ফুরিয়ার ধারা

একটি ফুরিয়ার ধারা (IPA: /ˈfʊrieɪ,_iər/) হলো একটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশন-কে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন-এর সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করার একটি ধারা বিস্তৃতি। ফুরিয়ার ধারা হলো ত্রিকোণমিতিক ধারা-র একটি উদাহরণ।(Zygmund, 2002, p. 1-8) একটি ফাংশনকে সাইন (sine) ও কোসাইন (cosine)-এর সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করলে, সেই ফাংশন সম্পর্কিত অনেক সমস্যা বিশ্লেষণ করা সহজ হয়ে যায়, কারণ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলো সুপরিচিত। উদাহরণস্বরূপ, জোসেফ ফুরিয়ার প্রথম তাপ সমীকরণ-এর সমাধান খুঁজতে ফুরিয়ার ধারা ব্যবহার করেছিলেন। এই প্রয়োগটি সম্ভব কারণ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অন্তরজগুলো সহজ প্যাটার্ন অনুসরণ করে। ফুরিয়ার ধারা ব্যবহার করে যেকোনো ফাংশনকে আসন্নীকরণ করা যায় না, কারণ অধিকাংশ ফাংশনের ফুরিয়ার ধারায় অসীম সংখ্যক পদ থাকে এবং এই ধারাগুলো সর্বদা অভিসারী হয় না। সুসংগত ফাংশন, যেমন মসৃণ ফাংশনগুলোর ফুরিয়ার ধারা মূল ফাংশনের দিকে অভিসারী হয়। ফুরিয়ার ধারার সহগগুলো ফাংশনটিকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত সমাকলন-এর মাধ্যমে নির্ধারিত হয়, যা Definition অংশে বর্ণিত হয়েছে।

ফুরিয়ার ধারার অভিসৃতি-এর অধ্যয়ন 'আংশিক সমষ্টি'-র আচরণের ওপর আলোকপাত করে, যার অর্থ হলো ধারাটির যত বেশি পদ যোগ করা হয়, তার আচরণের বিশ্লেষণ করা। নিচের চিত্রগুলো একটি বর্গ তরঙ্গ-এর উপাদানগুলোর জন্য কিছু আংশিক ফুরিয়ার ধারার ফলাফল প্রদর্শন করে।

• 
  একটি বর্গ তরঙ্গকে (নীল বিন্দু হিসেবে উপস্থাপিত) তার ষষ্ঠ আংশিক সমষ্টি (বেগুনি বিন্দু হিসেবে উপস্থাপিত) দ্বারা আসন্নীকরণ করা হয়েছে, যা বর্গ তরঙ্গের ফুরিয়ার ধারার প্রথম ছয়টি পদ (তীরচিহ্ন হিসেবে উপস্থাপিত) যোগ করে গঠিত। প্রতিটি তীরচিহ্ন তার বাম দিকের সমস্ত তীরচিহ্নের উল্লম্ব সমষ্টি (অর্থাৎ পূর্ববর্তী আংশিক সমষ্টি) থেকে শুরু হয়।
• 
  একটি বর্গ তরঙ্গ-এর ফুরিয়ার ধারার প্রথম চারটি আংশিক সমষ্টি। যত বেশি হারমোনিক যোগ করা হয়, আংশিক সমষ্টিগুলো বর্গ তরঙ্গের দিকে অভিসারী হয়।
• 
  ফাংশন $s_6(x)$ (লাল রঙে) হলো ৬টি হারমোনিক্যালি সম্পর্কিত সাইন তরঙ্গের (নীল রঙে) একটি ফুরিয়ার ধারা সমষ্টি। এর ফুরিয়ার রূপান্তর $S(f)$ হলো একটি ফ্রিকোয়েন্সি-ডোমেইন উপস্থাপনা যা যোগ করা সাইন তরঙ্গগুলোর বিস্তার প্রকাশ করে।

ফুরিয়ার ধারা ফুরিয়ার রূপান্তর-এর সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যা একটি আরও সাধারণ সরঞ্জাম এবং এটি এমন ফাংশনের ফ্রিকোয়েন্সি তথ্যও খুঁজে পেতে পারে যা পর্যায়বৃত্ত *নয়*। পর্যায়বৃত্ত ফাংশনগুলোকে একটি বৃত্তের ওপর ফাংশন হিসেবে চিহ্নিত করা যায়; এই কারণে ফুরিয়ার ধারা হলো বৃত্ত গ্রুপ-এর ওপর ফুরিয়ার বিশ্লেষণ-এর বিষয়, যাকে $\mathbb{𝕋}$ বা $S_1$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ফুরিয়ার রূপান্তরও ফুরিয়ার বিশ্লেষণ-এর অংশ, তবে এটি ${\mathbb{ℝ}}^n$-এর ওপর ফাংশনের জন্য সংজ্ঞায়িত।

ফুরিয়ারের সময় থেকে, ফুরিয়ার ধারার ধারণাটিকে সংজ্ঞায়িত ও বোঝার জন্য অনেক ভিন্ন ভিন্ন পদ্ধতি আবিষ্কৃত হয়েছে, যার সবগুলোই একে অপরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, কিন্তু প্রতিটিই এই বিষয়ের ভিন্ন ভিন্ন দিকগুলোর ওপর জোর দেয়। কিছু শক্তিশালী ও মার্জিত পদ্ধতি এমন গাণিতিক ধারণা ও সরঞ্জামের ওপর ভিত্তি করে তৈরি, যা ফুরিয়ারের সময়ে উপলব্ধ ছিল না। ফুরিয়ার মূলত বাস্তব আর্গুমেন্টের বাস্তব-মানসম্পন্ন ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার ধারা সংজ্ঞায়িত করেছিলেন এবং ধারা বিস্তৃতিতে সাইন ও কোসাইন ফাংশন ব্যবহার করেছিলেন। এরপর থেকে আরও অনেক ফুরিয়ার-সম্পর্কিত রূপান্তর সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যা তার প্রাথমিক ধারণাকে অনেক প্রয়োগে প্রসারিত করেছে এবং গণিতের একটি ক্ষেত্র জন্ম দিয়েছে যাকে ফুরিয়ার বিশ্লেষণ বলা হয়।

ইতিহাসHistorical development

আরও দেখুন: Fourier analysis#History

ফুরিয়ার ধারার নামকরণ করা হয়েছে জঁ-বাতিস্ত জোসেফ ফুরিয়ার (১৭৬৮–১৮৩০)-এর সম্মানে, যিনি ত্রিকোণমিতিক ধারা-র অধ্যয়নে গুরুত্বপূর্ণ অবদান রেখেছিলেন। এর আগে লিওনার্ড অয়লার, জঁ ল্য রঁ দালঁবেয়ার এবং ড্যানিয়েল বার্নুয়ি প্রাথমিক অনুসন্ধান করেছিলেন। ফুরিয়ার একটি ধাতব পাতের তাপ সমীকরণ সমাধানের উদ্দেশ্যে এই ধারাটি প্রবর্তন করেন। তিনি ১৮০৭ সালে তার প্রাথমিক ফলাফলগুলো Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (কঠিন বস্তুতে তাপের প্রসারণ বিষয়ক গবেষণাপত্র)-এ প্রকাশ করেন এবং ১৮২২ সালে তার Théorie analytique de la chaleur (তাপের বিশ্লেষণাত্মক তত্ত্ব) প্রকাশ করেন। গবেষণাপত্রটি ফুরিয়ার বিশ্লেষণ, বিশেষ করে ফুরিয়ার ধারা প্রবর্তন করে। ফুরিয়ারের গবেষণার মাধ্যমে এটি প্রতিষ্ঠিত হয় যে একটি ইচ্ছামাফিক (প্রথমে অবিচ্ছিন্ন এবং পরবর্তীতে যেকোনো খণ্ডশঃ-মসৃণ ফাংশনে সাধারণীকৃত) ফাংশনকে একটি ত্রিকোণমিতিক ধারা দ্বারা উপস্থাপন করা যায়। এই মহান আবিষ্কারের প্রথম ঘোষণা ফুরিয়ার ১৮০৭ সালে ফরাসি একাডেমির সামনে দিয়েছিলেন। একটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশনকে সরল দোদুল্যমান ফাংশনের সমষ্টিতে বিয়োজিত করার প্রাথমিক ধারণা খ্রিস্টপূর্ব তৃতীয় শতাব্দীতে ফিরে যায়, যখন প্রাচীন জ্যোতির্বিজ্ঞানীরা ডিফারেন্ট ও এপিসাইকেল-এর ওপর ভিত্তি করে গ্রহের গতির একটি অভিজ্ঞতামূলক মডেল প্রস্তাব করেছিলেন।

ফুরিয়ারের থেকে স্বাধীনভাবে, জ্যোতির্বিজ্ঞানী ফ্রিডরিখ ভিলহেল্ম বেসেল কেপলারের সমীকরণ সমাধানের জন্য ফুরিয়ার ধারা প্রবর্তন করেন। তার কাজ ১৮১৯ সালে প্রকাশিত হয়, যা ফুরিয়ারের কাজের (যা ১৮২২ সাল পর্যন্ত অপ্রকাশিত ছিল) অজানা ছিল।

তাপ সমীকরণ হলো একটি আংশিক অন্তরক সমীকরণ। ফুরিয়ারের কাজের আগে, তাপ সমীকরণের সাধারণ ক্ষেত্রে কোনো সমাধান জানা ছিল না, যদিও তাপের উৎস সরলভাবে আচরণ করলে, বিশেষ করে যদি তাপের উৎস একটি সাইন বা কোসাইন তরঙ্গ হতো, তবে বিশেষ সমাধান জানা ছিল। এই সরল সমাধানগুলোকে এখন কখনও কখনও আইগেনসলিউশন বলা হয়। ফুরিয়ারের ধারণা ছিল একটি জটিল তাপের উৎসকে সরল সাইন ও কোসাইন তরঙ্গের সুপারপজিশন (বা রৈখিক সমাবেশ) হিসেবে মডেল করা এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনসলিউশন-এর সুপারপজিশন হিসেবে সমাধান লেখা। এই সুপারপজিশন বা রৈখিক সমাবেশকেই ফুরিয়ার ধারা বলা হয়।

আধুনিক দৃষ্টিকোণ থেকে, ঊনবিংশ শতাব্দীর শুরুতে ফাংশন ও সমাকলন-এর সুনির্দিষ্ট ধারণার অভাবের কারণে ফুরিয়ারের ফলাফলগুলো কিছুটা অনানুষ্ঠানিক ছিল। পরবর্তীতে, পিটার গুস্তাভ লেজ্যুন ডিরিক্লে এবং বের্নহার্ট রিমান ফুরিয়ারের ফলাফলগুলোকে আরও বেশি নির্ভুলতা ও আনুষ্ঠানিকতার সাথে প্রকাশ করেন।

