায় ০ হয় এবং ১/২ সম্ভাবনায় একটি নরমাল বিন্যাস থেকে দৈব মান গ্রহণ করে। এটিকে কিছুটা হলেও $(\delta [x]+\phi (x))/2$-এর PDF আছে বিবেচনা করে অধ্যয়ন করা যেতে পারে, যেখানে $\delta [x]$ হলো ডিরাক ডেল্টা ফাংশন এবং $\phi (x)$ হলো নরমাল বিন্যাসের PDF।

অন্যান্য বিন্যাস হয়তো মিশ্রণও নাও হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, ক্যান্টর বিন্যাসের কোনো একক বিন্দুর জন্য কোনো ধনাত্মক সম্ভাবনা নেই, আবার এর কোনো ঘনত্বও নেই। সম্ভাবনা তত্ত্বের আধুনিক দৃষ্টিভঙ্গি এই সমস্যাগুলো সমাধান করে পরিমাপ তত্ত্ব ব্যবহার করে সম্ভাবনা স্থান সংজ্ঞায়িত করার মাধ্যমে:

যেকোনো সেট $\mathrm{\Omega }$ (যাকে নমুনা স্থানও বলা হয়) এবং এর ওপর একটি σ-অ্যালজেব্রা ${ℱ}$ দেওয়া থাকলে, ${ℱ}$-এর ওপর সংজ্ঞায়িত একটি পরিমাপ $\mathbb{\mathbb{P}}$-কে সম্ভাবনা পরিমাপ বলা হয় যদি $\mathbb{\mathbb{P}}(\mathrm{\Omega })=1.$ হয়।

যদি ${ℱ}$ বাস্তব সংখ্যার সেটের ওপর বোরেল σ-অ্যালজেব্রা হয়, তবে যেকোনো CDF-এর জন্য ${ℱ}$-এর ওপর একটি অনন্য সম্ভাবনা পরিমাপ বিদ্যমান থাকে এবং বিপরীতটিও সত্য। একটি CDF-এর সাথে সংশ্লিষ্ট পরিমাপকে CDF দ্বারা ইন্ডিউসড বলা হয়। এই পরিমাপটি বিচ্ছিন্ন চলকের জন্য pmf এবং অবিচ্ছিন্ন চলকের জন্য PDF-এর সাথে মিলে যায়, যা পরিমাপ-তাত্ত্বিক দৃষ্টিভঙ্গিকে ভ্রান্তিমুক্ত করে।

σ-অ্যালজেব্রা ${ℱ}$-এর একটি সেট $E$-এর সম্ভাবনা সংজ্ঞায়িত করা হয় এভাবে $$\mathbb{\mathbb{P}}(E)=\underset{\omega \in E}{\int }{\mu }_F(d\omega )$$ যেখানে ইন্টিগ্রেশনটি F দ্বারা ইন্ডিউসড পরিমাপ ${\mu }_F$-এর সাপেক্ষে করা হয়।

বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন সম্ভাবনার উন্নত বোঝাপড়া এবং একীকরণের পাশাপাশি, পরিমাপ-তাত্ত্বিক আলোচনা আমাদের ${\mathbb{ℝ}}^n$-এর বাইরের সম্ভাবনা নিয়েও কাজ করার সুযোগ দেয়, যেমন স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার তত্ত্বে। উদাহরণস্বরূপ, ব্রাউনিয়ান মোশন অধ্যয়নের জন্য, সম্ভাবনা ফাংশনের একটি স্থানের ওপর সংজ্ঞায়িত করা হয়।