যদিও মূল উদ্দেশ্য ছিল তাপ সমীকরণ সমাধান করা, পরবর্তীতে এটি স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে একই কৌশলগুলো গাণিতিক ও ভৌত সমস্যার একটি বিস্তৃত পরিসরে প্রয়োগ করা যেতে পারে, বিশেষ করে ধ্রুবক সহগযুক্ত রৈখিক অন্তরক সমীকরণগুলোর ক্ষেত্রে, যার আইগেনসলিউশনগুলো হলো সাইনাসয়েড। ফুরিয়ার ধারার অনেক প্রয়োগ রয়েছে তড়িৎ প্রকৌশল, কম্পন বিশ্লেষণ, শব্দবিজ্ঞান, আলোকবিজ্ঞান, সংকেত প্রক্রিয়াকরণ, চিত্র প্রক্রিয়াকরণ, কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান, ইকোনোমেট্রিক্স, শেল তত্ত্ব, ইত্যাদি ক্ষেত্রে।

সূচনা

জোসেফ ফুরিয়ার লিখেছিলেন

Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (১৮০৭)।

এটি যেকোনো ফাংশনের জন্য φ(y)-এর ত্রিকোণমিতিক ধারা-র যেকোনো সহগ a_k প্রদান করে, যার এমন বিস্তৃতি রয়েছে। এটি কাজ করে কারণ যদি φ-এর এমন বিস্তৃতি থাকে, তবে (উপযুক্ত অভিসৃতি অনুমানের অধীনে) সমাকলন $$\begin{array}{rl}& \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\phi (y)\cos (2k+1)\frac{\pi y}{2}dy\\ & =\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(a\cos \frac{\pi y}{2}\cos (2k+1)\frac{\pi y}{2}+a^{\prime }\cos 3\frac{\pi y}{2}\cos (2k+1)\frac{\pi y}{2}+\cdots )dy\end{array}$$ পদ-প্রতি-পদ সম্পন্ন করা যেতে পারে। কিন্তু $\cos (2j+1)\frac{\pi y}{2}\cos (2k+1)\frac{\pi y}{2}$ জড়িত সমস্ত পদ, যেখানে j ≠ k, -১ থেকে ১ পর্যন্ত সমাকলন করলে শূন্য হয়ে যায়, শুধুমাত্র $k^{\text{th}}$ পদটি অবশিষ্ট থাকে, যা হলো ১।

এই কয়েকটি লাইনে, যা ফুরিয়ার ধারায় ব্যবহৃত আধুনিক আনুষ্ঠানিকতা-র কাছাকাছি, ফুরিয়ার গণিত ও পদার্থবিজ্ঞান উভয়কেই বিপ্লব করেছিলেন। যদিও একই ধরনের ত্রিকোণমিতিক ধারা পূর্বে অয়লার, দালঁবেয়ার, ড্যানিয়েল বার্নুয়ি এবং গাউস ব্যবহার করেছিলেন, ফুরিয়ার বিশ্বাস করতেন যে এই ধরনের ত্রিকোণমিতিক ধারা যেকোনো ইচ্ছামাফিক ফাংশনকে উপস্থাপন করতে পারে। এটি কোন অর্থে সত্য তা একটি সূক্ষ্ম বিষয় এবং এই ধারণাটি স্পষ্ট করার জন্য বহু বছরের প্রচেষ্টা অভিসৃতি, ফাংশন স্পেস এবং হারমোনিক বিশ্লেষণ-এর তত্ত্বে গুরুত্বপূর্ণ আবিষ্কারের দিকে পরিচালিত করেছে।

১৮১১ সালে ফুরিয়ার যখন একটি পরবর্তী প্রতিযোগিতামূলক প্রবন্ধ জমা দেন, তখন কমিটি (যার মধ্যে ল্যাগ্রাঞ্জ, ল্যাপলাস, মালুস এবং ল্যজঁদ্র প্রমুখ ছিলেন) উপসংহারে পৌঁছায়: "...লেখক যেভাবে এই সমীকরণগুলোতে পৌঁছান তা অসুবিধা থেকে মুক্ত নয় এবং...সেগুলোকে সমাকলন করার জন্য তার বিশ্লেষণ সাধারণতা এবং এমনকি কঠোরতা-র দিক থেকে কিছু আকাঙ্ক্ষা অবশিষ্ট রাখে"।

ফুরিয়ারের অনুপ্রেরণা

একটি ধাতব পাতে এই তাপের বণ্টন ফুরিয়ারের পদ্ধতি ব্যবহার করে সহজেই সমাধান করা যায়

করাত-দাঁত ফাংশনের (নিচে) ফুরিয়ার ধারা বিস্তৃতি সরল সূত্র $s(x)=\frac{x}{\pi }$-এর চেয়ে জটিল দেখায়, তাই ফুরিয়ার ধারার প্রয়োজন কেন তা তাৎক্ষণিকভাবে স্পষ্ট নয়। যদিও অনেক প্রয়োগ রয়েছে, ফুরিয়ারের অনুপ্রেরণা ছিল তাপ সমীকরণ সমাধান করা। উদাহরণস্বরূপ, একটি বর্গাকার ধাতব পাতের কথা বিবেচনা করুন যার বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $\pi$ মিটার, স্থানাঙ্ক $(x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]$। যদি পাতের ভেতরে কোনো তাপের উৎস না থাকে এবং চারটি বাহুর মধ্যে তিনটি ০ ডিগ্রি সেলসিয়াসে রাখা হয়, আর চতুর্থ বাহু, যা $y=\pi$ দ্বারা প্রদত্ত, তা $T(x,\pi )=x$ ডিগ্রি সেলসিয়াস তাপমাত্রার গ্রেডিয়েন্টে রাখা হয়, $x\in (0,\pi )$-এর জন্য, তবে দেখানো যেতে পারে যে স্থির তাপের বণ্টন (বা দীর্ঘ সময় অতিবাহিত হওয়ার পর তাপের বণ্টন) হলো

$T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin (nx)\frac{\sinh (ny)}{\sinh (n\pi )}.$

এখানে, $\sinh$ হলো হাইপারবোলিক সাইন ফাংশন। তাপ সমীকরণের এই সমাধানটি বিশ্লেষণ § উদাহরণ থেকে সমীকরণের প্রতিটি পদকে $\sinh (ny)/\sinh (n\pi )$ দ্বারা গুণ করে পাওয়া যায়। যদিও আমাদের উদাহরণ ফাংশন $s(x)$-এর একটি অপ্রয়োজনীয় জটিল ফুরিয়ার ধারা রয়েছে বলে মনে হয়, তাপের বণ্টন $T(x,y)$ অ-তুচ্ছ। ফাংশন $T$-কে একটি বদ্ধ-রূপ প্রকাশ হিসেবে লেখা যায় না। তাপ সমস্যা সমাধানের এই পদ্ধতিটি ফুরিয়ারের কাজের মাধ্যমে সম্ভব হয়েছিল।

অন্যান্য প্রয়োগ

আরেকটি প্রয়োগ হলো পার্সেভালের উপপাদ্য ব্যবহার করে বাসেল সমস্যা সমাধান করা। উদাহরণটি সাধারণীকৃত হয় এবং কেউ যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য ζ(2n) গণনা করতে পারে।

সংজ্ঞা

একটি জটিল-মানসম্পন্ন P-পর্যায়বৃত্ত ফাংশন $s(x)$-এর ফুরিয়ার ধারা, যা বাস্তব রেখায় $[0,P]$ ব্যবধিতে সমাকলনযোগ্য, তাকে নিচের আকারের একটি ত্রিকোণমিতিক ধারা হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় $$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{i2\pi \frac{n}{P}x},$$ যেখানে ফুরিয়ার সহগ $c_n$ হলো জটিল সংখ্যা যা সমাকলন দ্বারা সংজ্ঞায়িত(Folland, 1992, pp. 18-25)(Hardy, Rogosinski, 1999, pp. 2-4) $$c_n=\frac{1}{P}\underset{0}{\overset{P}{\int }}s(x)e^{-i2\pi \frac{n}{P}x}dx.$$ ধারাটি সর্বদা (বিন্দুভিত্তিক অভিসৃতির অর্থে) অভিসারী হয় না এবং এমনকি যদি তা হয়ও, তবে এটি সর্বদা $s(x)$-এর সমান হয় না। শুধুমাত্র যখন নির্দিষ্ট শর্ত পূরণ হয় (যেমন যদি $s(x)$ অবিচ্ছিন্নভাবে অন্তরকলনযোগ্য হয়), তখনই ফুরিয়ার ধারা $s(x)$-এর দিকে অভিসারী হয়, অর্থাৎ $$s(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{i2\pi \frac{n}{P}x}.$$ ডিরিক্লে পর্যাপ্ত শর্ত পূরণকারী ফাংশনগুলোর জন্য বিন্দুভিত্তিক অভিসৃতি বজায় থাকে।(Lion, 1986) তবে, এগুলো প্রয়োজনীয় শর্ত নয় এবং বিভিন্ন ধরনের ফুরিয়ার ধারার অভিসৃতি (যেমন সম অভিসৃতি বা গড় অভিসৃতি) সম্পর্কে অনেক উপপাদ্য রয়েছে।(Edwards, 1979, pp. 8-9) সংজ্ঞাটি প্রাকৃতিকভাবে একটি (পর্যায়বৃত্ত) ডিস্ট্রিবিউশন $s$-এর ফুরিয়ার ধারায় প্রসারিত হয় (যাকে ফুরিয়ার-শোয়ার্জ ধারাও বলা হয়)।(Edwards, 1982, pp. 57,67) তখন ফুরিয়ার ধারা ডিস্ট্রিবিউশন অর্থে $s(x)$-এর দিকে অভিসারী হয়।(Schwartz, 1966, pp. 152-158)

একটি প্রদত্ত ফাংশন বা সংকেতের ফুরিয়ার সহগ নির্ধারণের প্রক্রিয়াকে বিশ্লেষণ বলা হয়, আর সংশ্লিষ্ট ত্রিকোণমিতিক ধারা (বা এর বিভিন্ন আসন্নীকরণ) গঠন করাকে সংশ্লেষণ বলা হয়।

সংশ্লেষণ

একটি ফুরিয়ার ধারাকে বেশ কয়েকটি সমতুল্য আকারে লেখা যেতে পারে, যা এখানে $s(x)$-এর ফুরিয়ার ধারার $N^{\text{th}}$ আংশিক সমষ্টি $s_N(x)$ হিসেবে দেখানো হয়েছে:

চিত্র ১. উপরের গ্রাফটি ০ থেকে P পর্যন্ত লাল ব্যবধিতে সংজ্ঞায়িত নীল রঙের একটি অ-পর্যায়বৃত্ত ফাংশন $s(x)$ দেখায়। নিচের গ্রাফে ফুরিয়ার ধারা তৈরি করতে এই ব্যবধিতে ফাংশনটিকে বিশ্লেষণ করা যেতে পারে। ফুরিয়ার ধারা সর্বদা একটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশন, এমনকি যদি মূল ফাংশন $s(x)$ তা না হয়।

border

border হারমোনিকগুলো একটি পূর্ণসংখ্যা $n$ দ্বারা সূচিত হয়, যা $P$ ব্যবধিতে সংশ্লিষ্ট সাইনাসয়েডগুলোর সম্পন্ন করা চক্রের সংখ্যাও। অতএব, সাইনাসয়েডগুলোর রয়েছে:

• একটি তরঙ্গদৈর্ঘ্য যা $x$-এর একই এককে $\frac{P}{n}$-এর সমান।
• একটি কম্পাঙ্ক যা $x$-এর বিপরীত এককে $\frac{n}{P}$-এর সমান।

এই ধারাগুলো এমন ফাংশন উপস্থাপন করতে পারে যা হারমোনিক স্পেকট্রাম-এ এক বা একাধিক কম্পাঙ্কের সমষ্টি। $N\to \mathrm{\infty }$ সীমার মধ্যে, একটি ত্রিকোণমিতিক ধারা অসীম সংখ্যক পদের কারণে মধ্যবর্তী কম্পাঙ্ক বা অ-সাইনাসয়েডাল ফাংশনগুলোকেও উপস্থাপন করতে পারে।

বিশ্লেষণ

সহগগুলো দেওয়া বা ধরে নেওয়া যেতে পারে, যেমন একটি মিউজিক সিন্থেসাইজার বা একটি তরঙ্গরূপের সময়ের নমুনা। পরবর্তী ক্ষেত্রে, ফুরিয়ার ধারার সূচকীয় আকার একটি বিচ্ছিন্ন-সময় ফুরিয়ার রূপান্তর সংশ্লেষণ করে যেখানে চলক $x$ সময়ের পরিবর্তে কম্পাঙ্ক উপস্থাপন করে। সাধারণভাবে, সহগগুলো একটি প্রদত্ত ফাংশন $s(x)$-এর বিশ্লেষণ দ্বারা নির্ধারিত হয় যার সংজ্ঞার ডোমেইন হলো $P$ দৈর্ঘ্যের একটি ব্যবধি।(Stade, 2005, p. 6)

border

$\frac{2}{P}$ স্কেল ফ্যাক্টরটি Eq.1-কে Eq.3-এ প্রতিস্থাপন এবং ত্রিকোণমিতিক সিস্টেমের অর্থোগোনালিটি ব্যবহারের মাধ্যমে আসে। Eq.1 এবং Eq.2-এর সমতুল্যতা অয়লারের সূত্র থেকে আসে $$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},$$ যার ফলে: border যেখানে $c_0$ হলো $P$ ব্যবধিতে $s$-এর গড় মান।(Folland, 1992, pp. 21) বিপরীতভাবে: border

উদাহরণ

করাত-দাঁত তরঙ্গ-এর প্লট, ব্যবধি $(-\pi ,\pi ]$-এ রৈখিক ফাংশন $s(x)=x/\pi$-এর একটি পর্যায়বৃত্ত ধারাবাহিকতা

প্রথম পাঁচটি ধারাবাহিক আংশিক ফুরিয়ার ধারার অ্যানিমেটেড প্লট

একটি করাত-দাঁত ফাংশন বিবেচনা করুন: $$s(x)=s(x+2\pi k)=\frac{x}{\pi },\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}-\pi <x<\pi ,\text{ and }k\in \mathbb{\mathbb{Z}}.$$ এই ক্ষেত্রে, ফুরিয়ার সহগগুলো হলো $$\begin{array}{rl}{a}_0& =0.\\ a_n& =\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}s(x)\cos (nx)dx=0,n\ge 1.\\ b_n& =\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}s(x)\sin (nx)dx\\ & =-\frac{2}{\pi n}\cos (n\pi )+\frac{2}{{\pi }^2{n}^2}\sin (n\pi )\\ & =\frac{2(-1{)}^{n+1}}{\pi n},n\ge 1.\end{array}$$ এটি দেখানো যেতে পারে যে ফুরিয়ার ধারা প্রতিটি বিন্দু $x$-এ $s(x)$-এর দিকে অভিসারী হয় যেখানে $s$ অন্তরকলনযোগ্য, এবং তাই: $$\begin{array}{rl}s(x)& =a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\cos \left(nx\right)+b_n\sin \left(nx\right)]\\ & =\frac{2}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin (nx),\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}(x-\pi )\text{is not a multiple of}2\pi .\end{array}$$ যখন $x=\pi$, ফুরিয়ার ধারা ০-এর দিকে অভিসারী হয়, যা $x=\pi$-এ $s$-এর বাম ও ডান সীমার অর্ধেক সমষ্টি। এটি ফুরিয়ার ধারার জন্য ডিরিক্লে উপপাদ্য-এর একটি বিশেষ উদাহরণ।

এই উদাহরণটি বাসেল সমস্যা-র সমাধানের দিকে পরিচালিত করে।

বিস্তার-দশা আকার

যদি ফাংশন $s(x)$ বাস্তব-মানসম্পন্ন হয় তবে ফুরিয়ার ধারাকে এভাবেও উপস্থাপন করা যেতে পারে(Stade, 2005, pp. 59-64)(Alexander, Sadiku, 2009, pp. 759-760) border যেখানে $A_n$ হলো বিস্তার এবং ${\phi }_n$ হলো $n^{th}$ হারমোনিকের দশা সরণ।

Eq.4 এবং Eq.1-এর সমতুল্যতা ত্রিকোণমিতিক অভেদ থেকে আসে: $$\cos (2\pi \frac{n}{P}x-{\phi }_n)=\cos ({\phi }_n)\cos \left(2\pi \frac{n}{P}x\right)+\sin ({\phi }_n)\sin \left(2\pi \frac{n}{P}x\right),$$ যা নির্দেশ করে $$a_n=A_n\cos ({\phi }_n)\text{and}{b}_n=A_n\sin ({\phi }_n)$$

চিত্র ২. নীল বক্ররেখাটি একটি বর্গ তরঙ্গ এবং একটি কোসাইন টেমপ্লেটের ক্রস-কোরেলেশন, যখন টেমপ্লেটের দশা ল্যাগ একটি চক্রের ওপর পরিবর্তিত হয়। সর্বোচ্চ মানের বিস্তার ও দশা হলো বর্গ তরঙ্গের ফুরিয়ার ধারা বিস্তৃতিতে একটি হারমোনিকের পোলার স্থানাঙ্ক। সংশ্লিষ্ট আয়তাকার স্থানাঙ্কগুলো ৯০° দ্বারা পৃথক দুটি নমুনার কোরেলেশন মূল্যায়ন করে নির্ধারণ করা যেতে পারে।

হলো একটি ভেক্টরের আয়তাকার স্থানাঙ্ক, যা পোলার স্থানাঙ্কে লেখা হয় $$A_n\mathrm{\angle }{\phi }_n=a_n+i{b}_n$$ যেখানে $$A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\text{and}{\phi }_n=\mathrm{atan2}(b_n,a_n)=-\mathrm{Arg}(c_n)$$

$n$-এর একটি মানের জন্য প্যারামিটার ${\phi }_n$ নির্ধারণের একটি উদাহরণ চিত্র ২-এ দেখানো হয়েছে। এটি $s(x)$ এবং একটি কোসাইন টেমপ্লেট, $\cos (2\pi \frac{n}{P}x-\phi )$-এর মধ্যে সর্বোচ্চ কোরেলেশনে $\phi$-এর মান। নীল গ্রাফটি হলো ক্রস-কোরেলেশন ফাংশন, যা ম্যাচড ফিল্টার নামেও পরিচিত:

$\begin{array}{rl}\mathrm{X}(\phi )& =\underset{P}{\int }s(x)\cdot \cos (2\pi \frac{n}{P}x-\phi )dx\phi \in [0,2\pi ]\\ & =\cos (\phi )\underset{X(0)}{\underbrace{\underset{P}{\int }s(x)\cdot \cos \left(2\pi \frac{n}{P}x\right)dx}}+\sin (\phi )\underset{X(\pi /2)}{\underbrace{\underset{P}{\int }s(x)\cdot \sin \left(2\pi \frac{n}{P}x\right)dx}}\end{array}$

সৌভাগ্যবশত, এই সম্পূর্ণ ফাংশনটি মূল্যায়ন করার প্রয়োজন নেই, কারণ সর্বোচ্চ মানে এর অন্তরজ শূন্য: $$X^{\prime }(\phi )=\sin (\phi )\cdot X(0)-\cos (\phi )\cdot X(\pi /2)=0,\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">at</mrow>}\phi ={\phi }_n.$$ অতএব $${\phi }_n\equiv \arctan (b_n/a_n)=\arctan (X(\pi /2)/X(0)).$$

সাধারণ নোটেশন

নোটেশন $c_n$ বিভিন্ন ফাংশনের ফুরিয়ার সহগ আলোচনার জন্য অপর্যাপ্ত। অতএব, এটি প্রথাগতভাবে ফাংশনের একটি পরিবর্তিত রূপ ($s,$ এই ক্ষেত্রে), যেমন $\hat{s}(n)$ বা $S[n]$ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় এবং ফাংশনাল নোটেশন প্রায়শই সাবস্ক্রিপ্টিং প্রতিস্থাপন করে:

$\begin{array}{rlrl}s(x)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{s}(n)\cdot e^{i2\pi \frac{n}{P}x}& & \text{সাধারণ গণিত নোটেশন}\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}S[n]\cdot e^{i2\pi \frac{n}{P}x}& & \text{সাধারণ প্রকৌশল নোটেশন}\end{array}$

প্রকৌশলে, বিশেষ করে যখন চলক $x$ সময় উপস্থাপন করে, সহগ অনুক্রমকে কম্পাঙ্ক ডোমেইন উপস্থাপনা বলা হয়। বর্গাকার বন্ধনী প্রায়শই জোর দেওয়ার জন্য ব্যবহৃত হয় যে এই ফাংশনের ডোমেইন হলো কম্পাঙ্কের একটি বিচ্ছিন্ন সেট।

আরেকটি সাধারণভাবে ব্যবহৃত কম্পাঙ্ক ডোমেইন উপস্থাপনা একটি ডিরাক কম্ব-কে মডুলেট করতে ফুরিয়ার ধারার সহগ ব্যবহার করে:

$S(f)\triangleq \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}S[n]\cdot \delta (f-\frac{n}{P}),$

যেখানে $f$ একটি অবিচ্ছিন্ন ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনকে নির্দেশ করে। যখন চলক $x$-এর একক সেকেন্ড হয়, তখন $f$-এর একক হয় হার্জ। কম্বের "দাঁতগুলো" $\frac{1}{P}$-এর গুণিতকে (অর্থাৎ হারমোনিকস) অবস্থান করে, যাকে মৌলিক কম্পাঙ্ক (fundamental frequency) বলা হয়। $s(x)$-কে এই উপস্থাপনা থেকে একটি বিপরীত ফুরিয়ার রূপান্তর (inverse Fourier transform)-এর মাধ্যমে পুনরুদ্ধার করা যায়:

$\begin{array}{rl}{{ℱ}}^{-1}\{S(f)\}& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}S[n]\cdot \delta (f-\frac{n}{P}))e^{i2\pi fx}df,\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}S[n]\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (f-\frac{n}{P})e^{i2\pi fx}df,\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}S[n]\cdot e^{i2\pi \frac{n}{P}x}\triangleq s(x).\end{array}$