যখন একটি আধিপত্যকারী পরিমাপের সাথে কাজ করা সুবিধাজনক হয়, তখন রাডন-নিকোডিম উপপাদ্য ব্যবহার করে এই আধিপত্যকারী পরিমাপের সাপেক্ষে আগ্রহের সম্ভাবনা বিন্যাসের রাডন-নিকোডিম ডেরিভেটিভ হিসেবে ঘনত্ব সংজ্ঞায়িত করা হয়। বিচ্ছিন্ন ঘনত্বগুলো সাধারণত সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সেটের ওপর একটি গণনা পরিমাপের সাপেক্ষে এই ডেরিভেটিভ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অ্যাবসোলিউটলি কন্টিনিউয়াস বিন্যাসের ঘনত্বগুলো সাধারণত লেবেসগ পরিমাপের সাপেক্ষে এই ডেরিভেটিভ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি এই সাধারণ সেটিংয়ে একটি উপপাদ্য প্রমাণ করা যায়, তবে তা বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন বিন্যাসসহ অন্যদের জন্যও প্রযোজ্য হয়; বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন বিন্যাসের জন্য আলাদা প্রমাণের প্রয়োজন হয় না।

ধ্রুপদী সম্ভাবনা বিন্যাস

মূল নিবন্ধ: Probability distributions

নির্দিষ্ট কিছু দৈব চলক সম্ভাবনা তত্ত্বে খুব ঘন ঘন ঘটে কারণ তারা অনেক প্রাকৃতিক বা ভৌত প্রক্রিয়াকে ভালোভাবে বর্ণনা করে। তাই তাদের বিন্যাসগুলো সম্ভাবনা তত্ত্বে বিশেষ গুরুত্ব অর্জন করেছে। কিছু মৌলিক বিচ্ছিন্ন বিন্যাস হলো বিচ্ছিন্ন ইউনিফর্ম, বার্নৌলি, দ্বিপদী, নেগেটিভ দ্বিপদী, পয়সন এবং জ্যামিতিক বিন্যাস। গুরুত্বপূর্ণ অবিচ্ছিন্ন বিন্যাসের মধ্যে রয়েছে অবিচ্ছিন্ন ইউনিফর্ম, নরমাল, এক্সপোনেনশিয়াল, গামা এবং বিটা বিন্যাস।

দৈব চলকের অভিসৃতি

মূল নিবন্ধ: Convergence of random variables সম্ভাবনা তত্ত্বে, দৈব চলকের জন্য অভিসৃতির বেশ কয়েকটি ধারণা রয়েছে। নিচে এগুলোকে শক্তির ক্রমানুসারে তালিকাভুক্ত করা হলো, অর্থাৎ, তালিকার যেকোনো পরবর্তী অভিসৃতির ধারণা পূর্ববর্তী সমস্ত ধারণার অভিসৃতিকে বোঝায়।

দুর্বল অভিসৃতি

দৈব চলকের একটি অনুক্রম $X_1,X_2,\dots ,$ দৈব চলক $X$-এর দিকে দুর্বলভাবে অভিসৃত হয় যদি তাদের সংশ্লিষ্ট CDF $F_1,F_2,\dots ,$ যেখানে F অবিচ্ছিন্ন, সেখানে X-এর CDF $F$-এর দিকে অভিসৃত হয়। দুর্বল অভিসৃতিকে বিন্যাসে অভিসৃতিও বলা হয়।

সবচেয়ে সাধারণ সংক্ষিপ্ত নোটেশন: $X_n\stackrel{{𝒟}}{\to }X$

সম্ভাবনায় অভিসৃতি

দৈব চলকের অনুক্রম $X_1,X_2,\dots$-কে দৈব চলক $X$-এর দিকে সম্ভাবনায় অভিসৃত বলা হয় যদি প্রতিটি ε > 0-এর জন্য $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{\mathbb{P}}(|X_n-X|\ge \epsilon )=0$ হয়।

সবচেয়ে সাধারণ সংক্ষিপ্ত নোটেশন: $X_n\stackrel{\mathbb{\mathbb{P}}}{\to }X$

সবল অভিসৃতি

দৈব চলকের অনুক্রম $X_1,X_2,\dots$-কে দৈব চলক $X$-এর দিকে সবলভাবে অভিসৃত বলা হয় যদি $\mathbb{\mathbb{P}}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{X}_n=X)=1$ হয়। সবল অভিসৃতিকে অলমোস্ট সিওর কনভারজেন্স হিসেবেও জানা যায়।

সবচেয়ে সাধারণ সংক্ষিপ্ত নোটেশন: $X_n\stackrel{\mathrm{a}\mathrm{.}\mathrm{s}\mathrm{.}}{\to }X$