গঠিত ফাংশন $S(f)$-কে তাই সাধারণত একটি ফুরিয়ার রূপান্তর (Fourier transform) বলা হয়, যদিও একটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশনের ফুরিয়ার ইন্টিগ্রাল হারমোনিক কম্পাঙ্কগুলোতে অভিসারী (convergent) হয় না।

সাধারণ ফুরিয়ার সিরিজের সারণি

নিচের সারণিতে কিছু সাধারণ পর্যায়বৃত্ত ফাংশন এবং তাদের ফুরিয়ার সিরিজের সহগ দেখানো হলো।

• $s(x)$ হলো $P$ পর্যায়কাল বিশিষ্ট একটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশন।
• $a_0,a_n,b_n$ হলো পর্যায়বৃত্ত ফাংশন $s(x)$-এর ফুরিয়ার সিরিজের সহগ (সাইন-কোসাইন আকারে)।

টাইম ডোমেন $s(x)$	প্লট	ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেন (সাইন-কোসাইন আকার) $\begin{array}{rl}& a_0\\ & a_n\text{for }n\ge 1\\ & b_n\text{for }n\ge 1\end{array}$	মন্তব্য	তথ্যসূত্র
$s(x)=A|\sin \left(\frac{2\pi }{P}x\right)|\text{for }0\le x<P$		$\begin{array}{rl}{a}_0=& \frac{2A}{\pi }\\ a_n=& \{\begin{array}{ll}\frac{-4A}{\pi }\frac{1}{n^2-1}& n\text{ even}\\ 0& n\text{ odd}\end{array}\\ b_n=& 0\\ \end{array}$	ফুল-ওয়েভ রেকটিফাইড সাইন	p. 193
$s(x)=\{\begin{array}{ll}A\sin \left(\frac{2\pi }{P}x\right)& \text{for }0\le x<P/2\\ 0& \text{for }P/2\le x<P\\ \end{array}$		$\begin{array}{rl}{a}_0=& \frac{A}{\pi }\\ a_n=& \{\begin{array}{ll}\frac{-2A}{\pi }\frac{1}{n^2-1}& n\text{ even}\\ 0& n\text{ odd}\end{array}\\ b_n=& \{\begin{array}{ll}\frac{A}{2}& n=1\\ 0& n>1\end{array}\\ \end{array}$	হাফ-ওয়েভ রেকটিফাইড সাইন	p.193
$s(x)=\{\begin{array}{ll}A& \text{for }0\le x<D\cdot P\\ 0& \text{for }D\cdot P\le x<P\\ \end{array}$		$\begin{array}{rl}{a}_0=& AD\\ a_n=& \frac{A}{n\pi }\sin \left(2\pi nD\right)\\ b_n=& \frac{2A}{n\pi }{(\sin \left(\pi nD\right))}^2\\ \end{array}$	$0\le D\le 1$
$s(x)=\frac{Ax}{P}\text{for }0\le x<P$		$\begin{array}{rl}{a}_0=& \frac{A}{2}\\ a_n=& 0\\ b_n=& \frac{-A}{n\pi }\\ \end{array}$		p.192
$s(x)=A-\frac{Ax}{P}\text{for }0\le x<P$		$\begin{array}{rl}{a}_0=& \frac{A}{2}\\ a_n=& 0\\ b_n=& \frac{A}{n\pi }\\ \end{array}$		p.192
$s(x)=\frac{4A}{P^2}{(x-\frac{P}{2})}^2\text{for }0\le x<P$		$\begin{array}{rl}{a}_0=& \frac{A}{3}\\ a_n=& \frac{4A}{{\pi }^2{n}^2}\\ b_n=& 0\\ \end{array}$		p.193

মৌলিক রূপান্তর বিধিসমূহের সারণি

আরও দেখুন: Fourier transform#Basic properties এই সারণিতে টাইম ডোমেনের কিছু গাণিতিক অপারেশন এবং ফুরিয়ার সিরিজের সহগের ওপর তাদের প্রভাব দেখানো হয়েছে। নোটেশন:

• জটিল অনুবন্ধী (Complex conjugation) একটি অ্যাস্টেরিস্ক (*) দ্বারা চিহ্নিত।
• $s(x),r(x)$ হলো $P$-পর্যায়বৃত্ত ফাংশন অথবা শুধুমাত্র $x\in [0,P]$ সীমার জন্য সংজ্ঞায়িত ফাংশন।
• $S[n],R[n]$ হলো $s$ এবং $r$-এর ফুরিয়ার সিরিজের সহগ (এক্সপোনেনশিয়াল আকারে)।

বৈশিষ্ট্য	টাইম ডোমেন	ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেন (এক্সপোনেনশিয়াল আকার)	মন্তব্য	তথ্যসূত্র
রৈখিকতা (Linearity)	$a\cdot s(x)+b\cdot r(x)$	$a\cdot S[n]+b\cdot R[n]$	$a,b\in \mathbb{ℂ}$
টাইম রিভার্সাল / ফ্রিকোয়েন্সি রিভার্সাল	$s(-x)$	$S[-n]$		p. 610
টাইম কনজুগেশন	$s^{*}(x)$	$S^{*}[-n]$		p. 610
টাইম রিভার্সাল ও কনজুগেশন	$s^{*}(-x)$	$S^{*}[n]$
টাইমে বাস্তব অংশ (Real part)	$\mathrm{Re}(s(x))$	$\frac{1}{2}(S[n]+S^{*}[-n])$
টাইমে কাল্পনিক অংশ (Imaginary part)	$\mathrm{Im}(s(x))$	$\frac{1}{2i}(S[n]-S^{*}[-n])$
ফ্রিকোয়েন্সিতে বাস্তব অংশ	$\frac{1}{2}(s(x)+s^{*}(-x))$	$\mathrm{Re}(S[n])$
ফ্রিকোয়েন্সিতে কাল্পনিক অংশ	$\frac{1}{2i}(s(x)-s^{*}(-x))$	$\mathrm{Im}(S[n])$
টাইমে শিফট / ফ্রিকোয়েন্সিতে মডুলেশন	$s(x-x_0)$	$S[n]\cdot e^{-i2\pi \frac{x_0}{P}n}$	$x_0\in \mathbb{ℝ}$	p.610
ফ্রিকোয়েন্সিতে শিফট / টাইমে মডুলেশন	$s(x)\cdot e^{i2\pi \frac{n_0}{P}x}$	$S[n-n_0]$	$n_0\in \mathbb{\mathbb{Z}}$	p. 610

বৈশিষ্ট্যসমূহ

প্রতিসাম্য সম্পর্ক (Symmetry relations)

যখন একটি জটিল ফাংশনের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলোকে তাদের জোড় এবং বিজোড় অংশে বিয়োজিত করা হয়, তখন চারটি উপাদান পাওয়া যায়, যা নিচে সাবস্ক্রিপ্ট RE, RO, IE, এবং IO দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে। একটি জটিল টাইম ফাংশনের চারটি উপাদানের সাথে তার জটিল ফ্রিকোয়েন্সি রূপান্তরের চারটি উপাদানের মধ্যে একটি এক-এক (one-to-one) ম্যাপিং বিদ্যমান:(Proakis, Manolakis, 1996, p. 291)(Oppenheim, Schafer, 2010, p. 55)

$\begin{array}{rlcccccccc}\mathsf{T}\mathsf{i}\mathsf{m}\mathsf{e}\mathsf{d}\mathsf{o}\mathsf{m}\mathsf{a}\mathsf{i}\mathsf{n}& s& =& s_{\mathrm{R}\mathrm{E}}& +& s_{\mathrm{R}\mathrm{O}}& +& i{s}_{\mathrm{I}\mathrm{E}}& +& i{s}_{\mathrm{I}\mathrm{O}}\\ & \Updownarrow {ℱ}& & \Updownarrow {ℱ}& & \Updownarrow {ℱ}& & \Updownarrow {ℱ}& & \Updownarrow {ℱ}\\ \mathsf{F}\mathsf{r}\mathsf{e}\mathsf{q}\mathsf{u}\mathsf{e}\mathsf{n}\mathsf{c}\mathsf{y}\mathsf{d}\mathsf{o}\mathsf{m}\mathsf{a}\mathsf{i}\mathsf{n}& S& =& S_{\mathrm{R}\mathrm{E}}& +& i{S}_{\mathrm{I}\mathrm{O}}& +& i{S}_{\mathrm{I}\mathrm{E}}& +& S_{\mathrm{R}\mathrm{O}}\end{array}$

এ থেকে বিভিন্ন সম্পর্ক স্পষ্ট হয়, উদাহরণস্বরূপ:

• একটি বাস্তব-মান বিশিষ্ট ফাংশন $(s_{\mathrm{R}\mathrm{E}}+s_{\mathrm{R}\mathrm{O}})$-এর রূপান্তর হলো কনজুগেট সিমেট্রিক ফাংশন Failed to parse (syntax error): {\displaystyle S_\mathrm{RE}+i\ S_\mathrm{IO}।} বিপরীতভাবে, একটি কনজুগেট সিমেট্রিক রূপান্তর একটি বাস্তব-মান বিশিষ্ট টাইম-ডোমেন নির্দেশ করে।
• একটি কাল্পনিক-মান বিশিষ্ট ফাংশন $(i{s}_{\mathrm{I}\mathrm{E}}+i{s}_{\mathrm{I}\mathrm{O}})$-এর রূপান্তর হলো কনজুগেট অ্যান্টিসিমেট্রিক ফাংশন $S_{\mathrm{R}\mathrm{O}}+i{S}_{\mathrm{I}\mathrm{E}},$ এবং এর বিপরীতটিও সত্য।
• একটি কনজুগেট সিমেট্রিক ফাংশন $(s_{\mathrm{R}\mathrm{E}}+i{s}_{\mathrm{I}\mathrm{O}})$-এর রূপান্তর হলো বাস্তব-মান বিশিষ্ট ফাংশন $S_{\mathrm{R}\mathrm{E}}+S_{\mathrm{R}\mathrm{O}},$ এবং এর বিপরীতটিও সত্য।
• একটি কনজুগেট অ্যান্টিসিমেট্রিক ফাংশন $(s_{\mathrm{R}\mathrm{O}}+i{s}_{\mathrm{I}\mathrm{E}})$-এর রূপান্তর হলো কাল্পনিক-মান বিশিষ্ট ফাংশন $i{S}_{\mathrm{I}\mathrm{E}}+i{S}_{\mathrm{I}\mathrm{O}},$ এবং এর বিপরীতটিও সত্য।

রিম্যান-লেবেসগ লেমা (Riemann–Lebesgue lemma)

মূল নিবন্ধ: Riemann–Lebesgue lemma যদি $S$ ইন্টিগ্রেবল (integrable) হয়, তবে $\underset{|n|\to \mathrm{\infty }}{\lim }S[n]=0$, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$ এবং Failed to parse (syntax error): {\textstyle \lim_{n \to +\infty} b_n=0।}

পারসেভালের উপপাদ্য (Parseval's theorem)

মূল নিবন্ধ: Parseval's theorem যদি $s$ ফাংশনটি $L^2(P)$-এর অন্তর্ভুক্ত হয় (অর্থাৎ $P$ দৈর্ঘ্যের ব্যবধানে পর্যায়বৃত্ত), তবে: $$\frac{1}{P}\underset{P}{\int }|s(x){|}^{2}dx=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|S[n]{|}^2.$$

প্লানশেরেলে উপপাদ্য (Plancherel's theorem)

মূল নিবন্ধ: Plancherel theorem যদি $c_0,c_{\pm 1},c_{\pm 2},\dots$ সহগগুলো এমন হয় যে ${\sum }_{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2<\mathrm{\infty }$, তবে একটি অনন্য ফাংশন $s\in L^2(P)$ বিদ্যমান থাকবে যার জন্য প্রতিটি $n$-এর ক্ষেত্রে $S[n]=c_n$ হবে।

কনভোলিউশন উপপাদ্য (Convolution theorems)

মূল নিবন্ধ: Convolution theorem#Periodic convolution (Fourier series coefficients)

ধরা যাক $P$-পর্যায়বৃত্ত ফাংশন $s_P$ এবং $r_P$-এর ফুরিয়ার সিরিজের সহগ যথাক্রমে $S[n]$ এবং $R[n]$ ($n\in \mathbb{\mathbb{Z}}$),

• পয়েন্টওয়াইজ গুণফল: $$h_P(x)\triangleq s_P(x)\cdot r_P(x)$$ ফাংশনটিও $P$-পর্যায়বৃত্ত এবং এর ফুরিয়ার সিরিজের সহগগুলো $S$ এবং $R$ সিকোয়েন্সের ডিসক্রিট কনভোলিউশন দ্বারা নির্ধারিত হয়: $$H[n]=\{S*R\}[n].$$
• পর্যায়বৃত্ত কনভোলিউশন (periodic convolution): $$h_P(x)\triangleq \underset{P}{\int }{s}_P(\tau )\cdot r_P(x-\tau )d\tau$$ ফাংশনটিও $P$-পর্যায়বৃত্ত এবং এর ফুরিয়ার সিরিজের সহগ হলো: $$H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].$$
• একটি দ্বি-অসীম (doubly infinite) সিকোয়েন্স ${\left\{c_n\right\}}_{n\in Z}$ যা $c_0(\mathbb{\mathbb{Z}})$-এ অবস্থিত, তা $L^1([0,2\pi ])$-এর কোনো ফাংশনের ফুরিয়ার সহগের সিকোয়েন্স হবে যদি এবং কেবল যদি এটি ${\ell }^2(\mathbb{\mathbb{Z}})$-এর দুটি সিকোয়েন্সের কনভোলিউশন হয়। দেখুন

অন্তরজ বৈশিষ্ট্য (Derivative property)

যদি $s$ ফাংশনটি $\mathbb{ℝ}$-এর ওপর একটি $P$-পর্যায়বৃত্ত ফাংশন হয় যা $k$ বার অন্তরীকরণযোগ্য এবং এর $k^{\text{th}}$ অন্তরজটি অবিচ্ছিন্ন হয়, তবে $s$ ফাংশনটি ফাংশন স্পেস $C^k(\mathbb{ℝ})$-এর অন্তর্ভুক্ত।

• যদি $s\in C^k(\mathbb{ℝ})$ হয়, তবে $s$-এর $k^{\text{th}}$ অন্তরজের ফুরিয়ার সহগগুলোকে $s$-এর ফুরিয়ার সহগ $\hat{s}[n]$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়: $$\widehat{s^{(k)}}[n]={\left(i\frac{2\pi n}{P}\right)}^k\hat{s}[n].$$ বিশেষত, যেকোনো নির্দিষ্ট $k\ge 1$-এর জন্য যেহেতু $n\to \mathrm{\infty }$ হলে $\widehat{s^{(k)}}[n]\to 0$ হয়, তাই এটি অনুসরণ করে যে $|n{|}^k\hat{s}[n]$ শূন্যের দিকে ধাবিত হয়, অর্থাৎ ফুরিয়ার সহগগুলো $|n|$-এর $k^{\text{th}}$ ঘাতের চেয়ে দ্রুত শূন্যে অভিসারী হয়।

কমপ্যাক্ট গ্রুপ (Compact groups)

মূল নিবন্ধ: Compact group, Lie group, Peter–Weyl theorem

ফুরিয়ার রূপান্তরের একটি আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য যা আমরা উল্লেখ করেছি তা হলো, এটি কনভোলিউশনকে পয়েন্টওয়াইজ গুণফলে রূপান্তর করে। যদি আমরা এই বৈশিষ্ট্যটি বজায় রাখতে চাই, তবে যেকোনো কমপ্যাক্ট গ্রুপ-এর ওপর ফুরিয়ার সিরিজ তৈরি করা সম্ভব। সাধারণ উদাহরণগুলোর মধ্যে রয়েছে সেইসব ক্লাসিক্যাল গ্রুপ যা কমপ্যাক্ট। এটি ফুরিয়ার রূপান্তরকে $L^2(G)$ আকারের সকল স্পেসে সাধারণীকরণ করে, যেখানে $G$ একটি কমপ্যাক্ট গ্রুপ, যাতে ফুরিয়ার রূপান্তর কনভোলিউশনকে পয়েন্টওয়াইজ গুণফলে রূপান্তর করে। ফুরিয়ার সিরিজ বিদ্যমান থাকে এবং তা −π,π ক্ষেত্রের মতোই অভিসারী হয়।

কমপ্যাক্ট গ্রুপের জন্য একটি বিকল্প সম্প্রসারণ হলো পিটার-ওয়েল উপপাদ্য (Peter–Weyl theorem), যা কমপ্যাক্ট গ্রুপের রিপ্রেজেন্টেশন সম্পর্কে ফলাফল প্রমাণ করে, যা সসীম গ্রুপের অনুরূপ।

রসায়ন-এর পারমাণবিক অরবিটালগুলো আংশিকভাবে স্ফেরিক্যাল হারমোনিকস দ্বারা বর্ণিত, যা গোলক-এর ওপর ফুরিয়ার সিরিজ তৈরিতে ব্যবহৃত হতে পারে।

রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড (Riemannian manifolds)

মূল নিবন্ধ: Laplace operator, Riemannian manifold

যদি ডোমেনটি কোনো গ্রুপ না হয়, তবে সেখানে অভ্যন্তরীণভাবে সংজ্ঞায়িত কোনো কনভোলিউশন থাকে না। তবে, যদি $X$ একটি কমপ্যাক্ট রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড হয়, তবে এর একটি ল্যাপলাস-বেল্ট্রামি অপারেটর থাকে। ল্যাপলাস-বেল্ট্রামি অপারেটর হলো সেই ডিফারেনশিয়াল অপারেটর যা রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড $X$-এর জন্য ল্যাপলাস অপারেটর-এর অনুরূপ। তখন, সাদৃশ্য অনুযায়ী, আমরা $X$-এর ওপর তাপ সমীকরণ (heat equation) বিবেচনা করতে পারি। যেহেতু ফুরিয়ার তাপ সমীকরণ সমাধানের প্রচেষ্টার মাধ্যমে তার ভিত্তি (basis) খুঁজে পেয়েছিলেন, তাই স্বাভাবিক সাধারণীকরণ হলো ল্যাপলাস-বেল্ট্রামি অপারেটরের আইগেন-সমাধানগুলোকে ভিত্তি হিসেবে ব্যবহার করা। এটি ফুরিয়ার সিরিজকে $L^2(X)$ ধরনের স্পেসে সাধারণীকরণ করে, যেখানে $X$ একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড। ফুরিয়ার সিরিজ $[-\pi ,\pi ]$ ক্ষেত্রের মতোই অভিসারী হয়। একটি সাধারণ উদাহরণ হলো $X$-কে সাধারণ মেট্রিকসহ গোলক হিসেবে নেওয়া, যেক্ষেত্রে ফুরিয়ার ভিত্তিগুলো স্ফেরিক্যাল হারমোনিকস দ্বারা গঠিত হয়।

লোকালি কমপ্যাক্ট অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ (Locally compact Abelian groups)

মূল নিবন্ধ: Pontryagin duality

উপরে আলোচিত কমপ্যাক্ট গ্রুপের সাধারণীকরণটি নন-কমপ্যাক্ট, নন-অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ-এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। তবে, লোকালি কমপ্যাক্ট অ্যাবেলিয়ান (LCA) গ্রুপ-এর ক্ষেত্রে একটি সরাসরি সাধারণীকরণ বিদ্যমান।

এটি ফুরিয়ার রূপান্তরকে $L^1(G)$ বা $L^2(G)$-এ সাধারণীকরণ করে, যেখানে $G$ একটি LCA গ্রুপ। যদি $G$ কমপ্যাক্ট হয়, তবে একটি ফুরিয়ার সিরিজও পাওয়া যায়, যা $[-\pi ,\pi ]$ ক্ষেত্রের মতোই অভিসারী হয়, কিন্তু যদি $G$ নন-কমপ্যাক্ট হয়, তবে এর পরিবর্তে একটি ফুরিয়ার ইন্টিগ্রাল পাওয়া যায়। এই সাধারণীকরণটি সাধারণ ফুরিয়ার রূপান্তর প্রদান করে যখন অন্তর্নিহিত লোকালি কমপ্যাক্ট অ্যাবেলিয়ান গ্রুপটি হয় $\mathbb{ℝ}$।

সম্প্রসারণসমূহ

ফুরিয়ার-স্টিলজেস সিরিজ (Fourier-Stieltjes series)

আরও দেখুন: Bochner's theorem#Special cases, Wiener's lemma আনুষ্ঠানিকভাবে, ফুরিয়ার-স্টিলজেস সিরিজকে এমন ফুরিয়ার সিরিজ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা যায় যার সহগগুলো নিম্নরূপ: $$c_n=\hat{\mu }(n)=\frac{1}{P}\underset{0}{\overset{P}{\int }}{e}^{-i2\pi \frac{n}{P}x}d\mu (x),\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{Z}},$$ যেকোনো $\mu \in M$-এর জন্য, যেখানে $M$ হলো $[0,P]$ ব্যবধানে সসীম বোরেল পরিমাপ-এর স্পেস। যেমন, যখন $\mu \in M$ হয়, তখন ফাংশন $\hat{\mu }(n)$-কে ফুরিয়ার-স্টিলজেস রূপান্তর বলা হয়।(Edwards, 1982, p. 67)(Katznelson, 2004, p. 164)