নাম থেকেই বোঝা যায়, দুর্বল অভিসৃতি সবল অভিসৃতির চেয়ে দুর্বল। প্রকৃতপক্ষে, সবল অভিসৃতি সম্ভাবনায় অভিসৃতিকে বোঝায় এবং সম্ভাবনায় অভিসৃতি দুর্বল অভিসৃতিকে বোঝায়। বিপরীত উক্তিগুলো সবসময় সত্য নয়।

বৃহৎ সংখ্যার সূত্র

মূল নিবন্ধ: Law of large numbers সাধারণ অন্তর্দৃষ্টি বলে যে, যদি একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা অনেকবার নিক্ষেপ করা হয়, তবে মোটামুটি অর্ধেক সময় এটি হেডস এবং বাকি অর্ধেক সময় টেইলস দেখাবে। এছাড়া, মুদ্রাটি যত বেশিবার নিক্ষেপ করা হবে, হেডস এবং টেইলস-এর সংখ্যার অনুপাত ১-এর কাছাকাছি হওয়ার সম্ভাবনা তত বাড়বে। আধুনিক সম্ভাবনা তত্ত্ব এই অন্তর্দৃষ্টির একটি বিধিবদ্ধ সংস্করণ প্রদান করে, যা বৃহৎ সংখ্যার সূত্র নামে পরিচিত। এই সূত্রটি অসাধারণ কারণ এটি সম্ভাবনা তত্ত্বের ভিত্তিসমূহে ধরে নেওয়া হয় না, বরং এই ভিত্তিসমূহ থেকে একটি উপপাদ্য হিসেবে উদ্ভূত হয়। যেহেতু এটি তাত্ত্বিকভাবে প্রাপ্ত সম্ভাবনাগুলোকে বাস্তব জগতে তাদের প্রকৃত ঘটনার হারের সাথে সংযুক্ত করে, তাই বৃহৎ সংখ্যার সূত্রকে পরিসংখ্যান তত্ত্বের ইতিহাসে একটি স্তম্ভ হিসেবে বিবেচনা করা হয় এবং এর ব্যাপক প্রভাব রয়েছে।

বৃহৎ সংখ্যার সূত্র (LLN) বলে যে, স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত দৈব চলকের $X_k$ একটি অনুক্রমের নমুনা গড় $${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k$$ তাদের সাধারণ প্রত্যাশা (প্রত্যাশিত মান) $\mu$-এর দিকে অভিসৃত হয়, যদি $|X_k|$-এর প্রত্যাশা সসীম হয়।

দৈব চলকের অভিসৃতির বিভিন্ন রূপই বৃহৎ সংখ্যার দুর্বল এবং সবল সূত্রকে পৃথক করে।

• দুর্বল সূত্র: ${\bar{X}}_n\stackrel{\mathbb{\mathbb{P}}}{\to }\mu$ যেখানে $n\to \mathrm{\infty }$
• সবল সূত্র: ${\bar{X}}_n\stackrel{\mathrm{a}\mathrm{.}\mathrm{s}\mathrm{.}}{\to }\mu$ যেখানে $n\to \mathrm{\infty }.$

LLN থেকে এটি অনুসরণ করে যে, যদি স্বাধীন পরীক্ষার সময় p সম্ভাবনার কোনো ঘটনা বারবার পর্যবেক্ষণ করা হয়, তবে সেই ঘটনার পর্যবেক্ষণকৃত হারের সাথে মোট পুনরাবৃত্তির সংখ্যার অনুপাত p-এর দিকে অভিসৃত হয়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি $Y_1,Y_2,...$ স্বাধীন বার্নৌলি দৈব চলক হয় যা p সম্ভাবনায় ১ এবং ১-p সম্ভাবনায় ০ মান গ্রহণ করে, তবে সমস্ত i-এর জন্য $\text{E}(Y_i)=p$, সুতরাং ${\overline{Y}}_n$ অলমোস্ট সিওরলি p-এর দিকে অভিসৃত হয়।

কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য

মূল নিবন্ধ: Central limit theorem কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য (CLT) প্রকৃতিতে নরমাল বিন্যাসের সর্বব্যাপী উপস্থিতি ব্যাখ্যা করে এবং ডেভিড উইলিয়ামসের মতে, এই উপপাদ্যটি "গণিতের অন্যতম সেরা ফলাফল।"

উপপাদ্যটি বলে যে, সসীম ভেদাঙ্কযুক্ত অনেক স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত দৈব চলকের গড় মূল দৈব চলকগুলো যে বিন্যাস অনুসরণ করে তা নির্বিশেষে একটি নরমাল বিন্যাসের দিকে ধাবিত হয়। বিধিবদ্ধভাবে, ধরুন $X_1,X_2,\dots$ হলো স্বাধীন দৈব চলক যাদের গড় $\mu$ এবং ভেদাঙ্ক ${\sigma }^2>0.$। তবে দৈব চলকের অনুক্রম $$Z_n=\frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\mu )}{\sigma \sqrt{n}}$$ বিন্যাসে একটি স্ট্যান্ডার্ড নরমাল দৈব চলকের দিকে অভিসৃত হয়।

কিছু দৈব চলকের শ্রেণির জন্য, ধ্রুপদী কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য বেশ দ্রুত কাজ করে, যেমনটি বেরি-এসেন উপপাদ্যে চিত্রিত হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, এক্সপোনেনশিয়াল ফ্যামিলি থেকে সসীম প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় মোমেন্টযুক্ত বিন্যাস; অন্যদিকে, হেভি টেইল এবং ফ্যাট টেইল বৈচিত্র্যের কিছু দৈব চলকের জন্য, এটি খুব ধীরে কাজ করে অথবা একেবারেই কাজ নাও করতে পারে: এমন ক্ষেত্রে কেউ জেনারালাইজড সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম (GCLT) ব্যবহার করতে পারে।

আরও দেখুন

• Mathematical Statistics
• Expected value
• Variance
• Fuzzy logic
• Fuzzy measure theory
• Glossary of probability and statistics
• Likelihood function
• Notation in probability
• Predictive modelling
• Probabilistic logic
• Probabilistic proofs of non-probabilistic theorems
• Probability distribution
• Probability axioms
• Probability interpretations
• Probability space
• Statistical independence
• Statistical physics
• Subjective logic
• Pairwise independence§Probability of the union of pairwise independent events

তালিকা

• Catalog of articles in probability theory
• List of probability topics
• List of publications in statistics
• List of statistical topics

তথ্যসূত্র

উৎস

• Pierre Simon de Laplace. (1812). "Analytical Theory of Probability".

ক্যালকুলাসের সাথে সম্ভাবনা তত্ত্বের মিশ্রণ ঘটানো প্রথম বড় গ্রন্থ, মূলত ফরাসি ভাষায়: Théorie Analytique des Probabilités।

• A. Kolmogoroff. (1933). "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung". ISBN 978-3-642-49888-6. doi:10.1007/978-3-642-49888-6.

নাথান মরিসন কর্তৃক একটি ইংরেজি অনুবাদ ১৯৫০ সালে Foundations of the Theory of Probability (চেলসি, নিউ ইয়র্ক) শিরোনামে প্রকাশিত হয়, যার দ্বিতীয় সংস্করণ ১৯৫৬ সালে আসে।

• Patrick Billingsley. (1979). "Probability and Measure". John Wiley and Sons.
• Olav Kallenberg; Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp. 0-387-95313-2
• Henk Tijms. (2004). "Understanding Probability". Cambridge Univ. Press.

নতুনদের জন্য সম্ভাবনা তত্ত্বের একটি প্রাণবন্ত পরিচিতি।

• Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp. 0-387-25115-4
• Durrett, Rick. (2019). Probability: Theory and Examples, 5th edition. . Cambridge University Press. ISBN 9781108473682.
• Gut, Allan. (2005). "Probability: A Graduate Course". Springer-Verlag. ISBN 0-387-22833-0.

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Probability theory” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_theory এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।