এটি $\mathbb{ℝ}$-এর ওপর একটি র‍্যাডন পরিমাপ (অর্থাৎ লোকালি সসীম বোরেল পরিমাপ)-এর একটি পূর্ববর্তী এবং আরও সুনির্দিষ্ট উপস্থাপনা থেকে আসে, যা এফ. রিস প্রদান করেছিলেন। অর্থাৎ, যদি $F$ ফাংশনটি $[0,P]$ ব্যবধানে সীমাবদ্ধ ভেরিয়েশন (bounded variation) বিশিষ্ট হয়, তবে ফুরিয়ার সহগগুলোকে রিম্যান-স্টিলজেস ইন্টিগ্রাল দ্বারা প্রকাশ করা যায়: $$c_n=\frac{1}{P}\underset{0}{\overset{P}{\int }}{e}^{-i2\pi \frac{n}{P}x}dF(x),\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{Z}},$$ যাকে $F$-এর ফুরিয়ার-স্টিলজেস সহগ বলা হয়।(Zygmund, 2002, p. 11) যেহেতু $F$-এর ডিস্ট্রিবিউশনাল অন্তরজ একটি র‍্যাডন পরিমাপ, তাই এটি লেবেসগ বিয়োজন-এর অধীন এবং একে $dF=F^{\prime }dx+d{F}_s$ হিসেবে প্রকাশ করা যায়।(Edwards, 1982, pp. 53,72-73)(Katznelson, 2004, p. 40) যদি $d{F}_s=0$ হয়, তবে রাশিটি ফুরিয়ার সহগের মূল সংজ্ঞায় হ্রাস পায়, তাই একটি ফুরিয়ার সিরিজ হলো একটি ফুরিয়ার-স্টিলজেস সিরিজ।

প্রদত্ত $c_n$ সিকোয়েন্সের জন্য $\mu$ বিদ্যমান কি না, তা ত্রিকোণমিতিক মোমেন্ট সমস্যা-এর ভিত্তি তৈরি করে।(Akhiezer, 1965, pp. 180-181)

ফুরিয়ার সিরিজকে পরিমাপ থেকে আরও সাধারণ ডিস্ট্রিবিউশন-এ সম্প্রসারিত করা যায়। যদি ফুরিয়ার সহগগুলো কোনো ডিস্ট্রিবিউশন $F\in {{𝒟}}^{\prime }$ দ্বারা নির্ধারিত হয়, তবে সিরিজটিকে কখনও কখনও ফুরিয়ার-সোয়ার্জ সিরিজ বলা হয়।(Charpentier, Lesne, Nikolski, 2007, p. 11)

যদিও কোনো প্রদত্ত সিরিজ ফুরিয়ার নাকি ফুরিয়ার-স্টিলজেস সিরিজ তা নির্ধারণ করা অত্যন্ত কঠিন, তবে এটি ফুরিয়ার-সোয়ার্জ সিরিজ কি না তা নির্ধারণ করা তুলনামূলকভাবে সহজ।(Edwards, 1982, pp. 48,67-68)

বর্গের ওপর ফুরিয়ার সিরিজ (Fourier series on a square)

আমরা $[-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]$ বর্গের ওপর দুটি চলক $x$ এবং $y$-এর ফাংশনের জন্যও ফুরিয়ার সিরিজ সংজ্ঞায়িত করতে পারি: $$\begin{array}{rl}f(x,y)& =\sum _{j,k\in \mathbb{\mathbb{Z}}}{c}_{j,k}{e}^{ijx}{e}^{iky},\\ c_{j,k}& =\frac{1}{4{\pi }^2}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x,y)e^{-ijx}{e}^{-iky}dxdy.\end{array}$$

তাপ সমীকরণের মতো আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের জন্য উপযোগী হওয়ার পাশাপাশি, বর্গের ওপর ফুরিয়ার সিরিজের একটি উল্লেখযোগ্য প্রয়োগ হলো ইমেজ কম্প্রেশন। বিশেষত, JPEG ইমেজ কম্প্রেশন স্ট্যান্ডার্ড দ্বিমাত্রিক ডিসক্রিট কোসাইন ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করে, যা ফুরিয়ার কোসাইন রূপান্তর-এর একটি ডিসক্রিট রূপ, যেখানে ভিত্তি ফাংশন হিসেবে শুধুমাত্র কোসাইন ব্যবহৃত হয়।

পর্যায়ক্রমিক বিন্যাসযুক্ত দ্বিমাত্রিক অ্যারের ক্ষেত্রে, অতিরিক্ত প্রতিসাম্যের কারণে ফুরিয়ার সিরিজের অর্ধেক সহগ অদৃশ্য হয়ে যায়।

ব্রাভেই-ল্যাটিস-পর্যায়বৃত্ত ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ

একটি ত্রিমাত্রিক ব্রাভেই ল্যাটিস (Bravais lattice) হলো এমন ভেক্টরের সেট যা নিম্নরূপ: $$\mathbf{𝐑}=n_1{\mathbf{𝐚}}_1+n_2{\mathbf{𝐚}}_2+n_3{\mathbf{𝐚}}_3$$ যেখানে $n_i$ হলো পূর্ণসংখ্যা এবং ${\mathbf{𝐚}}_i$ হলো তিনটি রৈখিকভাবে স্বাধীন কিন্তু অপরিহার্যভাবে লম্ব নয় এমন ভেক্টর। ধরা যাক, কোনো ফাংশন $f(\mathbf{𝐫})$ ব্রাভেই ল্যাটিসের মতোই পর্যায়বৃত্ত, অর্থাৎ যেকোনো ল্যাটিস ভেক্টর $\mathbf{𝐑}$-এর জন্য $f(\mathbf{𝐫})=f(\mathbf{𝐑}+\mathbf{𝐫})$। এই পরিস্থিতিটি প্রায়শই কঠিন-অবস্থা পদার্থবিজ্ঞান-এ ঘটে, যেখানে $f(\mathbf{𝐫})$ উদাহরণস্বরূপ, একটি পর্যায়বৃত্ত স্ফটিকের ভেতরে ইলেকট্রন যে কার্যকর বিভব (potential) "অনুভব" করে তা নির্দেশ করতে পারে। এই ধরনের পর্যায়বৃত্ত বিভবের উপস্থিতিতে, ইলেকট্রনের কোয়ান্টাম-যান্ত্রিক বর্ণনার ফলে একটি পর্যায়বৃত্তভাবে মডুলেটেড প্লেন-ওয়েভ তৈরি হয়, যা সাধারণত ব্লখ স্টেট নামে পরিচিত।

$f(\mathbf{𝐫})$-কে ফুরিয়ার সিরিজে উন্নীত করার জন্য, একটি সহায়ক ফাংশন প্রবর্তন করা সুবিধাজনক: $$g(x_1,x_2,x_3)\triangleq f(\mathbf{𝐫})=f(x_1\frac{{\mathbf{𝐚}}_1}{a_1}+x_2\frac{{\mathbf{𝐚}}_2}{a_2}+x_3\frac{{\mathbf{𝐚}}_3}{a_3}).$$ $f(\mathbf{𝐫})$ এবং $g(x_1,x_2,x_3)$ উভয়ই মূলত একই তথ্য ধারণ করে। তবে, অবস্থান ভেক্টর $\mathbf{𝐫}$-এর পরিবর্তে, $g$-এর আর্গুমেন্টগুলো হলো ব্রাভেই ল্যাটিসের একক ভেক্টর ${\mathbf{𝐚}}_i/a_i$-এর বরাবর স্থানাঙ্ক $x_{1,2,3}$, যাতে $g$ এই চলকগুলোর ক্ষেত্রে একটি সাধারণ পর্যায়বৃত্ত ফাংশন হয়,$$g(x_1,x_2,x_3)=g(x_1+a_1,x_2,x_3)=g(x_1,x_2+a_2,x_3)=g(x_1,x_2,x_3+a_3)\mathrm{\forall }{x}_1,x_2,x_3.$$ এই কৌশলটি আমাদের $g$-কে একটি বহুমাত্রিক ফুরিয়ার সিরিজ হিসেবে উন্নীত করার সুযোগ দেয়, যা পূর্ববর্তী বিভাগে আলোচিত বর্গ-পর্যায়বৃত্ত ফাংশনের সাথে সম্পূর্ণ সাদৃশ্যপূর্ণ। এর ফুরিয়ার সহগগুলো হলো$$\begin{array}{r}c(m_1,m_2,m_3)=\frac{1}{a_3}\underset{0}{\overset{a_3}{\int }}d{x}_3\frac{1}{a_2}\underset{0}{\overset{a_2}{\int }}d{x}_2\frac{1}{a_1}\underset{0}{\overset{a_1}{\int }}d{x}_{1}g(x_1,x_2,x_3)e^{-i2\pi (\frac{m_1}{a_1}{x}_1+\frac{m_2}{a_2}{x}_2+\frac{m_3}{a_3}{x}_3)}\end{array},$$ যেখানে $m_1,m_2,m_3$ সবই পূর্ণসংখ্যা। $c(m_1,m_2,m_3)$ পূর্ববর্তী বিভাগের সহগ $c_{j,k}$-এর মতোই ভূমিকা পালন করে, কিন্তু ডাবল সাবস্ক্রিপ্ট এড়ানোর জন্য আমরা সেগুলোকে একটি ফাংশন হিসেবে চিহ্নিত করি।

একবার এই সহগগুলো পাওয়া গেলে, $g$ ফাংশনটিকে ফুরিয়ার সিরিজের মাধ্যমে পুনরুদ্ধার করা যায়: $$g(x_1,x_2,x_3)=\sum _{m_1,m_2,m_3\in \mathbb{\mathbb{Z}}}c(m_1,m_2,m_3)e^{i2\pi (\frac{m_1}{a_1}{x}_1+\frac{m_2}{a_2}{x}_2+\frac{m_3}{a_3}{x}_3)}.$$ এখন আমরা সহায়ক স্থানাঙ্ক $x_{1,2,3}$ ত্যাগ করে মূল অবস্থান ভেক্টর $\mathbf{𝐫}$-এ ফিরে যেতে চাই। এটি রেসিপ্রোকাল ল্যাটিস (reciprocal lattice)-এর মাধ্যমে অর্জন করা যায়, যার ভেক্টর ${\mathbf{𝐛}}_{1,2,3}$ এমনভাবে সংজ্ঞায়িত যে সেগুলো মূল ব্রাভেই ভেক্টর ${\mathbf{𝐚}}_{1,2,3}$-এর সাথে অর্থোনরমাল (একটি $2\pi$ গুণক পর্যন্ত), $${\mathbf{𝐚}}_i\cdot {\mathbf{b}}_{\mathbf{𝐣}}=2\pi {\delta }_{ij},$$যেখানে ${\delta }_{ij}$ হলো ক্রোনেকার ডেল্টা। এর সাথে, ব্রাভেই ল্যাটিস ভিত্তিতে লেখা একটি রেসিপ্রোকাল ল্যাটিস ভেক্টর $\mathbf{𝐐}$ এবং একটি ইচ্ছামাফিক অবস্থান ভেক্টর $\mathbf{𝐫}$-এর মধ্যে স্কেলার গুণফল হয় $$\mathbf{𝐐}\cdot \mathbf{𝐫}=(m_1{\mathbf{𝐛}}_1+m_2{\mathbf{𝐛}}_2+m_3{\mathbf{𝐛}}_3)\cdot (x_1\frac{{\mathbf{𝐚}}_1}{a_1}+x_2\frac{{\mathbf{𝐚}}_2}{a_2}+x_3\frac{{\mathbf{𝐚}}_3}{a_3})=2\pi (x_1\frac{m_1}{a_1}+x_2\frac{m_2}{a_2}+x_3\frac{m_3}{a_3}),$$যা ফুরিয়ার এক্সপোনেন্টে থাকা রাশিটির সাথে হুবহু মিলে যায়। তাই $f(\mathbf{𝐫})=g(x_1,x_2,x_3)$-এর ফুরিয়ার সিরিজকে সমস্ত রেসিপ্রোকাল ল্যাটিস ভেক্টর $\mathbf{𝐐}=m_1{\mathbf{𝐛}}_1+m_2{\mathbf{𝐛}}_2+m_3{\mathbf{𝐛}}_3$-এর ওপর যোগফল হিসেবে লেখা যায়,$$f(\mathbf{𝐫})=\sum _{\mathbf{𝐐}}c(\mathbf{𝐐})e^{i\mathbf{𝐐}\cdot \mathbf{𝐫}},$$ এবং সহগগুলো হলো$$c(\mathbf{𝐐})=\frac{1}{a_3}\underset{0}{\overset{a_3}{\int }}d{x}_3\frac{1}{a_2}\underset{0}{\overset{a_2}{\int }}d{x}_2\frac{1}{a_1}\underset{0}{\overset{a_1}{\int }}d{x}_{1}f(x_1\frac{{\mathbf{𝐚}}_1}{a_1}+x_2\frac{{\mathbf{𝐚}}_2}{a_2}+x_3\frac{{\mathbf{𝐚}}_3}{a_3})e^{-i\mathbf{𝐐}\cdot \mathbf{𝐫}}.$$ অবশিষ্ট কাজ হলো ল্যাটিস স্থানাঙ্কের ওপর এই ইন্টিগ্রালকে ভলিউম ইন্টিগ্রালে রূপান্তর করা। ল্যাটিস স্থানাঙ্ক $x_{1,2,3}$ এবং মূল কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $\mathbf{𝐫}=(x,y,z)$-এর মধ্যে সম্পর্কটি হলো একটি রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা, $$\mathbf{𝐫}=x_1\frac{{\mathbf{𝐚}}_1}{a_1}+x_2\frac{{\mathbf{𝐚}}_2}{a_2}+x_3\frac{{\mathbf{𝐚}}_3}{a_3},$$যা ম্যাট্রিক্স আকারে লিখলে, $$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\mathbf{𝐉}\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{{\mathbf{𝐚}}_1}{a_1},\frac{{\mathbf{𝐚}}_2}{a_2},\frac{{\mathbf{𝐚}}_3}{a_3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right],$$একটি ধ্রুবক ম্যাট্রিক্স $\mathbf{𝐉}$ অন্তর্ভুক্ত করে, যার কলামগুলো হলো ব্রাভেই ল্যাটিসের একক ভেক্টর ${\mathbf{𝐚}}_j/a_j$। ইন্টিগ্রালে $\mathbf{𝐫}$ থেকে $(x_1,x_2,x_3)$-এ চলক পরিবর্তনের সময়, একই ম্যাট্রিক্স $\mathbf{𝐉}$ একটি জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স হিসেবে উপস্থিত হয়$$\mathbf{𝐉}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial x_1}& \frac{\partial x}{\partial x_2}& \frac{\partial x}{\partial x_3}\\ \frac{\partial y}{\partial x_1}& \frac{\partial y}{\partial x_2}& \frac{\partial y}{\partial x_3}\\ \frac{\partial z}{\partial x_1}& \frac{\partial z}{\partial x_2}& \frac{\partial z}{\partial x_3}\end{array}\right].$$

এর ডিটারমিন্যান্ট $J$ তাই ধ্রুবক এবং যেকোনো ডোমেনের ওপর যেকোনো ইন্টিগ্রাল থেকে তা অনুমান করা যায়; এখানে আমরা উভয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় আদিম ইউনিট সেলের ভলিউম $\mathrm{\Gamma }$ গণনা করতে বেছে নিই: $$V_{\mathrm{\Gamma }}=\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }{d}^{3}r=J\underset{0}{\overset{a_1}{\int }}d{x}_1\underset{0}{\overset{a_2}{\int }}d{x}_2\underset{0}{\overset{a_3}{\int }}d{x}_3=J{a}_1{a}_2{a}_3$$ ইউনিট সেলটি একটি প্যারালেলিপিপেড হওয়ায়, আমাদের কাছে $V_{\mathrm{\Gamma }}={\mathbf{𝐚}}_1\cdot ({\mathbf{𝐚}}_2\times {\mathbf{𝐚}}_3)$ আছে এবং তাই $$d^{3}r=Jd{x}_{1}d{x}_{2}d{x}_3=\frac{{\mathbf{𝐚}}_1\cdot ({\mathbf{𝐚}}_2\times {\mathbf{𝐚}}_3)}{a_1{a}_2{a}_3}d{x}_{1}d{x}_{2}d{x}_3.$$ এটি আমাদের $c(\mathbf{𝐐})$-কে সাধারণ কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে আদিম ইউনিট সেল $\mathrm{\Gamma }$-এর ওপর কাঙ্ক্ষিত ভলিউম ইন্টিগ্রাল হিসেবে লিখতে দেয়: $$c(\mathbf{𝐐})=\frac{1}{{\mathbf{𝐚}}_1\cdot ({\mathbf{𝐚}}_2\times {\mathbf{𝐚}}_3)}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }{d}^{3}rf(\mathbf{𝐫})\cdot e^{-i\mathbf{𝐐}\cdot \mathbf{𝐫}}.$$

হিলবার্ট স্পেস (Hilbert space)

আরও দেখুন: Riesz–Fischer theorem

যেহেতু ত্রিকোণমিতিক সিরিজ হলো অর্থোগোনাল সিস্টেম-এর একটি বিশেষ শ্রেণি, তাই ফুরিয়ার সিরিজ স্বাভাবিকভাবেই হিলবার্ট স্পেস-এর প্রেক্ষাপটে সংজ্ঞায়িত করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, $[-\pi ,\pi ]$-এর ওপর বর্গ-ইন্টিগ্রেবল ফাংশন-এর স্পেস হিলবার্ট স্পেস $L^2([-\pi ,\pi ])$ গঠন করে। এর ইনার প্রোডাক্ট, যেকোনো দুটি উপাদান $f$ এবং $g$-এর জন্য সংজ্ঞায়িত, হলো: $$⟨f,g⟩=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\overline{g(x)}dx.$$ এই স্পেসটি অর্থোনরমাল ভিত্তি $\{e_n=e^{inx}:n\in \mathbb{\mathbb{Z}}\}$ দ্বারা সজ্জিত। তখন $f\in L^2([-\pi ,\pi ])$-এর সাধারণীকৃত ফুরিয়ার সিরিজ (generalized Fourier series) বিস্তার, যা নিম্নরূপ: $$f(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{inx},$$ তাকে এভাবে লেখা যায়(Rudin, 1987, p. 82) $$f=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}⟨f,e_n⟩e_n.$$

সাইন এবং কোসাইন একটি অর্থোগোনাল সেট গঠন করে, যা উপরে চিত্রিত হয়েছে। সাইন, কোসাইন এবং তাদের গুণফলের ইন্টিগ্রাল শূন্য হয় (সবুজ এবং লাল এলাকা সমান, এবং একে অপরকে বাতিল করে) যখন $m$, $n$ বা ফাংশনগুলো ভিন্ন হয়, এবং শুধুমাত্র তখনই π হয় যদি $m$ এবং $n$ সমান হয় এবং ব্যবহৃত ফাংশনটি একই হয়। তারা একটি অর্থোনরমাল সেট গঠন করত, যদি ইন্টিগ্রালটি ১-এর সমান হতো (অর্থাৎ, প্রতিটি ফাংশনকে $1/\sqrt{\pi }$ দ্বারা স্কেল করতে হতো)।

সাইন-কোসাইন আকার একইভাবে অনুসরণ করা হয়। প্রকৃতপক্ষে, সাইন এবং কোসাইন একটি অর্থোগোনাল সেট গঠন করে: $$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos (mx)\cos (nx)dx=\frac{1}{2}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos ((n-m)x)+\cos ((n+m)x)dx=\pi {\delta }_{mn},m,n\ge 1,$$ $$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin (mx)\sin (nx)dx=\frac{1}{2}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos ((n-m)x)-\cos ((n+m)x)dx=\pi {\delta }_{mn},m,n\ge 1$$ (যেখানে δ_mn হলো ক্রোনেকার ডেল্টা), এবং $$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos (mx)\sin (nx)dx=\frac{1}{2}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin ((n+m)x)+\sin ((n-m)x)dx=0;$$ সুতরাং, সেটটি $$\{1,\sqrt{2}\cos x,\sqrt{2}\sin x,\dots ,\sqrt{2}\cos (nx),\sqrt{2}\sin (nx),\dots \},$$ এছাড়াও $L^2([-\pi ,\pi ])$-এর জন্য একটি অর্থোনরমাল ভিত্তি গঠন করে। তাদের স্প্যানের ঘনত্ব স্টোন-ওয়েয়ারস্ট্রাস উপপাদ্য-এর একটি ফলাফল, তবে এটি ফেজের কার্নেল-এর মতো ধ্রুপদী কার্নেলের বৈশিষ্ট্য থেকেও অনুসরণ করে।

ফুরিয়ার সিরিজের অভিসৃতি প্রমাণকারী ফুরিয়ার উপপাদ্য

মূল নিবন্ধ: Convergence of Fourier series

প্রকৌশল-এ, ফুরিয়ার সিরিজ সাধারণত জাম্প ডিসকন্টিনিউটি (jump discontinuities) ছাড়া অভিসারী বলে ধরে নেওয়া হয়, কারণ প্রকৌশলে প্রাপ্ত ফাংশনগুলো সাধারণত অন্যান্য শাখার ফাংশনগুলোর তুলনায় অধিকতর সুশৃঙ্খল হয়। বিশেষত, যদি $s$ অবিচ্ছিন্ন হয় এবং $s(x)$-এর অন্তরজ (যা সর্বত্র বিদ্যমান নাও হতে পারে) বর্গ-ইন্টিগ্রেবল হয়, তবে $s$-এর ফুরিয়ার সিরিজ $s(x)$-এর দিকে পরম এবং সুষমভাবে (absolutely and uniformly) অভিসারী হয়। যদি কোনো ফাংশন $[x_0,x_0+P]$ ব্যবধানে বর্গ-ইন্টিগ্রেবল ফাংশন হয়, তবে ফুরিয়ার সিরিজ অভিসারী হয় ফাংশনটির দিকে প্রায় সর্বত্র। আরও সাধারণ ফাংশন বা ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য ফুরিয়ার সহগ সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব, যেক্ষেত্রে পয়েন্টওয়াইজ অভিসৃতি প্রায়শই ব্যর্থ হয় এবং নর্ম বা দুর্বল অভিসৃতি সাধারণত অধ্যয়ন করা হয়।

• 
  ১, ২, ৩ এবং ৪টি পদের দৈর্ঘ্যের চারটি আংশিক সমষ্টি (ফুরিয়ার ধারা), যা দেখায় যে পদের সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে সাথে বর্গাকার তরঙ্গের আসন্ন মান কীভাবে উন্নত হয় [ (অ্যানিমেশন)]
• 
  ১, ২, ৩ এবং ৪টি পদের দৈর্ঘ্যের চারটি আংশিক সমষ্টি (ফুরিয়ার ধারা), যা দেখায় যে পদের সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে সাথে করাত-দাঁত সদৃশ তরঙ্গের (sawtooth wave) আসন্ন মান কীভাবে উন্নত হয় [ (অ্যানিমেশন)]
• 
  একটি মোটামুটি ইচ্ছামাফিক ফাংশনের অভিসরণের উদাহরণ। উল্লম্ব অংশগুলোর সংযোগস্থলে "রিংগিং" (গিবস ফেনোমেনন) এর বিকাশ লক্ষ্য করুন।

যেসব উপপাদ্য প্রমাণ করে যে একটি ফুরিয়ার ধারা যেকোনো পর্যায়বৃত্ত ফাংশনের (যা ডিরিক্লে শর্তাবলী পূরণ করে) একটি বৈধ উপস্থাপনা, এবং সেগুলোর অনানুষ্ঠানিক রূপ যা অভিসরণের শর্তাবলী নির্দিষ্ট করে না, সেগুলোকে সামগ্রিকভাবে ফুরিয়ারের উপপাদ্য বা ফুরিয়ার উপপাদ্য হিসেবে অভিহিত করা হয়।

লঘিষ্ঠ বর্গ বৈশিষ্ট্য (Least squares property)

পূর্ববর্তী Eq.2:

$s_N(x)=\sum _{n=-N}^{N}S[n]e^{i2\pi \frac{n}{P}x},$

হলো $N$ ঘাতের একটি ত্রিকোণমিতিক বহুপদী, যাকে সাধারণভাবে প্রকাশ করা যায় এভাবে:

$p_N(x)=\sum _{n=-N}^{N}p[n]e^{i2\pi \frac{n}{P}x}.$

পার্সেভালের উপপাদ্য নির্দেশ করে যে:

</math>

সুষম অভিসরণ প্রমাণ করে।

ফুরিয়ার ধারার অভিসরণ সংক্রান্ত আরও অনেক ফলাফল জানা আছে, যা $x$ বিন্দুতে ধারার অভিসরণের মতো মাঝারি মানের সহজ ফলাফল থেকে শুরু করে কার্লসনের উপপাদ্য-এর মতো আরও জটিল ফলাফল পর্যন্ত বিস্তৃত, যা বলে যে একটি $L^2$ ফাংশনের ফুরিয়ার ধারা প্রায় সর্বত্র (almost everywhere) অভিসৃত হয়।

অপসরণ (Divergence)

যেহেতু ফুরিয়ার ধারার অভিসরণের বৈশিষ্ট্যগুলো খুব ভালো, তাই অনেকে প্রায়শই কিছু নেতিবাচক ফলাফলে অবাক হন। উদাহরণস্বরূপ, একটি অবিচ্ছিন্ন T-পর্যায়বৃত্ত ফাংশনের ফুরিয়ার ধারা বিন্দুভিত্তিক (pointwise) অভিসৃত না-ও হতে পারে। সুষম সীমাবদ্ধতা নীতি (uniform boundedness principle) এই সত্যটির একটি সহজ অ-গঠনমূলক প্রমাণ প্রদান করে।

১৯২২ সালে, আন্দ্রে কোলমোগোরভ Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout শিরোনামে একটি নিবন্ধ প্রকাশ করেন, যেখানে তিনি লেবেসগ-সমাকলনযোগ্য একটি ফাংশনের উদাহরণ দেন যার ফুরিয়ার ধারা প্রায় সর্বত্র অপসৃত হয়। পরবর্তীতে তিনি একটি সমাকলনযোগ্য ফাংশনের উদাহরণ তৈরি করেন যার ফুরিয়ার ধারা সর্বত্র অপসৃত হয়।(Katznelson, 2004)

এমন একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের স্পষ্ট উদাহরণ দেওয়া সম্ভব যার ফুরিয়ার ধারা ০-তে অপসৃত হয়: উদাহরণস্বরূপ, [0,π]-এর সকল x-এর জন্য সংজ্ঞায়িত জোড় এবং 2π-পর্যায়বৃত্ত ফাংশন f

$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}\sin \left[(2^{n^3}+1)\frac{x}{2}\right].$

যেহেতু ফাংশনটি জোড়, তাই ফুরিয়ার ধারায় কেবল কোসাইন থাকে:

$\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_m\cos (mx).$

সহগগুলো হলো:

$C_m=\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}\{\frac{2}{2^{n^3}+1-2m}+\frac{2}{2^{n^3}+1+2m}\}$

যেমন m বৃদ্ধি পায়, সহগগুলো ধনাত্মক এবং ক্রমবর্ধমান হতে থাকে যতক্ষণ না তারা কোনো n-এর জন্য $m=2^{n^3}/2$ বিন্দুতে $C_m\approx 2/(n^2\pi )$ মানের কাছাকাছি পৌঁছায় এবং তারপর ঋণাত্মক হয়ে যায় (প্রায় $-2/(n^2\pi )$ মান থেকে শুরু করে) এবং ছোট হতে থাকে, নতুন একটি তরঙ্গ শুরু হওয়ার আগে। $x=0$ বিন্দুতে ফুরিয়ার ধারাটি কেবল $C_m$-এর চলমান সমষ্টি, এবং এটি প্রায়

$\frac{1}{n^2\pi }\sum _{k=0}^{2^{n^3}/2}\frac{2}{2k+1}\sim \frac{1}{n^2\pi }\ln 2^{n^3}=\frac{n}{\pi }\ln 2$

পর্যন্ত বৃদ্ধি পায় n-তম তরঙ্গে, শূন্যের কাছাকাছি ফিরে আসার আগে, যা দেখায় যে ধারাটি শূন্যে অভিসৃত হয় না বরং উচ্চতর থেকে উচ্চতর শিখরে পৌঁছায়। লক্ষ্য করুন যে যদিও ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন, এটি অন্তরকলনযোগ্য নয়।

আরও দেখুন

26em

• এটিএস উপপাদ্য (ATS theorem)
• কার্লসনের উপপাদ্য
• ডিরিক্লে কার্নেল
• বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তর (Discrete Fourier transform)
• দ্রুত ফুরিয়ার রূপান্তর (Fast Fourier transform)
• ফেজারের উপপাদ্য (Fejér's theorem)
• ফুরিয়ার বিশ্লেষণ
• ফুরিয়ার ইনভার্সন উপপাদ্য
• ফুরিয়ার সাইন এবং কোসাইন ধারা
• ফুরিয়ার রূপান্তর
• গিবস ফেনোমেনন
• হাফ-রেঞ্জ ফুরিয়ার ধারা
• লরেন্ট ধারা – q = e^ix প্রতিস্থাপন একটি ফুরিয়ার ধারাকে লরেন্ট ধারায় রূপান্তরিত করে, বা বিপরীতক্রমে। এটি j-ইনভ্যারিয়েন্ট-এর q-ধারা বিস্তৃতিতে ব্যবহৃত হয়।
• লঘিষ্ঠ-বর্গ বর্ণালী বিশ্লেষণ (Least-squares spectral analysis)
• বহুমাত্রিক রূপান্তর
• অ-হারমোনিক ফুরিয়ার ধারা
• রেসিডিউ উপপাদ্য f(z)-এর সমাকলন, সিঙ্গুলারিটি, পোল
• সাইন এবং কোসাইন রূপান্তর
• বর্ণালী তত্ত্ব (Spectral theory)
• স্টার্ম-লিউভিল তত্ত্ব
• ত্রিকোণমিতিক মোমেন্ট সমস্যা

তথ্যসূত্র

গ্রন্থপঞ্জি

2

• Akhiezer, N. I.. (1965). "The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis". Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-1-61197-638-0. doi:10.1137/1.9781611976397.
• (2009). "Fundamentals of Electric Circuits". McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-352955-4.
• (2005). "Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems". John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-43338-1.
• (2007). "Kolmogorov's Heritage in Mathematics". Springer. ISBN 978-3-540-36349-1. doi:10.1007/978-3-540-36351-4.
• Edwards, R. E.. (1979). "Fourier Series". 64. Springer New York. ISBN 978-1-4612-6210-7. doi:10.1007/978-1-4612-6208-4.
• Edwards, R. E.. (1982). "Fourier Series". 85. Springer New York. ISBN 978-1-4613-8158-7. doi:10.1007/978-1-4613-8156-3.
• Fourier, Joseph. (2003). "The Analytical Theory of Heat". Dover Publications. ISBN 0-486-49531-0. ২০০৩ সালে আলেকজান্ডার ফ্রিম্যান কর্তৃক ১৮৭৮ সালের ইংরেজি অনুবাদের অনুলিপি, ফুরিয়ারের কাজ Théorie Analytique de la Chaleur, যা মূলত ১৮২২ সালে প্রকাশিত হয়েছিল।
• (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Courier. ISBN 978-0-486-43261-8.
• Folland, Gerald B.. (1992). "Fourier analysis and its applications". Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-17094-3.
• Gonzalez-Velasco, Enrique A.. (1992). "Connections in Mathematical Analysis: The Case of Fourier Series". American Mathematical Monthly. 99 (5) 427–441. doi:10.2307/2325087.
• (1999). Fourier series. Dover Publications. ISBN 978-0-486-40681-7.
• Katznelson, Yitzhak. (2004). "An Introduction to Harmonic Analysis". Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83829-0. doi:10.1017/cbo9781139165372.
• (2023). "Fourier Optics and Computational Imaging". Springer International Publishing. ISBN 978-3-031-18352-2. doi:10.1007/978-3-031-18353-9.
• Klein, Félix. (1979). "Development of mathematics in the 19th century". Math Science Press. ISBN 978-0-915692-28-6. এম. অ্যাকারম্যান কর্তৃক Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, স্প্রিংগার, বার্লিন, ১৯২৮ থেকে অনূদিত।
• Lion, Georges A.. (1986). "A Simple Proof of the Dirichlet-Jordan Convergence Test". The American Mathematical Monthly. 93 (4) 281–282. doi:10.1080/00029890.1986.11971805.
• (2010). "Discrete-time Signal Processing". 55. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-198842-2.
• (1996). Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-373762-2.
• Rudin, Walter. (1976). Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill, Inc.. ISBN 0-07-054235-X.
• Rudin, Walter. (1987). "Real and Complex Analysis". McGraw-Hill Education. ISBN 978-0-07-100276-9.
• Stade, Eric. (2005). "Fourier Analysis". Wiley. ISBN 978-0-471-66984-5. doi:10.1002/9781118165508.
• Schwartz, Laurent. (1966). Mathematics for the Physical Sciences. Hermann/ Addison-Wesley Publishing.
• Zygmund, A.. (2002). "Trigonometric Series". Cambridge University Press. ISBN 0-521-89053-5. প্রথম সংস্করণ ১৯৩৫ সালে প্রকাশিত হয়েছিল।

বহিঃসংযোগ

• Fourier series
• Fourier's Series
• FourierSeries
• সংরক্ষিত সংস্করণ

4718 [[Category:জোসেফ ফুরিয়ার

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Fourier series” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।